etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 7. PLANY OPTYALNE PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA I RYTERIA OPTYALNOŚCI Główny kryteru rozróżnana dotychczas oawanych lanów było to, jake odele ateatyczne ożna było rzy ch oocy dentyfkować. I tak do dentyfkacj odel weloanowych stona erwszego wykorzystać ożna lanowane czynnkowe na dwóch ozoach tyu całkowte lub ułakowe. W rzyadku, gdy dentyfkowalśy odele weloanowe stona drugego w zależnośc od tego czy odel był z ełny zestawe nterakcj czy też ne, zastosować ożna było lany czynnkowe na trzech ozoach tyu 3 lub też lanowane weloozoowe koozycyjne. Dodatkowo oczekwalśy, że stosowane lany charakteryzować sę będą własnoścą ortogonalnośc lub też rotatablnośc. Cechy te były rzez nas ożądane, ale to ne one stanowły kryteru oceny lanu ekseryentu. Oawane w ty rozdzale lany stosować ożna nezależne od tego, jak odel będzey róbowal dentyfkować. oże to być zarówno odel lnowy względe araetrów (na rzykład weloanowy dowolnego stona), jak też w ogólny rzyadku nelnowy względe araetrów. Podzał tych lanów dokonujey na odstawe własnośc, jake dany lan ekseryentu osada, rzy czy zwązane są one z naszy oczekwana, co do własnośc dentyfkowanej na odstawe rzerowadzanego ekseryentu funkcj. Najczęścej oczekwana, jake tu ay zwązane są z błęda, jak obarczone są wsółczynnk regresj w dentyfkowany odelu, lub też błędów, jak obarczone są rzewdywane rzez odel wartośc. Plany osadające take cechy określa sę ane lanów otyalnych. Wrowadzene do lanów otyalnych wyaga rzede wszystk usysteatyzowana ojęć zwązanych z lana, ch budową konstrukcją. oneczne jest równeż wrowadzene ewnych ogólnych ojęć, takch jak lany cągłe, które ozwalają na sforułowane odowednch teor statystyk ateatycznej dotyczących badana ch własnośc. arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 7.. Plany Dyskretne Zan rzejdzey do defnowana odstawowych ojęć zwązanych z lanowane otyalny ekseryentów rzeanalzujy nastęujący rzykład: Przykład 7.. Regresja lnowa jednej zennej Rozważy wyznaczane odelu lnowego ( y) β E β (7.) Zakładay, że dośwadczena wykonać ożna w obszarze (7.) Rozatrzy dwa lany ekseryentu, każdy o 6 dośwadczenach: PLAN A: 3 -; 4 5 6 PLAN B: -; 3 4 5 6 acerze wejść każdego z tych lanów zasać ożna w nastęujący sosób: X A (7.3) X B (7.4) arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 3 z 3 W każdy z tych ekseryentów wykonano dośwadczena w dwóch różnych unktach, - oraz, rzy czy zgodne z lane ekseryentu A dośwadczena w unkce wykonano n 3 razy oraz w unkce równeż n 3 razy. W ekseryence B natoast dośwadczena wykonano odowedno n razy oraz n 4 razy. Plan A jest trzykrotne owtórzony lane czynnkowy na dwóch ozoach tyu. Natoast lan B ne jest lane tego tyu. Lczba unktów dośwadczalnych (dwa unkty, ) w obu lanach jest zdecydowane nejsza od lczby wykonywanych w raach tych ekseryentów dośwadczeń. Dlatego też lan tak wygodnej jest zasać zaast w fore acerzy wejść (równana 7. 7.3), w fore zboru (tablcy) ar {unkt dośwadczalny, ; lczba dośwadczeń wykonanych w ty unkce, n }, czyl w rzyadku lanu A jako ξ A (7.5) 3 3 oraz lanu B jako ξ B (7.6) 4 Przedstawony w rzykładze zas ekseryentów w fore tabel (7.5) (7.6) jest jednoznaczny. Podaje on zarówno unkt obszaru badań, w który wykonać należy dośwadczene, jak też lczbę wykonywanych w ty unkce dośwadczeń (owtórzeń). Tak sosób zasu ekseryentu jest bardzo wygodny rzydatny w dalszych rozważanach zwązanych z lanowane otyalny. Cele usysteatyzowana owyższej konkluzj oraz wrowadzena dalszych ojęć załóży, że ay cąg N dośwadczeń:,,, N (7.7) rzy czy nektóre z tych dośwadczeń owtarzają sę. Uorządkujy ten cąg w tak sosób, że erwszych N jego eleentów jest różnych, natoast wszystke ozostałe eleenty arusz B. Bogack, 7--5 3 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 4 z 3 od aż do N są eleenta owtarzający sę w erwszej częśc rozatrywanego cągu. ay węc uorządkowany cąg:,,,,,,, N (7.8) gdze:. wśród unktów,,,, N (7.9) ne a takch, które sę owtarzają, to znaczy dla j,, j,, (7.) j,. oraz dla dowolnego unktu j, j > stneje unkt, tak, że j. Defncja 7. Dyskretny lane ekseryentu ξ nazywać będzey zbór ar {unkt dośwadczalny ; lczba dośwadczeń wykonanych w ty unkce n }, czyl tablcę ξ,,, (7.) n n n n rzy czy lczby n, n,...,n nazywane krotnośca wystęowana eleentu sełnają warunek: n, n N (7.) a N jest całkowtą lczbą dośwadczeń wykonanych w raach ekseryentu ξ. Zbór unktów,,..., nazyway unkta skuena lanu ekseryentu lub też nośnka lanu. Są to unkty, w których wykonano dośwadczena w lczbe odowedno n, n,..., n razy, łączne N razy zgodne ze wzore (7.). Zwyczajowo tak zdefnowane lany ekseryentów oznacza sę lterką ξ (ks). arusz B. Bogack, 7--5 4 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 5 z 3 Zgodne z odaną defncją lany ekseryentów A B zasane w fore tablc (7.5) (7.6) są dyskretny lana ekseryentu. Dyskretne lany ekseryentu ają z góry określoną lczbę dośwadczeń N, które należy w raach rzerowadzanego ekseryentu wykonać. Z tego unktu wdzene lany dyskretne ne są unwersalne, oneważ jakakolwek zana suarycznej lczby dośwadczeń wyaga oracowana nowego lanu. Chcąc unezależnć sę od całkowtej lczby dośwadczeń N w ten sosób zasywać lany ekseryentu w bardzej unwersalnej fore wrowadzć należy ojęce częstośc wystęowana eleentu. Welkość tę defnujey jako: n,,,, (7.3) N gdze N jest całkowtą lczbą dośwadczeń wykonywanych w raach lanowanego ekseryentu a n są krotnośca, z jak unkty wystęują w cągu,,..., N. Używając tych oznaczeń dokonać ożey dalszego uogólnena defncj lanu ekseryentu wrowadzć ojęce unorowanego lanu ekseryentu. Defncja 7. Przez unorowany lan ekseryentu ξ N, rozueć będzey zbór ar {unkt dośwadczalny ; częstość }, czyl tablcę N ξ,,, (7.4) gdze są częstośca wystęowana eleentu sełnają warunek, (7.5) oraz dodatkowo N są lczba naturalny,,,..., (7.6) arusz B. Bogack, 7--5 5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 6 z 3 Przyjęło sę, że unorowane lany ekseryentów oznacza sę lterą ξ N (ks z ndekse N), rzy czy ndeks N w oznaczenu lanu wskazuje na na suaryczną lczbę dośwadczeń wykonywanych w raach ekseryentu. Istotny jest tutaj warunek (7.6), który oznacza, że każdy loczyn częstośc rzez suaryczną lczbę dośwadczeń jest lczbą naturalną. Dzęk teu znając lan ekseryentu ξ N oraz suaryczną lczbę dośwadczeń N, ożey na tej odstawe jednoznaczne odtworzyć cały zestaw N dośwadczeń,,..., N odwrotne. Należy jednakże zwrócć tutaj uwagę na to, że ten sa zestaw ar {, },,,..., oże odowadać różny zestawo unktów dośwadczalnych,,..., N. Zależeć to będze od całkowtej lczby dośwadczeń N (na rzykład zaast N dośwadczeń berzey N) Dodatkowo aętać usy o ty, że dany zestaw ar {, } oraz dana lczba N stanową unorowany lan ekseryentu jedyne wówczas, gdy sełnony jest warunek (7.5) oraz dodatkowo warunek (7.6). Oznacza to koneczność bardzo starannego doboru lczby N, tak, aby sełnony był warunek (7.6), który ozwala na rzerowadzene lanu unorowanego w lan dyskretny. Jest to stotne, oneważ realzować ożna w raktyce jedyne dyskretne lany ekseryentów. Przykład 7. Regresja lnowa jednej zennej cąg dalszy Chcąc zasać wcześnej wrowadzone lany A B jako lany unorowane należy w lane dyskretny krotnośc wystęowana oszczególnych eleentów odzelć rzez suaryczną lczbę dośwadczeń. Dzęk teu unorowane lany A B zasać ożna w nastęującej fore: N ξ A (7.7) N ξ B (7.8) 3 3 Zgodne z odany zasa w lane A unkty oraz ają częstośc równe wynoszące ½. W lane B natoast unkt osada częstość /3, natoast unk /3. W arusz B. Bogack, 7--5 6 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 7 z 3 jedny drug rzyadku sua częstośc wynos. Łatwo zauważyć, że dla N 6 z owyższych lanów unorowanych otrzyay lany dyskretne zasane odowedno jako tablce (7.5) oraz (7.6). Jeżel natoast N, to lan A ożey rzerowadzć w lan dyskretny, natoast lanu B już ne. Odwrotna sytuacja będze dla N 3. Plan B ożna rzerowadzć w lan dyskretny, natoast lan A już ne. Jeżel tak jak dotychczas badano oddajey roces, na który wływ a czynnków, to każdy unkt dośwadczalny rozueć należy jako unkty w ewnej wyarowej rzestrzen, gdze jest lczbą czynnków (zennych) wływających na badany roces. Oznacza to, że w każdy z do tej ory rzedstawonych lanów dyskretnych unkty lanu,,..., rozueć należy ne jako ojedyncze lczby, ale jako ewne wektory w wyarowej rzestrzen. Proble ten lustruje kolejny rzykład. Przykład 7.. Regresja lnowa dwóch zennych Rozważy wyznaczane odelu lnowego dwóch zennych E ( y) β β β (7.9) Zakładay, że dośwadczena wykonać ożna w obszarze rostokątny (7.) Rozatrzy dwa lany ekseryentu, każdy o 8 dośwadczenach. acerze wejść rzedstawć ożna w standardowej ostac, odowedno dla lanu C: arusz B. Bogack, 7--5 7 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 8 z 3 C X (7.) oraz lanu D: D X (7.) W każdy z lanowanych w trakce ekseryentu dośwadczeń określay równocześne ozo dwóch czynnków W zwązku z ty każde z dośwadczeń osać ożey w ostac ary unktów {,,, },,,..., N. Poneważ w każdy z tych dośwadczeń zenne oraz rzyjują wartośc na dwóch ozoach oraz, zasując owyższe dośwadczena w fore lanu dyskretnego należy uwzględnć ten fakt, otrzyując w rzyadku lanu C tablcę: ( ) ( ) ( ) ( ) C ξ (7.3) oraz w rzyadku lanu D tablcę ( ) ( ) ( ) ( ) 3 D ξ (7.4) arusz B. Bogack, 7--5 8 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 9 z 3 Jeżel uwzględnć, że każda z ar unktów w tabelach (73) (7.4) oznacza jeden unkt dośwadczalny w dwuwyarowej rzestrzen, to owyższe lany zasać ożna w ostac, odowedno lan C oraz D 3 4 ξ C (7.5) 3 4 ξ D (7.6) 3 3 Przy ty zase aętać należy, że wektor jest ty wersze w acerz X ostac,,,, X (7.7),3 3,3 4,4,4 Powyższe lany ekseryentów rzedstawć ożna w ostac lanów unorowanych otrzyując odowedno dla lanu C oraz D nastęujące tablce: 3 4 N ξ C (7.8) 4 4 4 4 3 4 N ξ D 3 (7.9) 8 8 8 8 Jak ożna zauważyć lany te ożna rzerowadzć w lany dyskretne rzyjując dla N ścśle określone lczby. I tak w rzyadku lanu C, N ownno być równe welokrotnośco lczby 4, to znaczy rzyjować wartośc 4, 8, 6, 4,.... Natoast w rzyadku lanu D suaryczna lczba wykonywanych dośwadczeń N ownna być równa welokrotnośco lczby 8, to znaczy rzyjować wartośc 8, 6, 4,.... Jak ożna zauważyć dla każdej lczby N otrzyujey nny lan ekseryentu. W rzyadku lanów unorowanych dogodnej jest zasywać częstośc w ostac ułaków. Unknąć w ten sosób ożey robleu zaokrągleń. Dodatkowo rzyjując tak arusz B. Bogack, 7--5 9 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 zas częstośc, jesteśy w stane łatwo ocenć, jaką suaryczną lczbę dośwadczeń N ożna w trakce ekseryence wykonać, aby warunek (7.6) został sełnony. 7.. Plany Cągłe olejne uogólnene ojęć lanów unorowanych wrowadzl efer Wolfowtz w 959 roku. Proozycja ch olegała na onęcu w trakce otyalzacj warunku (7.6) ozostawając ozostałe wyagana zawarte w defncj lanu unorowanego (Defncja 7.). Oznacza to, że częstośc, z jak realzowane są oszczególne dośwadczena ogą być dowolny, dodatn lczba rzeczywsty z rzedzału, a ch loczyny rzez całkowtą lczbę wykonywanych w trakce ekseryentu dośwadczeń N ne uszą być lczba naturalny. Plany tego rodzaju nazwano lana cągły ekseryentu. Defncja 7.3 Cągły lane ekseryentu, skuony w skończonej lczbe unktów nazywać będzey tablcę ξ (7.3) której eleenta są unkty lanu,,..., nazywane nośnka lanu, oraz lczby,,,..., zwane jego waga sełnające warunk, (7.3) W owyższej defncj foralne douszczay, aby ewne j dla j. Jednakże staray sę takch sytuacj unkać. Jeżel ówy, że lan ξ skuony jest w unktach, to zakładay, że unkty nośnka lanu są różne, jest ch a odowadające wag są dodatne. Tern cągły w owyższej defncj odnos sę jedyne do ucąglena zakresu efer, J., Wolfowtz, J., Otu Desgns n Regresson Probles, Ann. ath. Statst., 3, 7-94, 959. arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 zennośc wag (czyl onęca warunku 7.6) ne nakłada na lan żadnych nnych wyagań cągłośc. Przykład 7.3 Plany ekseryentów od A do D rzedstawć ożna jako lany cągłe, otrzyując nastęujące tablce: ξ A (7.3).5.5 ξ B (7.33).333.667 3 4 ξ C (7.34).5.5.5.5 3 4 ξ D (7.35).5.375.5.5 Sua wag w każdy z tych lanów ekseryentu wynos. Jednakże oblczene krotnośc dla każdego z unktów tych lanów oże w nektórych rzyadkach być utrudnone. Posługwane sę lane cągły (7.3) w badanach ekseryentalnych wyaga rzerowadzena go w lan dyskretny. W ty celu należy wybrać suaryczną lczbę obserwacj N >, nastęne oblczyć lczby n N,,,..., wykonać oerację zaokrąglena tak, aby otrzyać lczby naturalne. Lczby te nterretowane są jako krotnośc wykonywana oarów w unktach,,...,. Oeracja zaokrąglena wyaga dużej uwag. Sosób zaokrąglana unktów lanu cągłego ne ozostaje bez wływu na jakość uzyskanego lanu dyskretnego. Należy zwrócć uwagę równeż na to, aby ne zgubć żadnego unktu dośwadczalnego. Proces tworzena lanu dyskretnego realzować ożna zgodne z nastęujący algoryte: arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 Algoryt rok. Oblczyć n (7.36) N,,,, gdze zas z oznacza, że jest to najwększa lczba całkowta ne wększa nż z. rok. Oblczyć lczbę oarów, które ne zostały dotąd rozdysonowane N N n (7.37) rok 3. Losując N krotne (z owtórzena) eleenty ze zboru,,..., uzuełnć każdorazowo n o jeden, jeśl unkt został wylosowany. W wynku zastosowana owyższego algorytu otrzyujey zestaw ar ostac {unkt dośwadczalny ; lczba dośwadczeń wykonanych w ty unkce n }. W ty oence owstaje roble kolejnośc realzacj dośwadczeń w każdy z unktów, czyl rozsane lanu ekseryentu. Rozsane to ne jest jednoznaczne w zasadze kolejność realzacj dośwadczeń oże być dowolna, w szczególnośc ożna ostęować zgodne z kolejnoścą { ; n },,,...,. W raktyce ostęowane take ne jest zalecane, gdyż oże ozbawć nas szans weryfkacj dośwadczeń lub rowadzć do zwększena ewentualnych skutków nedokładnośc odelu. Teora ne odowada na właścwego odejśca. ożna jedyne skorzystać z ogólnej etodolog randozacj wrowadzonej do statystyk na oczątku XX weku rzez Fshera. Zgodne z sugesta Fshera, jeśl stneje ewna dowolność kolejnośc ostęowana, to należy z nej skorzystać, wyberając kolejność losowo z rozkłade równoerny. Losowy wybór kolejnośc dośwadczeń ownen znejszyć systeatyczne wływy lub błędy ochodzące od czynnków, które ne zostały w odelu uwzględnone. Zastosowane owyższej etodolog rowadz do losowana kolejnośc oarów ze zboru, w który unkt wystą n razy, unkt, n razy tak dalej. Należy jednakże aętać, że etodologa randozacj ne jest bezwzględny nakaze. W raktyce zdarza arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 3 z 3 sę, że wykonane klku kolejnych oarów dla tej saej wartośc jest tańsze, lub jest w ogóle jedyny ożlwy sosobe ostęowana (na rzykład wtedy, gdy osuje własność róbk nszczonej w trakce dośwadczena). Jednakże odstęując od randozacj usy aętać o zwększonej starannośc rzy doborze odelu. Uwzględnć usy równeż to, że owtarzane oarów (oarów a ne dośwadczeń) w ty say unkce rzestrzen badań znejsza jedyne rozrzut obserwacj. 7.3. acerz nforacyjna lanu Wszystke owszechne używane wskaźnk jakośc lanów ekseryentu (krytera lanowana) zależą od lanu orzez acerz nforacyjną. Do tej ory o acerzy nforacyjnej ówlśy w kontekśce konkretnego lanu ekseryentu zwązanego z szacowane wsółczynnków regresj w określony odelu ateatyczny. W ty oence natoast zajujey sę oszukwane lanu ekseryentu sełnającego określone krytera oceny (doboru). Oznacza to, że dysonując różny lana dokonujey ch rzeglądu. Poneważ ostać acerzy nforacyjnej zależy od lanu ekseryentu, stąd w jej oznaczenu należy to uwzględnć zasując jako acerz nforacyjną (ξ). Wrowadzając ogólnejsze ojęce acerzy nforacyjnej weźy od uwagę odel lnowy względe araetrów o ogólnej ostac gdze E T ( y) β F( ) f ( ) ( ) β f ( ) β f ( ) β β f ( β β ) T (7.38) β (7.39) β jest wektore wych funkcj neznanych wsółczynnków regresj, a F() jest wektore ogólne nelno- f( ) F ( ) ( f ( ) f ( ) f ( ) ) T (7.4) jest foralne wrowadzony człone cele ujednolcena oznacze ń. Dla tak ogólne zdefnowanej funkcj regresj acerz nforacyjną (ξ) uwzględnającą cągły lan ekseryentu ξ defnujey w nastęujący sosób: arusz B. Bogack, 7--5 3 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 4 z 3 Defncja 7.4 acerzą nforacyjną lanu ξ zadana estyacj araetrów odelu (7.38) nazyway acerz ostac: gdze T T ( ) F( ) W F ( ) F( ) F ( ) ξ (7.4) F ( ) f f f ( ) ( ) ( ) f f f ( ) f( ) f( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) O (7.4) F( ) jest wersze acerzy (7.4), natoast W jest dagonalną acerzą wag ostac: {, W dag, } (7.43) Jeżel rzyjąć, że wszystke wag są jednakowe, to owyższa defncja równoważna jest wcześnej oznanej defncj acerzy nforacyjnej zgodne, z którą T X X (7.44) gdze X jest acerzą wejść wynkającą z jednego z wcześnej oznanych lanów ekseryentu. Jest oczywsty, że acerz wejść X jest szczególny rzyadke acerzy F(). Sosób wyznaczana acerzy nforacyjnych okazuje kolejny rzykład. Przykład 7.4. acerz nforacyjna dla funkcj regresj lnowej W rzyadku regresj lnowej jednej zennej (równane 7.) funkcja F() a ostać: F ( ) (7.45) Zgodne z zależnoścą (7.4) acerz nforacyjna rzyje ogólną ostać: arusz B. Bogack, 7--5 4 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 5 z 3 ( ) O ξ (7.46) orzystając z owyższej ogólnej zależnośc wyznaczyć ożey ostać acerzy nforacyjnej dla konkretnych lanów ekseryentu. I tak w rzyadku lanu A, który jest lane ortogonalny otrzyay ( ) ξ A (7.47) oraz dla lanu B, który ne jest lane ortogonalny otrzyay. ( ) 3 3 ξ B (7.48) W rzyadku funkcj regresj lnowej dwóch zennych (równane 7.9) funkcja F() a ostać: ( ),,,,,, F (7.49) Ogólną ostać acerzy nforacyjnej wyznaczay z wzoru (7.4) otrzyując: arusz B. Bogack, 7--5 5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 6 z 3 ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, O ξ (7.5) orzystając z owyższego wzoru, stwerdzć ożey, że w zależnośc od rzyjętego lanu ξ, acerz nforacyjna będze ała ostać: w rzyadku lanu ortogonalnego C: ( ) C ξ (7.5) oraz w rzyadku ne ortogonalnego lanu D: ( ).5.5.5.5 ξ D (7.5) Jeżel z góry rzyjey, że do estyacj wsółczynnków regresj w odelach ateatycznych używay etody Najnejszych wadratów, to do orównana lanów ekseryentów skorzystać ożey z acerzy kowarancyjnej cov(b) lub acerzy nforacyjnej (ξ) będącej jej odwrotnoścą. Oczywśce owstaje roble orównana ze sobą acerzy odowadających różny lano ekseryentu. Ne nej, jeżel chwlowo onąć ten roble, to sforułować ożey nastęującą defncję równoważnośc lanów ekseryentu: arusz B. Bogack, 7--5 6 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 7 z 3 Defncja 7.5 ażde dwa lany ξ ξ take, że oędzy ch acerza nforacyjny zachodz zależność ( ξ ) ( ) (7.53) ξ nazywane będą lana równoważny w zadanu estyacj araetrów odelu. Jeszcze raz należy w ty ejscu odkreślć, że określene kryteru równośc acerzy jest trudne wyaga secjalnego otraktowana. Najczęścej stosuje sę odowedne funkcje, których arguenta są acerze, natoast wynke, jak otrzyujey są wartośc skalarne. Porównane acerzy nforacyjnych realzowane jest orzez orównane wartośc takch właśne funkcj. 7.4 Elsody ufnośc Jedny z eleentów oceny oszacowań wsółczynnków regresj jest wyznaczene ch rzedzałów ufnośc. etoda ta ozwala na odane rzedzału, w który z określony rawdoodobeństwe α znajduje sę rawdzwa wartość oszukwanego wsółczynnka regresj. Przedzały ufnośc określać ożna ndywdualne dla oszczególnych wsółczynnków regresj, albo też ożna wyznaczać łączne obszary ufnośc, w których z zadany z góry rawdoodobeństwe znajdują sę wszystke wsółczynnk regresj. Take łączne obszary ufnośc z uwag na swój kształt określa sę równeż ane elsod ufnośc. Defncję oraz nterretację obszarów ufnośc wraz z wyrowadzene ch ostac w zagadnenach estyacj araetrów regresj znaleźć ożna w ksążce Draera Stha. W ty ejscu natoast wrowadzone zostaną jedyne krótke nforacje na ten teat. Draer, N.R., Sth, H., Analza Regresj Stosowana, PWN, Warszawa, 973. arusz B. Bogack, 7--5 7 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 8 z 3 Defncja 7.6 Elsodę ufnośc dla ocen wszystkch araetrów funkcj regresj wyznaczyć ożna z nastęującego równana: T ( b) ( )( β b) c β ξ (7.54) gdze c > jest stałą zależną od lczby obserwacj, lczby estyowanych araetrów, ozou ufnośc α oraz oszacowana warancj zakłóceń. Stała ta ne zależy od wsółczynnków regresj w odelu; β jest wektore neznanych wsółczynnków regresj w badany odelu, natoast b jest wektore oszacowań tych wsółczynnków regresj uzyskanych na odstawe ekseryentu rzerowadzonego zgodne z lane ξ. Nerówność (7.54) rowadz do równana konturu o kształce eltyczny w rzestrzen o wyarowośc (zwanej rzestrzeną araetryczną), to jest takej jak wyar wektora wsółczynnków regresj β. W rzyadku odel z dwoa wsółczynnka regresj, wyznaczene elsody ufnośc oraz jej nterretacja ne nastręczają wększych robleów. Natoast rozatrywane wększej lczby wsółczynnków, jakkolwek ne stanow robleu oblczenowego dla kouterów z odowedn orograowane, to nterretacja otrzyanych wynków jest kłootlwa. Centru elsody ostac (7.54) ołożone jest w unkce b. Elsoda ta obejuje swo obszare wektor neznanych araetrów β z zadany rawdoodobeństwe α. Zgodne z odaną defncją kształt welkość elsody ufnośc zależy od acerzy nforacyjnej, a oneważ acerz nforacyjna zależy od lanu ekseryentu, należy oczekwać dużego wływu doboru unktów lanu ekseryentu na jej welkość kształt. Intucyjne jest jasne, że dla zwększena dokładnośc estyacj araetrów korzystne jest znejszene welkośc elsody ufnośc. ożna węc uznać, że ten z lanów jest leszy (zaewna wększą dokładność estyacj wsółczynnków regresj), którego elsoda ufnośc jest nejsza. ożna okazać, że ne a rostego sosobu znejszena elsody ufnośc orzez dobór lanu, o le badana rowadzy rzy ustalonej lczbe obserwacj, warancj zakłóceń zadany obszarze lanowana. arusz B. Bogack, 7--5 8 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 9 z 3 ształt usytuowane w rzestrzen araetrycznej elsody ufnośc zależy od rzyjętego lanu ekseryentu. Zagadnene to lustruje kolejny rzykład. Przykład 7.5 Regresja lnowa, cąg dalszy Na rysunkach 7. oraz 7. okazano kształt elsody ufnośc dla oceny araetrów funkcj lnowej jednej zennej (równane 7.) rzy zastosowanu wcześnej oawanych lanów A B. Na rysunkach tych, arbtralne rzyjęto ołożene unktów centralnych elsod jako (, ), gdyż ne znay oszacowań wartośc araetrów. Pozoce odowadają różny wartośco araetru c..5.5.5.5.5.5 Rysunek 7.. Obszary ufnośc dla lanu ekseryentu A..5.5 Rysunek 7.. Obszary ufnośc dla lanu ekseryentu B. Porównane rysunków ozwala stwerdzć, że zany lanu rowadzć ogą zarówno do zany orentacj głównej os elsody, jak też do zany roorcj ędzy długośca oszczególnych os. Z tego owodu ne a jednego sosobu na rzysane elsodo (a orzez ne lano ekseryentu) wartośc lczbowych, określających ch użyteczność. Najłatwej zdefnować różne krytera otyalnośc uwzględnające długośc os lub też objętość elsody ufnośc. Poja sę natoast ch rzestrzenną orentację. arusz B. Bogack, 7--5 9 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 Badane elsody ufnośc dla wsółczynnków regresj w odelu ateatyczny jest użyteczny narzędze. ożna z nego korzystać oo tego, że ne wykonano rzeczywstych badań. Tak węc zagadnene wływu budowy lanów na geoetrę elsod ufnośc ożey badać czysto teoretyczne w całkowty oderwanu od badań. 7.5 rytera otyalnośc lanów ekseryentu Dokładność estyacj araetrów funkcj regresj lub jej saej zależy od nastęujących czynnków:. Warancj zakłóceń σ ;. Lczby oarów N; 3. Obszaru badań (jego kształtu welkośc); 4. Funkcj f(); 5. Planu ekseryentu; 6. etody rzetwarzana wynku ekseryentu w oceny araetrów. Jest oczywsty, że znejszane warancj zakłóceń oraz zwększane obszaru badań jest zawsze korzystne. Nestety często neożlwe do realzacj, główne ze względów techncznych ekonocznych. Zwększene warancj zakłóceń wyaga albo zany rzyrządów oarowych, albo welokrotnego owtarzana tego saego oaru uśrednana wynków. Wąże sę to ze znaczny wzroste kosztów /lub czasu wykonana ekseryentu. Zwększene obszaru badań wyaga zwykle dodatkowych nakładów na urządzena badawcze. Ponadto, zwększając naderne obszar badań ryzykujey, że badany odel rzestane być adekwatny. Ten ostatn roble sygnalzowany był już wcześnej. Z tego względu najdogodnejszy czynnka, które ozostają do naszej dysozycj są dwa ostatne, lanowane ekseryentu rzetwarzane wynków badań. W zasadze uleszane etod rzetwarzana wynków badań ne rowadz do orawy dokładnośc estyacj, co wynka z nałożena wyogu lnowośc neobcążonośc estya- arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 torów. Dlatego też zwykle oddzela sę otyalzację lanu od doboru algorytu rzetwarzającego. Jako ten ostatn, z reguły rzyjuje sę etodę Najnejszych wadratów. Wynka to z faktu, że etoda ta daje najlesze ( ne obcążone) oszacowana wsółczynnków regresj w odelach. Jeśl z góry wey, że do estyacj użyjey etody najnejszych kwadratów, to do forułowana zadań otyalzacj lanu korzystać ożey z wynków uzyskanych dla tej etody. Jedny z stotnych eleentów jest acerz nforacyjna oraz acerz kowarancj cov(a) będąca jej odwrotnoścą. Porównane różnych lanów srowadzć ożey do orównana acerzy kowarancj, lub acerzy nforacyjnych. Próby otyalzacj lanów w sense bezośrednego orównana acerzy kowarancj (lub acerzy nforacyjnych) udają sę jedyne w nelcznych rzyadkach. Z tego względu do orównana używa sę ewnych skalarnych funkcj acerzowych, wybranych tak, aby ały nterretację statystyczną. Funkcje take tradycyjne nazywa sę krytera lanowana ekseryentu. Otyalzację lanów rowadzć ożna albo ze względu na ocenę dokładnośc oszacowana araetrów odelu, albo też ze względu na ocenę dokładnośc oszacowana funkcj regresj. W jedny drug rzyadku osługwać sę będzey acerza nforacyjny. Zakładay tu, że orównanu odlegają tylko take lany, dla których acerz nforacyjna jest neosoblwa. Zakładay, że oszacowana wsółczynnków regresj b otrzyujey na odstawe ekseryentu wykonanego zgodne z lane ξ. Z lane ty zwązana jest acerz nforacyjna (ξ,).własnośc ocen uzyskanych tak wsółczynnków regresj b scharakteryzować ożna za oocą elsody ufnośc. Zakładay równeż, że wartośc oczekwane oszacowań wsółczynnków regresj b wynoszą: E ( b ) β (7.55) Oznacza to, że w rzyadku lanów, których otyalność zwązana jest z oszacowana wsółczynnków regresj najdogodnejszy kryteru otyalnośc będze to, które uwzględnać będze welkość obszarów ufnośc. Wząwszy od uwagę, że nteresuje nas nalzowane błędów, jak obarczone są wsółczynnk regresj, nteresujące nas krytera ownny nalzować obszar ufnośc. Przy czy kryteru to oże być zwązane albo z nalzacją objętośc tegoż obszaru, albo też z nalzacją długośc najdłuższej os el- arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona z 3 sody. W ten sosób, rzyjując różne nalzowane welkośc otrzyać ożey lany otyalne ekseryentu tyu D lub tyu E. Defncja 7.7 Plany nalzujące objętość elsody ufnośc rozkładu ocen wsółczynnków regresj odelu noszą nazwę lanów otyalnych tyu D (lanów D otyalnych). ożna okazać [ańczak, 976], że nalzacja objętośc elsody ufnośc srowadza sę do zadana nalzacj wartośc wyznacznka acerzy kowarancyjnej lub też aksyalzacj wartośc wyznacznka acerzy nforacyjnej (ξ). Z tego względu rzyjęła sę nastęująca wersja defncj lanów D otyalnych. Defncja 7.8 Plan ξ * nazywa sę lane D otyalny, jeżel sełna nastęujący warunek: ( ξ ) a det ( ξ ) det ξ (7.56) gdze aksu oszukwane jest o wszystkch douszczalnych lanach ekseryentu, takch, że acerz nforacyjna lanu ne jest acerzą osoblwą. Obe owyższe defncje są równoważne. Jednakże z uwag na łatwość wykorzystana defncj 7.8 do konstrukcj nowych D otyalnych lanów, defncja ta jest w owszechny użycu. Intucja odowada na, że objętość elsody ufnośc zależeć będze od długośc jej os. Stąd, kolejne kryteru borące od uwagę dokładność oszacowana wsółczynnków funkcj regresj będze zwązane z długoścą jej najwększej os. W ten sosób sforułować ożna kolejną defncję lanów E otyalnych. arusz B. Bogack, 7--5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 3 z 3 Defncja 7.9 Plany nalzujące długość najwększej os elsody ufnośc rozkładu ocen wsółczynnków regresj odelu noszą nazwę lanów otyalnych tyu E (lanów E otyalnych). Plany otyalne tyu E wyagają rozwązana zadana nalzacj najwększej długośc os elsody ufnośc. ożna okazać [ańczak, 976], że długośc os L elsody ufnośc zwązane są z wartośca własny λ ((ξ)) acerzy nforacyjnej nastęującą zależnoścą: L ( ( ξ )) C,,, λ ( ( ξ )) (7.57) gdze λ ((ξ)) oznacza tą wartość własną acerzy nforacyjnej zwązanej z lane ξ, a L ((ξ)) jest długoścą tej os w elsodze ufnośc zwązanej z acerzą nforacyjną (ξ). Tak węc zadane nalzacj długośc najwększej os L w welowyarowej elsodze ufnośc srowadzć ożna do zadana aksyalzacj najnejszej wartośc własnej λ acerzy nforacyjnej (ξ). W ten sosób sforułować ożna alternatywną defncję lanów E otyalnych: Defncja 7. Plan ξ * nazywa sę lane E otyalny, jeżel sełna nastęujący warunek: λ n ( ( ξ ) a λ ( ξ ) ξ n ( ) (7.58) gdze aksu oszukwane jest o wszystkch douszczalnych lanach ekseryentu, takch, że acerz nforacyjna lanu ne jest acerzą osoblwą, natoast λ n oznacza najnejszą wartość własną acerzy nforacyjnej zwązanej z lane ekseryentu ξ. Równeż w rzyadku lanów E otyalnych bardzej użyteczna ze względów oblczenowych jest defncja 7.. arusz B. Bogack, 7--5 3 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 4 z 3 rytera zgodne, z który tworzone są lany otyalne tyu D oraz E zwązane były z oceną wsółczynnków regresj orzez elsodę ufnośc. Inny sosobe oceny dokładnośc wsółczynnków regresj jest oblczene ch średnej warancj. ryteru uwzględnające taką ocenę rowadz do lanów otyalnych tyu A. Defncja 7. Plany nalzujące średną warancję wsółczynnków regresj noszą nazwę lanów otyalnych tyu A (lanów A otyalnych). ożna okazać [ańczak, 976], że średna warancja wsółczynnków regresj zwązana jest z acerzą kowarancyjną - (ξ) zależnoścą: N [ var( b) ] [ var( b ) var( b ) var( b )] σ tr ( ξ ) śr (7.59) gdze tr(ξ) - oznacza ślad odwrotnośc acerzy nforacyjnej (ξ). Stąd zadane nalzacj średnej warancj wsółczynnków regresj srowadza sę do zadana nalzacj śladu acerzy kowarancyjnej. Proble ten jest oblczenowo bardzo złożony, dlatego też lany tyu A ne są zbyt oularne w raktycznych zastosowanach. Przedstawono do tej ory krytera otyalnośc lanów odowadały sytuacj, w której lany ocenane były z unktu wdzena dokładnośc oszacowana wsółczynnków regresj. Ocene oddać ożna jednakże jakość estyacj funkcj regresj. olejne kryteru otyalnośc lanów ekseryentu zwązane jest z wartoścą warancj rognozowanej wartośc funkcj ŷ ( ) w unktach należących do zboru unktów lanu ekseryentu. W ty rzyadku oczekwać będzey, że najwększa warancja rognozowanej wartośc funkcj w zadany obszarze badań będze jak najnejsza. Plany sełnające ten warunek określa sę ane lanów otyalnych tyu G. Zadane tego tyu a szczególne znaczene, gdy ekseryenty ają na celu otyalzację funkcj. arusz B. Bogack, 7--5 4 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 5 z 3 Defncja 7. Plany nalzujące najwększą warancję rognozowanej wartośc funkcj noszą nazwę lanów otyalnych tyu G (lanów G otyalnych). Warancja rognozowanej wartośc funkcj regresj (7.38) w unkce lanu wyraża sę zależnoścą T ( ( ) ) f ( ) ( ξ ) f ( ) σ var y ˆ (7.6) Często wygodnej jest osługwać sę unorowaną warancją funkcj regresj wyrażoną zależnoścą var ( ) ( yˆ ( ) ) T ξ f ( ) d, ( ξ ) f ( ) σ (7.6) orzystając z owyższego zasu sforalzować ożna defncję lanów G otyalnych jako: Defncja 7.3 Plan ξ * nazywa sę lane G otyalny, jeżel sełna nastęujący warunek: a d X ( ξ, ) n a d( ξ, ) (7.6) ξ X Z uwag na warunek (7.6), który sełnać uszą lany G otyalne, określa sę je równeż ane lanów naksowych. ając różne lany wylczyć ożey dla nch wartośc funkcj charakteryzujących rzyjęte krytera otyalnośc. Porównując wartośc tych funkcj dla różnych lanów ożey je uorządkować wskazać na te, które sełnają odowedne krytera. Porównane take rzedstawono w kolejny rzykładze. arusz B. Bogack, 7--5 5 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 6 z 3 Przykład 7.6 orównane różnych lanów ekseryentu Cele orównana lanów A B oraz C D oblczono odowedne wartośc funkcj kryteralnych. Uzyskane wynk zebrano w tabel 7.. Tabela 7. Wynk orównana rzedstawonych wcześnej lanów ekseryentów A B oraz C D. Ty lanu D E A G Lczba dośw. Wskaźnk n(λ k ) tr - a d(ξ,) N Plan A 6 Plan B.889.667.5 3 6 Plan C 3 3 8 Plan D.875.646 3.86 8 Przerowadzone orównane ozwala wskazać lany ające lesze własnośc w sense rzyjętych kryterów orównawczych od nnych lanów. Generalne ożna stwerdzć, że lany zgodne z lana czynnkowy są lesze anżel lany od nch odbegające. Przerowadzene dokładnejszej analzy, ozwolłoby na stwerdzena, że generalne lany czynnkowe na dwóch trzech ozoach oraz lany koozycyjne są lana otyalny w sense rzedstawonych kryterów otyalnośc. Duże znaczene w lanowanu ekseryentu a roble lczby unktów, w których oże być skuony lan cągły. Oczywsty jest, że ze względów ekonocznych oczekujey, aby lczba tych unktów była jak najnejsza. Z ateatycznego unktu wdzena, ając za zadane oszacowane araetrów dowolnej funkcj, otrzebujey równeż zależnośc. Oznacza to, że najnejsza lczba unktów skuena (dośwadczeń) w lane ekseryentu cągłego ającego na celu oszacowane wsółczynnków regresj w odelu a- arusz B. Bogack, 7--5 6 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 7 z 3 teatyczny wynos. Z drugej strony acerz nforacyjna (ξ) dla dowolnego lanu ekseryentu, dla funkcj regresj o wsółczynnkach, zawera eleentów. acerz ta jest syetryczna, stąd do jej ełnego osana wystarcza eleentów ( ) ( ) (7.63) Ne a węc otrzeby wykonywana wększej lczby dośwadczeń. ożna węc owedzeć, że najnejsza lczba unktów skuena dla lanu cągłego ekseryentu ownna sę zawerać w grancach L (7.64) Należy zwrócć tu uwagę na to, że ne zawsze stneją lany otyalne tyu D skuone w unktach. olejny rzykład lustruje ten roble. Przykład 7.7 D otyalność lanów w regresj lnowej dwóch zennych Rozatrzy dwa lany ekseryentu ającego za zadane oszacowane wsółczynnków regresj lnowej funkcj o 3 wsółczynnk ostac E ( y) β β β (7.65) Ekseryent wykonywany jest w kwadrace (7.66) Realzujey dwa lany ekseryentu, jeden zawerający N 4 dośwadczena X 4 (7.67) oraz drug złożony z trzech dośwadczeń arusz B. Bogack, 7--5 7 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 8 z 3 X 3 (7.68) W erwszy rzyadku wartość wyznacznka acerzy nforacyjnej wynos 4 4 4 64 4 (7.69) natoast w drug rzyadku 3 3 (7.7) 3 3 Poneważ lan ekseryentu D otyalnego aksyalzuje wartość wyznacznka z acerzy nforacyjnej, to jak z owyższych wylczeń wynka lan 3 unktowy z ewnoścą ne oże być lane otyalny w sense tego kryteru. O sełnene kryteru D otyalnośc ożey natoast odejrzewać lan 4 unktowy. 7.6. onstrukcja lanów D - otyalnych Najczęścej stosowany w badanach ekseryentalnych lana są lany D otyalne. Ich konstrukcja wyaga rozwązana zadana aksyalzacj wartośc wyznacznka acerzy nforacyjnej. Rozwązując to zadane ownnśy uzyskać zbór unktów skuena lanu oraz odowadające wag. Jest to roble czysto nueryczny. Wząwszy od uwagę stnene dużej lczby aketów kouterowych ozwalających na rzerowadzene takch oblczeń, ożna go tu onąć. Duże znaczene a natoast srawdzene, czy stnejący lan ekseryentu faktyczne jest lane D otyalny. arusz B. Bogack, 7--5 8 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 9 z 3 Istotną rolę we wszystkch zagadnenach zwązanych z lanowane ekseryentów sełna twerdzene o równoważnośc otyalnych lanów cągłych tyu D tyu G sforułowane rzez efera Wolfowtza 3 w 96 roku. Twerdzene 7. O równoważnośc Nastęujące stwerdzena dotyczące lanów są równoważne:. Plan ξ * jest D otyalny;. Plan ξ * jest G otyalny; 3. Dla lanu ξ * sełnony jest warunek a d X ( ξ, ) (7.7) gdze d(ξ *,) jest unorowaną warancją daną zależnoścą (7.6), a jest lczbą wsółczynnków regresj. Ponadto, we wszystkch unktach skuena lanu ξ * osągane jest aksu w wyrażenu (7.7) to znaczy,,, nośnka (, ),,, d ξ, (7.7) Powyższe twerdzene odaje klka bardzo ważnych sforułowań. Przede wszystk stwerdza ono, że lan D otyalny jest równocześne lane G otyalny. Równoważność tych dwóch lanów oznacza, że dążene do uzyskana lanu, który zaewna ożlwe dobrą estyację araetrów odelu rowadz jednocześne do jak najdokładnejszej estyacj saej funkcj. Istotna jest równeż równoważność warunków () (3). Pozwala ona bowe na dwe rzeczy. Po erwsze, jeśl ay już dany lan to w łatwy sosób ożey srawdzć czy jest on D otyalny. Wystarczy tylko zbadać czy faktyczne unorowana warancja w unktach skuena lanu osąga swoje aksu czy jest ono równe lczbowo lczbe wsółczynnków regresj. Jeżel tak będze, to lan ten jest faktyczne lane D otyalny. Z drugej 3 efer, J., Wolfowtz, J., The Equvalence of Two Etreu Probles, Can. J. ath.,, 363-366, 96. arusz B. Bogack, 7--5 9 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 3 z 3 strony konstruując nowy lan, w założenu D otyalny, kolejne unkty skuena lanu oraz wag tych unktów doberać ożey w tak sosób, aby osągnąć sełnene warunku (7.7). olejny rzykład okazuje jak dla różnych lanów ekseryentów zenają sę wartośc warancj dane zależnoścą (7.6) Przykład 7.8 Zany warancj funkcj regresj w obszarze badań Dla wcześnej oawanych lanów A oraz B oblczono, a nastęne rzedstawono na wykresach 7.3 oraz 7.4 warancję funkcj regresj (równane 7.6). W rzyadku lanu A będącego trzykrotny owtórzene lanu czynnkowego na dwóch ozoach tyu, warancja funkcj regresj osąga w obszarze badań dwa aksa. aksa te znajdują sę na grancach obszaru badań każde z nch wynos, to znaczy rzyjuje wartość odowadającą lczbe araetrów w odelu. Zgodne z twerdzene o równoważnośc oznacza to, że lan ten jest zarówno D jak G otyalny. d(ξ,).5.5.5 d(ξ,) 3.5 3.5.5.5 - -.5.5 - -.5.5 Rys. 7.3. Zany unorowanej warancj funkcj regresj w obszarze badań. Plan ekseryentu A. Rys. 7.4. Zany unorowanej warancj funkcj regresj w obszarze badań. Plan ekseryentu B. Z rzerowadzonej analzy łyne równeż dodatkowa nforacja. anowce, jeżel chcey uzyskać odel lnowy dający oszacowana wartośc funkcj obarczone jak najnej- arusz B. Bogack, 7--5 3 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 3 z 3 szy błęde ay ożlwość zwększena lczby dośwadczeń, to leej będze, gdy dodatkowe unkty ueścy na krańcach obszaru badań, a ne w jego środku. W rzyadku lanu B, warancja funkcj regresj rzyjuje dwe różne wartośc aksyalne, 3 oraz.5. Poneważ ne jest sełnony unkt 3 twerdzena o równoważnośc śwadczy to o ty, że lan ten ne jest zarówno D jak też G otyalny. Dodatkowo rzeanalzowano lany ekseryentu w rzyadku estyacj araetrów odelu weloanowego stona drugego ostac E ( y) β β β (7.73) Przyjęto dwa lany ekseryentów: lan X E będący lane czynnkowy na trzech ozoach tyu 3, oraz lan X F będący lane koozycyjny. acerze wejść dla obu lanów rzyjują ostać: X E (7.74) X F (7.75) Na rys. 7.5 rzedstawono zany unorowanej warancj funkcj regresj w obszarze badań. Dokładne tak sa wykres uzyskuje sę zarówno w rzyadku lanu E jak też lanu F. Jak ożna zauważyć, warancja rzyjuje trzy razy wartość aksyalną w unktach, oraz, czyl w unktach lanu. Dodatkowo wartośc aksyalne warancj wynoszą 3, to znaczy ają taką wartość jak lczba wsółczynnków regresj. arusz B. Bogack, 7--5 3 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska
etody Planowane Ekseryentu Rozdzał 7 Plany Otyalne Strona 3 z 3 3 d(ξ,).5.5 - -.5.5 Rys. 7.5. Zany unorowanej warancj funkcj regresj w obszarze badań. Plan ekseryentu A. Uogólnając wynk rzedstawone w owyższy rzykładze, należy stwerdzć, że lany czynnkowe na dwóch ozoach tyu całkowte oraz ułakowe jak równeż lany czynnkowe na trzech ozoach tyu 3 są lana otyalny tyu D oraz G. To sao ożna owedzeć o lanach koozycyjnych. arusz B. Bogack, 7--5 3 Zakład Inżyner Procesowej Poltechnka Poznańska