Elementy rachunku wariacyjnego

Wykłd 13 Elementy rchunku wricyjnego 13.1 Przykłdowe zgdnieni Rchunek wricyjny zjmuje się metodmi wyznczni wrtości ekstremlnych funkcjonłów określonych n pewnych przestrzenich funkcyjnych. Klsyczn teori rchunku wricyjnego pochodzi od Euler (177-1783). Poniżej przedstwimy kilk przykłdowych problemów prowdzących do zgdnień wricyjnych. Zgdnienie brchistochrony W roku 1696 Johnn Bernoulli postwił nstępujący problem. Dne są dw ustlone punkty M 1 i M 2 nie leżące n pionowej prostej. Nleży wyznczyć linię - drogę, po której punkt mterilny zsunie się od M 1 do M 2 w njkrótszym czsie pod wpływem siły ciążeni, zkłdjąc, że prędkość początkow w punkcie M 1 jest równ zeru. Niech M 1 (, ), M 2 (x 2, y 2 ). Zkłdjąc, że szukn krzyw dn jest równniem y = u (x) wnioskujemy, że muszą być spełnione wrunki brzegowe u () =, u (x 2 ) = y 2. Z zsdy zchowni energii wynik, że 1 2 mv2 = mgy, ztem Poniewż dt = ds v = v = 2gy. 1 (u (x)) 2 dx, 2gu (x) więc cłkowity czs zsuwni się punktu mterilnego po krzywej y = u (x) możn zpisć wzorem T = 1 x2 1 (u (x)) 2 dx. (13.1) 2g u (x) T jest funkcjonłem postci T (u) = F (x, u, u ) dx. Nleży wyznczyć tką funkcję u (x), dl której wyrżenie (13.1) przyjmuje wrtość minimlną w klsie funkcji różniczkowlnych spełnijących zdne wrunki brzegowe u () =, u (x 2 ) = y 2. 113

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 114 Powierzchni obrotow o minimlnym polu Postwmy zgdnienie wyznczeni funkcji y = u (x), któr spełni wrunki brzegowe u (x 1 ) = y 1, u (x 2 ) = y 2 tkiej, że pole powierzchni obrotowej otrzymnej przez obrót tej krzywej dookoł osi OX w przedzile x 1 ; x 2 jest minimlne. Poniewż pole powierzchni obrotowej opisne jest wzorem S = 2π x 2 x 1 u (x) 1 (u (x)) 2 dx, (13.2) więc zgdnienie powyższe prowdzi do minimlizcji funkcjonłu (13.2). Powierzchni o minimlnym polu przechodząc przez dną krzywą Niech Γ będzie dną krzywą zmkniętą w R 3. Poszukujemy powierzchni S, której brzegiem jest Γ, i której pole jest minimlne. Anlitycznie ozncz to, że szukmy funkcji dwóch zmiennych z = u (x, y) spełnijącej wrunek brzegowy u (x, y) = f (x, y), gdzie f jest dn, jest rzutem Γ n płszczyznę Oxy, tkiej, że funkcjonł ( ) 2 ( ) 2 u u S = 1 dxdy (13.3) przyjmuje wrtość minimlną ( jest obszrem, którego brzegiem jest ). Rozwżny funkcjonł (13.3) jest postci S (u) = F (x, y, u, u x, u y ) dxdy. 13.2 Wrunek konieczny istnieni ekstremum funkcjonłu Niech J : X R będzie funkcjonłem określonym n pewnej przestrzeni funkcyjnej X. Niech J = J (u h) J (u) będzie przyrostem wrtości funkcjonłu odpowidjącym przyrostowi rgumentu o h. Zuwżmy, że dl ustlonego u przyrost J jest funkcjonłem zleżnym od h - n ogół nieliniowym. Zgodnie z ogólną teorią różniczkowni w przestrzenich unormownych, przyjmujemy nstępującą definicję. D e f i n i c j Mówimy, że funkcjonł J jest różniczkowlny w punkcie u wtedy i tylko wtedy gdy przyrost J dje się przedstwić w postci J = ϕ (h) α (u, h) h, (13.4) gdzie ϕ (h) jest funkcjonłem liniowym względem h, orz lim α (u, h) =. Funkcjonł ϕ (h) h nzywmy wricją (różniczką w sensie Fréchet) funkcjonłu J. Wricję ϕ (h) zpisujemy symbolicznie jko δj (h). Pojęcie wricji funkcjonłu pozwl sformułowć w prosty sposób wrunek konieczny istnieni ekstremum funkcjonłu.

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 115 T w i e r d z e n i e Jeśli funkcjonł J (u) posid ekstremum dl u = u orz istnieje wricj funkcjonłu J, to δj = dl u = u. (13.5) Dl dowodu wystrczy zuwżyć, że J = J (u h) J (u ) = δj (h)α (u, h) h. Poniewż α (u, h) dl h, więc znk wyrżeni δj (h)α (u, h) h dl dosttecznie młych h określony jest przez znk pierwszego skłdnik. Gdyby δj, z liniowości wricji δj wynik, że dl młych h znk ten może być zrówno dodtni jk i ujemny, ztem funkcjonł J nie może osiągć ekstremum w punkcie u. 13.2.1 Przypdki funkcjonłów szczególnej postci Przedyskutujemy terz postć wrunku koniecznego istnieni ekstremum (13.5) w pewnych szczególnych przypdkch funkcjonłów. Zgdnienie z nieruchomymi końcmi Rozwżmy przestrzeń C 1 (; b) z normą u = sup u (x) sup u (x). Niech X będzie przestrzenią funkcyjną określoną ;b ;b nstępująco X = { u : u C 1 (; b), u () = A, u (b) = B }. Rozwżmy tzw. zgdnienie z nieruchomymi końcmi polegjące n wyznczeniu ekstremów funkcjonłu postci F (x, u, u ) dx (13.6) w przestrzeni X. Niech h będzie przyrostem funkcji u, tzn. h C 1 (; b) orz u h X. Wynik stąd, że h () = h (b) =. Złóżmy terz, że F (x, u, u ) jest funkcją klsy C 2 n zbiorze {(x, u, u ) : x b, u, u R}. Wyznczmy wricję δj. Mmy J = F (x, u h, u h ) dx F (x, u, u ) dx = F (x, u h, u h ) F (x, u, u ) dx. Ze wzoru Tylor wynik, że F (x, u h, u h ) F (x, u, u ) = h F (x, u, u ) h F (x, u, u ) u u 1 2 F 2 h2 u 2 F 2 hh u u 1 2 F 2 h 2 u, 2 gdzie pochodne 2 F u 2, 2 F u u, 2 F u 2 obliczone są w punkcie (x, u θh, u θh ), < θ < 1.

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 116 gdzie W tkim rzie J = α (u, h) = 1 h h F (x, u, u ) h F (x, u, u ) dx α (u, h) h, (13.7) u u Szcując wyrżenie (13.8) otrzymujemy α (u, h) 1 h h 2 ( 1 2 F 2 h2 u 2 F 2 hh u u 1 ) 2 F 2 h 2 dx. (13.8) u 2 ( 1 2 2 F u 2 2 F u u 1 ) 2 F 2 u 2 dx = h Const co n mocy definicji (13.4) ozncz, że wricj funkcjonłu (13.6) wyrż się wzorem δj (h) = h F (x, u, u ) h F (x, u, u ) dx. (13.9) u u Zgodnie ze wzorem (13.5) wrunkiem koniecznym istnieni ekstremum funkcjonłu jest spełninie wrunku δj (h). Cłkując przez części drugi skłdnik we wzorze (13.9) otrzymujemy ztem h F (x, u, u ) dx = h F (x, u, u x=b ) u u x= }{{} δj (h) = h d dx ( F (x, u, u ) u h F u (x, u, u ) d dx F u (x, u, u ) dx. ) dx, Z dowolności funkcji h wynik, że musi być spełnione poniższe równnie (zpisne w uproszczonej postci z pominięciem rgumentów) F u d dx F u =. (13.1) Równnie to nosi nzwę równni Euler. Jest to włśnie wrunek konieczny istnieni ekstremum funkcjonłu postci (13.6). Rozwiązni równni Euler nzywją się ekstremlmi. Z udowodnionego uprzednio twierdzeni wynik, że funkcjonł J może posidć ekstrem tylko n zbiorze ekstreml, zleży to jednk od spełnieni pewnych wrunków dosttecznych istnieni ekstremum. Wrunków tych nie będziemy w tym miejscu omwić. P r z y k ł d 1 (zgdnienie brchistochrony) Rozwżmy funkcjonł opisny wzorem (13.1). Jest on postci F (u, u ) dx

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 117 tzn. funkcj F nie zleży w sposób jwny od x. Możn pokzć, że w tym przypdku równnie Euler (13.1) może być sprowdzone do prostszej postci F u F u = Const. W przypdku funkcjonłu zgdnieni brchistochrony przyjmujemy 1 (u (x)) 2 F (u, u ) =, u (x) co prowdzi do równni 1 (u ) 2 (u ) 2 u = Const. (13.11) u 1 (u ) 2 Wprowdzjąc prmetr τ = 2 rcctg u możn zpisć rozwiąznie równni (13.11) w postci prmetrycznej x = (τ sin τ), u = (1 cos τ). Jest to przedstwienie prmetryczne cykloidy, gdzie stł zleży od przyjętego wrunku brzegowego u (x 2 ) = y 2. P r z y k ł d 2 (powierzchni obrotow o minimlnym polu) Zgdnienie znlezieni powierzchni obrotowej o minimlnym polu przechodzącej przez ustlone punkty równowżne jest minimlizcji funkcjonłu (13.2). Poniewż F (u, u ) = u (x) 1 (u (x)) 2 nie zleży w sposób jwny od x, więc podobnie jk w poprzednim przykłdzie otrzymujemy równnie F u F u = u 1 (u ) 2 u (u ) 2 = Const. 1 (u ) 2 Łtwo pokzć, że jego rozwiąznimi są wszystkie linie opisne równniem postci u = C 1 cosh x C 2 C 1, gdzie C 1 i C 2 są stłymi zleżnymi od przyjętych wrunków brzegowych. Otrzymne linie noszą nzwę krzywych łńcuchowych. Zgdnienie ze swobodnymi końcmi Rozwżmy funkcjonł (13.6) bez zdnych wrunków brzegowych, tzn. poszukjmy krzywej, dl której funkcjonł F (x, u, u ) dx

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 118 osiąg ekstremum, przy złożeniu, że końce krzywej u = u (x) leżą n prostych x =, x = b. Powtrzjąc rozumownie z rozwżń dotyczących zgdnieni z nieruchomymi końcmi, dochodzimy do ponownie do równni Euler (13.1) orz otrzymujemy tzw. nturlne wrunki brzegowe wyznczone z równń F u x= =, F u x=b =. (13.12) Wrunki te spełni kżd krzyw, n której relizowne jest ekstremum funkcjonłu J. Funkcjonł zleżny od więcej niż jednej funkcji Rozwżmy zgdnienie polegjące n wyznczeniu ekstremów funkcjonłu postci J (u 1, u 2,..., u n ) = F (x, u 1 (x),..., u n (x), u 1 (x),..., u n (x)) dx (13.13) przy złożeniu, że funkcje u 1,..., u n spełniją pewne wrunki brzegowe dl x = i x = b. Wykorzystując rozwinięcie funkcji F z pomocą wzoru Tylor, możn pokzć, że w tym przypdku wricj δj funkcjonłu (13.13) dn jest wzorem δj (h) = n i=1 ( Fui h i F u i h i) dx. (13.14) Wzór ten jest uogólnieniem wzoru (13.9). Dobierjąc w sposób niezleżny funkcje h i łtwo pokzć, że wrunek powyższy prowdzi do ukłdu równń Euler postci F ui d dx F u = dl i = 1, 2,..., n. (13.15) i P r z y k ł d (zsd njmniejszego dziłni) Złóżmy, że dny jest pewien ukłd punktów mterilnych o msch m 1, m 2,..., m n i współrzędnych (x i, y i, z i ) dl i = 1, 2,..., n. Zkłdmy, że ukłdowi temu nie nłożono żdnych więzów. Energi kinetyczn ukłdu wyrż się wzorem T = n i=1 1 2 m i ) 2 (ẋ i ẏ2 i ż2 i. Złóżmy pondto, że ukłd posid energię potencjlną, tzn., że istnieje tk funkcj (potencjł) U = U (t, x 1,..., x n, y 1,..., y n, z 1,..., z n ), że skłdowe siły dziłjącej n i ty punkt są równe odpowiednio X i = U i, Y i = U i, Z i = U z i. Wprowdzmy tzw. funkcję Lgrnge rozwżnego ukłdu, wzorem L = T U.

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 119 Rozwżmy terz zgdnienie minimlizcji funkcjonłu t 1. L (t, x 1,..., x n, y 1,..., y n, z 1,..., z n, x 1,..., ẋ n, ẏ 1,..., ẏ n, ż 1,..., ż n) dt. (13.16) t N mocy ukłdu równń Euler (13.15) zstosownego do funkcji F = L = n i=1 1 2 m i ) 2 (ẋ i ẏ2 i ż2 i U (t, x 1,..., x n, y 1,..., y n, z 1,..., z n ) otrzymujemy, że U d i dt m. ix i =, skąd wynik, że U d i dt m. iy i =, U d z i dt m. iz i = dl i = 1, 2,..., n m i.. x i = X i, m i.. y i = Y i, m i.. z i = Z i dl i = 1, 2,..., n. (13.17) Równni (13.17) s równnimi ruchu dl ukłdu n punktów mterilnych. Udowodniliśmy w ten sposób nstępującą zsdę njmniejszego dziłni. Ruch ukłdu w przedzile czsowym (t ; t 1 ) opisują te funkcje x i (t), y i (t), z i (t), i = 1, 2,..., n, dl których cłk (13.16) osiąg minimum. Funkcjonły zleżne od pochodnych wyższych rzędów Rozwżmy terz funkcjonły postci z wrunkmi brzegowymi F ( x, u, u,..., u (n)) dx (13.18) u (i) () = A i, u (i) (b) = B i dl i =, 2,..., n 1. (13.19) Rozumując nlogicznie jk w poprzednich przypdkch możn pokzć, że wricj δj wyrż się wzorem δj (h) = ( F u d ) dx F u d2 dx F d n 2 u... ( 1)n dx F n u h (x) dx. (n) Z wrunku koniecznego istnieni ekstremum (13.5) wynik nstępujące równnie zwne równniem Euler-Poisson F u d dx F u d2 dx F d n 2 u... ( 1)n dx F n u (n) =. (13.2)

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 12 Funkcjonł zleżny od funkcji dwóch zmiennych Rozwżmy terz przypdek funkcjonłu zleżnego od funkcji dwóch zmiennych. Niech będzie obszrem zwrtym w R 2 ogrniczonym krzywą. Poszukujemy funkcji u (x, y) tkiej, że funkcjonł F (x, y, u (x, y), u x (x, y), u y (x, y)) dxdy (13.21) osiąg wrtość ekstremlną. Od funkcji u (x, y) wymgmy, by spełnił wrunek brzegowy postci u = ϕ, (13.22) gdzie ϕ jest dną funkcją określoną n brzegu. Zkłdjąc, że F jest klsy C 2 i nlizując postć przyrostu J możn wyprowdzić nstępujący wzór n wricję funkcjonłu ( ) δj (h) = Fu h F ux h x F uy h y dxdy. (13.23) Przeksztłcjąc wzór (13.23) z pomocą wzoru Green i zkłdjąc, że h =, otrzymujemy osttecznie, że ( δj (h) = F u F u x ) F u y h (x, y) dxdy. (13.24) Wynik stąd nstępujące równnie Euler F u F u x F u y =. (13.25) Równnie (13.25) wrz z wrunkiem brzegowym u = ϕ jest sformułowniem wrunku koniecznego dl istnieni ekstremum funkcjonłu (13.21). Jest to równnie różniczkowe cząstkowe. P r z y k ł d 1 Rozwżmy funkcjonł ( u ) 2 ( ) 2 u dxdy (13.26) z wrunkiem brzegowym u = ϕ. W tym przypdku F (x, y, u, u x, u y ) = ztem równnie Euler (13.25) przybier postć ( ) 2 u ( ) 2 u, u = z wrunkiem u = ϕ. (13.27) Ozncz to, ze funkcj u jest rozwiązniem zgdnieni Dirichlet dl równni Lplce.

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 121 Łtwo pokzć, ze funkcj u będąc rozwiązniem zgdnieni (13.27) relizuje minimum funkcjonłu (13.26). Niech u = u h, gdzie h =. Wówczs J (u h) = ( u ) 2 = u 2 h u ( u h ) 2 ( ) 2 u dxdy h dxdy. ( u h ( h ) 2 ) 2 dxdy = ( ) 2 h dxdy Stosując twierdzenie Green i uwzględnijąc fkt, że u = łtwo pokzć, że u h u h dxdy =, ztem co kończy dowód. J (u h) = J (u ) ( h ) 2 ( ) 2 h dxdy J (u ) P r z y k ł d 2 Rozwżmy funkcjonł ( u ) 2 ( ) 2 u 2uf (x, y) dxdy (13.28) z wrunkiem brzegowym u = ϕ. W tym przypdku F (x, y, u, u x, u y ) = ztem równnie Euler (13.25) przybier postć ( ) 2 u Jest to zgdnienie Dirichlet dl równni Poisson. ( ) 2 u 2uf, u = f z wrunkiem u = ϕ. (13.29) P r z y k ł d 3 Zgdnienie znjdowni powierzchni o minimlnym polu przechodzącej przez dną krzywą w przestrzeni R 3 prowdzi do poszukiwni minimum funkcjonłu S = 1 ( ) 2 u ( ) 2 u dxdy (13.3)

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 122 z wrunkiem u = ϕ. W tym przypdku równnie Euler (13.25) przybier postć ( ) 2 u 2 u 1 2 u u 2 u 2 1 ( ) 2 u 2 u =. (13.31) 2 Fizycznie powierzchnię o minimlnym polu relizuje powierzchni bńki mydlnej przechodzącej przez zdną krzywą w przestrzeni. Funkcjonły zleżne od funkcji wielu zmiennych i pochodnych wyższych rzędów Dl funkcjonłu F (x 1,..., x n, u, u x1,..., u xn ) dx 1... dx n (13.32) równnie Euler przybier postć F u F ux1... F uxn =. (13.33) 1 n Podobnie dl funkcjonłu F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy ) dxdy (13.34) możn wyprowdzić nstępujące równnie Euler F u F u x F u y 2 F 2 u xx 2 F u xy 2 F 2 u yy =. (13.35) Przykłdowo dl funkcjonłu ( ) 2 2 ( ) u 2 2 ( ) u 2 2 u 2 2uf (x, y) dxdy 2 2 równnie Euler (13.35) m postć Dl f jest to równnie bihrmoniczne. 2 u = f. 13.3 Twierdzenie o minimum funkcjonłu kwdrtowego Z poprzednich rozwżń wynik, że zgdnieni poszukiwni ekstremli funkcjonłów prowdzą do pewnych zgdnień brzegowych dl równń różniczkowych cząstkowych. Okzuje się, że również zgdnieni brzegowe dl równń różniczkowych związne są z wyznczeniem ekstremów funkcjonłów. Niech H będzie pewną przestrzenią Hilbert, w której rozwżne jest równnie Au = f, (13.36)

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 123 gdzie A jest opertorem określonym n pewnej podprzestrzeni liniowej D A H o wrtościch w przestrzeni H. Zkłdmy, że D A = H, tzn. D A jest gęst w H. Złóżmy również, że A jest opertorem liniowym symetrycznym, tzn. dl wszystkich u, v D A, orz dodtnim, tzn. (Au, v) = (u, Av) (13.37) (Au, u) orz (Au, u) = = u = dl u D A. (13.38) T w i er d z e n i e Jeśli A jest dodtni w podprzestrzeni D A, wówczs równnie Au = f, gdzie f H, posid co njwyżej jedno rozwiąznie u D A H. Dl dowodu wystrczy zuwżyć, że gdyby elementy u 1 i u 2 były dwom różnymi rozwiąznimi tego równni, to skąd wynik, że ztem u 1 = u 2. = Au 1 Au 2 = A (u 1 u 2 ) (A (u 1 u 2 ), u 1 u 2 ) = = u 1 u 2 =, T w i e r d z e n i e (o minimum funkcjonłu kwdrtowego) Niech A będzie symetryczny i dodtni w podprzestrzeni D A, niech f H. Wówczs jeśli równnie Au = f jest spełnione dl u D A, tzn. Au = f, to funkcjonł osiąg swoją njmniejszą wrtość w D A w punkcie u = u. Dl dowodu konieczności wrunku wystrczy zuwżyć, że F (u) = (Au, u) 2 (f, u) (13.39) F (u) = (Au, u) 2 (f, u) = (Au, u) 2 (Au, u) = = (Au, u) (Au, u) (u, Au ) = (Au, u) (Au, u) (Au, u ) = = (A (u u ), u u ) (Au, u ). Z wrunku (13.38) wynik, że wrtość F (u) jest njmniejsz gdy (A (u u ), u u ) =, tzn. gdy u = u. Dl dowodu implikcji w stronę przeciwną rozwżmy funkcję zmiennej t R określoną dl dowolnego v D A wzorem F (u tv) = (A (u tv), u tv) 2 (f, u tv) = = t 2 (Av, v) 2t (Au, v) 2t (f, v) (Au, u ) 2 (f, u ). Funkcj t zgodnie z złożeniem m minimum loklne w punkcie t =, ztem d dt F (u tv) t= =

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 124 tzn. 2 (Au, v) 2 (f, v) = = (Au f, v) = dl dowolnego v D A. N mocy gęstości podprzestrzeni D A wnioskujemy, że Au = f w H. P r z y k ł d Rozwżmy równnie z wrunkmi (E (x) I (x) u (x)) = q (x) (13.4) u () = u (l) =, u () = u (l) =, (13.41) gdzie E, I C 2 (; l), q C (; l) orz E (x) >, I (x) >. Równnie (13.4) opisuje ugięcie pręt o długości l, module sprężystości E (x), momencie bezwłdności przekroju względem osi ugięci I (x), pod dziłniem obciążeni q (x). Wrunki (13.41) oznczją, że pręt jest zmocowny n końcch. Niech H = L 2 (; l), D A - zbiór funkcji klsy C 4 spełnijących wrunki brzegowe (13.41), opertor A zdefiniowny jest jko A : D A H, Au = (EIu ). Opertor ten jest symetryczny, poniewż n mocy wzoru o cłkowniu przez części otrzymujemy dl u, v D A (Au, v) = Anlogicznie łtwo przeliczyć, że (EIu ) vdx = (EIu ) v x=l (EIu ) v dx = x= }{{} = EIu v x=l x= }{{} (u, Av) = ztem (Au, v) = (u, Av) dl dowolnych u, v D A. Pondto (Au, u) = EIu v dx = EIu v dx, EI (u ) 2 dx EIu v dx. orz z równości (Au, u) = wynik, że u, więc u (x) = x b. Poniewż kżd funkcj u nleżąc do podprzestrzeni D A spelni jednorodne wrunki brzegowe (13.41), więc u. Ozncz to, że opertor A jest dodtni.

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 125 Funkcjonł F jest w tym przypdku postci F (u) = EI (u ) 2 dx 2 qudx (13.42) i wyrż dl dnego ugięci podwojoną energię potencjlną pręt. Jeśli u jest rozwiązniem problemu, to rozumując podobnie jk w dowodzie twierdzeni o minimum funkcjonłu kwdrtowego, łtwo pokzć, że F (u) = EI (u u ) 2 dx EI (u ) 2 dx. U w g Twierdzenie o minimum funkcjonłu kwdrtowego trnsformuje problem znlezieni rozwiązni równni Au = f do problemu znlezieni elementu u D A minimlizującego funkcjonł F (u) n D A. Twierdzenie to m chrkter wrunkowy, tzn. nie gwrntuje priori istnieni tkiego elementu w dnej podprzestrzeni D A. W przypdku, gdy F (u) nie przyjmuje njmniejszej wrtości n D A, zbiór D A wymg rozszerzeni. Tą drogą możn skonstruowć definicję słbego rozwiązni rozwżnego zgdnieni brzegowego, równowżną definicji słbego rozwiązni w przestrzenich Sobolew H k (). 13.4 Zdni W zdnich 1-7 wyznczyć ekstremle funkcjonłów zleżnych od jednej funkcji, przyjmując dowolne lecz ustlone wrunki brzegowe. 1. u ( 1 x 2 u ) dx 2. Odp.: u = C 1 x C 2 (u ) 2 2u u 16u 2 dx Odp.: u = C 1 sin (4x C 2 ) 3. xu (u ) 2 dx Odp.: u = x2 4 C 1x C 2

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 126 4. 5. 6. Odp.: u = sinh (C 1 x C 2 ) Odp.: u = C 1 e x C 2 e x 1 2 sin x 1 u 2 (u ) 2 dx u 2 (u ) 2 2u sin x dx x 2 (u ) 2 2u 2 2xu dx 7. Odp.: u = C 1 x C 2 x 2 1 x ln x 3 2π u 1 (u ) 2 dx Odp.: u = C 1 cosh x C 2 C 1 8. Wyznczyć ekstremle funkcjonłu zleżnego od dwóch funkcji, przyjmując dowolne lecz ustlone wrunki brzegowe J (u 1, u 2 ) = Odp.: u 1 = (C 1 x C 2 ) cos x (C 3 x C 4 ) sin x 2u 1 u 2 2u 2 1 (u 1) 2 (u 2) 2 dx 9. Wyznczyć ekstremle funkcjonłu zleżnego od dwóch funkcji J (u 1, u 2 ) = π 2 2u 1 u 2 (u 1) 2 (u 2) 2 dx przyjmując wrunki brzegowe: u 1 () =, u 1 ( π 2 ) = 1, u2 () =, u 2 ( π 2 ) = 1. Odp.: u 1 = sin x, u 2 = sin x W zdnich 1-12 wyznczyć ekstremle funkcjonłów zleżnych od jednej funkcji, przyjmując dowolne lecz ustlone wrunki brzegowe.

WYKŁAD 13. ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO 127 1. (u ) 2 2 (u ) 2 u 2 2u sin x dx 11. Odp.: u = (C 1 C 2 x) cos x (C 3 C 4 x) sin x x2 sin x 4 (u ) 2 2xu dx 12. Odp.: u = x7 7! C 1 x 5 C 2 x 4 C 3 x 3 C 4 x 2 C 5 x C 6 Odp.: u = C 1 xc 2 e x e x 2 13. Wyznczyć ekstremle funkcjonłu (u ) 2 u 2 2x 3 u dx ( C 3 cos 3 2 x C 4 sin 3 2 x ) e x 2 (u ) 2 u 2 x 2 dx ( C 5 cos 3 2 x C 6 sin 3 2 x ) x 3 przyjmując wrunki brzegowe: u () = 1, u () =, u ( ) ( ) π 2 =, u π 2 = 1. Odp.: u = C 1 e x C 2 e x C 3 cos x C 4 sin x