Zastosowanie metod identyfikacji w wybranych zagadnieniach przepływu biociepła

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechanii mgr inż. Mare Paruch Zastosowanie metod identyfiaci w wybranych zagadnieniach przepływu biociepła Rozprawa dotorsa Promotor: prof. dr hab. inż. Ewa Machrza Giwice 005

Spis treści SPIS TREŚCI Ce i zares pracy... 4 Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury... 7.. Równanie Pennesa... 7.. Anaiza wrażiwości... 8.3. Zadania odwrotne... 0.3.. Metody gradientowe...... Metody ewoucyne... 3..3. Metody hybrydowe... 0 3 Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności... 3.. Wstęp... 3.. Metoda eementów brzegowych... 3.3. MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności... 4 3.4. Mode numeryczny... 9 3.4.. Eementy stałe... 9 3.4.. Eementy iniowe zadanie D... 30 3.5. MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności zadanie dodatowe... 33 3.6. Mode numeryczny zadanie dodatowe... 37 3.6.. Eementy stałe... 37 3.7. Obszary nieednorodne... 38 4 Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem... 4 4.. Wstęp... 4 4.. Opis matematyczny... 4 4.3. Anaiza wrażiwości... 44 4.4. Wynii obiczeń zadanie D... 48 4.5. Wynii obiczeń zadanie 3D... 5 4.6. Anaiza wrażiwości ształtu zadanie D... 57

Spis treści 5 Identyfiaca parametrów termicznych oraz położenia i wieości podobszaru nowotworowego... 63 5.. Wstęp... 63 5.. Identyfiaca parametrów termicznych... 64 5... Agorytm gradientowy... 65 5... Agorytm ewoucyny... 66 5..3. Wynii obiczeń... 67 5.3. Identyfiaca położenia i wieości nowotworu... 78 5.4. Równoczesna identyfiaca parametrów termicznych i geometrycznych nowotworu... 84 6 Uwagi i wniosi ońcowe... 87 Literatura... 88 Streszczenie... 95 Summary... 96 3

. Ce i zares pracy ROZDZIAŁ Ce i zares pracy Pracę dotorsą pt. Zastosowanie metod identyfiaci w wybranych zagadnieniach przepływu biociepła wyonano w Katedrze Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechanii w Poitechnice Śąsie w atach 00-005 pod ieruniem prof. dr hab. inż. Ewy Machrza w ramach grantu promotorsiego nr 4 T07A 0066. Zagadnienia związane z modeowaniem procesów ciepnych można podzieić na dwie grupy. Pierwsza z nich dotyczy tzw. zadań bezpośrednich, w tórych znane są zarówno równania i waruni brzegowo-początowe (ub brzegowe) opisuące anaizowany proces a i wartości parametrów, tóre w tym modeu występuą. Zadania, w tórych opis matematyczny est nieompetny, np. bra est pełne informaci o warunach brzegowych (warunu początowym) ub też nieznane są wartości iczbowe pewnych parametrów, nazywane są zadaniami odwrotnymi (zadaniami inwersynymi). Zadania odwrotne naeżą do tzw. probemów źe uwarunowanych i nieednoznacznych, co powodue, że metody ich rozwiązywania są znacznie trudniesze niż w przypadu zadań bezpośrednich, a uzysanie efetywnych rozwiązań est możiwe pod waruniem, że dysponuemy dodatowymi informacami związanymi z przebiegiem modeowanego procesu, np. znamy wartości temperatury w wybranych puntach wewnętrznych obszaru. Niniesza praca dotorsa dotyczy wybranych zadań odwrotnych występuących w probemach przepływu biociepła, a w szczegóności tzw. zadań parametrycznych, tóre poegaą na oszacowaniu wartości nietórych parametrów występuących w opisie matematycznym, zadań geometrycznych dotyczących identyfiaci położenia i ształtu podobszaru nowotworowego oraz tzw. zadań mieszanych związanych z równoczesną identyfiacą wartości parametrów termicznych i geometrycznych. Rozpatrywano zdrową tanę bioogiczną oraz tanę zaataowaną nowotworem. Na podstawie wartości temperatury na powierzchni tani sórne doonano identyfiaci parametrów termicznych podobszaru nowotworowego oraz położenia i wieości tego podobszaru. Do rozwiązania ta sformułowanego zadania zastosowano metody gradientowe, agorytmy ewoucyne i hybrydowe. Zadania bezpośrednie i dodatowe związane z anaizą wrażiwości rozwiązywano wyorzystuąc metodę eementów brzegowych z zastosowaniem 4

. Ce i zares pracy wieorotne zasady wzaemności. Rozważania teoretyczne ziustrowano icznymi przyładami obiczeń potwierdzaącymi poprawność i efetywność prezentowanych agorytmów. Programy omputerowe opracowane w ramach rozprawy dotorsie są programami autorsimi. Tezę pracy można sformułować następuąco: Na podstawie rozładu temperatury na powierzchni tani sórne można wniosować o obecności, parametrach termicznych i geometrycznych podobszaru nowotworowego. Efetywnym narzędziem rozwiązania ta sformułowanego zadania odwrotnego są agorytmy gradientowe, ewoucyne i hybrydowe połączone z metodą eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności. Praca słada się z sześciu rozdziałów, przy czym wynii badań własnych zamieszczono przede wszystim w rozdziałach czwartym i piątym. W rozdziae drugim doonano przegądu iteratury związanego z zadaniami odwrotnymi przepływu ciepła w organizmach żywych. Omówiono równanie Pennesa opisuące rozład temperatury w tance bioogiczne. Przedstawiono porótce metody anaizy wrażiwości w uęciu bezpośrednim i sprzężonym oraz przyłady zadań odwrotnych przepływu biociepła wraz z metodami ich rozwiązywania tzn. agorytmami gradientowymi i ewoucynymi. Rozdział trzeci zawiera opis metody eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności. Metodę tę adaptowano na przypade równania Pennesa, w tórym sładni źródłowy est zaeżny od temperatury. Poazano również sposób zastosowania tego wariantu MEB do rozwiązywania zadań dodatowych związanych z anaizą wrażiwości. Rozważania przeprowadzono zarówno da zadań płasich (D) a i przestrzennych (3D), da ednego oraz dwóch obszarów, na styu tórych przyęto warune brzegowy czwartego rodzau. W rozdziae czwartym (badania własne) wyznaczono rozłady temperatury w obszarze tani zdrowe oraz tani zmienione chorobowo. Przeprowadzono anaizę wrażiwości otrzymanych rozwiązań ze wzgędu na parametry termiczne i geometryczne podobszaru nowotworowego i sformułowano wniosi z przeprowadzonych badań. Naważnieszą część rozprawy dotorsie stanowi rozdział piąty. W rozdziae tym, na podstawie znaomości rozładu temperatury na powierzchni tani sórne doonano identyfiaci parametrów termicznych podobszaru nowotworowego (odwrotne zadanie parametryczne), identyfiaci położenia i wieości tego podobszaru (odwrotne zadanie geometryczne) oraz równoczesne identyfiaci położenia, wieości i parametrów 5

. Ce i zares pracy termicznych podobszaru nowotworowego (odwrotne zadanie mieszane). Ta sformułowane zagadnienia rozwiązywano stosuąc agorytmy gradientowe, ewoucyne i hybrydowe. Obiczenia przeprowadzono zarówno da doładnych a i zaburzonych pomiarów temperatury na powierzchni tani sórne. Doonano porównania efetywności i doładności zastosowanych agorytmów identyfiaci. Rozprawę zamya rozdział szósty, w tórym sformułowano uwagi i wniosi ońcowe, spis iteratury oraz streszczenia w ęzyu posim i angiesim. 6

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury ROZDZIAŁ Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury.. Równanie Pennesa Podstawowym równaniem opisuącym przepływ ciepła w obszarze tani bioogiczne est równanie Pennesa [44, 89, 99, 00, 0] (, ) T x t ct ( ) = λ ( T) T( xt, ) + Qperf ( xt, ) + Q t met (.) gdzie λ [W/mK] est współczynniiem przewodzenia tani, c [J/m 3 K] e ciepłem właściwym odniesionym do ednosti obętości (ioczynem ciepła właściwego i gęstości masy). Równanie to zawiera w sobie dwa sładnii źródłowe związane z perfuzą rwi Q perf i przemianami metaboicznymi Q met. Sładni perfuzyny oreśa następuąca zaeżność (, ) Qperf = GBcB TB T x t (.) gdzie G B [m 3 rwi/s/ m 3 tani] est współczynniiem perfuzi, c B obętościowym ciepłem właściwym rwi, T B temperaturą rwi. Sładni Q met tratue się z reguły ao wartość stałą, ae zaeżną od warunów, w aich w dane chwii znadue się organizm (odpoczyne, ei ub cięższy wysiłe fizyczny). Wartość Q met zmienia się w granicach 45-4500 [W/m 3 ]. Da stanu ustaonego równanie (.) przymue postać ( ) ( ) ( ) λ T T x + Q x Q perf + met = 0 (.3) Równanie Pennesa dobrze przybiża rzeczywiste waruni przepływu ciepła w tance zasiane dużą iczbą równomiernie rozłożonych włosowatych naczyń rwionośnych [97]. Jeżei rozpatruemy probem, w tórym naeży uwzgędnić oddziaływanie ciepne poedynczych dużych naczyń występuących z reguły parami (żyła tętnica), to równanie Pennesa uzupełnia się dodatowymi równaniami opisuącymi przepływ ciepła w naczyniach rwionośnych [0, 30, 3, 58, 59, 97, 0]. Równania te wyniaą z biansów energii da poedynczych naczyń i przypominaą w pewnym stopniu równania znane z teorii wymienniów ciepła. 7

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury Równanie Pennesa poddawano pewnym modyfiacom [97, 98], ae obecnie ego postać bazowa est powszechnie aceptowana, natomiast istotnym probemem est właściwy dobór współczynniów w tym równaniu, a w szczegóności G B i Q met da różnych typów tane zarówno zdrowych, a i chorych [4, 93]. W teorii przepływu biociepła rozważa się również probemy, w tórych tanę tratue się ao obszar nieednorodny (wieowarstwowy). Taie podeście zaprezentowano między innymi w [35, 49-56] gdzie w tance sórne wyróżniono nasóre, sórę właściwą i obszar podsórny (parametry tych podobszarów były oczywiście zróżnicowane). Mode matematyczny procesów ciepnych w obszarach nieednorodnych opisue uład równań Pennesa uzupełniony warunami ciągłości na granicach podobszarów oraz pozostałymi warunami brzegowymi (brzegowo-początowymi)... Anaiza wrażiwości Parametry termofizyczne występuące w równaniu Pennesa taie a współczynni przewodzenia ciepła, współczynni perfuzi czy też sładni związany z metaboizmem są trudne do oreśenia i cytowane w iteraturze wartości tych parametrów różnią się w sposób istotny (zaeżą one z całą pewnością od cech osobniczych taich a płeć, wie, a nawet wyonywany zawód). Sładni związany z metaboizmem est ponadto zaeżny od warunów, w aich znadue się organizm (spoczyne, ruch, zimno). Istotne różnice poawiaą się również w geometrii anaizowanych obszarów, np. grubości nasóra, sóry właściwe. W modeowaniu procesów przepływu biociepła ważnym probemem stae się więc oreśenie wpływu zmienności parametrów występuących w opisie matematycznym na otrzymywane wynii obiczeń. Można tuta wyorzystać metody anaizy wrażiwości [6,, 3, 4, 5, 35, 36, 39] zarówno w uęciu bezpośrednim a i sprzężonym. Prace [, 35, 36, 49-56, 77] dotyczą apiaci anaizy wrażiwości, a w szczegóności e wyorzystania do oceny wpływu zaburzeń parametrów wewnętrznych i zewnętrznych procesu na przebiegi pó temperatury w tance bioogiczne. Można więc badać suti zmian taich parametrów a ciepło właściwe tani, e współczynni przewodzenia, współczynni perfuzi, wydaność źródła metaboicznego itp. na rozłady temperatury w tance. Przedmiotem anaizy wrażiwości również może być wpływ zmian warunów brzegowych i początowych na przebieg procesu [36, 76]. Ja wspomniano wcześnie, parametryczną anaizę wrażiwości rozpatrue się bądź w uęciu bezpośrednim bądź w uęciu sprzężonym [, 3, 35, 39]. Podeście bezpośrednie sprowadza się do onstruci zadania dodatowego wyniaącego z różniczowania równań i warunów opisuących proces wzgędem wyróżnionego parametru. 8

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury Przyładowo, równanie Pennesa da stałych wartości c i λ oraz obszaru D est postaci (, ) T( x, t) T x t 0 < x < L: c = λ + G c T T ( x, t) + Q t x Równanie to uzupełnimy warunami ( ) x= 0: T x, t = T b T( x, t) x= L: q( x, t) = λ = 0 x t = 0: T x, t = T ( ) 0 B B B met (.4) (.5) gdzie T b est temperaturą brzegową, T 0 temperaturą początową tani. Z fizycznego puntu widzenia zadanie (.4), (.5) może dotyczyć symuaci procesu nagrzewania tani przez źródło zewnętrzne. Załóżmy, że będziemy badać wrażiwość tego procesu ze wzgędu na zmianę parametru Q met. Po zróżniczowaniu równań i warunów po tym parametrze otrzymuemy następuący mode wrażiwości oraz gdzie U = T / Qmet (, ) U( x, t) U x t 0 < x< L: c = λ G BcBU( x, t) + t x ( ) U( x, t) x= 0: U x, t = 0 ( ) (.6) x= L: λ x = 0 (.7) t = 0: U x, t = 0. W omawianym przypadu mode bazowy i mode wrażiwości nie są ze sobą sprzężone i można rozpatrywać e odrębnie. Sytuaca taa nie est typowa, z reguły obydwa modee są sprzężone i uzysanie rozwiązania zadania dodatowego wymaga znaomości rozwiązania zadania podstawowego. Gdyby np. rozważanym parametrem było ciepło właściwe c, to odpowiedni mode wrażiwości wzgędem tego parametru byłby postaci oraz (, ) (, ) ( ) B B t x t (, ) U x t U x t T x t 0 < x< L: c = λ G c U x, t c ( ) U( x, t) x= 0: U x, t = 0 x= L: λ x = 0 t = 0: U x, t = T ( ) 0 (.8) (.9) gdzie U = T / c. Ja widać, w równaniu (.8) poawia się dodatowy sładni źródłowy wyniaący z zadania podstawowego. 9

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury Do rozważań wprowadzimy następuący funconał F t δf q( 0, t) d δc = t (.0) 0 tóry oreśa iość ciepła doprowadzoną do tani przez powierzchnię ontatu z zewnętrznym źródłem w czasie t F. W metodzie bezpośrednie wariacę tego funconału wzgędem np. parametru c obicza się z zaeżności F t ( 0, ) (, ) F t δf q t U x t = dt = λ d δc c x t (.) 0 0 x= 0 W metodzie sprzężone definiue się edno zadanie brzegowo-początowe, tórego postać est zdeterminowana postacią funconału [, 3]. Nie wniaąc w szczegóły, da zadania podstawowego (.4), (.5) i funconału (.0) zadanie dodatowe definiue się następuąco (, τ ) W( x, τ) W x 0 < x < L: c = λ G, τ BcBW x τ x x = 0: W( 0, τ) = x = L: V( L, τ) = 0 τ = 0: W( x, 0) = 0 ( ) (.) F przy czym τ = t t, czyi tuta czas biegnie w drugą stronę. Naeży w tym miescu zwrócić uwagę na fat, że w podeściu sprzężonym bez wzgędu na iczbę rozpatrywanych parametrów definiuemy tyo edno zadanie dodatowe, tóre nie ma żadne interpretaci fizyczne. Rozwiązanie zadania bezpośredniego i dodatowego pozwaa na wyznaczenie wariaci funconału (.0) wzgędem ażdego z parametrów. Stosuąc odpowiednie wzory [, 3, 35] np. wrażiwość funconału (.0) wzgędem parametru c obicza się na podstawie zaeżności 0 0 (, ) F t L δf F T x t = W( x, t t) x t δc d d (.3) t.3. Zadania odwrotne Jeżei znane są wartości wszystich parametrów występuących w modeu matematycznym procesu przepływu biociepła i zadanie poega na wyznaczeniu rozładów temperatury w anaizowanym obszarze, to mówimy o tzw. zadaniu bezpośrednim (direct probem). Zadania, w tórych opis matematyczny est nieompetny, np. bra est pełne informaci o warunach brzegowych (warunu początowym) ub też nieznane są wartości iczbowe pewnych parametrów, nazywane są zadaniami odwrotnymi (inverse probems) [, 0

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury, 6, 7, 8, 40, 79, 87, 94]. Zadania odwrotne naeżą do tzw. probemów źe uwarunowanych i nieednoznacznych [3, 78, 95, 96] co powodue, że metody ich rozwiązywania są znacznie trudniesze niż w przypadu zadań bezpośrednich, a uzysanie efetywnych rozwiązań est możiwe pod waruniem, że dysponuemy dodatowymi informacami związanymi z przebiegiem modeowanego procesu, np. znamy wartości temperatury w wybranych puntach wewnętrznych obszaru. Liczba prac poświęconych zagadnieniom odwrotnym przepływu biociepła est stosunowo niewiea [7, 8, 9, 33, 4, 48, 55]. Dotyczą one między innymi identyfiaci parametrów termofizycznych tani sórne przy założeniu, że znany est rozład temperatury na e powierzchni ub odtwarzania brzegowego strumienia ciepła na powierzchni tani sórne, eżei znane są rzywe nagrzewania w puntach wewnętrznych tani. Zadania odwrotne rozwiązue się wyorzystuąc naczęście tzw. metody gradientowe [7, 9] oraz agorytmy ewoucyne [3, 8, 75, 9]. W niniesze pracy dotorsie stosowano obydwa podeścia..3.. Metody gradientowe Da przyładu, rozpatrywać będziemy równanie Pennesa (.4) opisuące rozład temperatury w tance sórne tratowane ao obszar ednowarstwowy (zadanie D), tórego parametry termofizyczne są średnimi wartościami parametrów nasóra, sóry właściwe i obszaru podsórnego. Założymy, że na powierzchni sóry działa strumień ciepła q b, czyi ( ) natomiast na wewnętrzne powierzchni x L q( x t) x = 0: q 0, t = qb (.4) = :, = 0. Temperatura początowa tani sórne est również znana ( ) 0 t = 0: T x, 0 = T (.5) Rozwiązanie ta sformułowanego zadania bezpośredniego pod waruniem, że znane są wartości wszystich parametrów termofizycznych, pozwaa między innymi wyznaczyć temperaturę na powierzchni sóry, a mianowicie f ( ) f T = T 0, t, f = 0,,,..., F (.6) d Załóżmy teraz, że na podstawie temperatury powierzchni sóry naeży odtworzyć stałą wartość sładnia metaboicznego Q met. W tym ceu wprowadzamy ryterium namnieszych wadratów (funcę ceu) F ( met ) ( ) f f S Q = T Td f = (.7)

w tórym. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury f T d oznacza znane wartości temperatury (por. wzór (.6)) na powierzchni sóry (np. otrzymane z pomiarów), natomiast T f wartości temperatury otrzymane z obiczeń da arbitranie założone wartości sładnia źródłowego Q met. Rozwiązanie ta sformułowanego zadania odwrotnego sprowadza się do znaezienia minimum funci S. W przypadu zastosowania agorytmu gradientowego, funcę S różniczuemy wzgędem nieznane wartości Q met, a następnie stosuemy warune onieczny istnienia estremum, czyi gdzie M f f f T ( T Td ) = 0 (.8) Q i= met Qmet = Qmet Q est arbitranie założoną wartością parametru Qmet, natomiast da > 0 0 met wyniać będzie z poprzedniego rou iteraci. Funcę T f = T(0, t f ) rozwiamy w szereg Tayora z doładnością do dwóch sładniów T T T Q Q f f f + = ( ) + ( met met Qmet Qmet = Qmet Q met ) (.9) gdzie f ( T ) oznacza wyznaczone z rozwiązania zadania bezpośredniego wartości temperatury przy założeniu, że Q = Q. met Wprowadzaąc (.9) do (.7), po prostych przeształceniach otrzymuemy gdzie met ( ) ( ) F f f f Td T U f = + met met F Q = Q +, =,,..., K (.0) f ( U ) f = f ( U ) f T = (.) Q met Qmet = Qmet Wyznaczenie współczynniów wrażiwości (.) wymaga zróżniczowania równań tworzących opis matematyczny zadania bezpośredniego wzgędem Q met. Różniczowanie równania (.4) wzgędem tego parametru prowadzi do zaeżności (.6), a różniczowanie warunów brzegowo-początowych dae ( ) (, ) U x t x = 0: λ = 0 x U( x, t) x= L: λ = 0 (.) x t = 0: U x, t = 0 Podsumowuąc, w ażdym rou iteraci naeży rozwiązać zadanie bezpośrednie i dodatowe związane z anaizą wrażiwości, a następnie na podstawie wzoru (.0)

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury wyznaczyć nową wartość Q met. Proces iteracyny prowadzi do osiągnięcia żądane doładności ub do zadane z góry iczby iteraci K. Nawet ta prosty, przedstawiony wyże przyład iteracyne metody gradientowe poszuiwania minimum uwidacznia ia charaterystycznych cech te grupy agorytmów [7, 9]. Po pierwsze, rozwiązanie uzysue się poprzez wyonanie ciągu roów (iteraci) wzdłuż odpowiednio wyznaczonych ierunów nazywanych ierunami poszuiwań. Kieruni te są tworzone na podstawie pochodne (gradientu) funci ceu, bądź drugie pochodne (hesanu), eśi uwzgędnić więszą iczbę sładniów rozwinięcia funci T w szereg Tayora (por. wzór (.9)). Po drugie, poszuiwanie minimum funci ceu rozpoczyna się od ednego puntu, tóry w pierwsze iteraci est puntem startowym 0 (w rozważanym przyładzie est to punt ). I po trzecie, punt startowy musi eżeć Q met w bisim położeniu optimum, w przeciwnym razie agorytm może być rozbieżny ub też może zbiegać się do innego rozwiązania (minimum oanego)..3.. Metody ewoucyne W chwii obecne do rozwiązywania zadań identyfiaci bardzo często wyorzystywane są metody ewoucyne, tóre naśaduą procesy zachodzące w świecie organizmów żywych [3, 8, 75]. Metody te poegaą na symuowaniu mechanizmów doboru naturanego oraz dziedziczenia (teoria ewouci) przez pooenia potomne pewnych cech wspónych po swoich rodzicach. Zgodnie z tą teorią nawięsze szanse na przeżycie maą te osobnii, tóre są naepie przystosowane do środowisa. Szybi rozwó metod opartych na podeściu ewoucynym doprowadził do powstania nowe dziedziny informatyi, znane obecnie ao obiczenia ewoucyne. W iteraturze [75] można spotać ia różnych metod ewoucynych, a np. agorytmy genetyczne, agorytmy ewoucyne, strategie ewoucyne, programowanie genetyczne i programowanie ewoucyne. Choć różne metody ewoucyne powstały niezaeżnie, obecnie różnice między poszczegónymi metodami wyraźnie się zacieraą. Metody te nazywa się więc ogónie techniami obiczeń ewoucynych, agorytmami ewoucynymi ub po prostu metodami ewoucynymi [9]. Aby podreśić podobieństwo wszystich metod czy agorytmów opartych na zasadach ewouci, używa się wspónego terminu programy ewoucyne [75]. Można powiedzieć, że metody ewoucyne charateryzuą się ioma cechami wspónymi. W ażde z metod w sposób osowy generowana est startowa popuaca osobniów, tóra podczas procesu ewouci, podega różnym operatorom ewoucynym, naczęście rzyżowaniu i mutaci oraz procesowi seeci. Każdy osobni w popuaci 3

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury oreśany est mianem chromosomu i złożony est z pewne iczby zmiennych proetowych (genów). Poedynczy chromosom w popuaci est reprezentantem ednego rozwiązania zadania. Krzyżowanie poega na dowonym wyborze par chromosomów z popuaci oraz tzw. puntu rzyżowania, w tórym doonue się wymiany materiału genetycznego (genów) pomiędzy wyosowanymi osobniami. Mutaca poega na dowonym wyborze chromosomów z całe popuaci oraz zmianie wartości poedynczego ub iu genów w tych chromosomach. W procesie seeci nawięsze szanse na przeżycie maą osobnii (chromosomy) naepie przystosowane. W wyniu modyfiaci popuaci osobniów oraz procesu seeci, w oenych roach działania agorytmów ewoucynych otrzymue się zwye coraz to epie przystosowane osobnii, czyi epsze rozwiązania rozważanego zadania. Różnice pomiędzy poszczegónymi metodami ewoucynymi dotyczą m.in. sposobu reprezentaci i odowania osobniów, sposobu przeprowadzania procesu seeci, oeności występowania seeci i operatorów genetycznych, parametrów agorytmu ewoucynego, tóre mogą być stałe ub zmienne w procesie ewouci, sposobu uwzgędniania ograniczeń w rozwiązywanych zadaniach identyfiaci itp. W asycznych agorytmach genetycznych, zwanych w iteraturze prostymi agorytmami genetycznymi, do reprezentaci osobniów w popuaci używa się odowania binarnego, natomiast ao operatory genetyczne stosue się proste rzyżowanie i prostą mutacę. Naczęście stosowanym typem seeci w agorytmach genetycznych est metoda rueti. W metodzie te prawdopodobieństwo znaezienia się w popuaci potomne danego osobnia est tym więsze, im epsza est wartość ego funci przystosowania, przy czym wartość te funci est wartością optymaizowane funci ceu. Programy ewoucyne ub agorytmy ewoucyne są uogónieniem asycznych agorytmów genetycznych. W agorytmach tych wyorzystue się zwye bardzie złożone strutury danych do reprezentaci popuaci osobniów. Nie mówi się tuta o odowaniu parametrów zadania, gdyż używana est zazwycza reprezentaca zmiennoprzecinowa ub całowitoiczbowa, w tóre zmienne proetowe przetwarzane są w bezpośredni sposób. Stosue się też nowe operatory genetyczne, tworzone np. na potrzeby rozwiązywanego zadania, tóre nazywa się operatorami ewoucynymi. Stosowanym typem seeci w agorytmach ewoucynych est wspomniana metoda rueti ub inne rodzae seeci, a np. seeca turnieowa. Agorytm ewoucyny to inacze program omputerowy, wyorzystuący pewną struturę danych do reprezentaci chromosomów w popuaci i przetwarzaący tę popuacę w ceu uzysania epszych rozwiązań w czasie procesu optymaizaci. W ażde iteraci taiego agorytmu przeprowadza się działania na popuaci osobniów 4

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury P= [ ch ch... chm ], gdzie ch i, da i =,,, m oznacza i-ty chromosom w popuaci P o iczebności osobniów m. Dowony chromosom ch i słada się z n genów gen i, da =,,, n, czyi ch [ gen gen gen ] =... in. Na wartości poszczegónych i i i genów gen i nałożone są done i górne ograniczenia gen gen gen. Schemat boowy D G i i i agorytmu ewoucynego przedstawiono na rys... Rys... Schemat boowy agorytmu ewoucynego W pierwszym etapie obiczeń tworzona est popuaca startowa chromosomów (zazwycza osowo), przy czym ażdy chromosom ch i reprezentue edno z możiwych rozwiązań probemu. Liczba osobniów w popuaci może być dowona, natomiast iczba genów w chromosomie est równa iczbie zmiennych proetowych. Następnym etapem est ocena wszystich chromosomów w popuaci, poprzez obiczenie wartości funci przystosowania da ażdego osobnia. Wartość te funci zwana est też przystosowaniem osobnia. W przypadu zadania identyfiaci, im więsze przystosowanie osobnia, tym ma on więsze szanse na przetrwanie w procesie seeci, w tórym eiminowane są zwye osobnii nasłabsze. W zadaniach identyfiaci etap obiczania funci przystosowania est etapem nadłuższym, gdyż da ażdego chromosomu w popuaci naeży rozwiązać edno zadanie bezpośrednie. Koeny etap, po obiczeniu wartości funci przystosowania da wszystich osobniów w popuaci, to sprawdzenie warunu zatrzymania obiczeń. Warune ten może mieć różną postać, w zaeżności od rozwiązywanego probemu. Zazwycza zatrzymanie agorytmu 5

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury następue po zadane z góry iczbie generaci, otrzymaniu satysfaconuącego wyniu ub, gdy ego dasze działanie nie poprawia wartości funci przystosowania. W przypadu, gdy warune zatrzymania obiczeń est spełniony, następue anaiza parametrów naepszego chromosomu z ostatnie popuaci, tórego geny zawieraą dane dotyczące np. ształtu, bądź parametrów termofizycznych. W wyniu działania operatorów ewoucynych, tóre modyfiuą poszczegóne chromosomy i ich geny, naepszy chromosom z ostatnie popuaci nie musi być naepszym osobniiem w całym procesie ewouci. W przypadu nie spełnienia warunu zatrzymania, oenym roiem est stworzenie nowe popuaci w wyniu seeci chromosomów i działania operatorów ewoucynych. Seeca poega na wybraniu do następnego pooenia chromosomów na podstawie obiczonych wartości funci przystosowania, przy czym nawięsze szanse na utworzenie nowego pooenia maą osobnii nasiniesze, gdyż prawdopodobieństwo ich wyboru est nawięsze. Operatory ewoucyne w postaci różnych odmian rzyżowań i mutaci modyfiuą nietóre chromosomy oraz poedyncze geny. O wyborze chromosomów do rzyżowania oraz genów do mutaci decyduą wartości prawdopodobieństw odpowiednio rzyżowania i mutaci. Po utworzeniu nowe popuaci następue ocena wszystich osobniów te popuaci i cały proces ewouci się powtarza, dopói nie zostanie spełniony warune zatrzymania obiczeń. Poniże przedstawiono i omówiono stosowane w pracy dotorsie operatory ewoucyne, a mianowicie: rzyżowanie proste, rzyżowanie arytmetyczne, mutaca równomierna, mutaca z rozładem Gaussa, onowanie. Krzyżowanie proste poega na osowe zmianie dowonie wybrane pary chromosomów (.3). W tym ceu osowany est punt rzyżowania z przedziału [, n-], gdzie n est iczbą genów, w tórym następue zamiana genów pomiędzy wybranymi rodzicami [ 5] [ ch = gen gen gen3 gen4 gen ch = gen gen gen gen gen ] 3 4 5 (.3) W wyniu rzyżowania prostego, da puntu rzyżowania a na rys.., chromosomy przymą postać [ 5] [ ch = gen gen gen3 gen4 gen ch = gen gen gen gen gen ] 3 4 5 (.4) 6

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury oraz Rys... Krzyżowanie proste Krzyżowanie arytmetyczne poega na utworzeniu dwóch osobniów potomnych ch ch (.5), tórych geny są iniową ombinacą wartości genów dwóch chromosomów rodziciesich (rys..3) ( ) ( ) ch = α ch + α ch ch = α ch + α ch (.5) gdzie ch oraz ch to osobnii rodziciesie, natomiast α est parametrem rzyżowania arytmetycznego, dobieranym w sposób osowy z przedziału (0, ). Operator ten ma charater esporacyny i umożiwia szeroie przeszuiwanie przestrzeni rozwiązań. Rys..3. Krzyżowanie arytmetyczne Mutaca równomierna poega na zmianie wartości ednego ub iu genów w chromosomie (rys..4). Każdy gen gen i w chromosomie ch i ma równe szanse na to, by uec procesowi mutaci, zgodnie z prawdopodobieństwem e wystąpienia. W ceu doonania mutaci da ażdego genu gen i osue się iczbę z przedziału (0, ) i eśi wyosowana iczba est mniesza ub równa prawdopodobieństwu mutaci, to wartość danego genu 7

zmieniana est na wartość osową D G ( geni geni geni ), czyi. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury gen i, spełniaącą ograniczenia nałożone na gen [ 5] [ ch = gen gen gen3 gen4 gen ch = gen gen gen gen gen (.6) ] 3 4 5 Rys..4. Mutaca równomierna Mutaca z rozładem Gaussa poega na zmianie wartości ednego ub iu genów w chromosomie, podobnie a w mutaci równomierne, z tym, że wartości genów zmieniane są z wyorzystaniem rozładu Gaussa. Konowanie poega na migraci naepszego osobnia z poprzednie popuaci, z oreśonym prawdopodobieństwem, do następne, bez onieczności uczestnictwa w procesie seeci. Operator onowania może powodować pewne niebezpieczeństwo, tóre wiąże się z tym, że program ewoucyny utnie w minimum oanym. Seeca turnieowa działa dwuetapowo, np. wyorzystuąc cieawy i efetowny pomysł uporządowania [75]. W metodzie te wybiera się pewną iczbę osobniów i seeconue naepszego z tego -eementowego zbioru do następnego pooenia na podstawie funci przystosowania ażdego z osobniów. Proces ten powtarza się n razy, aż do uzysania nowego pooenia, gdzie n est iczebnością popuaci. Duża wartość, tzw. rozmiar turnieu, zwięsza napór seecyny te metody. Przyładową seecę turnieową przedstawiono na rys..5, da = 4. Rys..5. Seeca turnieowa Dobór wszystich parametrów agorytmu ewoucynego, a iczba chromosomów w popuaci, prawdopodobieństwa rzyżowań i mutaci oraz innych współczynniów (np. 8

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury iczba osobniów w turnieu), spoczywa na użytowniu. Dobór optymanych wartości tych parametrów nie est łatwy i zaeży zazwycza od onretnego zadania oraz postaci optymaizowane funci przystosowania. Ideę agorytmu ewoucynego przedstawimy na przyładzie omówionym w poprzednim podrozdziae. Funcę przystosowania można zdefiniować ta samo, a w agorytmie gradientowym, czyi wzorem (.7). Genem będzie tuta sładni źródłowy Q met spełniaący ograniczenia Q Q Q. Ponieważ mamy tyo edną niewiadomą do odtworzenia, D G met met met więc w tym przypadu ażdy chromosom ch i będzie sładał się tyo z ednego genu, czyi chi = [ gen i ], przy czym geni = Q meti. Popuacę startową chromosomów można utworzyć osowo, czyi wyosować np. 00 różnych wartości parametru Q meti, i =,,,00 (spełniaących narzucone ograniczenia), co oznacza, że założymy iczbę osobniów w popuaci równą 00. Da ażde wartości Q meti naeży rozwiązać zadanie bezpośrednie i wyznaczyć wartość funci przystosowania (.7), innymi słowy ocenić przystosowanie osobnia Q meti. Naepszym osobniiem w popuaci startowe est ten, da tórego wartość funci (.7) est namniesza. Następną popuacę chromosomów tworzymy stosuąc seecę oraz operatory ewoucyne. Oczywiście w rozważanym zadaniu, gdy chromosom słada się tyo z ednego genu rzyżowanie proste nie znadue zastosowania. Załóżmy, że wprowadzimy mutacę równomierną z prawdopodobieństwem 0.. Da ażdego genu (chromosomu) osuemy iczbę z przedziału (0, ). Jeżei wyosowana iczba est mniesza ub równa 0., wówczas zmieniamy wartość genu Q meti na nowo wyosowaną wartość spełniaącą zadane ograniczenia. Jeśi wprowadzimy operator onowania, to po wyosowaniu iczby z przedziału (0, ), przy założeniu, że prawdopodobieństwo onowania wynosi 0.3, naepszy osobni (o namniesze wartości funci przystosowania) zostanie wprowadzony do nowe popuaci pod waruniem, że wartość wyosowane iczby est mniesza ub równa 0.3. Q meti Do stworzenia nowe popuaci możemy zastosować np. seecę turnieową. Wybieramy w sposób osowy 4 osobniów, a następnie na podstawie wartości funci przystosowania ażdego z nich seeconuemy naepszego osobnia do następnego pooenia. W rozważanym zadaniu proces ten naeży powtórzyć 00 razy po to, aby w oenym pooeniu zachować iczebność popuaci. Opisany proces iteracyny powtarzamy da nowe popuaci, tworząc w ten sposób oeną. Jeśi spełniony zostanie warune zatrzymania obiczeń, naepszy chromosom ońcowe popuaci (Q met ) stanowi rozwiązanie omawianego zadania odwrotnego. W przypadu, gdy waruniem zatrzymania obiczeń est z góry założona iczba pooeń, wówczas naepszy chromosom nie musi naeżeć do ostatnie popuaci. 9

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury Niewątpiwą zaetą agorytmów ewoucynych est równoczesne przeszuiwanie całe dziedziny rozwiązań oraz duże prawdopodobieństwo osiągnięcia minimum gobanego. Wadą natomiast długi czas obiczeń związany między innymi z wieorotnym rozwiązywaniem zadania bezpośredniego. Ponadto, zastosowanie metod ewoucynych w wieu zadaniach (zwłaszcza 3D) est znacznie prostsze niż wyorzystanie metod gradientowych..3.3. Metody hybrydowe Opisane powyże metody identyfiaci posiadaą pewne ograniczenia i wady, tóre mogą się nasiać zwłaszcza wraz ze wzrostem poziomu trudności zadania. Metody bazuące na znaomości gradientu mogą zmierzać do optimów oanych, trudniesze może oazać się taże wyznaczenie gradientu. Metody identyfiaci ewoucyne oazuą się natomiast bardzo czasochłonne [69, 70, 7, 7, 73]. Aternatywą mogą być metody hybrydowe rozumiane ao agorytmy stanowiące różnego rodzau połączenia między powyższymi metodami. Ceem połączenia obydwu agorytmów było stworzenie metody, tóra łączyłaby zaety obydwu agorytmów. Powinna ona zapewnić gobany charater poszuiwań, co cechue metody ewoucyne, oraz powinna dość szybo i precyzynie dążyć do optimum, co ma miesce w metodach gradientowych. W niniesze pracy dotorsie zastosowano tzw. mode strategii dwufazowe [86] rys..6 Rys..6. Mode strategii dwufazowe Mode strategii dwufazowe est naprostszym przypadiem metod hybrydowych. Agorytm ewoucyny stanowiący etap pierwszy ma za zadanie wygenerować mocny punt w pobiżu optimum gobanego, następnie agorytm gradientowy, stanowiący etap drugi, w oenych roach szybo prowadzi do doładnego rozwiązania. Jeżei agorytm 0

. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegąd iteratury ewoucyny est odporny na wpadanie w minima oane, to est w stanie wygenerować punt w pobiżu optimum gobanego. Agorytm gradientowy wyorzystue swą zaetę szybiego dościa do optimum. Probemom zastosowania agorytmów gradientowych, ewoucynych oraz metod hybrydowych do identyfiaci parametrów termicznych i geometrycznych podobszaru nowotworowego tani poświęcono rozdział 5 pracy dotorsie.

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności ROZDZIAŁ 3 Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności 3.. Wstęp Metoda eementów brzegowych, obo metody eementów sończonych i metody różnic sończonych, est coraz powszechnie stosowaną metodą rozwiązywania zadań brzegowych i brzegowo-początowych [4, 5, 9, 0,,, 4, 5, 34, 45, 57]. Do naważnieszych e zaet naeży przede wszystim duża doładność aprosymaci warunów brzegowych, możiwość doładnego odtworzenia rzeczywiste geometrii obszaru oraz stosunowo niewiea iczba niewiadomych w tzw. uładzie rozwiązuącym (ońcowym uładzie równań), tóre są związane edynie z brzegiem obszaru. W wieu zagadnieniach, np. przy wyznaczaniu bezźródłowych pó temperatury, dysretyzaci podega edynie brzeg rozpatrywanego obszaru i datego często mówi się o te metodzie, że zmniesza wymiar zagadnienia o. Istniee edna duża grupa probemów brzegowych i brzegowopoczątowych, rozwiązanie tórych za pomocą asycznego agorytmu MEB wiąże się z oniecznością dysretyzaci zarówno brzegu a i wnętrza obszaru. Aby ocaić nacennieszą zaetę MEB, czyi ograniczyć się edynie do dysretyzaci brzegu, rozwiane są taie e warianty tóre, ogónie rzecz biorąc, całę po obszarze sprowadzaą do całi brzegowe [3, 43, 80, 8, 8, 83, 84, 85]. Jedną z taich odmian est MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności, tóra zostanie omówiona w ninieszym rozdziae. 3.. Metoda eementów brzegowych Agorytm metody eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności przedstawimy da następuącego równania ( ) ( ) x T x T x Q Ω: λ + = 0 (3.) gdzie λ [W/mK] est współczynniiem przewodzenia ciepła, T oznacza temperaturę, [W/m 3 K] est stałym współczynniiem, a Q [W/m 3 ] stałym sładniiem źródłowym,

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności x = (x, x ) da zadania płasiego, x = (x, x, x 3 ) da zadania przestrzennego, natomiast m T x = ( ) e= ( ) T x (3.) x gdzie m est wymiarem zagadnienia. Z matematycznego puntu widzenia, równanie (3.) est równaniem Poissona, w tórym sładni źródłowy zaeży od temperatury. Porównuąc równanie (3.) z równaniem Pennesa (wzór (.)) można zauważyć, że = GbcB, natomiast Q= TB + Qmet. Ta więc, równanie Pennesa est szczegónym przypadiem równania Poissona. Równanie (3.) uzupełniaą następuące waruni brzegowe [36, 37] x : T( x) = Tb T( x) x : q( x) = λ = qb n T( x) x : q( x) = λ = α T( x) T n 3 e (3.3) gdzie = 3 est brzegiem rozpatrywanego obszaru Ω, T b znaną temperaturą na fragmencie brzegu, qb znanym strumieniem ciepła na fragmencie brzegu, α [W/m K] współczynniiem wymiany ciepła, T temperaturą otoczenia, T / n pochodną w ierunu normanym do brzegu m ( ) T( x) T x n = cosαe (3.4) x e= przy czym cosα e są cosinusami ierunowymi wersora normanego do brzegu, zorientowa- nego na zewnątrz obszaru. W asycznym wariancie metody eementów brzegowych [, 4, 5, 45] równanie całowe będące odpowiedniiem równania (3.) est następuące ( ) ( ) ( ) ( ) B ξ T ξ + q x T ξ, x d= ( ) ( ) ( ) ( ) T x q ξ, x d + T x + Q T ξ, x dω Ω e (3.5) gdzie ξ est puntem obserwaci (puntem, w tórym przyłożono supione źródło ciepła), da ξ : B( ξ) ( 0,) est współczynniiem zaeżnym od ształtu brzegu w pobiżu puntu ξ, da ξ Ω : B( ξ) =, z oei ( ξ, ) T x est rozwiązaniem fundamentanym (podstawowym), natomiast ( ) ξ, q ( ξ, x) = λ T x n 3 (3.6)

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności Znaomość rozwiązania fundamentanego est niezbędna przy onstruci agorytmu MEB i da omawianego zadania funca T (, x) gdzie δξ, ( x ) est funcą deta Diraca. ξ musi być rozwiązaniem równania ( ) ( ) λ ξ, δξ, Postuat ten spełnia następuąca funca [0, 3, 4, 44] T x = x (3.7) T ( ξ, x) n, πλ r zadanie D, 4πλr zadanie 3D = (3.8) gdzie r est odegłością między puntem obserwaci ξ a rozpatrywanym puntem x Strumień ciepła q ( ξ, x) można obiczyć anaitycznie gdzie m ( ) e e (3.9) r = x ξ e= (por. wzór (3.6)) wyniaący z rozwiązania fundamentanego q ( ξ, x) d πr = d 4πr m e= 3 ( x ξ ) d = e, zadanie D, zadanie 3D e cosα e (3.0) (3.) Ja można zauważyć, w brzegowym równaniu całowym (3.5) występue cała związana z wnętrzem obszaru co oznacza, że da źródłowych pó temperatury, na etapie obiczeń numerycznych naeży dysretyzować zarówno brzeg a i wnętrze Ω. 3.3. MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności W metodzie eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności występuącą po prawe stronie równania (3.5) całę po wnętrzu obszaru zastępue się sumą całe po ego brzegu [80, 8, 8, 83, 84, 85]. Sposób postępowania est następuący [6, 46, 47]. Oznaczymy przez I całę po rozpatrywanym obszarze Ω ( ) ( ) I = Q x T ξ, x dω (3.) Ω 4

i zapiszemy ą ao 3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności czyi załadamy znaomość funci V ( ) ( ) ( ) I = Q T x V ξ, x (3.3) Ω ξ, x taie, że ( ξ, ) ( ξ, ) T x = V x (3.4) Stosuąc drugą formułę Greena [45, 90] otrzymuemy ub Po wprowadzeniu zaeżności oraz wyznaczeniu z równania (3.) mamy czyi ( ξ, x) ( ) ( ) I = Q T x V ξ, x dω+ Ω V Q T( x) V ( ξ, x) Q T( x) d n n ( ) ( ) I = T x V ξ, x dω+ Ω ( ξ, ) ( ) V x T x Q T( x) V ( ξ, x) d n n λ ( ) ( ξ, ) T x V x q( x) = λ, Z ( ξ, x) = λ n n ( ) ( ) (3.5) (3.6) (3.7) T x = T x Q (3.8) λ λ I = Q T( x) V ( ξ, x) dω+ λ Ω ( ) ( ) ( ) ( ) T x Q Z ξ, x V ξ, x q x d I = Q T( x) V ( ξ, x) dω+ λ Ω Q Z ( ξ, x) T( x) d Z ( ξ, x) d V ( ξ, x) q( x) d λ λ λ (3.9) (3.0) W podobny sposób przeształcamy pierwszą z całe występuącą po prawe stronie zaeżności (3.0). Ta więc gdzie I = Q T ( x) V ( ξ, x) dω= Q T ( x) V ( ξ, x) dω (3.) λ λ Ω Ω ( ξ, ) ( ξ, ) V x = V x (3.) 5

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności Z drugie formuły Greena otrzymuemy λ czyi I = Q T x V ξ, x dω+ ( ξ, x) ( ) ( ) λ Ω V Q T( x) V ( ξ, x) Q T( x) d n n (3.3) przy czym I = T x V ξ, x dω+ λ Ω ( ) ( ) Z ( ξ, x) T( x) d Q Z ( ξ, x) d V ( ξ, x) q( x) d λ λ λ Wprowadzaąc wzór (3.4) do (3.0) mamy Ω Z ( ξ, ) ( ) ξ, x = λ V x n Q I = Q T( x) V ( ξ, x) dω Z ( ξ, x) d λ λ Q Z( ξ, x) d+ Z( ξ, xt ) ( x) d+ Z( ξ, xt ) ( x) d λ λ λ λ V ξ, x q x d V ξ, x q x d λ ( ) ( ) ( ) ( ) (3.4) (3.5) (3.6) Podobnie a poprzednio, naeży przeształcić pierwszą całę po prawe stronie zaeżności (3.6). Postępuąc w ten sposób niesończenie wiee razy uzysue się Q I = Z ( ξ, x) d+ λ λ = = λ = λ ( ) ( ) ( ) ( ) Z ξ, x T x d V ξ, x q x d Po wyorzystaniu wzoru (3.7), równanie (3.5) przymue postać B( ξ) T( ξ) + q( x) T ( ξ, x) d+ q( x) V ( ξ, x) d = λ = T( x) q ( ξ, x) d+ T( x) Z ( ξ, x) d = λ Q λ λ = ub po wprowadzeniu dodatowych oznaczeń Z ( x) ξ, d (3.7) (3.8) 6

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności gdzie oraz Funce V ( ) natomiast ξ, B( ξ) T( ξ) + q( x) V ( ξ, x) d= λ = 0 = 0 = Q T( x) Z ( ξ, x) d Z ( ξ, x) d λ λ λ ( ) ( ) 0 ξ, ξ, (3.9) V x = T x (3.30) ( ξ, ) ( ) ( ) 0 0 ξ, = ξ, = λ V x Z x q x x są rozwiązaniami następuących równań ( ξ, ) ( ξ, ) ( ) ( ) V x = T x + n V ξ, x = V ξ, x, =,,... ( x) V ξ, ( ) Z ξ, x = λ, =,,... n (3.3) (3.3) (3.33) Oczywiście, otrzymanie efetywnego agorytmu est możiwe edynie pod waruniem, że znana est postać rozwiązań V ( ξ, x ). gdzie W przypadu zadań D są to funce [6, 80, 8, 8] V ( ξ, x) = r An + B, = 0,,,... πλ r A A0 =, A =, 4 =,,3,... A B0 = 0, B = B, 4 + =,,3,... (3.34) (3.35) Odpowiednii strumieni ciepła da tych rozwiązań wyznacza się anaitycznie i są one równe gdzie d Z ( ξ, x) = r A An + B π r W zadaniach przestrzennych wyorzystuemy zaeżność [6, 84] (3.36) V ( ξ, x) = r C, =0,,,... (3.37) 4πλ C0 =, C =, C = 4 C = C, = 3,4,5,... ( )( 3) 7 (3.38)

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności oraz d 3 Z ( ξ, x) = ( ) r C, = 0,,,... (3.39) 4π Dodatowym probemem związanym z wyorzystaniem równania (3.8) est zbieżność występuących w nim szeregów oraz oszacowanie popełnianych błędów przy zastąpieniu ich sumami sończonymi, co est niezbędne w reaizaci omputerowe metody. Stosuąc ryterium d Aamberta zbieżności szeregów otrzymuemy oraz + V λ V λ + ( ξ, x) ( ξ, x) < (3.40) + Z λ Z λ + czyi da zadania 3D (por. wzory (3.37), (3.39)): ( ξ, x) ( ξ, x) < (3.4) sąd r λ C C + < ( + ) ( ) C r + λ C r < < ( ) C ( + ) λ C + (3.4) (3.43) Ja łatwo sprawdzić, da = sładni po prawe stronie est namnieszy, więc λ r < (3.44) Warune zbieżności (3.44) ogranicza wymiary obszaru, da tórego można stosować ten wariant metody eementów brzegowych. W przypadu za dużych obszarów zaeca się podział rozpatrywanego obszaru Ω na podobszary [8]. Da zadań D (por. wzory (3.34), (3.36)) ryterium d Aamberta prowadzi do zaeżności A n r B r + + + < λ An r+ B A ( + )( A nr+ B ) r λ A ( A nr+ B ) + + + < (3.45) 8

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności czyi A B n r A + + + r < A B n r A λ B + + ( + ) nr A A + + r A B + nr A λ < (3.46) 3.4. Mode numeryczny Jeżei szeregi występuące w zaeżności (3.9) są zbieżne, to równanie (3.9) można zapisać w postaci B( ξ) T( ξ) + q( x) V ( ξ, x) d= = 0 λ = 0 = Q T( x) Z ( ξ, x) d Z ( ξ, x) d λ λ λ (3.47) Innymi słowy, zamiast sumy całe brzegowych wygodnie est rozpatrywać całi z sum odpowiednich szeregów. W ceu rozwiązania równania całowego (3.47) brzeg obszaru dzieimy na N eementów brzegowych po tych eementach. Ta więc i całi występuące w zaeżności (3.47) zastępuemy sumą całe N i i i B( ξ ) T( ξ ) + q( x) V ( ξ, x) d λ = = 0 N N i i T( x) Z ( x) Z ( x) = = 0 = = Q ξ, d ξ, d λ λ λ = (3.48) 3.4.. Eementy stałe Da stałych eementów brzegowych załadamy, że x : ( ) ( ) ( ) ( ) T x = T x = T q x = q x = q (3.49) gdzie x est puntem centranym eementu brzegowego. Równania (3.48) da i =,,,N przymuą wówczas postać 9

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności N i i ( ξ, ) d = = 0 T + q V x = λ Q ξ, d ξ, d N N i i T Z ( x) Z ( x) = 0 λ λ λ = = = (3.50) Wprowadzamy następuące oznaczenia oraz natomiast G i i = V ( ξ, x) d = 0 λ (3.5) ˆ i i = Z ( ξ, x) d = 0 λ H (3.5) N i Z ( ξ, x) d (3.53) = = λ Q Zi = λ Uład równań (3.50) można zapisać ao ub gdzie N N T + G q = Hˆ T i i i + Z i (3.54) = = N N Gq = HT + Z (3.55) i i i = = H i Hˆ i, i = ˆ Hi, i = Często stosue się również postać macierzową tego uładu, a mianowicie (3.56) Gq = HT + Z (3.57) Uwzgędniaąc zadane waruni brzegowe uład ten sprowadzamy do postaci ego rozwiązaniu temperatury w węzłach wewnętrznych obiczamy z zaeżności T = H T G q AY = F, a po N N i i i + Z i (3.58) = = 3.4.. Eementy iniowe zadanie D Da brzegowych eementów iniowych (zarówno w sensie aprosymaci funci na eemencie, a i ształtu eementu będącego odciniem) załada się iniową zaeżność temperatury i strumienia ciepła w obrębie eementu, czyi [, 45] 30

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności x : p ( η) p ( ) ( ) p ( η) = p ( ) + ( ) T = N T x + N T x q N q x N q x (3.59) gdzie: przy czym N p η + η =, N = (3.60) η [, ], natomiast x p, x są współrzędnymi początu i ońca iniowego eementu rys. 3.. Rys. 3.. Liniowy eement brzegowy Całi występuące w zaeżności (3.48) przymą wówczas postać i ( ) ( ξ, ) d ˆ p p ( ) ˆ T x Z x = HiT x + HiT( x ) = 0 λ (3.6) oraz i p p q( x) V ( ξ, x) d = Gi T( x ) + GiT( x ) = 0 λ (3.6) i i p Z ( ξ, x) d = Hi + H (3.63) λ i = gdzie Hˆ N Z ξ, ξ, N x N x, N x + N x dη (3.64) p i i p p i = p p p + = 0 λ ( ) oraz Hˆ N Z ξ, ξ, N x N x, N x + N x dη (3.65) i i p p i = p p + = 0 λ ( ) G N V ξ, ξ, N x N x, N x + N x dη (3.66) p i i p p i = p p p + = 0 λ ( ) 3

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności i G N V ξ, ξ, N x N x, N x + N x dη (3.67) i i p p i = p p + = 0 λ ( ) H N Z ξ, ξ, N x N x, N x + N x dη (3.68) p i i p p i = p p p + = λ ( ) H N Z ξ, ξ, N x N x, N x + N x dη (3.69) i i p p i = p p + = λ ( ) Wyorzystano tuta równanie parametryczne odcina inii proste η p + η x = x + x x= ( x, x) : (3.70) η p + η x = x + x przy czym (a łatwo sprawdzić) dx dx d = + dη= + dη= dη dη dη (3.7) gdzie est długością eementu brzegowego. Koenym etapem agorytmu est utworzenie uładu rozwiązuącego, w tórym niewiadome związane są z węzłami brzegowymi. Naeży w tym miescu podreśić, że w węzłach brzegowych obszaru (np. narożach), w tórych występue zmiana warunu brzegowego wprowadza się tzw. węzły podwóne, przy czym eden z nich tratue się ao oniec eementu, natomiast drugi począte eementu + (rys. 3.). Rys. 3.. Węzeł poedynczy i podwóny eementy iniowe Przymuąc numeracę węzłów brzegowych r=,,,r, uład równań (3.48) zapisue się następuąco przy czym da węzłów poedynczych R R R ˆ Q B T + G q = H T H, i=,,..., R (3.7) i i ir r ir r ir r= r= λ r= G = G + G p ir i, i, + Hˆ = Hˆ + Hˆ p ir i, i, + H = H + H p ir i, i, + (3.73) 3

oraz da węzłów podwónych 3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności G = G, G = G Hˆ = Hˆ, Hˆ = Hˆ p ir i, i, r+ i, + p ir i, i, r+ i, + p ir= i,, i, r+ = i, + H H H H (3.74) Wzory (3.73) i (3.74) poazuą więc sposób zszywania eementów brzegowych i + w węźe r. Naeży przy tym podreśić, że węźe brzegowym r= zszywamy eement z eementem N. Uład równań (3.7) można również przedstawić w postaci gdzie przy czym [45] R R Gq = HT+ Z, i=,,..., R ir r ir r i r= r= H ir Hir, i r = Hir Bi, i = r (3.75) (3.76) oraz R Hii = Hir, i=,,... R (3.77) r= r i R Q Zi = H ir (3.78) λ Po rozwiązaniu uładu (3.75) znane są wartości temperatur i strumieni ciepła we wszystich węzłach brzegowych. Temperatury w dowonych puntach ξ i naeżących do wnętrza obszaru wyznacza się na podstawie równania r= R R i ir r ir r + Z i (3.79) r= r= T = H T G q W powyższym wzorze dasze nad iterą H został opuszczony zgodnie z (3.76), ponieważ da węzłów wewnętrznych i r. 3.5. MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności zadanie dodatowe W daszych rozdziałach niniesze pracy dotorsie oprócz probemu podstawowego opisanego równaniem (3.) z warunami (3.3) rozwiązano również zadania dodatowe związane z anaizą wrażiwości. Ogónie rzecz biorąc, zadanie dodatowe można przedstawić w postaci następuącego równania [6, 46, 47] 33

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności ( ) ( ) ( ) x Ω: λ U x U x + wt x + b = 0 (3.80) gdzie U est funcą wrażiwości, T temperaturą oraz w i b są stałymi. Równanie (3.80) uzupełnia się odpowiednimi warunami brzegowymi. Zastosowanie asycznego podeścia MEB opisanego w podrozdziae 3. prowadzi do następuącego równania (por. wzór (3.5)) ( ) ( ξ ) ( ) ( ) B ξ U + W x T ξ, x d= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U x q ξ, x d + U x + wt x + b T ξ, x dω Ω (3.8) z rozwiązaniem podstawowym T ( ξ, x) zdefiniowanym zaeżnością (3.8), funcą q ( ξ, x ) oreśoną wzorem (3.0) oraz funcą ( ) ( ) W x = λ U x / n. Zamiemy się całą po obszarze Ω, obszarze mianowicie Ponieważ znana est funca V ( ) Wyorzystuemy drugą formułę Greena czyi ( ) ( ) ( ) I = U x + wt x + b T ξ, x dω (3.8) Ω ξ, x spełniaąca zaeżność (3.4), więc ( ) ( ) ( ) I = U x + wt x + b V ξ, x dω (3.83) Ω ( ) ( ) ( ) I = U x + wt x + b V ξ, x dω+ Ω ( ξ, x) V U ( x) + wt ( x) + b V ( ξ, x) U ( x) + wt ( x) + b d n n ( ) ( ) ( ) I = U x + w T x V ξ, x dω+ Ω ( ξ, ) ( ) ( ) V x U x T x U ( x) + wt ( x) + b V ( ξ, x) + w d n n n Wprowadzamy zaeżności (3.7), (3.8) oraz z równania (3.80) wyznaczamy i wówczas ub λ λ w λ ( ) ( ) ( ) b λ (3.84) (3.85) U x = U x T x (3.86) w w I = U( x) + T( x) + b Q V ( ξ, x) dω λ λ λ λ Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U x wt x b Z ξ, x V ξ, x W x wq x d (3.87) 34

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności w w I = U( x) + T( x) + b Q V ( ξ, x) dω+ Ω λ λ λ λ w U( x) Z ( ξ, x) d T( x) Z ( ξ, x) d b Z ( ξ, x) d λ λ λ (3.88) λ w V ξ, x W x d+ V ξ, x q x d ( ) ( ) ( ) ( ) λ W podobny sposób przeształcamy pierwszą z całe występuącą po prawe stronie zaeżności (3.88), czyi w w I = U( x) + T( x) + b Q V ( ξ, x) dω λ λ λ λ Ω (3.89) Ponieważ znamy funcę V ( ) ξ, x spełniaącą równanie (3.), więc w w I = U( x) + T( x) + b Q V ( ξ, x) dω (3.90) λ λ λ λ Ω i z drugie formuły Greena otrzymuemy w I = U( x) + T( x) V ( ξ, x) dω+ λ λ Ω ( x) ( ) w T( x) ( ξ, x) w w V U( x) T( x) b Q λ + λ + λ d (3.9) λ n V U x ξ, + d λ n λ n a po wyorzystaniu wzorów (3.8), (3.86), (3.5) mamy 3 w w I = U ( x) + 3 T ( x) + b Q V ( ξ, x) dω+ Ω λ λ λ λ w λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U x Z ξ, x d T x Z ξ, x d b Z ξ, x d+ (3.9) w w Q Z ( ξ, x) d V ( ξ, x) W( x) d+ V ( ξ, x) q( x) d λ λ λ Podobnie a poprzednio, naeży przeształcić pierwszą całę po prawe stronie zaeżności (3.9), czyi 3 w w I = U ( x) + 3 T ( x) + b Q V 3 ( ξ, x) dω= λ λ λ λ Ω Ω 3 w U ( x) + 3 T ( x) V3 ( ξ, x) dω+ λ λ ( ) w T( x) 3 3 ( x) ( ξ, x) 3 w w V3 U ( x) + 3 T ( x) + b Q d λ λ λ λ n V U x ξ, + 3 d λ n λ n (3.93) 35

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności ub po zastosowaniu wzorów (3.8), (3.86) i (3.33) da = 3: 4 3 3 w w I = U 3 ( x) + 4 T 3 ( x) + b 3 Q V 3 3 3 ( ξ, x) dω+ Ω λ λ λ λ 3 w ( ) ( ξ, ) d 3 ( ) ( ξ, ) d ( ξ, ) d λ U x Z x T x Z x b Z3 x λ λ + (3.94) 3 3 3 3 3 w w Q Z ( ξ, x) d V ( ξ, x) W( x) d+ 3 V ( ξ, x) q( x) d λ λ λ 3 3 3 3 3 3 3 Wprowadzaąc otrzymane zaeżności do wzoru (3.88) mamy 4 3 3 w w I = U 3 ( x) + 4 T 3 ( x) + b 3 Q V 3 3 3 ( ξ, x) dω+ λ λ λ λ Ω 3 3 = = ( ) + ( ) ( ) ( x) W( x) 3 3 w = λ λ = λ λ 3 w U( x) Z ( ξ, x) d T( x) Z ( ξ, x) d λ λ λ b Z ξ, x d Q Z ξ, x d λ = V ξ, d+ 3 w V ( ξ, x) q( x) d λ λ = (3.95) Postępuąc w ten sposób niesończenie wiee razy uzysue się w I = U( x) Z ( ξ, x) d T( x) Z ( ξ, x) d λ λ λ = = w = λ λ = λ λ ( ξ ) + ( ) ( ) b Z, x d Q Z ξ, x d w = λ = λ λ ( ) ( ) + ( ) ( ) V ξ, x W x d V ξ, x q x d (3.96) Uwzgędniaąc wzór (3.96), równanie (3.8) przymue postać B( ξ) U( ξ) + W( x) T ( ξ, x) d+ W( x) V ( ξ, x) d= = λ U( x) q ( ξ, x) d+ U( x) Z ( ξ, x) d+ = λ = w V ( ξ, x) q( x) Z ( ξ, x) T( x) d λ λ w = λ λ = λ λ ( ) + ( ) ( x) b Z ξ, x d Q Z ξ, d (3.97) ub (por. podstawienia (3.30), (3.3)) 36

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności B( ξ) U( ξ) + W( x) V ( ξ, x) d= U( x) Z ( ξ, x) d λ + w λ = 0 λ = 0 = V ( ξ, x) q( x) Z ( ξ, x) T( x) d λ w = = b Z ( ξ, x) d+ Q ( ) Z ( ξ, x) d λ λ λ λ (3.98) Ja można zauważyć, równanie dodatowe (3.98) est sprzężone z zadaniem podstawowym (3.), (3.3), ponieważ wymaga ono znaomości zarówno funci funci T( x) q( x ) na brzegu obszaru, tóre stanowią rozwiązanie probemu podstawowego. 3.6. Mode numeryczny zadanie dodatowe a i Równanie (3.98) zapiszemy w następuące postaci B( ξ) U( ξ) + W( x) V ( ξ, x) d= U( x) Z ( ξ, x) d+ λ = 0 λ = 0 w w q( x) V ( ξ, x) d T( x) Z ( ξ, x) d λ λ λ (3.99) λ = = w = = b Z ( ξ, x) d+ Q ( ) Z ( ξ, x) d λ λ λ λ 3.6.. Eementy stałe W reaizaci numeryczne, do dysretyzaci brzegu obszaru zastosuemy stałe eementy brzegowe, =,,, N (por. wzór (3.49)) i wówczas N N i + ( ξ, ) d = ( ξ, ) d = = 0 = = 0 U W V x U Z x λ λ N N w w λ = = λ = λ = λ N = = ( ) ( ) q V ξ, x d T Z ξ, x d N w b Z x Q λ λ λ = = λ ( ξ, ) d + ( ) Z ( x) ξ, d (3.00) ub N N N i i i i i = = = ( ˆ GW = HU + Gq HT ˆ + R (3.0) ) gdzie G, H zdefiniowano wzorami (3.5), (3.56), natomiast i i 37

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności ˆ w i = ( ξ, ) d λ = λ G V x (3.0) oraz ˆ w i = ( ξ, ) d λ = λ H Z x (3.03) z oei N i = ( ξ, ) d = λ = λ R b Z x N = = w Q ( ) Z ( ξ, x) d λ λ + (3.04) Uład równań (3.0) można również zapisać w postaci macierzowe GW = HU + Gq ˆ HT ˆ + R (3.05) Po ego rozwiązaniu, wartości funci U i w węzłach wewnętrznych i ξ wyznacza się z zaeżności N N N ) +Ri U = H U G W + Gˆ q Hˆ T i i i i i = = = ( (3.06) Stosowanie tego wariantu metody eementów brzegowych ma wiee zaet. Przede wszystim dysretyzue się edynie brzeg rozpatrywanego obszaru, co est niezwye dogodne zwłaszcza w przypadu zadań przestrzennych. Niewiadome są związane z węzłami brzegowymi, więc ich iczba w uładzie rozwiązuącym est zdecydowanie mniesza niż przy wyorzystaniu metody eementów sończonych czy też różnic sończonych. Ponadto, a łatwo zauważyć porównuąc ułady (3.57), (3.05) macierz główna uładu da zadania podstawowego i dodatowego est taa sama, czyi e eementy wyznaczamy raz, a zmienia się tyo wetor prawe strony. 3.7. Obszary nieednorodne W ninieszym podrozdziae zostanie przedstawiony agorytm metody eementów brzegowych da dwóch podobszarów pozostaących ze sobą w ontacie ciepnym (rys. 3.3), rozważać przy tym będziemy przypade ontatu ideanego. Ta więc, ustaone poe temperatury w pierwszym podobszarze opisue następuące równanie różniczowe natomiast w obszarze drugim ( ) ( ) x Ω : λ T x T x + Q = 0 (3.07) 38

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności ( ) ( ) x Ω : λ T x T x + Q = 0 (3.08) Na styu podobszarów przyęto warune ciągłości strumienia ciepła i temperatury czyi x c : x c : ( ξ, ) ( ξ, ) T x T x λ = λ n n (3.09) T( x) = T( x) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) q x = q x = q x T x T x T x (3.0) Opis matematyczny uzupełniaą waruni brzegowe (por. wzór (3.3)) założone na zewnętrzne powierzchni obszaru Ω rys. 3.3. Rys. 3.3. Obszary Ω i Ω Biorąc pod uwagę przyłady wyorzystania metody eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności prezentowane w następnych rozdziałach pracy dotorsie, rozpatruemy tuta edynie przypade, gdy obszar Ω eży we wnętrzu obszaru Ω, czyi ego brzegiem est tyo powierzchnia ontatu c. Da potrzeb daszych rozważań przyęto następuące oznaczenia - T, q wetory zawieraące wartości temperatury i strumieni ciepła w węzłach eżących na zewnętrzne powierzchni pierwszego obszaru Ω, - T c, T c, q c, q c wetory zawieraące wartości temperatury i strumieni ciepła w węzłach eżących na wspóne powierzchni c między obszarami Ω i Ω, odpowiednio od strony pierwszego i drugiego obszaru (są to węzły podwóne). Ustaone poe temperatury w obszarach Ω i Ω wyznaczymy stosuąc metodę eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności, tóra prowadzi (przy przyętych oznaczeniach) do następuących uładów rozwiązuących (por. wzór (3.57)) - da pierwszego podobszaru q T G Gc = H Hc + Z qc Tc [ ] [ ] 39 (3.)

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności - da drugiego podobszaru G q = H T + Z (3.) c c c c Warune (3.0) ciągłości strumienia ciepła i temperatury na powierzchni styu c można zapisać w postaci qc = qc = q (3.3) Tc = Tc = T i wprowadza się go do uładów równań (3.) oraz (3.). Po przeniesieniu niewiadomych na ewą stronę (da ustaenia uwagi na zewnętrzne powierzchni obszaru Ω założono warune brzegowy pierwszego rodzau) otrzymue się - da pierwszego podobszaru - da drugiego podobszaru q G H c Gc T = HT + Z q [ ] [ H G ] (3.4) T c c = Z (3.5) q Ostatecznie po zszyciu uładów (3.5) i (3.6) dochodzi się do następuącego uładu rozwiązuącego q G Hc Gc HT + Z T = (3.6) 0 Hc Gc Z q Uład ten można również zapisać w postaci AY = F, a po ego rozwiązaniu wartości temperatury w węzłach wewnętrznych obicza się tratuąc ażdy z obszarów niezaeżnie (na podstawie wcześnie wyprowadzonych zaeżności). Metodę eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności wyorzystano również do rozwiązywania zadań dodatowych. W tym przypadu rozpatrywano następuący uład równań różniczowych (por. wzór (3.80)) ( ) ( ) ( ) x Ω U x U x + wt x + b = (3.7) e : λe e e e e e e 0 z waruniem brzegowym na powierzchni ontatu ub ( ξ, ) ( ξ, ) U x U x λ = λ + pq x x c : n n U( x) = U( x) x c : ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) W x = W x + pq x U x U x U x 40 ( ) (3.8) (3.9)

3. Metoda eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności gdzie p est stałą, natomiast ( ) ( ) We x = λ e Ue x / n e. Wprowadzamy oznaczenia - U, W wetory zawieraące wartości funci wrażiwości i e pochodne w węzłach eżących na zewnętrzne powierzchni pierwszego obszaru Ω, - U c, U c, W c, W c wetory zawieraące wartości funci wrażiwości i e pochodne w węzłach eżących na wspóne powierzchni c między obszarami Ω i Ω, odpowiednio od strony pierwszego i drugiego obszaru. Otrzymuemy następuące ułady rozwiązuące (por. wzór (3.05)) - da pierwszego obszaru W U [ ] [ ] ˆ ˆ q ˆ ˆ T G Gc = H H c + c c (3.0) G G H H + R Wc Uc q T - da drugiego obszaru G ˆ ˆ cwc = HcUc Gcq HcT+ R (3.) Warune (3.9) zapisany w postaci Uc = Uc = U x c : (3.) Wc = Wc + pq wprowadzamy do uładów (3.0), (3.) i wówczas - da pierwszego obszaru W [ ] ˆ ˆ q ˆ ˆ T G Hc G c U = HU + G Gc H Hc + R (3.3) q T Wc - da drugiego obszaru U [ H ] ˆ ˆ q c Gc = Gcq HcT+ R pgc (3.4) Wc Po zszyciu uładów (3.3), (3.4) W G H ˆ ˆ ˆ ˆ c Gc G G c q H H c T U = + ˆ ˆ c 0 H Gc 0 Gc q 0 Hc T W c (3.5) HU + R p R Gcq Wprowadzenie warunu brzegowego na zewnętrzne powierzchni obszaru Ω pozwaa rozwiązać uład równań (3.5), a następnie obiczyć z drugie części zaeżności W c (3.) eementy wetora. Wartości funci U w węzłach wewnętrznych obszarów wyznaczamy da ażdego z nich niezaeżnie. 4

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem ROZDZIAŁ 4 Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem 4.. Wstęp W ninieszym rozdziae przedstawiono zagadnienia związane z modeowaniem poa temperatury w zdrowe tance i tance zmienione chorobowo. Rozpatrywano przy tym dwa modee tego probemu, a mianowicie zadanie płasie (D) i przestrzenne (3D). Założono, że parametry termofizyczne występuące w opisie matematycznym są znane, znane są również waruni brzegowe na powierzchni tani sórne oraz na umownie przyęte powierzchni wewnętrzne zamyaące rozpatrywany obszar. Zgodnie z iteraturą założono [4, 43], że w podobszarze nowotworu sładnii związane z perfuzą rwi i metaboizmem są znacznie więsze niż w zdrowe tance. Rozwiązanie ta sformułowanego zadania można znaeźć w iteraturze [60, 6], ae dotyczy ono zagadnienia D i zastosowania asycznego agorytmu MEB, w tórym naeży doonać dysretyzaci zarówno brzegu a i wnętrza rozpatrywanego obszaru. W niniesze pracy dotorsie obiczenia przeprowadzono wyorzystuąc MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności, w tóre dysretyzowano edynie brzegi podobszarów. Pozwoiło to między innymi na przyęcie bardzie reanych ształtów nowotworu (eipsoida w przypadu zadań przestrzennych ub oło abo eipsa w przypadu zadań płasich). Ponieważ parametry termofizyczne występuące w opisie matematycznym procesu przepływu ciepła w uładzie tana zdrowa nowotwór są trudne do oreśenia i cytowane w iteraturze wartości tych parametrów różnią się w sposób istotny, więc doonano również oszacowania wpływu zmian tych parametrów na wynii obiczeń. W tym ceu wyorzystano metody anaizy wrażiwości stosuąc tzw. podeście bezpośrednie [,, 9, 39]. 4.. Opis matematyczny Z matematycznego puntu widzenia tanę sórną zaataowaną nowotworem można tratować ao obszar nieednorodny, w tórym rozład temperatury w podobszarach 4

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem opisany est równaniami Pennesa uzupełnionymi odpowiednimi warunami brzegowymi przyętymi na powierzchni sóry oraz wewnętrznych powierzchniach rozpatrywanego uładu [4]. Parametry termofizyczne tych podobszarów (nowotworu i zdrowe tani) są różne, w szczegóności współczynni perfuzi G B oraz sładni źródłowy związany z metaboizmem Q met są istotnie więsze w podobszarze nowotworowym niż w podobszarze zdrowe tani [4]. Ustaone poe temperatury w obszarze tana zdrowa nowotwór można więc opisać następuącym uładem równań ( ) ( ) x Ωe : λe Te x + e TB Te x + Qmete = 0 (4.) gdzie e = odpowiada podobszarowi tani zdrowe, - podobszarowi nowotworu rys. 4.., 4.. W równaniu (4.) λ e [W/(mK)] są współczynniami przewodzenia ciepła podobszarów, = G cb - współczynniami perfuzi (GBe [m 3 rwi/ m 3 tani/ s] prędość e Be perfuzi rwi, c B [J/m 3 K] ciepło właściwe rwi odniesione do ednosti obętości), T B est temperaturą rwi, natomiast Q mete [W/m 3 ] to sładnii źródłowe związane z przemianami metaboicznymi. Na powierzchni c między podobszarami przyęto warune ideanego ontatu x c : ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) q x = q x = q x T x T x T x (4.) Na pozostałych powierzchniach ograniczaących rozpatrywany obszar założono następuące waruni brzegowe gdzie T b est znaną temperaturą brzegową. ( ) ( ) x : q x = 0 : b x T x = T Naeży w tym miescu zwrócić uwagę na fat, że warune adiabatyczny ( q = 0) (4.3) przyęty na powierzchni sóry pozwaa uninąć wpływu otoczenia, co oznacza, że sóra poryta est materiałem izoacynym. Rys. 4.. Tana zdrowa z podobszarem nowotworowym mode D 43

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem Rys. 4.. Tana zdrowa z podobszarem nowotworowym mode 3D Ustaone poe temperatury w zdrowe tance bioogiczne opisue równanie Pennesa uzupełnione warunami brzegowymi ( ) ( ) x Ω: λ T x + TB T x + Qm et = 0 (4.4) ( ) ( ) x : q x = 0 : b x T x = T (4.5) W reaizaci omputerowe, do rozwiązania zadania (4.4), (4.5) wyorzystano metodę eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności opisaną w podrozdziałach 3., 3.3 i 3.4, przy czym we wzorze (3.) przyęto, że Q= TB + Qmet, natomiast do rozwiązania zadania opisanego zaeżnościami (4.), (4.), (4.3) MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności opisaną w podrozdziae 3.7, przy czym we wzorach (3.07), (3.08) przyęto, że Qe = etb + Qmet e. 4.3. Anaiza wrażiwości W pierwsze oeności sformułuemy zadania dodatowe związane anaizą wrażiwości przepływu ciepła w zdrowe tance. Anaizę tę przeprowadzimy ze wzgędu na parametry λ,, Q met, T B i T b występuące w równaniach (4.4) i (4.5). W podeściu bezpośrednim równania tworzące opis matematyczny naeży zróżniczować wzgędem ustaonego parametru z (z = λ ub z = ub z = Q met ). Ta więc, różniczowanie równania (4.4) prowadzi do zaeżności λ T T Qmet T + λ + ( TB T) + = 0 (4.6) z z z z z Ze wzoru (4.4) otrzymuemy czyi ( B ) T = T T Qmet (4.7) λ λ 44

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem ub λ T T Q ( ) z z z z λ ( TB T) + Qmet = 0 λ z + TB T + met (4.8) gdzie est funcą wrażiwości. Ponieważ λ λ U( x) U( x) + T( x) + z λ z Qmet λ T B + ( T B + Q met) = 0 z z λ z ( ) U x ( ) T x = z (4.9) (4.0) q T λ T T λ λ λ = = = q λ U z z n z n n z λ z n (4.) więc po zróżniczowaniu, waruni brzegowe (4.5) maą postać gdzie ( ) ( ) x : W x = 0 x : U x = 0 ( ) W x ( ) = λ U x n (4.) (4.3) Agorytm rozwiązania zadania dodatowego (4.9), (4.) przedstawiono w podrozdziae 3.5, przy czym w równaniu (3.80) przyęto (por. wzory (4.9), (3.80)) oraz gdzie Q= TB + Qmet. λ w= + z λ z (4.4) Qmet λ b= TB + Q z z λ z (4.5) Na podstawie wzorów (4.9) i (4.), probem dodatowy związany z anaizą wrażiwości wzgędem parametru z = λ ma postać x Ω U( x) U( x) T( x) = λ λ x : W( x) = 0 x : U( x) = 0 : λ Q 0 (4.6) 45

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem z oei da z = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x Ω: λ U x U x T x + T B = 0 x : W x = 0 x : U x = 0 (4.7) da z = Q met x U( x) U( x) x : W( x) = 0 x : U( x) = 0 Ω: λ + = 0 (4.8) W podobny sposób uzysue się zadanie dodatowe związane z anaizą wrażiwości poa temperatury w obszarze tani zaataowane nowotworem. W tym przypadu parametrami wzgędem tórych można przeprowadzić taą anaizę są λ, λ,,, Q met i Q met. Wyróżniony parametr oznaczymy ao z, czyi z = λ ub z = λ ub z = itd. W pierwsze oeności równania (4.) różniczuemy wzgędem parametru z λe Te e Te Q Te λ e ( TB Te) mete + + e + = 0 z z z z z (4.9) Ponieważ (por. wzór (4.)) więc równania (4.9) zapiszemy w postaci T = T T Qmete (4.0) e e ( e B) λe λe gdzie λ e e U ( x) U ( x) T ( x) + e Qmete λe TB + ( etb + Qmete) = 0 z z λ z λ e e e e + e e z λe z U e e ( x) Te = z ( x) (4.) (4.) są funcami wrażiwości. Biorąc pod uwagę wzór (4.), różniczowanie warunu ideanego ontatu (4.) prowadzi do zaeżności x c : ( ) λ U x λ U x q( x) λ = q( x) + λ λ z n λ z n T( x) T( x) = z z ( ) (4.3) 46

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem czyi gdzie λ λ q x W x q x W x x : λ λ c z z U( x) = U( x) W ( ) + ( ) = ( ) ( ) e ( x) = λ e U e n ( x) e (4.4) (4.5) Uwzgędniaąc warune (4.) otrzymuemy λ λ W( x) = W( x) + q( x) x c : λ z λ z (4.6) U( x) = U( x) = U( x) Różniczuemy również waruni brzegowe (4.3) ( ) ( ) x : W x = 0 x : U x = 0 (4.7) Na przyład, zadanie dodatowe związane z anaizą wrażiwości wzgędem parametru z = λ ma postać ( ) ( ) x Ω: λ U x U x = 0 x Ω : λ U( x) U( x) + T( x) Q = 0 λ λ W( x) = W( x) + q( x) x : λ c U( x) = U( x) x : W( x) = 0 x : U( x) = 0 (4.8) gdzie Q = TB + Qmet, natomiast wzgędem z = x U x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) x Ω: λ U x U x = 0 x Ω : λ U x U x T x + T = B 0 W x = W x x c : U x U x x : W x = 0 : 0 (4.9) wzgędem z = Q met 47

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem x U x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) x Ω: λ U x U x = 0 x Ω : λ U x U x + = 0 W x = W x x c : U x U x x : W x = 0 (4.30) : 0 Probem dodatowy opisany równaniami (4.), (4.6), (4.7) rozwiązano wyorzystuąc metodę eementów brzegowych z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności przedstawioną w podrozdziae 3.7, przy czym w równaniach (3.7) przyęto (por. wzory (3.7), (4.)) oraz e λe we = + e (4.3) z λe z e Qmete λe be = TB + z z λ z e Q e (4.3) gdzie Qe = etb + Qmete. 4.4. Wynii obiczeń zadanie D W pierwsze oeności rozpatrywano obszar tani zdrowe o wymiarach 0.03 0.06 [m] rys. 4.. Założono następuące wartości parametrów termofizycznych [4]: λ = 0.5 [W/mK], = 998. [W/m 3 K], Q met = 40 [W/m 3 ], temperatura rwi T B = 37 C. Na wewnętrzne powierzchni ograniczaące rozpatrywanego obszaru przyęto T b = 37 C. Brzeg obszaru podzieono na 90 stałych eementów brzegowych (po 5 na rótszych boach i po 30 na dłuższych) o taie same długości równe 0.00 [m]. Wartości temperatury wyznaczono w 406 (9 4) równomiernie położonych puntach wewnętrznych. Na rys. 4.3 poazano rozład temperatury w rozważanym obszarze. Ja można zauważyć, izotermy są równoegłe do powierzchni sóry. Rys. 4.3. Rozład temperatury w zdrowe tance 48

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem W ceu oszacowania zmian temperatury spowodowanych zmianą parametru z o wartość z, funcę T(x) można rozwinąć w szereg Tayora, czyi T T( x, z+ z) = T( x, z) + z (4.33) z oraz T T( x, z z) = T( x, z) z (4.34) z sąd po odęciu stronami otrzymuemy (, ) (, ) T x z+ z T x z z = U z (4.35) Ta więc, wyorzystuąc rozwiązania zadań dodatowych związanych z anaizą wrażiwości wzgędem λ, oraz Q met można oszacować zmianę temperatury spowodowaną zmianą ażdego z tych parametrów niezaeżnie. Na rysunach 4.4, 4.5, 4.6 poazano te zmiany przy założeniu, że λ = 0.λ, = 0. i Q met = 0.Q met. Rys. 4.4. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru λ Rys. 4.5. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru Rys. 4.6. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru Q met 49

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem Koene obiczenia dotyczyły tani zaataowane nowotworem [6, 65]. Kształt nowotworu aprosymowano oręgiem o promieniu R = 0.0075 [m] oraz środu w puncie (0.03, 0.05) [m] por. rys. 4.. Przyęto następuące parametry termofizyczne podobszaru nowotworowego: λ = 0.75 [W/mK], = 799.4 [W/m 3 K], Q met = 400 [W/m 3 ]. Na powierzchni ontatu c wyróżniono 64 stałe eementy brzegowe i 3 węzły podwóne rys. 4.7. Rysune 4.8 przedstawia rozład temperatury na powierzchni sóry da tani zdrowe oraz tani zaataowane nowotworem. Rysune 4.9 prezentue rozład temperatury w rozważanym obszarze. Ja można zauważyć, obecność nowotworu powodue podwyższenie temperatury w tance i nieednorodny e rozład na powierzchni sóry. Rys. 4.7. Dysretyzaca Rys. 4.8. Rozład temperatury na powierzchni sóry Rys. 4.9. Rozład temperatury w tance zaataowane nowotworem 50

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem Wyorzystuąc rozwiązania zadań dodatowych związanych z anaizą wrażiwości wzgędem λ, oraz Q met można oszacować zmianę temperatury spowodowaną zmianą ażdego z tych parametrów niezaeżnie. Na rysunach 4.0, 4., 4. poazano te zmiany przy założeniu, że λ = 0.λ, = 0. i Q met = 0.Q met. Rys. 4.0. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru λ Rys. 4.. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru Rys. 4.. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru Q met Podsumowuąc ten etap badań można stwierdzić, że zmiany temperatury spowodowane zmianą parametrów termofizycznych λ e, e, Q mete tani zdrowe i nowotworowe (w granicach ±0% wartości przyęte w obiczeniach) są niewieie. Nasuwa się więc ważny wniose, że wartości iczbowe tych parametrów stosowane w obiczeniach nie muszą być wyznaczone z dużą doładnością, ponieważ nie wpływaą one istotnie na otrzymywane wynii. Z puntu widzenia identyfiaci położenia i wieości nowotworu (zagadnieniom tym poświęcono następny rozdział pracy dotorsie) naważnieszą informacą est fat, że 5

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem parametry termofizyczne podobszaru nowotworowego λ,, Q met są istotnie więsze niż tani zdrowe λ,, Q met, co powodue nieednorodność rozładu temperatury na powierzchni tani. 4.5. Wynii obiczeń zadanie 3D Mode przestrzenny stanowi zdecydowanie epsze przybiżenie rzeczywistych procesów zachodzących w tance zaataowane nowotworem. W pracy ształt rzeczywistego obietu (pierś obieca) przybiżono półeipsoidą, a obszar nowotworu eipsoidą. Przyęte w ninieszym przyładzie uproszczenia geometrii anaizowanego obszaru zdecydowanie ułatwiły sposób dysretyzaci ego brzegu. Modeuąc rzeczywiste zmiany nowotworowe (np. nowotwór piersi [4], nowotwór prostaty) naeży oczywiście uwzgędnić reane ształty anaizowanego obietu. Dysretyzacę brzegu zewnętrznego oraz granicy między obszarem tani zdrowe i nowotworowe (rys. 4.3) doonano z wyorzystaniem programu PATRAN/NASTRAN będącego do dyspozyci Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechanii, a obiczenia przeprowadzono stosuąc program autorsi bazuący na MEB z zastosowaniem wieorotne zasady wzaemności. Przyęto taie same wartości parametrów termofizycznych a w modeu D (podrozdział 4.5). Rys. 4.3. Dysretyzaca W pierwsze oeności wyznaczono rozład temperatury w tance zdrowe. Założono następuące wartości półosi połowy eipsoidy: 0.07, 0.06, 0.07 [m]. Powierzchnię zewnętrzną podzieono na 5 stałych czworoątnych eementów brzegowych (96 eementów na brzegu i 35 eementów na brzegu ) por. rys. 4., 4.3. Na rys. 4.4 poazano rozład temperatury w rozważanym obszarze, przy czym część górna prezentue rozład na powierzchni zewnętrzne obszaru, a część dona rysunu przedstawia poe temperatury na powierzchni półeipsoidą w postaci warstwic zrzutowanych na płaszczyznę (x, x ). W przypadu zdrowe tani rozład temperatury est symetryczny. 5

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem Rys. 4.4. Rozład temperatury w tance zdrowe Podobnie a w zadaniu D przeprowadzono anaizę wrażiwości wzgędem parametrów λ,, Q met rys. 4.5, 4.6, 4.7. Ja można zauważyć w tym przypadu zmiany temperatury spowodowane zmianami tych parametrów są nieco więsze niż poprzednio. Rys. 4.5. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru λ 53

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem Rys. 4.6. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru Rys. 4.7. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru Q met Koene obiczenia dotyczyły tani zaataowane nowotworem [63, 64, 88]. Kształt nowotworu przybiżono eipsoidą o półosiach 0.05, 0.0, 0.05 [m] i środu w puncie (0.0, 0.05, 0.04 [m]). Powierzchnię między taną zdrową a nowotworem aprosymowano 53 stałymi czworoątnymi eementami brzegowymi i wyróżniono na nie 306 węzłów 54

4. Wyznaczanie rozładu temperatury w tance zaataowane nowotworem podwónych rys. 4.3. Wyznaczony rozład temperatury przedstawiono na rys. 4.8, na tórym widoczna est niesymetryczność tego rozładu. Wynii związane z anaizą wrażiwości wzgędem parametrów termofizycznych nowotworu przedstawiono na rys. 4.9, 4.0, 4.. Rys. 4.8. Rozład temperatury w tance zaataowane nowotworem Rys. 4.9. Zmiana temperatury spowodowana zmianą parametru λ 55