MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.

Transkrypt

1 MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Liczby i ich zbiory Podstawy rachunku zdań i algebry zbiorów... [3 godz.] Podstawowe prawa rachunku zdań. Pojęcie zbioru i podstawowych działań na zbiorach. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory. Przedziały liczbowe, działania na przedziałach liczbowych (suma, iloczyn, różnica, dopełnienie). Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych... [3 godz.] Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwinięcia dziesiętne liczb rzeczywistych. Pierwiastki n tego stopnia. Potęga o wykładniku wymiernym - prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym. Prawa działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym. Wartość bezwzględna... [3 godz.] Oś liczbowa, odległość. Układ współrzędnych. Wartość bezwzględna liczby - definicja, interpretacja geometryczna. Przedstawianie na osi liczbowej zbiorów opisanych za pomocą równań i nierówności z wartością bezwzględną. Metody rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną Interpretacja geometryczna. Zastosowania własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Obliczenia w zastosowaniach praktycznych... [3 godz.] Błąd przybliżenia, zasada szacowania wartości liczbowych. Pojęcie procentu, obliczenia procentowe. [ 12 godzin ] Funkcje i ich własności. Definicja funkcji, pojęcie funkcji liczbowej i jej wykres Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji i ich wykresów... [1 godz.] Dziedzina funkcji, miejsce zerowe, zbiór wartości, wartość najmniejsza i największa funkcji w danym przedziale, monotoniczność funkcji, różnowartościowość. Odczytywanie własności funkcji z wykresów. Badanie własności funkcji na podstawie definicji... [2 godz.] Różnowartościowość i monotoniczność. Parzystość i nieparzystość, okresowość. Przekształcanie wykresów funkcji... [3 godz.] Przesunięcia wykresu funkcji o wektor[0, a] oraz wektor[b, 0]. Zapisywanie wzoru funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia o dany wektor. Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) sporządzanie wykresów funkcji: y=f( x),y= f(x),y= f( x),y=f(x a)+b,y=kf(x),y=f(kx),y=f( x ),y= f(x). Zapisywanie wzoru funkcji otrzymanego w wyniku danego przekształcenia. Skład w technologii TEX wykonał Adam Kolany,, mailto:dr.a.kolany@wp.pl... 1

3 Wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze i logarytmiczne Funkcja liniowa... [1 godz.] Definicja i własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe. Układy równań liniowych... [5 godz.] Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązywanie układów równań z wartością bezwzgledną. Układy równań z parametrem. Funkcja kwadratowa... [6 godz.] Definicja i własności funkcji kwadratowej (wykres, monotoniczność, miejsca zerowe, najmniejsza największa wartość funkcji w przedziale). Rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych (z wykorzystaniem własności funkcji kwadratowej). Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia drugiego. Wzory Viete a. Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem. Wielomiany... [3 godz.] Pojęcie wielomianu i prawa dotyczące działań na wielomianach (dodawanie odejmowanie, mnożenie i dzielenie). Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki. Równania i nierówności wielomianowe. Funkcje wymierne... [3 godz.] Definicja funkcji homograficznej i jej własności. Zasady wykonywania działań na wyrażeniach wymiernych. Funkcja wymierna metody rozwiązywania równań i nierówności wymiernych. Układy równań nierówności wymiernych. Potęgi i logarytmy... [3 godz.] Potęga o wykładniku rzeczywistym. Logarytmy. Własności logarytmów. Definicja, własności i wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. [ 21 godzin ] Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne w trójkącie ostrokatnym... [3 godz.] Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Tożsamości trygonometryczne w odniesieniu do kąta ostrego. Funkcje trygonometryczne dowolnego kata... [3 godz.] Wzory redukcyjne. Miara łukowa kąta, wykresy funkcji trygonometrycznych. Definicje funkcji trygonometrycznych. Tożsamości trygonometryczne. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych. Skład w technologii TEX wykonał Adam Kolany,, mailto:dr.a.kolany@wp.pl... 2

4 Ciągi liczbowe Podstawowe pojęcia dotyczące ciągów liczbowych... [2 godz.] Definicja ciągu liczbowego. Ciągi rekurencyjne. Monotoniczność ciągu. Ciąg arytmetyczny i geometryczny... [4 godz.] Definicje ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Wzory na n-ty wyraz ciągu oraz na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Granice ciągów... [6 godz.] Granica ciągu liczbowego, obliczanie granic. Suma szeregu geometrycznego. Procent składany, oprocentowanie lokat i kredytów. [ 12 godzin ] Planimetria Figury płaskie... [1 godz.] Własności podstawowych figur płaskich (proste, półproste, odcinki, kąty, wielokąty, okrąg i koło). Własności symetralnej odcinka, dwusiecznej kata, środkowych boków trójkąta, kątów środkowych i wpisanych. Związki miarowe... [5 godz.] Pola i obwody figur płaskich. Twierdzenie Pitagorasa. Związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii. Twierdzenie sinusów i cosinusów. Zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów, związków miarowych w trójkącie oraz funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania zadań. Przekształcenia geometryczne... [2 godz.] Pojecie osi symetrii i środka symetrii figury. Pojęcie symetrii osiowej i środkowej, przesunięcia oraz własności tych przekształceń. Zastosowania własności izometrii oraz figur przystających do rozwiązywania zadań. Pojecie jednokładności i jej własności. Twierdzenie Talesa i związek z podobieństwem. Cechy podobieństwa trójkątów. Wektory... [1 godz.] Definicja wektora, suma wektorów, iloczyn wektora przez liczbę. Kombinacja liniowa wektorów. [ 9 godzin ] Skład w technologii TEX wykonał Adam Kolany,, mailto:dr.a.kolany@wp.pl... 3

5 Geometria analityczna Prosta... [2 godz.] Różne typy równania prostej na płaszczyźnie. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych. Półpłaszczyzna zapis za pomocą nierówności. Interpretacja geometryczna układu nierówności liniowych. Odległość na płaszczyźnie... [2 godz.] Pojecie odległości na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wyznaczanie odległości dwóch punktów, punktu od prostej, dwóch prostych równoległych. Wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej. Działania na wektorach. Koło i okrąg... [2 godz.] Równanie okręgu, nierówność opisująca koło. Styczna do okręgu. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz pary okręgów na płaszczyźnie. Wykorzystanie równania prostej i okręgu. Stereometria Podstawowe pojęcia geometrii przestrzennej... [2 godz.] Proste równoległe, prostopadłe i skośne. Kąty nachylenia prostej do płaszczyzny, kąty dwuścienne. Graniastosłupy, ostrosłupy. Walce, stożki kule. Wzajemne położenie krawędzi i ścian brył. Pola powierzchni i objętości... [4 godz.] Pole powierzchni i objętość wielościanu i bryły obrotowej. Związki miarowe w bryłach z zastosowaniem trygonometrii. Przekroje płaskie graniastosłupów i ostrosłupów. Bryły wpisane i opisane na innych bryłach. Rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i prawdopodobieństwo... [5 godz.] Pojęcia kombinatoryczne (permutacje, kombinacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń. Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności. Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń w skończonych przestrzeniach probabilistycznych. Pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego oraz twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Skład w technologii TEX wykonał Adam Kolany,, mailto:dr.a.kolany@wp.pl... 4

6 Statystyka opisowa... [1 godz.] Elementy statystyki opisowej (średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, wariancja, odchylenie standardowe (liczone z próby). Analiza jakościowa przedstawianych danych statystycznych. Rachunek pochodnych Granice i ciągłość funkcji... [6 godz.] Granica funkcji w punkcie. Granica niewłaściwa. Granica w punkcie niewłaściwym. Asymptoty poziome. Granice jednostronne. Asymptoty pionowe. Ciągłość funkcji w punkcie. Funkcje ciągłe. Pochodne... [10 godz.] Pochodna funkcji. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej. Związek pochodnej z istnieniem ekstremów i monotonicznością funkcji. Badanie funkcji wielomianowej i wymiernej z wykorzystaniem pochodnej. [ 16 godzin ] Razem: 100 godzin