MODELOWANIE NUMERYCZNE PEŁZANIA POŁĄCZEŃ KLEJOWYCH W KONSTRUKCJACH METALOWYCH

Transkrypt

1 Wojciech ŻÓŁTOWSKI Artur ZBICIAK Paweł A. KRÓL 3 MODELOWANIE NUMERYCZNE PEŁZANIA POŁĄCZEŃ KLEJOWYCH W KONSTRUKCJACH METALOWYCH. Wprowadzenie Badania własne prowadzone w Instytucie Konstrukcji Budowlanych Politechniki Warszawskiej wykazały, iż materiał skleiny jest bardzo podatny na niewielkie nawet zmiany temperatury, prędkość przyrostu obciążenia i czas obciążania. Minimalne skoki temperatury, jakie odnotowano w pomieszczeniu o stabilizowanej temperaturze, specjalnie wyposażonym i wykorzystywanym jedynie do badań pełzania, miały odzwierciedlenie w deformacji kształtu krzywych pełzania próbek poddanych obciążeniu o stałej wartości. Zachowanie takie potwierdza fakt, iż najlepszym w sensie jakościowym i najlepiej oddającym rzeczywiste zachowanie się skleiny pod obciążeniem jest model ciała lepkosprężystego. Jako punkt wyjścia do rozważań przyjęto, że praca ciała liniowo-lepkosprężystego jest równoważna w sensie opisu z pracą modeli mechanicznych, złożonych z elastycznych sprężyn, podlegających prawu Hooke a oraz lepkich tłumików, podlegających prawu lepkości Newtona. Najprostsze, znane w mechanice modele Maxwella oraz Kelvina-oigta nie opisują pracy materiału lepkosprężystego w sposób wystarczająco dokładny. W przypadku modelu Maxwella, przy założeniu naprężeń niezmiennych w czasie, obserwuje się tylko płynięcie newtonowskie, zaś model Kelvina-oigta sugeruje, iż w przypadku stałych odkształceń, materiał skleiny zachowuje się jak ciało sprężyste. Żaden z tych przypadków nie odpowiada rzeczywistemu zachowaniu się obciążonej skleiny, tak więc do opisu właściwości lepkosprężystych materiału konieczne jest zastosowanie bardziej złożonego modelu mechanicznego. Modelem, który wydaje się najbardziej odpowiednim do opisu ciała lepkosprężystego, o zanikającym w czasie zjawisku lepkiego płynięcia, wydaje się model mechaniczny składający się z szeregowo połączonej sprężyny i modelu Kelvina-oigta, (rys.), znany w literaturze pod nazwą modelu standardowego. Wybór takiego modelu mechanicznego potwierdza obserwacja kształtu krzywych pełzania. Prof. dr hab. inż., Katedra Budownictwa i Geodezji, SGGW w Warszawie; Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Warszawska Dr inż., Instytut Mechaniki Konstrukcji Inżynierskich, Politechnika Warszawska 3 Dr inż., Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Warszawska

2 . Lepkosprężyste związki konstytutywne spoiwa klejowego Na podstawie analizy krzywych pełzania, uzyskanych z badań własnych połączeń klejowych, w których skleina była poddana długotrwałemu obciążeniu ścinającemu o stałej wartości, sformułowano lepkosprężyste relacje konstytutywne kleju w przestrzennym stanie naprężenia. W rozważaniach zastosowano metodę polegającą na uogólnieniu jednowymiarowych związków fizycznych standardowego modelu reologicznego na przypadek złożonego stanu naprężeń i odkształceń, [], []. Otrzymane relacje konstytutywne pozwalają na zastosowanie zaproponowanego sposobu opisu zjawiska w analizach numerycznych. σ E η A E ve Rys.. Standardowy model reologiczny Analizowany, jednowymiarowy model reologiczny charakteryzują dwie stałe sprężystości E i E oraz parametr lepkości η (por. rys. ). W początkowej fazie, bezpośrednio po przyłożeniu naprężenia, odpowiedź układu związana jest z natychmiastowym odkształceniem sprężyny o stałej E. Następnie, w wyniku działania naprężeń lepkich, sił w tłumiku, obserwuje się powolne włączanie się działania sprężyny o stałej E. Po pewnym czasie, właściwym dla danego materiału, odkształcenia ciała stabilizują się. Taki sposób odpowiedzi modelu na przyłożone naprężenie odpowiada zachowaniu się skleiny w rzeczywistych połączeniach, obciążonych w sposób długotrwały. Odkształcenia całkowite łatwo wyznaczyć dzieląc naprężenie przez zastępczy moduł E zast., którego wartość wynika z szeregowego połączenia dwóch sprężyn: EE = + E =. () E E E E E zast. zast. + Całkowite odkształcenia modelu można rozłożyć addytywnie na natychmiastowe ve odkształcenia sprężyste, sprężyna E, oraz odkształcenia lepkosprężyste. Relację tę można zapisać w postaci: σ E ve = +. () Wprowadzając równanie równowagi układu w postaci sumy naprężeń działających na

3 węzeł A, można dojść do zależności: &, (3) ve ve σ = η + E gdzie kropką oznaczono pochodną względem czasu. Wykonując proste przekształcenia na układzie zależności () i (), można uzyskać jednowymiarową relację konstytutywną materiału lepkosprężystego, opisanego standardowym modelem reologicznym: E EE & = E η + η + &, przy E = E + E. (4) σ σ Dla właściwego opisu zjawisk konieczne jest uogólnienie związków fizycznych () na przestrzenny stan naprężenia. Należy przypomnieć, że relację konstytutywną izotropowego materiału liniowo-sprężystego opisuje prawo Hooke a: ( ) σ = λ tr I + µ, (5) gdzie symbole λ i µ, oznaczają tzw. stałe sprężystości Lamego, natomiast operacja tr jest śladem tensora. Na potrzeby niniejszych rozważań wygodniej jest wykorzystać inną postać związku Hooke a, która wynika z rozkładu tensorów naprężenia i odkształcenia na części kuliste i dewiatorowe: σ = K tr ( ) I+ G e, jeśli = ( ) e tr I, (6) 3 gdzie e jest dewiatorem odkształcenia, I jest tensorem jednostkowym, natomiast K i G oznaczają odpowiednio moduł ściśliwości objętościowej i moduł ścinania. Ponieważ najczęściej wykorzystywaną parę stałych sprężystości materiału izotropowego stanowią: moduł Younga - E oraz liczba Poissona -ν, dlatego należy tu przypomnieć odpowiednie zależności tych wielkości od modułów K i G, [3]: K = E 3 ( ν ), E G = ( + ν ). (7) Przez analogię do związków (6), opisujących sprężyste własności materiału, można sformułować prawo konstytutywne izotropowej cieczy lepkiej. Ma ono postać: (&), jeśli = ( ) σ = µ tr I+ µ e& B e& & tr & I (8) 3 Stałe µ B i µ, występujące w związkach (8), oznaczają odpowiednio moduł lepkości objętościowej i moduł lepkości postaciowej. W rozpatrywanym, standardowym modelu reologicznym należy uwzględnić własności sprężyste, opisane związkiem (6), oraz lepkie, podlegające prawu (8). Przyjmując założenie

4 upraszczające, polegające na uwzględnieniu lepkich własności materiału jedynie w podprzestrzeni dewiatorowych naprężeń i odkształceń, przyjęto tym samym, iż część kulista pozostaje liniowo-sprężysta. Założenie polegające na nieuwzględnieniu lepkości objętościowej ( µ B = 0 ), jest często przyjmowane w mechanice cieczy, gdzie część kulista odkształceń jest idealnie sztywna, [3]. W przypadku rozpatrywanego modelu kleju, wprowadzone uproszczenie jest racjonalne i wynika z faktu, że wartość współczynnika ściśliwości objętościowej K jest o kilka rzędów wielkości większa od modułu ścinania G. Podobna zależność zachodzi także pomiędzy odpowiednimi współczynnikami lepkości, co sprawia, że wpływ lepkości objętościowej jest znikomy. Dzięki temu, że analizowane połączenia klejowe pracują na ścinanie, dominujących stanem naprężenia są naprężenia dewiatorowe. Biorąc pod uwagę powyższe założenia, można uogólnić jednowymiarowe relacje konstytutywne (4), na przypadek przestrzenny. Uwzględnienie związków (6) i (8), prowadzi do zależności: G GG σ I s e e& ( ) & = K tr & + + G, dla G G G µ µ s σ tr σ I, (9) 3 = + oraz = ( ) gdzie s jest dewiatorem naprężenia. Wykorzystanie otrzymanego równania różniczkowego do analizy numerycznej pełzania połączeń klejowych, wymaga sprowadzenia go do postaci przyrostowej, (). Relacje konstytutywne (9), obowiązują w zakresie małych odkształceń, gdyż w takim przypadku możliwe jest zastosowanie addytywnych dekompozycji tensora odkształceń na część sprężystą i lepkosprężystą, jednakże powyższą zasadę można zastosować również w teorii lepkosprężystości umiarkowanie dużych deformacji, jeśli założy się addytywność logarytmicznej miary odkształceń w konfiguracji aktualnej. Najbardziej ogólną postać równań, uwzględniającą skończone obroty i duże rozciągnięcia, można uzyskać przy zastosowaniu multiplikatywnego rozkładu odkształceń sprężystych i lepkopsprężystych [4]. Wiele komercyjnych programów MES umożliwia użytkownikowi wprowadzenie własnych modeli materiałów. Zwykle relacje konstytutywne należy zaprogramować w języku FORTRAN i dołączyć do systemu. Wyprowadzone związki modelu standardowego zostały zaprogramowane w systemie ABAQUS/Standard z zastosowaniem procedury użytkownika UMAT, (user material), [5]. W ramach opracowanej procedury przyrost wartości naprężeń wyznacza się na podstawie informacji o przyrostach odkształceń, obliczonych automatycznie przez system ABAQUS. Przyrosty odkształceń wyznaczane są z analizy równań równowagi z wykorzystaniem niejawnych algorytmów iteracyjnych, w których istotnym zagadnieniem jest zaprogramowanie, na poziomie procedury materiałowej, tzw. stycznej macierzy konstytutywnej, zgodnej z przyjętym schematem różnicowym (consistent tangent matrix). Zaprogramowanie związków (9), wymaga przyjęcia odpowiedniego algorytmu dyskretyzacji względem czasu. W pracy wykorzystano schemat metody różnic centralnych, którego formuły można zapisać w formie: f f& =, t t t + f f = f +. (0) t t t + Po podstawieniu związków (0) do równania (9) i wykonaniu odpowiednich

5 przekształceń algebraicznych, uzyskano związek konstytutywny analizowanego modelu reologicznego w formie przyrostowej: σ = K tr ( ) I + G ( G t+ µ ) + G G t G t G t+ e e s. () t t µ Zależność () może zostać bezpośrednio zaprogramowana w procedurze UMAT. Dodatkowo, konieczne jest wyznaczenie wartości stycznego tensora konstytutywnego C % zgodnie z przyjętym schematem różnicowym, na podstawie związku: C % σ =. () Wykonując operację różniczkowania związku (), względem tensora przyrostu odkształcenia, można dojść do równania opisującego tensor 4-go rzędu w postaci: ( ) K G G G t C% = I I+ % I I, gdzie G % + µ = 3 G t+ µ. (3) Składowe tensorów jednostkowych, występujące w równaniu (3) można zapisać w postaci zależności: ( I I ) = δ ijkl ij δ kl, ( ) = ( δik δ ijkl jl + δil δ jk ), (4) gdzie δ ij jest symbolem Kroneckera. Otrzymany tensor C % ma podobną strukturę do tensora stałych sprężystości, występującego w liniowym prawie Hooke a. Różnica polega na tym, że zamiast modułu ścinania G, otrzymano wielkość G %, która zależy od parametrów G i G, współczynnika lepkości postaciowej µ oraz od przyrostu czasu t. Zaprogramowanie wyrażenia (3) wymaga podania macierzowej reprezentacji tensora C %, którą, przez analogię do liniowego prawa Hooke a, można zapisać w formie: % λ+ G% % λ % λ % λ % λ+ G% % λ % λ % λ % λ+ G% C%, jeśli % λ = K G%. (5) G% G% G% Powyższe wyrażenie jest prawdziwe, przy założeniu następujących reprezentacji tensorów naprężenia i odkształcenia, zgodnych z notacją inżynierską, wykorzystywaną w programie ABAQUS/Standard:

6 σ σ σ 33 σ, σ σ 3 σ (6) 3 3 Lepkosprężyste relacje konstytutywne, zaprezentowane w referacie, mają formę różniczkową. W literaturze przedmiotu często podaje się je w formie całkowej, []. Przyjęcie różniczkowej formy opisu wynika z jednej strony z łatwości implementacji związków, w ramach procedury UMAT, z drugiej zaś, podyktowane jest chęcią zastosowania jednolitego opisu, który można rozszerzyć na modele sprężysto-plastyczne. 3. Przykład z analiz numerycznych z wykorzystaniem MES i procedury UMAT Obliczenia numeryczne z uwzględnieniem lepkosprężystego modelu kleju, zgodnie z relacjami opisanymi w poprzednim rozdziale, przeprowadzono dla zakładkowych połączeń klejowych i klejowo-śrubowych blach pokazanych na rys. i rys.3. Rys.. Próbka do badań zakładkowych połączeń klejowo-śrubowych blach Rys.3. Próbka do badań zakładkowych połączeń klejowych blach Spośród szeregu uzyskanych wyników szerszej analizie poddano rezultaty analiz uzyskane dla połączeń blach stalowych o grubości 4 [mm]. Parametry materiałowe kleju,

7 niezbędne w przyjętym opisie numerycznym, dobrano w oparciu o wyniki własnych badań wytrzymałościowych i badań pełzania połączeń, w których skleina była poddana działaniu naprężeń ścinających o stałej wartości. Analiza uzyskanych na drodze badań eksperymentalnych krzywych pełzania pozwoliła na oszacowanie wielkości odkształceń lepkich, które narastają w czasie i zbiegają do granicznej wartości, właściwej dla danego modelu kleju. Dodatkowo porównano wyniki pełzania połączenia klejowego z połączeniem wykonanym na śruby i klej, rys.4. Zostały one sporządzone dla wybranego elementu skończonego znajdującego się w środkowej strefie brzegu skleiny. Po przyłożeniu obciążenia powstają natychmiastowe odkształcenia sprężyste, wynoszące dla połączenia klejowego ok. 8%. Następnie pojawiają się odkształcenia pełzania. Ich maksymalna wartość ustala się po czasie ok. 50 [h], do poziomu,7%. Stosunek wartości odkształceń maksymalnych do odkształceń natychmiastowych wynosi ok.,6. W połączeniu klejowo-śrubowym otrzymano mniejsze wartości odkształceń w badanym elemencie. 0,5 0,0 odkształcenia 0,5 0,0 0,05 0, czas [h] połączenie klejow e połączenie klejow o-śrubow e Rys.4. Zestawienie krzywych numerycznych pełzania sklein a b c d Rys.5. Warstwice odkształceń postaciowych w skleinie połączenia klejowego i klejowośrubowego: a) i c) odkształcenia natychmiastowe, b) i d) odkształcenia lepkosprężyste na końcu analizy

8 Mapy warstwicowe pokazane na rys.5 przedstawiają warstwice odkształceń w warstwie kleju. Widoczne są wyraźne różnice w sposobie propagacji stref maksymalnych odkształceń w kierunku środka skleiny w obydwu typach połączeń, w chwilę po przyłożeniu obciążenia oraz na końcu analizy. Przy połączeniu klejowo-śrubowym propagacja odkształceń jest powstrzymywana przez śruby, obecność których wpływa korzystnie na zmniejszenie wytężenia środkowego fragmentu skleiny, położonego między nimi. Jak wynika z przedstawionych rysunków, ze względu na symetrię modelu obliczenia prowadzono dla układu zredukowanego do połowy. 4. Zakończenie Relacje konstytutywne skleiny zaprogramowano w ramach procedury UMAT. Głównym celem symulacji numerycznej było prześledzenie procesu pełzania połączenia w zakresie umiarkowanie dużych deformacji, nieprzekraczających kilkunastu procent i niepowodujących powstawania trwałych deformacji. Analiza krzywych pełzania, uzyskanych na drodze badań eksperymentalnych, pozwoliła na oszacowanie wielkości odkształceń lepkich, które narastają w czasie i zbiegają do granicznej wartości właściwej dla danego modelu kleju. Dodatkowo porównano wyniki pełzania połączenia klejowego z połączeniem wykonanym na śruby i klej. Otrzymane wyniki symulacji w formie barwnych map warstwicowych zostaną przedstawione podczas prezentacji w trakcie trwania konferencji. Literatura [] KISIEL I., Reologia w budownictwie, Warszawa, Arkady, 967. [] NOWACKI W., Teoria pełzania, Warszawa, Arkady, 963. [3] OSTROWSKA-MACIEJEWSKA J., Mechanika ciał odkształcalnych, Warszawa, PWN, 994. [4] FUNG Y.C., Podstawy mechaniki ciała stałego, Warszawa, PWN, 969. [5] ABAQUS ersion 6.6, Documentation Collection, Pawtucket, USA, Hibbitt, Karlsson & Sorensen Inc., 006. NUMERICAL MODELLING OF CREEP BEHAIOUR OF GLUE JOINTS IN METALLIC STRUCTURES The procedure of formulation of 3D constitutive relationships suited for simulation of creep behaviour of glue joints in metallic structures is presented in the paper. The material model to be proposed is based on macroscopic theory taking into account the viscosity phenomenon in deviatoric subspace of strains and stresses. A FORTRAN subroutine UMAT, defining the material properties, has been developed to be used in conjunction with ABAQUS/Standard commercial software. Some problems, arising from FEM implementation, have been pointed out.