Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) odpowiednio Niech ϕ: L(V ; W ) M m n (R) bedzie przekszta lceniem, które każdemu f L(V ; W ) przyporzadkowuje macierz f w podanych bazach przestrzeni V i W Wówczas ϕ jest izomorfizmem liniowym Dowód Niech f, g L(V ; W ) i niech A = [a ij ] oraz B = [b ij ] bed a macierzami f i g odpowiednio, w rozpatrywanych bazach przestrzeni V i W Wtedy dla k = 1,, n mamy, że (f + g)(α k )=f(α k ) + g(α k )= a ik β i + b ik β i = (a ik + b ik ) β i, wiec, ze wzorów (5) i (6), A + B jest macierza przekszta lcenia liniowego f + g w zadanych bazach przestrzeni V i W, czyli ϕ(f + g) = ϕ(f) + ϕ(g) Dalej, dla dowolnego a R oraz dla dowolnego k = 1,, n (a f)(α k ) = a f(α k ) = a a ik β i = (a a ik ) β i, skad macierza przekszta lcenia a f w rozpatrywanych bazach jest a A, czyli ϕ(a f) = a ϕ(f) Zatem ϕ jest przekszta lceniem liniowym Jeżeli ϕ(f) = ϕ(g), to na mocy twierdzenia 106, f(α) = g(α) dla dowolnego α V, skad f = g Zatem przekszta lcenie ϕ jest różnowartościowe Weźmy dowolne A = [a ij ] M m n (R) i niech f = a ij ϕ ij, gdzie (ϕ ij ),,m jest baza i,j j=1,,n przestrzeni L(V ; W ) zdefiniowana w twierdzeniu 102 Wtedy f L(V ; W ) oraz z dowodu twierdzenia 102 f(α k ) = a ik β i dla każdego k = 1,, n Zatem ϕ(f) = A i przekszta lcenie ϕ jest,,na Stad ostatecznie ϕ jest izomorfizmem liniowym Twierdzenie 112 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β n ), odpowiednio Niech A = [a ij ] bedzie macierza przekszta lcenia f L(V ; W ) w tych bazach Wówczas f jest izomorfizmem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest odwracalna Jeżeli f jest izomorfizmem liniowym, to A 1 jest macierza przekszta lcenia f 1 L(W ; V ) w bazach (β 1,, β n ) i (α 1,, α n ) przestrzeni W i V Dowód Za lóżmy, że f jest izomorfizmem liniowym Istnieje wówczas przekszta lcenie odwrotne f 1 : W V, które jest izomorfizmem liniowym Niech B bedzie macierza przekszta lcenia liniowego f 1 w bazach (β 1,, β n ) i (α 1,, α n ) przestrzeni W i V Oczywiście f 1 f = id V oraz macierza przekszta lcenia tożsamościowego id V w bazach (α 1,, α n ) i (α 1,, α n ) przestrzeni V jest macierz jednostkowa I n Zatem, na mocy twierdzenia 1010, B A = I n, skad B = A 1 1
Na odwrót, za lóżmy, że macierz A jest odwracalna Istnieje wtedy macierz B M n (R) taka, że B A = A B = I n Z twierdzenia 111 istnieje przekszta lcenie g L(W ; V ), którego macierza w bazach (β 1,, β n ) i (α 1,, α n ) przestrzeni W i V jest B Z twierdzenia 1010 otrzymujemy zatem, że I n = B A jest macierza przekszta lcenia g f w bazach (α 1,, α n ) i (α 1,, α n ) przestrzeni V, skad g f = id V Ponadto z twierdzenia 1010, I n = A B jest macierza przekszta lcenia f g w bazach (β 1,, β n ) i (β 1,, β n ) przestrzeni W Stad f g = id W Zatem g = f 1 i f jest izomorfizmem liniowym 2 Macierz przejścia Niech (α 1,, α n ) i (α 1,, α n) bed a dwiema uporzadkowanymi linio- wej V Niech dla i = 1,, n, a 1i a ni b edzie wektorem wspó lrz ednych wektora α i w bazie (α 1,, α n ), tzn α i = a 1i α 1 + + a ni α i Wówczas macierz kwadratowa a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n M n(r) (1) a n1 a n2 a nn nazywamy macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n) Równoważnie, A jest macierza przekszta lcenia tożsamościowego id V : V V w bazach (α 1,, α n) i (α 1,, α n ) przestrzeni V Ponieważ id V jest izomorfizmem liniowym, wiec z twierdzeń 112 i 106 uzyskujemy od razu nastepuj ace Twierdzenie 113 Macierz przejścia A od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n) przestrzeni liniowej V jest macierza odwracalna i A 1 jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n) do bazy (α 1,, α n ) Jeżeli to A 1 a 1 a n a 1 a n jest wektorem wspó lrz ednych wektora α V w bazie (α 1,, α n ), jest wektorem wspó lrz ednych wektora α w bazie (α 1,, α n) Przyk lad 114 Za lóżmy, że (α 1,, α n ) jest baza przestrzeni R n oraz α i = [a i1, a i2,, a in ] dla i = 1,, n Wówczas macierza przejścia od bazy kanonicznej (ε 1,, ε n ) do bazy a 11 a 21 a n1 a (α 1,, α n ) jest A = 12 a 22 a n2 Np dla n = 3, macierz a przejścia od bazy a 1n a 2n a nn 2
(ε 1, ε 2, ε 3 ) do bazy ([1, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 0, 1]) jest 1 0 0 1 1 0 1 2 1 Twierdzenie 115 Za lóżmy, że (α 1,, α n ), (α 1,, α n), (α 1,, α n ) sa liniowej V Jeżeli A jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n) oraz B jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n) do bazy (α 1,, α n ), to A B jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n ) Dowd Niech f : V V bedzie przekszta lceniem liniowym danym wzorem f(α) = α dla α V Wtedy A jest macierza f w bazach (α 1,, α n) i (α 1,, α n ) Niech g : V V bedzie przekszta lceniem liniowym danym wzorem g(α) = α dla α V Wtedy B jest macierza g w bazach (α 1,, α n ) i (α 1,, α n) Wówczas z twierdzenia 1010, A B jest macierza przekszta lcenia f g w bazach (α 1,, α n ) i (α 1,, α n ) Ale f g = id V, wiec A B jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n ) Z twierdzeń 113 i 115 wynika od razu nastepuj acy Wniosek 116 Niech (α 1,, α n ), (α 1,, α n), (α 1,, α n ) bed a liniowej V Jeżeli A jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n) do bazy (α 1,, α n ) oraz B jest macierza przejścia od bazy (α 1,, α n) do bazy (α 1,, α n ), to macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n ) jest A 1 B Przyk lad 117 Znajdziemy macierz przejścia od bazy ([1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 4, 2]) do bazy ([2, 7, 3], [3, 9, 4], [1, 5, 3]) przestrzeni R 3 Z przyk ladu 114mamy, że macierz a przejścia od bazy 1 2 3 kanonicznej do bazy ([1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 4, 2]) jest A = 3 2 4 oraz macierza przejścia 1 1 2 od bazy kanonicznej do bazy ([2, 7, 3], [3, 9, 4], [1, 5, 3]) jest B = przy pomocy operacji elementarnych) A 1 = 0 1 2 2 1 5 1 1 4 2 3 1 7 9 5 3 4 3 Obliczamy (np Z wniosku 116 macierza przejścia od bazy ([1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 4, 2]) do bazy ([2, 7, 3], [3, 9, 4], [1, 5, 3]) jest A 1 B = 1 1 1 4 5 8 3 4 6 3 Zmiana baz Twierdzenie 118 Niech (α 1,, α n ) i (α 1,, α n) bed a dwiema uporzadkowanymi bazami przestrzeni liniowej V i niech (β 1,, β m ) i (β 1,, β m) bed a dwiema uporzadkowanymi liniowej W Niech C bedzie macierza przekszta lcenia f L(V ; W ) w bazach (α 1,, α n ) i (β 1,, β m ) i niech D bedzie macierza f w bazach (α 1,, α n) i (β 1,, β m) 3
Niech A bedzie macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n) oraz niech B bedzie macierza przejścia od bazy (β 1,, β m ) do bazy (β 1,, β m) Wtedy D = B 1 C A Dowód Ponieważ f = f id V, wiec z twierdzenia 1010, C A jest macierza f w bazach (α 1,, α n) i (β 1,, β m ) Ponadto f = id W f, wiec na mocy twierdzenia 1010, B D jest macierza f w bazach (α 1,, α n) i (β 1,, β m ) Stad B D = C A Ale z twierdzenia 112 macierz B jest odwracalna, wiec D = B 1 C A Niech V bedzie przestrzenia liniowa Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V Przez macierz takiego endomorfizmu f w bazie uporzadkowanej (α 1,, α n ) przestrzeni V rozumiemy macierz f w bazach (α 1,, α n ) i (α 1,, α n ) Z twierdzenia 118 i z twierdzenia Cauchy ego mamy od razu nastepuj acy Wniosek 119 Niech (α 1,, α n ) i (α 1,, α n) bed a uporzadkowanymi liniowej V Niech A bedzie macierza endomorfizmu f L(V ; V ) w bazie (α 1,, α n ) i niech B bedzie macierza f w bazie (α 1,, α n) Niech P bedzie macierza przejścia od bazy (α 1,, α n ) do bazy (α 1,, α n) Wtedy B = P 1 A P W szczególności det(b) = det(a) Definicja 1110 Powiemy, że macierze A, B M n (R) sa podobne, jeżeli istnieje odwracalna macierz C M n (R) taka, że B = C 1 A C Piszemy wtedy A B Stwierdzenie 1111 Dla dowolnych macierzy A, B, C M n (R): (i) A A, (ii) jeeli A B, to B A, (iii) jeeli A B i B C, to A C Dowd (i) Ponieważ A = In 1 A I n, wiec A A (ii) Niech A B Wtedy istnieje X M n (R) takie, że B = X 1 A X, skad A = X B X 1 = (X 1 ) 1 B X 1, czyli B A (iii) Niech A B i B C Wtedy istnieja macierze odwracalne X, Y M n (R) takie, że B = X 1 A X i C = Y 1 B Y, skad C = Y 1 X 1 A X Y = (X Y ) 1 A (X Y ), czyli A C Uwaga 1112 Macierze A, B M n (R) sa podobne wtedy i tylko wtedy, gdy sa macierzami pewnego endomorfizmu f przestrzeni R n w pewnych bazach tej przestrzeni Rzeczywiście, jeśli macierze A i B sa podobne, to istnieje macierz odwracalna C = [c ij ] M n (R) taka, że B = C 1 A C Niech f L(R n ; R n ) bedzie przekszta lceniem liniowym, które w bazie kanonicznej przestrzeni R n ma macierz A Niech α i = [c 1i, c 2i,, c ni ] dla i = 1,, n Wówczas (α 1,, α n ) jest baza przestrzeni R n z lożona z kolumn macierzy C Wtedy C jest macierza przejścia od bazy kanonicznej do bazy (α 1,, α n ) Wówczas z wniosku 119 macierza f w bazie (α 1,, α n ) jest C 1 A C = B Natomiast implikacja odwrotna wynika od razu z wniosku 119 4
Z twierdzenia 108, wniosku 119 oraz z uwagi 1112 wynika od razu nastepuj acy Wniosek 1113 Jeżeli macierze A, B M n (R) sa podobne, to r(a) = r(b) oraz det A = det B Przyk lad 1114 Niech f b edzie endomorfizmem przestrzeni R 3 danym wzorem analitycznym f([x 1, x 2, x 3 ]) = [2x 1 + 3x 2 + x 3, 7x 1 + 9x 2 + 5x 3, 3x 1 + 4x 2 + 3x 3 ] Znajdziemy macierz f w bazie ([1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 4, 2]) Macierz a przejścia od bazy kanonicznej do bazy ([1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 4, 2]) jest P = 3 2 4 Ponadto A = 7 9 5 jest 1 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 3 macierza f w bazie kanonicznej Zatem z wniosku 119, macierz B = P 1 A P jest macierz a f w bazie ([1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 4, 2]) Z przyk ladu 117 wynika, że P 1 = uzyskujemy, że B = 3 3 5 27 26 48 21 20 37 0 1 2 2 1 5 1 1 4 Stad Stwierdzenie 1115 Jeżeli macierze P M m (R) i Q M m (R) sa odwracalne, to dla dowolnej macierzy A M m n (R) r(p A Q) = r(a) Dowód Niech f : R n R m, g : R n R n i h: R m R m bed a przekszta lceniami liniowymi posiadajacymi w bazach kanonicznych odpowiednio macierze: A, Q, P Wówczas, z twierdzenia 112, g i h sa automorfizmami Zatem (f g)(r n ) = f(g(r n )) = f(r n ) = Im f i h(f(r n )) = f(r n ), skad dim Im(h f g) = dim Im f Z twierdzenia 1010 macierza h f g w bazach kanonicznych jest P A Q Ponadto z twierdzenia 108, r(p A Q) = dim Im(h f g) i r(a) = dim Im f Stad r(p A Q) = r(a) 5