Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r.
Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj kwadratow.
Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj kwadratow. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie:
Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac
Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: gdy > 0, to funkcja ma dwa ró»ne miejsca zerowe: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a
Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: gdy > 0, to funkcja ma dwa ró»ne miejsca zerowe: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a gdy = 0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe x 0 = b 2a
Troch teorii Wyró»nikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyra»enie: = b 2 4ac Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: gdy > 0, to funkcja ma dwa ró»ne miejsca zerowe: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a gdy = 0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe x 0 = b 2a gdy < 0, to funkcja nie posiada rzeczywistych miejsc zerowych.
Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a paraboli s wspóªrz dnymi wierzchoªka
Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a paraboli posta iloczynowa: s wspóªrz dnymi wierzchoªka
Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a s wspóªrz dnymi wierzchoªka paraboli posta iloczynowa: je±li > 0, to f (x) = a(x x 1 )(x x 2 )
Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a s wspóªrz dnymi wierzchoªka paraboli posta iloczynowa: je±li > 0, to f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) je±li = 0, to f (x) = a(x x 0 ) 2
Troch teorii Postaci funkcji kwadratowej: posta kanoniczna: f (x) = a(x p) 2 + q gdzie p = b 2a, q = 4a s wspóªrz dnymi wierzchoªka paraboli posta iloczynowa: je±li > 0, to f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) je±li = 0, to f (x) = a(x x 0 ) 2 je±li < 0, to posta iloczynowa nie istnieje
Troch teorii Wzory Viete'a: je»eli > 0, to x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a
Wierzchoªek paraboli o równaniu y = x 2 + 4x le»y na prostej o równaniu: y = x y = x y = 2x y = 4x
Wierzchoªek paraboli o równaniu y = x 2 + 4x le»y na prostej o równaniu: y = 2x
Wykresem funkcji f (x) = (6 2a)x 2 + 4x 8 jest parabola o ramionach skierowanych w dóª gdy: a (, 3 2) a (, 0) a ( 3 2, ) a (3 2, )
Wykresem funkcji f (x) = (6 2a)x 2 + 4x 8 jest parabola o ramionach skierowanych w dóª gdy: a (3 2, )
Wierzchoªek paraboli y = 2x 2 + bx + 1 le»y poni»ej osi OX dla: b (, 2 2) (2 2, + ) b (, 2) (2, ) b ( 2, 2) b (1, 2)
Wierzchoªek paraboli y = 2x 2 + bx + 1 le»y poni»ej osi OX dla: b (, 2 2) (2 2, + )
Wska» nierówno±, któr speªnia ka»da liczba rzeczywista: 6x 2 + x + 1 > 0 1x 2 1x + 1 > 0 4 2 8 x 2 3x + 2 0 x 2 100x + 25 0
Wska» nierówno±, któr speªnia ka»da liczba rzeczywista: 6x 2 + x + 1 > 0
Nierówno± (3x + 1) 2 + (x 2) 2 < 5 jest speªniona przez pewn liczb : caªkowit nieujemn caªkowit ujemn niewymiern nieujemn wymiern ujemn
Nierówno± (3x + 1) 2 + (x 2) 2 < 5 jest speªniona przez pewn liczb : wymiern ujemn
Pole trójk ta prostok tnego jest równe 30 cm 2. Jedna przyprostok tna jest o 7 cm dªu»sza od drugiej. Przeciwprostok tna tego trójk ta ma dªugo± : 8 cm 10 cm 13 cm 15 cm
Pole trójk ta prostok tnego jest równe 30 cm 2. Jedna przyprostok tna jest o 7 cm dªu»sza od drugiej. Przeciwprostok tna tego trójk ta ma dªugo± : 13 cm
Wyznacz najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f (x) = (2x + 1)(x 2) w przedziale 2, 2.
Wyznacz najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f (x) = (2x + 1)(x 2) w przedziale 2, 2. Odpowied¹: min= 25 8, max=12
Wyznacz wszystkie warto±ci parametru m, dla których równanie x 2 + mx + 2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów jest wi ksza od 2m 2 13.
Wyznacz wszystkie warto±ci parametru m, dla których równanie x 2 + mx + 2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów jest wi ksza od 2m 2 13. Odpowied¹: m ( 3, 2 2) (2 2, 3)
Troch teorii Jednomianem nazywamy wyra»enie postaci: gdzie a R oraz n N ax n
Troch teorii Jednomianem nazywamy wyra»enie postaci: ax n gdzie a R oraz n N Wielomanem nazywamy sko«czon sum jednomianów, tzn. W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie a n,..., a 1, a 0 R oraz n N
Troch teorii Jednomianem nazywamy wyra»enie postaci: ax n gdzie a R oraz n N Wielomanem nazywamy sko«czon sum jednomianów, tzn. W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie a n,..., a 1, a 0 R oraz n N Stopie«wielomianu warto± najwy»szej pot gi przy x
Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego,
Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego, Liczb a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), je»eli W (a) = 0,
Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego, Liczb a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), je»eli W (a) = 0, Wielomian W dzielimy przez wielomian Q. Otrzymujemy wtedy: W (x) = P(x) Q(x) + R(x) gdzie wielomian P jest wynikiem dzielenia, a wielomain R jest reszt. Dodatkowo reszta R jest stopnia mniejszego ni» dzielna Q.
Troch teorii Fakty: Ka»dy wielomian mo»emy rozªo»y na iloczyn wielomianów stopnia co najwy»ej drugiego, Liczb a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), je»eli W (a) = 0, Wielomian W dzielimy przez wielomian Q. Otrzymujemy wtedy: W (x) = P(x) Q(x) + R(x) gdzie wielomian P jest wynikiem dzielenia, a wielomain R jest reszt. Dodatkowo reszta R jest stopnia mniejszego ni» dzielna Q. Twierdzemnie Bezout. Wielomian W dzieli si przez wielomian (x a) wtedy i tylko wtedy gdy W (a) = 0.
Wielomian W (x) = (2 x)(2 + x)(4 + x 2 ) jest równy wielomianowi: (4 x 2 ) 2 + 8x 2 (4 + x 2 ) 2 2x 4 (4 x 2 ) 2 + 8x 2 + 2x 4 (4 x 2 ) 2 8x 2 2x 4
Wielomian W (x) = (2 x)(2 + x)(4 + x 2 ) jest równy wielomianowi: (4 x 2 ) 2 8x 2 2x 4
Ile pierwiastków b d cych liczbami nieujemnymi ma wielomian 1 2 x 3 8x = 0? 0 1 2 3
Ile pierwiastków b d cych liczbami nieujemnymi ma wielomian 1 2 x 3 8x = 0? 2
Ile pierwiastków równania x 3 = 1 2 x nale»y do przedziaªu 1 2, 1 2? 3 2 1 0
Ile pierwiastków równania x 3 = 1 2 x nale»y do przedziaªu 1 2, 1 2? 1
Wielomianem, który dla x > 3 2 2x 3 jest: 8x 3 27 8x 3 + 27 8x 3 12x 2 + 18x 27 8x 3 36x 2 + 54x 27 opisujeobj to± sze±cianu o kraw dzi
Wielomianem, który dla x > 3 2 2x 3 jest: opisujeobj to± sze±cianu o kraw dzi 8x 3 36x 2 + 54x 27
Rozwi» równanie: x 3 7x 2 4x + 28 = 0
Rozwi» równanie: x 3 7x 2 4x + 28 = 0 Odpowied¹: 2,-2,7
Reszta z dzielenia wielomianu W przez x 3 jest równa 14, a reszta z dzielenia W przez x + 2 wynosi 4. Oblicz reszt z dzielenia W przez x 2 x 6.
Reszta z dzielenia wielomianu W przez x 3 jest równa 14, a reszta z dzielenia W przez x + 2 wynosi 4. Oblicz reszt z dzielenia W przez x 2 x 6. Odpowied¹: 2x + 8
Wyznacz warto±ci parametru m R, dla których równaie (m + 1)x 4 (m + 1)x 2 + 4m = 0 ma cztery ró»ne pierwiastki.
Wyznacz warto±ci parametru m R, dla których równaie (m + 1)x 4 (m + 1)x 2 + 4m = 0 ma cztery ró»ne pierwiastki. Odpowied¹: m (0, 1 15 )
Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0
Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola
Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola Hiperbola posiada dwie asymptoty:
Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola Hiperbola posiada dwie asymptoty: pionow x = d c
Troch teorii Funkcj wymiern nazywamy funkcj f : R \ { d c } R dan wzorem: f (x) = ax + b cx + d gdzie ad bc 0 Wykresem funkcji wymiernej jest hiperbola Hiperbola posiada dwie asymptoty: pionow x = d c poziom y = a c
Je±li do wykresu funkcji f (x) = a x nale»y punkt ( 2, 9), to liczba 3 punktów o obu wspóªrz dnych caªkowitych, które nale» do wykresu tej funkcji, jest równa: 4 6 8 12
Je±li do wykresu funkcji f (x) = a x nale»y punkt ( 2, 9), to liczba 3 punktów o obu wspóªrz dnych caªkowitych, które nale» do wykresu tej funkcji, jest równa: 8
Liczba 2 jest pierwiastkiem równania: x 5 = x+1 x 4 x x+1 x = x+3 x+1 x x 1 = x 2x 1 x+2 2x+1 = 2 x+1
Liczba 2 jest pierwiastkiem równania: x 5 = x+1 x 4 x
Mianownik uªamka jest o 3 wi kszy od jego licznika. Gdyby licznik i mianownik tego uªamka zmniejszy o 2, to uªamek ten byªby równy 0,5. Suma licznika i mianownika tego uªamka jest równa: 13 11 9 7
Mianownik uªamka jest o 3 wi kszy od jego licznika. Gdyby licznik i mianownik tego uªamka zmniejszy o 2, to uªamek ten byªby równy 0,5. Suma licznika i mianownika tego uªamka jest równa: 13
Samochód przejechaª 8 km drog plon z pr dko±ci v, a nast pnie 32 km szos, z pr dko±ci v + 60 km/h. Oblicz v, je»eli ka»dy odcienk drogi przebyª w takim samym czasie.
Samochód przejechaª 8 km drog plon z pr dko±ci v, a nast pnie 32 km szos, z pr dko±ci v + 60 km/h. Oblicz v, je»eli ka»dy odcienk drogi przebyª w takim samym czasie. Odpowied¹: 20 km/h
W dwóch hotelach wybudowano prostok tne baseny. Besen w pierwszym hotelu ma powierzchni 240 m 2. Besen w drugim hotelu ma powierzchni 350 m 2 i jest o 5 m dªu»szy i o 2 m szerszy ni» basen w pierwszym hotelu. Oblicz wymiary obu basenów..
W dwóch hotelach wybudowano prostok tne baseny. Besen w pierwszym hotelu ma powierzchni 240 m 2. Besen w drugim hotelu ma powierzchni 350 m 2 i jest o 5 m dªu»szy i o 2 m szerszy ni» basen w pierwszym hotelu. Oblicz wymiary obu basenów.. Odpowied¹: 30 8 i 35 10, lub 20 12 i 25 14
Znajd¹ zbiór A B : A = {x R: x + 10 x < 3} B = {x R: x 3 + 10x 2 x 4 8x}