Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne leżą jeszcze w urzędzie nieodebrane. Nie zmienia to jednak faktu, iż każdemu samochodowi na drodze przyporządkowany jest dokładnie jeden nr rejestracyjny. Oznacza to, iż określona została funkcja ze zbioru samochodów na naszych drogach w zbiór tablic rejestracyjnych. Pojedyncze egzemplarze aut mogą stać w szopie bez tablic rejestracyjnych, lecz takie pojazdy nie należą do zbioru, na którym określamy nasze przyporządkowanie (mówimy, że nie należą do dziedziny funkcji). Innym przykładem określenia funkcji jest przyporządkowanie każdemu człowiekowi jego grupy krwi. Każdy człowiek ma dokładnie jedną grupę krwi. Oczywiście ta sama grupa krwi może występować u dwóch osób. Nie zmienia to jednak faktu, iż przyporządkowanie każdemu człowiekowi jego grupy krwi jest funkcją. Definicja. Niech X i Y oznaczają dwa dowolne (niepuste) zbiory. Jeżeli każdemu elementowi zbioru X zostanie przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y, to oznacza, że określona została funkcja jednej zmiennej o zmiennej niezależnej (argument funkcji) ze zbioru X (dziedzina funkcji D = X) i wartościach w zbiorze A Y (A - przeciwdziedzina funkcji, zbiór zmiennej zależnej, zbiór wartości funkcji). Można zapisać symbolicznie funkcję o nazwie f jako f : X Y.
49 Uwaga Zapis f : X Y oznacza, że funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y lub funkcja f działa ze zbioru X w zbiór Y. Jeżeli A Y (A - przeciwdziedzina funkcji) oraz f : X A, wówczas czyta się: funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór A lub funkcja f działa ze zbioru X na zbiór A. Pojęcie dziedziny funkcji jest kluczowe przy dalszym omawianiu różnych rodzajów funkcji. Bez odpowiedniego określenia dziedziny nie można myśleć o wykorzystaniu funkcji w jakichkolwiek obliczeniach. Zapamiętajmy więc: Uwaga Dziedzina funkcji oznacza zbiór tych argumentów funkcji, dla których oblicza się wartość funkcji. Symbol funkcji, nazwy zbiorów oraz argumentów i wartości zależą od konkretnej sytuacji, np. f( = y, gdzie X, y Y; g(t) = r dla g: A B; h(s) = v gdzie s S, v V. Matematyczny opis przyporządkowania nazywa się wzorem funkcji, np. f( =, g(t) = t. Ciągi liczbowe z rozdziału należy uznać jako funkcje o argumentach ze zbioru N lub N +. W dalszych rozdziałach dziedzina funkcji jest podzbiorem liczb rzeczywistych (funkcje jednej zmiennej rzeczywistej). Definicja. Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór wszystkich punktów (,y) na płaszczyźnie współrzędnych prostokątnych (płaszczyźnie kartezjańskiej) takich, że f( = y dla X, y Y.
50 Uwaga Wykresy funkcji w rozdziałach, 3 i 4 wykonane są w sposób inżynierski, tzn, skala na osi OX i OY jest inna (w celu uzyskania przejrzystego wykresu). Jeżeli funkcja jest opisana wzorem bez dodatkowych informacji i zastrzeżeń, to dziedzinę funkcji określa się jako zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej, dla których wzór określający funkcję ma sens (np. mianownik ułamka musi być różny od zera, pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być wyrażenie nieujemne, logarytmować można tylko liczbę dodatnią). Pojęcie monotoniczności funkcji i odpowiednie definicje są analogiczne jak w przypadku ciągów liczbowych. Definicje.3.: Def..3) Funkcja f : X Y jest rosnąca, jeżeli, X : f f ( ). Funkcja jest zatem rosnąca, jeżeli dla coraz większych argumentów otrzymujemy coraz większe wartości. Przykład funkcji rosnącej: f( =. Uzasadnienie: f ) f ( ) 0. ( Podaj trzy inne przykłady i uzasadnienia funkcji rosnącej. Def..4) Funkcja f : X Y jest malejąca, jeżeli, X : f f ( ).
5 Funkcja jest zatem malejąca, jeżeli dla coraz większych argumentów otrzymujemy coraz mniejsze wartości. Przykład funkcji malejącej: f( = -. Uzasadnienie: f ) f ( ) 0. ( Podaj trzy inne przykłady i uzasadnienia funkcji malejącej. Def..5) Funkcja f : X Y jest nierosnąca, jeżeli, X : f f ( ). Def..6) Funkcja f: X Y jest niemalejąca, jeżeli, X : f f ( ). Def..7) Funkcja f : X Y jest stała, jeżeli, X : f ( ) f ( ). Funkcja jest zatem stała, jeżeli dla wszystkich argumentów otrzymujemy takie same wartości. Przykład funkcji stałej: f( = - (uzasadnij i podaj trzy inne przykłady funkcji stałej). Def..8) Funkcja f : X Y jest różnowartościowa, jeżeli dla różnych argumentów otrzymujemy różne wartości:, X : f ( ) f ( ).
5 Geometrycznie różnowartościowość funkcji oznacza, iż każda prosta prostopadła do osi OY ma z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny. Przykład funkcji, która jest różnowartościowa: f( = (uzasadnij i podaj trzy inne przykłady funkcji różnowartościowej). Przykład funkcji, która nie jest różnowartościowa: f( = dla [-;], ponieważ f() = 4 i f(-) = 4. Rys... Przykład funkcji rosnącej, różnowartościowej (także wzajemnie jednoznacznej) i nieparzystej: f( = 3, f : R R. Def..9) Funkcję f : X Y nazywa się wzajemnie jednoznaczną, jeżeli jest różnowartościowa oraz funkcja działa na zbiór Y (czyli Y jest przeciwdziedziną - zbiorem wszystkich wartości funkcji). Def..0) Funkcja f : X Y jest parzysta, jeżeli X : X f ( f (. Przykład funkcji parzystej: f( = (uzasadnij i podaj trzy inne przykłady funkcji parzystej).
53 Geometrycznie parzystość funkcji oznacza, iż oś OY jest osią symetrii wykresu funkcji. Rys... Przykład funkcji, która nie jest monotoniczna w całej dziedzinie (malejąca dla 0 i rosnąca dla 0), nie jest różnowartościowa, jest parzysta: f( =, f : R R. Def..) Funkcja f: X Y jest nieparzysta, jeżeli X : X f ( f (. Przykład funkcji nieparzystej: f( = 3 rys.. (uzasadnij nieparzystość i podaj trzy inne przykłady funkcji nieparzystej). Geometrycznie nieparzystość funkcji oznacza, iż środek układu współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji. Def..) Dwie funkcje f i g są równe (takie same), jeżeli mają taką samą dziedzinę D = D f = D g oraz D : f ( g(. Przykład funkcji, które są równe: f ( ( ), g( 3, D = D f = D g = R.
54 Przykłady funkcji, które nie są równe: a) f (, g(, D f = R \ {0}, D g = R; b) f ( log( ), g( log(, D f = R \ {0}, D g = R +. Definicja.3 Do funkcji elementarnych zalicza się funkcje, które określone są wzorami zawierającymi skończoną liczbę działań algebraicznych (dodawanie, mnożenie, potęgowanie i działania odwrotne) na zmiennej niezależnej. Są to funkcje: wielomianowe, wymierne, niewymierne, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne oraz funkcje odwrotne do funkcji elementarnych i funkcje będące złożeniem funkcji elementarnych. Funkcje wielomianowe (wielomiany) są to funkcje, których dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste i które dane są przez wzór: f ( a a a (.) n n 0 a... n z pewnymi rzeczywistymi liczbami a 0, a,, a n. Liczby rzeczywiste a i nazywa się współczynnikami wielomianu (.), natomiast największa potęga naturalna n, dla której a 0 0, zwana jest stopniem wielomianu (.). n Cechy wielomianów: ) Funkcja stała f( = c, c = const. jest wielomianem stopnia 0. ) Funkcja liniowa f( = a+b jest wielomianem stopnia (rosnąca dla a>0, malejąca dla a < 0, stała dla a = 0, nieparzysta dla b = 0). 3) Funkcja kwadratowa f( = a +b+c jest wielomianem stopnia. 4) Jeżeli wszystkie potęgi argumentu są parzyste, to wielomian jest funkcją parzystą, np. f( = a +c, f( = a 4 +b +c.
55 5) Jeżeli wszystkie potęgi argumentu są nieparzyste, to wielomian jest funkcją nieparzystą, np. f( = a, f( = a 5 +b 3 +c. 6) Wielomian W n stopnia n nieparzystego ma co najmniej jedno miejsce zerowe 0. Możliwy jest rozkład: W n ( 0 n ( ) W ( ). 7) Dowolny wielomian W n stopnia n ma co najwyżej n miejsc zerowych,,, n. Wówczas możliwy jest rozkład na czynniki: W n ( n ( ) ( )... ( ). Rys..3. Fragment wykresu wielomianu f( = 3 5 + 4-6+7 dla [-;]. Funkcje wymierne powstają z ilorazu dwóch wielomianów: f a a... a a n n 0 n n (. (.) k k b0 b... bk bk Dziedziną funkcji wymiernych (.) są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, dla których mianownik zeruje się. Cechy funkcji wymiernych: ) Jeżeli n k, to funkcję wymierną nazywa się niewłaściwą. ) Jeżeli n < k, to funkcję wymierną nazywa się właściwą.
56 3) Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej (poprzez dzielenie dwóch wielomianów z licznika i mianownika funkcji wymiernej niewłaściwej), np. 4 3 ( 8 6 3 0.5.5 f 4. Dziedziną tej funkcji wymiernej f są liczby R \ {-;½}. 4) Jeżeli w liczniku i mianowniku funkcji wymiernej występują funkcje liniowe (ściślej- afiniczne), to taka funkcja nazywa się homograficzną: a b f ( dla D = R \ {-d/c}. (.3) c d Współczynniki rzeczywiste funkcji homograficznej (.3) muszą spełniać warunki: c 0, ad - bc 0. 5) Miejsca zerowe funkcji wymiernej (.), zapisanej w postaci jednego ułamka (ilorazu), to miejsca zerowe licznika. Funkcja homograficzna (.3) posiada dokładnie jedno miejsce zerowe 0 = -b/a. Rys..4. Fragment wykresu funkcji homograficznej 3 f ( dla [-0.5;5]. 5 4 Funkcje niewymierne powstają wtedy, gdy argument funkcji występuje pod znakiem pierwiastka, na przykład:
57 ) f (, 0, funkcja rosnąca, wartości funkcji są nieujemne. Rys..5. Fragment wykresu funkcji f ( dla [0;9]. ) f ( 3,. Rys..6. Fragment malejącego wykresu funkcji f ( 3 dla (;5]. 3) f ( 3 4, D = R, wartości funkcji są nieujemne.
58 Rys..7. Fragment wykresu funkcji f ( 3 4. Funkcje trygonometryczne: ) f( = sin(, R. Rys..8. Fragment wykresu funkcji f( = sin( dla [-3;3]. Własności funkcji sinus: a) wartości z przedziału [-;]; b) funkcja okresowa o okresie podstawowym T =, czyli : sin( sin( ) ;
59 c) funkcja nieparzysta, czyli : sin( sin( ; d) miejsca zerowe (wartości funkcji równe zero) w punktach = k dla dowolnej liczby całkowitej k; e) największa wartość sin( = dla = /+k dla dowolnej liczby całkowitej k; f) najmniejsza wartość sin( = - dla = 3/+k dla dowolnej liczby całkowitej k. ) f( = cos(, R. Rys..9. Fragment wykresu funkcji f( = cos( dla [-3;3]. Własności funkcji cosinus: a) wartości z przedziału [-;]; b) funkcja okresowa o okresie podstawowym T =, czyli : cos( cos( ) ; c) funkcja parzysta, czyli : cos( cos( ; d) miejsca zerowe (wartości funkcji równe zero) w punktach = /+k dla dowolnej liczby całkowitej k; e) największa wartość cos( = dla = k dla dowolnej liczby całkowitej k; f) najmniejsza wartość cos( = - dla = +k dla dowolnej liczby całkowitej k.
60 Uwaga Podstawowy związek między sinusem a cosinusem dowolnego kąta zwany jest jedynką trygonometryczną : sin ( ) cos (. 3) f( = tg (, R \ {/+k dla dowolnej liczby całkowitej k}. Rys..0. Fragment wykresu funkcji f( = tg( dla (-/;/). Własności funkcji tangens: a) wartości z przedziału (-;); sin( b) tg( dla R \ {/+k dla dowolnej liczby całkowitej k}; cos( c) funkcja okresowa o okresie podstawowym T =, czyli D : tg( tg( ) ; d) funkcja nieparzysta, czyli D : tg( tg( ; e) funkcja rosnąca w przedziałach (-/+k; /+k) dla dowolnej liczby całkowitej k; f) miejsca zerowe (wartości funkcji równe zero) w punktach = k dla dowolnej liczby całkowitej k; g) największa i najmniejsza wartość funkcji tangens nie istnieje;
6 h) asymptoty pionowe w punktach = /+k dla dowolnej liczby całkowitej k (wykres funkcji zbliża się do linii pionowej dla y, ale jej nie dotyka). Uwaga W większości programów komputerowych funkcja tangens ma symbol tan. sin( Można również skorzystać ze wzoru: tg(. Można też znaleźć cos( w podręcznikach skrótowe oznaczenia na te funkcje, w których opuszcza się znak nawiasu przy argumencie, pisząc np. sin w miejsce sin( czy cos w miejsce cos( oraz podobnie tg w miejsce tg(. 4) f( = ctg (, R \ {k dla dowolnej liczby całkowitej k}. Rys... Fragment wykresu funkcji f( = ctg( dla (0;). Własności funkcji cotangens: a) wartości z przedziału (-;); b) cos( ctg( dla R \ {k dla dowolnej liczby całkowitej k}; tg( sin( c) funkcja okresowa o okresie podstawowym T =, czyli D : ctg( ctg( ) ;
6 d) funkcja nieparzysta, czyli D : ctg( ctg( ; e) funkcja malejąca w przedziałach (k; +k) dla dowolnej liczby całkowitej k; f) miejsca zerowe (wartości funkcji równe zero) w punktach = /+k dla dowolnej liczby całkowitej k; g) największa i najmniejsza wartość funkcji cotangens nie istnieje; h) asymptoty pionowe w punktach = k dla dowolnej liczby całkowitej k (wykres funkcji zbliża się do linii pionowej dla y, ale jej nie dotyka). Uwaga W większości programów komputerowych brak funkcji cotangens. Można cos( jednak skorzystać ze wzorów: ctg( lub ctg(. tg( sin( Funkcje wykładnicze są to funkcje postaci f ( a dla współczynnika rzeczywistego a (0;) (;) i dziedzinie R. Współczynnik a jest też zwany podstawą. Własności funkcji wykładniczych: a) wartości z przedziału (0;); b) funkcja malejąca dla a (0;) i rosnąca dla a (;); c) miejsca zerowe nie istnieją; d) największa i najmniejsza wartość funkcji wykładniczej nie istnieje; e) asymptota pozioma dla y = 0 (wykres funkcji zbliża się do linii poziomej dla do, ale jej nie dotyka).
63 Rys... Fragment wykresu funkcji f (. Rys..3. Fragment wykresu funkcji f ) ( (. Funkcje logarytmiczne są to funkcje postaci f ( log dla podstawy a logarytmu a (0;) (;) i dziedzinie > 0. Uwaga Tutaj, jak w większości opracowań, od razu odstąpiliśmy od narzucającej się, zgodnie z def.., notacji log a (.
64 Własności funkcji logarytmicznych: a) wartości z przedziału (-;); b) jeżeli y log, to a y ; a c) jeżeli a = 0, to logarytm nazywa się dziesiętny i można zapisać: y = log(; d) jeżeli podstawą logarytmu jest liczba e (wspomniana w rozdziale liczba Eulera,7 ), to logarytm nazywa się naturalny i zapisuje się y = ln(; e) funkcja malejąca dla a (0;) i rosnąca dla a (;); f) miejsce zerowe dla = ; g) największa i najmniejsza wartość funkcji logarytmicznej nie istnieje; h) asymptota pionowa dla = 0 (wykres funkcji zbliża się do linii pionowej dla y, ale jej nie dotyka). Rys..4. Fragment wykresu funkcji f ( log 0 ( log(. Wzory typu y = f( nazywa się wzorami jawnymi. Można także spotkać funkcje opisane wzorami uwikłanymi postaci F(,y) = 0, np. sin(+y) = 0, +y-5 = 0 (jest to oczywiście funkcja jawna y = -+5). Inna postać wzoru funkcji to postać parametryczna, w której argument i wartość funkcji y opisane są
65 pewną zależnością od parametru t: = (t), y = y(t); np. = t+; y = t dla t [0;]. Dla t = ½ otrzymujemy przykładowo punkt o współrzędnych =, y = ¼. Do funkcji elementarnych zalicza się także funkcje, które można otrzymać poprzez działania algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie) na funkcjach omówionych w rozdziale... Funkcja złożona Funkcje elementarne powstają również w wyniku złożenia funkcji omówionych w rozdziale.. Złożenie dwóch funkcji można rozumieć jako działanie, w którym wartość jednej funkcji staje się argumentem drugiej funkcji. Na przykład w życiu codziennym dany miesiąc pracy, traktowany jako argument pierwszej funkcji, daje jako wartość kwotę miesięcznej pensji. A z kolei wartość pensji staje się argumentem dla drugiej funkcji, której efektem jest wydawanie i zagospodarowanie zarobku. W komputerze wartość danej komórki pamięci, wyliczona w wyniku jednego procesu (funkcji), może stać się argumentem dla następnych działań (procesów). Definicja.4 Jeżeli funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, natomiast funkcja g działa ze zbioru Y w zbiór A, to funkcję h taką że: h: X A, h( = g(f() nazywamy złożeniem funkcji f z funkcją g oraz oznaczamy symbolem h = g f tzn. h( = (g f) ( = g(f() dla X.
66 Tak więc wartość funkcji f(, nazywaną funkcją wewnętrzną, jest argumentem funkcji g - funkcji zewnętrznej. Istotny jest fakt, iż przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej f staje się dziedziną funkcji zewnętrznej g. Własności złożenia funkcji: ) Złożenie funkcji nie jest (na ogół) przemienne, tzn. istotne jest ustalenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej: (g f) ( (f g) ( (.4) Przykłady złożenia funkcji i braku przemienności tej operacji (.4): a) f : [0;] [0;], f( = sin( = y ; g: [0;] [0;], g y) y h( ( g f )( g( f ( ) sin(, h : [0;] [0;]. ( ; g: [0;) [0;), g y ( ; f : [0; ) [-;], f(y) = sin(y); s( ( f g)( f ( g( ) sin(, s : [0; ) [-;]. h( s( b) f : R\{0} (0; ), f( = = y ; g: (0; ) R, g( y) log 8 ( y) ; h( ( g f )( g( f ( ) log ( ), h : R\{0} R. 8 g: (0;) R, g log ( y ( 8 ; f : R [0; ), f(y) = y ; 8 8 s( ( f g)( f ( g( ) [log ( ] log ( ), s : (0; ) [0;). h( s(
67 c) f : R\{0} R\{0}, f( = / = y ; g: R\{0} R\{}, ( y) y g ; h( ( g f )( g( f ( ), h : R\{0} R\{}. g: R\{-} R\{0}, g y ( ; f : R\{0} R\{0}, f(y) = /y; s( ( f g)( f ( g( ), s : R\{-} R\{0}. h( s( d) f : R R, f( = +6 ; g: R R, ( g ; h( ( g f )( g( f ( ) ( 6) 5, h : R R. s( ( f g)( f ( g( ) ( ) 6 8, s : R R. h( s( ) Złożenie dowolnej funkcji g z funkcją f( = jest zawsze przemienne (dla odpowiednich dziedzin i przeciwdziedzin) i wynikiem takiego złożenia jest ta sama funkcja g: ( g f )( g( f ( ) g(, ( f g)( f ( g( ) g(. 3) Istnieją przykłady funkcji, dla których złożenie jest przemienne (są to wyjątki potwierdzające regułę, iż w ogólnym przypadku złożenie funkcji nie jest działaniem przemiennym). Przykłady złożenia funkcji, które jest przemienne (np. dla funkcji potęgowych): a) f : (0; ) (0; ), f( = ; g: (0; ) (0; ), g ( / ;
68 h( ( g f )( g( f ( ), h : (0; ) (0; ); s( ( f g)( f ( g( ) ( ) ( ) h( = s(, s:(0;)(0;). b) f : [0; ) [0; ), f( = 4 ; g: [0; ) [0; ), g( ; ( g f )( g( f ( ) 4 4 ( ), h : [0; ) [0; ); h( ( f g)( f ( g( ) ( 4 4 ( ), s : [0; ) [0; ). s( h( = s( Uwaga Złożenie funkcji potęgowych f( = a oraz g( = b jest przemienne, ponieważ ( a ) b = ( b ) a. Złożenie funkcji wymaga więc ustalenia, wartość której funkcji jest argumentem innej funkcji. Należy zwrócić uwagę na fakt, iż przeciwdziedzina jednej funkcji staje się dziedziną drugiej funkcji. *Naszkicowanie wykresów funkcji występujących w podrozdziale. oraz określenie ich własności jest dodatkowym i bardzo kształcącym ćwiczeniem. Najważniejszą rzeczą dla Czytelnika w przypadku funkcji złożonej jest zrozumienie sensu pojęcia funkcji złożonej i umiejętność wyznaczenia funkcji złożonej z rozróżnieniem funkcji wewnętrznej i zewnętrznej oraz uwzględnieniem odpowiednich dziedzin i przeciwdziedzin funkcji.
69.3 Funkcja odwrotna Funkcje elementarne powstają również jako funkcje odwrotne do funkcji omówionych w rozdziale.. Operacja szukania funkcji odwrotnej nie może być kojarzona ze zwykłym odwracaniem wartości liczbowej. W przypadku liczb mamy, natomiast dla funkcji symbol funkcji odwrotnej f ( ) to nie jest : f ( f (. f ( Odwrotność funkcji można zapisać tak: [ f ( ]. f ( Wyznaczenie funkcji odwrotnej można kojarzyć z odwracaniem działań algebraicznych: działaniem odwrotnym do potęgowania jest pierwiastkowanie (za chwilę okaże się np., iż funkcją odwrotną do f( = jest f ( ), działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie, a działaniem odwrotnym do logarytmowania log a jest operacja a (dlatego funkcje logarytmiczne i wykładnicze są wzajemnie odwrotne).
70 Definicja.5 Niech funkcja różnowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y (czyli f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną). Jeżeli każdemu elementowi y Y przyporządkowany zostanie jedyny (na mocy różnowartościowości funkcji f) element X spełniający równość f( = y, to tak określone odwzorowanie zbioru Y na zbiór X nazywa się funkcją odwrotną do f i oznaczone jest symbolem f -, tzn. f - : Y X, gdzie dla każdego X oraz y Y : y = f( = f - (y). Uwaga Funkcja g jest odwrotna do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy: g(f() = f(g() =. (.5) Z uwagi tej wynika fakt, iż wykresy danej funkcji i funkcji odwrotnej (.5) są symetryczne względem prostej y = (rys..5). Rys..5. Fragment wykresu funkcji f ( i funkcji odwrotnej f ( oraz oś symetrii y =.
7 Z definicji funkcji odwrotnej można wnioskować, iż w celu znalezienia funkcji odwrotnej należy rozwiązać równanie y = f( względem zmiennej (wyznaczyć niewiadomą z równania y - f( = 0). Przykłady wyznaczenia funkcji odwrotnej (zwróć uwagę na dziedziny i przeciwdziedziny poszczególnych funkcji): ) f( = 3-, f : R R y = 3-, 3 = y+, y 3 3. Funkcją odwrotną do f( = 3- jest funkcja ( f ( 3 3 g, g: R R. Sprawdzenie obliczeń: f ( g( ) 3( ), g f ( ) (3 ) 3 3 3 3 (. Rys..6. Fragment wykresu funkcji f ( 3 i funkcji odwrotnej ( ) f oraz oś symetrii y =. 3
7 ) f( =, f : [0; ) [0; ). y =, y. Funkcją odwrotną do f( = jest funkcja g: [0; ) [0; ). g f ( ) (, Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. 3) f( =, f : (-; 0] [0; ). y =, y. Funkcją odwrotną do f( = jest funkcja g: [0; ) (-; 0]. g f ( ) (, Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. 4) f( =, f : R (0; ). y =, = log y. Funkcją odwrotną do f( = jest funkcja g ( f ( log, g: (0; ) R. Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. 5) f (, f : R\{-} R\{0}. y, Funkcją odwrotną do y. y y ( f jest funkcja
73 g f ( ) (, g: R\{0} R\{-}. Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. 6) 5 f (, f : R\{3/} R\{/}. 4 6 5 4 6 y, Funkcją odwrotną do 6y 5. 4 y 5 ( 4 6 f jest funkcja 6 5 ( f ( 4 g, g: R\{/} R\{3/}. Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. 7) f( = 3, f : R R. y = 3, 3 y. Funkcją odwrotną do f( = 3 jest funkcja g 3 ( f (, g:r R. 8) f ( 4, f : [0; ) [; ). 4 4 8 4 y, ( y ) y y. Funkcją odwrotną do f ( 4 jest funkcja 8 g ( f ( 4, g: [; ) [0; ). Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika.
74 Rys..7. Fragment wykresu funkcji 3 f ( i funkcji odwrotnej f 3 ( oraz oś symetrii y =. 9) ( 5 ln( f, f : (0; ) R. y 5 ln(, e ( y 5 ) ep( y 5 ). Funkcją odwrotną do ( 5 ln( g( f jest funkcja 5 5 ( ) f ( ep( ) e, g: R (0; ). Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. 0) f (, f : (0; ) (; ) R\{0}. log( y, log( y 0. Funkcją odwrotną do f ( jest funkcja log( g( f ( 0,
75 g: R\{0} (0; ) (; ). Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. ) ( f, f : [; ) [0; ). y, y. Funkcją odwrotną do f ( jest funkcja g ( f (, g: [0; ) [; ). Rys..8. Fragment wykresu funkcji f ( i funkcji odwrotnej f ( oraz oś symetrii y =, która jest również asymptotą ukośną funkcji. ) ( f, f : (-; -] [0; ). y, y. Funkcją odwrotną do f ( jest funkcja
76 g ( f (, g: [0; ) (-; -]. Sprawdzenie obliczeń i narysowanie wykresów z symetrią osiową jest zadaniem dla Czytelnika. Czy wykonując złożenie funkcji można coś powiedzieć o funkcji odwrotnej? Uwaga Związek między złożeniem funkcji a funkcją odwrotną jest następujący: jeżeli f i g są dowolnymi funkcjami różnowartościowymi, to h = g f jest także funkcją różnowartościową oraz h ( g f ) f g. (.6) Przykład zastosowania powyższej uwagi: f : R R, f( = 3+9 ; g: R R, ( 5 g ; h( ( g f )( g( f ( ) 5(3 9) 5 44, h : R R. f - : R R, f - ( = /3-3 ; g - : R R, h ( ( g 5 44 5 f ) ( ( f h - : R R. g )( ( 5 g ; f ( g ( ) 3 3 5 Funkcja odwrotna do h może zostać obliczona wprost: y = -5 44, y 5 44 5 5 44 5, zatem faktycznie h (.
77 Funkcja odwrotna zachowuje monotoniczność: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej pozostaje rosnąca, natomiast funkcja odwrotna do funkcji malejącej pozostaje malejąca. W niniejszym opracowaniu należy jeszcze wspomnieć o funkcjach odwrotnych do funkcji trygonometrycznych, czyli o funkcjach cyklometrycznych (oznaczonych nazwą arcus), aczkolwiek fragment o funkcjach cyklometrycznych można pominąć przy pierwszym czytaniu. ) Funkcja odwrotna do sinusa, czyli arcus sinus Dana funkcja musi być w swej dziedzinie wzajemnie jednoznaczna, aby istniała funkcja odwrotna. Zatem: jeżeli f( = sin(, f : [-/; /] [-;], to f - ( = arc sin(, f - : [-;] [-/; /]. sin( = y = arc sin(y). Przykład: arc sin(½) = /6, ponieważ sin(/6) = ½. Rys..9. Wykres funkcji ( arcsin( f dla [-;].
78 Rys..0. Wykres funkcji ( sin( f dla [-/; /]. Uwaga W większości programów komputerowych funkcja arc sin ma symbol asin. Funkcja arc sin jest rosnąca i nieparzysta. ) Funkcja odwrotna do cosinusa, czyli arcus cosinus Dana funkcja musi być w swej dziedzinie wzajemnie jednoznaczna, aby istniała funkcja odwrotna. Zatem: jeżeli f( = cos(, f : [0; ] [-;], to f - ( = arc cos(, f - : [-;] [0; ]. cos( = y = arc cos(y). Przykład: arc cos(½) = /3, ponieważ cos(/3) = ½.
79 Rys... Wykres funkcji ( arccos( f dla [-;]. Rys... Wykres funkcji ( cos( f dla [0; ]. Uwaga W większości programów komputerowych funkcja arc cos ma symbol acos. Funkcja arc cos jest malejąca. 3) Funkcja odwrotna do tangensa, czyli arcus tangens Dana funkcja musi być w swej dziedzinie wzajemnie jednoznaczna, aby istniała funkcja odwrotna. Zatem:
80 jeżeli f( = tg(, f : [-/; /] R, to f - ( = arc tg(, f - : R [-/; /]. tg( = y = arc tg(y). Przykład: arc tg() = /4, ponieważ tg(/4) =. Rys..3. Wykres funkcji ( arctg( f dla (-;). Uwaga W większości programów komputerowych funkcja arc tg ma symbol atan. Funkcja arc tg jest rosnąca i nieparzysta, posiada asymptoty poziome y = -/ oraz y = /. 4) Funkcja odwrotna do cotangensa, czyli arcus cotangens Dana funkcja musi być w swej dziedzinie wzajemnie jednoznaczna, aby istniała funkcja odwrotna. Zatem: jeżeli f( = ctg(, f : [0; ] R, to f - ( = arc ctg(, f - : R [0; ].
8 ctg( = y = arc ctg(y). Przykład: arc ctg() = /4, ponieważ ctg(/4) =. Rys..4. Wykres funkcji ( arcctg( f dla (-;). Uwaga W większości programów komputerowych brak funkcji arc ctg i należy korzystać ze wzoru arcctg( arctg( arccos. Funkcja arc ctg jest malejąca, posiada asymptoty poziome y = 0 i y =. Najważniejszą rzeczą w przypadku funkcji odwrotnych jest zrozumienie sensu pojęcia funkcji odwrotnej i umiejętność wyznaczenia funkcji odwrotnej dla odpowiednich dziedzin i przeciwdziedzin funkcji.
8.4 Przykładowe obliczenia ) Wykonaj złożenie funkcji (pamiętaj o odpowiednich dziedzinach i przeciwdziedzinach funkcji): a) f : [0;] [-;], f( = cos( = y ; g: [-;] [4;6], ( y) y 5 h( ( g f )( g( f ( ) 5 cos(, h : [0;] [4;6]. g ; b) g: (-;) (-;), g 5 y ( ; f : (-; ) [-;], f(y) = cos(y); s( ( f g)( f ( g( ) cos( 5), s : (-; ) [-;]. c) f : R (0; ), f( = = y ; g: (0; ) R, g( y) log ( y) ; h ( g f )( g( f ( ) log ( ) log, ( h : R R. d) g: (0;) R, g log ( y ( 3 ; f : R (0; ), f(y) = 3 y ; log3 s( ( f g)( f ( g( ) 3, s : (0; ) (0; ). Uwaga W przykładach c) i d) otrzymano funkcję identycznościową, lecz w innej dziedzinie i przeciwdziedzinie. e) f : R\{0} R\{0}, f( = / = y ; g: R\{0} R\{-}, ( y) 3 y 8 h( 8 g ; ( g f )( g( f ( ) 3 8 3, h : R\{0} R\{-}.
83 3 f) g: R R, g( 5 y ; f : R R, f(y) = y-7 ; s( ( f s( g)( 3 0 f ( g( ) ( 5 3 5 ) 7 s : R R. Złożenie dwóch wielomianów jest również wielomianem. g) f : R R, f( = -+ ; g: R R, 5 g ( 9 ; 5 5 h( ( g f )( g( f ( ) ( ) 9 5, h : R R. 5 s( ( f g)( f ( g( ) 9, s : R R. h) f : R [0; ), f( = 4 ; g: [0; ) [-;], g( sin( ; 4 h( ( g f )( g( f ( ) sin( ), h : R [-;]. i) f : R R, f( = 3 ; g: R [; ), ( g ; 3 6 h( ( g f )( g( f ( ) ( ) 4, h : R [; ). ) Znajdź funkcję odwrotną (pamiętaj o odpowiednich dziedzinach i przeciwdziedzinach funkcji oraz o symetrii osiowej danej funkcji i funkcji odwrotnej): a) f( = 7+5, f : R R y = 7+5, 7 = y-5, 5 y 7 7. Funkcją odwrotną do f( = 7+5 jest funkcja 5 ( f ( 7 7 g,
84 g: R R. Sprawdzenie obliczeń: 5 5 f ( g( ) 7( ) 5, g f ( ) (7 5) 7 7 7 7 (. Zadanie: narysuj wykresy funkcji i sprawdź symetrię osiową. b) f( = 6, f : [0; ) [0; ). y = 6, 6 y. Funkcją odwrotną do f( = 6 jest funkcja g( f ( 6, g: [0; ) [0; ). c) f( = 6, f : (-; 0] [0; ). y = 6 y, 6. Funkcją odwrotną do f( = 6 jest funkcja g( f ( 6, g:[0; ) (-; 0]. d) f( = 5, f : R (0; ). y = 5, 5 = log y. Funkcją odwrotną do f( = 5 jest funkcja g 5 5 ( f ( log log, g: (0; ) R. e) f (, f : R\{} R\{0}. 4
85 4 y, Funkcją odwrotną do 4y. y y ( 4 f jest funkcja 4 g( f (, g: R\{0} R\{}. f) f( = 7 9, f : R R. y = 7 9, 9 7 y. Funkcją odwrotną do f( = 7 9 jest funkcja g( f ( 9, 7 g : R R. g) f ( 3, f : [0; ) [; ). 3 3 6 3 y, ( y ) y y. Funkcją odwrotną do f ( 3 jest funkcja 6 g ( f ( 3, g: [; ) [0; ). h) ( 4 ln( f, f : [; ) [0; ). y 4 ( ) y y 4 ln(, e ep( ) 4. Funkcją odwrotną do ( 4 ln( g( f jest funkcja 4 4 ( ) f ( ep( ) e, g: [0; ) [; ).
86 i) f (, f : (; ) (0; ). log ( ) 5 y, log ( ) 5 Funkcją odwrotną do g 4 5 y. 4 ( f ( 5 f ( jest funkcja log ( ) 5, g: (0; ) (; ). j) ( 9 f, f : [0; ) [3; ). y 9, y 9. Funkcją odwrotną do f ( 9 jest funkcja g ( f ( 9, g: [3; ) [0; ). k) ( 9 f, f : (-; 0] [3; ). y 9, y 9. Funkcją odwrotną do f ( 9 jest funkcja g ( f ( 9, g: [3; ) (-; 0]. l) f ( 9, f : [0; ) (-; -3]. y 9, y 9. Funkcją odwrotną do f ( 9 jest funkcja g ( f ( 9, g: (-; -3] [0; ).
87 m) ( 9 f, f : (-; 0] (-; -3]. y 9, y 9. Funkcją odwrotną do f ( 9 jest funkcja g ( f ( 9, g: (-; -3] (-; 0]. 3) Wykorzystanie związku (.6) pomiędzy funkcją złożoną a funkcją odwrotną: f : R R, f( = 7+9 ; g: R R, ( g ; h( ( g f )( g( f ( ) (7 9) 4 7, h : R R. f - : R R, f - ( = /7 9/7 ; g - : R R, h ( ( g 7 4 4 f ) ( ( f h - : R R. g )( f ( g ; ( g ( ) 7 9 7 Funkcja odwrotna do h może zostać obliczona wprost: y = -4 7, y 7 4 4, zatem faktycznie 7 ( 4 4 h. *Naszkicowanie wykresów funkcji występujących w podrozdziale.4 oraz określenie ich własności jest dodatkowym i bardzo kształcącym ćwiczeniem.
88.5 Inżynierskie zastosowania funkcji Przykład : złożoność obliczeniowa. W informatyce, mówiąc o algorytmach, występuje pojęcie złożoności obliczeniowej. Pod tym terminem kryje się liczba wykonywanych działań i operacji (a więc czas działania algorytmu) w zależności od liczby danych n. Konkretny problem, jeżeli jest rozwiązywalny, może zostać rozwiązany przez jeden lub kilka algorytmów. Mówi się o złożoności obliczeniowej algorytmów następujących rzędów: a) złożoność liniowa rzędu n, b) złożoność kwadratowa rzędu n, c) złożoność potęgowa rzędu n k, d) złożoność logarytmiczna rzędu log(n), e) złożoność wykładnicza rzędu n, f) złożoności mieszane rzędu n log(n), n log(n). Poszczególne rzędy złożoności obliczeniowej oznaczają funkcje, których wartości uzależniają liczbę działań i operacji od liczby danych n. Np. złożoność kwadratowa oznacza większą liczbę działań (dłuższy czas) niż złożoność liniowa, a z kolei złożoność wykładnicza oznacza większą liczbę operacji niż złożoność logarytmiczna. Przykład : prędkość poruszania się obiektu. Załóżmy, iż ustalona jest odległość s = const. w linii prostej od punktu A od punktu B. Wówczas prędkość poruszania się obiektu po linii prostej od punktu A od punktu B jest funkcją czasu, w jakim obiekt przemieści się od punktu A od punktu B: s v t) t ( dla t > 0. Ta zależność funkcyjna jest odwrotnie
89 proporcjonalna do czasu: im większy czas, tym mniejsza prędkość (jeżeli czas rośnie do nieskończoności, to prędkość maleje do zera), natomiast im mniejszy czas, tym większa prędkość (jeżeli czas maleje do zera, to prędkość rośnie do nieskończoności). Jest to zachowanie znane dla ciągu liczbowego a n = /n. Jeżeli np. s = 0 [metrów], to dana jest funkcja homograficzna t > 0. 0 v( t) dla t Rys..5. Fragment wykresu funkcji homograficznej 0 v( t) dla t > 0. t Załóżmy teraz, iż ustalony jest czas t = const. przemieszczania się obiektu. Wówczas prędkość poruszania się obiektu jest funkcją drogi d, jaką pokona obiekt: d v( d) dla d 0. Ta zależność funkcyjna jest wprost t proporcjonalna: im większa przebyta droga w danym czasie, tym większa prędkość, a im mniejsza droga, tym mniejsza prędkość. Jeżeli np. t = 0 [sekund], to dana jest funkcja liniowa d 0. d v d) 0. d 0 ( dla
90 Rys..6. Fragment wykresu funkcji liniowej v( d) 0. d dla d 0. Przykład 3: próbkowanie danych. Załóżmy, iż co jedną sekundę w czasie n = do n = 0 (czyli n =,,,0 [s]) zanotowano następującą liczbę l spadających jesienią liści wraz ze wzrostem czasu n, a tym samy ze wzrostem siły wiatru: n= 3 4 5 6 7 8 9 0 L(n)= 4 9 6 5 36 49 64 8 00 Tab... Liczba spadających liści l(n) dla n sekund. Dla takich argumentów n i wartości l(n) można narysować wykres punktowy:
9 0 00 80 60 40 0 0 0 4 6 8 0 Rys..7. Wykres punktowy dla danych z tab... Łatwo zauważyć, iż dane w tab.. układają się zgodnie ze wzorem l(n) = n dla n =,,,0. Można zadać sobie pytanie, ile wynosi liczba spadających liści l po czasie t =.5,.8 czy 9.6 sekundy. Na podstawie próbkowania danych (danych z tab..- tablicy wartości funkcji) określamy funkcję l(t) = t dla t [;0]. 0 00 80 60 40 0 0 0 4 6 8 0 Rys..8. Wykres funkcji kwadratowej l(t) = t dla t [;0].
9 Oczywiście liczba liści jest wielkością naturalną i gdy np. dla t =.5 obliczono l(t) = t = (.5) =.5, to liczbę liści zaokrąglamy w celach praktycznych do najbliższej liczby całkowitej [l(t)] = [.5] =..6 Zadania ) Podaj pięć przykładów przyporządkowań będących funkcją i występujących w otaczającym nas świecie. ) Wykonaj złożenie funkcji (pamiętaj o odpowiednich dziedzinach i przeciwdziedzinach funkcji): a) f : [0;½] [-;], f( = cos( = y ; g: [-;] [-5;], g ( y) 3y ; h( ( g f )( g( f ( )?, h : [0;/] [-5;]. b) g: (-;) (-;), g( 6 5 y ; f : (-; ) [-;], f(y)=cos(3y); s( ( f g)( f ( g( )?, s : (-; ) [-;]. c) f : R (0; ), f( = 3 = y ; g: (0; ) R, g( y) log 3( y) ; h( ( g f )( g( f ( )?, h : R R. d) g: (0;) R, g log ( y ( 5 ; f : R (0; ), f(y) = 5 y ; s( ( f g)( f ( g( )?, s : (0; ) (0; ).
93 e) f : R + R +, f( = / = y ; g: R + (3; ), ( y) 4 y 8 h( ( g f )( g( f ( )?, h : R + (3; ). g ; 3 f) g: R R, g( 7 y ; f : R R, f(y) = -y-7 ; s( ( f g)( f ( g( )?, s : R R. g) f : R R, f( = -3+ ; g: R R, g( 5 ; h( ( g f )( g( f ( )?, h : R R; s( ( f g)( f ( g( )?, s : R R. h) f : R [0; ), f( = 9 4 ; g: [0; ) [-;], g( sin( h( ( g f )( g( f ( )?, h : R [-;]. ; i) f : R R, f( = - 7 ; g: R [4; ), ( 6 g ; h( ( g f )( g( f ( )?, h : R [4; ). 3) Znajdź funkcję odwrotną (pamiętaj o odpowiednich dziedzinach i przeciwdziedzinach funkcji oraz o symetrii osiowej danej funkcji i funkcji odwrotnej): a) f( = -7-5, f : R R; b) f( = 3, f : [0; ) [0; ); c) f( = 6, f : (-; 0] [0; ); d) f( = -, f : R (0; ); e) f (, f : R\{4} R\{0}; 4 f) f( = -7 9 +, f : R R;
94 g)* f 3 ( 8 3, f : [0; ) [; ); h)* f ( 4 ln(, f : (0;] [0; ); i)* 6 f (, f : (; ) (-; 0); log ( ) 9 j) ( 5 f, f : [0; ) [5; ); k) ( 6 9 f, f : (-; 0] [3; ); l) ( 64 f, f : [0; ) (-; -8]; m) ( 5 8 f, f : (-; 0] (-; -9]. 4)* Wykorzystaj związek (.6) pomiędzy funkcją złożoną a funkcją odwrotną: f : R R, f( = -7 3 +9 ; g: R R, ( 3 h( ( g f )( g( f ( )?, h : R R. g ; f - : R R, f - ( =? ; g - : R R, (? h g ; ( ( g f ) ( ( f g )( f ( g ( )?, h - :R R. Funkcja odwrotna do h może zostać obliczona wprost: (? h. *Naszkicowanie wykresów funkcji występujących w podrozdziale.6 oraz określenie ich własności jest dodatkowym i bardzo kształcącym ćwiczeniem. Odpowiedzi ) a) h( = 3cos(-; b) s( = cos(8+45); c) h( = ; d) s( = ;
95 e) 4 3 h ( 8 ; f) s ( 7 8 ; g) 5 h ( 6 44 ; 5 4 s ( 3 ; h) h( sin(8 ) ; i) h ( 4 4 6. 3) a) d) ( 7 5 f ; b) f ( log log f) f ( 9 ; g) 7 f ( ; e) f 3 3 f ( ( ) ; h) ; c) f ( 6 ; 4 ( 4 8 3 f ( 4 ; e ; j) f ( 5 ; k) 9 f ( ; l) ( 64 6 f ; m) 8 f (. 5 4) h( = 4 3 - ; h ( 3 4 f ( ; 3 9 7 3 ; g (.