Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202
SSN - 33(080-2.05.202
Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach................................ 6.2 Fucja v p..................................... 7.3 Liczba zer a ońcu................................ 3.4 Ostatia iezerowa cyfra............................. 4.5 Silie cyfr i ich suma............................... 7.6 Rówości z siliami................................ 7.7 Nierówości z siliami............................... 9.8 Wyzaczii z siliami.............................. 2.9 Silie i część całowita.............................. 23.0 Liczby! i liczby wadratowe........................... 23. Liczby! i liczby potęgowe............................ 24 2 Silia i relacja podzielości 27 2. Pewe rozłady aoicze............................ 27 2.2 Twierdzeie Wilsoa i jego dowód........................ 28 2.3 Modyfiacje i osewecje twierdzeia Wilsoa................ 30 2.4 Uogólieia twierdzeia Wilsoa......................... 32 2.5 Pewe zastosowaia twierdzeia Wilsoa.................... 33 2.6 Dzielii liczb!.................................. 34 2.7 Dzielii liczb!±................................ 37 2.8 Dzielii liczb a(!±.............................. 38 2.9 Liczby!+a +a..................................... 39 2.0 Iloczy początowych liczb postaci!...................... 40 2. Iloczyy olejych liczb całowitych....................... 4 2.2 Róże faty i zadaia z siliami......................... 43 3 Fucja Smaradache a 47 3. Defiicja i przyłady............................... 47 3.2 Podstawowe własości fucji Smaradache a.................. 48 3.3 Nierówości z fucją Smaradache a...................... 49 3.4 Rówości i rówaia z fucją Smaradache a................. 50 3.5 Liczby S(+ - S(............................... 52 3.6 Graice i szeregi z fucją Smaradache a................... 53 3.7 Róże faty i zadaia z fucją Smaradache a................. 53 4 Wstępe iformacje o symbolach Newtoa 55 4. Cyfry pewych symboli Newtoa......................... 55 4.2 Splot biomialy.................................. 56 4.3 Przyłady fucji odwracalych względem splotu biomialego........ 58 4.4 Biomiale prawo dualości........................... 60 4.5 Biomialy rozład liczby aturalej...................... 62 4.6 Wyzaczii z symbolami Newtoa....................... 64 4.7 Ciągi typu dwumiaowego............................ 68 i
5 Rówości i ierówości z symbolami Newtoa 69 5. Elemetare rówości z symbolami Newtoa.................. 69 5.2 Sumy postaci ( =0 f(............................ 70 5.3 Sumy postaci ( =0 f(g(....................... 73 5.4 Sumy postaci ( =0 a+r............................ 74 5.5 Sumy z podwójymi symbolami Newtoa.................... 75 5.6 Liczby postaci ( 2 i rówości.......................... 77 5.7 Róże rówości z sumami i symbolami Newtoa................ 79 5.8 Rówaia diofatycze z symbolami Newtoa................. 8 5.9 Szeregi z symbolami Newtoa.......................... 84 5.0 Nierówości z symbolami ( 2.......................... 85 5. Róże ierówości z symbolami Newtoa.................... 86 5.2 Dodatowe faty i zadaia z symbolami Newtoa............... 87 6 Symbole Newtoa i podzielość 89 6. Podzielość przez liczby pierwsze......................... 89 6.2 Fucje v p, s p i symbole Newtoa........................ 93 6.3 Symbole postaci ( p 6.4 Symbole postaci ( p (, p 2 (, p 3... i podzielość............. 95 i podzielość...................... 95 6.5 Symbole ( p + p i podzielość........................... 97 6.6 Liczby postaci ( 2 i podzielość......................... 97 6.7 Nwd i ww..................................... 0 6.8 Sumy z symbolami Newtoa i podzielość.................... 03 6.9 Iloczyy i symbole Newtoa........................... 04 6.0 Róże faty i zadaia o podzielości i symbolach Newtoa.......... 05 6. Całowitość pewych liczb wymierych..................... 06 7 Twierdzeie Lucasa i jego uogólieia 7. Kogruecja ( p ( pm m.............................. 7.2 Twierdzeie Lucasa................................ 3 7.3 Zastosowaia twierdzeia Lucasa......................... 5 7.4 Ciągi spełiające warue Lucasa........................ 8 8 Trójąt Pascala modulo m 2 8. Trójąt Pascala modulo 2............................. 2 8.2 Trójąt Pascala modulo 3............................. 24 8.3 Trójąt Pascala modulo 4............................. 27 8.4 Trójąt Pascala modulo 5............................. 28 8.5 Trójąt Pascala modulo m, dla m 6...................... 29 8.6 Trójąt Pascala modulo p............................. 3 8.7 Trójąt Pascala modulo p s............................ 33 8.8 Podzielość liczby ( przez.......................... 34 9 Liczby Apery ego i liczby Catalaa 35 9. Liczby Apery ego................................. 35 9.2 Liczby Catalaa.................................. 36 ii
0 Uogólioe symbole Newtoa 39 0. Symbole i,i 2,...,i................................ 39 0.2 Uogólieia trójąta Pascala........................... 43 Symbole Newtoa stowarzyszoe z ciągami 47. Uogólioy współczyi dwumiaowy..................... 47.2 Beta ciągi...................................... 49.3 Alfa ciągi...................................... 50.4 Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami Mersee a............ 52.5 Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami q -............... 53.6 Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami a - b.............. 55.7 Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami Fiboacciego........... 56.8 Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami trójątymi............ 57.9 Symbole Newtoa, liczby tetraedrale i uogólieia.............. 60 2 Permutacje, ombiacje i dodatowe faty 65 2. Permutacje zbiorów sończoych......................... 65 2.2 Permutacje i puty stałe............................. 69 2.3 Ijecje, surjecje i liczby Bella.......................... 7 2.4 Kombiatorya................................... 72 2.5 Zadaia róże................................... 73 Spis cytowaej literatury 75 Sorowidz azwis 82 Sorowidz 86 iii
Wstęp Główym tematem prezetowaej serii siąże są liczby i ich przeróże własości. Autor od ajmłodszych lat zbierał wszelie faty i cieawosti dotyczące ajpierw liczb całowitych i wielomiaów o współczyiach całowitych, a astępie dotyczące rówież liczb wymierych, rzeczywistych, zespoloych oraz wielomiaów ad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo iteresującego materiału, tórego wybrae fragmety będą tu przedstawioe. Materiał pochodzi z wielu różych źródeł. Są tu zadaia i problemy, tóre zajdziemy w popularych czasopismach matematyczych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 894 rou (przeważie 0 umerów w rou The America Mathematical Mothly. Są wśród tych czasopism rówież: agielsie czasopismo Mathematical Gazette,, aadyjsie Crux Mathematicorum, rosyjsie Kwat, chińsie Mathematical Excalibur, itp. Godymi uwagi są rówież polsie czasopisma popularo-auowe: Delta, czasopismo dla auczycieli Matematya oraz ie. Istotą rolę w prezetowaym materiale odegrały zadaia z olimpiad i oursów matematyczych całego świata. Każdego rou pojawiają się opracowaia, siążi oraz artyuły dotyczące zadań z różych zawodów matematyczych. Wspomijmy tylo o prestiżowych seriach siąże z zawodów Iteratioal Mathematical Olympiad (IMO oraz Putam Mathematical Competitio. Sporo orygialych zadań zajduje się w opracowaiach dotyczących olimpiad matematyczych w Rosji lub w państwach byłego Związu Radzieciego. Polsa rówież ma wartościowe serie tego rodzaju siąże. Zebray materiał pochodzi rówież z różych starych oraz współczesych podręcziów i siąże z teorii liczb. Wyorzystao licze siążi popularo-auowe oraz prace auowe publiowae w różych czasopismach specjalistyczych. Są tu też pewe testy pochodzące z iteretu. Więszość prezetowaych fatów ma swoje odośii do odpowiediej literatury. Odośii te wsazują tylo wybrae miejsca, w tórych moża zaleźć albo iformacje o daym zagadieiu, albo rozwiązaie zadaia, albo odpowiedi dowód. Bardzo często omawiay temat jest powtarzay w różych pozycjach literatury i często trudo jest wsazać orygiale źródła. Jeśli przy daym zagadieiu ie ma żadego odośia do literatury, to ozacza to, że albo omawiay fat jest oczywisty i powszechie zay, albo jest to własy wymysł autora. Elemetara teoria liczb jest wspaiałym źródłem tematów zachęcających do pisaia własych programów omputerowych, dzięi tórym moża doładiej pozać badae problemy. Moża wyorzystać zae omputerowe paiety matematycze: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i ie. W prezetowaej serii siąże zajdziemy sporo wyiów i tabel uzysaych główie dzięi paietowi Maple. We wszystich siążach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jedolite ozaczeia. Załadamy, że zero ie jest liczbą aturalą i zbiór {, 2, 3,... }, wszystich liczb aturalych, ozaczamy przez N. Przez N 0 ozaczamy zbiór wszystich ieujemych liczb całowitych, czyli zbiór N wzbogacoy o zero. Zbiory liczb całowitych, wymierych, rzeczywistych i zespoloych ozaczamy odpowiedio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystich liczb pierwszych ozaczamy przez P. Najwięszy wspóly dzieli liczb całowitych a,..., a ozaczamy przez wd(a,..., a lub, w przypadach gdy to ie prowadzi do ieporozumieia, przez (a,..., a. Natomiast ajmiejszą wspólą wielorotość tych liczb ozaczamy przez ww(a,..., a lub [a,..., a ].
Zapis a b ozacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadu, gdy a ie dzieli b. Jeśli m jest liczbą aturalą, to ϕ(m jest liczbą wszystich liczb aturalych miejszych lub rówych m i względie pierwszych z liczbą m. Liczbę elemetów sończoego zbioru A ozaczamy przez A. Pewe zamieszczoe tutaj faty przedstawioe są wraz z ich dowodami. Począte dowodu ozaczoo przez D.. Pojawiają się rówież symbole R., U., W. oraz O. iformujące odpowiedio o początu rozwiązaia, uwagi, wsazówi i odpowiedzi. Wszystie tego rodzaju testy zaończoe są symbolem. Srót Odp. rówież ozacza odpowiedź. Spis cytowaej literatury zajduje się a ońcu tej siążi (przed sorowidzami. Liczby pomiędzy awiasami oraz, występujące w tym spisie, ozaczają stroy, a tórych daa pozycja jest cytowaa. W pewych podrozdziałach podao rówież literaturę dodatową lub uzupełiającą. Iformuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb słada się z piętastu astpujących siąże. 0. Liczby wymiere; 02. Cyfry liczb aturalych; 03. Liczby wadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Fucje arytmetycze; 06. Podzielość w zbiorze liczb całowitych; 07. Ciągi reurecyje; 08. Liczby Mersee a, Fermata i ie liczby; 09. Sześciay, biwadraty i wyższe potęgi; 0. Liczby i fucje rzeczywiste;. Silie i symbole Newtoa; 2. Wielomiay; 3. Nierówości; 4. Rówaie Pella; 5. Liczby, fucje, zbiory, geometria. Wszystie siążi z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych siąże oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora: http://www.mat.ui.toru.pl/~aow. Wszystie siążi z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydae przez Wydawictwo Nauowe Olsztyńsiej Wyższej Szoły Iformatyi i Zarządzaia im. prof. Tadeusza Kotarbińsiego. Pierwsze wydaia tych siąże pojawiły się w latach 2008 20. Autor otrzymał sporo iteresujących listów z uwagami i ometarzami dotyczącymi omawiaych zagadień. Były też listy, w tórych wytięto szereg pomyłe, błędów i iedoładości. Autorom tych wszystich listów ależą się szczere i serdecze podzięowaia. Teraz, w tym drugim wydaiu siąże serii Podróże po Imperium Liczb, przesłae uwagi zostały uwzględioe. Naprawioo błędy, dołączoo pewe dowody oraz podao ową atualą literaturę. Wydaie to jest rozszerzoe, uzupełioe i wzbogacoe o pewe owe rozdziały lub podrozdziały. 2
o o o o o W jedeastej siążce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się liczbami postaci! i postaci (, gdzie i są ieujemymi liczbami całowitymi. Liczby te defiiuje się astępująco:! = {, gdy = 0, 2, gdy, =!, gdy,!(! 0, gdy >. Są to ieujeme liczby całowite. Pierwsza z tych liczb, czyli!, jest liczbą wszystich permutacji zbioru -elemetowego. Natomiast ( jest liczbą wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. Książa ta słada się z dwuastu rozdziałów. Trzy początowe rozdziały poświęcoe są liczbom postaci!. W rozdziale pierwszym zebrao iformacje o cyfrach liczb z siliami oraz podao szereg różych rówości, ierówości, fatów i problemów dotyczących tego rodzaju liczb. W rozdziale drugim zajmujemy się siliami i relacją podzielości. Istotą rolę w tym rozdziale odgrywa twierdzeie Wilsoa z 770 rou, mówiące o tym, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to liczba (p! + jest podziela przez p. Podajemy dowody tego twierdzeia oraz róże jego uogóliia i zastosowaia. Trzeci rozdział też dotyczy relacji podzielości i liczb postaci!. Przedstawiamy w im własości fucji Smaradache a S(. Jeśli jest liczbą aturalą, to przez S( ozaczamy ajmiejszą liczbę aturalą m taą, że dzieli m!. Symbole Newtoa, czyli liczby postaci (, zajmują całą pozostałą część tej siążi. W rozdziale piątym zebrao przeróże, zae i miej zae, tożsamości zachodzące dla symboli Newtoa. Wyazujemy, że pewe z tych tożsamości są atychmiastowymi osewecjami tzw. biomialego prawa dualości, o tórym doładiej, wraz z wszystimi potrzebymi dowodami, piszemy w rozdziale czwartym. Samo prawo dualości ma bardzo łatwy i róti dowód, ale do zrozumieia tego dowodu ależy wcześiej zazajomić się ze splotem biomialym, omówioym rówież w rozdziale czwartym. W trzech astępych rozdziałach (w rozdziałach 6,7 i 8 zajmujemy się główie własościami relacji podzielości dla symboli Newtoa. Zwracamy tu szczególą uwagę a astępujące lasycze twierdzeie Lucasa z dziewiętastego wieu. Niech m, będą liczbami aturalymi. Niech = ap + r, m = bp + s, gdzie a, b, r, s Z, 0 r < p i 0 s < p. Wtedy a r (mod p. m b s W rozdziale siódmym, oprócz dowodów i wiosów, zajdziemy pewe szczegółowe iformacje o lasach taich fucji, dla tórych rówież zachodzi własość wyrażoa w powyższym twierdzeiu Lucasa. W siążce, w różych miejscach, spotamy się z zastosowaiami twierdzeia Lucasa. Sporo taich zastosowań zajduje się w rozdziale dziewiątym, o trójątach Pascala w arytmetyach modulo m. W rozdziale dziesiątym przedstawiamy własości liczb Apery ego i liczb Catalaa. Są to liczby aturale, ozaczae odpowiedio przez A i C, tóre moża zdefiiować przy 3
pomocy symboli Newtoa. Jeśli jest liczbą aturalą, to 2 2 + A =, C = 2 = 2 +. + 2 + =0 Liczby postaci A pojawiły się w 978 rou w dowodzie iewymierości liczby = 3 podaym przez Apery ego a Kogresie Matematyczym w Helsiach. Natomiast liczby Catalaa C pojawiają się w różych miejscach i mają iteresujące iterpretacje. Moża wyazać, a przyład, że day -ąt wypuły (a płaszczyźie moża podzielić a trójąty ie przeciającymi się przeątymi doładie a C 2 sposobów. W dwóch astępych rozdziałach (0 i zajmujemy się uogólieiami symboli Newtoa. W rozdziale dziesiątym pojawiają się róże uogólieia trójątów Pascala oraz występują liczby aturale postaci i,..., i s = (i + i 2 + + i s!, i!i 2!... i s! gdzie i,..., i s są ieujemymi liczbami całowitymi. Przypomijmy, że jeśli 0 są liczbami całowitymi, to symbol Newtoa (! defiiuje się przy pomocy ułama!(!. Ułame te jeda ta zawsze się posraca, że jest o liczbą aturalą. Oazuje się, że tę samą właściwość posiadają rówież ie ułami. Jeśli a = (a jest ciągiem liczb całowitych, to w tej siążce przez a ozaczamy iloczy a a 2 a. Przyjmujemy dodatowo, że a 0 =. Poadto stosujemy ozaczeie: [ ] = a a a, gdy, a 0, gdy <. Jeśli wszystie tego rodzaju liczby [ ] a są całowite, to mówimy, że (a jest β-ciągiem. Ważą lasą przyładów β-ciągów staowią ciągi, tóre azywać będziemy α-ciągami. Mówić będziemy, że day ciąg a = (a (o wyrazach aturalych jest α-ciągiem, jeśli dla dowolych liczb aturalych i m zachodzi rówość (a, a m = a (,m. Tutaj awiasy ozaczają ajwięszy wspóly dzieli. Oazuje się, że pewe zae lasycze ciągi (a przyład ciągi: liczb Fiboacciego, liczb Mersee a, liczb Gaussa, itp. posiadają omawiaą własość; są β-ciągami, a awet α-ciągami. Czytelia zaiteresowaego tego rodzaju zagadieiami zapraszamy do rozdziału jedeastego. W ostatim rozdziale, dwuastym, zajmujemy się permutacjami, ombiacjami, liczbami Bella oraz różymi dodatowymi zastosowaiami symboli Newtoa i liczb postaci!. 4
Silie! = 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 20 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 0! = 3628800! = 3996800 2! = 47900600 3! = 6227020800 4! = 877829200 5! = 307674368000 6! = 20922789888000 7! = 355687428096000 8! = 6402373705728000 9! = 264500408832000 20! = 243290200876640000 2! = 50909427709440000 22! = 24000727777607680000 23! = 2585206738884976640000 24! = 62044840733239439360000 25! = 5520043330985984000000 26! = 403294626605635584000000 27! = 08888694504835260768000000 28! = 30488834467386050504000000 29! = 884769937397095454366000000 30! = 265252859829058636308480000000 3! = 82228386547792287725562880000000 32! = 2633083693369353067280260000000 33! = 868337688886495589440280000000 34! = 2952327990396044084768609643520000000 35! = 0333479663864492966665337523200000000 36! = 37993326789902746799944850835200000000 37! = 3763753092263450463597958580902400000000 38! = 52302267466607600072240007429200000000 39! = 20397882089744335864028739902897356800000000 40! = 859528324789773434562695965894272000000000 4! = 33452526636380708700620534407566552000000000 42! = 4050067752879898543426062445569936384000000000 43! = 6045263063373835637355320685399750726452000000000 44! = 2658275747884487680436258046589039638528000000000 45! = 96222208654809456963649565775064383733760000000000 46! = 550262259820889498503054288002548929665752960000000000 47! = 25862324568806429643555369799699763238920000000000 48! = 2439559253607267086228904737337503852486354677760000000000 49! = 6082886403426756087225263322953768875528337920240000000000 50! = 3044093207337804362608660647688443776456896052000000000000 00! = 9332625443944526869923885626670049075968264386246859296389527599 993229956089446397656582862536979208272237582585209686400000000 0000000000000000 200! = 7886578673647905035523632393285062295359776877326329474253324435944 996340334292030428409846239047722389963883025764279024263705069 2662495282993346285727076337237396988943922445624566424025403329 864322742829485327752424240757390324032257405579568660226039047032 406235700858796789222227896237038973747200000000000000000000000000000 00000000000000000000 5
6 Silie i symbole Newtoa. Silie. Iformacje o cyfrach... W tabelach podao liczby cyfr pewych liczb!. Ozaczeia: d = liczba wszystich cyfr, z = liczba zer a ońcu, 0 = liczba wszystich zer, = liczba jedye, 2 = liczba dwóje,..., 9 = liczba dziewiąte. (Maple. d z 0 2 3 4 5 6 7 8 9 00 58 24 30 5 9 0 0 4 9 7 4 20 200 375 49 76 26 54 4 35 25 29 35 23 3 300 65 74 2 42 66 54 53 59 66 54 5 49 400 869 99 78 73 86 83 74 82 77 66 72 78 500 35 24 28 90 06 04 07 04 95 0 90 600 409 48 272 25 3 07 28 24 47 2 40 4 700 690 74 334 56 67 47 44 38 49 63 37 55 800 977 99 397 63 82 74 87 67 59 99 9 58 900 2270 224 422 93 25 204 205 86 209 23 23 20 000 2568 249 472 239 248 26 229 23 23 27 257 246 d z 0 2 3 4 5 6 7 8 9 000 2568 249 472 239 248 26 229 23 23 27 257 246 2000 5736 499 025 57 555 527 505 540 55 53 542 479 3000 93 748 550 852 827 902 860 877 773 88 847 825 4000 2674 999 243 52 67 93 52 79 52 46 82 208 5000 6326 249 2782 536 463 538 482 468 53 522 522 482 6000 20066 498 337 903 854 827 882 856 86 836 869 86 7000 23878 749 4007 2208 2270 298 245 297 2270 272 2259 252 8000 27753 998 4645 2577 265 2480 2459 2594 2548 2646 2590 2599 9000 3682 2248 554 2884 2973 2972 290 2993 2980 294 296 2923 0000 35660 2499 5803 324 346 3258 334 3324 3324 3335 3336 3282..2. Najwięsze z przedziału [, 5 000] taie, że liczba! ie posiada cyfry. W awiasach wadratowych podao liczbę cyfr liczby!. (Maple. = 0, = 4, [2]. =, = 8, [6]. = 2, = 29, [3]. = 3, = 22, [22]. = 4, = 32, [36]. = 5, = 24, [24]. = 6, = 25, [26]. = 7, = 30, [33]. = 8, = 38, [45]. = 9, = 4, [50]...3. Jeśli 4 < 5 000, to liczba! posiada wszystie cyfry uładu dziesiętego. Czy to rówież zachodzi dla > 5 000? (Maple...4. Liczba 8! ma doładie 2009 cyfr. Nie ma taiej liczby aturalej, że liczba! ma doładie 200 cyfr. W przedziale [900, 200] liczbami cyfr liczb postaci! są astępujące liczby: 902, 905, 908, 9, 94, 97, 99, 922, 925, 928, 93, 934, 937, 940, 943, 945, 948, 95, 954, 957, 960, 963, 966, 969, 972, 974, 977, 980, 983, 986, 989, 992, 995, 998, 200, 2004, 2006, 2009, 202, 205, 208, 202, 2024, 2027, 2030, 2033, 2036, 2038, 204, 2044, 2047, 2050, 2053, 2056, 2059, 2062, 2065, 2068, 207, 2073, 2076, 2079, 2082, 2085, 2088, 209, 2094, 2097, 200. (Maple.
Silie i symbole Newtoa. Silie 7..5. Niech d( ozacza liczbę wszystich cyfr liczby!. Przyłady: d(4 = 2, d(0 = 7, d(00 = 58, d(000 = 2568, d(0 000 = 35 660. ( Jeśli d( = 2, to = 266, 267 lub 268, ([MM] 40(3(967 65. (2 Jeśli d( = 2 +, to = 269 lub 270. (3 Jeśli d( = 3, to = 272 lub 273. (4 Jeśli d( = 3 +, to = 274 lub 275. (5 Jeśli d( = 4 to = 2775 lub 2776. (6 Jeśli d( = 4 +, to = 2777, 2778 lub 2779. (Maple...6. Niech a będzie taą cyfrą systemu dziesiętego, że Zaleźć a. Odp. 9. ([DyM] 7. 35! = 03334796638644929a6665337523200000000...7. Dla ażdej liczby aturalej m istieje taa liczba aturala, że początowe cyfry liczby! są odpowiedio rówe cyfrom liczby m. ([MM] 43(2(970 64-67. U. Iformacje a te temat zajdują się rówież w [N-2], [N-2a]. J. E. Maxfield, A ote o N!, [MM] 43(2(970 64-67..2 Fucja v p W pewych dowodach fatów związaych z siliami i symbolami Newtoa pojawiać się będą liczby ozaczae przez v p (a. W tym ozaczeiu p będzie zawsze jaąś liczbą pierwszą oraz a będzie liczbą całowitą. Załóżmy, że p jest ustaloą liczbą pierwszą. Jeżeli a jest iezerową liczbą całowitą to przez v p (a ozaczamy taą ieujemą liczbę całowitą, że Dodatowo przyjmujemy, że v p (0 =. p a oraz p + a. Mamy a przyład v 5 (50 = 2, gdyż liczba 50 jest podziela przez 5 2 i ie jest podziela przez 5 3. Natomiast v 7 (50 = 0, gdyż 7 0 50 oraz 7 50. Następe przyłady: v 2 (000 = 3, v 3 (8 = 4, v 5 (000 = 3, v 7 (40 =. Przy ustaloej liczbie pierwszej p, ażdej liczbie całowitej a przyporządowae jest doładie jedo v p (a, tóre jest albo liczbą całowitą albo. Mamy więc zdefiiowaą fucję v p : Z Z { }. Łatwo udowodić astępujące stwierdzeie, w tórym zawarte są podstawowe własości tej fucji.
8 Silie i symbole Newtoa. Silie.2.. Niech p P, a, b Z. Wtedy: ( v p (a = a = 0; (2 v p ( a = v p (a; (3 v p (ab = v p (a + v p (b; ( (4 v p (a + b mi v p (a, v p (b ; ( (5 jeżeli v p (a v p (b, to v p (a + b = mi v p (a, v p (b. W tym podrozdziale w szczególy sposób iteresować as będą liczby postaci v p (!, gdzie N. Rozpatrzmy jedą z taich liczb. Niech to będzie a przyład v 7 (000!. Ozaczmy to v 7 (000! przez. Wiemy, że jest taą liczbą całowitą, że 7 000! oraz 7 + 000!. Liczba 7 jest w tym przypadu masymalą potęgą siódemi dzielącą liczbę 000!. Iymi słowy, w rozładzie a iloczy liczb pierwszych liczby 000! liczba pierwsza 7 występuje doładie razy, albo iaczej: w rozładzie aoiczym liczby 000! liczba pierwsza 7 występuje z wyładiiem rówym. Chcemy to obliczyć. Ja to zrobić? Liczba 000! jest iloczyem olejych liczb, 2, 3,..., 999, 000. W tym ciągu liczb, co siódma liczba jest podziela przez 7, miaowicie: 7, 4, 2, 28, 35, 42, 49,..., 980, 987, 994. [ 000 7 ], gdzie przez [x] ozaczamy w tej Taich liczb jest 994 7 = 42. Zauważmy, że 42 = siążce część całowitą liczby x. Widzimy więc, że liczba 000! jest a pewo podziela przez 7 42. Ale czy ta potęga siódemi jest ajwięszą z możliwych? W powyższym ciągu liczb podzielych przez 7 występują taie liczby ja: 49 = 7 2, 98 = 2 7 2, 47 = 3 7 2,..., 980 = 20 7 2. Każda z ich jest podziela przez [ 7 2. Z ażdęj więc taiej liczby otrzymujemy dodatową siódemę. Taich liczb jest 20 = 000 7 ]. Dodajemy: 42 + 20 = 62. Liczba 000! jest więc a 2 pewo podziela przez 7 62. Ale to jeszcze ie jest ajwięsza potęa siódemi o tej własości. W wypisaym ciągu 20 liczb podzielych przez 7 2 występują dwie liczby: [ 343 = 7 3 oraz 686 = 2 7 3. Mamy więc jeszcze dwie dodatowe siódemi. Zauważmy, że 2 = 000 7 ]. Poieważ 3 [ 000 ] 7 = 0, więc tego procesu możemy już ie otyuować. W te sposób wyazaliśmy, że 4 [ ] [ ] [ ] [ ] 000 000 000 000 v 7 (000! = + 7 7 2 + 7 3 + 7 4 = 4 + 20 + 2 + 0 = 64, Zatem, v 7 (000! = 64. W rozładzie aoiczym liczby 000! liczba pierwsza 7 występuje więc z wyładiiem rówym 64. W te sam sposób wyazujemy astępujące twierdzeie..2.2 (Legedre 808. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość [ ] [ ] [ ] v p (! = + p p 2 + p 3 +.
Silie i symbole Newtoa. Silie 9 Powyższe twierdzeie Legedre a formułuje się często w trochę iej wersji. W tej iej wersji występuje liczba ozaczaa zwyle przez s p (. Jeśli = a m p m + + a p + a 0 jest p-adyczym przedstawieiem liczby aturalej (tz. przedstawieiem liczby w zapisie umeracji o podstawie p, to przez s p ( ozaczamy sumę liczb a 0, a,..., a m, czyli s p ( = a 0 + a + + a m. Niech a przyład = 000 oraz p = 7. Przedstawieiem 7-adyczym liczby 000 jest 000 = 2 7 3 + 6 7 2 + 2 7 + 6, a zatem s 7 (000 = 2+6+2+6 = 6. Teraz możemy wysłowić wspomiaą wersję twierdzeia Legedre a:.2.3 (Legedre. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość v p (! = s p (. p D. Niech = a m p m + +a p +a 0 będzie przedstawieiem p-adyczym daej liczby aturalej. Mamy wtedy ciąg rówości: [/p] = a m p m + a m p m 2 + + a 2 p + a, [ /p 2 ] = a m p m 2 + a m p m 3 + + a 3 p + a 2, [ /p m ]. = a m p + a m, [/p m ] = a m. Dodajemy te wszystie rówości stroami do siebie i otrzymujemy ową rówość, tórej lewa stroa jest (a mocy twierdzeia.2.2 rówa v p (!. Po prawej atomiast stroie mamy: a m ( + p + p 2 + + p m + a m ( + p + p 2 + + p m 2 + + a 2 ( + p + a p m = a m p + a p m p 2 m + + + a 2 p p + a p p + a 0 p ( = am p m + a m p m + + a 2 p 2 + a p + a 0 (a m + a m + + a + a 0 p = p ( s p(. Zatem, v p (! = p ( s p(. Obliczmy jeszcze raz v 7 (000!, ale teraz za pomocą twierdzeia.2.3. Już wiemy, że s 7 (000 = 6. Mamy więc: v 7 (000! = 6 (000 6 = 984/6 = 64.
0 Silie i symbole Newtoa. Silie Z twierdzeń.2.2 i.2.3 otrzymujemy:.2.4. Dla ażdej liczby pierwszej p i dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość ([ ] [ ] [ ] s p ( = (p + p p 2 + p 3 +..2.5. Jeśli p P oraz, m N, to D. Korzystamy z rówości podaej w.2.4: s p ( + m s p ( + s p (m. s p ( + s p (m s p ( + m = (p i ( + m + (p i ( [ + m = (p i = (p i [ ] p i + m (p [ ] m p i i [ ] + m p i ( [ p i + m p i ] i ] p i [ p i [ ] p i i ] [ ] m p i. [ ] m p i Dla dowolych [ liczb rzeczywistych x, y zachodzi oczywista ierówość [x + y] [x] + [y]. Każda więc liczba p i + m ] [ ] [ ] m p i p i p i jest ieujema. Zatem s p ( + s p (m s p ( + m 0..2.6. v p ((m! v p (m!, dla, m N. ([Grif] 42. D. Zauważmy ajpierw, że z ierówości podaej w.2.5 wyia ierówość s p (m s p (m, dla wszystich, m N. Mamy więc: v p ((m! = p (m s p(m p (m s p(m = v p (m!. Dwa razy wyorzystaliśmy twierdzeie.2.3. v p (!.2.7. lim =, dla p P. ([IMO] Loglist 97. p s D. p ( Jest oczywiste, że lim = 0. Zatem, v p (! lim = lim Wyorzystaliśmy twierdzeie.2.3. (p ( s p( = p ( lim s p( = p.
Silie i symbole Newtoa. Silie Jeśli p = 2, to = i wtedy twierdzeie Legedre a.2.3 reduuje się do astępującego twierdzeia, w tórym występuje liczba s 2 (. Zauważmy, że s 2 ( jest liczbą jedye p w przedstawieiu biarym liczby aturalej..2.8. Dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość ([Mo] 82(2(975 E2455, [Crux] 2000 s.83. v 2 (! = s 2 (. Zaotujmy ila iych obserwacji dotyczących przypadu p = 2..2.9. Istieje iesończeie wiele liczb aturalych taich, że v 2 (! = 989. ([IMO] Loglist 989..2.0. (K. Hirst, [MG] 498(999 440-445. ( v 2 ((2! = + v 2 (!. (2 v 2 ((2! = 2, ([Crux] 2000 s.83..2.. Niech h( = v 2 (!, dla N. Wtedy: ([Mo] 82(2(975 E2455. ( + x 2 = x h(. =0 =0.2.2 (Kuth [Mo]. Defiiujemy ciąg (x przyjmując x 0 = 0, x = + 2v 2 ( x. ( W ciągu tym występuje ażda dodatia liczba wymiera i to doładie raz. (2 x 2+ = x +, dla 0. (3 = +, dla, x 2 x (4 x >, gdy > jest liczbą ieparzystą. (5 x <, gdy > 0 jest liczbą parzystą. (6 x 2 =. (7 x 2 =. ([MOc] 2002. + Następe stwierdzeia są dla p = 3..2.3. Nie istieje N taie, że v 3 (! = 200. ([Grif] 45..2.4. v 3 (0 3 = + 2. ([Kw] 2/2000 s.29..2.5. Dla ażdego N istieje taie a N, że v 3 (a 3 + 7 =. ([OM] Japoia 999.
2 Silie i symbole Newtoa. Silie.2.6. Fucję v p zdefiiowaliśmy w przypadu, gdy p jest liczbą pierwszą. Ta samo defiiujemy, gdy p jest liczbą złożoą. Jeśli N, to iech t = v 3 (! i iech c = v 4 (!. Wyazać, że istieje iesończeie wiele taich, że t > c. Wyazać, że rówież istieje iesończeie wiele taich, że t < c. ([Zw] 2000. D. Jeśli jest potęgą tróji, to t > c. Jeśli jest postaci 2 2m+, to t < c. Powyższą fucję v p : Z Z { } moża rozszerzyć do fucji, tórą też będziemy ozaczać przez v p, oreśloej a zbiorze Q, wszystich liczb wymierych. Jeśli x = a b, gdzie a, b Z, b 0, to przyjmujemy: v p (x = v p (a v p (b. Oreśleie to ie zależy od wyboru przedstawieia liczby wymierej x. Jeśli bowiem x = a b = c d (gdzie a, b, c, d Z, b 0, d 0, to ad = bc i wtedy: v p(ad = v p (bc, v p (a + v p (d = v p (b = v p (c i stąd v p (a = v p (b = v p (c v p (d. Mamy więc fucję v p : Q Z { }. Rozpatrzmy ową fucję d p : Q Q R, oreśloą wzorem d p (x, y = ( 2 vp (x y, dla wszystich x, y Q..2.7. Powyższa fucja d p : Q Q R jest metryą zbioru Q, tz. jeśli x, y, z Q, to: ( d p (x, y = 0 x = y, (2 d p (x, y = d p (y, x, (3 d p (x, y d p (x, z + d p (z, y..2.8. Przestrzeń metrycza (Q, d p ie jest zupeła. D. Niech a = + p + p 2 + + p, 0. Ciąg (a spełia warue Cauchy ego i ie jest ciągiem zbieżym..2.9. Rozpatrzmy przestrzeń metryczą (Q, d 2, gdzie d 2 jest metryą z.2.7 dla p = 2. ( Jeśli K i K 2 są ulami w (Q, d 2 o iepustym przeroju, to K K 2 lub K 2 K. (2 Każda ula o promieiu r zawiera iesończeie wiele parami rozłączych ul o promieiu r. (3 Ozaczmy: a = d 2 (a, 0, dla a Q. Jeśli x < oraz y <, to xy <. (4 Przy pomocy powyższych fatów moża wyazać, że wadratu ie moża podzielić a ieparzystą liczbę trójątów o rówych polach. ([Kw] 3/999 24-34. H. Griffi, The highest power of a prime that is a factor of!, [Grif] 40-46.
Silie i symbole Newtoa. Silie 3.3 Liczba zer a ońcu Niech z( ozacza liczbę zer występujących a ońcu w zapisie dziesiętym liczby!. Mamy a przyład z(5 = 3, gdyż 5! = 307674368000. Ie przyłady: z(0 = 2, z(00 = 24, z(000 = 249, z(0 000 = 2499..3.. Dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość z( = [ ] [ ] [ ] + 5 5 2 + 5 3 +. D. Dla = jest to oczywiste. Niech dalej 2 i iech! = 2 a 5 b m, gdzie a i b są ieujemymi liczbami całowitymi oraz m jest liczbą aturalą względie pierwszą z 0. Jest jase, że z( = mi(a, b. Wiemy (patrz.2.2, że a = v 2 (! = [ 2 ] + [ 2 2 ] + Stąd łatwo wyia, że jeśli 2, to a > b. Zatem: i to ończy dowód. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 +... oraz b = v 5 (! = + 5 5 2 + 5 3 +. z( = mi(a, b = b = [ 5 ] + [ ] [ ] 5 2 + 5 3 +.3.2. (Maple. ( Jeśli jest jedą z liczb: 7935, 7936, 7937, 7938, 7939, to z( = 98. ([KoM] Gy975. (2 Istieje liczba aturala taa, że z( = 993. ([OM] Idie 993. (3 Nie ma taiej liczby aturalej, że z( = 2009. (4 Jeśli jest jedą z liczb: 8050, 805, 8052, 8053, 8054, to z( = 200. (5 Wszystie liczby z przedziału [900, 200], tóre ie są postaci z( : 903, 904, 90, 96, 922, 928, 934, 935, 94, 947, 953, 959, 965, 966, 972, 978, 984, 990, 996, 997, 2003, 2009, 205, 202, 2027, 2028, 2029, 2035, 204, 2047, 2053, 2059, 2060, 2066, 2072, 2078, 2084, 2090, 209, 2097..3.3. Liczba (5 3! ma a ońcu doładie 5 4 4.3.4. Liczba (3!!! ma poad 000 cyfr. Ile zer ma a ońcu? Odp. 78. ([Mat] 2/95 60, [B-zm] 55. zer. ([K-Me] z.420..3.5. Ile zer ma a ońcu liczba 00! zapisaa w systemie umeracji o podstawie 6? Odp. 48. ([StaZ] 2. N. Lord, The umber of termiatig zeros of!, [MG] 88(52(2004 264-266.
4 Silie i symbole Newtoa. Silie.4 Ostatia iezerowa cyfra Przez c( ozaczamy ostatią iezerową cyfrę liczby!. W poiższych tabelach podao przyłady liczb postaci c( dla pewych..4...4.2. c c c c c c c c c c 0 0 8 20 4 30 8 40 2 50 2 60 6 70 8 80 8 90 2 8 2 4 3 8 4 2 5 2 6 6 7 8 8 8 9 2 2 2 2 6 22 8 32 6 42 4 52 4 62 2 72 6 82 6 92 4 3 6 3 8 23 4 33 8 43 2 53 2 63 6 73 8 83 8 93 2 4 4 4 2 24 6 34 2 44 8 54 8 64 4 74 2 84 2 94 8 5 2 5 8 25 4 35 2 45 6 55 4 65 6 75 4 85 2 95 6 6 2 6 8 26 4 36 2 46 6 56 4 66 6 76 4 86 2 96 6 7 4 7 6 27 8 37 4 47 2 57 8 67 2 77 8 87 4 97 2 8 2 8 8 28 4 38 2 48 6 58 4 68 6 78 4 88 2 98 6 9 8 9 2 29 6 39 8 49 4 59 6 69 4 79 6 89 8 99 4 c c c c c c c c c c 0 00 4 200 2 300 6 400 8 500 4 600 6 700 4 800 6 900 2 0 8 0 2 20 6 30 8 40 4 50 2 60 8 70 2 80 8 90 6 20 4 20 6 220 8 320 4 420 2 520 6 620 4 720 6 820 4 920 8 30 8 30 6 230 4 330 4 430 8 530 2 630 2 730 8 830 4 930 2 40 2 40 4 240 6 340 6 440 2 540 8 640 8 740 2 840 6 940 8 50 2 50 2 250 8 350 2 450 8 550 8 650 4 750 8 850 2 950 2 60 6 60 6 260 4 360 6 460 4 560 4 660 2 760 4 860 6 960 6 70 8 70 8 270 2 370 8 470 2 570 2 670 6 770 2 870 8 970 8 80 8 80 2 280 4 380 4 480 6 580 2 680 4 780 4 880 6 980 4 90 2 90 8 290 6 390 6 490 4 590 8 690 6 790 6 890 4 990 6.4.3. c(00 = 4, c(000 = 2, c(0 000 = 8. (Maple, [Adz] 3..4.4. Jeśli 2, to c( jest liczbą parzystą. ([Mo] 4(2(934 E77. D. Niech! = 2 a 5 b m, gdzie a i b są ieujemymi liczbami całowitymi oraz m jest liczbą aturalą względie pierwszą z 0. Wiadomo (patrz.2.2, że a = v 2 (! = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + 2 2 2 + 2 3 +..., b = v 5 (! = + 5 5 2 + 5 3 +. Stąd łatwo wyia, że jeśli 2, to a > b. Ostatia iezerowa cyfra liczby! jest idetycza z ostatią cyfrą liczby u =! 0 b. Ale liczba u dzieli się przez 2 a b, więc w szczególości dzieli się przez 2 (gdyż a b. Ostatia iezerowa cyfra liczy! jest więc parzysta..4.5. Ciąg (c( ie jest oresowy. ([IMO] Shortlist 983, [Djmp] s.68.
Silie i symbole Newtoa. Silie 5.4.6. Dla ażdej liczby aturalej zachodzi ogruecja ([Mo] 92(8(985 s.565. c(5 2 c( (mod 0. D. ([Mo]. Zachodzi oczywista rówość (5! = 0!M, gdzie M = =0 (5 + (5 + 2(5 + 3(5 + 4. 2 Z rówości tej wyia, że c(5 Mc( (mod 0. Ostatią cyfrą ażdej liczby postaci jest 4. Jeśli bowiem i jest liczbą parzystą, to Jeśli atomiast i jest ieparzyste, to (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 2 3 4 = 24 4 (mod 0. (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 6 7 8 9 4 (mod 0. Każda liczba postaci (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 jest poadto podziela przez 4. Stąd wyia, że dla wszystich i zachodzi ogruecja (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 2 Zatem c(5 Mc( 2 c( (mod 0. 2 (mod 0..4.7. Dla ażdej liczby aturalej 2 zachodzi rówość ([Br] Least sigificat o-zero digit of!. c(625 = c(. D. Z.4.6 wyia, że modulo 0 zachodzą astępujące rówości c(625 = c(5 25 = 2 25 c(25 = 2 25 2 25 c(25 = 2 25 2 25 2 5 2 c( = 2 56 c(. Ale modulo 0 mamy rówież: 2 56 = (2 4 39 = (6 39 = 6 39 = 6. Wiemy (patrz.4.4, że c( jest liczbą parzystą. Zatem: c(625 6c( = c( + 5c( c( (mod 0..4.8. c(5 2 (mod 0. ([Mo] 92(8(985 s.565. D. Z oczywistej ogruecji 2 5 2 (mod 0 wyia ogruecja 2 5m 2 (mod 0, zachodząca dla wszystich ieujemych liczb całowitych m. Stąd i z.4.6 otrzymujemy: Zatem c(5 2 c(5 = 2 (mod 0. c(5 = c(5 5 2 5 c(5 2c(5 (mod 0.
6 Silie i symbole Newtoa. Silie.4.9. Jeśli a,..., a są parami różymi ieujemymi liczbami całowitymi, to c (5 a + 5 a 2 + + 5 a 2 a +a 2 + +a (mod 0. ([Put] 984. D. ([Mo] 92(8(985 s.565. To jest oczywiste, gdy 5 a +5 a2 + +5 a =, gdyż c(5 0 = 2 0 =. Przypade. Załóżmy, że wszystie liczby a,..., a są więsze od zera. Wówczas, a mocy.4.6 i iducji, mamy modulo 0: c (5 a + 5 a2 + + 5 a 2 5a + +5 a c ( 5 a + + 5 a 2 2 (a + +(a (gdyż 2 5m 2 dla m 0 2 a+a2+ +a. Przypade 2. Załóżmy, że pewe a i jest rówe zero. Niech a = 0. Poieważ liczby a,..., a są parami róże, więc wszystie liczby a 2,..., a są więsze od zera, a zatem 5 a + 5 a2 + + 5 a = + 5m, gdzie m jest sumą parami różych potęg piąti. Poieważ ( + 5m! = ( + 5m(5m!, więc c( + 5m ( + 5mc(5m (mod 0. Wiemy poadto, że liczba c(5m jest parzysta. Zatem ( + 5mc(5m c(5m (mod 0, czyli c( + 5m c(5m (mod 0. Ale 5m = 5 a2 + 5 a3 + + 5 a więc, a mocy iducji, c(5m 2 a2+ +a (mod 0. W tym przypadu mamy więc: i to ończy dowód. c ( 5 0 + 5 a2 + + 5 a = c( + 5m c(5m 2 0+a 2+ +a (mod 0.4.0. Ostatie iezerowe cyfry liczb (5! i 2! są idetycze. ([Crux] 993 260-26..4.. Ostatie iezerowe cyfry liczb (5 + 4! i 2! są idetycze. ([Crux] 993 260-26..4.2. Liczba postaci! ie może się ończyć cyframi 97600... 00. ([GaT] 6/76. D. Przypuśćmy, że taie istieje. Dzieląc! przez masymalą potęgę dziesiąti otrzymamy liczbę podzielą przez 2 s dla pewego s 4, w szczególości podzielą przez 6. Otrzymaa liczba jeda ie dzieli się przez 6, gdyż przez 6 ie dzieli się 976..4.3. Czy istieją taie liczby aturale a i b, że zapis dziesięty liczby a! + b! ończy się cyframi 990? Odp. Nie. ([OM] Leigrad 990.
Silie i symbole Newtoa. Silie 7.5 Silie cyfr i ich suma.5.. 45 =! + 4! + 5!. Nie ma iych trzycyfrowych liczb o tej własości. ([WyKM] 58-52, [Szu87] 63..5.2 (L. James 964. ([Szu87] 63. 40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!..5.3. ([N-2], [N-2a]. Dla daej liczby aturalej przez f( ozaczamy sumę a! + a 2! + + a!, w tórej a,..., a są olejymi cyframi liczby. Przyład: f(003 =!+0!+0!+3!+! = 0. ( Istieją doładie cztery taie liczby aturale, że f( =. Są to:, 2, 45, 40585. (2 Istieją doładie cztery liczby aturale spełiające rówość f 2 ( = (przez f ozaczamy -rote złożeie fucji f. Są to: 87, 4536, 872 i 45362. Mamy tu: 87 4536 87, 872 45362 872. (3 Istieją doładie trzy liczby aturale spełiające rówość f 3 ( = : 69 363 60 454 69. (4 Dla dowolej liczby aturalej a w ciągu (f (a występuje zawsze jeda z liczb:, 2, 45, 40585, 87, 872, 69. S. Abbott, SFD chais ad factorio cycles, [MG] 88(52(2004 26-263. S. S. Gupta, Sum of the factorials of the digits of itegers, [MG] 88(52(2004 258-26. G. D. Poole, Itegers ad the sum of the factorials of their digits, [MM] 44(97 278-279..6 Rówości z siliami.6..! + 2 2! + 3 3! + +! = ( +!..6.2. ( 2 +! + (2 2 + 2! + (3 2 + 3! + + ( 2 +! = ( +!. ([Uiuc] 4/2002..6.3. 3! 5! = 6!, 6! 7! = 0!. ([S68] 06..6.4. Z rówości! (!! = (!! wyia, że rówaie x! y! = z! ma iesończeie wiele rozwiązań w zbiorze liczb aturalych więszych od. ([Mat] 3/952 60, [S68] 06.
8 Silie i symbole Newtoa. Silie.6.5. Jeśli!(! = m!, to (, m = (,, (2, 2 lub (7, 0. ([Cmj] 983 s.73..6.6. 3! 5! 7! = 0!, 3! 5! 7! (0! = (0!!. ([S68] 06..6.7. Rówaie x! y! z! = t! ma iesończeie wiele rozwiązań w zbiorze liczb aturalych więszych od. ([S68] 06. D. Każda czwóra (x, y, z, t = (,!, (!!, (!!, gdzie N, spełia to rówaie..6.8. ([Gy04] 23. 9! = 7! 3! 3! 2!, 0! = 7! 6! = 7! 5! 3!, 6! = 4! 5! 2!..6.9. Niech f( =! + 2! + +!. Wtedy dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość f( + 2 = P (f( + + Q(f(, gdzie P (x = x + 3, Q(x = x 2. ([Put] 984..6.0. Nie istieją taie liczby aturale,, że! + 48 = 48( +. ([AuP] 996..6.. Niech a, b, c, d N, a b, c d. Jeśli a! + b! = c! + d!, to a = c i b = d. ([M-sj] 478..6.2. Niech a, b, c, d N. Jeśli a! + b! + c! = d!, to a = b = c = 2 i c = 3. ([OM] Moswa 996/997..6.3..6.4. =0 2 2 (2!((! 2 = (4!. ([MG] 87(50(2003 s.587. ((2! 2 ( + 2i( i!(i! = 0. ([MC] 7((2004 6. i=.6.5. = ( +! =. ([SavA] 4-5. ( +! D. Zauważmy, że (+! =! (+!. Mamy zatem: = ( +! =! 2! + 2! 3! + 3! 4! + +! ( +! = ( +!. Z powyższej rówości, zapisaej w postaci ( +! + = (+! wyia astępujące stwierdzeie o ułamach prostych. =,
Silie i symbole Newtoa. Silie 9.6.6. Dla ażdej liczby aturalej 3 istieją taie parami róże dzielii aturale m,..., m liczby!, że + + + = m m 2 m R. K. Guy, Factorial as the product of large, [Gy04] 22-23. R. K. Guy, Equal products of factorials, [Gy04] 23. R. K. Guy, Sums of factorials, [Gy04] 53. J. Sador, O the diophatie equatio x! + x 2! + + x! = x +!, [Sad] 68-69. J. Sador, O certai equatios ivolvig!, [Sad] 03-07..7 Nierówości z siliami.7.. 80! > 0! 0 00. ([Dlt] 8/994..7.2. 00! 5 5 50. 4 ([MG] 83(496(999..7.3. 300! > 00 300. ([Mat] 2/950 53, 3/950 54..7.4. >! > dla > 6. ([BaL] 469, [BoL] 62 s.56. 2 3.7.5.! 2, dla > 5. +.7.6.!. ([OM] Belgia 985/986, [MG] 83(496(999. 2 D. ([K-Me] z.8. Wyia to z ierówości pomiędzy średią geometryczą i średią arytmetyczą: + 2 + + ( +! = = +. 2 2.7.7. (2! < ( +, dla 2. ([Mo] 5(0(908 86-87. 3 + +.7.8. (2!. ([MG] 83(496(999. 2 2.7.9. 2! (m +! ( m! (m2 + m, gdy m. ([A-P] 996, [OMm] 997/998..7.0. (2! (! 2 > 4. ([Sa2] 9, [Ko03] 2. +.7.. 3 < (3!. ([BoL] 63 s.56, [Ko03].
20 Silie i symbole Newtoa. Silie.7.2. Dla ażdej liczby aturalej 2 zachodzi ierówość 3 2 < (3! (! 3 < 33. Jest to szczególy przypade astępującej ierówości: ( < (! (! <, dla. ([Cmj] 20(2(989 7-73. 5 + 3 + +.7.3. (3!. ([MG] 83(496(999. 2 2 2 ( + ( + 2.7.4. (! 2, dla > 4. ([OM] Irladia 995, [Pa97]. 6.7.5. Ciąg a = ( +!! jest ieograiczoy. ([KoM] 2005 A365..7.6..7.7.! < + ( +!. ([Jedr] B.4. ( 2! + ( +! (!, dla 2. ([Kw] 3/995 M462..7.8. ( 2! 3 2 + 2 +, dla 2. ([IMO] Loglist 967, [Djmp] s.43(347. 6.7.9. 3 (! 2 ( + < ( + ( + 2, dla 2. ([Ko03]..7.20.! + +2 ( + 2! < 2 + ( +!, dla. ([Crux] 992 s.8 z.589..7.2. +! e. ([Dlt] 6/989..7.22. e! e. ([Nath] 304. e e.7.23. (!! > [(!]!, dla > ([Mo] 72(8(965 E86, rozw. 74(2(967 s.202..7.24. (!! > [(!]!, dla 3 ([IMO] Loglist 969..7.25. (m! (m! (! m, dla m, N. ([OM] Czechosłowacja 990/99, [Par] 998(2..7.26. (m +! m! < (m + m+ m m!, dla m, N. ([Put] 2004 B. ( m + D. (m + m+ > m m m = (m +! m m i stąd wyia teza. m!!
Silie i symbole Newtoa. Silie 2.7.27. 3 5 7... (2 <, dla 2. ([OM] Holadia 990, [Pa97]. D. ([Crux] 994 s.0. Wyia to z ierówości pomiędzy średią geometryczą i średią arytmetyczą: + 3 + 5 + + (2 3 5 7... (2 < = 2 =..7.28. 3 5 7... (2 < 2, dla 2. ([Crux] 994 s.0..7.29. ( + ( 2 + ( + 2!, dla N. ([OM] St Petersburg 998..7.30. Jeśli a,..., a N i b = a + + a, to a!a 2! a! ([b]!. ([IMO] Loglist 969, [A-P] 2002..7.3. ([OM] Uraia 2005. 3! + 2! + 3! + 4 2! + 3! + 4! + + + 2! + ( +! + ( + 2! <, dla N. 2.8 Wyzaczii z siliami.8.. ([Mo] 07(2000 s.560. (0 + 0! (0 +! (0 +! ( + 0! ( +! ( +! (2 + 0! (2 +! (2 +!... ( + 0! ( +! ( +!.8.2. Niech D = det[a ij ], gdzie a ij = ( D = ( ( /2!2! (!!( +! (2! ; (2 D + D = (! 2. ([NAvW] 629 2 + (2!.8.3. Wyzaczi macierzy [a ij ], gdzie a ij = rówy ([Mo] 4/980 E2747. = 0!! 2!!., i, j =, 2,...,. Wtedy: (i + j! ([S-g] ( ( /2 0!!2! (!!( +! (2!..8.4. Wyzaczi macierzy [a ij ], gdzie a ij = ([Mo] 7(8(964 97 E645., 0 i, j, jest (i + j +! (i + j + r 2!, jest rówy. (i!(j + r!
22 Silie i symbole Newtoa. Silie.8.5. Wyzaczi macierzy [a ij ], gdzie a ij = (i + jj+, jest rówy (i +! ([MM] 23(4(950 208. + 2 + 3 + + +..8.6.. 2 3 4... 3 3 4... 2 5 4... 2 3 7....... 2 3 4... 2 3 2 3 4... 2 = (!. ([JeL] 3.24.27..8.7..8.8..8.9..8.0. x 0 x x 2... x 2 x x a 0... 0 0 0 0 a... 0 0 0...... 0 0 0... a 0 0 0 0 0... 2 a 0 0 0 0... 0 a 2... 2 3... ( +... ( +... (2 / /2... / /2 /3... /( +... / /( +... /(2 2 3... 2 2 2 3 2... 2 3 2 3 3 3... 3.... 2 3... =! j=0 a j j! x j. ([JeL] 3.25.4. (. = ( ( 2 (! ([JeL] 3.28.4. ( 3!2! (! =. ([JeL] 3.28.5.!( +! (2! =! 2!!. ([JeL] 3.29..... 2....8.. 3... = (!(!, gdy są liczbami aturalymi........ ([JeL] 3.24.8.
Silie i symbole Newtoa. Silie 23.8.2. Defiiujemy reurecyjie ciąg (a przyjmując a 0 = a = a 2 = oraz a a + a +2 a +3 =! dla 3. Wyazać, że ażdy wyraz a jest liczbą całowitą. ([Put] 2004 A3. D. Niech v = 2 4 6 ( gdy jest ieparzyste oraz v = 3 5 ( gdy jest parzyste. Wtedy a = v, dla 2..9 Silie i część całowita.9.. Część całowita liczby.9.2. Część całowita liczby (! ( + (!.9.3. Jeśli 5 i 2, to część całowita liczby ([DoC] 260, [LeH] z.a37..9.4. Jeśli < m < +2 i > 3, to liczba jest liczbą parzystą. ([Mo] 76(9(969 E238, [DoC] 259. jest liczbą parzystą. ([Mo] 75(9(968 E200. (! jest podziela przez. [ ]! m jest podziela przez m. ([OM] Australia 2002..9.5. Dla ażdej liczby rzeczywistej a > 0 istieje iesończeie wiele taich liczb aturalych, że 2 + dzieli [a]!. ([Kw] 2/98 26..9.6. Liczba całowita ajbliższa liczbie!/e jest podziela przez. ([Mo] 52(2(945 E622..0 Liczby! i liczby wadratowe.0.. 4! + = 5 2 5! + = 2 7! + = 7 2 Czy są ie tego typu rówości? ([Gy04] 30..0.2. Liczba! + jest wadratowa wtedy i tylo wtedy, gdy liczba! 8 ([Mo] 43((936 s.33, [S59] 328. jest trójąta..0.3 (Leech. { 5 2 2, 4! = 7 2 5 2. 5! = 2 2, 3 2 7 2, 7 2 3 2, 3 2 29 2. 27 2 3 2 = 28 2 8 2 = 29 2 2, 6! = 36 2 24 2 = 4 2 3 2 = 49 2 4 2, 63 2 57 2 = 92 2 88 2 = 8 2 79 2.
24 Silie i symbole Newtoa. Silie Dla 4 liczba tego typu przedstawień liczby! jest rówa! 2 τ, 4 gdzie τ(m ozacza liczbę aturalych dzieliów liczby m. W szczególości, 0! ma 05 taich przedstawień, a 00! taich przedstawień ma 9 02 653 480 960 000. ([Gy04] 30..0.4. 3! = 2296 2 79896 2. ([Crux] 997 s.293..0.5. Niech p będzie liczbą pierwszą postaci 8 + 5. Wtedy: ( liczba (p 2! + ie jest wadratowa; (2 liczba (p 3! + rówież ie jest wadratowa. ([S59] 330..0.6. Istieje iesończeie wiele taich liczb aturalych, że liczba! + ie jest wadratowa. ([S59] 33. D. Wyia to z.0.5 i twierdzeia Dirichleta o liczbach pierwszych w post. arytmetyczym..0.7. 3 2 2! +. ([Mo] 44(3(937 str.67..0.8. Jeśli jest taą ieparzystą liczbą aturalą, że 2 (!, to = 9 lub jest dowolą ieparzystą liczbą pierwszą. ([OM] ZSRR 964..0.9. Istieją tylo trzy taie liczby aturale, że! jest sumą dwóch wadratów. Są to liczby, 2 i 6 :! = 0 2 + 2, 2! = 2 + 2, 6! = 24 2 + 2 2. ([Mo] 72(7(965 z.538, rozw. 73(8(966 s.898..0.0. Rozpatrzmy wszystie podzbiory zbioru {, 2,..., } ie zawierające dwóch sąsiedich liczb. Wyazać, że suma wadratów iloczyów liczb ażdego taiego podzbioru jest rówa ( +!. ([OM] Leigrad 990, [Fom] 46/90. R. K. Guy, Equatios ivolvig factorial, [Gy04] 30-302.. Liczby! i liczby potęgowe.. (Twierdzeie Liouville a. (2! + = 2, (3! + = 3, (5! + = 5 2. Jeśli p > 5 jest liczbą pierwszą, to dla ażdego N. ([S64] 03. (p! + p
Silie i symbole Newtoa. Silie 25..2. Żada liczba postaci!, gdzie >, ie jest potęgą liczby aturalej o wyładiu więszym od jedyi. ([S50] 24, [S59] 400...3. Jeśli, m, są liczbami aturalymi spełiającymi rówość! + 2! + +! = m, to (,, m jest jedą z tróje: (,,! + 2! + +!, ( 3,, lub (2, 3, 3. ([OM] Łotwa 994, [Crux] 998 s.36...4 (Grudhöfer { 979. Niech 2, 2. } Jeśli liczba! + jest potęgą liczby pierwszej, to (, (2, 2, (3, 2, (3, 3, (4, 3, (5, 5. Mamy: 2! + 2 = 2 2, 3! + 2 = 2 3, 3! + 3 = 3 2, 4! + 3 = 3 3, 5! + 5 = 5 3. T. Grudhöfer, Über die Zahle der Form! +, [Arch] 33(979 36-363.
26 Silie i symbole Newtoa. Silie
2 Silia i relacja podzielości 2. Pewe rozłady aoicze 5! = 2 3 3 5, 6! = 2 4 3 2 5, 7! = 2 4 3 2 5 7, 8! = 2 7 3 2 5 7, 9! = 2 7 3 4 5 7, 0! = 2 8 3 4 5 2 7, 20! = 2 8 3 8 5 4 7 2 3 7 9, 30! = 2 26 3 4 5 7 7 4 2 3, 2 7 9 23 29, 40! = 2 38 3 8 5 9 7 5 3 3 3 7 2 9 2 23 29 3 37, 50! = 2 47 3 22 5 2 7 8 4 3 3 7 2 9 2 23 2 29 3 37 4 43 47. 00! = 2 97 3 48 5 24 7 6 9 3 7 7 5 9 5 23 4 29 3 3 3 37 2 4 2 43 2 47 2 a, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [53, 97]. 200! = 2 97 3 97 5 49 7 32 9 3 6 7 9 0 23 8 29 6 3 6 37 5 4 4 43 4 47 4 53 3 59 3 6 3 a 2 b, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [67, 97] oraz b jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [0, 99], 500! = 2 494 3 247 5 24 7 82 49 3 40 7 30 9 27 23 2 29 7 3 6 37 3 4 2 43 47 0 53 9 59 8 6 8 67 7 7 7 73 6 79 6 83 6 89 5 97 5 0 4 03 4 07 4 09 4 3 4 a 3 b 2 c, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [27, 63] b jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [67, 24], oraz c jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [25, 499], 000! = 2 994 3 498 5 249 7 64 98 3 8 7 6 9 54 23 44 29 35 3 33 37 27 4 24 43 23 47 2 53 8 59 6 6 6 67 4 7 4 73 3 79 2 83 2 89 97 0 0 9 03 9 07 9 09 9 3 8 27 7 3 7 37 7 39 7 49 6 5 6 57 6 63 6 67 5 73 5 79 5 8 5 9 5 93 5 97 5 99 5 2 4 223 4 227 4 229 4 233 4 239 4 24 4 a 3 b 2 c, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [25, 33] b jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [337, 499], oraz c jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [503, 997]. 27
28 Silie i symbole Newtoa 2. Silia i relacja podzielości 2.2 Twierdzeie Wilsoa i jego dowód (2! + = 2, (3! + = 3, (5! + = 5 5, (7! + = 7 03, (! + = 32989, (3! + = 3 36846277, (7! + = 7 230752346353, (9! + = 9 33696703743579, (23! + = 23 48869596859895986087, (29! + = 29 053399350737450005862069, (3! + = 3 85565438649093889882680548387, (37! + = 37 0053873697024357228864849950022572972973. Po lewej stroie powyższych rówości występują liczby postaci (p! +, gdzie p jest liczbą pierwszą. Prawe stroy atomiast są iloczyami dwóch liczb aturalych, wśród tórych a początu jest p. Każda z występujących tu liczb (p! + jest podziela przez p. Twierdzeie Wilsoa mówi, że taa podzielość zachodzi dla ażdej liczby pierwszej p. 2.2. (Wilso 770. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to (p! (mod p. Przed dowodem tego twierdzeia udowodimy astępujące dwa lematy. 2.2.2. Niech p będzie liczbą pierwszą i iech A = {, 2,..., p }. Wówczas dla ażdej liczby x, ależącej do A, w zbiorze A istieje doładie jeda taa liczba y, że xy (mod p. D. Niech x A. Wtedy liczby x i p są względie pierwsze. Istieją zatem taie liczby całowite u i v, że = xu + pv. Ozaczmy przez y resztę z dzieleia u przez p. Mamy wtedy: u y (mod p. Zauważmy, że reszta y ie może być zerem (gdyż jeśli y = 0, to p u i wtedy p xu + pv =. Zatem y A oraz xy xu xu + pv = (mod p, a więc xy (mod p. Wyazałiśmy więc, że w zbiorze A istieje liczba y spełiająca ogruecję xy (mod p. Przypuśćmy, że są dwie taie liczby y. Niech y, y 2 A, xy (mod p, xy 2 (mod p. Wtedy y y (xy 2 = (y xy 2 y 2 (mod p Joh Wilso (74 793, matematy agielsi.
Silie i symbole Newtoa 2. Silia i relacja podzielości 29 i wobec tego y = y 2 ; omawiaa liczba y jest tylo jeda. Może się ta zdarzyć, że liczba y, o tórej mowa w powyższym lemacie, jest tą samą liczbą x. Ta jest zawsze, gdy x = i x = p. Mamy bowiem: (mod p oraz (p (p (mod p. Wyażemy teraz, że w pozostałych przypadach liczby x i y są róże. 2.2.3. Niech p będzie liczbą pierwszą i iech A = {, 2,..., p }. Niech poadto x i y będą taimi liczbami ze zbioru A, że xy (mod p. Wówczas x = y wtedy i tylo wtedy, gdy x = lub x = p. D. Impliację = wyjaśiliśmy już przed wysłowieiem tego lematu. Wyażemy impliację w przeciwym ieruu. Załóżmy, że x A i x 2 (mod p. Wtedy liczba pierwsza p dzieli liczbę x 2, czyli dzieli liczbę (x (x +. Co ajmiej jeda z liczb x i x + musi więc być podziela przez p. Zatem x (mod p lub x p (mod p i wobec tego x = lub x = p. Pierwszy dowód twierdzeia Wilsoa. W przypadach p = 2 i p = 3 twierdzeie jest oczywiste. Dalej załóżmy, że p 5 i rozpatrzmy zbiór A = {, 2,..., p }. Należy wyazać, że iloczy wszystich elemetów tego zbioru przystaje do modulo p. Zbadajmy ajpierw iloczy wszystich elemetów zbioru B = {2, 3,..., p 2} = A {, p }. Liczba elemtów zbioru B jest parzysta (jest rówa p 3. Z lematów 2.2.2 i 2.2.3 wyia, że wszystie elemety zbioru B moża połączyć w pary (x, y spełiające ogruecję xy (mod p. Jeśli więc b ozacza iloczy wszystich elemetów zbioru B, to b (mod p i wobec tego Zatem (p! (mod p. (p! = b (p (p = (p (mod p. Drugi dowód twierdzeia Wilsoa. Przez Z p ozaczamy ciało liczb całowitych modulo p (defiicję tego ciała zajdziemy a przyład w [N-3]. W pierścieiu wielomiaów Z p [x] rozpatrzmy wielomia f(x = x p. Z małego twierdzeia Fermata wyia, że ażdy elemet zbioru Z p {0} = {, 2,..., p } jest pierwiastiem tego wielomiau. W pierścieiu Z p [x] zachodzi więc rówość x p = (x (x 2 (x (p. Porówując w tej rówości wyrazy wole otrzymujemy tezę. 2.2.4. Jeśli p 2 jest liczą aturalą, to p jest liczbą pierwszą wtedy i tylo wtedy, gdy p (p! +. D. Już wiemy, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p (p! + ; jest to twierdzeie Wilsoa. Załóżmy teraz, że 2 p N oraz p (p! + i przypuśćmy, że p ie jest liczbą pierwszą. Istieje wówczas taa liczba aturala a, że 2 a p i a p. Wtedy a (p! + oraz a (p! i wobec tego liczba a dzieli jedyę; sprzeczość. W. Feit, A group-theoretic proof of Wilso s theorem, [Mo] 65(2(958 20. H. Gupta, A theorem i combiatories ad Wilso s theorem, [Mo] 92(8(985 575-576. A. D. Woodall, Proof of the theorems of Fermat ad Wilso ad related results, [MG] 87 (50 (2003 500-504. W [AB] zajduje się ombiatoryczy dowód twierdzeia Wilsoa. Iy dowód twierdzeia Wilsoa jest w [N-] w rozdziale o Twierdzeiu Wolsteholme a i jego uogólieiach.