.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWN STRONA FIZYCZNA.5.. Wprowazenie Wyprowazone w rozziałach.3 (strona statyczna i.4 (strona geoetryczna równania (.3.36 i (.4. są niezależne o rozaju ciała aterialnego, które oże być stałe, ciekłe czy też gazowe, oraz o rozaju substancji (ateriału, z której jest ono zbuowane. Z eksperyentu wynika jenak, że eleenty konstrukcyjne wykonane z różnych ateriałów okształcają się różnie przy taki say obciążeniu. Zate okształcenia i naprężenia uszą być ze sobą związane, zaś postać tych związków zwanych równaniai (związkai konstytutywnyi, fizycznyi lub ateriałowyi, jest zależna o rozaju ateriału ciała. Jeśli spojrzeć na to zaganienie z ateatycznego punktu wizenia, to w 3 równaniach równowagi (.3.36 występuje 6 współrzęnych tensora naprężeń. Z kolei 6 równań geoetrycznych (.4. zawiera 3 współrzęne wektora przeieszczeń u i oraz 6 współrzęnych tensora okształceń. Zate o wyznaczenia 5 niewiaoych ay tylko 9 równań. Musiy więc uzupełnić brakującą liczbę równań o oatkowe równania, zwane, jak już wsponiano wyżej, związkai konstytutywnyi. Równania te są ateatyczny oele rzeczywistego ateriału i ujują one na ogół jego najważniejsze cechy, przy czy ich postać jest ściśle powiązana z baaniai oświaczalnyi. Związki konstytutywne opisują zachowanie się ateriałów stosowanych w eleentach konstrukcyjnych po wpływe różnego rozaju czynników zewnętrznych, np. obciążeń, teperatury, wilgoci, czasu it. Z uwagi na różnoroność ateriałów i ich zachowania po wpływe obciążenia liczba takich związków jest uża. W naszych rozważaniach ograniczyy się o najprostszych, często występujących w praktyce inżynierskiej..5.2. Równania HOOK A Rozważy zate ateriał anizotropowy (o właściwościach zależnych o kierunku, jenorony (o właściwościach jenakowych w każy punkcie i sprężysty (w który okształcenie znika po usunięciu obciążenia. Przy uiarkowanych wartościach obciążenia ożna przyjąć, że zależność naprężeń o okształceń w taki ateriale ana jest następującyi związkai konstytutywnyi: ( lub C (2 zwanyi równaniai HOOK A, gzie jest tensore sprężystości, natoiast C tensore poatności, przy czy C n δ δ k nl. Materiał opisany powyższyi równaniai nazyway liniowo-sprężysty.
Ponieważ tensor stałych sprężystości jest tensore czwartego rzęu, zate liczba jego współrzęnych wynosi 3 4 8. Z uwagi na syetrię tensora naprężeń liczba jego niezależnych współrzęnych aleje o 36. Syetria tensora okształceń powouje zniejszenie liczby niezależnych współrzęnych o 2. W przypaku ateriału ortotropowego (o trzech wzajenie prostopałych osiach syetrii liczba niezależnych stałych ateriałowych aleje o 9. Najczęściej spotykane w praktyce inżynierskiej są jenak ateriały izotropowe (o właściwościach niezależnych o kierunku. W przypaku takich ateriałów występujący w związku ( tensor sprężystości przyjuje postać ( δ δ δ δ λδ δ + µ + (3 gzie µ, λ nazywane są stałyi LAM (stałe sprężystości. Postawiając (3 o ( ostajey po prostych przekształceniach i wykorzystaniu właściwości elty KRONCKRA następujące związki konstytutywne: ik jl il jk 2 µ + λ δ (4 które wyrażają naprężenia przez okształcenia w przypaku ateriału izotropowego. Równania powyższe po rozpisaniu wzglęe wskaźników przyjują postać 2 ( + λ + λ( + ( + λ + λ( + ( + λ + λ( +, 2 3, 3 (4 Należy zauważyć, że o określenia właściwości echanicznych takiego ateriału wystarczają tyko wie stałe sprężystości. W celu otrzyania związku ujującego zależność okształceń o naprężeń ponożyy najpierw obie strony zależności (3 przez δ. Dostaniey wtey Z powyższego wynika, że ( 2 µ + λ 3 (5 (6 Postawiając (5 o (4 otrzyujey, po prostych przekształceniach, kolejną postać związku konstytutywnego λ δ (7 2
zaś po rozpisaniu wzglęe wskaźników [ 2( µ + λ λ( + ] ( [ 2( µ + λ λ( + ] ( [ 2( µ + λ λ( + ] ( 2 2, 3 3, (7 Równania (4 i (7 noszą nazwę pierwszej postaci prawa HOOK A. Warto zauważyć, że relacja (6 pozwala przestawić wzglęną zianę objętości eleentarnego sześcianu (.4.37, zwaną ylatacją, w następującej postaci: V V V (8 W zaganieniach inżynierskich wykorzystujey zazwyczaj inne stałe ateriałowe liniowej sprężystości, a ianowicie: oułu sprężystości połużnej (oułu YOUNGA [N/ 2 ], oułu sprężystości poprzecznej (oułu KIRCHOFFA G [N/ 2 ] oraz współczynnika POISSONA ν [ ]. Mięzy tyi stałyi a stałyi LAM` istnieją następujące relacje: µ G 2 λ ( + ν ν ( + ν ( (9 ską wynika, że + ν λ ν + ν (0 Wykorzystując relacje (9 w związkach (4 otrzyujey ν + + ν δ ( Równania te po rozpisaniu wzglęe wskaźników przyjują postać 3
2 ( ( [( ν ( ] + ν + + ν ( ( [( ν ( ] + ν + + ν ( ( [( ν ( ] + ν + + ν, 2 3, 3 ( Uwzglęniając z kolei (0,2 w (7 ostajey [( ν ν δ ] + (2 a po rozpisaniu wzglęe wskaźników 2 2, 3 [ ν ( + ] [ ν ( + ] [ ν ( + ] 3, (2 Związki ( i (2 noszą nazwę rugiej postaci prawa HOOK A. Z kolei zależność (0 3 pozwala zapisać (8 w postaci V V V (3 Jeśli > 0, to V V 0, a więc 0. Wynika stą, że 0 ν 2. Z relacji (3 wynika, że największy przyrost objętości eleentarnego sześcianu przy any obciążeniu bęzie iał iejsce wtey, gy ν 0, natoiast najniejszy, gy ν 2. Materiałe o współczynniku POISSONA ν 0 jest korek, natoiast ateriałe, którego współczynnik ν 2 jest gua..5.3. Prawo ziany objętości i prawo ziany postaci Zależność (5 z uwagi na (0 3 ożna przestawić w postaci (4 4
gzie 3 jest naprężenie śreni, zaś 3 okształcenie śreni. Wprowazając nową stałą ateriałową zefiniowaną jako zapisujey (4 w następującej postaci 3K (5 3K (6 zwanej prawe ziany objętości, gzie K jest oułe sprężystości objętościowej (oułe ściśliwości. Nazwa ta jest konsekwencją wzoru (3, zgonie z który, naprężenia śrenie powoują tylko zianę objętości eleentarnego sześcianu, nie zieniając jego kształtu. Mnożąc z kolei zależność (4 przez δ i oejując wynik stronai o związków (4, przy wykorzystaniu relacji 3, otrzyujey ( δ ( δ δ δ (7 Uwzglęniając w powyższy wzorze zależności (.3.40 i (.4.4 oraz kłaąc otrzyujey następujący związek fizyczny: µ G (8 zwany prawe ziany postaci. Nazwa ta jest konsekwencją zerowania się pierwszego nieziennika ewiatora naprężeń I 3 0, co wyucza zianę objętości eleentarnego sześcianu. Natoiast naprężenia styczne, bęące współrzęnyi ewiatora naprężeń, powoują zianę jego postaci (kształtu. Wartości liczbowe oułu sprężystości połużnej (oułu YOUNGA, oułu sprężystości poprzecznej (oułu KIRCHOFFA G, oułu sprężystości objętościowej (oułu ściśliwości K oraz współczynnika POISSONA ν wybranych ateriałów buowlanych zawiera tabela. Materiał Tabela. Właściwości echaniczne ateriałów buowlanych Gęstość ρ [kg/ 3 ] Younga [GPa] Kirchoffa G [GPa] ściśliwości K [GPa] Współczynnik Poissona ν [-] Stal ięa 7860 20 8 67 0.29 Żeliwo 750 0 43 80 0.27 Aluiniu 2800 70 26 69 0. Beton B00 2400 8 8 9 0.7 Szkło 67 62.5 26 35 0.20 5