1 Denicja i podstawowe poj cia Oznaczmy przez K zbiór liczb rzeczywistych lub zespolonych. Przez macierz o wspóªczynnikach (wyrazach) z K rozumiemy prostok tn tablic a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............. (1) a m1 a m2... a mn Macierz jest to, po prostu, wygodny sposób zapisu wielu liczb (elementów). Wierszem macierzy (1) nazywamy ukªad a i1, a i2,..., a in, a kolumn, ukªad a 1j, a 2j,..., a mj, gdzie i {1, 2,... n} oraz j {1, 2,... m}. Zarówno wiersz macierzy jak i kolumn mo»emy identykowa z wektorem, odpowiednio [a i1, a i2,..., a in ] oraz [a 1j, a 2j,..., a mj ] Macierz mierzymy liczb wierszy i liczb kolumn, lub liczb wyrazów w kolumnie i w wierszu. Macierz (1) ma wymiary m na n. Zauwa»my,»e w skrajnych przypadkach uzyskujemy wektory. Dokªadnie, macierz m 1 jest wektorem (w postaci kolumnowej) oraz macierz 1 n jest wektorem. Zauwa»my te»,»e macierz 1 1, to bardziej skomplikowany zapis pojedynczej liczby. Macierz, której wszystkie wspóªczynniki s równe 0 nazywamy zerow i oznaczamy Θ m n lub po prostu Θ, je±li nie ma w tpliwo±ci co do rozmiaru. Je»eli m = n, to macierz nazywamy kwadratow. Wówczas, zamiast mówi,,macierz o wymiarach n n, mówimy,,macierz stopnia n. Dla macierzy kwadratowej stopnia n, ukªad a 11, a 22,..., a nn nazywamy przek tn macierzy. Je»eli a 11 = a 22 = = a nn = 1, oraz a ij = 0 dla i j oraz i, j {1, 2... n}, to macierz nazywamy jednostkow stopnia n i oznaczamy I n. Poni»ej prezentujemy przykªady macierzy jednostkowych, których b dziemy najcz ±ciej u»ywa. I 1 = [1], I 2 = [ ] 1 0, I 0 1 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0, I 4 = 0 1 0 0. 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Je»eli stopie«macierzy jednostkowej nie b dzie istotny dla naszych rozwa»a«, lub jego warto± b dzie wynikaªa jasno z kontekstu, b dziemy pisa po prostu I dla oznaczenia macierzy jednostkowej. 1
2 Dziaªania na macierzach Transpozycja. Dziaªaniem wynikaj cym z samej istoty macierzy jest transpozycja. Polega ono na zamianie wierszy i kolumn. Dokªadnie, niech a 11 a 12... a 1n A = a 21 a 22... a 2n............. (2) a m1 a m2... a mn Macierz transponowan do A oznaczamy przez A T. Mamy: a 11 a 21... a m1 A T = a 12 a 22... a m2............. a 1n a 2n... a mn Je»eli macierz A ma wymiary m n, to A T ma wymiary n m. Zauwa»my jeszcze,»e ( A T ) T = A. Mno»enie przez skalar. Mianem skalar okre±lamy dowolny element zbioru K. Dziaªanie mno»enia przez skalar, podobnie jak transpozycj, mo»na wykona na ka»dej macierzy. Niech s b dzie elementem K oraz A b dzie macierz (2). Wówczas sa 11 sa 12... sa 1n sa = sa 21 sa 22... sa 2n............. sa m1 sa m2... sa mn Czyli ka»dy wyraz macierzy A zostaª pomno»ony przez liczb s. Tak zdeniowane mno»enie nazywamy te» mno»eniem lewostronnym. Podobnie, jak wy»ej mo»emy okre±li wynik dziaªania As, tj. mno»enia prawostronnego macierzy A przez skalar s. Poniewa» jednak w zbiorze K zachodzi prawo przemienno±ci mno»enia, a wspóªczynniki macierzy A, to elementy zbioru K, wi c sa = As. Z tego wzgl du, a tak»e z uwagi na przyj te ogólnie normy zapisu, b dziemy pisa sa dla oznaczenia wyniku mno»enia A przez s. 2
Zauwa»my,»e 0 A = Θ dla dowolnej macierzy A oraz (st)a = s(ta) dla dowolnej macierzy A oraz skalarów s i t. Poniewa» mno»enie przez skalar oraz transpozycj mo»na wykona na ka»dej macierzy, mo»emy oba te dziaªania ª czy. Zauwa»my przy tym,»e sa T = (sa) T dla dowolnej macierzy A oraz dowolnego skalaru s. Dodawanie. Napiszmy dwie macierze o tych samych rozmiarach: a 11 a 12... a 1n b 11 b 12... b 1n A = a 21 a 22... a 2n............, B = b 21 b 22... b 2n............. (3) a m1 a m2... a mn b m1 b m2... b mn Sum macierzy A i B nazywamy macierz A + B równ a 11 + b 11 a 12 + b 12... a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22... a 2n + b 2n............. a m1 + b 1m a m2 + b m2... a mn + b mn Dziaªania dodawania nie mo»na wykona na dwóch dowolnych macierzach: dodawane macierze musz mie takie same rozmiary. Wynika to z istoty denicji, gdy» ka»dy wyraz jednego skªadnika musi mie swój odpowiednik w drugim skªadniku. Z dziaªaniem dodawania wi»e si element neutralny, którym w naszym przypadku jest macierz zerowa o odpowiednich rozmiarach, oraz element przeciwny do danego. Zauwa»my,»e 1 A, lub, krócej, A jest macierz przeciwn do A i, dodatkowo, macierze A oraz A maj takie same rozmiary. Z pomoc macierzy przeciwnej ªatwo jest zdeniowa odejmowanie macierzy. Dokªadnie, A B=A + ( B), a u»ywaj c (3) mamy a 11 b 11 a 12 b 12... a 1n b 1n A B = a 21 b 21 a 22 b 22... a 2n b 2n............. a m1 b 1m a m2 b m2... a mn b mn Je»eli macierze A oraz B maj identyczne rozmiary, to dla dowolnych skalarów s, t, macierze sa oraz tb maj takie same rozmiary. Mamy przy tym zachowan rozdzielno± : 3
(i) sa + sb = s(a + B), (ii) sa + ta = (s + t)a. Podobnie, je±li A oraz B maj takie same rozmiary, to macierze A T oraz B T maj tak»e takie same rozmiary i zachodzi przy tym (A+B) T = A T +B T. Na zako«czenie zauwa»my,»e je±li sa = Θ, to s = 0 lub A = Θ. Zachodz wi c prawa skracania: (i) je»eli sa = sb oraz s 0, to A = B, (ii) je±li sa = ta oraz A Θ, to s = t. Istotnie, je±li sa = sb, to sa sb = sa + s( B) = s(a + ( B)) = s(a B) = Θ. Poniewa» s 0, wi c A B = Θ, czyli A = B. Podobnie, je±li sa = ta, to (s t)a = Θ, wi c s = t, bo A Θ. Mno»enie macierzy. Przy omawianiu dziaªania dodawania, zauwa»yli- ±my,»e nie ka»de dwie macierze mo»na doda. Dziaªanie nie jest, wi c, zawsze wykonalne. W przypadku mno»enia, warunek wykonalno±ci jest bardziej skomplikowany, tak jak i samo dziaªanie. Dlatego, przed podaniem formalnej denicji, podamy dwa przykªady. 2.1.Przykªad. W pewnym mie±cie s trzy piekarnie, które wypiekaj dwa rodzaje chleba. Gªówne skªadniki, których piekarnie potrzebuj do wypieku, to m ka pszenna (MP), m ka»ytnia (M ), zakwas (Z) oraz dodatki smakowe (DS). Proporcje tych skªadników (w zale»no±ci od rodzaju pieczywa) podane s w poni»szej tabeli: MP M Z DS chleb1 20 10 2 3 chleb2 5 30 1 1 Okoliczne sklepy zªo»yªy zamówienia do piekar«. Przedstawione one s nast puj cej tabeli: chleb1 chleb2 piekarnia1 0 80 piekarnia2 35 45 piekarnia3 50 30 4
Ile m ki pszennej nale»y dostarczy do piekarni 2? Aby odpowiedzie na to pytanie, obliczamy: 20 35 jednostek do wypieku pierwszego gatunku chleba oraz 5 45 do wypieku drugiego rodzaju chleba. Razem: 925 jednostek. Podobne obliczenia musieliby±my wykona, aby odpowiedzie na inne tego rodzaju pytania. Za ka»dym razem mno»ymy przez siebie dwie liczby, a wynik dodajemy. Jest to wªa±nie mno»enie macierzy. Aby wykona to mno»enie i uªo»y caª tabel zamówie«(piekarnie w zale»no±ci od skªadników), obie tabele zapisujemy w postaci macierzy: Nast pnie obliczamy: [ 20 10 2 ] 3 5 30 1 1 0 80 35 45 50 30 oraz 0 80 35 45. 50 30 [ ] 20 10 2 3 = 5 30 1 1 0 20 + 80 5 0 10 + 80 30 0 2 + 80 1 0 3 + 80 1 35 20 + 45 5 35 10 + 45 30 35 2 + 45 1 35 3 + 45 1 (4) 50 20 + 30 5 50 10 + 30 30 50 2 + 30 1 50 3 + 30 1 Zauwa»my,»e macierz (4) ma trzy wiersze (tyle ile piekar«) oraz cztery kolumny (tyle ile skªadników). Pierwsze czynniki w wykonywanych dziaªaniach mno»enia to elementy wierszy pierwszej macierzy (pierwszy wyraz w pierwszym skªadniku, drugi w drugim). Drugimi czynnikami s elementy kolumn drugiej macierzy. Po obliczeniu otrzymujemy macierz 400 240 80 80 925 1700 115 160. 1150 1400 130 180 Macierz ta, po opisaniu, jest tabel zamówie«skªadników do ka»dej z piekar«: MP M Z DS piekarnia1 400 240 80 80 piekarnia2 925 1700 115 160 piekarnia3 1150 1400 130 180 5
2.2.Przykªad. Rozwa»my obrót pªaszczyzny dookoªa ±rodka o k t π/2, czyli o 90 o. Wówczas mamy (x 1, x 2 ) ( x 2, x 1 ). Przeksztaªcenie to mo»emy zapisa w postaci mno»enia macierzy: [ x1 x 2 ] [ 0 1 1 0 Aby wykona to mno»enie, mno»ymy wyrazy z wierszy pierwszej macierzy z wyrazami z (jedynej) kolumny drugiej macierzy, a nast pnie dodajemy. Mamy 0 x 1 1 x 2 oraz 1 x 1 + 0 x 2. Rozwa»my teraz symetri pªaszczyzny wzgl dem osi 0x, czyli przeksztaªcenie (x 1, x 2 ) ( x 1, x 2 ). Mo»emy je zapisa w postaci mno»enia macierzy: [ ] x1 x 2 [ 1 0 0 1 Rozwa»my teraz zªo»enie tych dwóch przeksztaªce«. Okazuje si,»e mo»na je zapisa jako [ ] [ ] [ ] [ ] x1 1 0 0 1 x1. 0 1 1 0 x 2 Mamy: [ ] 1 0 0 1 ] ] [ ] 0 1 = 1 0 [ x1 x 2 [ x1 x 2 ]. ]. x 2 [ ] 0 1, 1 0 Czyli je±li najpierw wykonamy obrót, a nast pnie symetri, to otrzymamy przeksztaªcenie (x 1, x 2 ) (x 2, x 1 ). Je»eli, natomiast, najpierw wykonamy symetri, a potem obrót, to otrzymamy przeksztaªcenie [ x1 x 2 ] czyli (x 1, x 2 ) ( x 2, x 1 ). [ 0 1 1 0 ] [ 1 0 0 1 Zanim podamy formaln denicj mno»enia macierzy, wprowadzimy nast puj cy zapis: m a k = a 1 + a 2 + + a m. (5) k=1 Jest to skrócony zapis dodawania wi kszej liczby skªadników. k jest tu zmienn sumowania, 1 jest granic doln, a m granic górn. a k jest wyra-»eniem dodawanym. Zatem, w miejsce zmiennej k w wyra»eniu dodawanym 6 ] [ x1 x 2 ],
wstawiamy kolejne liczby od 1 do m, a nast pnie dodajemy wszystkie otrzymane wyra»enia. Zauwa»my,»e je±li granica górna jest równa dolnej, to mamy dokªadnie jeden skªadnik i warto± sumy jest jemu równa. W przypadku, gdy granica górna jest mniejsza od dolnej, przyjmujemy,»e suma jest równa 0. Podamy teraz denicj iloczynu macierzy. a 11 a 12... a 1m b 11 b 12... b 1p a 21 a 22... a 2m............ b 21 b 22... b 2p............ a n1 a n2... a nm b m1 b m2... b mp m m m a 1k b k1 a 1k b k2... a 1k b kp k=1 k=1 k=1 m m m a 2k b k1 a 2k b k2... a 2k b kp = k=1 k=1 k=1............ m m m a nk b k1 a nk b k2... a nk b kp k=1 (6) Zauwa»my,»e je±li [a i1, a i2,..., a im ] jest i-tym wierszem pierwszej macierzy, a [b 1j, b 2j,... b mj ] jest j-t kolumn drugiej macierzy, to w iloczynie na pozycji (i, j) znajduje si iloczyn skalarny czyli k=1 [a i1, a i2,..., a im ] [b 1j, b 2j,... b mj ], k=1 m a ik b kj. W skrajnym przypadku, tj. je±li pierwsza macierz jest wektorem w postaci wierszowej, a druga wektorem (z t sam liczb wspóªrz dnych, co pierwszy wektor) w postaci kolumnowej, to iloczyn tych dwóch macierzy jest macierz 1 1, a jedynym jej wyrazem jest iloczyn skalarny obu wektorów. W drugim skrajnym przypadku mamy a 11 a 11 b 11 a 11 b 12... a 11 b 1p a 21 [ ] b11 b 12... b 1p = a 21 b 11 a 21 b 12... a 21 b 1p.............. (7) a n1 b 11 a n1 b 12... a n1 b 1p a n1 Mno»enie macierzy mo»emy wykona tylko wtedy, gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn, ile druga wierszy, lub, równowa»nie, w ka»dym wierszu 7 k=1
pierwszej macierzy jest tyle samo wyrazów, co w ka»dej kolumnie drugiej macierzy. Powstaªy iloczyn ma wówczas tyle wierszy, ile pierwsza macierz, i tyle samo kolumn, co druga macierz. Je»eli dokªadnie przeanalizujemy sumy wyst puj ce w (6), to zauwa»ymy,»e mno»enie macierzy jest ª czne, tj. dla dowolnych trzech macierzy A, B, C zachodzi relacja (AB)C = A(BC). Dowód tego faktu znajduje si poni»ej. Poniewa» nie jest on istotny dla zrozumienia dalszej cz ±ci tekstu, mo»na go pomin i przej± za gwiazdki. ****************************************************************** Zapiszmy a 11 a 12... a 1m b 11 b 12... b 1p A = a 21 a 22... a 2m............, B = b 21 b 22... b 2p............, a n1 a n2... a nm b m1 b m2... b mp c 11 c 12... c 1t C = c 21 c 22... c 2t............. c p1 c p2... c pt Wiersz numer i macierzy AB wygl da nast puj co: m a ik b k1, k=1 m a ik b k2,..., k=1 m a ik b kp. k=1 Mno»ymy go przez j-t kolumn macierzy C otrzymuj c wyraz z pozycji (i, j) macierzy (AB)C: ( p m ) p m a ik b kr c rj = a ik b kr c rj. (8) r=1 k=1 r=1 k=1 Z drugiej strony, j-ta kolumna macierzy BC wygl da tak: p p p b 1r c rj, b 2r c rj,..., b mr c rj, r=1 r=1 r=1 a po pomno»eniu i-tego wiersza macierzy A przez t kolumn, otrzymujemy ( m p ) a ik b kr c rj = k=1 r=1 m p p m a ik b kr c rj = a ik b kr c rj, (9) k=1 r=1 8 r=1 k=1
co jest wyrazem z pozycji (i, j) macierzy A(BC). Poniewa» wyniki w równaniach (8) oraz (9) s takie same, i zmienia si od 1 do n, a j od 1 do t, wi c (AB)C = A(BC). ****************************************************************** Elementem neutralnym mno»enia macierzy jest macierz jednostkowa odpowiedniego stopnia. Generalnie musimy tu mówi o dwóch elementach neutralnych: lewym i prawym, które nie musz by równe. Dokªadnie, je±li A jest macierz n m, to lewym elementem neutralnym jest macierz jednostkowa stopnia n natomiast prawym, macierz jednostkowa stopnia m. Zachodzi przy tym równo± I n A = AI m = A. Kwestia przemienno±ci mno»enia macierzy. Jak ju» zauwa»yli±my (równanie (7) i komentarz nad nim), iloczyn dwóch macierzy AB mo»e mie inne wymiary ni» iloczyn BA. St d prosty wniosek: mno»enie macierzy nie jest przemienne. Co wi cej, mo»e si zdarzy,»e iloczyn AB istnieje, natomiast BA ju» nie. Na przykªad, gdy A = [ ] 1 2 3, B = 4 5 6 7 8. 9 Ograniczmy nasze rozwa»ania do macierzy kwadratowych tego samego stopnia. Wówczas zarówno iloczyn AB jak i BA istnieje. Ale przykªad 2.2 pokazuje,»e i w tym przypadku przemienno±, ogólnie, nie zachodzi. W przypadku szczególnym, gdy A jest macierz kwadratow stopnia n mamy AI n = I n A = A. Nie jest to jedyny przypadek szczególny, kiedy mamy przemienno±, ale jest on na tyle istotny,»e w przypadku macierzy kwadratowych nie musimy rozró»nia lewego i prawego elementu neutralnego. Mno»enie macierzy a transpozycja. Zauwa»my,»e je±li iloczyn AB istnieje, to iloczyn B T A T tak»e istnieje. Istotnie, je±li macierz A ma tyle samo kolumn co B wierszy, to po transponowaniu, macierz B ma tyle samo kolumn, co macierz A wierszy. Zachodzi przy tym równanie (AB) T = B T A T (10) 9
Zauwa»my,»e rozmiary macierzy po obu stronach znaku = we wzorze (10) s takie same. Istotnie, je±li A jest macierz m k, a B jest macierz k n, to AB jest macierz m n a (AB) T jest macierz n m. Z drugiej strony, B T jest macierz n k, natomiast A T jest macierz k m. Zatem B T A T jest macierz n m. Dokªadny dowód równania (10) zamieszczamy ni»ej. ****************************************************************** Zapiszmy a 11 a 12... a 1k b 11 b 12... b 1n A = a 21 a 22... a 2k............, B = b 21 b 22... b 2n............. a m1 a m2... a mk b k1 b k2... b kn Wówczas w macierzy AB na pozycji (i, j), gdzie 1 i m, 1 j n, oraz w macierzy (AB) T na pozycji (j, i) znajduje si k a ip b pj. (11) p=1 Z drugiej strony, a 11 a 21... a m1 b 11 b 21... b k1 A T = a 12 a 22... a m2............, BT = b 12 b 22... b k2............, a 1k a 2k... a mk b 1n b 2n... b kn wi c na pozycji (j, i) w macierzy B T A T mamy k b pj a ip. p=1 Powy»sza suma jest to»sama z (11), wi c wzór (10) zachodzi. ****************************************************************** Mno»enie macierzy a mno»enie przez skalar. Dziaªanie mno»enia macierzy przez skalar jest przemienne. Korzystaj c z denicji mno»enia macierzy uzyskujemy dla dowolnych macierzy A i B oraz dowolnego skalaru k nast puj cy wzór: k(ab) = (Ak)B = A(kB) = (AB)k. 10
Rozdzielno± mno»enia macierzy wzgl dem dodawania. Zaªó»my,»e macierze A i B maj takie same rozmiary, powiedzmy m k oraz macierz C ma rozmiary k n. Dokªadnie, niech a 11 a 12... a 1k b 11 b 12... b 1k A = a 21 a 22... a 2k............, B = b 21 b 22... b 2k............, a m1 a m2... a mk b m1 b m2... b mk c 11 c 12... c 1n C = c 21 c 22... c 2n............. c k1 c k2... c kn Wówczas istnieje macierz (A + B)C, w której na pozycji (i, j), gdzie 1 i m, 1 j n znajduje si wyraz k (a ip + b ip )c pj. p=1 Korzystaj c z prawa rozdzielno±ci mno»enia wzgl dem dodawania dla liczb, otrzymujemy równo± powy»szej sumy oraz k (a ip c pj + b ip c pj ). p=1 Ale ostatnia suma, to wyraz z pozycji (i, j) macierzy AC + BC. Udowodnili±my wi c wzór (A + B)C = AC + BC. Jest to analogon znanego prawa rozdzielno±ci dodawania wzgl dem mno»enia liczb (skalarów). W zwi zku z nieprzemienno±ci mno»enia macierzy, prawdziwo± tego wzoru nie oznacza automatycznie prawdziwo±ci wzoru D(A + B) = DA + DB, gdzie D jest macierz r m. Ostatni wzór mo»na jednak udowodni podobnie, jak pokazali±my prawdziwo± pierwszego wzoru. Zaªó»my»e istnieje macierz (A + B)(C + D), tzn. macierze A, B, C, D maj takie rozmiary,»e odpowiednie dziaªania s wykonalne. Wówczas mo»emy zauwa»y,»e macierze AC, AD, BC oraz BD istniej, maj takie same wymiary oraz zachodzi równo± (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD. 11
W rezultacie, zachodz nast puj ce wzory,,skróconego mno»enia ró»ni ce si nieco od analogicznych wzorów na liczbach (ze wzgl du na brak przemienno±ci mno»enia). (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + BA + B 2, (A B) 2 = A 2 AB BA + B 2, (A + B)(A B) = A 2 AB + BA B 2. Nasze rozwa»ania na temat mno»enia macierzy zako«czymy pokazaniem kolejnego kontrastu. Otó», w zbiorach liczbowych zachodzi tzw. prawo skracania, tzn. je±li ab = ac oraz a 0, to b = c. Wynika to st d,»e je±li ab = ac, to ab ac = 0, czyli a(b c) = 0. Ostatnia równo± oznacza,»e a = 0 lub b c = 0. Poniewa», z zaªo»enia wiemy,»e a 0, wi c b c = 0 i w konsekwencji b = c. Kluczowym punktem powy»szego dowodu jest fakt,»e je±li iloczyn dwóch liczb jest równy zeru, to przynajmniej jedna z tych liczb jest zerem. Fakt ten nie zachodzi dla macierzy. Na przykªad, [ ] [ ] 0 1 2 0 = Θ 0 0 0 0 2 2. (12) Dlatego, je±li zdeniujemy, na przykªad, [ ] [ ] 0 1 1 1 A =, B =, C = 0 0 0 0 to pomimo faktu,»e A Θ, AB = AC, to B C. 3 Wyznacznik macierzy [ ] 1 1, 0 0 W tym rozdziale ograniczymy nasze rozwa»ania do macierzy kwadratowych. Jak ju» zauwa»yli±my, dodawanie i odejmowanie macierzy maj wªasno±ci analogiczne do odpowiednich wªasno±ci dziaªa«na liczbach. Sytuacja si komplikuje, gdy zaczynamy mówi o mno»eniu. Zostaje jeszcze jedno dzia- ªanie: dzielenie. Aby o tym mówi, nale»y rozwa»y macierz odwrotn do danej. Dokªadnie, mówimy,»e macierz A jest odwracalna lub ma macierz odwrotn A, je±li AA = A A = I. I tu znów mamy pewn niespodziank. Kiedy spojrzymy na wzór (12), zauwa»ymy kontrast z dziaªaniem mno»enia 12
na liczbach: iloczyn dwóch niezerowych macierzy mo»e by równy macierzy zerowej. Oznacza to»e»adna z macierzy z (12) nie ma macierzy odwrotnej. Istotnie, je±li B Θ A oraz AB = Θ, a A jest macierz odwrotn do A, to B = IB = (A A)B = A (AB) = A Θ = Θ, sk d sprzeczno±. Podobnie pokazujemy,»e B te» nie ma macierzy odwrotnej. Zatem macierz zerowa nie jest jedyna macierz, która nie jest odwracalna. Przypiszemy ka»dej macierzy liczb z K. Jak si przekonamy pó¹niej, je±li przypisana liczba jest ró»na od zera, to macierz jest odwracalna. Zaczniemy od macierzy 1 1 oraz 2 2. Denicja wyznacznika macierzy stopnia 2. Wyznacznikiem macierzy [a] [ nazywamy ] liczb a, i oznaczamy det[a]. Wyznacznikiem macierzy A = a1 a 2 nazywamy liczb a b 1 b 1 b 2 b 1 a 2, któr oznaczamy 2 [ ] a1 a det 2 = b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2. (13) Zauwa»my nast puj ce zale»no±ci, która jest podstaw denicji wyznaczników macierzy wy»szych stopni: det A = ( 1) 1+1 a 1 det[b 2 ] + ( 1) 1+2 a 2 det[b 1 ] = ( 1) 2+1 b 1 det[a 2 ] + ( 1) 2+2 b 2 det[a 1 ] = ( 1) 1+1 a 1 det[b 2 ] + ( 1) 2+1 b 1 det[a 2 ] = ( 1) 1+2 a 2 det[b 1 ] + ( 1) 2+2 b 2 det[a 1 ]. Tego rodzaju zapis nazywamy rozwini ciem Laplace'a wzgl dem, odpowiednio, pierwszego wiersza, drugiego wiersza, pierwszej kolumny, drugiej kolumny. Rozwa»my, na przykªad, rozwini cie wzgl dem pierwszej kolumny (trzecie wyra»enie). W kolejnych skªadnikach wyst puj 1 podniesione do pot gi, których wykªadnikami s sumy pozycji, na których znajduj si kolejne wyrazy pierwszej kolumny. Te pozycje, to (1, 1) oraz (2, 1). St d ( 1) 1+1 oraz ( 1) 2+1. Nast pnymi czynnikami s wyrazy z A znajduj ce si na wskazanych pozycjach, a za nimi znajduj si wyznaczniki macierzy, które powstaj po skre±leniu, odpowiednio, wiersza 1 i kolumny 1 ([b 2 ]) oraz wiersza 2 i kolumny 1 ([a 2 ]). Wyznaczniki macierzy [b 2 ] i [a 2 ] nazywamy 13
dopeªnieniami wyrazów a 1 i b 1, odpowiednio, macierzy A i oznaczamy A 11 oraz A 21. Zanim przejdziemy dalej, zauwa»ymy na tym prostym przykªadzie,»e wyznacznik ma kilka przydatnych wªasno±ci. Poni»sze twierdzenie oka»e si prawdziwe tak»e dla wyznaczników macierzy wy»szych stopni ni» 2. [ ] a1 a 3.3.Twierdzenie. Je»eli A = 2 oraz k K, to b 1 b 2 (w1) je±li A ma wiersz (kolumn ) zªo»on z zer, to det A = 0: 0 = 0 0 b 1 b 2 = a 1 a 2 0 0 = 0 a 2 0 b 2 = a 1 0 b 1 0. (w2) Je±li który± z wierszy (kolumn) macierzy A pomno»ymy przez k, to wyznacznik tak otrzymanej macierzy wynosi k det A: k det A = ka 1 ka 2 b 1 b 2 = a 1 a 2 kb 1 kb 2 = ka 1 a 2 kb 1 b 2 = a 1 ka 2 b 1 kb 2. (w3) Je±li w macierzy A zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik tak otrzymanej macierzy wynosi det A: det A = b 1 b 2 a 1 a 2 = a 2 a 1 b 2 b 1. (w4) Je±li do jednego wiersza (kolumny) macierzy A dodamy wielokrotno± drugiego wiersza (kolumny), to det A nie zmieni si : det A = a 1 + kb 1 a 2 + kb 2 b 1 b 2 = a 1 a 2 b 1 + ka 1 b 2 + ka 2 = a 1 + kb 2 a 2 b 1 + kb 2 b 2 = a 1 a 2 + ka 1 b 1 b 2 + kb 2. Dowody powy»szych równo±ci s ªatwymi konsekwencjami wzoru det A = a 1 b 2 b 1 a 2. Akurat w przypadku macierzy 2 2 przedstawione wªasno±ci nie maj wi kszego znaczenia praktycznego, poniewa» mamy ªatwy wzór pozwalaj cy obliczy natychmiast wyznacznik. Powy»sze twierdzenie udowodnimy po podaniu peªnej denicji, tj. dla macierzy wszystkich stopni. 14
Denicja wyznacznika macierzy stopnia 3. Posªu»ymy si tu wzorem ogólnym, a nast pnie zauwa»ymy,»e zachodzi te» specjalny wzór zwany wzorem Sarrusa. Na pocz tek podamy ogóln denicj dopeªnienia wyrazu macierzy. Niech A b dzie macierz stopnia n. Dopeªnieniem A ij wyrazu a ij macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n 1, która powstaje z macierzy A po skre±leniu wiersza i oraz kolumny j (czyli wiersza i kolumny w których jest a ij ). a 11 a 12 a 13 Wyznacznikiem macierzy A = a 21 a 22 a 23 nazywamy warto± wyraa 31 a 32 a 33»enia lub ( 1) i+1 a i1 A i1 + ( 1) i+2 a i2 A i2 + ( 1) i+3 a i3 A i3 ( 1) 1+j a 1j A 1j + ( 1) 2+j a 2j A 2j + ( 1) 3+j a 3j A 3j. Dosy»mudne obliczenia rachunkowe pokazuj,»e wszystkie powy»sze wyra»enia s sobie równe niezale»nie od i oraz j. Pierwsze wyra»enie nazywa si rozwini ciem Laplace'a det A wzgl dem wiersza i, a drugie rozwini ciem Laplace'a det A wzgl dem kolumny j. Rozwi«my det A wzgl dem pierwszego wiersza i wykorzystajmy wzór na obliczenie wyznacznika macierzy stopnia 2. Mamy det A = ( 1) 1+1 a 11 A 11 + ( 1) 1+2 a 12 A 12 + ( 1) 1+3 a 13 A 13 a = a 22 a 23 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 23 a 31 ) = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21. Wzór, który si pojawiª po ostatnim przeksztaªceniu nazywa si wzorem Sarrusa. Jest on do± tudny do zapami tania, ale mo»na go stosunkowo ªatwo 15
odtworzy. Wystarczy pod macierz dopisa dwa pierwsze wiersze + a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 i pomno»y najpierw wzdªu» skosu od lewej do prawej trzy razy, doda, a nast pnie od otrzymanej sumy odj trzy iloczyny otrzymane z mno»enia po skosie od prawej do lewej. W przypadku macierzy 3 3 stosowanie twierdzenia 3.3 nabiera sensu. Zwªaszcza stosowanie warunku (w4). Chodzi o to,»e mo»emy wyrugowa niezerowe wyrazy z wiersza lub kolumny i w ten sposób upro±ci liczenie wyznacznika. Rozwa»my to na nast puj cych dwóch przykªadach. 1 2 3 7 1 2 8 1 6 Wykorzystamy jedynk w lewym, górnym rogu (pozycja (1, 1)). Wiersz drugi zast pimy przez ró»nic R 2 7R 1, tzn. odejmiemy od niego wiersz pierwszy pomno»ony przez 7. 1 2 3 = 0 13 19 8 1 6 Wykonamy teraz operacj R 3 8R 1. 1 2 3 = 0 13 19 0 15 18 Wiedz c,»e mno»enie przez 0 daje w wyniku 0, ostatni wyznacznik obliczamy wykonuj c nast puj ce mno»enia. =1 ( 13) ( 18) ( 19) ( 15) 1 = 51. 16
I drugi przykªad: 11 3 8 4 1 9 18 5 6 1 0 19 = 4 1 9 18 5 6 1 0 19 = 4 1 9 2 0 39 =39 38 = 1. (R 1 3R 2 ) (R 3 5R 2 ) Przejdziemy teraz do denicji wyznacznika macierzy dowolnego stopnia. Jest to denicja rekurencyjna, to znaczy wyznacznika od razu nie obliczamy, tylko zapisujemy go w postaci sumy wyznaczników macierzy ni»szego (o jeden) stopnia. Zaznaczymy,»e dla wyznaczników macierzy stopnia 4 i wi kszych nie zachodzi wzór Sarrusa ani»aden jego analogon. Rozwini cie Laplace'a w przypadku ogólnym. Zanim podamy wzór, przypomnijmy notacj Σ (wzór (5)). Przypomnijmy te» denicj dopeªnienia A ij elementu a ij macierzy a 11 a 12... a 1j... a 1n a 21 a 22... a 2j... a 2n A =.................. a i1 a i2... a ij... a in. (14).................. a n1 a n2... a nj... a nn Rozwini ciem Laplace'a wyznacznika det A wzgl dem wiersza i nazywamy sum n ( 1) i+k a ik A ik, (15) k=1 natomiast rozwini ciem Laplace'a wyznacznika macierzy A wzgl dem kolumny j nazywamy sum n ( 1) k+j a kj A kj. k=1 17
Oczywi±cie i lub j mog by równe dowolnej liczbie ze zbioru {1, 2,..., n}. Udowodnimy teraz twierdzenie 3.3 w przypadku ogólnym, tzn. gdy macierz A jest jak w (14). Aby pokaza warunek (w1), rozwijamy det A wzgl dem wiersza (kolumny), w którym(ej) mamy same zera. W efekcie otrzymamy sum n zer, co daje wynik 0. Przyjmijmy,»e kolumna j macierzy A jest pomno»ona przez skalar k. Rozwini cie Laplace'a det A wzgledem tej kolumny wygl da nast puj co. n ( 1) p+j ka pj A pj = k p=1 n ( 1) p+j a pj A pj = k det A, p=1 co pokazuje (w2). Aby wyci gn k przed znak sumy, korzystamy tu z rozdzielno±ci mno»enia wzgl dem dodawania. Podobnie pokazujemy, ze wªasno± (w2) zachodzi tak»e dla wierszy. Aby pokaza (w3) zastosujemy metod indukcji matematycznej, przy czym dowód b dzie dla dwóch zamienionych wierszy. W przypadku kolumn post pujemy analogicznie. Dla n = 2 mamy a 21 a 22 a 11 a 12 = a 21a 12 a 22 a 11 = a 11 a 12 a 21 a 22. Zaªó»my,»e teza (w3) zachodzi dla wszystkich macierzy stopnia n 2, tj. je±li w macierzy A stopnia n zamienimy dwa wiersze, to znak wyznacznika tak powstaªej macierzy zmieni si na przeciwny. Rozwa»my macierz à stopnia n + 1, która powstaªa z macierzy A po zamianie wierszy i oraz j (i j). Poniewa» n + 1 > 2, wi c w macierzy à jest jeszcze wiersz k, który nie jest wierszem i ani wierszem j. Rozwijamy det à wzgl dem wiersza k: n+1 det à = ( 1) k+p a kp à kp. (16) p=1 Ale dla p {1, 2,..., n + 1}, wyznacznik Ãkp jest wyznacznikiem macierzy stopnia n, w której dwa wiersze (te, które odpowiadaj wierszom i oraz j macierzy A) s zamienione miejscami. Zatem, z zaªo»enia indukcyjnego mamy równo± Ãkp = A kp, czyli suma po prawej stronie (16) jest równa n+1 n+1 ( 1) k+p a kp ( A kp ) = ( 1) k+p a kp A kp = deta, p=1 p=1 18
gdy» suma przed ostatnim znakiem = jest rozwini ciem Laplace'a wyznacznika det A wzgl dem wiersza k. Zatem det à = det A. Na mocy indukcji matematycznej, wªasno± (w3) jest prawdziwa dla macierzy A dowolnego stopnia. Wykorzystamy wªasno± (w3), aby pokaza (w4). Ale, zanim przejdziemy do dowodu (w4), poka»emy nastepuj cy lemat. 3.4.Lemat. Je±li macierz A ma dwa identyczne wiersze (dwie identyczne kolumny), to det A = 0. Dowód. Powiedzmy,»e wiersze (kolumny) numer i oraz j s identyczne. Je±li zamienimy je miejscami, to macierz si nie zmieni, ale, zgodnie z wªasno- ±ci (w3), jej wyznacznik zmieni znak na przeciwny. Zatem mamy det A = det A, czyli 2 det A = 0, a st d det A = 0. Zaªó»my,»e wiersz [a i1, a i2,..., a in ] macierzy A zostaª zast piony przez [a i1 + ka j1, a i2 + ka j2,..., a in + ka jn ] i w ten sposób otrzymali±my macierz Ã. Poka»emy,»e wyznacznik tak otrzymanej macierzy jest równy det A. W tym celu zauwa»my,»e Ãip = A ip dla p {1, 2,..., n} i rozwi«my det à wzgl dem wiersza i. Otrzymamy n ( 1) i+p (a ip + ka jp )Ãip = p=1 n n ( 1) i+p a ip A ip + k ( 1) i+p a jp A ip. (17) p=1 p=1 Korzystamy tu z rozdzielno±ci mno»enia wzgl dem dodawania. Pierwsza suma po prawej stronie równania (17) jest równa det A, natomiast druga suma jest rozwini ciem Laplace'a wyznacznika macierzy, w której wiersze i oraz j s takie same. Z lematu 3.4 wynika,»e taki wyznacznik jest równy zero. St d det à = det A. ****************************************************************** Poprawno± denicji wyznacznika. Powy»sza denicja wyznacznika macierzy daje du»o swobody: mo»na rozwija wyznacznik wzgl dem dowolnego wiersza lub kolumny. Nasuwa to pytanie: Czy za ka»dym razem otrzymamy t sam warto±? Odpowied¹ powinna by,,tak, bo inaczej denicja wyznacznika nie miaªaby sensu. Formalnie, poka»emy,»e warto± wyznacznika jest ta sama je±li rozwijamy go wzgl dem wiersza numer i lub wzgl dem wiersza numer 1. Podobnie pokazujemy t wªasno± dla kolumn. Rozwa»my wi c 19
wyznacznik macierzy A (14) przy zaªo»eniu,»e i 1 oraz n > 2. det A = n ( 1) i+p a ip A ip p=1 rozwiniemy teraz A ip wzgl dem pierwszego wiersza. n n = ( 1) i+p a ip ( 1) 1+q a 1q (A ip ) 1q p=1 q=1,q p (A ip ) 1q oznacza wyznacznik macierzy, która powstaªa z A po skre±leniu wierszy i i 1 oraz kolumn p i q. Nie ma znaczenia w jakiej kolejno±ci skre±lamy. Zatem (A ip ) 1q = (A 1q ) ip. Po zastosowaniu praw rozdzielno±ci i przemienno±ci otrzymujemy = = n ( 1) 1+q a 1q q=1 n p=1,q p n ( 1) 1+q a 1q A 1q. q=1 ( 1) i+p a ip (A 1q ) ip W dalszym ci gu mo»emy mie pewne w tpliwo±ci: Czy warto± rozwini cia wzgl dem wiersza jest równa warto±ci rozwini cia wzgl dem kolumny? Na to pytanie daje odpowied¹ nast pny paragraf. ****************************************************************** Wyznacznik a transpozycja. Denicja wyznacznika oraz wszystkie wªasno±ci, które omówili±my dotycz wierszy oraz kolumn. Oznacza to,»e nie ma znaczenia, czy rozwa»amy macierz, czy jej transpozycj. Dokªadnie, a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 21 a 12 a 22. Zastosujemy teraz indukcj matematyczn i w kroku indukcyjnym poka»emy,»e dla macierzy A stopnia n > 2, rozwini cie Laplace'a wzgl dem wiersza numer i jest rozwini ciem Laplace'a wyznacznika macierzy det A T wzgl dem kolumny numer i. B dzie to oznacza,»e det A = det A T. 20
Poka»emy,»e wspomniane rozwini cia Laplace'a s równe. Rozwa»my skªadnik rozwini cia dla wyznacznika macierzy A (14) wzgl dem wiersza i. Pierwszym czynnikiem jest tu ( 1) i+j, gdzie (i, j) jest pozycj drugiego czynnika, czyli a ij. W macierzy transponowanej do A, czynnik ten znajduje si na pozycji (j, i), czyli w wierszu j i kolumnie i. Mamy ( 1) i+j a ij = ( 1) j+i a ij, czyli zostaje nam pokaza,»e A ij = (A T ) ji. Ale A ij jest wyznacznikiem macierzy stopnia n 1, a (A T ) ji jest wyznacznikiem macierzy transponowanej do macierzy, której wyznacznikiem jest A ij. Z zaªo»enia indukcyjnego mamy wi c» dan równo±. Na pocz tek obliczymy wyznacznik nast puj cej macierzy sto- Przykªady. pnia 4. 1 1 2 2 A = 4 0 2 1 3 1 2 1. 5 4 3 2 Mo»emy bezpo±rednio rozwin det A wzgl dem którego± wiersza lub kolumny, ale w efekcie dostaniemy sum, której skªadniki zawieraj wyznacznik macierzy 3 3. Je±li umiej tnie wybierzemy wiersz lub kolumn, to, efektywnie, skªadników sumy b dzie trzy. Ale i w tym wypadku trzeba b dzie obliczy a» trzy wyznaczniki macierzy stopni 3. Skorzystamy z warunku (w4), aby "wyzerowa "trzy wyrazy w pierwszym wierszu macierzy A. Wyraz, który nie zostanie wyzerowany nazywamy sednem. W naszym wypadku, sednem jest 1. I tak: do kolumny numer 2 dodamy pierwsz kolumn (C 2 + C 1 ), od kolumny numer 3 odejmiemy dwa razy pierwsz kolumn (C 3 2C 1 ) oraz do kolumny numer 4 dodamy dwa razy pierwsz kolumn (C 4 + 2C 1 ). W rezultacie otrzymamy: 1 0 0 0 det A = 4 4 6 9 3 4 4 5 5 9 7 12 Rozwini cie Laplace'a powy»szego wyznacznika wzgl dem pierwszego wiersza zawiera tylko jeden niezerowy skªadnik. Jest to 4 6 9 ( 1) 1+1 1 4 4 5 9 7 12. 21
Skªadnik ten jeszcze bardziej upro±cimy. Wykonamy najpierw dwie operacje: R 2 R 1, oraz R 3 2R 1. Otrzymamy 4 6 9 det A = 0 2 4 1 5 6. Teraz od wiersza numer 1 odejmiemy cztery razy wiersz numer 3. Dostaniemy wyznacznik, który obliczymy wykorzystuj c wzór Sarrusa. 0 26 33 det A = 0 2 4 = 1 ( 26) ( 4) 33 2 1 = 38. 1 5 6 Nast pnym wyznacznikiem, który obliczymy, b dzie wyznacznik macierzy stopnia 5. 1 2 4 8 16 0 1 2 4 8 B = 1 0 1 2 4 2 1 0 1 2. 4 2 1 0 1 U»yjemy tu jedynki na pozycji (1, 1) jako sedna i wyzerujemy wyrazy pod ni. Nast pnie rozwiniemy wyznacznik wzgl dem pierwszej kolumny. Otrzymamy: 1 2 4 8 16 0 1 2 4 8 1 2 4 8 det B = 0 2 5 10 20 = 2 5 10 20 0 3 8 17 34 3 8 17 34. 0 6 15 32 65 6 15 32 65 Teraz od kolumny czwartej odejmiemy dwa razy kolumn trzeci i rozwiniemy wyznacznik wzgl dem ostatniej kolumny. Dostajemy 1 2 4 0 det B = 2 5 10 0 1 2 4 3 8 17 0 = 2 5 10 6 15 32 1 3 8 17. Jedynk na pozycji (1, 1) wykorzystamy jako sedno i wyzerujemy pozostaªe wyrazy w pierwszym wierszu. Nast pnie ze wzoru Sarrusa obliczamy warto± 22
wyznacznika. 1 0 0 det B = 2 1 2 3 2 5 = 5 4 = 1. ****************************************************************** Obliczymy teraz wyznacznik macierzy Vandermonde'a stopnia n: 1 1... 1 a 1 a 2... a n V n = a 2 1 a 2 2... a 2 n............, a 1, a 2,..., a n C a n 1 1 a n 1 2... an n 1 Przy obliczaniu skorzystamy z zasady indukcji matematycznej oraz ze wzoru dwumianowego Newtona: (x y) k = k j=0 ( ) k ( 1) k j x j y k j, k 1. j Bezpo±rednio obliczamy det V 2 = 1 1 a 1 a 2 = a 2 a 1. Zaªó»my,»e dla dowolnych a 1, a 2,..., a n 1 C zachodzi wzór det V n 1 = (a k a j ). n 1 k>j 1 Symbol po prawej stronie oznacza iloczyn wyra»e«typu a k a j, gdzie k > j, n 1 k oraz j 1. Na przykªad, Poka»emy,»e det V 3 = (a 2 a 1 )(a 3 a 1 )(a 3 a 2 ). det V n = n k>j 1 Wykonamy wielokrotnie operacj (w4). Dokªadnie: 23 (a k a j ). (18)
- Od ostatniego wiersza odejmiemy ( ) n 1 a1 razy przedostatni wiersz. Do 1 tak otrzymanego wiersza dodamy ( ) n 1 2 a 2 1 razy wiersz numer n 2, itd. Ostatecznie, do otrzymanego wiersza dodamy ( 1) n 1 a n 1 1 razy pierwszy wiersz. Po wykonaniu tych operacji, elementy ostatniego wiersza bed postaci n 1 ( ) n 1 a j k j ( 1)n 1 j a n 1 j 1 = (a k a 1 ) n 1 j=0 dla k {1, 2,..., n}. - Post pujemy podobnie z przedostatnim wierszem zast puj c go wierszem postaci [ (a1 a 1 ) n 2, (a 2 a 1 ) n 2,..., (a n a 1 ) n 2]. - Post puj c dalej wedªug opisanego schematu, dochodzimy do wiersza drugiego, od którego odejmujemy wiersz pierwszy. Po wykonaniu opisanych operacji, otrzymujemy 1 1... 1 0 a 2 a 1... a n a 1 det V n = 0 (a 2 a 1 ) 2... (a n a 1 ) 2............................... 0 (a 2 a 1 ) n 1... (a n a 1 ) n 1 Rozwijamy powy»szy wyznacznik wzgl dem pierwszej kolumny i stosujemy wªasno± (w2) do ka»dej kolumny. Po uproszczeniu mamy a 2 a 1... a n a 1 det V n = (a 2 a 1 ) 2... (a n a 1 ) 2........................... (a 2 a 1 ) n 1... (a n a 1 ) n 1 ( n ) 1 1... 1 a 2 a 1 a 3 a 1... a n a 1 = (a k a 1 ) (a 2 a 1 ) 2 (a 3 a 1 ) 2... (a n a 1 ) 2 k=2....................................... (a 2 a 1 ) n 2 (a 3 a 1 ) n 2... (a n a 1 ) n 2 24
Wyznacznik który pojawiª si na ko«cu jest wyznacznikiem macierzy Vandermonde'a stopnia n 1. Mo»emy wi c zastosowa do niej zaªo»enie indukcyjne. zgodnie z tym zaªo»eniem, wyznacznik ten jest równy ((a k a 1 ) (a j a 1 )) = (a k a j ). n k>j 2 n k>j 2 Powy»szy iloczyn mno»ymy z iloczynem stoj cym przy wyznaczniku, którego warto± jest pierwszym iloczynem i otrzymujemy (18). Na podstawie indukcji matematycznej, wzór ten deniuje wyznacznik macierzy Vandermonde'a stopnia n. ****************************************************************** W nast pnym przykªadzie rozwa»ymy macierz a 1 a 2... a n C n = a n+1 a n+2... a 2n............, a (n 1)n+1 a (n 1)n+2... a n 2 gdzie a 1, a 2,..., a n 2 jest ci giem arytmetycznym. Mo»emy zatem zapisa a 1 = a, a k = a + (k 1)r dla k {1, 2,..., n 2 } oraz r = a 2 a 1. Mamy zatem a a + r... a + (n 1)r det C n = a + nr a + (n + 1)r... a + (2n 1)r................................................. a + (n 1)nr a + ((n 1)n + 1)r... a + (n 2 1)r Odejmujemy pierwsz kolumn od wszystkich pozostaªych dostaj c a r... (n 1)r det C n = a + nr r... (n 1)r............................ a + (n 1)nr r... (n 1)r Po odj ciu od ostatniej kolumny, kolumny numer dwa pomno»onej przez n 1 otrzymujemy macierz z ostatni kolumn zªo»on z samych zer. Zatem det C n = 0. 25
Zauwa»my,»e do wykonania tych wszystkich operacji potrzebujemy przynajmniej trzech kolumn: pierwszej, drugiej i ostatniej. Wi c powy»sze rozwa-»ania s prawdziwe dla macierzy stopnia wi kszego lub równego 3. Rozwa»my macierz stopnia 2: det C 2 = a a + r a + 2r a + 3r = a a + r 2r 2r = a r 2r 0 = 2r2. W kolejnych przej±ciach odj li±my pierwszy wiersz od drugiego, a potem od drugiej kolumny odj li±my pierwsz. Niech teraz a 1, a 2,..., a n 2 b dzie ci giem geometrycznym. Zapiszmy a 1 = a, a k = aq k 1 dla k {1, 2,..., n 2 } oraz q = a 2 /a 1. W tym wypadku mamy a aq... aq n 1 det C n = aq n aq n+1... aq 2n 1.......................... aq (n 1)n aq (n 1)n+1... aq n2 1 Po odj ciu pierwszej kolumny pomno»onej przez q od drugiej, otrzymujemy drug kolumn zªo»on z samych zer. St d det C n = 0 dla n 2. ****************************************************************** Przykªad ten podamy za [2] i wykorzystamy pó¹niej przy pokazywaniu wzoru Cauchy'ego. Niech A b dzie macierz kwadratow stopnia n o wyrazach a ij, B macierz kwadratow stopnia m o wyrazach b ij i niech C b dzie macierz o rozmiarach m n i wyrazach c ij. Rozwa»my macierz kwadratow E stopnia m + n, której wyrazy e ij s zdeniowane nast puj co: a ij, gdy 1 i n, 1 j n; 0, gdy 1 i n, n < j n + m; e ij = c ij, gdy n < i n + m, 1 j n; b ij, gdy n < i n + m, n < j n + m. W ten sposób,,poskªadali±my wi ksz macierz z czterech kawaªków. Macierz t zapiszemy w skrócie [ ] A Θ E =. C B 26
Poka»emy (indukcj po m),»e det E = det A det B. Oznaczymy macierz B przez B m dla podkre±lenia stopnia tej macierzy. W pierwszym kroku udowodnimy,»e det E = det A det B 1. (19) Rozwijaj c det E wzgl dem ostatniej kolumny otrzymujemy det E = ( 1) (n+1)+(n+1) b 11 det A. (20) Poniewa» det B 1 = b 11, wzór (20) jest równowa»ny równo±ci (19). W kroku indukcyjnym zaªo»ymy,»e det E = det A det B m 1, gdzie B m 1 jest dowoln macierz stopnia m 1 i poka»emy,»e det E = det A det B m. (21) W tym celu rozwiniemy wyznacznik det E wzgl dem ostatniej kolumny: [ ] A Θ m [ ] A Θ det E = det = ( 1) (n+i)+(n+m) b C B im det, m C i (B m ) i i=1 gdzie (B m ) i jest macierz powstaª z B m po skre±leniu ostatniej kolumny oraz wiersza numer i, a C i jest macierz powstaª z C po skre±leniu wiersza numer i. Poniewa» (B m ) i jest ju» macierz stopnia m 1, wi c mo»emy zastosowa zaªo»enie indukcyjne. Zgodnie z nim dostajemy det E = m ( 1) i+m b im det A det(b m ) i = det A i=1 m ( 1) i+m b im det(b m ) i. Ale ostatnia suma jest rozwini ciem Laplace'a wyznacznika det B m wzgl dem ostatniej kolumny, wi c ostatni wzór jest to»samy z (21). Na podstawie indukcji matematycznej pokazali±my,»e det E = det A det B. ****************************************************************** i=1 Wyznacznik a mno»enie macierzy przez staª. W tym wypadku, skorzystamy z wªasno±ci (w2). Zatem, je»eli stopie«macierzy M wynosi n, to km jest macierz, w której ka»da z n kolumn jest pomno»ona przez k. St d det(km) = k n det M. 27
Wyznacznik a mno»enie macierzy. Je±li chodzi o zale»no± mno»enia macierzy od wyznacznika, to zachodzi tu wzór Cauchy'ego: det(ab) = det A det B. ****************************************************************** Wzór ten wyprowadzimy w oparciu o zale»no± [2], któr ju» pokazali±my, a mianowicie [ ] A Θ det = det A det B. C B Dla dowodu zaªó»my,»e macierze A oraz B s stopnia n oraz maj wyrazy, odpowiednio, a ij i b ij. Rozwa»my dwie macierze: [ ] A Θ E = I B [ ] A AB oraz F =. I Θ Z naszych rozwa»a«wynika natychmiast,»e det E = det A det B. Je±li chodzi o macierz F, to po zamianie wierszy 1 i n+1, 2 i n+2,... n i 2n otrzymamy macierz [ ] I Θ, A AB której wyznacznik jest równy det( I) det(ab) = ( 1) n det F. Skorzystali- ±my tu n razy z wªasno±ci (w3), st d ( 1) n. Z drugiej strony, ªatwo jest zauwa»y,»e det( I) = ( 1) n, wi c det F = det(ab). Pozostaje udowodni,»e det E = det F. W tym celu zastosujemy wielokrotnie wªasno± (w4) dla macierzy E: operacja 1: Do kolumny numer n + i dodamy kolumn numer 1 pomno»on przez b 1i. W rezultacie na n pierwszych pozycjach tej kolumny otrzymamy wyrazy a 1j b 1i, na miejscu n + 1-szym jest 0, a dalej b 2i, b 3i,..., b ni. operacja 2: Do zmienionej kolumny numer n+i dodamy drug kolumn pomno»on przez b 2i. W zmienionej kolumnie na pozycjach od 1 do n s wyrazy postaci a 1j b 1i + a 2j b 2i, potem dwa zera, a pó¹niej b 3i,..., b ni. dalsze operacje: Kontynuujemy, otrzymuj c w n pierwszych miejscach kolumny numer n + i kolejne skªadniki sum, które s wyrazami i-tej kolumny macierzy AB, a na nast pnych pozycja kolejne zera. 28
operacja n: Do zmienionej kolumny numer n + i dodamy n-t kolumn pomno»on przez b ni. W zmienionej kolumnie na pozycjach od 1 do n s wyrazy n postaci a pj b pi, a potem zera. p=1 Po zastosowaniu opisanych operacji do kolumn n + 1, n + 2,..., 2n macierzy E otrzymamy macierz F. A wyznacznik nie zmieni si. ****************************************************************** Metoda Chio obliczania wyznaczników. Podamy teraz za [3] kolejny wzór na obliczanie wyznaczników macierzy A (14) stopnia wi kszego od 2. Aby mo»na byªo zastosowa ten wzór, wyraz a 11 musi by ró»ny od zera. Zapiszmy a ij = a 11 a 1j. Wówczas det A = 1 a n 2 11 a i1 a ij a 22 a 23... a 2n a 32 a 33... a 3n............. (22) a n2 a n3... a nn Niedogodno± zwi zan z zaªo»eniem a 11 0 mo»na zniwelowa zamieniaj c zamieniaj c wiersze macierzy. Dokªadnie, je±li w pierwszej kolumnie s same zera, to z (w1) wynika,»e det A = 0. W przeciwnym wypadku, zamieniamy pierszy wiersz z innym, w którym na pierwszej pozycji nie ma zera. Mo»emy zastosowa teraz wzór Chio, ale pami tajmy,»e znak wyznacznika zmieniª si na przeciwny (po zamianie wierszy: wªasno± (w3)). Podamy dowód,»e wzór Chio faktycznie prowadzi do obliczenia wyznacznika macierzy A. ****************************************************************** Zaªó»my,»e A jest macierz jak w (14) oraz a 11 0. Od kolumny numer j, gdzie 2 j n, odejmujemy kolumn pierwsz pomno»on przez a 1j /a 11. Po tych operacjach, warto± wyznacznika si nie zmieni (wªasno± (w4), a w kolumnie numer j na pozycji i otrzymamy a ij a 1j a 11 a i1. (23) 29
Zauwa»my, ze na pierwszej pozycji w ka»dej kolumnie, z wyj tkiem pierwszej, mamy 0. Istotnie, je±li i = 1, to warto± wyra»enia (23) jest równa 0. Rozwijamy wyznacznik wzgl dem pierwszego wiersza. W rezultacie otrzymujemy dokªadnie jeden niezerowy skªadnik Rozpiszmy A 11 : ( 1) 1+1 a 11 A 11. (24) a 22 a 12 a 11 a 21... a 2j a 1j a 11 a 21... a 2n a 1n a 11 a 21.......................................... A 11 = a i2 a 12 a 11 a i1... a ij a 1j a 11 a i1... a in a 1n a 11 a i1........................................... a n2 a 12 a 11 a n1... a nj a 1j a 11 a n1... a nn a 1n a 11 a n1 Po skorzystaniu z wªasno±ci (w2) (traktujemy ka»d kolumn jako pomno-»on przez 1/a 11 ) i przypomnieniu denicji a ij otrzymujemy A 11 = 1 a n 1 11 a 22... a 2j... a 2n............... a i2... a ij... a in................ a n2... a nj... a nn Po uwzgl dnieniu (24) otrzymujemy (22). ****************************************************************** Wyznacznik, który wyst puje po prawej stronie powy»szego wzoru, jest wyznacznikiem macierzy stopnia mniejszego o jeden od stopnia macierzy A. Zatem i tym razem mamy wzór, który nie pozwala obliczy bezpo±rednio wyznacznika macierzy wysokiego stopnia. Jedyne co, to zast puje wyznacznik macierzy stopnia n wyznacznikiem macierzy stopnia n 1. Wzór bezpo±redni pojawi si w nast pnym paragrae. Bezpo±redni wzór na obliczenie wyznacznika. Podamy tu bezpo±redni wzór na warto± wyznacznika macierzy A (14). Potrzebne nam b d pewne wiadomo±ci z zakresu permutacji, czyli funkcji wzajemnie jednoznacznych okre±lonych na zbiorze N = {1, 2,..., n} o warto±ciach w tym samym zbiorze. 30
Takich funkcji jest dokªadnie n!. Ka»d permutacj π mo»emy zapisa w postaci macierzy ( ) 1 2... n, π(1) π(2)... π(n) gdzie w pierwszym wierszu piszemy argumenty, a w drugim warto±ci funkcji π. Ka»d permutacj rozkªadamy na rozª czne cykle. Cyklem (c 1 c 2... c k ) nazywamy permutacj α, w której α(c 1 ) = c 2, α(c 2 ) = c 3,..., α(c k ) = c 1 oraz α(i) = i dla i / {c 1, c 2,..., c n }. Rozkªad ten tworzymy nast puj co: krok 1: Niech c 11 1 b dzie najmniejsz liczb dla której π(c 11 ) c 11. Zapisujemy pierwszy cykl c 1 = (c 11 c 12... c 1k1 ), gdzie c 12 = π(c 11 ), c 13 = π(c 12 ),..., c 11 = π(c 1k1 ). Je»eli N = N 1 = {1, 2,..., c 11, c 12,..., c 1k1 }, to zapisujemy π = c 1. Jest to ju» rozkªad permutacji π na rozª czne cykle. krok 2: Niech c 21 b dzie najmniejsz liczb, która nie nale»y do zbioru N 1 oraz π(c 21 ) c 21 Tworzymy drugi cykl c 2 = (c 21 c 22... c 2k2 ) wedªug tego samego schematu, co pierwszy. Je»eli N = N 2 = N 1 {c 21, c 22,..., c 2k2 }, to zapisujemy π = c 1 c 2, co jest rozkªadem permutacji π na rozª czne cykle. krok 3: Post pujemy tak a» do wyczerpania zbioru N. Ostatecznie dostajemy rozkªad π = c 1 c 2... c p. Znak cyklu sgn(c 1 c 2... c k ) jest to liczba 0, je±li k jest nieparzysta oraz 1, je»eli k jest liczb nieparzyst. Znakiem permutacji sgnπ, gdzie π = c 1 c 2... c p nazywamy iloczyn p i=1 sgnc i. Zatem sgnπ jest równy 1 lub 1. Po tym wst pie dotycz cym permutacji podamy wzór na obliczenie wyznacznika macierzy (14) stopnia n. det A = π ( 1) sgnπ n k=1 a kπ(k). (25) Suma w powy»szym wzorze ma tyle skªadników ile jest permutacji zbioru n- elementowego, czyli n!. Dowód tego wzoru przeprowadza si przez indukcj wzgl dem stopnia macierzy. ****************************************************************** Dla dowodu przytoczymy fakt dotycz cy permutacji: 31
3.5.Twierdzenie. Dla dowolnych permutacji σ, τ, zachodzi sgn(στ) = sgnσsgnτ. Post puj c zgodnie z zasad indukcji matematycznej, zauwa»my,»e dla n = 2 mamy dwie permutacje: identyczno± (o znaku 1) oraz (12) (o znaku 1). W rezultacie mamy a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1)0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21, co jest zgodne z (25) oraz z (13). W celu wykonania kroku indukcyjnego, zapiszmy wyznacznik macierzy A wymiarów n n (14) zgodnie z denicj (15): n det A = ( 1) 1+k a 1k A 1k. (26) k=1 Rozwin li±my wyznacznik wzgl dem pierwszego wiersza. Wyznacznik A 1k jest wyznacznikiem macierzy n 1 n 1, wi c aby go obliczy, mo»emy skorzysta z zaªo»enia indukcyjnego, tj. ze wzoru (25). Pami tajmy jednak,»e dowolna permutacja π dotyczy pozycji wyrazów w macierzy wyznacznika A 1k, a nie ich indeksów. Aby permutacja byªa zgodna z indeksowaniem tych wyrazów, musimy wykona kilka kroków. Po pierwsze, rozszerzamy π do π, nadaj c argumentowi n, warto± n. Po drugie, deniujemy cykle p = (n n 1... 2 1) oraz q = (k k + 1... n). Rozwa»my zªo»enie q πp. Znak tego zªo»enia, to ( 1) n 1 ( 1) n k sgn π = ( 1) 1+k sgn π. Poza tym, zªo»enie to przeprowadza 1 na k. Zatem skªadnik ( 1) 1+k a 1k A 1k jest sum wszystkich (n 1)! permutacji, które przeprowadzaj 1 na k a, id c dalej, suma z lewej strony (26) jest sum po wszystkich permutacjach zbioru {1, 2,... n} z 1 podniesionym do pot gi, której wykªadnikiem jest znak permutacji. Otrzymujemy wi c wzór (25). Z zasady indukcji matematycznej wynika,»e wzór (25) jest prawdziwy. ****************************************************************** 4 Zastosowania wyznaczników Przytoczymy tu dwie najcz stsze sytuacje, w których wykorzystujemy wyznaczniki. Pierwsza z nich, to ukªady równa«. Okazuje si,»e ukªad n równa«32
z n niewiadomymi mo»na rozwi za obliczaj c n + 1 wyznaczników macierzy n n a nast pnie wykonuj c proste dzielenie liczb. Druga sytuacja, to obliczanie macierzy odwrotnej do danej, co pozwala zdeniowa dzielenie macierzy: dziaªanie, którego jeszcze nie rozwa»ali±my. Ukªady równa«cramera. Rozwa»my nast puj cy ukªad n równa«z n niewiadomymi x 1, x 2,..., x n. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (27)........................................... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n = b n Liczby (rzeczywiste lub zespolone) a ij (i, j {1, 2,..., n}) nazywamy wspóªczynnikami ukªadu równa«, a liczby b j (1 j n) wyrazami wolnymi. Zdeniujmy macierze a 11 a 12... a 1n b 1 A = a 21 a 22... a 2n............ oraz B = b 2.... a 11 a 12... a 1n b n Macierz A nazywamy macierz ukªadu równa«(27), natomiast macierz B nazywamy kolumn wyrazów wolnych. Ukªad (27) nazywamy ukªadem Cramera, je»eli det A 0. Zapiszmy kolumny macierzy A jako wektory w postaci kolumnowej: a 11 a 12 a 1n A 1 = a 21..., A 2 = a 22...,..., A n = a 2n.... a n1 a n2 a nn Ukªad (27) mo»emy zapisa w postaci kolumnowej: A 1 x 1 + A 2 x 2 + + A n x n = B. Oznaczmy przez A (k) (1 k n) macierz powstaª z A po zamianie kolumny numer k przez wyrazy wolne, czyli A (k) = [A 1... A j 1 B A j+1... A n ] 33
Niech W = det A oraz dla 1 k n, W k = det A (k). Wówczas liczby x 1 = W 1 W, x 2 = W 2 W,..., x n = W n W (28) s rozwi zaniem ukªadu równa«(27) i ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi - zanie. ****************************************************************** Poka»emy prawdziwo± wzorów (28). Dowód przeprowadzimy za [1]. Rozszerzymy macierz A ukªadu równa«(27) wstawiaj c w ostatniej kolumnie wyrazy wolne oraz w pierwszym wierszu wspóªczynniki i wyraz wolny j-tego równania. Otrzymujemy a j1 a j2... a jn b j a 11 a 12... a 1n b 1 Ā = a 21 a 22... a 2n b 2................ a 11 a 12... a 1n b n Poniewa» dwa wiersza macierzy Ā s identyczne, wi c det Ā = 0. Z drugiej strony, rozwijaj c wyznacznik macierzy Ā wzgl dem pierwszego wiersza dostajemy n 0 = det Ā = ( 1) k+1 a jk Ā 1k + ( 1) n+2 b j Ā 1 n+1. (29) k=1 Przypomnijmy,»e Ā1 n+1 jest wyznacznikiem macierzy, która powstaªa z Ā po skre±leniu pierwszego wiersza i ostatniej ((n + 1)-szej) kolumny, wi c Ā 1 n+1 = det A. Wykorzystuj c zaªo»enie det A 0, otrzymujemy nast puj c wersj równania (29). 1 n ( 1) k+1 a ( 1) n+2 jk Ā 1k = b j. det A k=1 Powy»sze równanie, na mocy prawa rozdzielno±ci mno»enia wzgl dem dodawania jest równowa»ne n a jk ( 1)k n Ā 1k = b j. (30) det A k=1 34
Zauwa»my,»e równanie (30) jest j-tym równaniem ukªadu (27), gdzie zamiast niewiadomej x k (1 k n) wstawili±my liczb ( 1)k n Ā 1k. Zatem liczby det A ( 1) 1 n Ā 11 det A, ( 1) 2 n Ā 12 det A,... ( 1) 0 Ā 1n det A s rozwi zaniem ukªadu równa«(27). Poka»emy,»e (31) ( 1) k n Ā 1k = det A (k). (32) B dzie to oznacza,»e rozwi zaniem ukªadu równa«(27) s liczby (28). Aby udowodni (32), przyjrzyjmy si macierzy, z której obliczony jest wyznacznik Ā 1k. Powstaªa ona z Ā w wyniku skre±lenia pierwszego wiersza oraz k-tej kolumny. Jest to wi c [A 1... A k 1 A k+1... A n B]. Ró»ni si ona od A (k) tym,»e B jest na ko«cu a nie w k-tym miejscu. Aby wstawi kolumn B,,na swoje miejsce, trzeba zamieni j, kolejno, z A n, A n 1,..., A k+1. Razem dokonujemy n k zamian, a ka»da z nich skutkuje zmian znaku wyznacznika. Zatem Ā 1k = ( 1) n k det A (k), co jest równowa»ne (32). Pozostaªo jeszcze pokaza,»e (28) jest jedynym rozwi zaniem ukªadu równa«(27). W tym celu zaªó»my,»e α 1, α 2,..., α n oraz β 1, β 2,..., β n s dwoma ró»nymi rozwi zaniami ukªadu równa«(27). Mamy zatem oraz czyli A 1 α 1 + A 2 α 2 + + A n α n = B A 1 β 1 + A 2 β 2 + + A n β n = B, A 1 (α 1 β 1 ) + A 2 (α 2 β 2 ) + + A n (α n β n ) = Θ. (33) Zauwa»my,»e A 1 x 1 + A 2 x 2 + + A n x n = Θ jest ukªadem Cramera, poniewa» macierz tego ukªadu to A (macierz ukªadu (27)). Ale z zaªo»enia mamy,»e przynajmniej jedna z liczb α 1 β 1, 35