3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny o końcach, mającej sztywność K i pomijalną masę w stosunku do masy M umocowanej w jej końcu, na który działa zmienna w czasie siła F(t). Zarówno przemieszczenia końców sprężyny u, u jak i siła F mają składowe wyłącznie w kierunku 0x pokazanym na rys.3.1. M F x Rys.3.1. Oscylator harmoniczny Równanie ruchu punktu oscylatora, wynikające z drugiej zasady dynamiki, jest w postaci (3.1) Widzimy, że jego rozwiązanie wymaga znajomości przemieszczenia końca u, którego określenie jest zwyczajowo nazywane warunkiem brzegowym i pełni formalnie rolę wymuszenia podobnie jak siła F. Rozróżniamy więc dwa typy wymuszeń - siłowe lub kinematyczne. Przyjmijmy, że u =0, a siła ma postać funkcji harmonicznej F(t)=Fexp(j t). Jeżeli przedmiotem poszukiwań jest rozwiązanie stanu ustalonego, to jest takiego kiedy przemieszczenie jest również funkcją harmoniczną u (t)=u exp(j t), to równanie (3.2) przyjmuje szczególnie prosta postać Jego rozwiązanie zapisuje się zwykle jako (3.2) ( ) (3.3) (3.4)
Iloraz F/K nosi nazwę statycznego przemieszczenia u 0 =u ( Zauważamy, że w przypadku, kiedy K/M to amplituda u dąży do nieskończoności. Efekt ten nazywamy rezonansem mechanicznym a częstość = (K/M) częstością rezonansową lub częstością drgań swobodnych (bez wymuszeń). To ostatnie określenie wynika z tego, że przemieszczenie u 1 =u 1 exp(j 1 t) jest rozwiązaniem równania (3.2), w którym prawa strona jest definicyjnie równa zeru. mplituda u 1 może być wówczas dowolną liczbą rzeczywistą, co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Mówimy, że postać drgań swobodnych jest określona z dokładnością do stałego mnożnika. Rozwiązanie równania ruchu oscylatora w przypadku czystego wymuszenia kinematycznego (F=0, u 0) ma identyczną postać jak (1.78), należy jedynie zastąpić u 0 przez u. Rozwiązywane równanie (3.1) dotyczy układu bezstratnego, w którym możliwe są nieskończenie wielkie drgania w warunkach rezonansu, kiedy siła bezwładności jest równa i przeciwnie skierowana do siły sprężystej. W rzeczywistych układach drgających zawsze występuje dodatkowa siła tarcia, która odpowiada rozpraszaniu energii na ciepło. Najprostszym modelem takiego rozpraszania jest tzw. tarcie wiskotyczne, w którym siła tarcia jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia a jej wartość jest proporcjonalna do prędkości. Równanie ruchu przyjmuje wtedy postać (3.5) Zakładając jak poprzednio ustalone drgania harmoniczne u (t)=u exp(j t) i wprowadzając amplitudę przemieszczenia statycznego u 0 otrzymuje się równanie ruchu, tym razem w postaci zespolonej ( ) (3.6) Dla uproszczenia zapisu wprowadza się pojęcie tłumienia krytycznego C k, powyżej którego w układzie nie są możliwe swobodne oscylacje (3.7) Rozwiązując (3.6) otrzymuje się następującą zależność dla wymuszonych siłowo przy u =0 drgań z tłumieniem [ ] (3.8) Kąt fazowy przemieszczenia wynika ze wzoru (3.9) Przebiegi charakterystyk amplitudowej (3.8) i fazowej (3.9) w funkcji normalizowanej częstości analizowanego układu pokazano na rys.3.2 i rys.3.3.
u /u 0 ζ=0.05 ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=1.0 ω/ω 1 Rys.3.2. Charakterystyka wzmocnienia amplitudowego układu o jednym stopniu swobody φ [deg] ζ=0.05 ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=1.0 ω/ω 1 Rys.3.3. Charakterystyka fazowa kąta opóźnienia przemieszczenia względem siły wymuszającej dla układu o jednym stopniu swobody Przesunięcie maksimum charakterystyki amplitudowej wynikające z tłumienia w stosunku do wartości w modelu bezstratnym wynosi (3.10)
Dla większości materiałów konstrukcyjnych względny współczynnik tłumienia ζ jest mniejszy od 0.1 i dlatego też w obliczeniach częstości rezonansowych stosuje się model bezstratny (3.1). Tłumienie dodaje się zwykle na etapie obliczeń drgań wymuszonych. Szczegółowa analiza charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej pozwala znalezienie jej własności mających istotne znaczenie przy wyznaczaniu współczynnika tłumienia na drodze eksperymentalnej. Składowe rzeczywista H Re ( ) i urojona H Im ( ) wzmocnienia drgań o amplitudzie u ( ) wyrażają się wzorami [ ] (3.11) [ ] (3.12) Dla współczynnika tłumienia ζ<0.1 częstość ζ, przy której H Re ( ) jest równy H Im ( ) wynosi a przy tym zachodzi (3.13) (3.14) Stąd wynika, że dla tej częstości amplituda wzmocnienia H( ) jest równa ( ) ( ) W praktyce charakterystyka wzmocnienia jest najczęściej podawana w decybelowej skali mocy sygnału L H ( ), co przy dotychczasowych oznaczeniach daje Poziom mocy sygnału, przy którym odczytujemy wartość współczynnika tłumienia jest więc równy (w stosunku do maksimum przebiegu) (3.15) ( ) (3.16) ( ) (3.17)
H( H Re ( 0 H Im ( Rys.3.4. Charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej ( =0.01) 3.2 Drgania własne układu o dwóch stopniach swobody Rozpatrzmy obecnie właściwości układu posiadającego dwa stopnie swobody reprezentowane przez przemieszczenia dwóch mas zawieszonych sprężyście względem otoczenia rys.3.5. Przyjmuje się, że przemieszczenia u 1, u 2 mają tylko jedną składową w kierunku 0x. Warunki brzegowe dla końców sprężyn K 1, K 3 ustala się na u =u =0. Jak poprzednio rozpatrujemy wyłącznie stan ustalony przy wymuszeniu harmonicznym. K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 u 1 u 2 x Rys.3.5. Układ o dwóch stopniach swobody Równania harmonicznego ruchu układu (bez tłumienia) są w postaci [ ] { } [ ] { } { } (3.18)
które zapisuje się w zwartej postaci jako ( [ ] [ ]){ } { } (3.19) nalizę drgań swobodnych prowadzi się przekształcając (3.19) poprzez lewostronne wymnożenie przez macierz odwrotną M -1 i podstawienie {F}=0 ([ ] [ ] [ ]){ } (3.20) gdzie I jest macierzą identycznościową, a elementy diagonalnej macierzy [M] -1 są równe odwrotnościom odpowiadających im elementów macierzy mas [M]. Nietrywialne ({u} 0) rozwiązanie (1.95) występuje, kiedy wyznacznik macierzy tego równania jest równy zeru ([ ] [ ] [ ]) (3.21) Dla rozpatrywanego elementarnego przypadku o dwu stopniach swobody prowadzi to do równania kwadratowego [ ] (3.22) w którym przez = k 2 oznaczono poszukiwaną k-tą wartość własną. Podstawiając otrzymane wartości k 2 wstecz do równania (3.20) otrzymujemy związki pozwalające na wyznaczenie k- tej postaci drgań własnych (k-tego wektora własnego macierzy). PRZYKŁD. Wyznaczyć częstości i postacie drgań własnych układu pokazanego na rys.3.5, gdzie K 1 =K 2 =K 3 =K i M 1 =M 2 =M. Oznaczmy iloraz K/M przez Równanie charakterystyczne (3.22) uprości się do postaci którego pierwiastki wynoszą Równanie (3.19) zapisuje dla k-tej postaci drgań ψk się jako ([ ] [ ]) { } Podstawiając kolejno 1 i 2 uzyskuje się zależność wiążącą wartości składowych postaci własnych rakujące równanie do określenia wartości poszczególnych składowych przyjmuje się zwykle podając wymaganie normalizacyjne ψk, któr w n rmi n r tyczn j znacza Ostatecznie poszukiwane postacie drgań własnych wynoszą
{ } { } Pierwsza postać drgań własnych jest jednoczesnym przemieszczaniem się mas M 1 i M 2 wzdłuż osi osi 0x sprężyna K 2 jest cały czas nienapięta. Mamy tu więc do czynienia z wzajemnie odseparowanymi drganiami dwóch identycznych oscylatorów drgających w przeciw-fazie o częstości własnej Druga postać drgań polega jednoczesnym ściskaniu (rozciąganiu) sprężyny K 2 i rozciąganiu (ściskaniu) sprężyn K 1 i K 3. Środek ciężkości całego układu jest w tym przypadku nieruchomy. Schematycznie pokazano to na rys.3.6. K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 u 1 u 2 K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 u 1 u 2 x Rys.3.6. Postacie drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody