Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia. Arytmetyka elementarna jest teori a I rzȩdu zdefiniowan a aksjomatycznie w jȩzyku z jedn a pierwotn a sta l a indywidualn a 0 reprezentuj ac a liczbȩ zero oraz jednym pierwotnym 1-argumentowym symbolem funkcyjnym s, reprezentuj acym tzw. operacjȩ nastȩpnika (której wartości a na danej liczbie naturalnej jest liczba nastȩpna po niej tzn. o jeden wiȩksza, zwana w laśnie nastȩpnikiem danej liczby). Aksjomaty: (AN1) x(s(x) 0), Liczba zero nie jest nastȩpnikiem żadnej liczby naturalnej. (AN2) x y(s(x) = s(y) x = y), Dowolne dwie liczby naturalne s a identyczne, jeśli ich nastȩpniki s a identyczne. (Aksjomat indukcji) [ψ(0) x(ψ(x) ψ(s(x)))] x(ψ(x)), gdzie ψ(x) jest formu l a jȩzyka, w której x jest przynajmniej jedn a zmienn a woln a, zaś ψ(0) oraz ψ(s(x)) s a formu lami uzyskanymi z ψ(x) przez zast apienie każdego wolnego wystȩpowania zmiennej x w ψ(x) odpowiednio termami: 0 oraz s(x). Każda liczba naturalna x spe lnia formu lȩ ψ(x), o ile liczba 0 j a spe lnia oraz jest tak, że nastȩpnik dowolnej liczby spe lnia ψ(x) ilekroć ta liczba j a spe lnia. Aksjomat indukcji, podobnie jak niektóre aksjomaty teorii ZFC czy też pewnik Cantora, jest schematem dla aksjomatów, z którego uzyskujemy w laści wy aksjomat (formu lȩ jȩzyka) wstawiaj ac w miejsce ψ(x) konkretn a formu lȩ jȩzyka teorii. Praktycznie wyprowadzamy przy użyciu aksjomatu indukcji wszystkie twierdzenia arytmetyki elementarnej o postaci: x(ψ(x)), a wiȩc stwierdzaj ace przys- luḡiwanie pewnych w lasności wszystkim liczbom naturalnym. Mówimy wówczas, że dowody takich twierdzeń s a indukcyjne. Aby dowieść indukcyjnie twierdzenie postaci x(ψ(x)), wykazujemy prawdzi wość poprzednika w aksjomacie indukcji dla tej konkretnej postaci formu ly ψ(x). Twierdzenie x(ψ(x)) otrzymujemy jako nastȩpnik w tym aksjomacie. Ponieważ ów poprzednik jest koniunkcj a, pokazujemy wiȩc każdy z jej cz lonów: (1) ψ(0) (tzw. zerowy krok indukcyjny), (2) x(ψ(x) ψ(s(x)).
1. Arytmetyka elementarna 76 Aby dowieść (2) wybieramy dowolne x oraz zak ladamy, że ψ(x) (tzw. za lożenie indukcyjne). Nastȩpnie d ażymy do wykazania: ψ(s(x)) (tzw. teza indukcyjna). Wyprowadzimy, przy użyciu aksjomatu indukcji, dwa twierdzenia. Pierwsze mówi, że nastȩpnik dowolnej liczby naturalnej jest od niej różny. Drugie, że jakakolwiek liczba naturalna różna od zera jest nastȩpnikiem jakiejś liczby. tw. 1: x(s(x) x). Dowód: Jako ψ(x) k ladziemy w aksjomacie indukcji formu lȩ: s(x) x. Zastosowanie tego aksjomatu w tym dowodzie bȩdzie możliwe po wykazaniu prawdziwości dwóch wyrażeń, których koniunkcja jest poprzednikiem aksjomatu indukcji zapisanego dla owej konkretnej formu ly ψ(x). Dowodzimy zatem: (1) s(0) 0 (zerowy krok indukcyjny) oraz (2) x(s(x) x s(s(x)) s(x)). Naturalnie (1) jest bezpośrednim wnioskiem z (AN1). Aby wykazać (2), za lóżmy, że s(x) x (za lożenie indukcyjne) dla dowolnie wybranego x. Musimy wykazać tezȩ indukcyjn a postaci s(s(x)) s(x). Za lóżmy nie wprost, że s(s(x)) = s(x). Wówczas na mocy (AN2), s(x) = x. Sprzeczność z za lożeniem indukcyjnym. tw. 2: x(x = 0 y(x = s(y))). Dowód: Krok zerowy: 0 = 0 y(0 = s(y)), jest oczywiście spe lniony. Za lożenie indukcyjne: x = 0 y(x = s(y)), dla dowolnie wybranego, ustalonego x. Dowodzimy tezy indukcyjnej postaci: s(x) = 0 y(s(x) = s(y)). Niech za lożenie indukcyjne bȩdzie prawdziwe w ten sposób, że x = 0. Wówczas s(x) = s(0), wiȩc y(s(x) = s(y)). Zatem s(x) = 0 y(s(x) = s(y)). Niech za lożenie indukcyjne bȩdzie prawdziwe w ten sposób, że y(x = s(y)). Wówczas dla pewnego a, x = s(a) i konsekwentnie s(x) = s(s(a)), st ad y(s(x) = s(y)), a wiȩc s(x) = 0 y(s(x) = s(y)). W ogólności dla dowolnego zbioru formu l domkniȩtych A danego jȩzyka I rzȩdu L, każd a interpretacjȩ dla tego jȩzyka, w której wszystkie formu ly z A s a prawdziwe, nazywamy modelem dla zbioru formu l A. Latwo stwierdzić (porównaj dalej tw.5, 3), że dowolny model dla zbioru aksjomatów danej teorii jest modelem dla tej teorii. Teoria, której zbiorem aksjomatów jest A, jest bowiem zbiorem wszystkich zdań (formu l domkniȩtych) jȩzyka, które wynikaj a ze zbioru A, tzn. s a prawdziwe w każdej interpretacji, w której prawdziwe s a wszystkie zdania ze zbioru A. Nietrudno zauważyć, że wszystkie obiekty nazywane termami: 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),... (traktowane jako różne od siebie) i tylko one s a elementami dziedziny modelu dla arytmetyki elementarnej. W dziedzinie tej wystȩpuje obiekt 0, który nie jest wartości a operacji s na żadnym innym obiekcie prawdzi-
2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 77 wy jest wiȩc w tejże dziedzinie aksjomat AN1 oraz każdy z obiektów różnych od 0 jest wartości a iluśkrotnego z lożenia operacji s na obiekcie 0, przy czym różnokrotne z lożenia operacji s na 0 daj a różne obiekty. St ad wynika prawdziwość aksjomatu AN2. Aby lepiej zdać sobie z tego sprawȩ, rozpatrzmy obiekty dziedziny w kolejności, w jakiej zosta ly wyżej zapisane, tzn. w kolejności wzrastania krotności z lożenia operacji s (obiekt s(x) wystȩpuje bezpośrednio za obiektem x). Gdy dwa obiekty x, y s a różne od siebie, to jeden z nich, powiedzmy x, wystȩpuje w owej sekwencji na prawo od drugiego y (tzn. jest on wartości a z lożenia s o wiȩkszej krotności, niż krotność z lożenia, której wartości a jest obiekt y, w szczególności y może w ogóle nie być wartości a owego z lożenia, tzn. może być 0). Ponieważ s(x), s(y) wystȩpuj a w sekwencji bezpośrednio na prawo od odpowiednio x oraz y, wiȩc obiekt s(x) jest równie odleg ly na prawo od s(y), jak x jest odleg ly od y. W konsekwencji s(x) s(y). Pozostaje wykazanie prawdziwości aksjomatu indukcji. Niech wiȩc ψ(x) bȩdzie formu l a jȩzyka arytmetyki elementarnej. Za lóżmy, że w rozważanej dziedzinie prawdziwy jest poprzednik aksjomatu indukcji dla tejże ψ(x). Oznacza to, że obiekt 0 spe lnia formu lȩ ψ(x) oraz prawd a jest, że jakikolwiek obiekt dziedziny spe lnia ψ(x), o ile obiekt bezpośrednio go poprzedzaj acy w powyższej sekwencji spe lnia tȩ formu lȩ. Zastosujmy ostatni a obserwacjȩ kolejno do każdego obiektu z sekwencji. Skoro 0 spe lnia ψ(x), a bezpośrednio poprzedza obiekt s(0), wiȩc s(0) spe lnia ψ(x); skoro s(0) spe lnia ψ(x), a bezpośrednio poprzedza s(s(0)), wiȩc s(s(0)) spe lnia ψ(x), skoro... itd. Wniosek: każdy z obiektów z sekwencji spe lnia ψ(x). Opisany model arytmetyki elementarnej liczb naturalnych nosi nazwȩ standardowego (w kwestii niestandardowych modeli zob. np. [9]). Stosowane zwyczajowo nazewnictwo obiektów z dziedziny standardowego modelu ma oczywiście postać: 1 = def s(0), 2 = def s(s(0)), 3 = def s(s(s(0))), itd. 2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem jest teori a I rzȩdu określon a aksjomatycznie na jȩzyku arytmetyki elementarnej rozszerzonym o 2-argumentowy symbol funkcyjny +, interpretowany w modelu standardowym arytmetyki elementarnej jako operacja zwyk lego dodawania. Oprócz aksjomatów arytmetyki elementarnej (AN1), (AN2), (Aksjomat indukcji) wystȩpuj a tu dwa aksjomaty, nadaj ace znaczenie symbolowi + : (AN3) y(0 + y = y), (AN4) x y(s(x) + y = s(x + y)). Aksjomaty te określaj a wartość operacji dodawania na dowolnych liczbach naturalnych (tzn. obiektach modelu standardowego) w sposób nastȩpuj acy: w myśl tw.2, 1, każda liczba naturalna jest b adź liczb a 0, b adź nastȩpnikiem jakiejś liczby naturalnej; (AN3) ustala wartość operacji dodawania dla ci agu
2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 78 (0, y), gdzie y jest dowoln a liczb a naturaln a, zaś (AN4) określa wartość tej operacji w pozosta lych przypadkach, a wiȩc wówczas, gdy pierwszym argumentem operacji dodawania jest jakakolwiek liczna naturalna różna od 0 (liczba s(x)) oraz drugim dowolna liczba naturalna y. Aby w myśl (AN4) obliczyć wartość operacji dodawania na ci agu (s(x), y), trzeba wcześniej znać wartość tej operacji na ci agu (x, y). Aby j a z kolei obliczyć, bierzemy pod uwagȩ (AN3), gdy x = 0, co zakończy obliczenie, albo znowu (AN4), gdy x 0, a wiȩc x = s(z) dla pewnej liczby naturalnej z. Wówczas jednak należy znać wartość operacji dodawania na ci agu (z, y), a wiȩc znowu korzystamy z (AN3), gdy z = 0 (obliczenie skończone), b adź z (AN4), gdy z 0 itd. aż do chwili, gdy pierwszy argument operacji bȩdzie liczb a 0, zatem do obliczeń zastosujemy (AN3). Przyk ladowo: 2 + 3 = wg def s(s(0)) + s(s(s(0))) = wg (AN4) s(s(0) + s(s(s(0)))) = wg (AN4) s(s(0 + s(s(s(0))))) = wg (AN3) s(s(s(s(s(0))))) = wg def 5. Naturalnie wszystkie twierdzenia arytmetyki elementarnej s a twierdzeniami arytmetyki z dodawaniem, choć nie na odwrót. Arytmetyka z dodawaniem jest bogatsz a teori a, zaś dowodzenie jej twierdzeń opisuj acych operacjȩ dodawania jest trudniejsze niż dowodzenie twierdzeń w arytmetyce elementarnej. Przyk ladowo wykażemy, że dodawanie jest operacj a przemienn a: tw. 3: x y(x + y = y + x). Dowód: Po lóżmy φ(x) := y(x+y = y +x). Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem aksjomatu indukcji, którego poprzednik ma postać: (1) y(0 + y = y + 0) x[ y(x + y = y + x) y(s(x) + y = y + s(x))]. Aby wykazać (1) najpierw indukcyjnie dowodzimy (2) y(0 + y = y + 0), tzn. φ(0). Po lóżmy wiȩc ψ(y) := 0 + y = y + 0. Wówczas (2) jest nastȩpnikiem aksjomatu indukcji, którego poprzednikiem jest (3) 0 + 0 = 0 + 0 y(0 + y = y + 0 0 + s(y) = s(y) + 0). Naturalnie pierwszy cz lon koniunkcji (3) (formu la ψ(0)) jest spe lniony. Aby wykazać prawdziwość drugiego cz lonu, tzn. formu ly: y(ψ(y) ψ(s(y))), weźmy dowoln a liczbȩ y i za lóżmy, że 0 + y = y + 0. Na mocy (AN3) mamy wówczas: y = y+0, zatem s(y) = s(y+0). St ad na mocy (AN4), s(y) = s(y)+0. Lecz z drugiej strony, na podstawie (AN3), 0 + s(y) = s(y), zatem 0 + s(y) = s(y) + 0. W ten sposób wykazaliśmy (3), a wiȩc w konsekwencji również (2), czyli wykonaliśmy zerowy krok indukcyjny w dowodzie twierdzenia. Aby dowieść drugiego cz lonu koniunkcji (1), tzn. formu ly: x(φ(x) φ(s(x))), rozważmy dowoln a ustalon a liczbȩ x oraz za lóżmy (4) y(x + y = y + x). Aby wykazać (5) y(s(x) + y = y + s(x)), po lóżmy χ(y) := s(x)+y = y+s(x). Dowód (5) bȩdzie wiȩc indukcyjny. Musimy wykazać (6) s(x) + 0 = 0 + s(x) (tzn. χ(0)) oraz
2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 79 (7) y(s(x) + y = y + s(x) s(x) + s(y) = s(y) + s(x)) (tzn. y(χ(y) χ(s(y)))). Formu la (6) jest oczywistym wnioskiem z (2). Dowodzimy wiȩc formu ly (7). Weźmy dowoln a liczbȩ y i za lóżmy, że (8) s(x) + y = y + s(x). Wówczas s(x)+s(y) = na mocy (AN4) s(x+s(y)) = na mocy (4) s(s(y)+x) = na mocy (AN4) s(s(y + x)) = na mocy (4) s(s(x + y)) = na mocy (AN4) s(s(x) + y) = na mocy (8) s(y + s(x)) = na mocy (AN4) s(y) + s(x). W ten sposób wykazano prawdziwość formu ly (5), wobec czego również formu ly (1), zatem na mocy aksjomatu indukcji dowód twierdzenia jest zakończony. Aksjomat indukcji zazwyczaj wykorzystywany jest dla dowodów indukcyjnych w bardziej popularnej postaci, możliwej do napisania dopiero w jȩzyku arytmetyki z dodawaniem: (ψ(0) x(ψ(x) ψ(x + 1))) x(ψ(x)). Traktujemy powyższe wyrażenie jako twierdzenie, bȩd ace oczywistym wnioskiem z formu ly (Aksjomat indukcji) oraz twierdzenia: tw. 4: x(s(x) = x + s(0)). Dowód: Rozważmy dowoln a liczbȩ x. Wówczas na mocy tw.3 oraz (AN4), (AN3) mamy: x + s(0) = s(0) + x = s(0 + x) = s(x). Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem jest teori a I rzȩdu określon a aksjomatycznie na jȩzyku arytmetyki z dodawaniem rozszerzonym o 2-argumentowy symbol funkcyjny, interpretowany w modelu standardowym jako operacja mnożenia. Aksjomatyka tej teorii z lożona jest z aksjomatów arytmetyki z dodawaniem oraz dwóch kolejnych aksjomatów opisuj acych operacjȩ mnożenia, analogicznie jak aksjomaty (AN3), (AN4) opisuj a dodawanie: (AN5) y(0 y = 0), (AN6) x y(s(x) y = (x y) + y). Przez standardowy model dla arytmetyki z dodawaniem i mnożeniem rozumiemy standardowy model dla arytmetyki elementarnej (opisany w 1), wyposażony w zwyk le operacje dodawania i mnożenia. Istniej a niestandardowe (nieizomorficzne ze standardowym) modele arytmetyki z dodawaniem i mnożeniem (zob. np. [9]), jednakże ich opis wymaga aparatu pojȩciowego teorii modeli, w szczególności tzw. konstrukcji ultraproduktu, co wykracza poza ramy tych elementarnych wyk ladów.
3. Pewne metalogiczne w lasności arytmetyk liczb naturalnych 80 3. Pewne metalogiczne w lasności arytmetyk liczb naturalnych Arytmetyka elementarna oraz arytmetyka z dodawaniem różni a siȩ od arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem bardzo ważn a w lasności a metalogiczn a: te dwie pierwsze teorie s a zupe lne, podczas gdy arytmetyka z dodawaniem i mnożeniem jest teori a niezupe ln a. Aby wyjaśnić pojȩcie zupe lności teorii I rzȩdu, wprowadzimy teraz kilka prostych pojȩć z teorii modeli oraz podamy pewne elementarne fakty z tej teorii. Niech bȩdzie dany jakiś jȩzyk L pierwszego rzȩdu, w postaci ustalonej listy predykatów, symboli funkcyjnych oraz sta lych indywidualnych. Dla dowolnego zbioru zdań A (formu l domkniȩtych) jȩzyka L oznaczmy symbolem Th(A) teoriȩ I rzȩdu aksjomatyzowan a przez zbiór A, tzn. Th(A) jest zbiorem wszystkich zdań α jȩzyka L, które wynikaj a ze zbioru A, czyli α Th(A) wtw dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, α jest prawdziwe w M, o ile każde zdanie β ze zbioru A jest prawdziwe w M. Ponadto, dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, niech Ver(M) oznacza zbiór wszystkich zdań jȩzyka L, które s a prawdziwe w M. Wed lug powyższej notacji mamy oczywisty zwi azek: dla dowolnego zdania α, α Th(A) wtw dla dowolnej interpretacji M, jeśli A Ver(M), to α Ver(M). St ad uzasadnione jest twierdzenie: tw. 5: Dla dowolnej interpretacji M oraz zbioru zdań A jȩzyka L, jeżeli A Ver(M), to Th(A) Ver(M). (Jeżeli aksjomaty teorii s a prawdziwe w danej interpretacji, to każde twierdzenie tej teorii jest prawdziwe w tejże interpretacji; innymi s lowy, dowolny model dla aksjomatów teorii jest modelem dla tej teorii.) Rozważmy przypadek: A = Ver(M) dla ustalonej interpretacji M jȩzyka L. Na mocy tw.5 mamy natychmiast: Th(Ver(M)) Ver(M). Z drugiej strony, z definicji teorii Th(B) aksjomatyzowanej przez zbiór zdań B, B Th(B), zatem można sformu lować twierdzenie: tw. 6: Dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, Th(Ver(M)) = Ver(M). Zbiór wszystkich zdań prawdziwych w danej interpretacji jest wiȩc teori a (opisuj aca strukturȩ relacyjno-algebraiczn a tej interpretacji). Można rozważać teorie nie tylko pojedynczych struktur relacyjno-algebraicznych, lecz ich klas. Niech K bȩdzie dowoln a klas a (mnogości a) interpretacji dla jȩzyka L. Oznaczmy symbolem Ver(K) zbiór wszystkich zdań jȩzyka L prawdziwych w każdej interpretacji M K, tzn. Ver(K) = {Ver(M) : M K}. Wówczas mamy: tw. 7: Dla dowolnej klasy interpretacji K dla jȩzyka L, Th(Ver(K)) = Ver(K).
3. Pewne metalogiczne w lasności arytmetyk liczb naturalnych 81 Dowód: Wystarczy wykazać inkluzjȩ Th(Ver(K)) Ver(K). Niech wiȩc α Th(Ver(K)), czyli (1) M(Ver(K) Ver(M) α Ver(M)). Aby wykazać, że α Ver(K) rozważmy dowoln a interpretacjȩ M K. Wówczas oczywiście Ver(K) Ver(M), zatem na mocy (1), α Ver(M) i ostatecznie, wobec dowolności wyboru interpretacji M z klasy K, otrzymujemy: α Ver(K). Definicja: Teoriȩ Th(A) nazywamy zupe ln a, gdy dla dowolnego zdania α jȩzyka L, α Th(A) lub α Th(A). tw. 8: Dla dowolnej interpretacji M jȩzyka L, teoria Ver(M) jest zupe lna. Dowód: Za lóżmy nie wprost, że dla pewnej interpretacji M, Ver(M) nie jest zupe lna. Wówczas dla pewnego zdania α, α Ver(M) oraz α Ver(M). Na podstawie warunku prawdziwości dla spójnika negacji : α Ver(M) wtw α Ver(M), otrzymujemy sprzeczność. W ogólności teoria klasy struktur Ver(K) nie musi być zupe lna. Argument zastosowany w dowodzie tw.8 oczywiście nie pracuje dla teorii Ver(K). Banalnym przyk ladem jest tu teoria Ver(K 0 ), gdzie K 0 jest klas a wszystkich interpretacji dla jȩzyka L. Oczywiście Ver(K 0 ) jest zbiorem wszystkich zdań tautologicznych w jȩzyku L, zaś w jakimkolwiek jȩzyku I rzȩdu wystȩpuj a takie zdania, że ani one, ani ich negacje nie s a tautologiami w tym jȩzyku, zatem Ver(K 0 ) nie jest teori a zupe ln a. Przyk ladem teorii niezupe lnej (tzn. nie bȩd acej zupe ln a) jest teoria ZFC. Oto na przyk lad tzw. hipoteza continuum (zob. 4, Rozdzia l 11) jest takim zdaniem w jȩzyku ZFC, że ani ono ani jego negacja nie należ a ZFC. Dowodzi siȩ bowiem po pierwsze, że hipoteza continuum jest niezależna wzglȩdem aksjomatów ZFC (tzn. z nich nie wynika) oraz po drugie, że dodanie jej do aksjomatów ZFC daje teoriȩ niesprzeczn a, tzn. Th(Ax), gdzie Ax jest zbiorem aksjomatów ZFC wraz z hipotez a continuum, jest teori a niesprzeczn a. St ad hipoteza continuum nie należy do ZFC, skoro nie wynika z aksjomatów ZFC, oraz negacja hipotezy continuum nie jest twierdzeniem teorii ZFC, gdyby bowiem by la, to by laby również twierdzeniem teorii Th(Ax), skoro ZFC Th(Ax); wówczas jednak Th(Ax) by laby sprzeczna. tw. 9: Dla dowolnego zbioru zdań A jȩzyka L oraz interpretacji M dla L takich, że A Ver(M), teoria Th(A) jest zupe lna wtw Th(A) = Ver(M). (Jeżeli M jest modelem dla aksjomatów jakiejś teorii, to teoria ta jest zupe lna dok ladnie wtedy, gdy jest teori a struktury z M.) Dowód: Za lóżmy, że (1) A Ver(M). ( ): Niech (2) Th(A) jest zupe lna,
4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC 82 oraz za lóżmy nie wprost, że (3) Th(A) Ver(M). Wówczas z (1) na mocy tw.5 mamy: (4) Th(A) Ver(M), zatem na podstawie (3) stwierdzamy, iż nie jest tak, że Ver(M) Th(A). Niech wiȩc α bȩdzie takim zdaniem, że (5) α Ver(M) oraz (6) α Th(A). Wtedy z (2) i (6) otrzymujemy: α Th(A), co wraz z (4) implikuje: α Ver(M), a to z kolei oznacza, iż α Ver(M). Sprzeczność z (5). ( ): na mocy tw.8. Dowodzi siȩ (stosuj ac metodȩ tzw. skolemizacji zdań, zob np. [9]), że arytmetyka z dodawaniem i mnożeniem nie jest teori a zupe ln a. Na mocy tw.9 oznacza to, iż arytmetyka ta jest zbiorem twierdzeń różnym od zbioru wszystkich zdań prawdziwych w jej standardowym modelu. Zatem, skoro na mocy tw.5, wszystkie jej twierdzenia s a prawdziwe w standardowym modelu, istnieć wiȩc musz a takie zdania, które prawdziwe s a w standardowym modelu i które twierdzeniami arytmetyki nie s a, tzn. nie wynikaj a z jej aksjomatów. Innymi s lowy, istnieć musi taki model (niestandardowy) arytmetyki z dodawaniem i mnożeniem, w którym pewne, w standardowym modelu prawdziwe zdanie, jest fa lszywe. Tymczasem okazuje siȩ, że arytmetyka elementarna, jak również arytmetyka z dodawaniem, s a teoriami zupe lnymi. Na mocy tw.9, obie te teorie s a wiȩc odpowiednio zbiorami wszystkich zdań prawdziwych w swoich modelach standardowych. 4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC G lównym celem niniejszego rozdzia lu jest interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC. Polega ona na wykazaniu, że każde twierdzenie arytmetyki elementarnej jest twierdzeniem teorii mnogości ZFC, o ile wcześniej, po pierwsze, ustalono do jakich zbiorów (opisywanych w ZFC) odnosz a siȩ kwantyfikatory w jȩzyku arytmetyki, czyli jakie zbiory maj a być postrzegane jako liczby naturalne, oraz po drugie, zinterpretowano w ZFC pierwotne pojȩcia arytmetyki elementarnej: liczbȩ zero oraz nastȩpnik, tzn. określono jaki wyróżniony zbiór (wśród zbiorów określonych jako liczby naturalne) odpowiada sta lej 0 oraz jaka operacja na zbiorach (określonych jako liczby naturalne) odpowiada symbolowi funkcyjnemu s. Naturalnie, aby wykazać, że każde twierdzenie arytmetyki elementarnej jest twierdzeniem teorii ZFC, wystarczy wykazać, że każdy aksjomat arytmetyki (po zinterpretowaniu) jest twierdzeniem ZFC. Na pocz atek zdefiniujmy jednoargumentow a operacjȩ S zwan a operacj a nastȩpnika, określon a dla wszystkich zbiorów:
4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC 83 Definicja. Dla dowolnego zbioru x, S(x) = x {x}. To znaczy, y(y S(x) (y x y = x)). Nastȩpnik S(x) zbioru x jest wiȩc takim zbiorem, że jednocześnie x S(x) oraz x S(x). Twierdzenie 1: Dla dowolnego zbioru x, S(x) jest najmniejszym zbiorem (wzglȩdem inkluzji) wśród wszystkich zbiorów y takich, że x y oraz x y. Dowód: Za lóżmy, że x y oraz x y. Wówczas {x} y, zatem x {x} y, czyli S(x) y. Zauważmy ponadto, że dla dowolnego zbioru x nie istnieje taki zbiór y, że x y oraz y S(x). Gdyby bowiem taki y istnia l, to by loby: y x lub y = x, lecz oba cz lony tej alternatywy s a zabronione, na mocy Wniosków z odpowiednio Tw.10, Rozdzia l 2 i Tw.9, Rozdzia l 2. Kolejne dwa twierdzenia charakteryzuj ace operacjȩ S, wskazuj a na możliwość jej wykorzystania jako interpretacji symbolu funkcyjnego s z jȩzyka arytmetyki: Twierdzenie 2: x(s(x) ). Dowód: Oczywisty na mocy definicji operacji nastȩpnika. Twierdzenie 3: x y(s(x) = S(y) x = y). Dowód: Za lóżmy, że S(x) = S(y). Ponieważ wed lug Wniosku z Tw.10, Rozdzia l 2, wykluczona jest koniunkcja x y y x, wiȩc prawdziwa jest alternatywa x y y x. Za lóżmy, że x y. Ponieważ x S(x), wiȩc z za lożenia dowodu uzyskujemy: x S(y), zatem x y x = y, sk ad x = y. Analogicznie postȩpujemy przy za lożeniu, że y x. Jak widać, Tw.2 jest interpretacj a aksjomatu (AN1), o ile zbiór pusty uznamy za interpretacjȩ sta lej 0. Naturalnie Tw.3 jest interpretacj a aksjomatu (AN2) arytmetyki elementarnej. Na uwagȩ zas luguje fakt, że kwantyfikatory pojawiaj ace siȩ w tych dwóch twierdzeniach odnosz a siȩ do wszelkich zbiorów, zatem również do tych, które później określimy jako liczby naturalne. Ograniczenie kwantyfikacji przy interpretacji aksjomatów arytmetyki w ZFC do specjalnej klasy zbiorów, okazuje siȩ konieczne. Nie oczekujmy bowiem, że interpretacja aksjomatu indukcji, w której kwantyfikatory odnosz a siȩ do wszelkich zbiorów oraz interpretacjami 0 i s s a odpowiednio, S nawet przy jakimś rozs adnym ograniczeniu klasy formu l ψ(x), teraz bȩd acych formu lami jȩzyka ZFC okaże siȩ twierdzeniem teorii ZFC. Gdyby tak by lo, to każde twierdzenie arytmetyki elementarnej, wed lug tejże interpretacji (której dziedzin a jest klasa wszystkich zbiorów), by loby twierdzeniem ZFC. Tak jednakże nie jest. Rozważmy na przyk lad tw.2 ( 1), po zinterpretowaniu w postaci: x(x = y(x = S(y))). Bynajmniej nie jest to twierdzenie teorii mnogości. Weźmy
4. Operacja nastȩpnika w teorii ZFC 84 bowiem pod uwagȩ zbiór {{ }}. Wówczas prawd a jest, że {{ }} y({{ }} = S(y)). Gdyby bowiem dla pewnego zbioru y : {{ }} = S(y), to mielibyśmy: y {{ }}, zatem y = { }; lecz wówczas S(y) = y {y} = { } {{ }} = {, { }} i ostatecznie {{ }} = {, { }}, co jest absurdalne. To, że kluczow a rolȩ w interpretacji arytmetyki elementarnej odgrywa aksjomat indukcji jest widoczne na podstawie faktu, iż same Twierdzenia 2 oraz 3 nie s a wystarczaj ace do uznania, że jedyn a możliw a interpretacj a symbolu s z jȩzyka arytmetyki jest operacja nastȩpnika S. Gdyby na przyk lad interpretować ów symbol jako operacjȩ zbioru potȩgowego P (oraz 0 jako zbiór ), z aksjomatów (AN1), (AN2) otrzymujemy twierdzenia teorii ZFC: x(p (x) ) (Wniosek z Tw.7, Rozdzia l 1), x y(p (x) = P (y) x = y) (na mocy Twierdzeń 1, 8, 2 z Rozdzia lu 1). W nastȩpnym paragrafie dokonamy interpretacji aksjomatu indukcji, w której symbol s reprezentuje operacjȩ S, uzyskuj ac z tego aksjomatu twierdzenie ZFC. Obecnie skupimy uwagȩ na innych w lasnościach operacji nastȩpnika, choć nie wykorzystywanych przy interpretowaniu arytmetyki elementarnej w ZFC, to jednak użytecznych później, w teorii liczb porz adkowych von Neumanna (Rozdzia ly 8 i 9). Okazuje siȩ, że w tej teorii operacja sumy pe lni równie ważn a funkcjȩ, w szczególności zachowuje siȩ dla niektórych zbiorów w pewnym sensie dualnie do operacji nastȩpnika. Podamy wiȩc obecnie pewne zwi azki miȩdzy tymi dwiema operacjami. Twierdzenie 4: S(x) = x x. Dowód: ( ): Niech y S(x). Zatem y z dla pewnego z x {x}. Niech z x. Wówczas y x. Gdy zaś z = x, to y x. W obu przypadkach y x x. ( ): Za lóżmy, że y x x. Niech y x. Ponieważ x S(x), wiȩc y S(x). Niech y x. Wówczas y z dla pewnego z x. St ad z S(x), zatem y S(x). Twierdzenie 5: x = x wtw x S( x). Dowód: ( ): Za lóżmy, że x = x. Wówczas natychmiast x S( x), bo x S(x). ( ): Za lóżmy, że x S( x). Wówczas x x { x}. Gdyby x x, to x y dla pewnego y x, co jest niemożliwe (Wniosek z Tw.10, Rozdzia l 2). Zatem x { x}, tzn. x = x. Twierdzenie 6: x x wtw S(x) S( x). Dowód: ( ): Za lóżmy, że x x. Wówczas x x = x (Tw.13(3), Rozdzia l 1). Zatem na mocy Tw.4, S(x) = x, a ponieważ x S( x), wiȩc S(x) S( x).
5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 85 ( ): Za lóżmy, że S(x) S( x). Zatem wed lug Tw.4, x x S( x), tzn. x x x lub x x = x. Gdyby x x x, to skoro x x x, wiȩc by loby: x x x x, co jest niemożliwe (Wniosek z Tw.9, Rozdzia l 2). Zatem x x = x, co implikuje: x x. Twierdzenie 7: x x wtw S( x) S(x). Dowód: ( ): Za lóżmy, że x x. Wówczas { x} x, zaś x x x, zatem { x} x x. Oczywiście x x x. Ostatecznie, x { x} x x. St ad, na mocy Tw.4 oraz definicji nastȩpnika, S( x) S(x). ( ): Za lóżmy, że S( x) S(x). Wówczas, ponieważ x S( x), wiȩc x S(x), tzn. (Tw.4) x x x. Zatem x x lub x x. Lecz drugi z cz lonów tej alternatywy jest fa lszywy (Wniosek z Tw.9, Rozdzia l 2). Dlatego x x. Twierdzenie 8: Dla dowolnego zbioru x, jeżeli x = x, to x nie jest nastȩpnikiem żadnego zbioru, tzn. y(x S(y)). Dowód: Za lóżmy, że x = x oraz nie wprost, niech x = S(y) dla pewnego zbioru y. Wówczas x = S(y) = y y na mocy Tw.4. Zatem z za lożenia, x = y y. Lecz z za lożenia nie wprost, x = y {y}, sk ad y x. Wówczas y y y, co jest niemożliwe. Odwrotne twierdzenie w ogólności nie jest prawdziwe. Rozważmy na przyk lad x = {, { }, {{ }}}. Gdyby x = S(y) dla jakiegoś y, to y musia lby być elementem zbioru x. Lecz S( ) = { } = x, S({ }) = {, { }} = x, wreszcie S({{ }}) = {{ }, {{ }}} x. Zatem x nie jest nastȩpnikiem żadnego zbioru y. Natomiast x = {, { }} x. 5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC Dysponuj ac operacj a nastȩpnika jesteśmy w stanie zapisać aksjomat nieskończoności w krótszej postaci: (Ax ) x( x y(y x S(y) x)).
5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 86 Zbiór, którego istnienie ów aksjomat stwierdza, nosi nazwȩ zbioru indukcyjnego: Definicja. Dla dowolnego zbioru x, x jest indukcyjny, gdy x oraz y(y x S(y) x). Zbiór jest wiȩc indukcyjny, gdy jego elementem jest zbiór oraz gdy jest on zamkniȩty na operacjȩ nastȩpnika. W ten sposób uzyskujemy najprostsz a postać aksjomatu nieskończoności: (Ax ) x(x jest indukcyjny). Pojȩcie zbioru indukcyjnego umożliwia wyodrȩbnienie spośród zbiorów tych, których mnogość stanowić bȩdzie dziedzinȩ modelu dla aksjomatów arytmetyki elementarnej. Zbiory te nazwiemy wiȩc liczbami naturalnymi. W laśnie do tych zbiorów ograniczymy kwantyfikacjȩ interpretuj ac aksjomaty arytmetyki elementarnej. Definicja. Dla dowolnego zbioru x, x jest liczb a naturaln a, gdy y(y jest indukcyjny x y) (zbiór jest liczb a naturaln a, gdy jest elementem każdego zbioru indukcyjnego). Bezpośrednio z definicji liczby naturalnej oraz zbioru indukcyjnego otrzymujemy: Twierdzenie 9: Zbiór jest liczb a naturaln a. Mnogość liczb naturalnych jest zamkniȩta na operacjȩ nastȩpnika: Twierdzenie 10: x(x jest liczb a naturaln a S(x) jest liczb a naturaln a). Dowód: Za lóżmy, że zbiór x jest liczb a naturaln a, tzn. y(y jest indukcyjny x y). Aby wykazać, że S(x) jest liczb a naturaln a rozważmy dowolny zbiór indukcyjny y. Wówczas z za lożenia, x y. Zatem z definicji zbioru indukcyjnego mamy: S(x) y, co wobec dowolności wyboru zbioru y dowodzi, że S(x) jest liczb a naturaln a. Wykażemy teraz, że owa mnogość liczb naturalnych jest po prostu zbiorem (tzn. obiektem, którego istnienie jest dowodliwe w ZFC). W tym celu rozważmy w aksjomacie podzbiorów formu lȩ φ(x) postaci: x jest liczb a naturaln a. Oznaczmy symbolem A jakikolwiek ze zbiorów, których istnienie stwierdza aksjomat nieskończoności, uzyskuj ac prawdziwe zdanie: A jest indukcyjny. Wówczas natychmiast z definicji liczby naturalnej otrzymujemy prawdziwy poprzednik implikacji (AxZ) φ, x(x jest liczb a naturaln a x A), zatem również prawdziwy nastȩpnik w aksjomacie podzbiorów,
5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 87 y x(x y x jest liczb a naturaln a), co w konsekwencji prowadzi do definicji zbioru liczb naturalnych N: Definicja. naturaln a}. x(x N x jest liczb a naturaln a) lub N = {x : x jest liczb a Jako bezpośredni wniosek z Tw.9 oraz Tw.10 uzyskujemy: Twierdzenie 11: N jest indukcyjny. Dziȩki Tw.11, symbole funkcyjne 0, s wystȩpuj ace w aksjomatach arytmetyki elementarnej możemy interpretować jako odpowiednio, zbiór oraz operacja nastȩpnika S (skoro N oraz zbiór N jest zamkniȩty na tȩ operacjȩ). Jest oczywiste, że na podstawie Tw.2 oraz Tw.3 mamy: x N (S(x) ), oraz x, y N (S(x) = S(y) x = y), czyli dwa pierwsze aksjomaty arytmetyki elementarnej s a prawdziwe w dziedzinie N (s a one przecież prawdziwe w dziedzinie wszystkich zbiorów). Aby wykazać, że aksjomat indukcji jest również prawdziwy w dziedzinie N dowiedźmy najpierw, że zbiór liczb naturalnych jest najmniejszym (wzglȩdem inkluzji) zbiorem indukcyjnym. Twierdzenie 12: x(x jest indukcyjny N x). Dowód: Za lóżmy, że x jest indukcyjny. Niech y N. Skoro wiȩc y jest liczb a naturaln a, to y x, co dowodzi inkluzji: N x. Interpretacja aksjomatu indukcji ma postać: Twierdzenie 13: Dla dowolnej formu ly ψ(x) jȩzyka teorii ZFC, [ψ( ) x N(ψ(x) ψ(s(x)))] x N(ψ(x)). Dowód: Za lóżmy, że (1) ψ( ) oraz (2) x N(ψ(x) ψ(s(x))). Wstawmy w aksjomacie podzbiorów (AxZ) φ jako φ(x) formu lȩ x N ψ(x) uzyskuj ac poprzednik tego aksjomatu w postaci: x((x N ψ(x)) x N). Oderwijmy wiȩc nastȩpnik: y x(x y (x N ψ(x))). St ad dla pewnego zbioru B, (3) x(x B (x N ψ(x))). Wykażmy, że B jest zbiorem indukcyjnym. Ponieważ N, wiȩc na mocy (1) i (3), B. Za lóżmy, że y B. Wówczas z (3), y N oraz ψ(y). Zatem
5. Interpretacja arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 88 z za lożenia (2), ψ(s(y)). Ponadto, skoro y N, wiȩc S(y) N (Tw.10). Ostatecznie z (3), S(y) B, czyli B jest indukcyjny. Zatem na podstawie Tw.12 otrzymujemy: (4) N B. Aby wiȩc dowieść, że x N(ψ(x)) rozważmy dowolny x N. Wówczas x B na mocy (4) czyli, bior ac pod uwagȩ (3), zachodzi ψ(x). Warto podkreślić, że w interpretacji aksjomatu indukcji jak a jest Tw.13, nie ma żadnych ograniczeń dla formu l ψ(x). Zastosujmy Tw.13 w przypadku, gdy formu la ψ(x) nie ma swojego odpowiednika w jȩzyku arytmetyki elementarnej: Twierdzenie 14: Każdy element dowolnej liczby naturalnej jest liczb a naturaln a, tzn. x N y(y x y N). Dowód: Po lóżmy ψ(x) := y(y x y N). Wówczas dowodzone twierdzenie jest nastȩpnikiem implikacji Tw.13 (aksjomatu indukcji). Udowodnijmy wiȩc poprzednik. Formu la ψ( ), a wiȩc formu la postaci: y(y y N) jest naturalnie prawdziwa. Weźmy dowolne x N oraz przyjmijmy za lożenie indukcyjne, że ψ(x), tzn. y(y x y N). W celu wykazania, że prawd a jest ψ(s(x)), tzn. formu la postaci: y(y S(x) y N), weźmy dowolny y i za lóżmy, że y S(x). Wówczas y x lub y = x. Gdy y x, to z za lożenia indukcyjnego mamy: y N, gdy zaś y = x, to oczywiście y N (bo x N).