LOGIKA Dedukcja Naturalna

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "LOGIKA Dedukcja Naturalna"

Transkrypt

1 LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

2 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego wprost Przykład dowodów założeniowego niewprost Najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego 2 Definicja założeniowego dowodu wprost 3 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Przykład założeniowego dowodu 4 Definicja założeniowego dowodu niewprost Sprzeczność syntaktyczna Przykłady założeniowego dowodu niewprost Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

3 PLAN WYKŁADU 5 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła opuszczania podwójnej negacji Roszerzona reguła opuszczania alternatywy Reguła modus tollendo tollens Reguła negowania alternatywy Reguła dołączania implikacji do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń Reguła rozgałęzionego dowodu wprost Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost 6 Pojęcie tezy 7 Metoda zerojedynkowa vs. dowód 8 Udowodnij! 9 Źródła Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

4 Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego wprost Przykład dowodu założeniowego wprost Każda liczba podzielna przez 231 jest podzielna przez Weźmy dowolną liczbę n i załóżmy, że 231 n. 2 Z założenia, że 231 n i 3 231, bo jest podzielna przez , bo = 28 jest podzielna przez , bo różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach (licząc od prawej strony!) i sumą cyfr stojących na parzystych miejscach równa się 0 wynika, że: 3 n i 7 n i 11 n. 3 7 n i 11 n. 4 Zatem 77 n. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

5 Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego niewprost Przykład dowodu założeniowego niewprost 2 nie jest liczbą wymierną. 1 Zakładamy przeciwnie: 2 jest liczbą wymierną. 2 Z definicji liczby wymiernej wynika, że istnieją takie liczby naturalne m i n (n 0), że 2 = m, przy czym m jest ułamkiem nieskracalnym. n n 3 Zatem, m 2 = 2n 2. 4 Stąd, m 2 jest liczbą parzystą. 5 m jest parzyste, tj. m = 2k. 6 Więc, 4k 2 = 2n 2. 7 Stąd, n 2 jest liczbą parzystą. 8 n jest parzyste. 9 Podsumowując: m i n są liczbami parzystymi, a zatem m jest ułamkiem n skracalnym, co jest sprzeczne z wierszem 2. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

6 Przykład dowodów założeniowych Najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego Jaka jest najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego? ϕ 1 ϕ 2 (1) ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) (2) ϕ 1 (ϕ 2 (ϕ 3 ϕ 4 )) (3) ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) (4) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

7 Definicja założeniowego dowodu wprost Założeniowe dowody wprost Definicja ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) (5) Założeniowy dowód wprost wyrażenia o postaci (5) tworzymy w sposób następujący: 1 W n 1 pierwszych wierszach dowodu wypisujemy wyrażenia ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n 1 jako założenia twierdzenia. Każde założenie oznaczamy literą z. w części opisowej wiersza. 2 Do dowodu można dołączać jako nowe wiersze: 1 tezy uprzednio udowodnione, 2 wyrażenia uzyskane na podstawie dotychczasowych wierszy według pierwotnych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu. 3 Dowód jest zakończony, jeśli w ostatnim jego wierszu występuje wyrażenie ϕ n. Zakończenie dowodu sygnalizujemy nie numerując ostatniego wiersza. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

8 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu I Reguła odrywania RO ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

9 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu II Reguła dołączania koniunkcji DK ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

10 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu III Reguła opuszczania koniunkcji (ta reguła ma dwa schematy) OK ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

11 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu IV Reguła dołączania alternatywy (ta reguła ma dwa schematy) DA ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

12 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu V Reguła opuszczania alternatywy OA ϕ ψ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

13 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu VI Reguła dołączania równoważności DE ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

14 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu VII Reguła opuszczania równoważności (ta reguła ma dwa schematy) OE ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

15 Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Przykład założeniowego dowodu Założeniowe dowody wprost przykłady 1. (p q) (q r) z. 2. p z. 3. p q OK : 1 4. q r OK : 1 5. q RO : 3, 2 r RO : 4, 5 (p q) (q r) (p r). (6) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

16 Definicja założeniowego dowodu niewprost Założeniowe dowody niewprost Definicja ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ). (7) Założeniowy dowód niewprost wyrażenia powyższej postaci tworzymy w sposób następujący: 1 W n 1 pierwszych wierszach dowodu wypisujemy wyrażenia ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n 1 jako założenia twierdzenia. Każde założenie oznaczamy literą z. w części opisowej wiersza. 2 W n-tym wierszu dowodu wpisujemy wyrażenie ϕ n jako założenie dowodu niewprost. Założenie to oznaczamy z.d.n. w części opisowej wiersza. 3 Do dowodu można dołączać jako nowe wiersze: 1 tezy uprzednio udowodnione, 2 wyrażenia uzyskane na podstawie dotychczasowych wierszy według pierwotnych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu. 4 Dowód jest zakończony gdy uzyskaliśmy w nim dwa wiersze sprzeczne. Zakończenie dowodu sygnalizujemy pisząc sprz. i podając numery wierszy sprzecznych. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

17 Definicja założeniowego dowodu niewprost Sprzeczność syntaktyczna Sprzeczność syntaktyczna Wiersze sprzeczne są to wiersze o postaci ψ i ψ. Wyrażenie p q jest sprzeczne z wyrażeniem (p q). Wyrażenie p q nie jest sprzeczne z wyrażeniem p q. Wyrażenie p q nie jest sprzeczne z wyrażeniem (p q). Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

18 Definicja założeniowego dowodu niewprost Przykłady założeniowego dowodu niewprost Założeniowe dowody niewprost przykłady I Udowodnimy jedno z praw reductio ad absurdum. 1. p p z. 2. p z.d.n. 3. p RO : 1, 2 sprz. : 2, 3 ( p p) p. (8) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

19 Definicja założeniowego dowodu niewprost Przykłady założeniowego dowodu niewprost Założeniowe dowody niewprost przykłady II 1. ( p q) q z. 2. p z.d.n. 3. p q OK : 1 4. q OK : 1 5. q RO : 3, 2 sprz. : 4, 5 ( p q) q p. (9) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

20 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Definicja Reguła wtórna jest to reguła, której wniosek można wyprowadzić z przesłanek używając tylko reguł pierwotnych i tez systemu założeniowego. Wprowadzenie każdej reguły wtórnej powinien poprzedzić odpowiedni dowód. Reguła wnioskowania R: R ϕ 1... ϕ n ψ jest regułą wtórną jeżeli istnieje założeniowy dowód niewprost implikacji ϕ 1 ϕ n ψ, w którym posługujemy się tylko regułami pierwotnymi dołączania nowych wierszy do dowodu. W praktyce dowodząc reguł wtórnych posługujemy się regułami pierwotnymi oraz wszystkimi udowodnionymi do tej pory regułami wtórnymi. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

21 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła opuszczania podwójnej negacji Reguły wtórne przykłady I Reguła opuszczania podwójnej negacji ON ϕ ϕ Dowód tezy na której oparta jest powyższa reguła ma postać: 1. p z. 2. p z.d.n. sprz. : 1, 2 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

22 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Roszerzona reguła opuszczania alternatywy Reguły wtórne przykłady II Roszerzona reguła opuszczania alternatywy (ta reguła ma cztery schematy) OA ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ Rozszerzona reguła OA głosi, że z alternatywy i negacji jednego z jej składników możemy wyprowadzić drugi składnik. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

23 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła modus tollendo tollens Reguły wtórne przykłady III Reguła modus tollendo tollens (ta reguła ma cztery schematy) TOLL ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ϕ Reguła modus tollendo tollens głosi, że z implikacji i wyrażenia sprzecznego z jej następnikiem możemy wyprowadzić wyrażenie sprzeczne z jej poprzednikiem. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

24 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła negowania alternatywy Reguły wtórne przykłady IV Reguła negowania alternatywy (ta reguła ma dwa schematy) NA (ϕ ψ) (ϕ ψ) ϕ ψ Reguła negowania alternatywy głosi, że z negacji alternatywy można wyprowadzić negację każdego ze składników alternatywy. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

25 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu Reguły wtórne przykłady V Definicja Reguła dołączania implikacji do dowodu głosi, że jeśli w dowodzie na podstawie założenia dodatkowego ϕ w wierszu o numerze podwójnym k.1 uzyskaliśmy wyrażenie ψ w wierszu o numerze k.n, to wolno nam dołączyć do dowodu jako wiersz o kolejnym numerze pojedynczym implikację ϕ ψ. W części opisowej tego wiersza piszemy k.1 k.n. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

26 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu 1. p q r z p z.d p q DA : r RO : 1, p r q z.d p q DA : r RO : 1, q r (p r) (q r) DK : 2, 3 (p q r) (p r) (q r). (10) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

27 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu Wiersze o numerze podwójnym nie mogą kończyć dowodu założeniowego, gdyż zostały uzyskane na podstawie dowolnie wybranego założenia dodatkowego. Wyprowadzając nowe wiersze (o podwójnych numerach) na podstawie założenia k.1 możemy odwoływać się do wszystkich dotychczasowych wierszy o numerach pojedynczych oraz do wierszy o numerach podwójnych uzyskanych na podstawie k.1. Dowód reguły dołączania implikacji do dowodu jest bardziej skomplikowany od dowodów innych reguły ponieważ wymaga dowiedzenia tzw. twierdzenia o dedukcji. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

28 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń Reguła obalania dodatkowych założeń Jeżeli założenie dodatkowe prowadzi do sprzeczności, to można do dowodu dołączyć wyrażenie z nim sprzeczne jako wiersz dowodu o pojedynczym numerze. Reguła ta jest regułą wtórną. Jeżeli z założenia dodatkowego ψ wyprowadzimy wyrażenia sprzeczne χ i χ, to na mocy reguły DK oraz reguły dołączania implikacji do dowodu, nowym wierszem dowodu będzie wyrażenie ψ χ χ A następnie, na mocy prawa redukcji do absurdu: (ψ χ χ) ψ oraz RO otrzymamy jako wiersz dowodu ψ. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

29 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń 1. (p q) z p z.d p q DA : p 1.1 sprz.(1, 1.2) 2.1. q z.d p q DA : q 2.1 sprz.(1, 2.2) p q DK : 2, 3 (p q) p q (11) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

30 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu wprost Reguła rozgałęzionego dowodu wprost Zgodnie z regułą rozgałęzionego dowodu wprost dowód wyrażenia: ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) jest zakończony, jeżeli otrzymamy w nim wyrażenie ϕ n na podstawie każdego z dodatkowych założeń ψ 1,..., ψ k, których alternatywa należy do dowodu lub może być do niego dołączona jako podstawienie tezy logicznej. Reguła ta jest regułą wtórną. Na podstawie reguły dołączania implikacji do dowodu otrzymujemy implikacje: ψ 1 ϕ n,..., ψ k ϕ n. Z implikacji tych oraz alternatywy ψ 1 ψ k na mocy tezy: (ψ 1 ϕ n) (ψ k ϕ n) (ψ 1 ψ k ) ϕ n, wyprowadzamy ϕ n. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

31 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu wprost 1. p q z. 2. r s z. 3. p r z p z.d q RO : 1, q s DA : r z.d s RO : 2, q s DA : 2.2 q s , , 3 (p q) (r s) (p r q s) (12) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

32 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost Zgodnie z regułą rozgałęzionego dowodu nie wprost dowód wyrażenia: ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n 1 ϕ n )... ) jest zakończony, jeżeli otrzymamy w nim sprzeczności na podstawie każdego z dodatkowych założeń ψ 1,..., ψ k, których alternatywa należy do dowodu lub może być do niego dołączona jako podstawienie tezy logicznej. Reguła ta jest regułą wtórną. Na podstawie reguły obalania dodatkowych założeń można dołączyć do dowodu wyrażenia: ψ 1,..., ψ k. Z alternatywy ψ 1 ψ k i wyrażeń ψ 1,..., ψ k 1 wyprowadzamy za pomocą reguły OA wyrażenie ψ k, sprzeczne z wyprowadzonym uprzednio wyrażeniem ψ k. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

33 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost (p q) (r s) ( (q s) (p r)) (13) 1. p q z. 2. r s z. 3. (q s) z. 4. (p r) z.d.n. 5. p r ON : p z.d q RO : 1, q s DA : r z.d s RO : 2, q s DA : 2.2 sprz.1.1 sprz.(3, 1.3), 2.1 sprz.(3, 2.3) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

34 Pojęcie tezy Pojęcie tezy Teza Tezą (danego systemu) jest każde wyrażenie dla którego istnieje dowód (na gruncie tego systemu). Ponieważ pojęcie dowodu jest relatywne względem teorii logicznej, pojęcie tezy jest również relatywne względem teorii logicznej. Mamy zatem tezy KRZ, tezy WRP, tezy algebry zbiorów, tezy logiki modalnej S5, itd. Teza KRZ Tezą KRZ jest każde wyrażenie sensowne KRZ dla którego istnieje założeniowy dowód niewprost. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

35 Pojęcie tezy Pojęcie tezy w KRZ To, że ϕ jest tezą zapisujemy symbolicznie jako ϕ. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

36 Pojęcie tezy Indukcyjny charakter definicji tezy KRZ Definicja tezy KRZ ma charakter indukcyjny ze względu na budowę dowodu założeniowego niewprost: najpierw mówimy o tezach, dla których istnieją proste dowody, tj. dowody, które nie zakładają istnienia żadnych innych dowodów są to tezy pierwszego rzędu, potem mówimy o pozostałych tezach, dla których nie istnieją proste dowody są to tezy wyższych rzędów. Przysłówki najpierw i potem oznaczają w tym kontekście porządek definiowania: rozumienie tego, czym są tezy pierwszego rzędu, nie zakłada rozumienia tego, czym są tezy wyższych rzędów, rozumienie tego, czym są tezy jakiegoś wyższego rzędu, zakłada rozumienie tego, czym są tezy niższych rzędów. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

37 Metoda zerojedynkowa vs. dowód Metoda zerojedynkowa vs. dowód Metoda zerojedynkowa 1 Jeżeli wyrażenie KRZ jest tautologią, to metoda zerojedynkowa pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że jest to tautologia. 2 Jeżeli dowodzone wyrażenie nie jest tautologią, to metoda zerojedynkowa pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że nie jest to tautologia. Dowód 1 Jeżeli dowodzone wyrażenie jest tezą, to metoda założeniowa pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków skonstruować dowód założeniowy tego wyrażenia, czyli stwierdzić, że jest to teza. 2 Jeżeli jednak dowodzone wyrażenie nie jest tezą, to metoda założeniowa nie pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że nie jest to teza. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

38 Udowodnij! Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (1) 1 p p 2 p p 3 p p p 4 p p p 5 p p 6 (p p) 7 (p q) ((q r) (p r)) 8 (p q) ( q p) 9 ( p p) 10 (p p) 11 (p p) 12 (p q) (r s) (p r q s) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

39 Udowodnij! Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (2) 1 (p q r) (p q) (p r) 2 (p q r) (p r) (q r) 3 (p p) p 4 (p q q) p 5 (p q) p q 6 p p q 7 (p q) p q 8 (p q) (r s) (p r q s) 9 (p r) (q r) (p q) r 10 (p q) (r s) (p r) (q s) 11 (p q) (r s) (q s) (p r) 12 (p q) (p q) (q p) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

40 Udowodnij! Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (3) 1 q (p q) 2 p q r p r q 3 (p q) q p 4 (p q) ( q p) 5 (p q) p q 6 p q p q 7 p q r p (q r) 8 (p q) p q 9 p q p q 10 p q r p (q r) 11 (p q) (q r) (p r) Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

41 Źródła Źródła Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

42 Źródła Źródła 1 Ludwik Borkowski, Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Lublin Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia / 42

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława

Bardziej szczegółowo

Dowody założeniowe w KRZ

Dowody założeniowe w KRZ Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE? S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 2. Jerzy Pogonowski. KRZ: dowody założeniowe. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 2. Jerzy Pogonowski. KRZ: dowody założeniowe. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 2 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRZ: dowody założeniowe Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 2 KRZ: dowody założeniowe 1 / 94 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się

Bardziej szczegółowo

13. DOWODZENIE IV REGUŁY WPR, ELIM, ~WPR, ~ELIM

13. DOWODZENIE IV REGUŁY WPR, ELIM, ~WPR, ~ELIM 13. DOWODZENIE IV REGUŁY WPR, ELIM, ~WPR, ~ELIM Cele Umiejętność stosowania reguł pierwotnych Wpr, Elim, ~Wpr, ~Elim. Umiejętność przeprowadzania prostych dowodów z użyciem tych reguł. 13.1. Reguła Wpr

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA 15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA W systemie SD dla każdego spójnika istnieje reguła wprowadzania i reguła eliminacji tegoż spójnika. Niemniej jednak dowodzenie za pomocą

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda

Bardziej szczegółowo

14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII

14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII 14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII Cele Pojęcie wynikania logicznego i równoważności logicznej w systemie SD. Umiejętność wykazywania zachodzenia relacji

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

{ 1, 2,, n } Ponadto wówczas mówimy, że formuła: oraz równoważna jej formuła:

{ 1, 2,, n } Ponadto wówczas mówimy, że formuła: oraz równoważna jej formuła: RCHUNEK ZDŃ 6 Do ozstzygania, któe fomuły achunku zdań są tautologiami, czyli pawami logiki, stosować możemy tzy odzaje metod: 1) metodę matycową (zeo-jedynkową), 2) metodę założeniową, 3) metodę aksjomatyczną.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

4 Klasyczny rachunek zdań

4 Klasyczny rachunek zdań 4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ

LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 18 grudnia 2013 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Wnioskowanie 18 grudnia 2013 1 / 12 Zarys 1 Wnioskowanie Definicja Schemat wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział VII. Znaczenie logiki dla prawa i pracy prawnika Zadania i odpowiedzi 20

Rozdział VII. Znaczenie logiki dla prawa i pracy prawnika Zadania i odpowiedzi 20 Przedmowa Wykaz skrótów XIII XV Część A. Wprowadzenie Rozdział I. Rys historyczny 1 1. Początki logiki jako nauki 1 2. Średniowiecze 2 3. Czasy nowożytne i współczesne 4 Rozdział II. Podstawowe prawa myślenia

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdao i logika matematyczna

Rachunek zdao i logika matematyczna Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

ćwiczenia 15 zaliczenie z oceną

ćwiczenia 15 zaliczenie z oceną Wydział: Prawo i Administracja Nazwa kierunku kształcenia: Prawo Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. dr hab. Kazimierz Pawłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań I i II rzędu

Rachunek zdań I i II rzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku predykatów

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo