Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje zmennej, Rozkłady dyskretne Rozkłady cągłe, Rozkład normalny
Zmenna losowa Zmenna losowa, to taka zmenna, która w wynku dośwadczena przyjmuje wartość lczbową zależną od przypadku. Uwaga: powyższe ne stanow defncj, ale oddaje stotę welkośc jaką jest zmenna losowa. Zmennym losowym są np. : wzrost przypadkowo spotkanej na ulcy osoby, lczba osób zapadających każdego dna na grypę, lczba meteorytów spadających na klometr kwadratowy roczne, masa każdego spadającego na Zemę meteorytu, zmana cen neruchomośc w cągu roku, WYKŁAD 1.Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe czas oczekwana na przystanku autobusowym, lczba zgonów w maju, wytrzymałość lny wspnaczkowej, notowana gełdowe, lość opadów jutro w Krakowe, dowolny wynk pomaru, czegokolwek. Poprawna defncja zmennej - dla zanteresowanych - znajduje sę w [1] na strone 48. Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Zmenna losowa Dla oznaczena zmennych losowych stosujemy duże ltery, najczęścej z końca alfabetu. Wartośc przyjmowane przez zmenne oznaczamy małym lteram. Zaps: =x oznacza, zdarzene polegające na tym, że zmenna losowa przyjęła wartość x, w skróce mówmy, że zmenna losowa przyjmuje (czasem mówmy realzuje) wartość x. =x 3 : zmenna losowa przyjmuje wartość x 3 U=5.4 : zmenna losowa U przyjmuje wartość 5.4 Z<3 : zdarzene polegające na tym, że zmenna losowa Z przyjmuje wartość mnejszą nż 3 WYKŁAD 1.Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe -<T<8 : zdarzene polegające na tym, że zmenna losowa T przyjmuje wartość z obustronne otwartego przedzału (-,8) Zaps P(=.3) oznacza prawdopodobeństwo zajśca zdarzena, w którym zmenna losowa przyjme wartość.3. 3 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Zmenna losowa Zmenne losowe możemy podzelć na dyskretne cągłe. Zmenną losową nazywamy dyskretną, jeżel zbór wartośc, które może ona przyjmować jest skończony lub przelczalny. Zmenną losową nazywamy cągłą, jeżel może ona przyjmować dowolne wartośc z pewnego przedzału. W szczególnośc może to być przedzał neskończony. Uwaga: powyższe ne stanową defncj, są jedyne ntucyjnym określenam zaczerpnętym z ksążk []. WYKŁAD 1.Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Poprawne defncje zmennej cągłej dyskretnej znajduje sę w [1] na stronach 50 55. 4 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Funkcja rozkładu W przypadku zmennej dyskretnej, możemy zdefnować funkcję p, która każdemu zdarzenu =x przypsze prawdopodobeństwo p : p x P x p 0, N Poneważ prawdopodobeństwo sumy wszystkch możlwych zdarzeń mus być równe 1, węc w przypadku skończonej lczby zdarzeń mus zachodzć: a w przypadku przelczalnej lczby zdarzeń: n 1 p 1 WYKŁAD 1. Zmenna losowa.funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 1 p 1 Taką funkcję p nazywamy funkcją rozkładu albo krócej funkcją. 5 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Funkcja gęstośc Podobną rolę jak funkcja rozkładu w przypadku zmennej dyskretnej pełn funkcja gęstośc dla zmennej cągłej. Funkcja gęstośc f(x) mus spełnać klka warunków: jest neujemna, całka po całym przedzale, w którym jest określona mus sę równać 1 (bo tyle wynos prawdopodobeństwo tego, że zmenna losowa przyjme dowolną wartość z całego przedzału, na którym jest określona) WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3.Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe prawdopodobeństwo tego, że zmenna losowa przyjme dowolną wartość z przedzału od x 1 do x (x 1 <x ) wynos: P x x f xdx 1 x x 1 6 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Dystrybuanta Dystrybuantą zmennej nazywamy taką funkcję F (x), że: F Proszę zwrócć uwagę, że funkcja ta jest określona dla wszystkch x należących do R nezależne od tego jake wartośc x może przyjmować zmenna losowa. x P x xr dyskretna cągła Fx p Fx f xdx x x x WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 4.Dystrybuanta 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Zwróćmy równeż uwagę, że dystrybuanta jest funkcją cągłą (dokładnej lewostronne cągłą) nezależne od tego czy dotyczy zmennej cągłej czy dyskretnej. 7 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Zamast podawać pełne rozkłady lub funkcje gęstośc, czasem wygodnej jest podać klka lczb, które scharakteryzują nasz rozkład. Lczby take ogólne nazywamy charakterystykam zmennej. Wymyślono wele różnych charakterystyk. Na następnych slajdach zdefnowano klka najważnejszych najczęścej używanych. WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 8 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Momenty zwykłe Momenty zwykłe rzędu r oznaczamy symbolem α r wylczamy jako: dyskretna r x p r Szczególną rolę odgrywa perwszy moment zwykły, oznaczany często jako E (EZ dla zmennej Z, ET dla zmennej T): E dyskretna x p cągła cągła Moment ten to tzw. wartość oczekwana, czasam nazywana równeż wartoścą przecętną (lub nezbyt ścśle wartoścą średną). r E x r f x f x x dx dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Momenty centralne Momenty centralne rzędu r oznaczamy symbolem µ r wylczamy jako: Szczególną rolę odgrywa drug moment centralny, oznaczany często jako D (D Z dla zmennej Z, D T dla zmennej T): Moment ten to tzw. warancja. Perwastek kwadratowy z warancj nazywamy odchylenem standardowym oznaczamy D lub σ. dyskretna dyskretna cągła r r x E p x E f x D r cągła x E D x E f x p D D 10 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe r dx dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Momenty centralne Momenty centralne rzędu r oznaczamy symbolem µ r wylczamy jako: Szczególną rolę odgrywa drug moment centralny, oznaczany często jako D (D Z dla zmennej Z, D T dla zmennej T): Pomędzy wartoścą oczekwaną a warancją Moment ten to stneje tzw. warancja. bardzo użyteczny Perwastek zwązek: kwadratowy z warancj nazywamy odchylenem standardowym oznaczamy D lub σ. dyskretna dyskretna cągła r r x E p x E f x D r cągła x E D x E f x p D 11 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe r D =E( )-(E) D dx dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Współczynnk zmennośc, skośność kurtoza Współczynnk zmennośc oznaczamy grecką lterą υ wylczamy nezależne od typu rozkładu jako: Skośność (albo współczynnk asymetr) oznaczamy symbolem γ nezależne od typu rozkładu wylczamy go jako: Kurtoza (nazywana równeż współczynnkem skupena) oznaczamy lterą K E 3 3 wylczamy równeż nezależne od typu rozkładu jako: 4 K 4 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 1 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Moda medana Moda to taka wartość zmennej dyskretna cągła x, która występuje z najwę- x, dla której funkcja gęstośc kszym prawdopodobeństwem, przy czym ne może to być perwsza an ostatna wartość x. ma absolutne maksmum. Medana to taka lczba x 0,5, że połowa wszystkch przyjmowanych przez zmenną losową wartośc leży ponżej jej wartośc, co w zapse matematycznym wyraża sę następująco: dyskretna cągła x x 0.5 p 0.5 x x 0.5 p Jak wdać, w przypadku zmennej dyskretnej może sę zdarzyć, że dowolna lczba z pewnego przedzału będze spełnać defncję medany. F 0.5 x f x 0.5 x dx 0.5 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 13 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Charakterystyk zmennej Kwartyle kwantyle Kwantyl rzędu p to taka lczba x p, dla której spełnony jest warunek: x x p dyskretna p p x x Jak wdać medana jest po prostu kwantylem rzędu 0.5. Kwartyl dolny to kwantyl rzędu 0.5. Kwartyl środkowy to kwantyl rzędu 0.5 (czyl po prostu medana). Kwartyl górny to kwantyl rzędu 0.75. p p F cągła x f x p x p dx p WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 14 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
wartośc przyjmowane przez zmenną losową Charakterystyk zmennej Pudełko z wąsam maksmum górny kwartyl średna medana dolny kwartyl mnmum WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5.Charakterystyk zmennej 1. Momenty zwykłe (wartość oczekwana). Momenty centralne (warancja, odchylene standardowe) 3. Zmenność, skośność kurtoza 4. Moda medana 5. Kwartyle kwantyle 6. Pudełko z wąsam 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 15 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Funkcje zmennej Jeżel argumentem jakejś funkcj uczynmy zmenną losową to w wynku otrzymamy nową zmenną losową. Na przykład: Należy pamętać, że: Y 6 nowa zmenna losowa może meć nny zakres zmennośc (np. jeśl zmenało sę od 10 do 15, to Y będze sę zmenać od 600 do 1350) w ogólnym przypadku ne można podstawć do wzoru charakterystyk zmennej, aby otrzymać charakterystyk zmennej Y WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6.Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe prawdłowym postępowanem jest wyznaczene rozkładu lub funkcj gęstośc zmennej Y dopero z nej, na podstawe defncj, wylczene charakterystyk zmennej Y 16 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkłady dyskretne Rozkład zero-jedynkowy E D x P 0 1-p 1 p p p 1 p WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe 17 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkłady dyskretne Rozkład równomerny E D x P x 1 1/n 1/n x n 1/n x n x 1 n 1 1 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe 18 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkłady dyskretne Rozkład dwumanowy (Bernoullego) Zmenne losowe są wzajemne nezależne każda z nch może przyjmować jedną z dwóch wartośc. Wartość 1 nazywaną sukcesem z prawdopodobeństwem p oraz wartość 0 nazywaną porażką z prawdopodobeństwem q. Zmenna losowa dwumanowemu. będze podlegać rozkładow Powyższy wzór opsuje prawdopodobeństwo uzyskana k sukcesów w n próbach. n 1 k k p p n 1 k P S n n k E n D p n p q WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe n=5,p=0.3 n=10,p=0.3 n=30,p=0.3 19 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkłady dyskretne Rozkład Possona Jeżel w dośwadczenu Bernoullego lczba prób będze bardzo duża, a prawdopodobeństwo p bardzo małe tak, że spełnone będze: n to wówczas lczba sukcesów k będze podlegać rozkładow Possona, a prawdopodobeństwo uzyskana k sukcesów można polczyć jako: P k p 0 lm P S n n p const k k e n k! E D WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 7.Rozkłady dyskretne 1. Zero-jedynkowy. Równomerny 3. Dwumanowy 4. Possona 8. Rozkłady cągłe λ=3 λ=5 λ=15 Rozkład Possona jest rozkładem dyskretnym. Lnę cągłą dorysowano tylko w celu lepszej wzualzacj. 0 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkłady cągłe Rozkład jednostajny Mówmy, że zmenna losowa ma rozkład jednostajny na przedzale [a,b), jeżel prawdopodobeństwo otrzymana w pojedynczym dośwadczenu dowolnej wartośc x jest stałe take samo dla każdej wartośc x. Gęstość takego rozkładu wyraża sę wzorem: E D a b f b 1 a x c 0 x x a, b a, b WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8.Rozkłady cągłe 1. Jednostajny. Wykładnczy 1 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkłady cągłe Czas oczekwana na perwsze wystąpene zdarzena podlegającego rozkładow Possona z parametrem λ opsywany jest rozkładem wykładnczym, a gęstość rozkładu wykładnczego wyraża sę wzorem: 1 E D 1 f x 0 e x x 0 x 0 WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8.Rozkłady cągłe 1. Jednostajny. Wykładnczy Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkład normalny Zmenna losowa podlega rozkładow normalnemu jeżel jej gęstość wyraża sę wzorem: E a D b f x xa 1 b b e WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9.Rozkład normalny E=15, D= E=15, D=4 3 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkład normalny W przypadku rozkładu normalnego około 68.% wszystkch wynków dośwadczena losowego gromadz sę w przedzale ±σ wokół wartość oczekwanej a (albo średnej ). P P P x a 68,% a 95,4% a 3 99.8% WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9.Rozkład normalny 4 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Rozkład normalny Mówmy, że rozkład zmennej jest znormalzowany, gdy E=0 a D=1. Rozkład normalny przybera wówczas postać: f x 1 1 x e Dowolny rozkład o wartośc oczekwanej E=a odchylenu standardowym D=b można znormalzować, tworząc nowy rozkład Y przy użycu funkcj: Rozkład normalny o wartośc oczekwanej a odchylenu standardowym b często oznacza sę symbolem N(a,b). Rozkład normalny, znormalzowany oznacza sę symbolem N(0,1). a Y b WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe 9.Rozkład normalny 5 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013
Twerdzena granczne TWIERDZENIE MOIVRE A LAPLACE A Jeżel dla dośwadczena Bernoullego 0<p<1 a<b to: lm P a n Co oznacza, że dla dużych wartośc n prawdopodobeństwo, że lczba sukcesów k będze sę znajdować w przedzale np a npq, np b można polczyć z rozkładu Gaussa. TWIERDZENIE LINDEBERGA LEVY EGO Jeżel są nezależnym zmennym podlegającym rozkładow o wartośc średnej µ warancj σ, wówczas w grancy n ch n suma podlega rozkładow normalnemu z wartoścą średną µ 1 warancją. n npq k np np lm P n b e 1 p n 1 6 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe na n 1 b a 1 x 1 dx e 1 x dx WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Dodatek Twerdzena Granczne AGH, Tarasuk 013
Twerdzena granczne Wnosk praktyczne z twerdzeń grancznych są take, że: jeśl w dośwadczenu Bernoullego lczba prób jest duża (w praktyce wystarczy klkanaśce/klkadzesąt) to zamast rozkładu Bernoullego można stosować rozkład normalny dla welu zmennych losowych, będących sumą dużej lczby nnych zmennych losowych równeż można stosować rozkład normalny WYKŁAD 1. Zmenna losowa. Funkcja rozkładu 3. Funkcja gęstośc 5. Charakterystyk zmennej 6. Funkcje zmennej 8. Rozkłady cągłe Lteratura, do której odnośnk pojawły sę w trakce wykładu: [1] Krysck, Bartos, Rachunek statystyka matematyczna w zadanach Dodatek Twerdzena Granczne [] Kornack, Melnczuk, Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych 7 Dyskretne cągłe rozkłady jednowymarowe AGH, Tarasuk 013