Kombiatoryczie o tożsamościach ombiatoryczych Beata Bogdańsa, Szczeci Odczyt zawiera propozycję dydatyczą usystematyzowaej i samowystarczalej prezetacji tematu: Tożsamości dotyczace symbolu dwumieego. 1. Ozaczeia i faty podstawowe Symbolem ozaczamy zbiór {1, 2,..., }. Przez F, ozaczamy zbiór wszystich fucji. Moc = ilość elemetów zbioru sończoego X ozaczamy symbolem X. W szczególości F, =. Dla daego zbioru X, symbolem PX ozaczamy zbiór potęgowy zbioru X, czyli rodzię wszystich łączie z pustym i całym X podzbiorów zbioru X, a symbolem P X, rodzię wszystich podzbiorów -elemetowych zbioru X. Pierwszym twierdzeiem z ombiatoryi, z jaim powiie zapozać się ażdy studiujący, jest twierdzeie o mocy zbioru potęgowego PX daego zbioru sończoego: TWIERDZENIE 1 Jeżeli zbiór X jest zbiorem sończoym i ma elemetów, to zbiór PX ma 2 elemetów. D o w ó d. Każdy podzbiór A X utożsamiamy wzajemie jedozaczie z fucją χ A : X {0, 1} oreśloą astępująco { 1, gdy x A, χ A x = 0, gdy x / A. Fucja χ A azywa się fucja charaterystycza zbioru A. Wszystich taich fucji jest doładie F, 2, czyli 2,. O Z N A C Z E N I E. Moc zbioru P wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru lub dowolego zbioru -elemetowego ozaczamy: P =. Czytamy: e po a. Nazywamy zaś symbolem lub współczyiiem dwumieym. 1
2 Jase, że = 0, gdy > ale 0 = 1. Wiosiem z T1 jest astępująca rówość: j=0 = j 0 1... 2 = 2. 1 Symbol dwumiey pojawia się w matematyce szolej przy oazji dowodu twierdzeia o dwumiaie, czyli rówości: α β = =0 α β 2 dla dowolych liczb α, β i N. Każdy, moim zdaiem, powiie ta długo oglądać tę rówość, aż dojrzy jej ieuchroość. Zwyły dowód iducyjy rówości 2 poazujemy ucziowi dopiero dużo późiej. Rówież sugestia dowodu rówości 1 przez podstawieie α = β = 1 w rówości 2, jest mało pouczająca. 2. Iterpretacje symbolu dwumieego Warto mieć przed oczyma rozmaite iterpretacje symbolu dwumieego. Najprostszej iterpretacji dostarczają ta zwae ciągi biare: Defiicja 1 Ciąg sończoy a 1, a 2,... a azywa się ciagiem biarym, gdy jego wyrazy są elemetami pewego zbioru dwuelemetowego, zazwyczaj {0, 1} choć zbiór {, } jest gorszy tylo z powodów lesyograficzych. Udowodimy teraz twierdzeie, tóre opisuje sześć typów zbiorów sończoych, tórych moc daa jest w postaci s t. TWIERDZENIE 2 Niech, będą liczbami aturalymi. Wówczas: 1. Niech B, będzie zbiorem wszystich ciągów biarych długości, w tórych a miejscach występuje 1, a a pozostałych miejscach występuje 0. Wtedy B, =. 3 2. Niech R, F, będzie zbiorem wszystich fucji ściśle rosacych. Wtedy R, =, 4 3. Niech R, F, będzie zbiorem wszystich fucji iemalejacych. Wtedy 1 R, =, 5
4. Niech D, będzie zbiorem wszystich ajrótszych dróg ratowych łączących put A = 0, 0 z putem Z =,. Wtedy D, =, 5. Niech T, będzie zbiorem wszystich rozwiązań w liczbach całowitych ieujemych rówaia x 1 x 2 x 3 x =. Wtedy 1 T, =, 7 1. Niech T, będzie zbiorem wszystich rozwiązań w liczbach aturalych rówaia x 1 x 2 x 3 x =. Wtedy T, = 1. 8 1 D o w ó d. 1. Wypiszmy wszystie elemety zbioru, a pod spodem ciąg biary: 1 2 3... a 1 a 2 a 3... a Ciąg biary wybiera ze zbioru {1, 2, 3,..., } te elemety, pod tórymi stoi 1. W te sposób zbudowaliśmy bijecję między zbiorem B, a zbiorem P. 2. Jeżeli f : jest fucją ściśle rosącą, to zbiór f := {f1, f2,..., f}, wartości fucji f jest -elemetowym podzbiorem zbioru. Odwrotie, ażdy -elemetowy podzbiór {x 1, x 2,..., x } zbioru, tórego elemety ustawiliśmy w ciąg rosący x 1 < x 2 <... < x, wyzacza doładie jedą fucję rosącą f : wzorem fi = x i. Stąd widać, że liczba R, rówa jest ilości -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. 3. Jeżeli f : jest fucją iemalejącą, to fucja g : 1 daa wzorem gi = fi i 1 jest, ja łatwo sprawdzić, fucją ściśle rosącą. Czyteli zechce sprawdzić, że w te sposób oreśloa została bijecja między zbiorami R, i R, 1. Stąd, a mocy rówości 4, dostajemy rówość 5. 4. Droga ratowa azywamy tu łamaą o wierzchołach w putach ratowych i ażdym bou będącym odciiem jedostowym rówoległym do osi odciętych lub do osi rzędych. 3
4 Z Jase, że ajrótszymi są te drogi ratowe, tóre prowadzą tylo w prawo i/lub w górę. Będziemy azywać taie drogi EN-drogami. Dowolej ajrótszej drodze ratowej odpowiada wzajemie jedozaczie ciąg biary długości o wyrazach E, N, w tórym litera E występuje razy, a litera N występuje razy. Tu, E ozacza elemetary ruch a wschód, a N elemetary ruch a półoc. Na przyład, A drodze a rysuu obo, odpowiada ciąg biary Rys. 1 E E N E N N N E N N E. Wiemy, zob. T2.1, że ciągów biarych spełiających powyższe warui jest doładie. 5. Każdemu rozwiązaiu a 1, a 2,..., a w liczbach ieujemych całowitych rówaia x 1 x 2... x = przyporządujemy wzajemie jedozaczie czyli bijetywie ciąg biary... }{{} a 1... }{{} a 2... }{{} a 3... }{{}......, }{{} a 4 a w tórym rombii, w ilości 1, oddzielają oleje grupy gwiazde. W i-tej grupie występuje a i gwiazde. Jeżeli a i = 0 to, oczywiście, odpowiedie rombii stoją obo siebie. Gwiazde jest. Na przyład, elemetowi 0, 1, 0, 0, 7 zbioru T 5, 8 odpowiada ciąg biary. Z istieia opisaej bijecji wyia, że liczba T, rówa jest liczbie gwiazdoworombiowych ciągów biarych długości 1 zawierających doładie 1 rombiów. Stąd, a mocy T2.1, rówość 7.. Każdemu elemetowi a 1, a 2,..., a T, przyporządujmy bijetywie rozwiązaie a 1 1, a 2 1,..., a 1 rówaia x 1 x 2 x 3 x = w liczbach całowitych ieujemych. To przyporządowaie jest bijecją zbioru T, a zbiór T,. Stąd 1 T, = T, = = 1 To ończy dowód twierdzeia. 1. 1 W dalszym ciągu będziemy wyorzystywać wiose z części 4. powyższego twierdzeia:
5 A 5 4 3 2 Rys. 2 1 Rys. 2 0 WNIOSEK. Dróg idących w prawo i w górę po liiach całowitoliczbowej siati łączących węzeł 0, 0 z jaimś węzłem leżącym a prostej o rówaiu x y =, gdzie N, jest doładie 2. D o w ó d. Na rysuu obo widzimy przypade =. Zgodie z T2.4, dróg w prawo i/lub w górę zaczyających się w A = 0, 0 a ończących w węźle j, j jest dołądie j. Zatem wszystich rozważaych dróg jest 2, patrz rówość 1. Na rysuu, przy ażdym węźle leżącym a prostej xy =, zazaczyliśmy ilość dróg ończących się w tym węźle. 3. Ile to aprawdę jest? Istieje moim zdaiem iedobry zwyczaj, zgodie z tórym rówość! =!! 9 jest srótem lub defiicja. W rzeczywistości jest to twierdzeie: TWIERDZENIE 3 Dae są liczby 0. Wówczas, zachodzi rówość 9. Pamiętamy o umowie: 0! = 1. D o w ó d. Ciągów różowartościowych długości o wyrazach ależących do zbioru jest 1... 1. To jest jase, bo pierwszy wyraz moża wybrać a sposobów, drugi a 1 sposobów itd., zaś -ty wyraz a 1 sposobów. Poieważ elemety dowolego zbioru -elemetowego mogą być ustawioe a! sposobów w ciąg różowartościowy, więc widzimy, że 1... 1 =. 10! Stąd, domażając liczi i miaowi przez!, dostajemy rówość 9. 4. Podstawowe własości współczyiów dwumieych Najważiejsze własości współczyiów dwumieych dae są przez tożsamość symetrii 11, tożsamość Pascala 12 i tożsamość pochłaiaia 13. Z A D A N I E 1 Udowodić prawdziwość astępującej tożsamości symetrii: =, 11 dla dowolych 0.
z a i e. Dowód z wyorzystaiem rówości 9 lub 10 jest mało pouczający. Staramy się więc przeoać uczia, aby za rówością 11 dostrzegał bijecję P A A c P albo bijecję polegającą a zamiaie zer a jedyi i odwrotie w ciągach biarych, albo bijecję między drogami ratowymi zadaą przez odbicie w dwusieczej pierwszej ćwiarti. Podobie ma się sprawa z rówością ostytuującą trójąt Pascala: Z A D A N I E 2 Udowodić, że zachodzi astępująca tożsamość Pascala 1 =, 12 1 1 dla dowolych liczb całowitych 0. z a i e. S p o s ó b 1. Tożsamość Pascala bardzo łatwo wywiosować z 9 lub 10. Propoujemy jeda ucziom rozumowaie uczciwe. Rozważmy miaowicie dowoly 1-elemetowy zbiór X i ustalmy jede jego elemet a. Wówczas, 1- elemetowe podzbiory zbioru X są jedego z dwóch typów: do pierwszego typu ależą taie, tóre zawierają elemet a, a do drugiego taie, tóre elemetu a ie zawierają. Zbiorów pierwszego typu jest tyle samo, co -elemetowych podzbiorów zbioru X {a}, czyli, a zbiory drugiego typu staowią rodzię 1-elemetowych podzbiorów zbioru X {a}, jest ich więc 1. Stąd rówość 12. S p o s ó b 2. Moża też rozumować astępująco: Zbiór wszystich ajrótszych dróg ratowych łączących 0, 0 z, 1 jest sumą dwóch rozłączych podzbiorów: 1 zbioru dróg przechodzących przez put,, tych jest i 2 zbioru dróg przechodzących przez put 1, 1 tych jest 1. Wszystich rozważaych dróg jest 1 1, stąd rówość 12 Z A D A N I E 3 Udowodić astępujące tożsamości pochłaiaia: 1 =, 1 13 2 1 = 1, 2 14 1 2 2 = 1. 1 2 15 z a i e. Obie stroy rówości 13 iterpretujemy jao ilość możliwych wyborów -elemetowych zespołów z liderem. Każdy tai zespół możemy utworzyć w astępujący sposób: ajpierw wybrać osób spośród osób, a astępie spośród ich lidera albo ajpierw wybrać lidera spośród osób, a astępie spośród 1 osób wybrać zespół 1 osób. Postępowaie pierwszego typu daje am sposobów, a postępowaie drugiego typu daje am 1 1 sposobów. Sposób liczeia ie jest istoty więc mamy rówość.
Obie stroy rówości 14 iterpretujemy jao ilość możliwych wyborów -elemetowych zespołów z dowódcą i, różym od iego, jego zastępcą. Rówość 15 jest sumą 13 i 14. Ma rówież astępującą iterpretację ombiatoryczą: ozacza ilość możliwych wyborów -elemetowych zespołów z dowódcą i zastępcą dowódcy, przy czym dowódca może być swoim zastępcą. Z A D A N I E 4 Udowodić, wsazując odpowiedią iterpretację ombiatoryczą, że m =, 1 m m dla wszystich całowitych 0 m. z a i e. Rozważmy zbiór -osobowy. Obie stroy rówości 1 ozaczają ilość wszystich, wybraych z tego zbioru, m-osobowych zespołów z -osobowym zarządem. Przy czym, liczba z lewej stroy ozacza ilość wyborów -osobowych zarządów w ażdym z, uprzedio wybraych, m-osobowych zespołów. Liczba z prawej stroy ozacza ilość możliwych doooptowań m człoów zespołu, do uprzedio wybraych -osobowych zarządów. Z A D A N I E 5 Udowodić, wsazując odpowiedią iterpretację ombiatoryczą, że 1 2 =, 17 2 2 dla wszystich N. z a i e. Jase, że F2, = R2, M 2,, gdzie przez M, ozaczyliśmy zbiór wszystich fucji ierosących ze zbioru do zbioru. Czyteli z łatwością wsaże bijecję R, M,. Stąd 2 = F2, = R2, R 2, = 2 1 2 a mocy rówości 4 i 5. Kamyczowy dowód moża zobaczyć a rysuu. Zachęcamy do dostateczie wiliwego wpatrywaia się w te rysue., 7. Sumy o wyrazach dodatich Poażemy teraz parę zadań z sumami zawierającymi współczyii dwumiee. Z A D A N I E Uzasadić, że = 2 1. 18 =0
8 z a i e. Łatwo to udowodić orzystając z tożsamości pochłaiaia 13 i rówości 1. Jeżeli jeda, patrz dowód tożsamości pochłaiaia 13, uświadomimy sobie, że -ty sładi sumy ozacza ilość -osobowych zespołów z liderem, to całą sumę z lewej stroy możemy ziterpretować jao ilość wszystich możliwych zespołów z liderem wybraych z grupy osób. Ziterpretowaie prawej stroy rówości 18 w te sam sposób jest atychmiastowe. Tym razem, ajpierw wybieramy a sposobów lidera, a potem spośród pozostałych 1 osób dobieramy resztę zespołu a 2 1 sposobów. Z A D A N I E 7 Udowodić, że dla dowolych liczb aturalych, m i zachodzi ta zwaa tożsamość Cauchy ego: j=0 m = j j m. 19 z a i e. Poażemy dwa sposoby rozumowaia. Nie są oe w jaiś zasadiczy sposób róże, drugi moża też uzać za ilustrację geometryczą pierwszego. S p o s ó b 1. Wyobraźmy sobie, że pewa grupa ucziów słada się chłopców i m dziewcząt. Na ile sposobów możemy z tej grupy wybrać zespół liczący osób? Z jedej stroy, możemy to zrobić a m sposobów. Z drugiej stroy, ażdy z zespołów jest jedego z astępujących typów: w sładzie zespołu ie ma chłopców, w sładzie zespołu jest doładie 1 chłopiec, jest doładie 2 chłopców itd., w sładzie zespołu jest chłopców. Ilość zespołów wszystich typów jest rówa m 0 m 1 1 S p o s ó b 2. Prawa stroa rówości 19 ozacza, patrz T2.4, ilość wszystich ajrótszych dróg ratowych łączących put A = 0, 0 z putem Z = m,. Każda rozważaa droga musi przejść przez jede i tylo jede put ratowy leżący a prostej o rówaiu x y =. Sładi m j j sumy z lewej stroy rówości 19 ozacza ilość tych z rozważaych dróg, tóre przechodzą przez put J = j, j. Czyi j ozacza ilość m 0 = j=0 m. j j Rys. 3 A m _ dróg między A a J, a czyi m j, ilość dróg między J a Z. Jase, że w te sposób asze zadaie zostało rozwiązae. Z A D A N I E 8 Udowodić astępujące twierdzeie o hau: Dla dowolych liczb aturalych zachodzi rówość 1 2 1... =. 20 1 J Z
9 Przyładowy ha w trójącie Pascala poazujemy poiżej: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 5 10 10 5 1 1 15 20 15 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 5 70 5 28 8 1 z a i e. Dowód przez iducję jest prostym wyorzystaiem tożsamości Pascala 12. Nie będziemy się im zajmować. Wsażemy za to trzy cieawsze rozumowaia. S p o s ó b 1. Pierwsze rozumowaie ombiatorycze Prawa stroa aszej tożsamości ozacza ilość wszystich 1-elemetowych podzbiorów zbioru 1-elemetowego. Wybierając 1-elemetowe podzbiory zbioru 1 możemy ajpierw wybierać elemet ajwięszy dowódcę, a astępie -elemetowy podzbiór drużyę. Jase, że w te sposób dostaiemy lewą stroę tożsamości. S p o s ó b 2. Drugie rozumowaie ombiatorycze Poażemy teraz iterpretację geometrycza: Zbiór wszystich ENdróg ratowych łączących put A = 0, 0 z putem Z =, 1 roz- 2 łada się a sumę rozłączą zbiorów A j, j = 0, 1,...,, gdzie A j ozacza zbiór tych spośród rozważaych dróg, tóre przechodzą przez odcie JJ o ońcach j,, j, 1, i astępie ie mając już iego wyboru prowadzą cały czas a wschód aż do putu Z. Wiemy dosoale, że A j = j. Patrz rysue! To ończy rozumowaie. 1 A J J Rys. 4 S p o s ó b 3. Trzecie rozumowaie ombiatorycze Iej iterpretacji rówości 20 dostarcza twierdzeie 2.5. Z udowodioej tam rówości 7 wiosujemy, że Z - = T 1,. 21 2 Wobec tego haowa rówość 20 ma postać: T 1, 0 T 1, 1... T 1, = T 2,,
10 a ta rówość jest łatwa do udowodieia: zbiór T 2, wszystich rozwiązań w liczbach całowitych ieujemych rówaia może być rozbity a rozłącze podzbiory x 1 x 2... x 1 x 2 = A i = {x 1, x 2,..., x 1, x 2 : x 2 = i}, gdzie i = 0, 1,...,. Jase, że A i = T 1, i. Cieawe zadaie zaleźć moża w [3], zadaie 7.2. Porówaj też [4], stroa 247. Zadaie to w pozostawia W. Guzici w [5] do samodzielego rozwiązaia czyteliowi. Z A D A N I E 9 Udowodić tożsamość 1 2 2 2 1 2 2... 0 1 2 2 = 2 2 22 2 Rys. 5 z a i e. Wiemy, że 2 2 ozacza ilość wszystich EN-dróg łączących węzeł początowy 0, 0 z tórymś z węzłów leżących a prostej o rówaiu x y = 2. Ogół tych wszystich dróg rozbijemy a rozłącze zbiory A 0, A 1,..., A 1, C, B 0, B 1,..., B 1, gdzie A j słada się ze wszystich dróg, tórych częścia jest odcie o ońcach, j, 1, j, zbiór C słada się ze wszystich dróg o ońcach 0, 0 i,, a zbiór B j słada się ze wszystich dróg, 2 tórych częścia jest odcie o ońcach j, 2, j, 1. Zobacz rysue obo. Z twierdzeia T2.4 i wiosu z iego wiemy, że C = 2, oraz j A j = B j = 2 j 1. j Wobec tego To ończy rozwiązaie. 2 2 = 2 A 0 2 A 1... 2 A 1 C = 1 2 1 = 2 2 1... 2 0 1 1 2.
11 7. Sumy aprzemiee A jeżeli odróżiamy parzyste od ieparzystego, to co? Z A D A N I E 10 Udowodić, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość: 1 j =... 1 = 0. 23 j 0 1 2 j=0 z a i e. S p o s ó b 1. Rówość tę otrzymujemy atychmiast, podstawiając α = 1, β = 1 w tożsamości 2. Spróbujmy jeda przydać jej zaczeie ombiatorycze. Zauważmy w tym celu, że moża ją zapisać w postaci: 0 2 4... = 1 3..., 24 5 co ozacza, że rodzia P ev podzbiorów zbioru mających parzysta ilość elemetów jest rówolicza z rodzią P odd podzbiorów zbioru mających ieparzysta ilość elemetów. Aby udowodić, że to jest prawda, rozważmy fucję f : P ev P odd daą przez: { A {1}, gdy 1 A, fa = A {1}, gdy 1 / A. Chwila zastaowieia wystarcza dla sprawdzeia, że fucja f przeprowadza bijetywie rodzię P ev a rodzię P odd. U w a g a. Prostszą bijecję P ev P odd moża wsazać w przypadu, gdy jest liczbą ieparzystą. Miaowicie, w taim przypadu: dopełieie zbioru A mającego parzystą ilość elemetów ma ieparzystą ilość elemetów i odwrotie. Wobec tego A A c jest żądaą bijecją. S p o s ó b 2. Patrz [8] Policzymy a dwa sposoby ile jest NES-dróg prowadzących od putu 1 do putu, w taiej ratce ja a rysuu. Rys. 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 Pierwszy sposób liczeie pioowe polega a patrzeiu a szczebeli pioowe. Poieważ wejście drogi a poziom wyższy jest asowae przez poowe zejście a dół,
12 więc widzimy, że ażda NES-droga wyzaczoa jest jedozaczie przez parzystoelemetowy podzbiór -elemetowego zbioru szczebelów. Zatem, łączie dróg taich jest... 0 2 4 Drugi sposób liczeie poziome polega a patrzeiu a odcii poziome dróg a poziomie dolym. Zauważamy, że ażdą NES-drogę jedozaczie wyzacza dowolie wybray podzbiór rówież pusty! 1-elemetowego zbioru jedostowych odciów poziomych z poziomu dolego. Badaych dróg jest więc tyle samo co podzbiorów zbioru 1- elemetowego. Stąd rówość = 2 1. 25 0 2 4 Porówując to z rówością 1, dostajemy rówość 24. Sumę 23 moża domażać przez miaowii występujących tam symboli Newtoa: Z A D A N I E 11 Udowodić, wsazując odpowiedią iterpretację ombiatoryczą: 2 3... 1 1 = 0 dla > 1. 2 1 2 3 z a i e. Pamiętamy, że wyraża ilość -elemetowych zespołów z liderem, wybraych spośród daych osób. Rówość 2 może więc być zapisaa astępująco: P = N, gdzie P = {Z, l : Z, l Z, Z 0 mod 2}, N = {Z, l : Z, l Z, Z 1 mod 2}. Dla zaończeia rozwiązaia wystarczy wsazać bijecję między zbiorami P, N. Oto oa: Z {1}, l, gdy 1 Z i l 1, Z {1}, l, gdy 1 / Z, fz, l = Z {2}, 1, gdy l = 1 i 2 Z, Z {2}, 1, gdy l = 1 i 2 / Z. Sprawdzeie, że w te sposób rzeczywiście zdefiiowaliśmy bijecję f : P N pozostawiamy Czyteliowi. Oto asze ostatie zadaie z sumami aprzemieymi: Z A D A N I E 12 Niech c, d Z 0 i 0 c < d. Udowodić, że c1 d d c 1 = 0. 27 c 1 =0
z a i e. Niech daych będzie d dziewcząt i c chłopców. Tworzymy spośród ich zespoły c 1-osobowe z wyróżioą grupą liderów, być może pustą, ale sładającą się wyłączie z dziewcząt. Zespołów mających liderów, c 1, jest, oczywiście, d d c. c 1 Wobec tego rówość 27 ozacza, że ilość zespołów z parzystą grupą liderów rówa jest ilości zespołów z ieparzystą grupą liderów. Aby się przeoać, że to jest prawda, ozaczmy przez Z ilość zespołów c 1-osobowych, w tórych jest dziewcząt. W ażdym z taich Z zespołów możemy a 0 2 4 = 2 1 sposobów wybrać parzystą grupę dowódców i a 1 3 5 = 2 1 sposobów ieparzystą grupę liderów, zobacz 24 i 25. Ostateczie, widzimy, że parzystoliderowych zespołów jest c1 2 1 Z =1 i tyleż jest zespołów ieparzystoliderowych. 13 8. Jeda ierówość Jeżeli istieje fucja różowartościowa ijecja f : X Y ze zbioru sończoego X do zbioru sończoego Y, to X Y. To oczywiste spostrzeżeie może służyć do ombiatoryczego uzasadiaia ierówości. Z A D A N I E 13 Udowodić, że dla ażdego 2 ciąg 0, 1,..., s 1, s, gdzie s = /2 jest ciągiem ściśle rosącym. z a i e. Wyorzystujący 9 lub 10 dowód rachuowy jest atychmiastowy. Warto się jeda zapozać z dowodem za pomocą EN-dróg, poieważ wyorzystuje o zasadę odbicia, tóra przydaje się i w iych sytuacjach. 1 W Z Załóżmy, że 0 < /2. Mamy uzasadić, że <. 1 J Sostruujemy ijecję f : DA, Z DA, W A Rys. 7 - zbioru DA, Z EN-dróg łączących put A z putem Z w zbiór DA, W EN-dróg łączących put A z putem W. Istieie taiej ijecji, 2
14 a mocy uczyioej wyżej uwagi, wystarczy, bo DA, Z = oraz DA, W = 1. Aby oreślić tę ijecję rozważmy symetralą p odcia W Z. Założeie < /2 impliuje, że puty A i Z leżą po różych stroach tej symetralej. Wobec tego, ażda droga łącząca puty A i Z przebija prostą p. Dla daej EN-drogi d DA, Z ozaczmy przez J ostati jej put wspóly z prostą p. Niech d AJ będzie fragmetem drogi d między putami A i J, d JZ będzie fragmetem drogi d między putami J i Z. Niech d będzie odbiciem d JZ w prostej p. Kładziemy fd = d AJ d. Sprawdzeie, że ta oreśloa fucja f jest fucją różowartościową, jest atychmiastowe. 9. Zwiaze z ciagiem Fiboacci ego Rys. 8 Przypomijmy, że lasyczy ciag Fiboacci ego f zaday jest przez warui poczatowe f 1 = 1, f 2 = 1 i rówaie reurecyje: f 2 = f 1 f, 28 dla ażdego = 1, 2, 3,.... TWIERDZENIE 4 Liczba f, 1 ozacza, a ile sposobów piechur startujący z putu 1 osi liczbowej może dotrzeć do putu tej osi, jeżeli potrafi stawiać roi długości 1 i/lub 2 do przodu. D o w ó d. Ozaczmy ilość tych sposobów przez p. Jase jest, że p 1 = 1 bo piechur po prostu ic ie robi, a icierobić moża a jede tylo sposób. Podobie jest jase, że p 2 = 1 piechur wyouje jede ro długości 1. Natomiast do putu 3 może dojść a dwa sposoby: albo robiąc jede ro długości 2, albo robiąc dwa roi długości 1. Zatem p 3 = 2. Rozważmy teraz dowolą liczbę 3. Istieją dwa róże typy marszrut piechura od putu 1 do putu : do pierwszego typu ależą te marszruty, w czasie tórych adepął o a liczbę 1, a do drugiego pozostałe. Pierwszych marszrut jest tyle a ile sposobów mógł o dotrzeć do putu 1 potem robi o już tylo oczywisty i jedozaczy ro długości 1 i ończy drogę w pucie, czyli p 1. W czasie wyoywaia marszrut drugiego typu piechur musi adepąć a liczbę 2 a astępie wyoać ro długości 2. Ostateczie dostajemy p = p 1 p 2. Wobec tego, poieważ ciągi p i f spełiają te same warui początowe i to samo rówaie reurecyje, porywają się i exteso.
Opisaą przez to twierdzeie iterpretację wyrazów ciągu Fiboacci ego azywamy iterpretacja piechura, zobacz rysue 8. Dzięi tej iterpretacji z łatwością rozwiążemy ostatie zadaie: Z A D A N I E 14 Udowodić tożsamość 1 2... = f 1, 29 0 1 2 gdzie f 1 ozacza 1-szy wyraz ciągu Fiboacci ego. z a i e. Ozaczmy przez M zbiór tych marszrut od putu 1 do putu 1, w czasie tórych piechur wyouje doładie roów długich roów długości 2. Wtedy, zbiór wszystich możliwych marszrut rozłada się a sumę podzbiorów rozłączych Seuda zastaowieia wystarcza do astępującej oluzji: M =. M = M 0 M 1 M 2.... 30 Ta rówość, twierdzeie T4 i rówość 30 pozwalają zaończyć rozwiązaie. 15 10. Zadaia do samodzielego rozwiazaia Z A D A N I E 15 Udowodić, przydając iterpretację ombiatoryczą: 1 = 1 2 2. =0 Z A D A N I E 1 Nie orzystając z 15, wyzaczyć wartość sumy =0 2. Wymyślić odpowiedią iterpretację ombiatoryczą. Z A D A N I E 17 Udowodić, przydając iterpretację ombiatoryczą: =0 2 = 3. W s a z ó w a. Iloczy 2 ozacza ilość wszystich taich par A, B, że A B i B =. A co może ozaczać 3?
1 Z A D A N I E 18 Uzasadić, przydając iterpretację ombiatoryczą: 2 0 2 1 2 = 2 Z A D A N I E 19 Udowodić, że 1 0 1 1 2 2 2... = 0 2. Z A D A N I E 20 Udowodić, że 2 1 2 2 2 1 2 2 3 2 3 2... 2 2 2 2 = 2 1. Z A D A N I E 21 Udowodić, że zachodzą rówości: m m m m = 2 m =0 =0 dla m, 0. Z A D A N I E 22 Udowodić, że... 1 0 1 2 Literatura 1 = 1. [1] B. Bogdańsa, A. Neugebauer Matematya Olimpijsa. Kombiatorya volumia.pl Szczeci 2010. [2] V. Bryat Aspety ombiatoryi Wyd. Nauowo-Techicze, Warszawa 1997. [3] M. Bryńsi Zadaia z olimpiad matematyczych, tom 7 Wydawictwa Szole i Pedagogicze, Warszawa 1995. [4] R. L. Graham, D. E. Kuth, O. Patashi Matematya oreta PWN, Warszawa 200. [5] W. Guzici Kaci olimpijsi Delta 1995 [] A. Neugebauer Matematya Olimpijsa. Algebra i Teoria Liczb volumia.pl Szczeci 2010. [7] N. J. Wilei - Kombiatorya - Państwowe Wydawictwo Nauowe, Warszawa 1972. [8] M. Zarzewsi Kombiatorya a liczby zespoloe Matematya LXII, 2009. [9] M. Zarzewsi, T. Ża Kombiatorya prawdopodobieństwo i zdrowy rozs ade Quadrivium, Wrocław 1998.