EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną (IVeR) I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: A,, B,, C, Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności A x, B x, C x, x x x x 9 x x x x x x x x x 7 x x W tym przypadku W tym przypadku W tym przypadku rozwiązaniem nierówności rozwiązaniem nierówności jest rozwiązaniem nierówności jest x jest x 7 x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: x 7 lub x Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest, 7, II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) Zapisujemy cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 I II III x 0 x 0 x 0 W każdym z nich rozwiązujemy nierówność bądź układ nierówności x 0 x 0 x xx x x x x x x x x 0 x 0 x xx x x x niemożliwe IV x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x x x x x x x 7 x x 7

Egzamin maturalny z matematyki Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: x 7 lub Schemat oceniania x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wyróżni na osi liczbowej przedziały,,,,, zapisze cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 I II III IV x 0 x 0 x 0 x 0 Uwaga Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np: A dla x, mamy x x x, B dla x, mamy x x x, C dla x, mamy x x x zdający zapisze nierówności w poszczególnych przypadkach, np: I gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x, II gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x (lub stwierdzi, że ten przypadek jest niemożliwy), III gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x, IV gdy x 0 i x 0, to wtedy x x x Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów (spośród A, B, C), popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach (spośród I, III, IV), popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek II jest niemożliwy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne pkt zapisze odpowiedź: x, 7,

Egzamin maturalny z matematyki Uwaga: We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte) Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie III sposób rozwiązania (graficzne) Rysujemy wykresy funkcji f x x x i g x x Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np x 9 dla x, f xx dla x, x 9 dla x, Rysujemy wykresy funkcji f i g: y = f(x) 8 6 0 8 6-9 -8-7 -6 - - - - - 6 7 8 9 - - -6-8 y y = g(x) Odczytujemy odcięte punktów przecięcia wykresów funkcji f i g: x 7, x, sprawdzamy, czy spełniają one równanie x x x wszystkie argumenty, dla których f x g x x x,, a następnie podajemy te : x, 7, Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wyróżni na osi liczbowej przedziały:,,,,,

Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np: x, mamy f x x 9, A dla B dla x, mamy f x x, lub C dla, x mamy f x x 9 x9 dla x, f xx dlax, x 9 dla x,, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y x Rozwiązanie pełne pkt zapisze odpowiedź: x, 7, Zadanie (0 ) Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r Wykaż, że r AB CD Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V7c) I sposób rozwiązania Sporządzamy rysunek i wprowadzamy oznaczenia: okręgu wpisanego w trapez, h wysokość trapezu D b AB a, b C CD, AD c, r promień c h r O c r A E a Ponieważ trapez jest równoramienny i opisany na okręgu, więc a b AE, h r oraz a b c, czyli B a b c

6 Egzamin maturalny z matematyki Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED otrzymujemy Podstawiając To kończy dowód a b c r a b c otrzymujemy r, skąd a b a b a b r c r, a ab b a ab, ab r, r ab b Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt a b wyznaczy długość odcinka AE : AE a b wyznaczy długość ramienia trapezu: c Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a b a b wyznaczy długość odcinka AE i długość ramienia trapezu: AE, c Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wykorzysta twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AED i zapisanie: a b r c Rozwiązanie pełne pkt wykaże tezę twierdzenia: r ab

Egzamin maturalny z matematyki 7 II sposób rozwiązania Sporządzamy rysunek i wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku c D β F r O b β β C c α α r Ponieważ w trapez jest wpisany okrąg, więc środek tego okręgu znajduje się na przecięciu dwusiecznych kątów trapezu Z własności kątów naprzemianległych i przyległych wynika, że 80, czyli 90 Stąd 90 Wnioskujemy stąd, że trójkąty prostokątne AEO i CFO są podobne Zatem OE FC r b r r, czyli (lub tg, tg i tg ) AE FO a r a b tg Stąd r ab, czyli r ab Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze zależność 90 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt OE FC uzasadni, że trójkąty AEO i CFO są podobne i zapisze, że AE FO r r wyznaczy tg oraz tg a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze proporcję r a wykorzysta równości A b r a E tg i zapisze tg r b tg Rozwiązanie pełne pkt wykaże tezę twierdzenia: r ab B

8 Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania Sporządzamy rysunek i wprowadzamy oznaczenia D r O L b C β β r b M a A r K Z twierdzenia o odcinkach stycznych i własności trapezu równoramiennego wynika, że BM KB a oraz CM LC b Ponieważ w trapez jest wpisany okrąg, więc środek okręgu znajduje się na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu Z własności kątów trapezu: 80, czyli 90 Stąd wynika, że trójkąt BCO jest prostokątny Wysokość OM tego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków BM i CM, czyli r a b, czyli r a b, co kończy dowód Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze, że trójkąt BCO jest prostokątny zapisanie, że BM KB a oraz CM LC b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze, że trójkąt BCO jest prostokątny oraz że BM a oraz CM b Uwaga Jeżeli zdający zapisze np OM BM CM i narysuje odcinek OM (lub zapisze, że jest to koniec promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności okręgu i ramienia trapezu), ale nie zapisze, że BM a lub CM b (nie wykorzystuje twierdzenia o równości odcinków stycznych), to otrzymuje punkty Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a α α B

Egzamin maturalny z matematyki 9 wykorzysta twierdzenie o wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną, i zapisze, np że OM BM CM r b wykorzysta podobieństwo trójkątów OMB i OMC i zapisze a Rozwiązanie pełne pkt wykaże tezę twierdzenia: r ab r Zadanie (0 ) Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV0R) I sposób rozwiązania Wybieramy z pięciu miejsc trzy miejsca, na których wstawiamy cyfrę 0, następnie wybieramy jedno z trzech miejsc dla cyfry, a na pozostałych dwóch miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od 8 06 90 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wybierze trzy miejsca z pięciu dla cyfry 0, wybierze jedno z trzech miejsc dla cyfry i rozmieści na pozostałych dwóch miejscach cyfry różne od 0 i od Rozwiązanie pełne pkt obliczy, ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy i tylko raz występuje cyfra : 90 Uwaga Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej punkty

0 Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Rozróżniamy dwa przypadki: cyfra znajduje się na pierwszym miejscu (jest cyfrą setek tysięcy) cyfra nie znajduje się na pierwszym miejscu W pierwszym przypadku wybieramy trzy miejsca (spośród pięciu), na których umieszczamy cyfrę 0, a na pozostałych dwóch miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od Takich liczb sześciocyfrowych jest 8 60 W drugim przypadku na pierwszym miejscu umieszczamy cyfrę różną od 0 i różną od (mamy 8 takich możliwości), następnie wybieramy miejsce w którym wstawimy cyfrę (mamy możliwości), a następnie z pozostałych czterech miejsc wybieramy trzy, w których wstawiamy cyfrę 0 (możemy to zrobić na sposoby), na pozostałym miejscu umieszczamy cyfrę różną od 0 i różną od ( możemy to zrobić na 8 sposobów) Zatem w tym przypadku mamy 88 80 takich liczb Mamy więc 8 88 60 80 90 liczb sześciocyfrowych spełniających warunki zadania Uwaga W drugim przypadku możemy także przeprowadzić inne rozumowanie: spośród miejsc od drugiego do szóstego wybieramy cztery, na których umieszczamy cyfrę i trzy cyfry 0 (mamy takich możliwości), następnie na pozostałych dwóch miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od (mamy 8 takich możliwości) Tak więc w tym przypadku mamy 8 80 takich liczb Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze, że jest 8 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą jest i cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy zapisze, że jest 88 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą nie jest i cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze, że jest 8 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą jest, cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy oraz że jest 88 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których pierwszą cyfrą nie jest i cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy

Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne pkt zapisze, że jest 90 liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy i cyfra występuje tylko raz Uwaga Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej punkty III sposób rozwiązania Wybieramy cztery miejsca, na których wstawiamy cyfrę i trzy cyfry 0, na pozostałych miejscach rozmieszczamy cyfry różne od 0 i różne od 6 Jest 8 80 takich ciągów sześciowyrazowych Wśród nich znajdują się te, w których cyfra 0 znajduje się na pierwszym miejscu Jest ich 8 90 Stąd wynika, że liczb sześciocyfrowych spełniających warunki zadania jest 6 8 8 80 90 90 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze liczbę ciągów sześciowyrazowych, w zapisie których tylko jeden raz występuje cyfra, a cyfra 0 pojawia się dokładnie trzy razy: 6 8 zapisze liczbę ciągów sześciowyrazowych, w zapisie których pierwszą cyfrą jest 0: 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze, że jest 6 8 ciągów sześciowyrazowych, w zapisie których tylko jeden raz występuje cyfra, a cyfra 0 pojawia się dokładnie trzy razy, w tym ciągów, w zapisie których pierwszą cyfrą jest 0 8 takich Rozwiązanie pełne pkt obliczy, ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra 0 występuje dokładnie trzy razy i tylko raz występuje cyfra : 90 Uwaga Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej punkty

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż równanie cos x cos x 0 dla x 0, Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV6eR) Rozwiązanie (I sposób) Ponieważ cos x cos x, więc równanie cos x cos x 0 jest równoważne równaniu cos x cosx 0, x x To równanie jest równoważne alternatywie równań czyli równaniu cos cos 0 cos x 0 lub cos x W przedziale 0, równanie cos x 0 ma dwa rozwiązania: x lub x Równanie cos x ma w przedziale 0, dwa rozwiązania: x lub x Zapisujemy odpowiedź: równanie cos x cos x 0 w przedziale 0, ma cztery rozwiązania: x, x, x, x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu, np cos x cosx 0 i na tym zakończy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze alternatywę cos x 0 lub cos x wprowadzi pomocniczą niewiadomą, np t cos x i zapisze, że t 0 lub zakończy lub dalej popełni błędy t i na tym Rozwiązanie prawie pełne pkt rozwiąże równanie cos x 0 w przedziale 0, : rozwiąże równanie cos x w przedziale 0, : x lub x lub x x

Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne pkt zapisze rozwiązania obu równań w przedziale 0, : cos x 0 dla x lub x ( x 90 lub x 70 ), cos x dla x lub x ( x 0 lub x 0 ) Uwagi Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np t,, o ile z rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia ten warunek Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego: cos x 0 dla x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, cos x dla x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający dzieli stronami równanie cos x cosx 0 przez cos x bez rozpatrzenia dwóch przypadków i poprawnie rozwiąże równanie cosx 0, to otrzymuje za całe rozwiązanie punkty Rozwiązanie (II sposób) Równanie możemy zapisać w postaci równoważnej cos x cos x Rozpatrujemy dwie funkcje f x cos x g x (wystarczy ograniczyć się do przedziału 0, ) y oraz cos x y = f (x) π/6 π/ π/ π/ π/6 π 7π/6 π/ π/ π/ π/6 π i rysujemy ich wykres x - - y = g (x) Odczytujemy rozwiązania równania: x, x, x, x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie w postaci równoważnej, np cos x cos x, wprowadzi dwie funkcje f x cos x oraz g x cos x i narysuje wykres jednej z tych funkcji Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze równanie w postaci równoważnej, np cos x cos x, wprowadzi f x x oraz g x cos x i narysuje wykresy obu funkcji dwie funkcje cos

Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne pkt zapisze rozwiązania obu równań w przedziale 0, : cos x 0 dla x lub x ( x 90 lub x 70 ), cos x dla x lub x ( x 0 lub x 0 ) Uwaga Jeżeli zdający poda poprawnie trzy spośród rozwiązań (błędnie odczyta czwarte rozwiązanie, to otrzymuje punkty, jeśli natomiast odczyta co najwyżej dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty Zadanie (0 ) Ciąg liczbowy a, b, c jest arytmetyczny i a bc, natomiast ciąg a, b, c 9 jest geometryczny Oblicz a, b, c Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego (III) I sposób rozwiązania Zapisujemy układ równań: a b c a c b b ac9 Podstawiamy do pierwszego równania, w miejsce a c wyrażenie b i otrzymujemy równanie b, skąd b Układ równań przyjmuje zatem postać: b a c 6 ac9 Równania drugie i trzecie tworzą układ z dwiema niewiadomymi, który rozwiążemy, podstawiając wyrażenie a w miejsce niewiadomej c w równaniu trzecim Otrzymujemy zatem równanie kwadratowe z niewiadomą a : a a97 0 Zatem a lub a 9 Jeżeli a, to c i oczywiście b Otrzymujemy zatem ciąg arytmetyczny,,, a po odpowiednich przekształceniach ciąg geometryczny, 6, 8 Jeżeli zaś a 9, to c i b Otrzymujemy teraz ciąg arytmetyczny 9,,, a po wykonaniu odpowiednich przekształceń ciąg geometryczny 8, 6, Szukanymi liczbami są zatem: a, b, c lub a 9, b, c

Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania pkt wykorzysta własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisze odpowiednie równanie, np ba c b ac 9 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wykorzysta własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisze układ równań umożliwiający obliczenie liczb a, b, c, np a b c a c b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy b ac9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt przekształci układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą a lub c, np a a97 0 lub c c 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt poprawne rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci jedno z rozwiązań i poprawnie wyznaczy drugą trójkę liczb przekształci układ równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne pkt wyznaczy szukane liczby: a, b, c lub a 9, b, c Uwagi Jeżeli zdający stosuje własności ciągu arytmetycznego przy rozważaniu ciągu geometrycznego (lub odwrotnie), to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający zapisze odpowiedź w postaci, z której nie można jednoznacznie stwierdzić, że są dwie trójki szukanych liczb, np zapisze: a lub a 9, b, c lub c, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r różnicę tego ciągu Wówczas bar, c a r Z własności ciągu arytmetycznego i z treści zadania otrzymujemy równanie a( ar) ( a r) i stąd a r Zatem ciąg arytmetyczny możemy zapisać następująco: r,, r Ciąg a, b, c 9, a więc ciąg 0 r, 6, 0 r jest geometryczny, więc możemy zapisać równanie, np

6 Egzamin maturalny z matematyki 6 0 0 r r Po przekształceniach i uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe r 0r 0 Rozwiązaniami tego równania są: r lub r Następnie obliczamy a, b, c a 9 a Szukane liczby to: b lub b c c Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt wprowadzi oznaczenia: a - pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a r różnica tego ciągu oraz wykorzysta definicję ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np a( ar) ( a r) lub a r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wykorzysta własności ciągu geometrycznego i zapisze układ równań, np ar ar aar9 zapisze wyrazy ciągu geometrycznego w zależności od r, np 0 r, 6, 0 r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt przekształci układ równań do równania z niewiadomą r, np r r r r r 9 lub r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy 0r 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, odrzuci jedno z rozwiązań, np r 0 i poprawnie wyznaczy drugą trójkę liczb przekształci układ równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne pkt

Egzamin maturalny z matematyki 7 wyznaczy dwie trójki liczb: a 9 b lub c a b c Uwagi Jeżeli zdający stosuje własności ciągu arytmetycznego przy rozważaniu ciągu geometrycznego (lub odwrotnie), to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający zapisze odpowiedź w postaci, z której nie można jednoznacznie stwierdzić, że są dwie trójki szukanych liczb, np zapisze: a lub a 9, b, c lub c, to otrzymuje punkty Zadanie 6 (0 6) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mxm m 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x, x spełniające warunek xx 6m x x Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IVbR) Rozwiązanie Zapisujemy układ warunków: Rozwiązujemy nierówność 0 Nierówność 0 x x 6m x x, czyli m m m 0, m mm 0, m 0, m, m, x x 6m x x zapisujemy w postaci równoważnej xx 6m xx xx Wykorzystując wzory Viete a, otrzymujemy układ nierówności z niewiadomą m: czyli m m 6m i m m m m 6m, 7m 0 i 6mm m m m, mm 7 0 i m 6m 0, m 0,7 i m, 7 7,, m 0, 7 7, 7

8 Egzamin maturalny z matematyki Stąd i z poprzednio warunku otrzymujemy Schemat oceniania m 0, 7 Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności 0 :, m Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności zdający otrzymuje punkty Podział punktów za drugi etap rozwiązania: x x 6m x x Za tę część rozwiązania Za rozwiązanie nierówności xx 6m: m 0,7 zdający otrzymuje punkt Za rozwiązanie nierówności 6m x x zdający otrzymuje punkty Przy czym w tej części: punkt zdający otrzymuje za zapisanie wyrażenia x x w postaci x x xx, punkty zdający otrzymuje za zapisanie nierówności 6m x x w postaci nierówności z jedną niewiadomą, np: 6 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności m, 7 7, m m m m m, 6m x x : Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego Rozwiązanie pełne (trzeci etap) 6 pkt wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności i poda odpowiedź: m 0, 7 Uwaga W przypadku rozwiązania z usterkami, za ostatni etap przyznajemy punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże co najmniej jedną nierówność z etapu II Zadanie 7 (0 ) Prosta o równaniu x y 6 0 S, w punktach A i B Długość odcinka AB jest równa 0 Wyznacz równanie tego okręgu przecina okrąg o środku Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wyznaczenie równania okręgu (IV8egcR)

Egzamin maturalny z matematyki 9 I sposób rozwiązania Odległość środka S okręgu od prostej o równaniu x y6 0 jest równa 6 7 Jest to też długość odcinka SC, gdzie C jest środkiem cięciwy AB Ponieważ AB 0, więc AC 0 0 Trójkąt ACS jest prostokątny, a jego przeciwprostokątną jest promień r okręgu Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy AS AC SC, czyli r 0 00 6 Równanie okręgu ma więc postać x y 6 Uwaga może obliczyć odległość punktu S od prostej o równaniu x y6 0 w inny sposób, np wybrać na prostej dwa punkty (np C,0 i D 0, 9 ), obliczyć pole trójkąta CDS ( PCDS ), a stąd obliczyć szukaną odległość, czyli wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka S: h Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy AB zapisze, że środek cięciwy AB, środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego, wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci: x y r, obliczy połowę długości cięciwy AB: 0 AB, obliczy odległość punktu S od prostej AB i nie interpretuje jej błędnie (np jako promień szukanego okręgu) i na tym zakończy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy odległość środka okręgu od prostej o równaniu x y6 0, np wykorzystując wzór na odległość punktu od prostej, obliczając wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka S na bok zawarty w tej prostej 6 lub P CDS CD, gdzie C i D leżą na prostej o równaniu x y6 0 oraz

0 Egzamin maturalny z matematyki wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy AB lub zapisze, że środek cięciwy AB, środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego lub wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci: lub x y r obliczy połowę długości cięciwy AB: 0 AB Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACS, gdzie C oznacza środek cięciwy AB: r 0 Rozwiązanie pełne pkt x y 6 zapisze równanie okręgu: II sposób rozwiązania Prosta prostopadła do prostej o równaniu x y6 0 przechodząca przez środek szukanego okręgu jest symetralną cięciwy AB Jej równanie ma postać x y 0, x y8 0 Środek D cięciwy AB jest punktem przecięcia tej prostej z prostą AB Jego współrzędne obliczymy rozwiązując układ równań xy60 y x9 y x9 x,,,, xy80 x x980 x 7 0 y 0 więc D,0 Punkty A i B leżą na okręgu o środku D i promieniu 0 i na prostej AB Współrzędne punktów A i B obliczymy, rozwiązując układ równań x y 0 xy60 x y 0 y x 9 x x9 0 y x 9 9 x 6 x 00 y x 9 6 x 00 y x 9

Egzamin maturalny z matematyki Zatem, A, x 0 y x 9 x 6 y x 9 x x8 y x 9 x x8 y y B 8, Promień szukanego okręgu jest równy r AS Stąd wynika, że szukany okrąg ma równanie x y 6 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy AB zapisze, że środek cięciwy AB, środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego, wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci: x y r, obliczy połowę długości cięciwy AB: 0 AB, x y 0 wyznaczy równanie symetralnej cięciwy AB: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt D,0 obliczy współrzędne środka cięciwy AB: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt, B 8, obliczy współrzędne jednego z punktów A lub B: A, Rozwiązanie pełne pkt zapisze równanie okręgu: x y 6

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0 ) Reszta z dzielenia wielomianu Wxx x x m przez dwumian x jest równa 0 Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian Opis wymagań Zastosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a i twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu (IIbcR) x jest równa W m 0 Stąd m 6 Wielomian W ma zatem postać W x x x x Zauważmy, że 6 Zatem W 6 6 0 Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy x x x6 xx 7x Obliczamy pierwiastki trójmianu x 7x : 7 8, 9, 79 7 9 x, x 8 8 W rezultacie wielomian W ma trzy pierwiastki: x, x, x Uwaga Możemy też zauważyć, że pierwiastkiem wielomianu W jest liczba, gdyż W 6 6 0 0 Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy: x x x6 xx x Obliczamy pierwiastki trójmianu x x : 69 8,, x, x 8 8 W rezultacie wielomian W ma trzy pierwiastki: x, x, x Możemy zauważyć, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu W, gdyż W 6 6 6 6 0 Zatem wielomian W jest podzielny przez dwumian x Wykonując to dzielenie, otrzymujemy: x x x6 x x x Obliczamy pierwiastki trójmianu x x : 66 6, 0, 0 0 x, x 8 8

Egzamin maturalny z matematyki W rezultacie wielomian W ma trzy pierwiastki: x, x, x Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie z niewiadomą m, np m 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy wartość współczynnika m: m 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt poda jeden z pierwiastków wielomianu, np:, podzieli wielomian przez dwumian x i otrzyma iloraz x 7x lub poda pierwiastek, podzieli wielomian przez dwumian x i otrzyma iloraz x x, W x x x x a zapisze wielomian W w postaci iloczynowej, np: Rozwiązanie pełne pkt wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu W:,, Zadanie 9 (0 ) Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 7 i BC 0 AD : DB : oraz DC 0 Oblicz pole trójkąta ABC Na boku AB leży punkt D taki, że Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wykorzystanie związków miarowych w figurach płaskich (IV7) I sposób rozwiązania Poprowadźmy wysokość CE trójkąta ABC C 7 0 h 0 A x D x E x B Niech AD x, wtedy DB x Trójkąt DBC jest równoramienny, gdyż BC DC, więc DE EB x Stosując twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów BEC i AEC, otrzymujemy x h 0 oraz x h 7,

Egzamin maturalny z matematyki czyli x h 0 oraz x h 7 Stąd otrzymujemy h 0 x oraz x 0 x 7 Rozwiązujemy drugie z równań x 89, x 9, x Zatem h 0 00 6 8 Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB h 7xh 8 8 Uwaga Po obliczeniu x mamy już długości wszystkich boków trójkąta, więc jego pole możemy również obliczyć ze wzoru Herona Wtedy mamy 0 7 p, pa 0, p b 7 7, p c ABC 7 8 P p pa pb pc

Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Poprowadźmy wysokość CE trójkąta ABC i oznaczmy niech ABC C 7 0 h 0 A x D x E x B Niech AD x, wtedy DB x Trójkąt DBC jest równoramienny, gdyż BC DC DE EB x Z trójkąta prostokątnego EBC obliczamy x x cos 0 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC otrzymujemy Zatem 7 7x 0 7x0 cos x 89 9x 00 7x 0,, więc czyli 89 9x 8x, 89 x, x 9, x Zatem h 0 00 6 8 Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB h 7xh 8 8 Uwaga Po obliczeniu x mamy już długości wszystkich boków trójkąta, więc jego pole możemy również obliczyć ze wzoru Herona Wtedy mamy 0 7 p, pa 0, p b 7 7, pc ABC 7 8 P p pa pb pc

6 III sposób rozwiązania Oznaczmy ABC Egzamin maturalny z matematyki C 7 0 0 A x D x B Niech AD x, wtedy DB x Z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABC i DBC otrzymujemy 7 7x 0 7x0 cos oraz 0 x 0 x0 cos, czyli 89 9x 00 0x cos oraz 00 6x 00 80x cos Z drugiego równania obliczamy 6x x cos 80x Stąd i z pierwszego równania dostajemy x 89 9x 0x, 89 x, x 9, x Zatem h 0 00 6 8 Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB h 7xh 8 8 Uwaga Po obliczeniu x mamy już długości wszystkich boków trójkąta, więc jego pole możemy również obliczyć ze wzoru Herona Wtedy mamy 0 7 p, pa 0, p b 7 7, p c ABC 7 8 P p pa pb pc Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze stosunek długości odcinków AD i DB, np: AD x, DB x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt

Egzamin maturalny z matematyki 7 zapisze układ równań pozwalający obliczyć wprowadzoną niewiadomą, np: x h 0 oraz x h 7 cos x oraz, 7 7x 0 7x0 cos, 7 7x 0 7x0 cos oraz 0 x 0 x0 cos Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt obliczy x h: x, h 8 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt obliczy x oraz wysokość trójkąta z błędem rachunkowym i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta ABC Rozwiązanie pełne pkt obliczy pole trójkąta ABC: PABC 8 Zadanie 0 (0 ) W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d Wyznacz objętość tego ostrosłupa Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Wyznaczanie związków miarowych w ostrosłupie (IV9ab) I sposób rozwiązania S E h d a C A a D a B

8 Egzamin maturalny z matematyki Zaznaczamy na rysunku odcinek AE, długość tego odcinka jest odległością wierzchołka A od ściany BCS i jednocześnie wysokością trójkąta prostokątnego DAS, gdzie D jest środkiem krawędzi BC danego ostrosłupa Zatem AE d Ponadto w trójkącie DAS wprowadzamy oznaczenia: miara kąta ADS i h AS wysokość ostrosłupa ABCS AS AE Z trójkątów prostokątnych DAS i AED, otrzymujemy sin SD AD a h d Ponieważ AD, to sin a h a h d Przekształcamy równość i wyznaczamy wysokość ostrosłupa h a h a Otrzymujemy kolejno: h d h a a h d h a a ad h a d czyli ad h a d Wyznaczamy objętość ostrosłupa ABCS: V a h a ad a d a d a d Uwaga h d Równość a h a trójkątów DAS i AED możemy również otrzymać, korzystając z podobieństwa Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt zaznaczy na rysunku odcinek o długości d prostopadły do płaszczyzny BCS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równość, z której można wyznaczyć h w zależności od a i d, np: h d a h a

Egzamin maturalny z matematyki 9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt ad wyznaczy wysokość h ostrosłupa: h a d Rozwiązanie pełne pkt ad wyznaczy objętość V ostrosłupa: V a d II sposób rozwiązania S E h d a C A a D a B Zaznaczamy na rysunku odcinek AE, długość tego odcinka jest odległością wierzchołka A od ściany BCS i jednocześnie wysokością ostrosłupa ABCS o podstawie BSC Zatem objętość V ostrosłupa ABCS jest równa: V P d BSC Obliczmy P BSC pole trójkąta BSC: PBSC a SD Wprowadzamy oznaczenie: miara kąta ADS i z trójkątów prostokątnych DAS i otrzymujemy: a cos AD SD SD i sin AE d AD a Z jedynki trygonometrycznej obliczamy SD : a d SD a a d SD a AA' D,

0 Egzamin maturalny z matematyki a a d SD a a SD a d Wyznaczamy objętość ostrosłupa ABCS: a a d V a d a d a d Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt zaznaczy na rysunku odcinek o długości d prostopadły do płaszczyzny BCS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równość, z której można wyznaczyć długość odcinka SD, np: a d SD a Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a wyznaczy długość odcinka SD: SD a d Rozwiązanie pełne pkt ad wyznaczy objętość ostrosłupa: V a d

Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania S E h d a m C A a F D a B Płaszczyzny ABC i ABS są prostopadłe, trójkąt ABC jest równoboczny, więc jego wysokość a CF jest jednocześnie wysokością ostrosłupa opuszczoną na płaszczyznę podstawy ABS Zatem a () V PABS CF ah Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS otrzymujemy DS AD AS, Stąd m a h a m h a h a h Odcinek AE jest wysokością ostrosłupa opuszczoną na podstawę BCS, więc V PBCS DS am d, () V a a h d Porównując prawe strony () i () otrzymujemy a ah a a h d Stąd ah d a h, ah d a h, ah ad dh, ah dh ad, h a d a d,

Egzamin maturalny z matematyki ad h, a d ad h a d Objętość ostrosłupa jest zatem równa a ad a d V PABC h a d a d Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt zaznaczy na rysunku odcinek o długości d prostopadły do płaszczyzny BCS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równość (wynikającą z wyrażenia objętości ostrosłupa na dwa sposoby), z której można wyznaczyć h w zależności od a i d, np: a am h d, gdzie a m h Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt ad wyznaczy wysokość h ostrosłupa: h a d Rozwiązanie pełne pkt ad wyznaczy objętość ostrosłupa: V a d Zadanie (0 ) Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60 Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III0bd) Rozwiązanie Zdarzeniem elementarnym w tym doświadczeniu jest każdy ciąg czteroelementowy, którego wyrazami są liczby ze zbioru,,,,, 6 Jest to model klasyczny Wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest 6

Egzamin maturalny z matematyki Zauważmy, że 606 Oznacza to, że należy rozpatrzyć trzy przypadki:,,, 6 Jest ich! Ciągi, których wyrazami są liczby ze zbioru Ciągi, których wyrazami są liczby ze zbioru,,, Jest ich! Ciągi, których wyrazami są liczby ze zbioru,, i których dwa wyrazy są dwójkami Jest ich Otrzymujemy zatem 60 ciągów Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe 60 6 08 Schemat oceniania Zasadnicze trudności tego zadania polegają na zauważeniu trzech różnych sposobów otrzymania iloczynu równego 60 oraz zliczeniu, w każdym przypadku, liczby różnych czterowyrazowych ciągów Za każdy rozpatrzony przypadek wraz z obliczoną poprawnie liczbę ciągów zdający otrzymuje punkt Czwarty punkt przyznamy zdającemu, który zapisze, że prawdopodobieństwo opisanego A w treści zadania zdarzenia jest równe, gdzie A oznacza obliczoną przez zdającego 6 liczbę ciągów Zadanie (0 ) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f x log x p y 0 - - - - - x - - a) Podaj wartość p b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem y f x c) Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f x m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach

Egzamin maturalny z matematyki Obszar standardów Opis wymagań Użycie i tworzenie strategii Sporządzanie wykresu funkcji y f x na podstawie danego wykresu funkcji logarytmicznej y f x; badanie liczby rozwiązań równania z parametrem (IVad i aer) Rozwiązanie a) Odczytujemy z wykresu, że p Możemy również zauważyć, że log p Z definicji logarytmu mamy p f 0 Stąd otrzymujemy Stąd p b) Wykres funkcji określonej wzorem y f x uzyskamy z wykresu funkcji f W tym celu wystarczy tę część wykresu funkcji f, która leży pod osią Ox, odbić symetrycznie względem tej osi, a pozostałą część wykresu pozostawić bez zmian W rezultacie otrzymujemy wykres y - - - - 0 - x - - c) Z wykresu odczytujemy, że równanie f x m ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków dla m Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze, że p y f x narysuje wykres funkcji o wzorze poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f x m ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków Uwaga Jeżeli zdający ustala wartości parametru m na podstawie błędnie narysowanego wykresu funkcji y f x, to nie otrzymuje punktu za wyznaczenie tych wartości

Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze, że p i narysuje wykres funkcji o wzorze wartości parametru m, dla których równanie przeciwnych znaków nie poda wartości p, narysuje wykres funkcji o wzorze y f x wartości parametru m, dla których równanie przeciwnych znaków zapisze, że p, nie narysuje wykresu funkcji o wzorze wartości parametru m, dla których równanie przeciwnych znaków y f x i nie poda wszystkich f x m ma dwa rozwiązania i poda wszystkie f x m ma dwa rozwiązania y f x i poda wszystkie f x m ma dwa rozwiązania Rozwiązanie pełne pkt poda wartość p, narysuje wykres funkcji o wzorze y f x i poda wszystkie wartości parametru m, dla których równanie znaków: m f x m ma dwa rozwiązania przeciwnych