Matematyka dyskretna - wykªad (plik nieocjalny)

Matematyka dyskretna - wykªad (plik nieocjalny) A. Zembrzuski, P.Jankowski February 3, 009 0.1 Literatura 1. Kennweth A. Ross, Charles R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN 006. Joanna Grygiel, Wprowadzenie do matematyki dyskretnej, EXIT 007 3. Jerzy Jaworski, Zbigniew Paªka, Jerzy Szyma«ski, Matematyka dyskretna dla informatyków cz. I: Elementy kombinatoryki, Wydawnictwo Naukowe UAM w Poznaniu 008 4. Th.H.Cormen, Ch.E.Leiserson, R.L.Rivest, C.Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 004. 1

1 Wykªad I - zbiory Teoria mnogo±ci Dziaª matematyki zajmuj cy si teori zbiorów nazywa si po polsku teori mnogo±ci. Wynika to z faktu,»e zamiennie ze sªowem zbiór u»ywa si terminu mnogo±. Denicja zbioru Zbiór uwa»a si za poj cie pierwotne, czyli takie, którego si nie deniuje. Okre±lenie elementów zbioru Aby okre±li zbiór: 1. Wymieniamy jego elementy: A = {3, 6, 9, 1}.. Podajemy wªasno± posiadan przez jego elementy: A = {x : 3 x 1 x = 3 n, n N}. 3. Przez podanie metody obliczania kolejnych elementów: (a) Przyjmij i = 1. (b) Oblicz 3 i i doª cz do zbioru. (c) Zwi ksz i o 1. (d) Przerwij dla i = 4. Zbiór sko«czony oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem 1,,..., n dla pewnej liczby naturalnej n. Denicja ta obejmuje równie» zbiór pusty, dla n = 0. Zbiór przeliczalny (nieformalnie) zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy mo»na ponumerowa liczbami naturalnymi. Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego mo»na ustawi w ci g "wypisa je po kolei". Zbiór przeliczalny (formalnie) Zbiór A nazywamy przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on sko«czony lub istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przeksztaªcaj ca zbiór wszystkich liczb naturalnych na zbiór A. Zbiór dyskretny Do zbiorów dyskretnych zaliczamy zbiory sko«czone oraz przeliczalne.

Zbiory liczbowe Caªkowite = Z - przeliczalne Naturalne = N - przeliczalne Wymierne = Q Rzeczywiste = R Zespolone = C Równo± zbiorów Mówimy,»e zbiory A i B s równymi, A = B, wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót: Zawieranie (inkluzja) zbiorów A = B x (x A x B). Mówimy,»e zbiór A zawiera si w zbiorze B, A B, wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element zbioru A jest elementem zbioru B. A nazywamy wtedy podzbiorem zbioru B. Zbiór pusty Ø jest podzbiorem ka»dego zbioru A. Wªasno±ci równo±ci i zawierania zbiorów (A B) (B C) A C (A = B) (B = C) A = C (A B) (B A) A = B Dopeªnienie zbiorów A B x (x A x B). Dopeªnieniem zbioru A, A', w przestrzeni X nazywamy wszystkie elementy przestrzeni X nie nale» ce do zbioru A: Suma zbiorów A = {x : x / A}. Sum zbiorów A i B nazywamy zbiór A B zªo»ony ze wszystkich elementów nale» cych do któregokolwiek z sumowanych zbiorów: Ró»nica zbiorów A B = {x : x A x B}. Ró»nic zbiorów A i B nazywamy zbiór A \ B, którego elementami s te elementy zbioru A, które nie s elementami zbioru B: A \ B = {x : x A x / B}. 3

Iloczyn (przeci cie) zbiorów Iloczynem (przeci ciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór A B skªadaj cy si z elementów, które nale» równocze±nie do A i do B: Zbiory rozª czne A B = {x : x A x B}. Zbiory A i B nazywamy rozª znymi wtedy i tylko wtedy gdy A B = Ø. Prawa rachunku zbiorów Niech A, B, C, D oznaczaj dowolne podzbiory przestrzeni X. Wówczas: A B = B A- przemienno± mno»enia, A B = B A - przemienno± dodawania, (A B) C = A (B C) - ª czno± mno»enia, (A B) C = A (B C) - ª czno± dodawania, A (B C) = (A B) (A C) - rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania, A (B C) = (A B) (A C) - rozdzielno± dodawania wzgl dem mno»enia, A Ø=A A X = A A A = Ø A A = X Prawa de Morgana W teorii mnogo±ci prawa De Morgana sªu» opisowi dziaªania dopeªnienia: 1. dopeªnienie sumy zbiorów jest równe cz ±ci wspólnej ich dopeªnie«, (A B) = A B. dopeªnienie cz ±ci wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopeªnie«, (A B) = A B. Para uporz dkowana Oz- Par uporz dkowan nazywamy par, której pierwszym elementem jest a, za± drugim b. naczamy j jako (a,b). Iloczyn kartezja«ski (a, b) = (c, d) a = c b = d. Iloczynem kartezja«skim nazywamy zbiór wszystkich par uporz dkowanych (a,b), takich,»e a A i b B. Iloczyn kartezja«ski oznaczamy A B. 4

Wykªad II - funkcje Denicja funkcji W zbiorze X jest okre±lona pewna funkcja f, je»eli ka»demu elementowi x ze zbioru X jest przyporz dkowany dokªadnie jeden element y z pewnego zbioru Y. Przyporz dkowanie to nazywamy funkcj. Terminologia Element x ze zbioru X nazywamy argumentem funkcji, a element y ze zbioru Y przyporz dkowany elementowi x nazywamy warto±ci funkcji. Warto± funkcji oznaczamy f(x), czyli y = f(x). Uwaga: sam funkcj te» cz sto oznacza si f(x), ale nie nale»y myli poj funkcja i warto± funkcji. Mówimy,»e f jest okre±lona na zbiorze X i ma warto±ci w zbiorze Y. Funkcj nazywa si te» odwzorowaniem lub przeksztaªceniem. Funkcja f odwzorowuje (przeksztaªca) zbiór X w zbiór Y, co mo»na krótko zapisa stosuj c oznacznie f : X Y. Zbiór X nazywamy dziedzin funkcji i oznaczamy D(f). Przeciwdziedzina to zbiór warto±ci funkcji. Uwaga: cz sto przeciwdziedzin nazywa si zbiór Y. Funkcja okre±lona jest przez podanie dziedziny oraz sposobu przyporz dkowania warto±ci argumentom. Sposób przyporz dkowania mo»e by okre±lony np. wzorem, podaniem warto±ci w tabeli lub opisem sªownym. Przykªady funkcji i ich wykresy Funkcja staªa f(x) = 1dla ka»dego x R { 1 dla x 0 f(x) = 0 dla x < 0 Odwzorowanie to»samo±ciowe (funkcja identyczno±ciowa) f(x) = x, x R { x dla x 0 Warto± bezwzgl dna f(x) = x = x dla x < 0 f(x) = x dla x R Na wiczenia: f(x) = x 3, f(x) = (x + 1) +... Injekcja (funkcja ró»nowarto±ciowa, zanurzenie) Funkcja, która dla dowolnych dwóch ró»nych argumentów przyjmuje ró»ne warto±ci. Formalnie: funkcja jest ró»nowarto±ciowa wtedy i tylko wtedy, gdy x1,x X x 1 x f(x 1 ) f(x ). Surjekcja (funkcja na) Funkcja przyjmuj ca jako swoje warto±ci wszystkie elementy zbioru Y. Formalnie: funkcja jest surjekcj wtedy i tylko wtedy, gdy y Y x X : f(x) = y. O takiej funkcji mówimy,»e odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. 5

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) Funkcja równocze±nie ró»nowarto±ciowa (injekcja) i na (surjekcja). Przykªady f : R R, f(x) = x + 1 jest bijekcj f : N N, f(x) = x + 1 jest injekcj, nie jest surjekcj f : R R, f(x) = x nie jest injekcj ani surjekcj Zªo»enie funkcji We¹my funkcje f : X Y oraz g : Y Z. Zªo»eniem funkcji g z funkcj f nazywamy funkcj g f : X Z zdeniowan wzorem g f(x) = g (f (x)) dla wszystkich x X. Przykªady f(x) = x, g(y) = 1 + y, g f(x) = 1 + x f(x) = sin(x), g(y) = y, g f(x) = sin(x) f(x) = πx, g(y) = cos(y), g f(x) = cos(πx) f(x) = (1 + x), g(y) = 1 + y 3, g f(x) = f(x) = x, g(y) = y, g f (x) = x Funkcje odwrotne 1 + (1 + x) 6 Funkcj odwrotn do danej funkcji f : X Y nazywa si tak funkcj g : Y X,»e zªo»enie obu funkcji jest przeksztaªceniem to»samo±ciowym: g (f (x)) = x dla ka»dego x nale» cego do dziedziny f oraz f (g (y)) = y dla ka»dego y nale» cego do dziedziny g. Funkcj odwrotn do f cz sto oznacza si jako f 1 i nie nale»y tego myli z odwrotno±ci algebraiczn 1/f... Terminologia i wªasno±ci Nie dla ka»dej funkcji istnieje funkcja odwrotna. Te, które maj funkcj odwrotn, nazywamy odwracalnym. Je»eli f 1 jest funkcj odwrotn do f, to f jest odwrotna do f 1. Przykªady i wykresy f(x) = x 3 dla x R, f 1 (y) = 3 y dla y R f(x) = x dla x 0, f 1 (y) = y dla y 0 f(x) = x dla x R nie ma funkcji odwrotnej 6

Uwaga: Na ogóª zamiast y pisze si x i nie nale»y myli argumentu funkcji z argumentem funkcji odwrotnej. f(x) = 1 x dla x 0, f 1 (x) = 1 x dla x 0, czyli f jest odwrotna do samej siebie. Czy jest jeszcze jaka± funkcja o tej wªasno±ci? f(x) = x, x, x,... f(x) = e x dla x R, f 1 (x) = ln(x) dla x > 0 (e =.718...) f(x) = sin(x) dla π x π, f 1 (x) = arcsin(x) dla 1 x 1 (funkcje cyklometryczne...) A jak b dzie dla f(x) = 1 + x? Odp. f 1 (x) = x 1... 3 Wykªad III. Ci gi Notacja: wska¹niki Je»eli rozwa»amy ukªad równa«z dwoma lub trzema niewiadomymi, niewiadome te mo»emy oznaczy x, y, z. Maj c np. siedem niewiadomych zastosujemy raczej oznaczenie x 1, x,...,x 7. Wspóªczynniki w wielomianie niskiego stopnia mo»emy oznaczy kolejnymi literami a, b, c itd., np. ax + bx + c. Ale w wielomianie wy»szego stopnia wygodniejsze byªoby ich ponumerowanie, np. a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0. Liczby caªkowite numeruj ce zmienne i wspóªczynniki w powy»szych przykªadach nazywamy indeksami lub wska¹nikami. Notacja: suma 5 k = 1 + + 3 + 4 + 6, k=1 k N k<4 4 k = + 3 + 4, k= k k + 1 = 0 0 + 1 + 1 1 + 1 + + 1 + 3 3 + 1. Denicja ci gu k=3,7,8 ( 1) k = ( 1) 3 + ( 1) 6 + ( 1) 8, Je»eli ka»dej liczbie naturalnej k zostanie przyporz dkowana jedna liczba rzeczywista a k, to mówimy,»e zostaª okre±lony niesko«czony ci g liczbowy. A wi c ci g jest funkcj odwzorowuj c N w R. Ci g zapisujemy w postaci a 0, a 1, a 3,... lub (a k ) k N lub (a k ). Typowe oznaczenia Dla ci gów: a, b, c, x, u,... i wska¹ników: i, j, k, l, m, n. Równie» w programach numerycznych literami i, j, k, l, m, n standardowo oznacza si liczby caªkowite. W programach zamiast wska¹ników stosuje si zapis jak dla funkcji, np. a(k). 7

Przykªady a k = k, (0, 4,...) a k = 1 (1, k + 1, 1, 13 ),... a k = ( 1) k, (1, 1, 1, 1,...). Zbiór warto±ci: { 1, 1}. Granica ci gu Nieformalnie: je»eli dla du»ych warto±ci k warto± a k zbli»a si do pewnej liczby g, to liczb t nazywamy granic ci gu. Zapisujemy to tak: lim a k = g. Mówimy,»e ci g (a k ) d»y do g. Je»eli k ci g d»y do plus lub minus niesko«czono±ci, nazywamy go rozbie»nym. Przykªady lim k 1 k + 1 k = 0, lim k k + 1 = 1, lim k ( 1)k - nie istnieje, lim k k =. Ci g arytmetyczny a k = k, (0, 1,, 3,...), lim k a k =, n a k = 0 + 1 + +... + n = k=0 n(n + 1). Ci g geometryczny a k = aq k, (a, aq, aq, aq 3,...). Przykªad: a = 1, q = 1 ( ) k 1 a k =, (1, 1, 14, 18 ),.... Granica ci gu geometrycznego: lim a k = je»eli q > 1, k lim a k = a je»eli q = 1, k lim a k = 0 je»eli 1 < q < 1, k lim a k nie istnieje, je»eli q < 1. k Suma wyrazów ci gu geometrycznego: n k=0 k=0 a k = a 1 qn+1 1 q. a k = a 1 1 q Szeregi je»eli 1 < q < 1. Dla q 1 sum jest niesko«czona, a dla q 1 nie istnieje Omawiaj c ci gi arytmetyczny i geometryczny u»yli±my okre±lenia suma wyrazów ci gu. Jest to okre±lenie opisowe, które wyja±nia,»e dodajemy do siebie poszczególne wyrazy danego ci gu. Bardziej formalnie, zgodnie z terminologi stosowan w podr cznikach analizy matematycznej, 8

nale»aªoby powiedzie,»e n a k to suma cz ±ciowa szeregu, np. arytmetycznego lub geometrycznego. Podobnie, k=0 a k to niesko«czona suma szeregu. Uwaga: sam szereg, którego denicji k=0 tutaj nie przypominamy, równie» jest oznaczany Je»eli suma a k - tak jak niesko«czona suma. k=0 a k istnieje i ma sko«czon warto±, to szereg nazywamy zbie»nym. Np. szereg k=0 geometryczny jest zbie»ny dla 1 < q < 1. Gdy szereg nie jest zbie»ny, nazywamy go rozbie»nym. Np. szeregi arytmetyczny oraz geometryczny dla q 1 s rozbie»ne. Warunek zbie»no±ci szeregu Suma cz ±ciowa szeregu oczywi±cie istnieje zawsze, o ile wyrazy ci gu zostaªy dobrze okre±lone. Ale niesko«czona suma mo»e nie istnie lub mie niesko«czon warto±, czyli szereg mo»e by rozbie»ny. Szereg jest zbie»ny tylko wtedy, gdy lim a k = 0. Jest to warunek konieczny, ale niewystarczaj cy k - mo»e si zdarzy,»e szereg b dzie rozbie»ny nawet, gdy wyrazy a k d» do zera, np. Notacja: iloczyn 5 k = 3 4 5 k= Ci g silnia n a n = k = 1 3... n = n! k=1 k=1 1 k =. Np. a 1 = 1!=1, a =! =, a 3 = 3! = 6, a 4 = 4! = 4, itd. Uwaga: funkcja silnia jest okre±lona równie» dla k = 0. Z pewnych wzgl dów przyjmuje si,»e 0! = 1. Rekurencyjna denicja silni a 0 = 1, a k = k a k 1 dla k > 0. Np. a 1 = 1 1 = 1, a = 1 =, a 3 = 3 = 6 itd. 4 Wykªad IV. Elementy logiki Zdanie Zdaniem jest dowolne stwierdzenie, o którym mo»emy jednoznacznie powiedzie,»e jest prawdziwe lub falszywe. To znaczy musi ono przyjmowa jedn z tych warto±ci i nie mo»e by równocze±nie prawdziwe i faªszywe. 9

Przykªad stwierdze«b d cych zdaniami 1. Autorem Pana Tadeusza byª H.Sienkiewicz.. Autorem Pana Tadeusza byª A.Mickiewicz. 3. Kraków to miasto. 4. + = 4. 5. 3 = 10. 6. Ka»da liczba caªkowita parzysta wi ksza od 4 jest sum dwóch liczb pierwszych - dot d nie dowiedziona hipoteza Goldbacha. 7. x + y = y + x dla wszystkich x, y R. 8. Istniej liczby n N, dla których n = n. Przykªad stwierdze«, którym nie mo»na przypisa warto±ci logicznej 1. To twoje czy moje miejsce?. Albo kupisz mi lody albo si obra». - tylko osoba mówi ca zdanie wie czy jest ono prawdziwe. 3. Dlaczego studiujesz informatyk? Przykªady stwierdze«niejednoznacznych 1. Wykªadowcy dobrze zarabiaj.. Mleko jest zdrowe. 3. Jest dzisiaj bardzo zimno. 4. x y = y x (a) dla wszystkich x, y R - faªsz, (b) dla pewnych x, y R - prawda. 5. Nie istnieje pierwiastek z liczby x < 0 (a) dla x R - prawda, (b) dla x, y C - faªsz. 10

Spójniki logiczne Wyró»niamy pi podstawowych spójników logicznych: 1. - nie - negacja,. - i - koniunkcja, 3. - lub - alternatywa, 4. - je»eli to - implikuje - implikacja, 5. - wtedy i tylko wtedy, gdy - równowa»no±. Warunki W przypadku prawdziwo±ci zdania p q mówimy,»e p jest warunkiem wystarczaj cym dla q lub,»e q jest warunkiem koniecznym dla p. Stwierdzenie,»e p jest warunkiem koniecznym i wystarczaj cym dla q oznacza,»e zdanie p q jest prawdziwe. Przykªady 1. eby zda egzamin z matematyki dyskretnej trzeba ci»ko pracowa. Implikacja zda ci»ko pracowa jest prawdziwa. Implikacja odwrotna ju» nie. Niestety ci»ka praca nie zawsze wystarcza,»eby zda.. Zerowanie si pierwszej pochodnej funkcji w punkci x 0 jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczaj cym, aby funkcja posiadaªa w tym punkcie minimum. Podziaª zda«zdania dzielimy na: Zdania proste - w których nie wyst puje»aden spójnik logiczny, Zdanie zªo»one - w których wyst puje co najmniej jeden spójnik logiczny. Zdanie zªo»one Przykªady 1. Je»eli Agatha Christie jest autork kryminaªów to jest autork poezji,. Wrocªaw i Warszawa sa województwami, 3. Nie jest prawd,»e 3 jest liczb parzyst lub 7 jest liczb pierwsz, 4. Ziemia jest pªaska wtedy i tylko wtedy gdy +=5. 11

Zmienne zdaniowe Zmienne zdaniowe reprezentuj proste zdania, których warto± logiczn mo»emy ªatwo rozstrzygn. Interpretacja ta nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zda«. Zmienne zdaniowe mog by (i cz sto s ) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowan teori. Zmienne zdaniowe oznaczamy zwyczajowo jako p,q,r,s. Rachunek zda«rachunek zda«to dziaª logiki matematycznej badaj cy zwi zki mi dzy zdaniami (zmiennymi zdaniowymi) lub funkcjami zdaniowymi utworzonymi za pomoc spójników zdaniowych ze zda«lub funkcji zdaniowych prostszych. Rachunek zda«okre±la sposoby stosowania spójników zdaniowych w poprawnym wnioskowaniu. Matryca logiczna Matryca logiczna to stworzony w XIX wieku przez logika ameryka«skiego Charlesa Sandersa Peirce'a ukªad tabelaryczny zero-jedynkowych kombinacji warto±ci logicznych argumentów danej funkcji zdaniowej i dokªadnie zale» cych od nich warto±ci logicznych tej»e funkcji zdaniowej, gdzie prawdzie odpowiada 1 (lub ang. P) a faªszowi przypisuje si 0 (F ). p q ~p ~q p q p q p q p q 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Równowa»no± Równowa»no± p q jest zdeniowany za pomoc zdania (p q) (q p) p q (p q) (q p) 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Alternatywa wykluczaj ca Alternatywa wykluczaj ca oznaczana jest przez informatyków XOR i ma te same warto±ci logiczne co zdanie (p q). Jej denicja jest nast puj ca: p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

Tautologia Tautologia to zdanie zªo»one b d ce zawsze prawdziwe niezale»nie od warto±ci logicznych tworz - cych je zmiennych zdaniowych. Przykªady p p p 0 1 1 1 p q [p (p q)] q 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 p q ~ (p q) ( p q) 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 3 4 3 Zdanie sprzeczne Zdaniem sprzecznym nazywamy zdanie zªo»one, które jest zawsze faªszywe czyli jest faªszywe dla dowolnych warto±ci tworz cych je zda«prostych (zmiennych zdaniowych). Je»eli zdanie P jest sprzeczne wówczas zdanie P jest tautologi. Przykªad Klasycznym przykªadem zdania sprzecznego jest zdanie zªo»one p p: p ~p p p 0 1 0 1 0 0 Zdania odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycje) We¹my zdanie zªo»one p q. Zdanie q p jest zdaniem do niego odwrotnym. jego znaczenie jest inne ni» zdania p q. Okazuje si natomiast,»e zdanie p q jest równowa»ne zdaniu q p, które nazywamy zdaniem przeciwstawnym lub kontrapozycj zdania p q. Przykªad We¹my zdanie: je»eli pada deszcz, to na niebie s chmury. Jest to zdanie zªo»one p q z p= pada deszcz i q= na niebie s chmury. Jest to zdanie prawdziwe. Zdanie odwrotne q p ma posta je»eli na niebie s chmury, to pada deszcz. Jest to zdanie faªszywe. Kontrapozycja ma 13

posta : je»eli na niebie nie ma chmur to nie pada deszcz. Jest to zdanie prawdziwe i wydaje si logiczne bez znajomo±ci zycznego zwi zku mi dzy chmurami i deszczem. Zdania logicznie równowa»ne Dwa zdania zªo»one P i Q sa zdaniami logicznie równowa»nymi, je»eli maj takie same warto±ci logiczne dla wszystkich kombinacji warto±ci logicznych ich zmiennych zdaniowych p, q itd. Innymi sªowy, kolumny ostatecznych warto±ci logicznych w ich matrycach logicznych s takie same. P Q wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zªo»one P Q jest tautologi. Implikacje logiczne Dla danych dwóch zda«zªo»onych P i Q mówimy,»e zdanie P implikuje logicznie zdanie Q, je»eli zdanie Q ma warto± logiczn prawdy zawsze wtedy, gdy zdanie P ma warto± logiczn prawdy. P Q wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zªo»one P Q jest tautologi. Aksjomat Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωµα aksíoma godno±, pewno±, oczywisto± ) jedno z podstawowych poj logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano,»e aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi si w obr bie danej teorii matematycznej. We wspóªczesnej matematyce denicja aksjomatu jest nieco inna: Aksjomaty s zdaniami wyodr bnionymi spo±ród wszystkich twierdze«danej teorii, wybranymi tak, aby wynikaªy z nich wszystkie pozostaªe twierdzenia tej teorii. Taki ukªad aksjomatów nazywany jest aksjomatyk. 5 Metody dowodzenia Kontrprzykªad Zdanie zªo»one x p(x) b dzie faªszywe, je»eli jedno ze zda«p(x) b dzie faªszywe. St d, aby wykaza,»e takie zdanie zªo»one jest faªszywe wystarczy pokaza,»e jedno z jego zda«skªadowych jest faªszywe. Innymi sªowy, wystarczy pokaza jeden przykªad zaprzeczaj cy zdaniu ogólnemu, tzw. kontrprzykªad. Przykªad Liczba jest kontrprzykªadem na stwierdzenie,»e wszystkie liczby pierwsze sa nieparzyste. Dowody równowa»no±ci Pierwszym rodzajem dowodów s dowody równowa»no±ci: p q. Mo»emy je udowadnia na dwa sposoby. Naraz w obie strony Korzystaj c ze znanych denicji i aksjomatów przechodzimy od jednej strony równowa»no±ci do drugiej, dbaj c aby ka»dy krok byª równie» równowa»no±ci 14

Za pomoc dwóch implikacji Cz sto ªatwiejszym sposobem jest skorzystanie z tautologii rachunku zda«: (p q) ((p q) (q p)) i udowodnienie niezale»nie implikacji w obie strony. Przykªad Pokaza,»e dla dowolnego k N 10 dzieli k wtedy i tylko wtedy gdy ostatni cyfra k jest 0. Rozwi zanie Lewa strona: p = 10 dzieli k N. Prawa strona: q = ostatni cyfra k jest 0. Dowód w obie strony: 10 dzieli k N def istnieje takie n N,»e k = 10n ostatni cyfr k jest 0. Dowód przez implikacje: Je»eli k dzieli si przez 10 to jego ostatni cyfr jest 0. Je»eli ostatni cyfr k jest 0 to k dzieli si przez 10. Dowody implikacji Mamy doczynienia ze zbiorem zaªo»e«p 1 p p n i tez q. Udowadniamy implikacj p 1 p p n q. Cz sto implikacj zapisujemy pro±ciej jako p q. Dowód wprost Jedna z najbardziej naturalnych metod dowodzenia. Zakªadamy,»e p jest prawd i pokazujemy,»e z tego wynika,»e q jest prawd. Przykªad Udowodni,»e je»eli a jest tak liczb caªkowit, ze a 4 jest podzielne przez 5, to a 3 + 1 jest równie» podzielne przez 5. Rozwi zanie Zaªo»enie: p = a jest tak liczb caªkowit, ze a 4 jest podzielne przez 5 Teza: q = a 3 + 1 jest podzielne przez 5 Dowód: Je»eli a 4 jest podzielne przez 5 (p), to istnieje taka liczba caªkowita k,»e a 4 = 5k. St d a + 1 = (a 4) + 5 = 5k + 5 = 5(k + 1), wi c czyli a 3 + 1jest podzielne przez 5 (q). a 3 + 1 = (a + 1)(a a + 1) = 5(k + 1)(a a + 1), 15

Dowód kontrapozycji (nie wprost) Korzystamy z tautologii rachunku zda«, zwanej prawem kontrapozycji: (p q) ( q p). (p 1 p p n q) ( q (p 1 p p n )). Zakªadamy wi c,»e teza twierdzenia q jest faªszywa i pokazujemy,»e z tego wynika,»e zaªo»enie p jest faªszywe. Przykªad Udowodni,»e je»eli iloczyn dwóch liczb caªkowitych a i b jest liczb parzyst, to a jest liczb parzyst lub b jest liczb parzyst. Rozwi zanie Zaªo»enie: p = iloczyn dwóch liczb caªkowitych a i b jest liczb parzyst Teza: q = a jest liczb parzyst lub b jest liczb parzyst. Tez mo»emy zapisa jako sum logiczn dwóch zda«: q = q 1 + q, q 1 = a jest liczb parzyst, q = b jest liczb parzyst. Dowód: eby udowodni implikacj p q, udowodnimy implikacj q p. Skorzystamy dodatkowo z prawa D Morgana do zapisu zaprzeczenia tezy: (q 1 q ) q 1 q. Zaprzeczenie tezy: q = a jest liczb nieparzyst i b jest liczb nieparzyst. Zaprzeczenie zaªo»enia: p = iloczyn a i b jest liczb nieparzyst. Z zaprzeczenia tezy wynika,»e istniej liczby caªkowite k i l takie,»e St d otrzymujemy,»e a = k + 1 b = l + 1. ab = (k + 1)(l + 1) = 4kl + k + l + 1 = (kl + k + l) + 1, czyli iloczyn a i b jest nieparzysty. Dowód przez sprowadzenie do sprzeczno±ci (dowód przez zaprzeczenie) Korzystamy z tautologii rachunku zda«: (p q) ( p q). Stosuj c do jego prawej strony prawo De Morgana, otrzymujemy równowa»no± : (p q) (p q). Pami tamy,»e implikacja p q jest faªszywa wyª cznie gdy p jest prawdziwe i q jest faªszywe. Wówczas, równowa»nie (p q) musiaªoby by prawdziwe. Dowód polega wi c na zaªo»eniu,»e p jest prawdziwe i q jest faªszywe i doprowadzeniu do sprzeczno±ci, czyli wykazaniu,»e (p q) jest faªszywe. 16

Przykªad Udowodni,»e spo±ród trzynastu ludzi dwóch lub wi cej ma swoje urodziny w tym samym miesi cu. Rozwi zanie Zaªo»enie: p = mamy trzynastu ludzi. Teza: q = dwóch lub wi cej z nich ma swoje urodziny w tym samym miesi cu. Dowód: Zaªó»my,»e mamy trzynastu ludzi (p prawdziwe) i»adnych dwóch z nich nie ma urodzin w tym samym miesi cu (q faªszywe). To prowadzi do stwierdzenia,»e jest przynajmniej trzyna±cie miesi cy w roku, czyli do sprzeczno±ci. Wykazali±my wi c,»e (p q) jest faªszywe, zatem implikacja p q jest prawdziwa. Dowód przez przypadki Czasami musimy udowodni implikacj postaci. Jest ona równowa»na p 1 p p n q (p 1 q) (p q) (p n q), wi c mo»na j dowodzi rozpatruj c przypadki czyli dowodz c ka»dej implikacji p i q oddzielnie. Przykªad Udowodni,»e dla ka»dego n N liczba n 3 + n jest parzysta. Przypadek 1 Zaªó»my,»e n jest liczb parzyst. Wtedy n = k dla pewnej liczby k N. St d: jest parzysta. Przypadek n 3 + n = 8k 3 + k = (4k 3 + k) Zaªó»my,»e n jest liczb nieparzyst. Wtedy n = k + 1 dla pewnej liczby k N. St d: jest parzysta. n 3 + n = (8k 3 + 1k + 6k + 1) + (k + 1) = (4k 3 + 6k + 4k + 1) Zasada szuadkowa (Dirichleta) Zasada suadkowa polega na prostej obserwacji,»e je»eli rozmie±cimy n przedmiotów w m szu- adkach, gdzie n > m, to istnieje szuadka, która zawiera co najmniej dwa przedmioty. Zasada: Je»eli rozmie±cimy n przedmiotów w m szuadkach, przy czym n > km (k N), to w której± szuadce znajdzie si co najmniej k + 1 przedmiotów. 17

Przykªad Pokaza,»e je»eli w trójk cie równobocznym o boku dªugo±ci 4 umie±cimy 17 punktów, to znajdziemy dwa punkty, mi dzy którymi odlegªo± nie przekracza 1. Rozwi zanie Podzielmy trójk t na 16 maªych trójk tów równobocznych (ka»dy bok dzielimy na 4 cz ±ci) o boku dªugo±ci 1. Wykorzystujemy je jako szuadki, do których wkªadamy 17 przedmiotów (punktów). Z zasady szuadkowej wynika,»e istnieje co najmniej jeden maªy trójk t zawieraj cy co najmniej dwa punkty. Takie dwa punkty s w odlegªo±ci mniejszej lub równej 1. Indukcja matematyczna Zasada indukcji matematycznej Rozwa»amy twierdzenie dotycz ce liczb naturalnych. Sprawdzamy, czy speªnione s dwa warunki: 1. Twierdzenie jest prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej n o.. Z zaªo»enia prawdziwo±ci twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej k n 0 wynika,»e jest ono prawdziwe tak»e dla liczby nast pnej, k + 1. Je»eli oba warunki s speªnione, to twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dej liczby naturalnej n n 0. Przykªad Udowodnij,»e a + aq + aq +... + aq n = a 1 qn+1 1 q. Warunek pocz tkowy. Twierdzenie jest prawdziwe np. dla n 0 = 0: a = a 1 q0+1 1 q Zaªo»enie indukcyjne. Zakªadamy,»e twierdzenie = a. a + aq + aq +... + aq k = a 1 qk+1 1 q jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej k 0. Teza indukcyjna. Chcemy sprawdzi,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika prawdziwo± twierdzenia dla k + 1, czyli Krok indukcyjny. a + aq + aq +... + aq k + aq k+1 = a 1 qk+ 1 q. a+aq+aq +...+aq k +aq k+1 = a 1 qk+1 1 q +aqk+1 = a 1 qk+1 + q k+1 q k+ 1 q = a 1 qk+ 1 q 18

6 J zyki formalne na przykªadzie gramatyk Lindenmayera 7 Rekurencja Wprowadzenie Ci gi mo»na deniowa podaj c w sposób jawny wzory na kolejne wyrazy, np. ci g arytmetyczny: a n = n a 0 = 0, a 1 = 1, a = itd.; ci g geometryczny: a n = a q n a 0 = a, a 1 = a q, a = a q itd. Mo»na te» deniowa kolejne wyrazy ci gu za pomoc wyrazów poprzednich, np. ci g arytmetyczny: a 0 = 0, a n+1 = a n + 1; ci g geometryczny: a 0 = a, a n+1 = q a n. Tego typu zale»no±ci nazywamy zale»no±ciami rekurencyjnymi lub wzorami rekurencyjnymi. Je»eli zale»no± rekurencyjna stanowi denicj ci gu, to nazywamy j denicj rekurencyjn. Denicja rekurencyjna Mówimy,»e ci g jest zdeniowany rekurencyjnie, je»eli: Okre±lony jest pierwszy wyraz lub pewna ilo± pierwszych wyrazów ci gu; Nast pne wyrazy zdeniowane s za pomoc poprzednich wyrazów ci gu. Dalsze przykªady ci g geometryczny: a 0 = 4, a n+1 = 1 a n a 0 = 4, a 1 =, a = 1, a 3 = 1, a 4 = 1 4 itd. suma wyrazów ci gu arytmetycznego: s 0 = 0, s n+1 = s n + (n + 1), s 1 = 1, s = 3, s 3 = 6 itd. silnia: 0! = 1, (n + 1)! = (n + 1) n! 0! = 1, 1! = 1,! =, 3! = 6, 4! = 4 itd. ci g Fibonacciego: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n F = 1, F 3 =, F 4 = 3, F 5 = 5 itd. Znajdowanie wyrazu ogólnego Zale»no±ci rekurencyjne odgrywaj wa»n rol w informatyce, s cz sto stosowane w programach numerycznych. Niemniej, potrzebna mo»e by równie» znajomo± wzoru ogólnego (jawnego) na wyrazy ci gu zdeniowanego rekurencyjnie. Znajdowanie wyrazu ogólnego mo»e polega na jego odgadni ciu czy te» nieformalnym wyprowadzeniu, a nast pnie formalnym udowodnieniu np. za pomoc indukcji matematycznej. 19

Przykªad Znale¹ ogólny wyraz ci gu s n zdeniowanego wcze±niej rekurencyjnie. Wyraz s n oznacza sum liczb naturalnych od 1 do n: s n = 1++...+n. Pierwszy skªadnik sumy to 1, ostatni to n, a wi c ±rednia warto± sumowanych liczb wynosi n + 1. Liczb tych jest n, czyli suma powinna wynosi n (n + 1) s n =. Teraz nale»y ten wzór udowodni indukcyjnie. Warunek pocz tkowy s 1 = 1 jest speªniony, gdy» s 1 = Zakªadamy,»e zale»no± jest speªniona dla n N: s n = 1 (1 + 1) n (n + 1). = 1. Chcemy udowodni,»e st d wynika prawdziwo± wzoru dla n+1, czyli s n+1 = Dowód: s n+1 = s n + (n + 1) = Przykªad n (n + 1) + n + 1 = n(n + 1) + n + = (n + 1) (n + 1 + 1). (n + )(n + 1) Wyznacz za pomoc zale»no±ci rekurencyjnej liczb permutacji zbioru {1,, 3,..., n}. Nast pnie znajd¹ wzór jawny na liczb permutacji tego zbioru. Wprowadzamy oznaczenie: a n - liczba permutacji zbioru zawieraj cego n elementów. Np. dla n = 1 jest tylko jedna mo»liwo±, wi c a 1 = 1. Dwa elementy zbioru mo»na ustawi na dwa sposoby, {1, } lub {, 1}, czyli a =. Trzy elementy mo»na ustawi na sze± sposobów, {3, 1, }, {1, 3, }, {1,, 3}, {3,, 1}, {, 3, 1}, {, 1, 3}, st d a 3 = 6. Ostatni, n-ty element zbioru mo»na ustawi na n sposobów: na pierwszym miejscu, na drugim i tak dalej, a» do ostatniego, n-tego miejsca. Czyli liczba permutacji a n zbioru n-elementowego jest n razy wi ksza ni» liczba permutacji a n 1 zbioru zawieraj cego o jeden element mniej: a n = n a n 1. Jest to szukana zale»no± rekurencyjna. Poniewa» a 1 = 1 oraz a n = n a n 1, to ci g a n jest ci giem silnia, czyli a n = n!. Odpowiedzi Zale»no± rekurencyjna: a 1 = 1, a n = n a n 1 ; Ogólny wzór jawny: a n = n!. Jednorodne liniowe zale»no±ci rekurencyjne Jednorodnymi liniowymi zale»no±ciami rekurencyjnymi nazywamy zale»no±ci postaci a n = c 1 a n 1 + c a n +... + c r a n r. (1) Zale»no±ci takie musz mie zadanych r warunków pocz tkowych: a 1, a,..., a r. Rozwi zaniem zagadnienia nazywamy wzór ogólny (jawny) dla wyrazu a n, gdzie n jest dowoln liczb naturaln. 0

Zauwa»my,»e zawsze istnieje rozwi zanie trywialne a n = 0, je±li pierwsze r wyrazów te» byªo równych zeru. Dalej zajmiemy si szukaniem rozwi za«nietrywialnych, tzn. takich, dla których przynajmniej cz ± wyrazów jest ró»nych od zera. Z równaniem (1) zwi zane jest równanie algebraiczne zwane równaniem charakterystycznym: x r c 1 x r 1 c x r... c r = 0. () Oznaczmy pierwiastki (rozwi znie) tego równania α 1, α,..., α r. Twierdzenie Równanie rekurencyjne (1) ma rozwi zanie postaci a n = C 1 α n 1 + C α n +... + C r α n r, (3) gdzie staªe C i s liczbami do wyznaczenia z warunków pocz tkowych. Przykªad Wyznaczy wzór na ogólny wyraz F n ci gu Fibonacciego okre±lonego jednorodn, liniow zale»no±ci rekurencyjn F n = F n 1 + F n z warunkami pocz tkowymi F 0 = 0 oraz F 1 = 1. W tym przypadku c 1 = c = 1 oraz r =, czyli równanie charakterystyczne ma posta : Jego rozwi zaniem s liczby α 1 = 1 + 5 x x 1 = 0. oraz α = 1 5 Ogólne rozwi zanie podanego równania charakterystycznego ma posta : ( 1 + ) n ( 5 1 ) n 5 F n = C 1 + C.. Z warunków pocz tkowych dostajemy równania na staªe C i : 0 = C 1 + C 1 + 5 1 5 1 = C 1 + C. St d Ich rozwi zaniem s liczby C 1 = 1 5 oraz C = 1 5. ( Odpowied¹: F n = 1 5 itd. ( F n = 1 5 1 + 5 ( 1 + ) n 5 1 5 ) n ( 1 5 1 ) n 5. 1 ) n 5. Sprawdzenie: F 0 = 0, F 1 = 1, F =, 1

Uwaga Dla ci gu Fibonacciego przyjmuje ( si te» cz sto ) denicj z innymi warunkami pocz tkowymi: F 0 = 1 i F 1 = 1. Wtedy F n = 1 n+1 ( ) 1 n+1. 5 5 Liczby Fibonacciego 1 + 5 1 5 Wyrazy tego ci gu: (0), 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1 itd. nosz nazw liczb Fibonacciego. Zadanie domowe Udowodni indukcyjnie nast puj c wªasno± ci gu Fibonacciego: F n+1 F n 1 F n = ( 1) n. Niejednorodne jednorodne zale»no±ci rekurencyjne Np. ci g arytmetyczny lub suma wyrazów ci gu arytmetycznego. Zªo»one (nieliniowe) zale»no±ci rekurencyjne Np. ci g silnia. Zadanie na wiczenia Pokaza,»e je»eli speªnione s warunki pocz tkowe a 0 = 1 i a 1 = 9 oraz dla n zachodzi wzór rekurencyjny a n = 5a n 1 6a n, to dla ka»dego n 0 wyrazy ci gu dane s równaniem a n = 5 3 n + 7 n. Dowód indukcyjny: a n+1 = 5a n 6a n 1 = 5 (5 3 n + 7 n ) 6 (5 3 n 1 + 7 n 1 ) = 5 3 n+1 + 7 n+1 Wyprowadzenie z równania charakterystycznego: x 5x + 6 = 0 α 1 = 3, α = ; a n = C 1 3 n + C n a 0 = 1, a 1 = 9 C 1 = 5, C = 7