ROZDZIAŁ 7 ROZDZIAŁ 7

Transkrypt

1 ROZDZIAŁ 7 ROZDZIAŁ 7 33

2 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH ROZDZIAŁ 7 MIKROMECHANIKA KOMPOZYTÓW W dotychczasowej analizie ateriałów kopozytowych, obejującej.in. budowę acierzy sztywności i podatności, wyznaczanie stałych inżynierskich oraz określenie wytrzyałości kopozytów, przyjowaliśy ilcząco założenie o ich hoogeniczności (jednorodności). Bez trudu potrailiśy np. określić stałe inżynierskie dla lainatu szkło/epoksyd, nie wnikając w to jaki jest udział włókien szklanych w ogólnej objętości lainatu, kształt ich przekroju czy rozieszczenie włókien w przekroju poprzeczny lainatu. Traktowaliśy kopozyt tak, jak każdy inny ośrodek jednorodny, tyle, że anizotropowy. Do pewnego stopnia zaponieliśy, że w skład kopozytu wchodzą co najniej dwa różne składniki, których własności izyczne, cheiczne, geoetryczne itp. uszą ieć bezpośredni wpływ na własności utworzonego przez nie kopozytu. O obecności włókien w lainatach była owa tylko wówczas, gdy określany był kod lainatu, podający kąty poiędzy kierunkai włókien i osiai dowolnego układu odniesienia. Takie postępowanie ożliwe było dzięki teu, że zachodziło ono na pozioie akroskopowy, kiedy wieloskładnikowa budowa kopozytu nie iała znaczenia z punktu widzenia wyznaczania np. charakterystyk ateriałowych. Te otrzyuje się bowie dla próbki kopozytowej w standardowych próbach (jednoosiowe rozciąganie, ściskanie, ścinanie) i w zależności od sposobu ich przeprowadzenia, uzyskane wartości niej lub bardziej dokładnie opisują akroskopowe własności badanego ateriału. Znajoość ikrobudowy kopozytu, jakkolwiek decydującej o uzyskanych wynikach akroskopowych, jest tu całkowicie zbędna. Z drugiej jednak strony, jest powszechnie znany akt występowania zasadniczych różnic w wartościach charakterystyk ateriałowych dla kopozytów składających się z tych saych składników (pod względe gatunkowy - np. atryca epoksydowa zbrojona włókne szklany), których nie da się wyjaśnić na gruncie akroskopowy. Różnice te znajdują swoje źródło w ikroskopowej budowie kopozytu, charakteryzującej się wieloa paraetrai dotyczącyi własności izycznych, cheicznych, echanicznych i geoetrycznych (objętościowy udział poszczególnych składników, ich roziar i kształt, sposób "upakowania" w przekroju) składników tworzących ateriał kopozytowy. Odpowiedź na pytanie - jak ikrobudowa wpływa na akroskopowe własności kopozytu - ożliwa jest tylko na pozioie analizy ikroskopowej. Dział echaniki kopozytów zajujący się ikroskopową (tzn. uwzględniającą własności składników) analizą ateriałów kopozytowych nosi nazwę ikroechaniki kopozytów. W oparciu o odpowiednie odele ikroechaniczne ożna przewidzieć podstawowe charakterystyki ateriału (akroskopowe), takie jak oduły Younga współczynniki Poisson'a oduły ścinania współczynniki rozszerzalności cieplnej charakterystyki wytrzyałościowe wyrażające się przez wartości charakterystyk poszczególnych składników (np. atrycy i włókien). W analizie akroskopowej lainatów o warstwach jednokierunkowo zbrojonych podstawowe znaczenie odgrywają stałe ateriałowe dla osiowej koniguracji pojedynczej warstwy. To na ich podstawie buduje się kolejno: transorowane acierze sztywności dla pojedynczych warstw, acierz sztywności tarczowej, sprzężeń i zginania dla lainatu (zbioru warstw). W analizie 34

3 ROZDZIAŁ 7 wytrzyałości lainatu wykorzystuje się stałe, które także dotyczą koniguracji osiowej warstwy. Podstawowy cele ikroechaniki w odniesieniu do tej grupy kopozytów jest zate określenie stałych "osiowych" w unkcji charakterystyk ateriałowych atrycy i włókien. Cel ten ożna zapisać sybolicznie w postaci ( E,E,v,v, ν ν ) P = P (7.), ( X, X,v, v ) X = X (7.) (,α,e,e,v, v ) α = α α (7.3) Przez P należy rozuieć jedną ze stałych sprężystych w osiowej koniguracji warstwy, E, E - odpowiednie oduły sprężystości atrycy i włókien, v, v - objętościowe udziały atrycy i włókien, ν, ν - odpowiednie współczynniki Poisson'a dla atrycy i włókien. X oznacza jedną z charakterystyk wytrzyałościowych warstwy osiowej, X, X - odpowiednie stałe wytrzyałościowe dla atrycy i włókien. Sybole α oznaczono współczynniki rozszerzalności liniowej warstwy osiowej, α, α - odpowiednie współczynniki dla atrycy i włókien. Większość odeli ikroskopowych bazuje na tych saych podstawach oralnych - przyjuje się, że zarówno atryca, jak i włókna są jednorodne, izotropowe i liniowo sprężyste. Przyjuje się ponadto, że włókna są regularnie rozieszczone w przekroju i doskonale połączone z otaczającą je atrycą, co oznacza brak występowania poślizgów na granicy atryca-włókno. W odniesieniu do atryc przyjęte założenia dobrze odpowiadają rzeczywisty ateriało, tak więc z izotropii wynika, że ożna je opisać przy poocy tylko dwóch stałych sprężystych - odułu Younga i współczynnika Poisson'a. Nieco inaczej jest z włóknai, które ogą być izotropowe, jak np. włókna szklane, ale ogą także nie spełniać warunku izotropii. Typowy przykłade są włókna węglowe i włókna organiczne (np. Kevlar), których własności w kierunku poprzeczny do włókien są wyraźnie inne niż w kierunku podłużny, powinno się zate przy ich opisie używać (w stanie płaski) 4 stałych tzn. dwóch odułów Younga, jednego ze współczynników Poisson'a i odułu ścinania. Proble polega jednak na ty, że doświadczalne określenie własności poprzecznych włókien napotyka na znaczne trudności, a uzyskiwane wyniki charakteryzują się duży rozrzute. Często w związku z ty przyjuje się założenie izotropii, co w pewny stopniu tłuaczy dlaczego teoretyczne zależności określające akroskopowy poprzeczny oduł Younga w unkcji własności składników najtrudniej - obok odułu ścinania - "dopasować" do wyników testów wykonywanych na próbkach akroskopowych. Przy określaniu własności akroskopowych na podstawie własności składników kopozytu stosuje się wiele etod, co z jednej strony jest przejawe dążenia do znalezienia odelu najlepiej pasującego do wyników badań, ale z drugiej - stanowi dowód, że odel "idealny", a jednocześnie stosunkowo prosty w praktyczny zastosowaniu w zasadzie nie istnieje. Podstawową rolę w większości odeli ikroechanicznych ateriału wieloskładnikowego odgrywa pojęcie reprezentatywnego eleentu objętościowego (ang. Representative Volue Eleent - RVE), tzn. takiego eleentu, który z jednej strony pozwala uwzględnić ikrostrukturę kopozytu, a z drugiej prawidłowo oddaje jego cechy akroskopowe. Można powiedzieć, że RVE to ożliwie najniejsze "okno", przez które obserwujey kopozyt i dobrze widząc ikrobudowę nie traciy z oczu jego własności w skali akroskopowej. Stopień koplikacji RVE zależy od typu kopozytu, a w szczególności od jego wypełnienia. Stosowane są dwuwyiarowe, jak i trójwyiarowe eleenty reprezentatywne. Wspólną ich cechą jest występowanie w RVE jednego włókna, przy czy zakłada się, że przekroje włókien tworzą "tablicę" o określonej strukturze geoetrycznej (np. heksagonalnej, kwadratowej, obróconej kwadratowej i in.). Typowe "tablice" przekrojów włókien okrągłych i odpowiadające i eleenty reprezentatywne pokazano na rysunkach 7., 7. i Uproszczony reprezentatywny eleent objętości Reprezentatywny eleent objętości Rys. 7.. Heksagonalny układ przekrojów poprzecznych włókien i reprezentatywny eleent objętości. 35

4 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH 45 Uproszczony reprezentatywny eleent objętości Reprezentatywny eleent objetości Rys. 7.. Kwadratowy układ przekrojów poprzecznych włókien i reprezentatywny eleent objętości. 45 Uproszczony reprezentatywny eleent objętości Reprezentatywny eleent objetości Rys Obrócony kwadratowy układ przekrojów poprzecznych włókien i reprezentatywny eleent objętości. Wyiary reprezentatywnego eleentu objętości dobierane są zazwyczaj w ten sposób, że za jeden z nich przyjuje się rozstaw włókien w przekroju poprzeczny, za drugi grubość warstwy kopozytowej (lub rozstaw włókien na grubości warstwy), a trzeci dowolnie. Cele analizy RVE jest uzyskanie związków iędzy akroskopowo ierzalnyi charakterystykai ateriałowyi kopozytu i charakterystykai tworzących go składników, zapisanych sybolicznie w postaci równań (7.) - (7.3). Analiza ta oże być dokonywana przy zastosowaniu wielu etod, opartych na liniowej sprężystości i jej aparacie oralny. Większość autorów podaje za Chaise i Sendecki podział tych etod na następujące grupy : echanika ateriałów, etody wariacyjne ( twierdzenia ekstrealne - ang. energy bounding principles) etody pół-epiryczne etody sao-spójne (ang. sel-consistent ield) etody nueryczne. Metody nueryczne (etoda różnic skończonych, etoda eleentów skończonych, rozwinięcia szeregów) dostarczają cennych rozwiązań, ale ze swej natury dotyczą one określonych ateriałów i geoetrii włókien, co unieożliwia jakiekolwiek ich uogólnienia na inne ateriały. Pozwalają one jednak na weryikację założeń upraszczających wprowadzanych w odelach "analitycznych", dostarczających rozwiązań w orie zakniętej. Podejście echaniki ateriałów jest najprostsze tak pojęciowo, jak i obliczeniowo, toteż jest najczęściej wykorzystywane. Należy jednak ieć świadoość, że w przypadku odułu ścinania, a szczególnie poprzecznego odułu Younga daje ono wartości zaniżone w stosunku do wartości ierzonych w próbach doświadczalnych. Wprowadzane poprawki do odeli bazujących na echanice ateriałów nieco złagodziły wsponiane "niedoszacowanie", ale nie na tyle, aby óc bezkrytycznie uznać podejście echaniczne za wolne od wad czy ograniczeń w zastosowaniu. Nieniej jednak z uwagi na stosunkową jego prostotę, a jednocześnie prawidłowe jakościowo wnioski z niego płynące, a dotyczące wpływu (lub też jego braku) poszczególnych składników kopozytu na określone stałe ateriałowe - warte jest szerszego przedstawienia - dotyczyć tego będzie pkt. 7.. Będzie ta również pokazane tzw. podejście kobinowane echaniki ateriałów. W punkcie 7. przedstawione będzie sei-epiryczne podejście Halpina-Tsai'a, odgrywające podstawową rolę w wyznaczaniu charakterystyk sprężystych kopozytu. 36

5 ROZDZIAŁ 7 Metody wariacyjne oraz sao-spójne, jako etody o niejszy znaczeniu praktyczny zostaną tu poinięte. Czytelnicy zainteresowani tą teatyką ogą znaleźć szeroką prezentację tych etod i wynikających z nich rozwiązań we wsponianych we wstępie do skryptu podręczniku Jones'a, a także Delaware Encyclopedia. (vol.., sec..3). 7.. Charakterystyki ateriałowe kopozytu. Podejście echaniki ateriałów Analizowany będzie kopozyt jednokierunkowo zbrojony pokazany na rysunku 7.4 wraz z wyidealizowany odele obliczeniowy. a A A L L W B. Kopozyt jednokierunkowo zbrojony t W W t W B. Wyidealizowany odel kopozytu (odel echaniki ateriałów) Rys Kopozyt jednokierunkowy i jego odel echaniczny. Model wyidealizowany kopozytu jednokierunkowego jest zbudowany w ten sposób, że wszystkie włókna z próbki skupiono w jedny prostopadłościanie o objętości L t W, przy czy łączna powierzchnia przekrojów poprzecznych włókien A jest suą powierzchni wszystkich pojedynczych włókien o przekroju jednostkowy a. Podobne rozuowanie zastosowano do atrycy, której pole powierzchni "skupionego" przekroju poprzecznego oznaczono A. Osie współrzędnych (, ) są głównyi osiai ateriałowyi. Podejście echaniki ateriałów jest oparte na pewnych założeniach upraszczających, pozwalających uzyskać wielkości stałych ateriałowych w postaci zakniętej. Podstawowe założenia są następujące odkształcenia liniowe o kierunku włókien są takie sae w atrycy i we włóknach, obowiązuje jednoosiowy stan naprężenia, gdy próbka poddana jest działaniu obciążenia σ, σ, τ. Pierwsze z nich oznacza, że nie dopuszcza się poślizgów, jakie ogą wystąpić na granicach włókno/atryca i wywołanego nii eektu "wyrywania" włókna z atrycy. Mówiąc inaczej, zakłada się idealne (nierozerwalne) połączenie składników kopozytu. W oparciu o podejście echaniki ateriałów wyznaczone zostaną oduły Younga (podłużny E i poprzeczny E ), większy współczynnik Poisson'a ν, oduł ścinania G, a także współczynniki rozszerzalności cieplnej α i α w unkcji objętościowych udziałów włókien i atrycy oraz ich charakterystyk ateriałowych. W odniesieniu do własności włókien i atrycy odstąpiy od założenia ich izotropii, przyjując, że są one ortotropowe. Dzięki teu przypadek izotropii (również izotropii poprzecznej) będzie ożna uzyskać z otrzyanych rozwiązań jako przypadek szczególny. W dalszej analizie przyjęto następujące oznaczenia E, E, E, - podłużne oduły Younga, odpowiednio kopozytu, atrycy i włókien, E, E, E, - poprzeczne oduły Younga kopozytu, atrycy i włókien, 37

6 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH G, G, G, - oduły ścinania, kopozytu, atrycy i włókien, ν, ν, ν, - większe (ang. ajor) współczynniki Poisson'a kopozytu, atrycy i włókien, α, α, α, - współczynniki podłużnej rozszerzalności cieplnej kopozytu, atrycy i włókien, α, α, α, - współczynniki poprzecznej rozszerzalności cieplnej kopozytu, atrycy i włókien, v, v, - objętościowe udziały atrycy i włókien tzn. stosunki łącznej objętości atrycy i włókien do całkowitej objętości kopozytu Podłużny oduł Younga E Zależność określającą podłużny oduł Younga E ożna uzyskać rozważając odpowiedź odelu na przyłożone do ścianek poprzecznych do osi, równoierne obciążenie rozciągające σ. Odkształcenie liniowe, jakie wówczas powstaje, określone jest zależnością ( L) / L ε (7.4) = L k gdzie L k oznacza długość próbki po rozciągnięciu. Podłużny oduł sprężystości kopozytu wyrażony jest w ty przypadku związkie E = σ / ε (7.5) Tak więc, aby wyznaczyć E należy określić związek naprężenia σ z naprężeniai powstającyi w atrycy i we włóknach. Nie zachodzi taka potrzeba w przypadku odkształcenia ε, gdyż na ocy przyjętego wcześniej założenia, odkształcenia liniowe próbki i jej składników są takie sae, tzn. ε = = (7.6) ε ε Siły powstające w kopozycie, atrycy i włóknach, a wywołane obciążenie zewnętrzny wynoszą odpowiednio F = σ A F F = σ = σ A A Siła F rozdziela się iędzy włókna i atrycę, z warunku równowagi sił wynika zate związek F = + (7.8) F F Wstawiając (7.7) do (7.8) i korzystając z tego, że objętościowe udziały włókien i atrycy ożna zapisać w postaci v = A / A, v A / A (7.9) = otrzyujey zależność iędzy naprężeniai w kopozycie, atrycy i zbrojeniu σ = + σ (7.0) v σ v Podstawienie równania (7.0) do związku określającego podłużny oduł Younga - równanie (7.5), z uwzględnienie założenia (7.6), pozwala zapisać oduł E w postaci E ( σ / ε ) + v ( σ ε ) v / = (7.) Dla dalszej analizy kluczowe obecnie jest pytanie - jaką postać ają wyrazy ujęte w nawiasy, w równaniu (7.). Występujące ta odkształcenia ożna wyznaczyć ze związku izycznego (.). Paiętając o przyjęty założeniu o ortotropii tak włókien, jak i atrycy, acierz podatności w (.) należy przyjąć w postaci (.). Łatwo wykazać, że odkształcenia liniowe ε i ε zależą nie tylko od naprężeń noralnych - odpowiednio σ i σ, ale również pozostałych naprężeń noralnych. W kopozytach, na skutek różnicy iedzy wartościai współczynników Poisson'a dla atrycy i włókien, obciążenie σ oże wywoływać niezerowe wartości tych naprężeń. Ten eekt jest jednak w odelach echaniki ateriałów poijany i jak to powiedziano już wcześniej, przyjuje się jednoosiowy stan naprężenia. W rezultacie odkształcenia liniowe w atrycy i włóknach wynoszą (7.7) 38

7 ROZDZIAŁ 7 ε = σ / E, ε = σ / E (7.) Z (7.) po wstawieniu (7.) otrzyujey poszukiwaną wartość podłużnego odułu Younga kopozytu, wyrażoną poprzez udziały objętościowe i podłużne oduły Younga atrycy i włókien E = + (7.3) v E v E Równanie (7.3) nosi nazwę zasady ieszanin dla podłużnego odułu sprężystości. Wynika z niego liniowa zależność odułu podłużnego od objętościowych udziałów atrycy i włókien. Na rysunkach 7.5 i 7.6 przedstawiono zależność unorowanego odułu podłużnego kopozytu, odpowiednio E / E i E / E w unkcji objętościowego udziału włókien, przy wartościach stosunku odułu podłużnego atrycy i włókien, występujących w rzeczywistych kopozytach. Unorowany podłużny oduł Younga E / E E / E= Objętościowy udział włókien V Rys Zależność unorowanego odułu sprężystości E / E od objętościowego udziału włókien. Unorowany podłużny oduł Younga E / E E / E= Objętościowy udział włókien V Rys Zależność unorowanego odułu sprężystości E / E od objętościowego udziału włókien. Z wykresu (7.5) widać, że oduł unorowany E /E w niewielki stopniu zależy od stosunku odułów sprężystości składników. Zależy on przede wszystki od udziału włókien (ty say atrycy) w kopozycie. W pewny przybliżeniu ożna powiedzieć, że oduł podłużny kopozytu jest równy iloczynowi objętościowego udziału włókien i ich odułu podłużnego - np. przy 50 procentowy udziale objętościowy składników, oduł podłużny kopozytu jest równy ok. połowie odułu podłużnego włókien. Tak więc chcąc uzyskać kopozyt o dużej sztywności podłużnej należy zastosować w odpowiedniej ilości włókna z ateriału o wysoki odule sprężystości, atrycy pozostawiając rolę przede wszystki spoiwa. 39

8 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH Powyższe wnioski wynikają także z wykresu (7.6), z którego łatwiej prześledzić jest znaczenie włókien w kopozycie. Weźy jako stan wyjściowy ateriał jednorodny bez udziału włókien tzn. saą atrycę. Jej oduł Younga jest rzędu kilku GPa (tablica.3). Dodanie niewielkiej ilości włókien - np. w ilości 0 procent objętości kopozytu (w rzeczywistych kopozytach włókna stanowią średnio 60 procent) powoduje wzrost odułu podłużnego, już nie ateriału jednorodnego, ale kopozytu, od kilku do kilkunastu razy (w zależności od odułu włókien) w stosunku do stanu wyjściowego! Liczne badania doświadczalne wykazały, że związek (7.3) daje bardzo dobrą zgodność wartości odułu podłużnego obliczonego na podstawie charakterystyk składników kopozytu i poierzonego w testach Większy współczynnik Poisson'a ν Obciążenie σ wywołuje nie tylko wydłużenie próbki w kierunku osi "", ale również jej poprzeczne zwężenie w kierunku osi "". Tak więc odkształcenio liniowy ε, ε, ε uszą towarzyszyć odkształcenia ε, ε i ε. Odkształcenie próbki ε ożna wyznaczyć na podstawie deoracji warstwy kopozytowej, której odel pokazano na rysunku 7.4 B. Zdeorowaną warstwę przedstawiono na rysunku 7.7. Zgodnie z (.) większy współczynnik Poisson'a ν wyznaczyy ze związku ν = ε / ε (7.4) W W W W k W k W k Próbka przed deoracją Próbka po deoracji Rys Rozciągana próbka przed i po deoracji. Stosując oznaczenia jak na rysunku 7.7 (indeks "k" oznacza, że dana wielkość odnosi się do stanu po deoracji, zaś jego brak - wyiary początkowe), odkształcenie poprzeczne warstwy, atrycy i włókien - odpowiednio ε, ε i ε, ożna zapisać w postaci ( W )/ W ε = W k (7.5) ( W k W )/ ( W k W )/ ε (7.6) = W ε (7.7) = W Z rysunku wynikają następujące zależności odnoszące się do wyiarów warstwy W = W + W (7.8) W = W + W (7.9) k k k Po podstawieniu (7.8) i (7.9) do (7.5) otrzyay ( W W )/ W + ( W W )/ W ε (7.0) = k k Objętościowe udziały atrycy i włókien wynoszą 40

9 ROZDZIAŁ 7 v W L t W L t = = W / W, v = W / W (7.) W L t W L t = Wykorzystanie (7.6) i (7.7) oraz (7.) pozwala zapisać odkształcenie poprzeczne warstwy kopozytowej w postaci zależności ε = ε + ε (7.) v v Zakładając, podobnie jak przy wyznaczaniu podłużnego odułu Younga, jednoosiowy stan naprężenia - odkształcenia poprzeczne atrycy i włókien wyrażają się wyłącznie poprzez ich odkształcenia podłużne; zachodzą zate związki ε ν = ε (7.3) ε = ν (7.4) ε Tak więc ε = ν ε ν ε (7.5) v v Wstawiając otrzyane wyrażenie do deinicji współczynnika Poisson'a (7.4) i wykorzystując założenie o równości odkształceń podłużnych warstwy, atrycy i lainatu - równanie (7.6) - otrzyay poszukiwany większy współczynnik Poisson'a w postaci zasady ieszanin ν = v ν + v ν (7.6) Zależność odułu Poisson'a od objętościowego udziału włókien a identyczny charakter jak zależność podłużnego odułu Younga - rysunek 7.5 i i podobnie jak zasada ieszanin dla odułu E - równanie (7.3), tak i zasada ieszanin (7.6) dla większego współczynnika Poisson'a ν bardzo dobrze odpowiada wyniko doświadczalny Poprzeczny oduł Younga E W celu wyznaczenia poprzecznego odułu Younga E należy zbadać zachowanie warstwy przy obciążeniu jej powierzchni bocznej t L, równoiernie rozłożony obciążenie o wartości σ. Zakłada się, że tak atryca, jak i włókna poddane są działaniu tego saego naprężenia co cała warstwa, zachodzi więc warunek σ = σ = σ (7.7) Poprzeczny oduł Younga jest zdeiniowany równanie E = σ ε (7.8) / Występujące w (7.8) odkształcenie ε wynika z deoracji warstwy, wywołanej obciążenie zewnętrzny i wynosi ( W )/ W ε = W k (7.9) Korzystając z podanych w pkt. 7.. zależności geoetrycznych (7.6) - (7.), obowiązujących również w rozpatrywany przypadku, otrzyujey ε = ε + ε (7.30) v v Po podstawieniu (7.30) do deinicji E - (7.8) i wykorzystaniu założenia (7.7), odwrotność poprzecznego odułu Younga wyraża się związkie ( E ) ( ε / σ ) v + ( ε / σ ) v = (7.3) Należy teraz ponownie skorzystać z założenia, że na skutek obciążenia zewnętrznego warstwy powstaje w niej jednoosiowy stan naprężenia, dzięki czeu odkształcenia ε i ε wynoszą ε = σ (7.3) / E ε = (7.33) σ / E 4

10 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH Po wstawieniu (7.3) i (7.33) do równania (7.3), przybiera ono postać ( / E ) ( v / E ) + ( v / ) = (7.34) E Równanie (7.34) określające odwrotność poprzecznego odułu Younga E nosi nazwę odwrotnej zasady ieszanin. Przekształcając (7.34) otrzyujey poszukiwany oduł poprzeczny w postaci E E E = (7.35) v E + v E Graiczny obraz związku (7.35) przedstawiono w postaci wykresu na rysunku 7.8, na który pokazano zianę unorowanego odułu poprzecznego E /E w unkcji objętościowego udziału włókien V dla wybranych wartości stosunku E /E. Unorowany poprzeczny oduł Younga E / E E / E = Objętościowy udział włókien V Rys Poprzeczny oduł Younga kopozytu w unkcji objętościowego udziału włókien. Z wykresu 7.8 widać, że oduł poprzeczny kopozytu jest w bardzo ały stopniu zależny od stosunku odułów włókien i atrycy. Przykładowo, przy 50 procentowy udziale włókien, niezależnie od tego jak duży byłby oduł E włókien, jest on ok. dwukrotnie większy od poprzecznego odułu atrycy. Wynika stąd wniosek, że o poprzecznych własnościach sprężystych kopozytu decyduje głównie atryca, zaś włókna nie odgrywają w ty względzie większej roli. May tu więc do czynienia z przypadkie odwrotny do własności podłużnych, o których decydowały przede wszystki włókna, zaś własności atrycy nie iały większego znaczenia. W przeciwieństwie do zasady ieszanin uzyskanej dla odułu podłużnego Younga i większego współczynnika Poisson'a, odwrotna zasada ieszanin dla odułu poprzecznego nie daje równie dobrej zgodności z wynikai doświadczalnyi. Wartości obliczone z (7.35) są z reguły zaniżone w stosunku do wartości poierzonych. Przyczyny tego należy szukać w przyjętych założeniach upraszczających. Zauważy, że nie są one spójne. Wykażey to na przykładzie odkształceń podłużnych, które uszą powstać w atrycy i włóknach w odpowiedzi na przyłożone obciążenie σ Mają one postać ε ν = ε (7.36) ε = ν ε (7.37) Wstawiając do powyższych związków zależności (7.3) i (7.33), otrzyane przy założeniu jednoosiowego stanu naprężenia, a także korzystając z założenia (7.7) otrzyujey ( σ / ) ( σ / ) ε = ν (7.38) E ε = ν E (7.39) Stosunek odkształceń podłużnych w atrycy i włóknach obliczony na podstawie (7.38) i (7.39) wynosi ( ν / E )( E ) ε / ε = ν (7.40) / 4

11 ROZDZIAŁ 7 Widać zate, że za wyjątkie "teoretycznego" kopozytu, dla którego zachodzi związek ν / = ν (7.4) E / E odkształcenia podłużne atrycy i włókien są różne (różne byłyby w ty przypadku również przeieszczenia), co nie tylko jest sprzeczne z podstawowy założenie odelu, ale również jest nie do przyjęcia w rzeczywistych kopozytach, gdyż oznaczałoby to niezależną pracę atrycy i włókien Moduł ścinania G Moduł ścinania G oże być wyznaczony na podstawie analizy deoracji warstwy, pokazanej na rysunku 7.4 B, poddanej działaniu równoiernego obciążenia τ, równoległego do włókien, ale przyłożonego do powierzchni bocznej L t. Przedstawiono to na rysunku 7.9. τ W W γ γ τ L Rys Deoracja wyidealizowanego odelu warstwy kopozytu przy ścinaniu. Moduł ścinania w płaszczyźnie (, ) zdeiniowany jest jako stosunek naprężenia τ i wywołanego ni odkształcenia kątowego γ, tzn. G = τ γ (7.4) / Przyjuje się założenie, że naprężenia styczne w kopozycie i jego składnikach są takie sae τ = = τ τ (7.43) Odkształcenie kątowe warstwy γ wywołane przyłożony obciążenie zewnętrzny wyraża się poprzez przeieszczenie i zgodnie z rysunkie 7.9 wynosi tanγ = / W (7.44) Korzystając z jednego z undaentalnych założeń "klasycznej" teorii sprężystości, a ianowicie założenia o ałych przeieszczeniach, wielkość γ ożna uznać za na tyle ałą, aby jej tangens uznać za równy saej wielkości. Ponadto, jeżeli uwzględnić zależność geoetryczną poiędzy przeieszczeniai = + (7.45) to odkształcenie kątowe wynosi γ W + / W (7.46) / Zastosowanie założenia o ałych przeieszczeniach w stosunku do odkształceń kątowych atrycy i włókien, pozwala wyrazić je zależnościai γ / W (7.47) γ (7.48) / W Wyznaczając z (7.47) i (7.48) przeieszczenia i wstawiając je do (7.46), a także wykorzystując (7.), odkształcenie kątowe warstwy ożna zapisać w postaci γ = γ + γ (7.49) v v 43

12 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH Związek (7.49) należy teraz podstawić do deinicji odułu ścinania (7.4), korzystając dodatkowo z założenia o równości naprężeń stycznych (7.43). W wyniku tej operacji uzyskujey wyrażenie ( / G ) ( γ / τ ) v + ( γ / τ ) v = (7.50) Założenie, po raz kolejny, jednoosiowego stanu naprężenia powoduje, że wyrażenia ujęte w nawiasy w równaniu (7.50) są równe odwrotnościo odułów ścinania, kolejno atrycy i włókien. Ostatecznie zate odwrotność odułu ścinania warstwy kopozytowej jest określona związkie ( / G ) ( v / G ) + ( v / ) = (7.5) G Po odwróceniu powyższej relacji otrzyujey poszukiwany związek iędzy odułe ścinania kopozytu, a odułai ścinania jego składników G GG = (7.5) G v + G v Związek (7.5) to odwrotna zasada ieszanin dla odułu ścinania. Wnioski dotyczące odwrotnej zasady ieszanin dla odułu poprzecznego odnoszą się w równy stopniu do odułu G Mniejszy współczynnik Poisson'a ν Mniejszy współczynnik Poisson'a jest wielkością zależną od podłużnego i poprzecznego odułów Younga oraz większego współczynnika Poisson'a i wyraża się zależnością ( E / ) ν ν = (7.53) E W celu jego wyznaczenia należy wykorzystać wyprowadzone uprzednio związki określające E, E i ν, czyli równania (7.3), (7.35) i (7.6). Otrzyujey następującą postać niejszego współczynnika Poisson'a E E ν = + (7.54) ( )( ) ( v ) ν ν v E + v E v E + v E v Ze względu na obecność odułu poprzecznego Younga (równanie (7.35)) w liczniku wyrażenia (7.53), zależność (7.54) daje, podobnie jak (7.35) wartości zaniżone w stosunku do wartości poierzonych doświadczalnie Współczynnik podłużnej rozszerzalności cieplnej α Współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej w kierunku podłużny - α - ożna wyznaczyć analizując odkształcenia warstwy kopozytu ogrzanej równoiernie (tzn. ogrzana jest zarówno atryca, jak i włókna ) o T stopni. Odkształcenie liniowe warstwy wywołane jej ogrzanie wynosi ε = α T (7.55) stąd współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej α - obliczyy ze związku α = ε T (7.56) / Obowiązuje nadal założenie, że odkształcenia podłużne kopozytu i jego składników są równe ε = = (7.57) ε ε Wskutek różnych wartości współczynników rozszerzalności liniowej atrycy i włókien, ich odkształcenia podłużne wywołane zianą teperatury są również różne i wynoszą T ε = α T (7.58) T ε = α T (7.59) 44

13 ROZDZIAŁ 7 Różne odkształcenia oznaczałyby w ty przypadku wciąganie (lub wyciąganie) włókien do (z) atrycy. Stoi to w jawnej sprzeczności z przyjęty założenie (7.57) (także z zachowanie rzeczywistych kopozytów). Sprzeczność jest jednak "pozorna", gdyż różnica odkształceń czysto cieplnych indukuje tak w atrycy, jak i włóknach naprężenia echaniczne, wyrażające się następującyi związkai M E ε σ = M E ε σ = Dzięki teu całkowite odkształcenia w atrycy i włóknach wynoszą T M ε + ε = α T σ / E (7.60) (7.6) ε = + (7.6) T M ε + ε = α T σ / E ε = + (7.63) Z warunku (7.57), wynika że usi zachodzić związek α + (7.64) T + σ / E = α T σ / E Warunek równowagi sił wyaga, aby σ A + σ A 0 (7.65) = Równania (7.64) i (7.65) tworzą układ równań, którego rozwiązanie względe σ i σ a postać v ( α α ) T ( v / E ) + ( v / E ) σ = (7.66) v ( α α ) T ( v / E ) + ( v / E ) σ = (7.67) Korzystając z równań np. (7.57) i (7.6), współczynnik rozszerzalności liniowej α ożna wyrazić w postaci ( E T ) α = α + σ / (7.68) a po wstawieniu (7.66) i prostych przekształceniach otrzyujey poszukiwaną zależność współczynnika α kopozytu od charakterystyk atrycy i włókien tj. współczynników podłużnej rozszerzalności cieplnej, odułów podłużnych sprężystości i objętościowych udziałów składników v α E + v α E α = (7.69) v E + v E Współczynnik poprzecznej rozszerzalności cieplnej α Całkowite odkształcenie poprzeczne warstwy kopozytu wywołane przyroste teperatury T określone jest zależnością ε = α T (7.70) gdzie α oznacza współczynnik poprzecznej rozszerzalności cieplnej kopozytu. Odkształcenia składników kopozytu w kierunku poprzeczny do włókien są suą odkształceń cieplnych i echanicznych T M = ε ε ε + gdzie T M ε ε ε = + (7.7) T T ε = α T ε = α T (7.7) 45

14 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH ε ε M M ν ε = ν σ / E = (7.73) M M ν ε = ν σ / E = (7.74) Odkształcenia poprzeczne atrycy i włókien wynoszą zate ( σ E ) + T ε (7.75) = ν / α ( σ E ) + T ε (7.76) = ν / α Analiza geoetryczna deoracji poprzecznej warstwy jest identyczna z tą, która została przeprowadzona w pkt wzory (7.5) - (7.). Prawdziwy jest zate związek ε = + ε (7.77) v ε v Wstawiając do (7.77) związki (7.75) i (7.76) oraz wykorzystując równanie (7.70), otrzyay po przekształceniach poszukiwany współczynnik poprzecznej rozszerzalności cieplnej α w postaci ( E ν E ν )( α α ) v v α = ( v α + v α ) + (7.78) v E + v E Kobinowany odel ikroechaniczny Powiedziano już wcześniej, że "poprzeczne" charakterystyki ateriałowe (E, G ) obliczone z odwrotnej zasady ieszanin dają wartości zaniżone w stosunku do poierzonych. To sprawiło, że poszukiwane były inne odele, które pozwalałyby wyznaczyć te charakterystyki tak, aby lepiej odpowiadały wyniko doświadczalny. Należy do nich tzw. kobinowany odel ikroechaniczny, zaproponowany przez Shaera w 964 roku. Aby wyjaśnić jego budowę, wróćy jeszcze raz do odelu zaprezentowanego w poprzednich punktach. Zauważy, że zależności w postaci zasady ieszanin i odwrotnej zasady ieszanin ożna uzyskać stosując etodę analogiczną do tzw. etody odeli strukturalnych, znanej z teorii lepkosprężystości. W odniesieniu do podłużnego odułu Younga i większego współczynnika Poisson'a odel wyidealizowany pokazany na rysunku 7.4 B, traktuje się jak równoległe połączenie azy atrycy i włókien - rysunek 7.0. W eleentach połączonych równolegle występuje takie sao odkształcenie i w rezultacie charakterystyki podłużne ożna zapisać ogólny równanie P = v (7.79) k P k k=, σ P = E, ν v P v P P = E, ν P = E, ν σ Rys Równoległe połączenie atrycy i włókien w kierunku podłużny. W odniesieniu do poprzecznego odułu Younga i odułu ścinania odel wyidealizowany traktuje się jak szeregowe połączenie azy atrycy i włókien - rysunek

15 ROZDZIAŁ 7 P = E, G v P v P σ σ P = E, G P = E, G Rys. 7.. Szeregowe połączenie atrycy i włókien w kierunku poprzeczny. W ty przypadku w szeregowo połączonych eleentach takie sao jest naprężenie, co powoduje, że charakterystyki warstwy ożna opisać ogólny równanie w postaci P v k = P k =, k (7.80) Cechą, która odróżnia odel kobinowany od odelu czysto szeregowego/równoległego jest to, że w kierunku poprzeczny przyjuje się trójazową budowę przekroju poprzecznego warstwy kopozytu. Wyróżnia się, jak poprzednio, włókna i atrycę, z ty, że atrycę dzieli się na część o polu A p, zawartą w "pasach" wolnych od włókien i część o polu A s, leżącą w "pasach" zawierających włókna. Warstwę kopozytu wraz z wyidealizowany odele kobinowany pokazano na rysunku 7.. A A p A A p A s A A A s A s A A p B B A. Warstwa kopozytu i jej przekrój poprzeczny B. Wyidealizowany odel "kobinowany" warstwy i jej przekrój poprzeczny Rys. 7.. Warstwa kopozytu wraz z wyidealizowany odele kobinowany. Przekrój B na rysunku 7. jest więc na gruncie teorii odeli strukturalnych, w kierunku osi "", połączenie równoległo/szeregowy dwuobszarowej atrycy i włókien. Pokazano to na rys włókna "" atryca "s" A A p A s σ σ atryca "p" Rys Połączenie atrycy i włókien w odelu kobinowany. Wprowadza się następujące określenia udziałów objętościowych poszczególnych az v = A / A (7.8) ( A A )/ A v = p + s (7.8) v p = A p / A (7.83) 47

16 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH v s = A s / A (7.84) v = A / A (7.85) s s gdzie s s s v = A / A (7.86) A = A p + A s (7.87) A = A + A (7.88) s s Z powyższych deinicji wynikają następujące zależności v v v v + v (7.89) = + v (7.90) p s = s s / ( v p ) ( v v p )/ ( v p ) = v s = v (7.9) = (7.9) Dla zilustrowania podanych związków, na rysunku 7.4 pokazane zostały typowe sposoby ułożenia ("upakowania") włókien o przekroju kołowy w przekroju poprzeczny warstwy, a ianowicie układ kwadratowy (układ "K") i heksagonalny (układ "H") wraz z eleentai reprezentatywnyi. d d Układ kwadratowy ( K ) a a Układ heksagonalny ( H ) h h h Rys Typy "upakowania" włókien w przekroju, wykorzystywane w odelu kobinowany. W tabeli 7. podano wszystkie charakterystyki powierzchniowe i udziały objętościowe az, występujące w analizie odelu kobinowanego, dla podstawowych układów włókien kołowych w przekroju poprzeczny warstwy kopozytowej. A A s A A s A p v v s v p Ograniczenia układ "K" a ad π d 4 ad π d 4 (a-d) a π d 4a π d 4a d a a d v układ "H" 3h hd 4 π d 8 dh π d 8 3 h hd π d 4 3 h π d 4h d 3 h h d 3 v TABELA 7.. Charakterystyki powierzchniowe i objętościowe dla różnych typów ułożenia włókien. W dalszej analizie stosowane będą następujące oznaczenia : 48

17 ROZDZIAŁ 7 P - wybrana charakterystyka ateriałowa kopozytu ( oduł Younga, współczynnik Poisson'a, oduł ścinania), P - charakterystyka ateriałowa atrycy, odpowiadająca wyznaczanej wielkości P, P - charakterystyka ateriałowa włókien, odpowiadająca wyznaczanej wielkości P, P s - charakterystyka ateriałowa "sub-odelu", powstałego z szeregowego połączenia włókien i atrycy. Stosując w odniesieniu do eleentów odelu kobinowanego, połączonych równolegle (rys. 7.3) zależność (7.79), otrzyujey P v P ( v p ) P s = p + (7.93) Wielkość Ps wyznacza się z zależności (7.80) dla połączenia szeregowego ( / P ) ( v / P ) + ( v / P ) s = s s (7.94) która po odwróceniu daje P P P s = P + v s ( P P ) (7.95) Po wstawieniu (7.95) do (7.93) i wykorzystaniu (7.9) otrzyujey zależność danej charakterystyki ateriałowej warstwy od odpowiadających jej charakterystyk ateriałowych i geoetrycznych składników kopozytu w postaci równania ( v p v p V ) + v p v ( v ) v ( P P ) p P P P P = (7.96) P W przypadku charakterystyk "podłużnych" tzn. odułu sprężystości E i większego współczynnika Poisson'a ν, odel kobinowany należy traktować jako połączenie równoległe eleentów, przedstawione na rysunku 7.5. σ v s P s v p P v s P v s P A σ B P P s Rys Połączenie atrycy i włókien w kierunku podłużny w odelu kobinowany. Zgodnie z zależnością (7.9), dla połączenia równoległego przedstawionego na rysunku 7.5 A i B otrzyujey odpowiednio p s s p ( v p ) P s P = v P + v P = v P + (7.97) P ( v s ) P s= v s P + v s P = v s P + (7.98) Wstawiając (7.98) do (7.97) i wykorzystując związek (7.9), otrzyay po przekształceniach zależność iędzy charakterystykai kopozytu i charakterystykai ateriałowo-geoetrycznyi atrycy i włókien w kierunku podłużny, w postaci P = v P + v P (7.99) 49

18 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH Równanie (7.99) to oczywiście zasada ieszanin dla stałych ateriałowych E i ν, tak więc w odniesieniu do własności podłużnych odel kobinowany nie wnosi nic nowego w porównaniu ze zwykły odele echaniczny. Równania (7.96) i (7.99) ożna zapisać w postaci jednego, wspólnego równania P P = gdzie ( + ξ χv ) χv p v pv ξ = (7.0) v v P P χ = (7.0) P + ξp Dla ułatwienia dalszej analizy wstawy (7.0) i (7.0) do (7.00). Otrzyay wówczas P P = [ P + ξp + ξv ( P P )] P + ξp v ( P P ) Korzystając z (7.03) ożna wykazać, że dla granicznych wartości ξ, tzn. ξ 0 i ξ otrzyay (7.03) P = v P + v P dla ξ (7.04) P P P = dla ξ 0 (7.05) v P + v P Równanie (7.04) jest ogólny zapise równań (7.3) i (7.6) przedstawiających odpowiednio podłużny oduł Younga E i większy współczynnik Poisson'a ν, natoiast równanie (7.05) stanowi ogólną postać równań (7.35) i (7.5) określających odpowiednio oduł Younga E i oduł ścinania G. Charakterystyki ateriałowe rzeczywistych ateriałów kopozytowych leżą w przedziale zawarty iędzy wartościai granicznyi określonyi przez (7.04) i (7.05). Najważniejsze wnioski wynikające z dotychczasowej analizy odelu kobinowanego są następujące przy wyznaczaniu charakterystyk ateriałowych w kierunku podłużny, tzn. E i ν należy korzystać z zasady ieszanin (7.99), przy wyznaczaniu charakterystyk ateriałowych w kierunku poprzeczny do włókien, tzn. E i G należy stosować równania (7.96) lub (7.00) - (7.0). Warto w ty iejscu sprawdzić, w jaki stopniu przyjęcie odelu kobinowanego wpływa na zianę wartości charakterystyk poprzecznych w stosunku do rezultatów wynikających ze "zwykłego " odelu ikroechanicznego. W ty celu wykorzystay pokazane na rysunku 7.4 typy upakowania włókien w przekroju i wyznaczyy dla nich wartości unorowanego odułu poprzecznego E /E w unkcji objętościowego udziału włókien v. Z zależności podanych w tabeli 7. wynikają następujące związki dla układu, odpowiednio, kwadratowego i heksagonalnego v v " K" v p = 4 π (7.06) " H" p π = 8v 3 (7.07) Z równania (7.0) należy wyznaczyć paraetr upakowania ξ, a następnie z równania (7.0) paraetr χ, który w oawiany przypadku ożna zapisać w postaci χ = ( E / E ) ( E / E ) + ξ (7.08) Korzystając z (7.00) otrzyujey ostateczną postać unorowanego odułu Younga E /E w unkcji objętościowego udziału włókien i paraetrów geoetrycznych zależnych od sposobu ich upakowania w przekroju 50

19 ROZDZIAŁ 7 E E + ξ χv = (7.09) χv Wykresy zależności (7.09) dla obu typów ułożenia włókien przedstawiono na rysunkach 7.6 i 7.7. Wykresy te praktycznie są identyczne, co więcej niewiele różnią się od analogicznego wykresu otrzyanego dla odelu "zwykłego", pokazanego na rysunku 7.8. Model kobinowany w porównaniu z odele zwykły daje wartości odułu poprzecznego większe o ok procent w przypadku typu kwadratowego i procent w przypadku typu heksagonalnego (zależnie od wartości V ). Unorowany poprzeczny oduł Younga E / E E / E = Objętościowy udział włókien v Rys Unorowany poprzeczny oduł sprężystości dla ułożenia włókien typu kwadratowego wg odelu kobinowanego. Unorowany poprzeczny oduł Younga E / E E / E = Objętościowy udział włókien v Rys Unorowany poprzeczny oduł sprężystości dla ułożenia włókien typu heksagonalnego wg odelu kobinowanego. Tak więc odel kobinowany poprawia niedoszacowanie wartości charakterystyk poprzecznych, właściwe dla odelu zwykłego, ale w stopniu nie wystarczający, jeśli wziąć pod uwagę wartości otrzyywane w badaniach doświadczalnych Podsuowanie podejścia ikroechaniki ateriałów Podsuowując podejście oparte na analizie odeli ikroechanicznych należy stwierdzić, że : io wielu założeń upraszczających, dostarcza ono prawidłowych jakościowo inoracji dotyczących roli włókien i atrycy w kopozycie (pkt. 7.. i 7..3) koncepcja ta oże być bez trudu zastosowana do ośrodków wieloazowych, o składnikach dowolnie (ale szeregowo lub równolegle) połączonych w odelu wyidealizowany, 5

20 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH podłużne charakterystyki ateriałowe E, ν i α, wynikające z zasady ieszanin są zgodne z rezultatai badań doświadczalnych, tak więc α E + = v E v E ν ν + = v v v = α v E E + v ν + v α wartości poprzecznych charakterystyk ateriałowych E, G wynikające z odwrotnej zasady ieszanin są zaniżone w porównaniu z wartościai uzyskiwanyi w badaniach doświadczalnych, tak więc zależności E = v E E E + v E E G E = G G służą przede wszystki jako dolne oszacowanie wartości rzeczywistych. v G + G v 7.. Charakterystyki ateriałowe kopozytu Podejście sei-epiryczne Halpina - Tsai'a Zależności określające poprzeczne charakterystyki kopozytu w unkcji własności ateriałowych i geoetrycznych jego składników, wynikające z podejścia echaniki ateriałów, jakkolwiek proste w użyciu i słuszne jakościowo, nie dają oszacowań ilościowych zgodnych z wynikai doświadczalnyi. Metody bardziej wyrainowane, oparte na analizie zagadnienia brzegowego teorii sprężystości dla reprezentatywnej próbki kopozytu prowadzą do zależności lepiej oddających związek własności kopozytu z własnościai składników. Wyrażają się one jednak skoplikowanyi równaniai, a ponadto występują w nich dodatkowe współczynniki (oprócz tych, któryi operuje się w analizie odeli ikroechanicznych), których interpretacja i powiązanie z "klasycznyi" pojęciai, jak ułożenie włókien w przekroju, jest niejasne, a ich wartości prowadzące do prawidłowych oszacowań w jedny przypadku, zawodzą w inny. Taka sytuacja a iejsce np. w zaproponowany przez Tsai'a odelu uwzględniający stopień przylegania włókien (ang. elasticity approach with contiguity), który wprowadza współczynnik skupienia (przylegania - ang. contiguity actor) C - rysunek 7.8. C=0 Izolowane włókna Spójna atryca C= Niespójna atryca Przylegające włókna Rys Przypadki graniczne stopnia przylegania włókien. Szeroką analizę tego odelu ożna znaleźć w onograii Jones'a. W świetle powyższych uwag naturalne więc wydaje się poszukiwanie takich relacji, które z jednej strony byłyby w iarę proste, a z drugiej pozwalałyby w iarodajny sposób wyznaczać własności kopozytu. Warunki te spełnia sei-epiryczny związek podany w 969 roku przez Halpina i Tsai'a. Stanowi on przybliżenie rozwiązań Heransa z 967 roku, uogólniających z kolei odel Hill'a z 965 roku. Równanie Halpina-Tsai'a a postać P P gdzie ( + ξ χv ) = (7.0) χv 5

21 ROZDZIAŁ 7 χ = ( P / P ) ( P / P ) + ξ (7.) Zauważy, że identyczny oralnie rezultat uzyskaliśy z analizy odelu kobinowanego, z tą różnicą, że współczynnik ξ jest w odelu Halpina-Tsai'a rozuiany jako paraetr wyznaczany doświadczalnie, a nie wynikający wprost z teoretycznej analizy ułożenia włókien w przekroju poprzeczny kopozytu, jak to iało iejsce w odelu kobinowany. Foralne podobieństwo podejścia Halpina-Tsai'a i odelu kobinowanego sprawia, że aktualne jest równanie (7.03) i widoczne z niego przejścia graniczne P = v P + v P dla ξ (7.) P P P = dla ξ 0 (7.3) v P + v P Na rysunku 7.9 pokazano wykres zależności (7.0) wraz z ograniczeniai (7.) (7.3). Widać z niego, że wraz ze wzroste wartości paraetru ξ rośnie wpływ włókien na wartość charakterystyki ateriałowej "P" kopozytu (przy ustalony ich udziale objętościowy, wartość charakterystyki ateriałowej P zbliża się coraz bardziej do charakterystyki włókien). Z tego względu współczynnik ξ jest nazywany iarą "wydajności zbrojenia". Wartość współczynnika ξ określa się w ten sposób, że dla próbki kopozytowej o znanych własnościach izycznych i geoetrycznych składników wyznacza się doświadczalnie daną charakterystykę ateriałową P=P*. Z przekształconego równania (7.03) oblicza się dla tej wartości P* współczynnik ξ ( P * P ) v P * ( P P ) [( P P * ) ( v )( P P )] P ξ = (7.4) P Na podstawie raz obliczonej wartości ξ dla danego układu danych (P*, v ) ożna wyznaczyć wartość P dla dowolnego udziału objętościowego włókien, gdyż przyjuje się, że nie a on większego wpływu na współczynnik zbrojenia ξ. Charakterystyka kopozytu "P" P P ξ = Objętościowy udział włókien v 0 Rys Wpływ współczynnika zbrojenia ξ na wartość charakterystyki ateriałowej P. W okresie, gdy Halpin i Tsai zaproponowali równanie (7.0) liczba danych doświadczalnych była tak skąpa, że przedstawiona powyżej procedura została "zodyikowana" w ten sposób, że wartość P*, która powinna być wzięta z doświadczeń, została zastąpiona wartościai uzyskanyi z bardzo starannych obliczeń nuerycznych. Wykazały one ponadto, że ξ zależy od kształtu przekroju włókien i sposobu ich upakowania. Na rysunku 7.0 podano wartości ξ dla typowych kształtów włókien i ich ułożenia w przekroju kopozytu, które zostały uzyskane na podstawie obliczeń nuerycznych Adasa i Donera (włókna kołowe) i Foye (włókna kwadratowe i prostokątne). 53

22 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH okrągłe włókna w układzie kwadratowy kwadratowe włókna w układzie diaentowy ξ = lub ξ = v ξ = ξ = dla P = G dla P = E prostokatne włókna w układzie diaentowy ξ = Rys Wartości współczynnika zbrojenia dla typowych włókien i ich układów. Na rysunku (7.) pokazano scheatycznie wykres poprzecznego odułu sprężystości E w unkcji objętościowego udziału włókien, sporządzony zgodnie z odwrotną zasadą ieszanin (7.05), wg odelu kobinowanego (7.00)-(7.0) dla układu "kwadratowego (7.06) oraz wg. wzoru Halpina- Tsaia (7.0) dla ξ=. Widać, że wartości otrzyane z tego wzoru są zdecydowanie większe niż wartości wynikające z odeli ikroechaniki ateriałów, a różnice wynoszą - w zależności od objętościowego udziału włókien - od kilkudziesięciu do stukilkudziesięciu procent! Badania doświadczalne przeprowadzone na różnych ateriałach kopozytowych wykazały bardzo dobrą korelację wyników doświadczeń z wartościai obliczonyi ze wzoru Halpina-Tsaia. Okazało się, że opisuje on prawidłowo charakterystyki ateriałowe nawet kopozytów wzacnianych cząsteczkai, a więc zupełnie odiennych od kopozytów włóknistych Równanie Halpina-Tsaia jest zgodne oralnie z wieloa innyi odelai teoretycznyi (np. odele kobinowany i odelai nuerycznyi Adasa, Donera i Foye), unika natoiast ich wad lub stopnia skoplikowania. Uważa się je nadal za najbardziej użyteczne narzędzie przy określaniu stałych ateriałowych kopozytu w unkcji własności składników. Poszukiwanie lepszych wydaje się być zajęcie w pewny sensie niecelowy, a także i prawdopodobnie niewykonalny, gdyż "wrodzoną" cechą technologii wytwarzania kopozytów jest to, iż produkt inalny zawsze charakteryzuje się nieregularnościai w ułożeniu włókien, nie wspoinając o różnicach we własnościach, katalogowo tych saych, tak atryc jak i włókien, co oczywiście znajduje swoje odbicie w wartościach charakterystyk ateriałowych. Tak więc wszelkie oczekiwania, że ożna przewidzieć te charakterystyki ze stuprocentową dokładnością są z góry skazane na porażkę, a dokładność, z jaką ożna je określić z równania Halpina-Tsaia jest całkowicie wystarczająca. ξ = 3 a b a a ln b b Moduł sprężystości kopozytu E E E odwrotna zasada ieszanin odel kobinowany K wzór Halpina -Tsaia ( ξ = ) Objętościowy udział włókien v Rys. 7.. Poprzeczny oduł Younga wg różnych etod ikroechanicznych 54

23 ROZDZIAŁ 7 Na zakończenie rozdziału poświęconego określaniu charakterystyk ateriałowych kopozytu w zależności od charakterystyk jego składników warto podać wzory określające te charakterystyki, wynikające ze sei-epirycznego wzoru Halpina-Tsaia, powszechnie stosowane w ikroechanice kopozytów ortotropowych. Zebrano je w tabeli 7.. CHARAKTERYSTYKA MATERIAŁOWA KOMPOZYTU "P" Podłużny oduł Younga E Poprzeczny oduł Younga E Moduł ścinania G Większy współczynnik Poisson'a ν Mniejszy współczynnik Poisson'a ν "P = P (P, v, P, v ) " v E v E WSPÓŁCZYNNIK ZBROJENIA ξ E = + E χ = G χ = = E ( + ξ χv ) χv ( E / E ) ( E / E ) + ξ = G ( + ξ χv ) χv ( G / G ) ( G / G ) + ξ v v -włókna okrągłe i kwadratowe a / b - włókna wstążkowe -włókna okrągłe i kwadratowe *) ( a / b) 3 ln - włókna wstążkowe ν = ν + ν ( E / ) ν ν = - E *) dla włókien okrągłych w układzie kwadratowy, o udziale objętościowy V > 0.5 przyjować ξ = + 40 V 0 TABELA 7.. Zestawienie stałych ateriałowych dla kopozytu ortotropowego w unkcji charakterystyk ateriałowo-geoetrycznych atrycy i włókien Wytrzyałość kopozytu. Podejście echaniki ateriałów W przeciwieństwie do probleatyki związanej z określanie charakterystyk sprężystych kopozytu na podstawie charakterystyk jego składników, zagadnienie wyznaczania paraetrów wytrzyałościowych kopozytu jest dość słabo rozwinięte i w zasadzie ogranicza się do analizy ikroechanicznej wytrzyałości przy rozciąganiu i ściskaniu warstwy kopozytu. Zostanie ono przedstawione w kolejnych punktach tego rozdziału Wytrzyałość przy rozciąganiu w kierunku włókien Włókna o równej wytrzyałości. Rozpatrywana będzie warstwa kopozytu włóknistego, obciążona siłą rozciągającą F, działającą w kierunku włókien. Warstwa zastąpiona jest wyidealizowany odele ikroechaniczny, w który włókna i atryca skupione są w dwu obszarach, przy czy zakłada się, że nie występuje iędzy nii kontakt wzdłuż ich wspólnej granicy. Mówiąc inaczej - włókna i atryca stanowią dwa, rozdzielne obszary, równolegle połączone (w sensie teorii odeli strukturalnych) na brzegach, do których przyłożono obciążenie zewnętrzne. Pokazano to na rysunku 7.. Przyjęto następujące oznaczenia X - wytrzyałość włókien na rozciąganie, X - wytrzyałość atrycy na rozciąganie, X t - wytrzyałość warstwy kopozytu na rozciąganie, ε * - odkształcenie niszczące włókna, ε * - odkształcenie niszczące atrycę. 55

24 J. Geran: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH włókna atryca F F A. WARSTWA KOMPOZYTU B. MODEL WYIDEALIZOWANY WARSTWY KOMPOZYTU Rys. 7.. Warstwa kopozytu włóknistego i jej odel ikroechaniczny. W analizie wytrzyałościowej odelu zakłada się, że zarówno włókna, jak i atryca są liniowo sprężyste aż do zniszczenia (rysunek 7.3), wszystkie włókna ają jednakową wytrzyałość (nie uwzględnia się losowej zienności wytrzyałości ), odkształcenia podłużne atrycy i włókien pod wpływe przyłożonego obciążenia są takie sae, io pęknięcia włókien lub atrycy, w warstwie rozciąganej nadal panuje jednoosiowy stan naprężenia (poija się wieloosiowy stan naprężenia, który powstaje w pobliżu iejsca pęknięcia). Mio tych założeń upraszczających, odel ikroechaniczny jest ogólnie akceptowany, gdyż daje on dobry obraz wytrzyałości kopozytu w zależności od wytrzyałości i udziału objętościowego włókien i atrycy. X σ = E ε włókna X = E ε atryca ε * ε * ε Rys Scheatyczny wykres zależności naprężenie -. odkształcenie dla włókien i atrycy. Pod wpływe przyłożonej siły F w atrycy i włóknach powstają naprężenia w kierunku włókien, wynoszące σ = E ε, σ = E ε (7.5) Siła F rozdziela się iędzy składniki kopozytu w ten sposób, że jej części przypadające na atrycę i włókna wynoszą odpowiednio F = σ A = σ v A= E v εa (7.6) F = σ A = σ v A= E v εa (7.7) gdzie A, A, A, v, v oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego warstwy, włókien i atrycy oraz objętościowe udziały włókien i atrycy. 56