Określenie całki oznaczonej na półprostej

Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem o ile ta granica istnieje. Analogicznie a b T f(x)dx = lim f(x)dx T a f(x)dx = b lim f(x)dx S S

Określenie całki oznaczonej na prostej Definicja 2 Niech funkcja f : R R będzie całkowalna na przedziałach [S, T ] dla dowolnych S i T takich, że < S < T <. f(x)dx = a gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. f(x)dx + a f(x)dx, Jeżeli obie całki a f(x)dx i a f(x)dx są zbieżne, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. f(x)dx

Wartość główna całki niewłaściwej Definicja 3 Niech funkcja f : R R będzie całkowalna na przedziałach [ S, S] dla dowolnych S takich, że 0 < S <. Wielkość V P S f(x)dx = lim f(x)dx S S nazywamy wartością główną całki niewłaściwej f(x)dx.

Kryteria zbieżności całki niewłaściwej Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze) Jeżeli 0 f(x) g(x) dla każdego x [a, ), to zbieżność a implikuje zbieżność a f(x)dx. Rozbieżność a f(x)dx implikuje rozbieżność a g(x)dx. g(x)dx

Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe) Niech funkcje dodatnie (ujemne) f i g będą całkowalne na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a oraz niech gdzie 0 < k <. Wówczas Analogicznie na (, b]. a f(x) lim x g(x) = k, f(x)dx jest zbieżna a g(x)dx jest zbieżna.

Zbieżność bezwzględna całki niewłaściwej Definicja 4 Mówimy, że całka a zbieżna. Twierdzenie 3 Jeśli całka a f(x)dx jest zbieżna bezwzględnie gdy a f(x) dx jest f(x)dx jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto a f(x)dx f(x) dx. a

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Definicja 5 Niech f : (a, b] R będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna na przedziałach [a + ɛ, b] dla każdego 0 < ɛ < b a. o ile ta granica istnieje. b a b f(x)dx = lim f(x)dx ɛ 0 + a+ɛ

Szeregi liczbowe Definicja 6 Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (S n ), gdzie S n = a 1 + a 2 + + a n. Szereg oznaczamy przez n=1 a n, a n -n-ty wyraz, S n -n-ta suma częściowa szeregu.

Definicja 7 Mówimy, że szereg n=1 a n ciągu (S n ). jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica Oznaczamy: lim n S n = n=1 a n.

Jeżeli lim n S n = ( ), to mówimy, że szereg n=1 a n jest rozbieżny do ( ). Jeżeli lim n S n nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Twierdzenie 4 Jeżeli szeregi n=1 a n, n=1 b n są zbieżne i c R, to a) (a n + b n ) = a n + b n, n=1 n=1 n=1 b) ca n = c a n. n=1 n=1

Twierdzenie 5 Szereg geometryczny n=0 x n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy x < 1, x n = 1 1 x. n=0

Twierdzenie 6 Jeżeli szereg n=1 a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. Uwaga 1 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie 7 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n 0, ) [0, ), gdzie n 0 N, będzie funkcją nierosnącą. Wówczas szereg f(n) jest zbieżny całka n=1 n 0 f(x)dx jest zbieżna. n+1 f(x)dx R n n f(x)dx, gdzie R n = i=n+1 f(i) jest n tą resztą szeregu i n n 0.

Twierdzenie 8 Szereg n=1 1 n p jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p 1.

Twierdzenie 9 (Kryterium porównacze) Niech 0 a n b n dla każdego n n 0 i niech szereg n=1 b n będzie zbieżny. Wtedy szereg n=1 a n jest zbieżny. Jeśli n=1 a n jest rozbieżny do to szereg n=1 b n jest też rozbieżny do.

Twierdzenie 10 (Kryterium ilorazowe) Niech a n, b n > 0 (a n, b n < 0) dla każdego n n 0 oraz niech a n lim = k, n b n gdzie 0 < k <. Wówczas szereg n=1 a n jest zbieżny szereg n=1 b n jest zbieżny.

Twierdzenie 11 (Kryterium d Alemberta) 1. Jezeli lim a n+1 < 1, n a n to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. lim a n+1 > 1, n a n lim a n+1 = 1 n a n

Twierdzenie 12 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli n lim a n < 1 n to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. lim n lim n n a n > 1 n a n = 1

Twierdzenie 13 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (b n ) jest nierosnący od numeru n 0 N i lim n b n = 0 to szereg naprzemienny n=1 ( 1) n+1 b n jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu R n b n+1 dla każdego n n 0.

Definicja 8 Mówimy, że szereg n=1 a n jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg n=1 a n jest zbieżny. Twierdzenie 14 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.

Definicja 9 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Szeregi potęgowe Definicja 10 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x 0 R i współczynnikach c n R, nazywamy szereg postaci c n (x x 0 ) n. n=0

Granica górna i dolna ciągu Definicja 11 Niech (k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (a n ) będzie dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy ciąg (b n ) określony wzorem b n = a kn, gdzie n N.

Twierdzenie 15 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

Definicja 12 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a. Symbol ( ) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do ( ).

Definicja 13 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (a n ) (właściwych lub niewłaściwych). Wtedy lim n a n = inf S jest granicą dolną ciągu, a jest granicą górną ciągu. lim n a n = sup S

Twierdzenie 16 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli n lim n a n < 1 to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. n lim n a n > 1 n lim n a n = 1

Promień zbieżności szeregu potęgowego R = 0 gdy n lim n c n =, gdy n 0 < lim n c n <, gdy n lim n c n = 0. 1 lim n n c n

Uwaga 2 R = lim c n, 1 n n - o ile granice w tych wzorach istnieją. R = lim c n n c n+1

Twierdzenie 17 (Cauchy ego-hadamarda) Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n (x x 0 ) n. Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w każdym punkcie przedziału (x 0 R, x 0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru (, x 0 R) (x 0 + R, ).

Definicja 14 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n (x x 0 ) n nazywamy zbiór { } x R : szereg c n (x x 0 ) n jest zbieżny. n=0

Szereg Taylora funkcji Wzór Taylora Niech f ma w przedziale (x 0 δ, x 0 + δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy gdzie f(x) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x) k! R n (x) = f (n) (c) (x x 0 ) n, n! c-punkt pośredni między x i x o.

Twierdzenie 18 Jeżeli dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) lim n R n (x) = 0, to dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n!

Uwaga 3 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że f (n) (x) M dla każdego n N {0} oraz dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ), to lim n R n (x) = 0.

Różniczkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 19 Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n x n. Wtedy ( c n x n ) = nc n x n 1 dla każdego x ( R, R). n=0 Wniosek 1 Jeżeli f(x) = n=0 c n (x x 0 ) n dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ), gdzie δ > 0, to c n = f (n) (x 0 ) n! dla n = 0, 1,... n=1

Całkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 20 Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu n=0 c n x n. Wtedy x ( c n t n c n )dt = 0 n + 1 xn+1 dla każdego x ( R, R). n=0 n=0

Twierdzenie 21 (Abela) Jeżeli szereg f(x) = n=0 c n x n jest zbieżny w końcowym przedziale zbieżności (np. w R), to lim f(x) = c n R n. x R n=0

Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2, P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ), (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 + (z 1 z 0 ) 2, P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), P 1 = (x 1, y 1, z 1 ). Definicja 15 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór O(P 0, r) = { P R 2 (R 3 ) : P 0 P < r }.

Definicja 16 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja 17 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A R 2 (R 3 ) o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. z = f(x, y), (x, y) A Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f.

Definicja 18 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, f(x, y)) : (x, y) D f }. Definicja 19 Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi h R, nazywamy zbiór {(x, y) D f : f(x, y) = h}.

Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x 0, y 0 ). Definicja 20 f jest ciągła w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) D [( (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ) ( f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ɛ)]

Pochodne cząstkowe Definicja 21 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x 0, y 0 ) określamy wzorem o ile ta granica istnieje. f x (x 0, y 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x Uwaga 4 Niech F (x) = f(x, y 0 ). Wtedy f x (x 0, y 0 ) = F (x 0 ).

Analogicznie o ile ta granica istnieje. f y (x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ), y Uwaga 5 Niech G(y) = f(x 0, y). Wtedy f y (x 0, y 0 ) = G (y 0 ).

Definicja 22 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R 2, to funkcje f f (x, y), (x, y), gdzie (x, y) D x y nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.

Płaszczyzna styczna Załóżmy, że pochodne cząstkowe f, f są ciągłe w punkcie (x x y 0, y 0 ). Wtedy płaszczyzna o równaniu z = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + f(x 0, y 0 ) jest styczna do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )).

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Niech f ma pochodne f x, f y na zbiorze otwartym D oraz niech (x 0, y 0 ) D. Definicja 23 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x 0, y 0 ) określamy wzorami: 2 f x (x 0, y 2 0 ) = x ( f x )(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) = x ( f y )(x 0, y 0 ) = f xy (x 0, y 0 ) 2 f y x (x 0, y 0 ) = y ( f x )(x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) = y ( f y )(x 0, y 0 ) = f yy (x 0, y 0 )

Twierdzenie 22 (Schwartza o pochodnych mieszanych) Niech pochodne cząstkowe 2 f, 2 f istnieją na otoczeniu punktu (x x y y x 0, y 0 ) oraz będą ciągłe w punkcie (x 0, y 0 ). Wtedy 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ).

Pochodna cząstkowa n-tego rzędu n f y k x l (x 0, y 0 ), gdzie k + l = n -pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) powstała w wyniku l- krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania względem zmiennej y

Pochodne cząstkowe funkcji złożonej Twierdzenie 23 Niech 1. funkcje x = x(u, v), y = y(u, v) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (u 0, v 0 ), 2. funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x(u 0, v 0 ), y(u 0, v 0 )). Wtedy funkcja złożona F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) ma w punkcie (u 0, v 0 ) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami: F u = f x x u + f y y u, F v = f x x v + f y y v. W szczególności jeśli x = x(t), y = y(t) to df dt = f x dx dt + f y dy dt.

Pochodna kierunkowa funkcji Niech v = (v x, v y ) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D R 2 oraz niech punkt (x 0, y 0 ) D. Definicja 24 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wersora v określamy wzorem: f v (x 0, y 0 ) = lim t 0 + f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ) f(x 0, y 0 ). t Uwaga 6 Niech F (t) = f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ). Wtedy f v (x 0, y 0 ) = F +(0).

Gradient funkcji Definicja 25 Niech istnieją pochodne cząstkowe f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ). Gradientem funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor grad f(x 0, y 0 ) = ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )).

Twierdzenie 24 Niech pochodne f, f x y punkcie (x 0, y 0 ) D. Wtedy istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w f v (x 0, y 0 ) = grad f(x 0, y 0 ) v. Interpretacja geometryczna Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.

Ekstrema lokalne Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x 0, y 0 ). Definicja 26 f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeżeli [(x, y) O((x 0, y 0 ), δ) f(x, y) f(x 0, y 0 )]. δ>0 (x,y) D

Twierdzenie 25 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeśli f ma ekstremum lokalne w (x 0, y 0 ) i istnieją pochodne cząstkowe f (x x 0, y 0 ), f (x y 0, y 0 ) to f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0.

Twierdzenie 26 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) i f (x x 0, y 0 ) = f (x y 0, y 0 ) = 0 oraz det 2 f (x x 2 0, y 0 ) 2 f (x x y 0, y 0 ) to f ma ekstremum lokalne w (x 0, y 0 ) i jest to : minimum lokalne właściwe, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 albo maksimum lokalne właściwe, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0. 2 f (x x y 0, y 0 ) 2 f > 0 (x y 2 0, y 0 ) Uwaga 7 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x 0, y 0 ) ekstremum lokalnego.

Ekstrema warunkowe Definicja 27 Funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne właściwe z warunkiem g(x, y) = 0 gdy g(x 0, y 0 ) = 0 i δ>0 (x,y) D [(x, y) S((x 0, y 0 ), δ) g(x, y) = 0] [f(x, y) > f(x 0, y 0 )]

Reguła nieoznaczonego czynnika Lagrange a Określamy nową funkcję Φ(x, y) = f(x, y) + λg(x, y) gdzie λ jest stałe. Szukamy punktów, w których Φ może mieć ekstremum lokalne Φ x = f x + λg x = 0, Φ y = f y + λg y = 0. Następnie z układu równań : f x (x, y) + λg x (x, y) = 0, f y (x, y) + λg y (x, y) = 0, g(x, y) = 0 wyznaczamy punkt (x, y), w którym możliwe jest ekstremum funkcji f przy warunku g = 0,

Zbiory domknięte Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni: Definicja 28 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli O(P, r) A oraz O(P, r) A. r>0 A -dopełnienie zbioru A.

Definicja 29 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. Definicja 30 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.

Definicja 31 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu D O(P 0, r). r>0 P 0 Twierdzenie 27 (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to (x 1,y 1 ) D (x 2,y 2 ) D f(x 1, y 1 ) = sup {f(x, y) : (x, y) D} f(x 2, y 2 ) = inf {f(x, y) : (x, y) D}

Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zbiorze domkniętym 1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne. 2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (ekstrema warunkowe). Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.

Całki podwójne Całka podwójna po prostokącie Niech P = {(x, y) : a x b, c y d} = [a, b] [c, d] i P = {P 1, P 2,..., P n } będzie podziałem prostokąta P na prostokąty P k, 1 k n. Oznaczmy -wymiary prostokąta P k, 1 k n, d k = x k, y k -długość przekątnej prostokąta P k, 1 k n, -średnica podziału P, ( x k ) 2 + ( y k ) 2 δ(p) = max {d k : 1 k n} (x k, y k) P k -punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 k n -zbiór punktów pośrednich podziału P. Σ = {(x k, y k) : 1 k n}

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P. Definicja 32 Sumę nazywamy sumą całkową. n σ(f, P) = f(x k, yk) x k y k k=1 Ciąg podziałów (P n ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli lim δ(p n) = 0. n Definicja 33 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem P f(x, y)dxdy = lim σ(f, P n) n gdzie (P n ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σ n

Twierdzenie 28 (Warunek wystarczający całkowania funkcji) Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty nieciągłości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).

Twierdzenie 29 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c R, to (f(x, y) + g(x, y))dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy, P P P cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy, P P f(x, y)dxdy = P P 1 f(x, y)dxdy + P 2 f(x, y)dxdy gdzie {P 1, P 2 } jest podziałem prostokąta P na prostokąty P 1, P 2.

Twierdzenie 30 Jeżeli istnieje f(x, y)dxdy oraz istnieje całka d P c x, to P b f(x, y)dxdy = a d dx c f(x, y)dy = d c b dy a f(x, y)dx. f(x, y)dy dla każdego Wniosek 2 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] [c, d]. Wtedy P b f(x, y)dxdy = a d dx c f(x, y)dy = d c b dy a f(x, y)dx.

Interpretacja geometryczna Niech V = {(x, y, z) : (x, y) P, 0 z f(x, y)}. Wtedy V = P f(x, y)dxdy.

Obszary Definicja 34 Zbiór D R 2 (R 3 ) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą. Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.

Całka podwójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D R 2. Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D P. Określamy funkcję f (x, y) = { f(x, y) dla (x, y) D 0 dla (x, y) R 2 D. Definicja 35 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem f(x, y)dxdy = D P f (x, y)dxdy.

Definicja 36 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)} gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x (a, b). b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)} gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y (c, d).

Twierdzenie 31 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym a) D = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)}, to b f(x, y)dxdy = ( D b)d = {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)}, to d f(x, y)dxdy = ( D a c h(x) g(x) q(y) p(y) f(x, y)dy)dx, f(x, y)dx)dy.

Całka podwójna po obszarze regularnym Definicja 37 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem osi Ox lub Oy ) D 1,..., D n o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Twierdzenie 32 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to f(x, y)dxdy = D D 1 f(x, y)dxdy +... + D n f(x, y)dxdy.

Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Niech będą dane dwie płaszczyzny uov i xoy. Na obszarze płaszczyzny uov określona jest para funkcji x = ξ(u, v), y = η(u, v). Zbiór D = {(x, y) : x = ξ(u, v), y = η(u, v), (u, v) } nazywamy obrazem zbioru przez przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)). Załóżmy, że ξ(u, v) i η(u, v) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze. Definicja 38 Jakobianem przekształcenia T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) nazywamy funkcję Inne oznaczenie (ξ,η) (u,v) J T (u, v) = det lub D(ξ,η) D(u,v). [ ξ u η u ξ (u, v) η (u, v) ] (u, v) v. (u, v) v

Twierdzenie 33 ( o zamianie zmiennych w całce podwójnej ) Niech 1. przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego na wnętrze obszaru regularnego D, 2. funkcje ξ, η mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar, 3. funkcja f jest ciągła na obszarze D, 4. jakobian J T 0 wewnątrz obszaru. Wtedy D f(x, y)dxdy = f(ξ(u, v), η(u, v)) J T (u, v) dudv.

Współrzędne biegunowe P = (x, y) (ϕ, ρ), gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P 0 ϕ < 2π (albo π < ϕ π), ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych. { x = ρcosϕ B := y = ρsinϕ. B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y) i J B = ρ.

Twierdzenie 34 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ) : α ϕ β, g(ϕ) ρ h(ϕ)}, gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] [0, 2π]. Niech f będzie ciągła na obszarze D = B(U). Wtedy f(x, y)dxdy = D U β α [ h(ϕ) g(ϕ) f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ = f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.

Całki potrójne Całka potrójna po prostopadłościanie Niech P = {(x, y, z) : a x b, c y d, p z q} = [a, b] [c, d] [p, q] i P = {P 1, P 2,..., P n } będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P k, 1 k n. Oznaczmy -wymiary prostopadłościanu P k, 1 k n, d k = x k, y k, z k ( x k ) 2 + ( y k ) 2 + ( z k ) 2 -długość przekątnej prostopadłościanu P k, 1 k n, -średnica podziału P, δ(p) = max {d k : 1 k n} (x k, y k, z k) P k -punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 k n -zbiór punktów pośrednich podziału P. Σ = {(x k, y k, z k) : 1 k n}

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Definicja 39 Sumę nazywamy sumą całkową. n σ(f, P) = f(x k, yk, zk) x k y k z k k=1 Ciąg podziałów (P n ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli lim δ(p n) = 0. n Definicja 40 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem P f(x, y, z)dxdydz = lim σ(f, P n) n gdzie (P n ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σ n

Interpretacja fizyczna całki potrójnej Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę M = P f(x, y, z)dxdydz.

Twierdzenie 35 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α R, β R, to (αf(x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α f(x, y, z)dxdydz + β g(x, y, z)dxdydz, P P P f(x, y, z)dxdydz = P P 1 f(x, y, z)dxdydz + f(x, y, z)dxdydz gdzie {P 1, P 2 } jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P 1, P 2. P 2

Twierdzenie 36 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną) Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] [c, d] [p, q]. Wtedy P b f(x, y, z)dxdydz = a d dx c q dy p f(x, y, z)dz

Całka potrójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V R 3. Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję f (x, y, z) = { f(x, y, z) dla (x, y, z) V 0 dla (x, y, z) R 3 V. Definicja 41 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem V f(x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz. P

Definicja 42 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy nazywamy zbiór {(x, y, z) : (x, y) U, D(x, y) z G(x, y)} gdzie U jest obszarem regularnym na xoy, funkcje D i G są ciągłe na U, przy czym D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U. Analogicznie: b) względem xoz {(x, y, z) : (x, z) U, D(x, z) y G(x, z)} c) względem yoz {(x, y, z) : (y, z) U, D(y, z) x G(y, z)}.

Twierdzenie 37 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze V = {(x, y, z) : (x, y) U, D(x, y) z G(x, y)} normalnym względem płaszczyzny xoy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regularnym U, to G(x,y) f(x, y, z)dxdydz = ( f(x, y, z)dz)dxdy. V U Jeżeli gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to D(x,y) U = {(x, y) : a x b, d(x) y g(x)}, V f(x, y, z)dxdydz = b a dx g(x) d(x) dy G(x,y) D(x,y) f(x, y, z)dz.

Całka potrójna po obszarze regularnym Definicja 43 Obszar V, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem płaszczyzn układu ) V 1,..., V n o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie 38 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V, to V f(x, y, z)dxdydz = V 1 f(x, y, z)dxdydz +... + f(x, y, z)dxdydz. V n

Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Współrzędne walcowe P = (x, y, z) (ϕ, ρ, h), gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y), 0 ϕ < 2π, ( π < ϕ π), 0 ρ <, < h < x = ρcosϕ W := y = ρsinϕ z = h. W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

Twierdzenie 39 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ, h) : α ϕ β, d(ϕ) ρ g(ϕ), D(ϕ, ρ) h G(ϕ, ρ)}, gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ρ) : α ϕ β, d(ϕ) ρ g(ϕ)}. Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U), to β α dϕ g(ϕ) d(ϕ) V f(x, y, z)dxdydz = dρ G(ϕ,ρ) D(ϕ,ρ) f(ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.

Współrzędne sferyczne P = (x, y, z) (ϕ, ψ, ρ), 0 ϕ < 2π, ( π < ϕ π), π ψ π, 0 ρ <. 2 2 x = S := y = z = ρcosϕcosψ ρsinϕcosψ ρsinψ. S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

Twierdzenie 40 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ϕ β, d(ϕ) ψ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ρ G(ϕ, ψ)}, gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ψ) : α ϕ β, d(ϕ) ψ g(ϕ)}. Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U), to β α dϕ g(ϕ) d(ϕ) dψ G(ϕ,ψ) D(ϕ,ψ) V f(x, y, z)dxdydz = f(ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ 2 cosψdρ.

Zastosowania całek wielokrotnych Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) D, wyraża się wzorem Zakładamy, że f x, f y Σ = 1 + ( f D x )2 + ( f y )2 dxdy. są ciągłe na obszarze D.

Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U R 3 o gęstości objętościowej masy γ. MS xy = U zγ(x, y, z)dxdydz, MS xz = MS yz = Współrzędne środka masy obszaru U x c = MS yz M U U xγ(x, y, z)dxdydz., y c = MS xz M, z c = MS xy M yγ(x, y, z)dxdydz,

Przekształcenie Laplace a Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0, ). Definicja 44 Przekształceniem Laplace a funkcji f nazywamy funkcję F (s) = L {f(t)} = gdzie s jest zmienną rzeczywistą. 0 f(t)e st dt,

Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Laplace a. Twierdzenie 41 Jeżeli f spełnia następujące warunki: 1. ma na każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0, skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, 2. istnieją C R, M > 0 takie, że to L {f(t)} istnieje dla s > C. f(t) Me Ct dla każdego t 0, Funkcję f spełniającą założenia powyższego twierdzenia będziemy nazywali oryginałem.

Linowość przekształcenia Laplace a Twierdzenie 42 Jeżeli istnieją L {f(t)} i L {g(t)} oraz c R, to L {f(t) + g(t)} = L {f(t)} + L {g(t)}, L {cf(t)} = cl {f(t)}.

Twierdzenie 43 Jeżeli funkcje f, g są ciągłe i L {f(t)} = L {g(t)}, to f(t) = g(t) dla każdego t [0, ).

Własności przekształcenia Laplace a Twierdzenie 44 Niech f będzie oryginałem, i F (s) = L {f(t)}, wtedy 1.L {f(at)} = 1F ( s ), gdzie a > 0, a a 2. L {t n f(t)} = ( 1) n F (n) (s), 3. L {e at f(t)} = F (s a), 4. L {1(t τ)f(t τ)} = e sτ F (s), gdzie τ > 0, 5. L { t 0 f(τ)dτ } = F (s) s. 6. f(0 + ) = lim s sf (s). 7. Jeżeli istnieje granica f(t) w nieskończoności, to lim t f(t) = lim s 0 sf (s).

Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R R takich, że całka niewłaściwa jest zbieżna. f(x) dx Definicja 45 Niech f, g L(R). Wtedy funkcję h(x) = nazywamy splotem funkcji f, g i oznaczamy f g. f(y)g(x y)dy Uwaga 8 Niech funkcje f(t) i g(t) będą określone na przedziale [0, ) oraz całkowalne w każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0 wtedy f(t) g(t) = t 0 f(τ)g(t τ)dτ.

Twierdzenie 45 (Wzór Borela) Jeżeli funkcje f(t) i g(t) są oryginałami, to L {f(t) g(t)} = L {f(t)} L {g(t)}.

Transformata n-tej pochodnej Twierdzenie 46 Jeżeli f oraz jej pochodne f, f,..., f (n 1) są oryginałami, a ponadto funkcja ta ma na przedziale (0, ) ciągłą n-tą pochodną, to istnieje L { f (n) (t) } oraz L { f (n) (t) } = s n L {f(t)} s n 1 f(0 + ) s n 2 f (0 + ) +... sf (n 2) (0 + ) f (n 1) (0 + ).

Równania różniczkowe zwyczajne liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach Definicja 46 Są to równania postaci 1) a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = f, gdzie a n 0, a 0,..., a n -liczby rzeczywiste i f jest funkcją ciągłą w przedziale (a, b). Definicja 47 Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) jest każda funkcja y = y(t) n-krotnie różniczkowalna w przedziale określoności (c, d), która spełnia równość dla każdego t (c, d). a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) +... + a 1 y (t) + a 0 y(t) = f(t)

Zagadnienie początkowe Znaleźć rozwiązanie y = y(t) równania (1) takie, że gdzie t 0 (a, b) i (y 0, y 1,..., y n 1 ) R n. y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1,..., y (n 1) (t 0 ) = y n 1 Twierdzenie 47 Każde zagadnienie początkowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone i n-krotnie różniczkowalne w całym przedziale (a, b).

Transformata Fouriera Definicja 48 Transformatą Fouriera funkcji f L(R) nazywamy funkcję f(y) = 1 2π f(x)e ixy dx.

Twierdzenie 48 Jeżeli f L(R), to transformata f istnieje i jest funkcją ciągłą. Uwaga 9 Jeżeli f L(R) oraz f jest funkcją 1. parzystą, to 2 f(y) = f(x)cosxydx, π 0 2. nieparzystą, to 2 f(y) = i f(x)sinxydx. π 0

Transformata odwrotna do transformaty Fouriera Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji F : R C takich, że całka niewłaściwa jest zbieżna. F (x) dx Definicja 49 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F L(R) nazywamy funkcję F (x) = 1 F (y)e ixy dy. 2π Zauważmy, że F (x) = F ( x).

Twierdzenie 49 Jeśli f L(R), to w każdym punkcie x, w którym funkcja f jest różniczkowalna, f(x) = 1 V P f(y)e ixy dy, 2π gdzie V P T = lim. T T Uwaga 10 Różniczkowalność można zastąpić słabszym warunkiem: Jeżeli istnieje δ > 0 taka, że f jest monotoniczna w S (x, δ) i S + (x, δ) oraz jest ograniczona w O(x, δ) to f(x + ) + f(x ) 2 = 1 V P 2π f(y)e ixy dy.

Własności transformaty Fouriera Twierdzenie 50 Niech f L(R) i a R. Wtedy 1. jeżeli g(x) = f(x a), to ĝ(y) = f(y)e iay, 2. jeżeli a 0, g(x) = f( x ), to ĝ(y) = a f(ay), a 3. jeżeli założymy dodatkowo, że f jest funkcją różniczkowalną i f L(R), to f (y) = iy f(y).

Twierdzenie 51 Jeżeli f, g L(R), to f g L(R) i f g = 2π f ĝ.

Twierdzenie 52 Jeżeli x n f(x) L(R) gdzie n N, to x k f(x)(y) = i k f (k) (y) dla k = 1, 2,..., n.

Niezależne zmienne losowe Funkcje f : [0, 1] R, które mają skończoną liczbę punktów nieciągłości, będziemy nazywali zmiennymi losowymi. Oznaczmy przez {f < x} = {t : f(t) < x}. Definicja 50 Dystrybuantą zmiennej losowej f nazywamy funkcję F f (x) = 1 0 1 {f<x} (t)dt.

Definicja 51 Dystrybuantą typu absolutnie ciągłego nazywamy funkcję postaci F (x) = gdzie p(t) 0, p(t)dt = 1. Funkcję p(x) nazywamy gęstością rozkładu. x p(t)dt,

Definicja 52 Zmienne losowe f i g nazywamy niezależnymi, jeśli dla dowolnych x, y R. 1 0 1 {f<x} {g<y} (t)dt = F f (x)f g (y)

Twierdzenie 53 Jeżeli f i g są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach typu absolutnie ciągłego z gęstościami p i q to f + g ma rozkład o gęstości p q.

Definicja 53 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej f o gęstości rozkładu p nazywamy funkcję ϕ f (t) = 2π p(t). Twierdzenie 54 Jeżeli zmienne losowe f i g o gęstościach rozkładu p i q są niezależne, to ϕ f+g (t) = ϕ f (t) ϕ g (t).