Zadaia szkole dla studetów chemii Podstawowe ozaczeia R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych N zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,,,... ; N dodatich, tj. liczb,,... Z zbiór wszystkich liczb ca lkowitych, tj. liczb 0,,,,,... zbiór wszystkich liczb aturalych Q zbiór wszystkich liczb wymierych, tj. takich, które sa ilorazami dwu liczb ca lkowitych. [a,b] przedzia l domkie ty, tz. [a,b] = x R: a x b}, czyli [a,b] to zbiór z lożoy z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które sa jedocześie wie ksze lub rówe a i miejsze lub rówe b. [a,b) = x IR: a,b) = x IR: a,b] = x IR: a x < b} przedzia l domkie to otwarty. a < x < b} przedzia l otwarty. a < x b} przedzia l otwarto domkie ty. lub te symbol ozacza ieskończoość, to ie liczba, ale dodatkowy symbol. te symbol ozacza mius ieskończoość, to ie liczba, ale dodatkowy symbol. Przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi ierówość < x < oraz że x = ; x = ; x = ; x = ; = ; ) ) = ; = ) ) = ; ) = ) = ; jeśli x > 0, to x = i x ) = ; jeśli x < 0, to x = i x ) = ; x = x = 0; jeśli x >, to x = i x = 0; jeśli 0 < x <, to x = 0 i x =. Iych dzia lań z udzia lem symboli ieskończoych ie defiiujemy, bo jak sie późiej okaże ie mia loby to sesu, p. ie defiiujemy, 0,,, 0 oraz 0 0, 00. Końcem przedzia lu może być symbol ieskończoy. Jeśli jede z końców jest ieskończoy, to przedzia l azyway jest pó lprosta ; jeśli oba końce sa ieskończoe prosta. Uwaga. Niektóre ozaczeia odbiegaja od stosowaych w polskich liceach, ale musimy stosować ozaczeie przyje te a ca lym świecie, bo a ich stosowaie poza szko lami w RP r,4,...) polscy specjaliści od dydaktyki wp lywu ie maja, a auka jest mie dzyarodowa. W szczególości symbol C, który zacziemy używać w drugim semestrze, ozacza a ca lym świecie zbiór liczb zespoloych i ie wolo im ozaczać zbioru liczb ca lkowitych! Wykrzykikiem sa ozaczoe te zadaia, które każdy koieczie powiie zrobić.. Obliczyć: a) 8 4 4 5 :9 ): 5 4: 9 8 5 7. Obliczyć: a) 0 4 4 5 :5 5 4: 9 8 5 4 :6:5 : 5 4, b) 0,05 [, b) 5 7 5 4 5,9): 4. [ 6,5)] 4 58), : 4,5,75) 7 5 0 7 : 5 6 ] :,5.. Obliczyć: a) 5 : ) 4 5 40 ),5 :,7, b) 0,. 40 7 0 8 5 ):8 6 4. Obliczyć: a) 4,75):9 8 9 :5, b). 5 8 5 4 8 5 8 85 7 0 )] 5! Obliczyć używaja c jedyie g lowy w lasej, kartki i o lówka dwa ostatie elemety ie sa koiecze, kalkulatory oraz komputery sa chwilowo zakazae) a) 0 0 49 9,658: 7 5,,965):, 0,045) : 0,08 b) : 4 9,80,65:0,75 0,005:0,0 5 5 8
Zadaia szkole c),4 0,5 0,75 0,0: 5 00 0,06), ) ) 85 :,6) : 00 47 9 7 6! Zmieszao kg stopu o zawartości 5% miedzi i kg stopu o zawartości 40% miedzi. Ile procet miedzi zawiera otrzymay stop? 7. Zmieszao a kg stopu o zawartości p% miedzi i b kg stopu o zawartości q % miedzi. Ile procet miedzi zawiera stop? 8. Cee towaru obiżoo ajpierw o 0%, a aste pie owa cee podwyższoo o 0%. Jaka cze ścia cey pocza tkowej jest końcowa cea? 9! Poumerowao stroy w ksia żce. Użyto w tym celu 6869 zaków drukarskich zak drukarski to jeda cyfra). Ile stro ma ksia żka? 0! Zadaie hrabiego Lwa To lstoja, zaego kiedyś?) pisarza). Kosiarze maja skosić dwa pola zboża wie ksze i miejsze. Pracuja jedakowo wydajie i rówomierie. Zacze li wszyscy kosić wie ksze pole. W po lowie dia pracy podzielili sie : po lowa zosta la a wie kszym polu skosi la je do końca wieczorem. Reszta przesz la a miejsze pole, dwa razy miejsze od pierwszego. Ilu kosiarzy pracowa lo, jeśli aste pego dia przyszed l a miejsze pole tylko jede i w cia gu ca lego drugiego dia skosi l je do końca.. Do liczika i do miaowika u lamka a b, a,b > 0 dodao te sama liczbe 000. Otrzymaa liczba jest wie ksza od a b. Jaki jest zak liczby a b, a jaki liczby a000 b000?. Pies goi lisa. Pocza tkowa odleg lość mie dzy imi rówa by la 0 m. D lugość każdego skoku psa rówa jest m, lisa m. W czasie, w którym lis wykouje trzy skoki, pies skacze dwa razy. Po przebiegie ciu jakiego dystasu pies dogoi lisa?. Suma dwu liczb rówa jest 57, a 8% pierwszej liczby to 7,5% drugiej. Jakie to liczby? 4. Uprościć wyrażeia: a),5x [0,6x,5x x ) x x)] [0,x x,5x) x ], b) x,4xy,y,6xy [0,6y,4x,4xy)],4xy 6y)}, c),6x,8y [,x y 0,6x),4y],6x 0,x)}, d) x[5y 7x 4y)] 8y[x 7y 5x) 6x y)], e) m ) m )m m 4) m ), f) a ) 4aa )a ) a )a a ), g) a ) a )a 4)a ), h) a ) 4aa )a ) a), i) x )x 4 x ) x ). j) xy) x y) 4xy, 5! Dla jakich liczb par liczb) prawdziwe sa rówości a) x 5 = x 5, b) x y = xy, c) x y = 0, d) x =, e) x = 4, f) x x =. g) x = x, h) x = x, i) x 6 = 6 x, j) x 4) = x 4, k) x x =, l) x 4 x a = 5.
Zadaia szkole 6. Uprościć wyrażeia a) x x x, gdy < x <, b) x x x, gdy x <, c) x x x x, gdy x <. 7. Z defiicji pierwiastka arytmetyczego wyika, że x = x. Korzystaja c z tego wzoru uprościć a) x x, b) x 5) x, a c) b gdy b 0, d) x 6x 9 x. Fukcja liiowa azywamy fukcje postaci y = axb, a i b sa tu dowolymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli p. a = 0, b =, to otrzymujemy y =, wie c fukcja w tym przypadku jest sta la. Ozacza to, że jej wartość ie zależy od wyboru puktu x. Jeśli a =, b =, to otrzymujemy fukcje y = x. Tym razem jej wartość zależy od wyboru argumetu x. Jeśli x = 0, to y =, jeśli x =, to y =, jeśli x =, to y = itd. Wykresem fukcji liiowej jest liia prosta. Jak wiadomo przez każde dwa róże pukty przechodzi dok ladie jeda liia prosta. Wobec tego dla arysowaia wykresu fukcji liiowej wystarczy zaleźć dwa jego róże pukty. Zauważmy, że proste y = ax i y = ax b ie maja ai jedego puktu wspólego, gdy b 0, albo, gdy b = 0, pokrywaja sie. Wobec tego, że leża w jedej p laszczyźie, sa rówoleg le. y = x 0,6 y = 0,5 Na rysuku a = w przypadku pary prostych rówoleg lych i a = w przypadku trzeciej prostej. α α,0) y = x y = 0,5x Jeśli a A, to dwie proste o rówaiach y = ax b i y = Ax B maja dok ladie jede pukt wspóly. Jeśli pukt x, y) ma leżeć a obu tych prostych, to musi być spe lioy waruek ax b = Ax B, wie c x = B b a A B b. Wtedy y = a a A b = ab ba a A, wie c jedyym puktem wspólym ). Oczywiście ie ma żadej potrzeby zapamie tywać tego tych dwu prostych jest pukt B b a A, ab ba a A wzoru Zawsze, gdy tylko be dzie zmuszei do zalezieia puktu wspólego dwu prostych o zaych rówaiach, be dziemy mogli rozwia zać uk lad rówań. Bez trudu moża zauważyć, że im wie ksza jest liczba a > 0, tym bardziej stroma jest prosta o rówaiu y = ax b. Wystarczy przyjrzeć sie prostym przechodza cym przez pukt 0,0), bo prosta y = ax b jest rówoleg la do prostej y = ax, która przechodzi przez pukt 0,0). Prosta y = ax przechodzi przez pukt,a), który zajduje sie tym wyżej, im wie ksza jest liczba a.
Zadaia szkole Zauważmy, że trójka t o wierzcho lkach 0,0),,0) i,a) jest prostoka ty ka t przy wierzcho lku,0) jest prosty). Ozaczmy ka t przy wierzcho lku 0,0) przez α. Przypomijmy, że tages ka ta ostrego w trójka cie prostoka tym to stosuek przyprostoka tej leża cej aprzeciw wierzcho lka tego ka ta do drugiej przyprostoka tej. Wobec tego tg α = a = a. Wykazaliśmy wie c, że jeśli a > 0, to tages ka ta ostrego, którego jedo ramie jest zawarte w osi OX, a drugie w prostej y = ax jest rówy a. Jeśli a < 0, to d lugości przyprostoka tych rówe sa i a = a. Wobec tego w tym przypadku tages ka ta ostrego, którego jedo ramie jest zawarte w osi OX, a drugie w prostej y = ax, jest rówy a = a. Zwie kszaja c liczbe x, zmiejszamy liczbe y = ax b prosta skierowaa jest,,w dó l, a ie w góre, jak poprzedio. Widzimy, że jest oa tym bardziej stroma, im wie ksza jest liczba a. Defiicja. wspó lczyika kierukowego prostej) Liczbe rzeczywista a azywamy wspó lczyikiem kierukowym prostej o rówaiu y = ax b. 8! Zacieiować zbiór tych wszystkich puktów p laszczyzy, których wspó lrze de spe liaja waruki: a) x i y <, b) < x < i < y <, c) x = i y, d) x = i y =, e) 4 x > i y <, f) x = lub x = 4 oraz y < 4, g) x > y, h) y > x )x ), i) x y )x y 4) > 0, j) x y)x y)x y) < 0, k) x < x < y, l) y x y y > 0. 9. Rozwia zać uk lady rówań i zilustrować rozwia zaie rysukiem: x 5y = 9 x y = 9 a) b) 5x y = 9 4x y = 9 x y = 7x y = 0 c) d) x 8y = 6 4x y = x y = 5 e) x y = 9 f) x 4 y = x y = 7 6 0! Dla jakich wartości parametru m każdy z uk ladów rówań: x y = 4 x y = m 4x y = 7 a) b) c) 4x my = m x y = m mx y = jest uk ladem rówań iezależych, zależych, sprzeczych. d) x y = m x y =. Rozwia zać uk lady rówań, w szczególości ustalić liczbe rozwia zań w zależości od parametru a. x ay = x y = 4 x ay = x ay = a) b) c) d) x y = x ay = a ax y = x ay = 9. Dla jakich wartości parametru k pukt przecie cia sie prostych y = x k 5 i y = x k leży wewa trz kwadratu o wierzcho lkach: A = 0,0), B = 0,), C =,), D =,0)? x y = k. Dla jakich wartości parametru k rozwia zaie uk ladu jest: x y = k a) para liczb ujemych, b) para liczb dodatich, c) para liczb o przeciwych zakach? 4
Zadaia szkole 4! Rozwia zać uk lady rówań: x y z = 4 x 4y z = x y 4z = x y ) xx y) = 0 x y ) yx y) = 0 Defiicja. wielomiau kwadratowego) 9x 5y 9z = 5 x y z = x y 4z = Wielomiay kwadratowe 9x 5y 9z = 5 x y z = x y 4z = x y 65 xx 8y) = 0 8x y 65) yx 8y) = 0 Wielomia ax bx c azywamy kwadratowym lub wielomiaem drugiego stopia, jeśli a jest liczba róża od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a R i a 0. Możemy apisać ax bx c = a x b a ) a b 4a c = a x b a ) b 4a c = a wspóla ========== kreske a x b a ) b 4ac 4a Wyrażeie = b 4ac zwae jest wyróżikiem wielomiau kwadratowego. przed ====== awias x ] a[ b a ) 4a. Przyk ladowo x 4x = x ), tu a =, b = 4, c =. Nie zastosowaliśmy żadych wzorów widoczych wyżej. Po prostu od razu widzimy, że x ) = x 4x 4, wie c wyrażeie to różi sie od wielomiau x 4x o. Aalogiczie x 7x = x 4) 7 49 6 = ) x 7 4 49 8 = ) x 7 8 4 4 8. Z otrzymaego wzoru wyika od razu, że ajmiejsza wartościa wyrażeia x 7x = x 7 4) 4 8 jest liczba 4 8 otrzymaa dla x = 7 4, bowiem x 7 4) 0, przy czym ta ierówość staje sie rówościa jedyie, gdy x = 7 4, bo kwadraty liczb rzeczywistych różych od 0 sa dodatie, a 0 = 0. Jase jest rówież, że jeśli x = 7 4 u i ˆx = 7 u, to 4 x 7x = u 4 8 = u) 4 8 = ˆx 7ˆx. Iymi s lowy: iezależie od tego, czy odsuiemy sie of liczby 7 4 o u w prawo, czy w lewo, wartość wyrażeia x 7x jest taka sama. Prosta x = 7 4 jest wie c osia symetrii wykresu fukcji x 7x. Przeprowadzoe rozumowaie moża zastosować do każdego wielomiau kwadratowego. Fukcja x ] ax bx z = a[ b a ) przyjmuje 4a te sama wartość dla x = b b u i dla ˆx = u, co a a ozacza, że prosta o rówaiu x = b jest a osia symetrii wykresu tej fukcji kwadratowej. Oczywiście ajmiejsza wartościa wyrażeia x b a ) jest liczba, 4a 4a która otrzymujemy przyjmuja c x = b a x ] ax bx c = a[ b a ) 4a. Sta d wyika od razu, że jeśli a > 0, to ajmiejsza wartościa wyrażeia jest liczba a 4a = 4a. Możeie przez liczby ujeme zmieia kieruek ierówości, jeśli wie c a < 0, to liczba 4a jest ajwie ksza wartościa wyrażeia ax bxc. x ] Jase jest też, że wyrażeie ax bx c = a[ b a ) jest: zawsze dodatie, jeśli a > 0 i 4a < 0; zawsze ujeme, gdy a < 0 i < 0. Jeśli = 0, to wyrażeie ma te sam zak we wszystkich puktach z wyja tkiem x = b a, bo w tym pukcie i tylko w tym) jego wartościa jest liczba 0. Jeśli > 0, to w puktach x = b a, x = b a 5, symetryczych wzgle dem prostej x = b a,
Zadaia szkole wartościa fukcji jest 0. Jeśli dodatkowo za lożymy, że a > 0, to be dziemy mogli stwierdzić, że jeśli [ x b x ] a < a, to ax bx c = a b a ) < 0, 4a jeśli [ x b x ] a > a, to ax bx c = a b a ) > 0. 4a Jest ieomal oczywiste, że w przypadku a < 0 odpowiedi wiosek wygla da tak: jeśli [ x b x ] a < a, to ax bx c = a b a ) 4a > 0, jeśli [ x b x ] a > a, to ax bx c = a b a ) 4a < 0. 5. Napisać rówaie kwadratowe, którego pierwiastkami sa i, i, i, i, i, π i, i, 5 7 i 5 7. 6! Rozwia zać rówaie kwadratowe sprowadzaja c je trójmia kwadratowy do postaci kaoiczej x x = 0, x 4x = 0, x 4x = 0. x x = 0, x x = 0, x x 9 4 = 0, x x = 0, x x = 0, x x 9 8 = 0. 7. Napisać wzór fukcji, której wykres jest symetryczy do wykresu fukcji y = x 5x6 wzgle dem: a) osi x, b) osi y, c) prostej x =, d) prostej y =. 8! Napisać wzór fukcji, której wykres jest symetryczy do wykresu fukcji y = x 4 wzgle dem: a) osi x, b) osi y, c) puktu 0,0), d) prostej y =. 9. O jaki wektor ależy przesua ć wykres fukcji y = x, aby otrzymać wykres fukcji: a) y = x 4, b) y = x ), c) y = x ) 6, d) y = x ) x 6, e) y = x 6x, f) y = x 6x 8? 0. Naszkicować wykresy fukcji: a) y = x 4, b) y = 5x 6, c) y = x x, d) y = x x, e) y = x x x, f) y = x x x.. Naszkicować wykresy fukcji: a) y = x 4x, b) y = x 5x 6, c) y = x x, d) y = x x, e) y = x x x, f) y = x x, g) y = x 4 4, h) y = x, i) y = x x, j) y = x 5 x 6.! Zaleźć odleg lość puktu,) od prostej x y 5 = 0, czyli. Zaleźć odleg lość prostej x y 7 = 0 od prostej 4x y 0 = 0. 4. Dla jakich a R\0} suma kwadratów pierwiastków rówaia ax a)x = 0 jest wie ksza iż? 5. Niech A be dzie zbiorem z lożoym ze wszystkich puktów, których odleg lość od puktu,4) jest rówa ich odleg lości od prostej y = 4. Wykazać, że A jest wykresem fukcji kwadratowej parabola ). Zaleźć wierzcho lek i oś symetrii tej paraboli. 6. Dae sa rówaia 4px x p = 0 i k )x k 8)x = 0. a) Dla jakich p,k te rówaia maja pierwiastki rzeczywiste? 6
Zadaia szkole b) Dla jakich p, k suma pierwiastków każdego z tych rówań rówa jest iloczyowi pierwiastków drugiego rówaia? 7. Niech Wx) = x m 6)x m 7)x. a) Dla jakich m R pierwiastki wielomiau W tworza cia g arytmetyczy? b) Niech m be dzie ajmiejsza z liczb spe liaja cych waruek z puktu a. Rozwia zać rówaie; Wx) = x x x x przyjmuja c, że x to ajwie ksza liczba ca lkowita x. 8! Niech Wx) = x mx m m. a) Dla jakich m R wielomia W ma dwa róże pierwiastki rzeczywiste, których suma jest wie ksza od iloczyu? b) Niech m Z be dzie ta wartościa parametru m, dla której spe lioy jest waruek a. Naszkicować wykres fukcji gx) = Wx) przyjmuja c, że x zaś x to ajwie ksza liczba ca lkowita miejsza lub rówa x. Za lóżmy, że a 0 oraz że ax bx c = 0. Wtedy dla dowolej liczby x zachodzi rówość ax bx c = ax bx c ax bx c ) = ax x )x x ) bx x ) = = x x ) [ ax x ) b ] = ax x ) [ x x a] b. Przyjmijmy x = x b a. Wtedy ax bx c = ax x )x x ). Okazuje sie wie c, że zaja c jede pierwiastek wielomiau kwadratowego możemy atychmiast zaleźć drugi. Otrzymaliśmy też zay wzór x x = b a, zway a ogó l wzorem Viète a. Drugi otrzymujemy zaste puja c we wzorze ax bx c = ax x )x x ) zmiea x przez liczbe 0: c = a x ) x ) = ax x, czyli x x = c. Otrzymaliśmy wzory Viète a ie korzystaja c z wzorów a pierwiastki rówaia kwadratowego a ax bx c = 0, choć oczywiście mogliśmy ich użyć. Jedak wyprowadzeie, które pokazaliśmy, dzia la rówież w przypadku rówań wyższego stopia, a wzory a pierwiastki rówaia trzeciego oraz czwartego stopia sa a tyle skomplikowae, że praktyczie ie używae. Wzorów a pierwiastki rówań wyższych stopi w ogóle ie ma. Na prze lomie XVIII i XIX wieku udowodioo, że ie istieja wzory a pierwiastki rówaia stopia pia tego i wyższych. Moża bez trudu dowieść, że liczby x,x sa pierwiastkami rówaia kwadratowego ax bx c=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x x = b a i x x = c udowodiliśmy wyżej jedyie wyikaie w a jeda stroe. Jeśli x x = b a i x x = c a, to x x b a ) = c a, zatem po pomożeiu obu stro tej rówości przez a i przeiesieiu wszystkich sk ladików a lewa stroe otrzymujemy: ax bx c = 0, wie c wykazaliśmy, że x jest pierwiastkiem rówaia ax bx c = 0. W taki sam sposób moglibyśmy przekoać sie, że liczba x jest pierwiastkiem tego rówaia kwadratowego. S lowo parabola w zadaiach ozacza wykres fukcji kwadratowej. 9! Odgada ć pierwiastki rówaia kwadratowego: a) x x = 0, b) x x = 0, c) x 4x 4 = 0, d) x x 6 = 0, e) x x 6 = 0, f) x 6x 8 = 0, g) x 6x 8 = 0, h) 8x 6x = 0, i) x x = 0, j) x x = 0, k) x 5x = 0, l) x 5x = 0. 40! Dowieść, że środki wszystkich tych odcików rówoleg lych do prostej y = x 5, których oba końce 7
Zadaia szkole leża a paraboli o rówaiu y = x x 7, zajduja sie a jedej prostej. Czy każdy pukt tej prostej jest środkiem jedego z opisaych odcików? 4. Wykazać, że jeśli suma odleg lości puktu x,y) od puktów 0, 5) i 0, 5) jest rówa 6, to x 4 y 9 x =. Czy z tego, że 4 y 9 F = 0, 5) i F = 0, 5) jest rówa 6? = wyika, że suma odleg lości puktu x,y) od puktów 4. Dowieść, że środki wszystkich tych odcików rówoleg lych do prostej y = x 5, których oba końce leża a elipsie o rówaiu x 4 y =, 9 zajduja sie a jedej prostej. Czy każdy pukt tej prostej jest środkiem jedego z opisaych odcików? Zaleźć wszystkie proste rówoleg le do prostej y = x 5, które dok ladie jede pukt wspóly z o rówaiu maja elipsa x 4 y 9 =. 4. Niech F = 0, 5), F = 0, 5) i A = 6 5, ) 5. Zaleźć prosta l przechodza ca przez pukt A, której jedyym puktem wspólym z o rówaiu elipsa x 4 y = jest pukt A. Wykazać, że 9 ka t mie dzy odcikiem F A i prosta l rówy jest ka towi mie dzy odcikiem F A i prosta l. 44! Ile puktów wspólych z parabola może mieć prosta? 45. Wykazać, że parabola y = x jest podoba do paraboli y = 9x. 46. Ile puktów wspólych z okre giem może mieć wykres fukcji kwadratowej? 47. Ile puktów wspólych ze soba moga mieć dwie parabole? 48. Ile puktów wspólych moga mieć elipsa o rówaiu x 6 y 4 x a) y b) = r, gdzie r > 0? = i okra g, którego rówaiem jest 49! Bez rozwia zywaia rówaia x 7x 4 = 0 zaleźć wartość wyrażeia x 5x x x 4x x 4x x ozaczaja tu pierwiastki rówaia x 7x 4 = 0., x,x 50. Rówaie kwadratowe ax bx c = 0 ma dwa pierwiastki x,x. Zaleźć rówaie kwadratowe, którego pierwiastkami sa a) liczby x i x, b) liczby x i x, c) liczby x i x, d) liczby x i x. 5. Dla jakich liczb λ rówaie λ )x λ )x λ = 0 ma dok ladie jede pierwiastek. 5. Liczby x,x sa pierwiastkami rówaia kwadratowego x ax a = 0. Dla jakiego a R liczba x x jest ajmiejsza? 5. Zaleźć odleg lość puktu,) od prostej o rówaiu x y = 0. 54. Niech a > 0, b,c R. Wykazać, że zbiór z lożoy z puktów leża cych ad parabola y = ax bxc jest wypuk ly. 55! Dla jakiej liczby x wyrażeie x ) x ) x 5) x 7) x 9) przyjmuje ajmiejsza wartość? x ) x ) x 5) x 7) x 9) 56. Wykazać, że jeśli rówaie kwadratowe ax bx c = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste x,x, to zachodzi rówość x x ) = b 4ac a. 57. Jaki waruek musza spe liać liczby a 0,b,c, aby rówaie kwadratowe ax bx c = 0 mia lo 8
Zadaia szkole dwa pierwiastki rzeczywiste różych zaków? 58. Jaki waruek musza spe liać liczby a 0,b,c, aby rówaie ax bx c = 0 mia lo dwa pierwiastki rzeczywiste, mie dzy którymi zajduje sie liczba? 59. Jaki waruek musza spe liać liczby a 0,b,c, aby rówaie ax bxc = 0 mia lo dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma jest rówa ich iloczyowi? 60. Wyzaczyć liczbe pierwiastków rówaia x 4 m 4)x 4 = 0 w zależości od parametru m? 6. Wyzaczyć liczbe pierwiastków rówaia x 4 m 4)x m 4m = 0 w zależości od parametru m? 6. Wykazać, że jeśli x px q = 0, to xq p. 6. Wykazać, że jeśli x > 0, y > 0 i x y =, to x) y) 9. 64. Zaleźć jak ajprostsze rówaie kwadratowe, którego wyróżik jest rówy i wykazać, że 0. ap bq cr) a b c )p q r ) 65. Wyrażeie x x 4 0 x jest sta le a pewym przedziale. Zaleźć te przedzia l. 66. Niech m, be da liczbami aturalymi. Wykazać, że liczba m leży mie dzy liczbami x y =, 67. Rozwia zać uk lad rówań x y = 0. 68. Zaleźć wszystkie takie liczby rzeczywiste x, dla których zachodzi ierówość x x x x. Dwumia Newtoa Wiadomo, że a b) = a ab b. Wobec tego możemy apisać: a b) = a b) a b) = a ab b )a b) = = a a b ab a b ab b = a a b ab b. Aalogiczie: a b) 4 = a a b ab b )a b) = a 4 a b a b ab Wreszcie: a b a b ab b 4 = = a 4 4a b 6a b 4ab b 4. a b) 5 = a 4 4a b 6a b 4ab b 4 )a b) = a 5 4a 4 b 6a b 4a b ab 4 a 4 b 4a b 6a b 4ab 4 b 5 = = a 5 5a 4 b 0a b 0a b 5ab 4 b 5. i m m. Z tych przyk ladów widać, że w rozwiie ciu a b) wyste puje sk ladików: a, aste pie koleje iloczyy a b, a b,..., ab z jakimiś wspó lczyikami i a końcu b. Jeśli koleje wspó lczyiki przy tych iloczyach ozaczymy przez ), ),..., ) i dla osia gie cia pe lej jedolitości wprowadzimy jeszcze dwa symbole 0) = = ), to rozumuja c dok ladie tak, jak poprzedio, dojdziemy do wiosku, że k) = ) k ) k dla k = 0,,,...,. 9
Zadaia szkole Np. 4 = 4 ) = 0) ) =, 6 = 4 ) = ) ) =, 5 ) = 4 ) 4 ) = =6 4 = 0, 6 ) 4 = 5 ) 5 ) 4 = 0 5 = 5. Blaise Pascal wpad l a pomys l, by zapisywać wspó lczyiki rozwiie cia a b) w kolejych wierszach trójka ta azwaego późiej jego azwiskiem: 4 6 4 5 0 0 5 Wypisaliśmy pierwszych sześć wierszy trójka ta Pascala, oczywiście moża wypisywaie kotyuować, ale zapewe każdy już widzi, jaki jest mechaizm tworzeia aste pego wiersza z daego. Zapiszmy jeszcze tylko wzór a b) 5 = a 5 5a 4 b 0a b 0a b 5ab 4 b 5, by raz jeszcze pokazać, jaki zwia zek trójka ta Pascala z pote gowaiem dwumiau a b. Przypomijmy, że 0! = z defiicji).! = oraz )! = )! dla = 0,,,,... Wtedy moża apisać, że ) k =! k! k)! dla k = 0,,,...,,. Oczywiście wymaga to uzasadieia. Moża zauważyć, że jest tak dla = 0,. Jeśli twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej i wszystkich liczb k 0,,,...,,}, to k) = ) k ) k =! k! k)!! k)! k )! =! k! k )! k k ) =! k k = k! k )! k)k) =! ) k! k )! k)k) = )! k)! k)! = k). Poieważ twierdzeie jest prawdziwe dla =, wie c jest prawdziwe dla =. Poieważ jest prawdziwe dla =, wie c jest prawdziwe dla = itd. Zauważmy jeszcze, że jeśli 0 < k <, to ) k = )... k) k)... k ) k. W tym wzorze w miaowiku jest iloczy k czyików i tyleż samo jest ich w licziku. Możemy apisać: a b) = a a b ) a b ) ) a b ) )...... ) ) ab b. Spójrzmy teraz a iloczy x y )x y )x y ) = x x x y y x y y )x y ) = = x x x x y x y x x y y x x x y x y y y x y y y y. Widzimy, że po wymożeiu otrzymaliśmy 8 sk ladików. Każdy z ich jest iloczyem trzech liczb: pierwszy czyik wzie ty jest z pierwszego awiasu, drugi z drugiego, a trzeci z trzeciego. Przyjmuja c x = x = x = a i y = y = y = b otrzymujemy a b)a b)a b) = aaa aba baa bba aab abb bab bbb = a a b ab b. Zauważmy, że wśród ośmiu sk ladików trzy z ich zawieraja dwa iksy i jede igrek. Po prostu z trzech awiasów wybieramy jede, z wybraego awiasu wybieramy drugi sk ladik, a z iewybraych pierwszy. To moża zrobić a trzy sposoby. Dlatego wspó lczyik przy a b jest rówy liczbie sposobów, a które moża wybrać jede przedmiot spośród trzech daych Wspó lczyik przy a 4 b w rozwiie ciu a b) 6 jest rówy liczbie sposobów wyboru dwóch spośród sześciu awiasów: z wybraych do iloczyu wejdzie b, a z pozosta lych a. Moża też spojrzeć a te wspó lczyik ieco iaczej. Mamy wybrać dwa z sześciu awiasów. Pierwszy awias możemy wybrać a 6 sposobów, a drugi a 5, bo wybieramy z pozosta lych pie ciu. Wobec tego mamy 6 5 możliwości. Ale w te sposób zajdujemy uporza dkowae 0
Zadaia szkole pary, a mieliśmy zajdować ieuporza dkowae. Trzeba wie c otrzymay wyik podzielić przez liczbe uporza dkowań dwóch awiasów czy też ogóliej przedmiotów). Oczywiście dwa przedmioty moża ustawić w dwóch kolejościach, wie c tych par ieuporza dkowaych) jest 6 5 = 5. Gdybyśmy w te sam sposób przyjrzeli sie liczbie 6 ), to stwierdzilibyśmy, że jest oa rówa liczbie wyborów trzech spośród sześciu daych przedmiotów. Pierwszy przedmiot moża wybrać a 6 sposobów, drugi a 5, a trzeci a 4. Wobec tego liczba uporza dkowaych wyborów trzech spośród sześciu przedmiotów rówa jest 6 5 4. Aby zaleźć liczbe ieuporza dkowaych wyborów trzech spośród sześciu elemetów ależy otrzymay wyik podzielić przez liczbe wszystkich uporza dkowań trzech elemetów. Trzy elemety, p. liczby,,, moża uporza dkować a sposoby, bo każdy z trzech może zaleźć sie a pierwszym miejscu i wtedy pozosta le dwa moża wypisać a dwa sposoby:,,;,,;,,;,,;,,;,,. Sta d moża wioskować, że liczba wyborów trzech spośród sześciu przedmiotów jest rówa 6 5 4 = 0. 69. Wykazać, że a b) = a a b ab b. 70. Wykazać, że a b) 4 = a 4 4a b 6a b 4ab b 4. 7. Wykazać, że a b c) = a b c ab ac bc dla dowolych a,b,c R. 7. Wykazać, że abc) = a b c a bab a cac b cbc 6abc dla dowolych a,b,c R. 7. Wykazać, że a b c) =! k!l!m! ak b l c m przy czym sumowaie rozcia ga sie a takie wszystkie trójki k.l,m ieujemych liczb ca lkowitych, że k l m =. 74! Udowodić, że 0) ) ) ) ) ) =. 75. Udowodić, że! k!l!m! = przy czym sumowaie rozcia ga sie a takie wszystkie trójki ieujemych liczb ca lkowitych, że k l m =. W kilku aste pych zadaiach wyste puja sumy zakończoe zakiem... Należy zak ladać, że sk ladiki wypisywae sa dopóty, dopóki ma to ses, p. pisza c k) zak ladamy, że 0 k i oczywiście, że liczby k, sa ca lkowite, p. symbol ) 5 7 ie ma sesu w szkole, tym bardziej ie ma sesu symbol / ) 4. 76! Udowodić, że 0) ) ) ) 4) 5) = 0. 77. Udowodić, że 0) ) 6) 9) ) ) ) 5 = cos π. 78. Udowodić, że ) 4) 7) 0) ) ) 6 = cos π si π ). 79. Udowodić, że ) 5) 8) ) 4) ) 7 = cos π ) si π. 80. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej rówości: zachodza cosα) = cos α ) cos α si α ) 4 cos 4 α si 4 α 6) cos 6 αsi 6 α ; siα) = ) cos α si α ) cos α si α ) 5 cos 5 α si 5 α 7) cos 7 α si 7 α Rozwia zaia aste pych trzech zadań moża ujrzeć przygla daja c sie trójka towi Pascala, moża też rozwia zać je ieco iaczej. czyli trzyelemetowych wariacji bez powtórzeń czyli trzyelemetowych kombiacji zbioru sześcioelemetowego A późiej zdefiiujemy go tak: / 4 )= / /) 5/) 8/) 4 = 0 4, 5 7)= 5 4 0 ) 4 5 6 7 =0, itd.
Zadaia szkole 8. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 4 5 = ) ) ) 4 ) 5 ) 8. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) 4 5 4 ) = ) ) 4 ) 5 ) 8! Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) = ). ) = ). ) 6 4 5 4 6 5 4 ) ) = = ) 4 ) 5 ) 6 ) ) = ) 4. 84. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 0) t ) t t) ) t t) ) t t) ) 4 t 4 t) 4 ) 5 t 5 t) 5 ) t) = 85. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) 0 t ) ) t t) ) ) t t) ) ) t t) 4) ) 4 t 4 t) 4 5) ) 5 t 5 t) 5 0 ) t) = t. 86. Udowodić, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość ) 0 t ) ) t t) ) ) t t) ) ) t t) 4) 4) t 4 t) 4 5) ) 5 t 5 t) 5 0 ) t) = )t t. Wielomiay Defiicja 4. wielomiau) Wielomiaem w azywamy taka fukcje a R lub a pewym przedziale, że takie określoa istieja liczby a 0,a,...,a, że dla każdej liczby x z dziedziy fukcji w zachodzi rówość wx) = a 0 a x a x a x a x. Twierdzeie 5. Niech x 0 < x < x <... < x < x i a 0,a,a,...,a,a be da dowolymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a 0 a x 0 a x 0 a x 0 a x 0 = 0, a 0 a x a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x a x = 0,,... a 0 a x a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x a x = 0. to a 0 = a = a =... = a = a = 0. Dowód. Dla = twierdzeie wygla da tak: jeśli x 0 < x i a 0 a x 0 = 0 oraz a 0 a x = 0, to a 0 = a = 0. Jest tak, bo po odje ciu daych rówości otrzymujemy a x x 0 ) = 0, z czego wyika, że a = 0 moża podzielić przez x x 0, bo x x 0 ). Mamy wie c 0 = a 0 a x 0 = a 0 0 x = a 0. Udowodiliśmy wie c twierdzeie dla =. Za lóżmy teraz, że x 0 < x < x i że a 0,a,a sa takimi liczbami rzeczywistymi, że a 0 a x 0 a x 0 = 0, a 0 a x a x = 0, a 0 a x a x = 0.
Zadaia szkole Odejmujemy pierwsza rówość stroami od dwu aste pych i otrzymujemy: a x x 0 ) a x x 0 ) = 0, a x x 0 ) a x x 0 ) = 0. Dziela c te rówaia przez x x 0 0 i x x 0 0 otrzymujemy a a x x 0 ) = 0, a a x x 0 ) = 0. a a Przepiszmy to w postaci x 0 ) a x = 0, Z prawdziwości twierdzeia dla = wyika, że a a x 0 ) a x = 0. a a x 0 = 0 i a = 0 zasta piliśmy a 0 przez a a x 0, a przez a, x 0 przez x, x przez x ). Wiemy wie c, że a = 0 i a a x 0 = 0, wie c a = 0, zatem 0 = a 0 a x 0 a x 0 = a 0 0 x 0 0 x 0 = a 0. Udowodiliśmy, że 0 = a 0 = a = a, czyli twierdzeie dla =. Niech x 0 < x < x < x i a 0,a,a,a R be da takimi liczbami, że a 0 a x 0 a x 0 a x 0 = 0, a 0 a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x = 0, a 0 a x a x a x = 0. Odejmujemy pierwsza rówość stroami od trzech aste pych i otrzymujemy: a x x 0 ) a x x 0) a x x 0) = 0, a x x 0 ) a x x 0 ) a x x 0 ) = 0, a x x 0 ) a x x 0) a x x 0) = 0. Dzielimy koleje rówaia przez x x 0 0, x x 0 0, x x 0 0 i otrzymujemy: a a x x 0 ) a x x x 0 x 0) = 0, a a x x 0 ) a x x x 0 x 0 ) = 0, a a x x 0 ) a x x x 0 x 0 ) = 0. Przepisujey te rówości w postaci a a x 0 a x 0 ) a a x 0 )x a x = 0, a a x 0 a x 0) a a x 0 )x a x = 0, a a x 0 a x 0 ) a a x 0 )x a x = 0. Stosuja c udowodioe już twierdzeie dla = otrzymujemy: 0 = a a x 0 a x 0 = a a x 0 = a, Sta d wyika atychmiast, że a = a = a = 0. Wobec tego 0 = a 0 a x 0 a x 0 a x 0 = a 0, czyli a 0 = 0. Wykazaliśmy wie c, że teza twierdzeia jest prawdziwa dla = oraz dowolych liczb a 0,a,a,a i x 0 < x < x < x. To rozumowaie moża kotyuować. Z tego twierdzeia wyika latwo aste puja ce Twierdzeie 6. o jedozaczości wspó lczyików wielomiau) Jeśli rówość a 0 a xa x a m x m = b 0 b xb x b x zachodzi dla ieskończeie wielu liczb x, to a 0 = b 0, a = b,... przyjmujemy tu, że 0 = a m = a m =..., 0 = b = b =...). Dowód. Przeosimy wszystko a jeda stroe rówości i z poprzediego twierdzeia otrzymujemy a 0 b 0 = 0, a b = 0,... Teraz możemy przypomieć defiicje stopia wielomiau. Defiicja 7. stopia wielomiau)
Zadaia szkole Jeśli 0 i wx) = a 0 a xa x a x i a 0, to mówimy, że w jest wielomiaem stopia. Stopia wielomiau zerowego wszystkie wspó lczyiki sa zerami) ie defiiujemy, ale przyjmujemy, że te iezdefiioway stopień jest miejszy od każdej liczby ca lkowitej ieujemej. Stopień wielomiau w ozaczamy symbolem stw) albo degw)). Defiicja 8. pierwiastka wielomiau) Liczba x 0 azywaa jest pierwiastkiem wielomiau w wtedy i tylko wtedy, gdy wx 0 ) = 0. Twierdzeie 9. o dzieleiu z reszta ) Dla dowolych wielomiaów w, v, v 0 istieje dok ladie jeda para wielomiaów q, r takich, że dla każdego x zachodzi rówość wx) = qx)vx) rx) i str) < stv). * Dowód. Zacziemy od dowodu istieia wielomiaów q, r. Jeśli stw) < stv), to przyjmujemy q = 0 i r = w, rówość w = qv r jest oczywiście spe lioa i str) = stw) < stv). Za lóżmy, że twierdzeie jest prawdziwe dla wszystkich wielomiaów w stopia miejszego od i że stw) = k = stv). Niech wx) = a 0 a x a x, a 0 i iech vx) = b 0 b x b k x k, b k 0. Niech w x) = wx) a bk x k vx) = a 0 a x a x a bk x k [b 0 b x b k x k ] = =a 0 a x a x a bk x k [b 0 b x b k x k ]. Jase jest, że stw ). Istieja wie c wielomiay q i r takie, że w x) = q x)vx) rx), przy czym str) < stv). Przyjmujemy qx) = a bk x k q x). Bez trudu stwierdzamy, że wx) = qx)vx) rx), co kończy dowód istieia wielomiaów q i r. Należy jeszcze wykazać jedozaczość. Za lóżmy, że qx)vx) rx) = qx)vx) rx). Wtedy rx) rx) = qx)vx) qx)vx) = vx)[ qx) qx)]. Widzimy wie c, że str r) = stv) st q q), co jest iemożliwe, gdy st q q) 0, bo wtedy prawa stroa jest wie ksza iż lewa. Wobec tego st q q) < 0, wie c musi być spe lioa rówość q = q. Wtedy zachodzi rówość rx) rx) = qx)vx) qx)vx) = vx)[ qx) qx)] = vx) 0 = 0, czyli rx) = rx), co kończy dowód jedozaczości. Twierdzeie 0. Bézout) Reszta z dzieleia wielomiau w, przez wielomia x c jest rówa wc). Dowód. Reszta z dzieleia jakiegokolwiek wielomiau przez wielomia x c jest wielomiaem stopia miejszego iż, wie c albo jest wielomiaem zerowym, albo wielomiaem stopia 0. W obu przypadkach jest to liczba raczej fukcja sta la). Niech r ozacza reszte z dzieleia wielomiau w przez wielomia x c. Mamy wx) = qx)x c) r, w szczególości wc) = qc)c c) r = r, co kończy dowód. Naste pe twierdzeie pozwala iejako zgadywać, jakie liczby wymiere sa pierwiastkami wielomiaów, które maja ca lkowite wspó lczyiki. Ma oo spore zaczeie praktycze. Twierdzeie. o wymierych pierwiastkach wielomiau o wspó lczyikach ca lkowitych) Jeśli liczby a 0,a,...,a sa ca lkowite,, p,q sa liczbami ca lkowitymi wzgle die pierwszymi ie maja wspólego dzielika wie kszego od ), pierwiastkiem wielomiau wx) = a 0 a x a x jest liczba p q, to liczba p jest dzielikiem liczby a 0 wyrazu wolego wielomiau w ) a liczba q jest * Wielomia q azyway jest ilorazem, a wielomia r reszta z dzieleia wielomiau w przez wielomia v. 4
Zadaia szkole dzielikiem liczby a wspó lczyika kieruja cego wielomiau w ). Dowód. Poieważ 0 = w ) p q = p a0 a q a p q) p a q), wie c 0 = 0 q = [ a 0 a p q a p q) a p q) ] q = = a 0 q a q p a q p a q p a qp a p. Liczba a 0 q a q p a q p a q p a qp = a p jest podziela przez q. Liczby p,q ie maja wspólego dzielika wie kszego iż, wie c rówież liczby p i q sa wzgle die pierwsze, zatem liczba q jest dzielikiem liczby a. Liczba a q p a q p a q p a qp a p = a 0 q jest podziela przez p. Poieważ liczby p,q ie maja wspólego dzielika wie kszego iż, wie c liczba p jest dzielikiem liczby a 0. Dowód zosta l zakończoy. Wiosek. Jeżeli liczby a 0,a,...,a ca lkowite,, a liczba ca lkowita p jest pierwiastkiem wielomiau sa wx) = =a 0 a x a x, czyli wp) = 0, to jest oa dzielikiem liczby a 0 wyrazu wolego wielomiau w ). Naste pe twierdzeie, udowodioe przez C.F.Gaussa mówi, że rozk ladaja c wielomia o wspó lczyikach ca lkowitych a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach wymierych w zasadzie otrzymujemy rozk lad a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach ca lkowitych. Czytelik zauważy, że twierdzeie o wymierych pierwiastkach wielomiau, którego wspó lczyiki sa ca lkowite jest szczególym przypadkiem twierdzeia o rozk ladzie wielomiau o wspó lczyikach ca lkowitych. Twierdzeie. o rozk ladzie wielomiau o wspó lczyikach ca lkowitych) Jeśli liczby a 0,a,...,a sa ca lkowite, k,l, liczby b 0,b,...,b k,c 0,c,...,c l sa wymiere i Wx) = a 0 a x a x = [ b 0 b x b k x k] [c 0 c x c l x l] = ux) vx) dla każdej liczby x, to istieje taka liczba wymiera α, że wszystkie liczby sa ca lkowite. * αb 0,αb,...,αb k, α c 0, α c,..., α c l Dowód. W dowodzie dla uproszczeia zapisu przyjmiemy, że 0 = b k = b k = b k =... oraz 0 = c l = c l = c l =. Każda liczba ca lkowita jest dzielikiem liczby 0, bowiem 0 = p 0. Niech b 0 = β 0 m, b = β m, b = β m,..., b k = β k m przy czym liczby β 0, β, β,..., β k sa ca lkowite, ich ajwie kszym wspólym dzielikiem jest, m N. Liczby γ 0, γ, γ,..., γ l sa rówież ca lkowite, ich ajwie kszym wspólym dzielikiem jest, M N i c 0 = γ 0 M, c = γ M, c = γ M,..., c l = γ l M. Za lóżmy, że liczba pierwsza p jest dzielikiem liczby m. Nie jest oa dzielikiem wszystkich liczb β 0, β, β,..., β k. Istieje wie c taki umer i, że p jest dzielikiem liczb β 0,β,...,β i, ale ie jest * Tego twierdzeia ai tym bardziej jego dowodu ie ma w programie szkolym. Umieszczam je tutaj, bo uważam, że warto o im us lyszeć w szkole, by zdać sobie sprawe z tego, że ie ma istotej różicy mie dzy rozk ladaiem wielomiau a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach wymierych i rozk ladaiem a iloczy wielomiaów o wspó lczyikach ca lkowitych. Do tego wystarczy loby sformu lowaie twierdzeia. Poda lem też dowód, bo to przyk lad ieskomplikowaego rozumowaia idukcyjego, ale jedak ie ca lkiem trywialego dowodzimy kolejo idukcja!), że liczby γ 0,γ,... sa podziele przez p. 5
Zadaia szkole dzielikiem β i, ie wykluczamy tego, że i = 0 czyli β 0 ie dzieli sie przez p). Zachodza rówości: β 0 m γ0 M = a 0, β 0 m γ M β m γ0 M = a, β 0 m γ M β m γ M β m γ0 M = a... β 0 β 0 m γi M β m γi M β i m γ M β i m γ0 M = a i m γi M β m γi M β i m γ M β i m γ M β i m γ0 M = a i... Liczba a i jest ca lkowita, wie c liczba β 0γ i β γ i β i γ β i γ 0 mm też jest ca lkowita. Poieważ liczba mm jest podziela przez p, wie c rówież liczba β 0 γ i β γ i β i γ β i γ 0 jest podziela przez liczbe pierwsza p. Poieważ liczby β 0 γ i, β γ i,..., β i γ sa podziele przez p, zatem rówież liczba β i γ 0 dzieli sie przez p. Liczba β i przez liczbe pierwsza p ie dzieli sie, zatem γ 0 musi sie dzielić przez p. Spójrzmy a aste pa rówość. Wyika z iej, że liczba β 0 γ i β γ i β i γ β i γ β i γ 0 jest podziela przez p. Wobec tego że sk ladiki β 0 γ i, β γ i,..., β i γ, β i γ 0 sa podziele przez p, liczba β i γ też jest przez p podziela, ale sta d wyika, że liczba pierwsza p jest dzielikiem liczby γ. W taki sam sposób wykazujemy, że aste pe liczby γ, γ,...,γ l sa podziele przez p. Możemy wie c pomożyć wielomia b 0 b x b k x k = m β0 β x β k x k) przez p dziela c jedocześie wielomia c 0 c x c l x l = M γ0 γ x γ l x l) przez te liczbe. m Powtarzaja c opisaa procedure z jakimkolwiek czyikiem pierwszym liczby ca lkowitej p zmiejszamy powtórie te miaowik. W końcu doprowadzimy do usuie cia wszystkich czyików pierwszych liczby m, a to ozaczać be dzie, że w miaowiku pojawi sie liczba. Naste pie rozk ladamy a czyiki pierwsze liczbe M i wykazujemy, że jej czyiki pierwsze sa wspólymi dzielikami liczb β 0, β,..., β k, co pozwala a pomożeie drugiego czyika iloczyu przez M i jedoczese podzieleie pierwszego czyika przez M. Moża wie c przyja ć, że α = m M. 87! Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 88. Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 89! Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 90. Udowodić, że fukcja x ie jest wielomiaem. 9. Udowodić, że wielomia siódmego stopia ie może mieć ośmiu różych pierwiastków. Moża skorzystać z twierdzeia o jedozaczości wspó lczyików wielomiau.) 9. Za lóżmy, że wielomia a 0 a x a x a x x ma dok ladie pierwiastków x,x,,x. Dowieść, że a 0 a x a x a x x = x x )x x )...x x ). 6
Zadaia szkole 9. Za lóżmy, że wielomia a 0 a x a x a x x ma dok ladie pierwiastków x,x,,x. Udowodić, że zachodza aste puja ce wzory Viète a: x x x = a, x x x x x x x x x x 4 x x x x = a, x x x x x x 4 x x x x x x 4 x x x 5 x x x x x x = a,... x x... x = ) a. 94! Wykazać, że dla każdych trzech puktów x 0,y 0 ), x,y ), x,y ), które ie leża a jedej prostej i dla których x 0 < x < x istieje dok ladie jeda trójka liczb a,b,c taka, że y 0 = ax 0 bx 0 c, y = ax bx c, y = ax bx c. Udowodić, że wtedy a 0. Ozacza to, że jeśli trzy pukty ie leża a jedej prostej, przy czym żade dwa z ich ie leża a jedej prostej pioowej, to wszystkie trzy leża a wykresie pewego wielomiau stopia drugiego. 95. Wykazać, że dla każdych czterech puktów x 0,y 0 ), x,y ), x,y ), x,y ), które ie leża a wykresie wielomiau stopia miejszego iż i dla których x 0 < x < x < x istieje dok ladie jeda czwórka liczb a,b,c,d taka, że y 0 = ax 0 bx 0 cx 0 d, y = ax bx cx d, y = ax bx cx d, y = ax bx cx d. Udowodić, że wtedy a 0. Ozacza to, że jeśli cztery pukty ie leża a wykresie wielomiau stopia, przy czym żade dwa z ich ie leża a jedej prostej pioowej, to wszystkie cztery leża a wykresie pewego wielomiau stopia trzeciego. 96! Zaleźć wszystkie takie trójki liczb a,b,c, że liczby, sa pierwiastkami wielomiau ax bx c. 97. Zaleźć wszystkie takie trójki liczb a,b,c, że liczby, sa pierwiastkami wielomiau ax bxc. 98. Zaleźć wszystkie takie pary liczb b,c, że wśród pierwiastków wielomiau x 4 x x bx c sa liczby i. 99! Wykazać, że a b = a b)a a b a b a 4 b ab b ) dla każdego wyk ladika N i dowolych a,b R. 00! Wykazać, że a b = a b)a ab b ), a 5 b 5 = a b)a 4 a b a b ab b 4 ). 0. Roz lożyć a czyiki x ) 7 x 7 7. 0. Roz lożyć a czyiki x 4 y z) y 4 z x) z 4 x y). 0. Roz lożyć a czyiki x 4 y z ) y 4 z x ) z 4 x y ). 04. Roz lożyć a czyiki xy z) yz x) zx y). 05. Czy liczba 456789 dzieli: sie przez, przez 5, przez 7, przez, przez, przez 7, przez 9? 06. Czy liczba 987654 dzieli: sie przez, przez 5, przez 7, przez, przez, przez 7, przez 9? 07. Czy wielomia x 44 x x x dzieli sie : przez wielomia x 5, przez wielomia x 4 x x x? 08! Wyzaczyć liczby p,q R tak, by wielomia x 4 px q by l podziely przez: i) x 5x 6, ii) x 5x 7, iii) x 6x 9. 09. Zaleźć ajwie ksza wartość wielomiau x x). Wykazać, że istieje taki wielomia wx) o wspó lczyikach ca lkowitych, że jeśli 0 < x <, to zachodzi ierówość 0 < wx) < 007. 7
Zadaia szkole 0. Wykazać, że dla dowolych liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi ierówość x y z xy xz yz 0 i że staje sie oa rówościa wtedy i tylko wtedy, gdy x = y = z = 0.. Rozwia zać rówaie x 6x) x 6x) 6 = 0.! Rozwia zać rówaie x x )x x ) =.. Rozwia zać rówaie x x7 x x = x x 4. 4. Rozwia zać rówaie xx )x )x ) = 9 6. 5. Rozwia zać rówaie x 4)x 5)x 6)x 7) = 680. 6. Rozwia zać rówaie 8x 7) 4x )x ) = 9. 7. Rozwia zać rówaie x 5x 7) x )x ) =. 8! Rozwia zać rówaie x 4 x ) 4 = 97. 9. Rozwia zać rówaie 5 x) 4 x) 4 = 7. 0. Rozwia zać rówaie x x x = 0.. Rozwia zać rówaie x 4 = x.! Rozwia zać rówaie x 4 4x 9x 06x 0 = 0.. Rozwia zać rówaie x x 4 x = x. 4. Rozwia zać rówaie x 6 9x 8 = 0. 5. Rozwia zać rówaie x 5 5x 4 x 4x x 5 = 0. 6. Rozwia zać rówaie x 4 x x x = 0. 7. Roz lożyć a czyiki wyrażeie ab bc ca)a b c) abc. 8. Roz lożyć a czyiki wyrażeie a b c) a b c. 9. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 5x x 9. 0. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 5 x 4 x x x.. Roz lożyć a czyiki wyrażeie a b c abc.! Roz lożyć a czyiki wyrażeie y 666 x) x 666 y) 666 x y).. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x x x x 00 ) x 00. 4. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 0 x 5. 5. Rozwia zać rówaie x 4 x 0x x = 0. 6. Rozwia zać rówaie x ) 4 = x 4 ). 7. Rozwia zać rówaie x) 4 x) 4 = 5 x) 4. 8. Rozwia zać rówaie x x x x = 6 x x4. 9. Rozwia zać rówaie 6x 5) x )x ) = 5. 40. Rozwia zać rówaie x x ) x x ) = 7 4. 4. Rozwia zać rówaie x x x x x x =. 4. Rozwia zać rówaie x x ) =,5. 4. Rozwia zać rówaie x ) 6 0 = 9x ). 44. Rozwia zać rówaie x 4 x x = 0. 45. Rozwia zać rówaie x 6 = 57x 68 68x 57. 46. Rozwia zać rówaie x ) 6 9x ) = 6. 8
Zadaia szkole 47. Rozwia zać rówaie x x x x ) = 5. 48. Rozwia zać rówaie x 4 4x 9x 06x 0 = 0. 49. Rozwia zać rówaie x 6 9x 8 = 0. 50. Rozwia zać rówaie x 5 5x 4 x 4x x 5 = 0. 5. Rozwia zać rówaie x 5 5x 8x 00 = 0. 5. Roz lożyć a czyiki wyrażeie x 4 x x. Pote gi i logarytmy Przypomijmy teraz, że jeśli jest liczba aturala parzysta, x R jest liczba ieujema, to istieje dok ladie jeda liczba ieujema y R taka, że y = x. Nazywamy ja pierwiastkiem stopia z liczby x i ozaczamy symbolem x. Jeśli jest liczba aturala ieparzysta, to dla każdej liczby x R istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista y taka, że x = y. Nazywamy ja pierwiastkiem stopia z liczby x i ozaczamy symbolem x. Jeśli stopień pierwiastka rówy jest, to piszemy x, zamiast x. Np. 96 = 4, 5 = itd. Defiiujemy pote ge o wyk ladiku wymierym w aste puja cy sposób a k/l = l ak. Bez trudu sprawdzić moża, że jeśli a > 0, to dla dowolych liczb wymierych u,v zachodzi rówość a uv = a u a v. Przypomijmy, że a 0 = dla dowolej liczby a 0. Jeśli a > i u > v, to a u > a v. Jeśli atomiast 0 < a < i u > v, to a u < a v. Jeśli a > 0, to defiiujemy pote ge o wyk ladiku rzeczywistym. Opiszemy droge prowadza ca do odpowiediej defiicji. Dla ustaleia uwagi zak ladać be dziemy w dalszym cia gu, że a >. Zauważmy po pierwsze, że dla dowolej liczby b > zachodzi ierówość b < b, bo b b = b ) > 0. Sta d wyika, że 4 b < b b < = 4 b 4. Aalogiczie 8 b < 4 b < 4 b 4 = 4 8 b 8. Kotyuuja c dochodzimy do ierówości b < 4 8 b = b. Widzimy wie c, że jeśli u < x < v i v u < dla pewej liczby aturalej >, u,v Q, to 0 < a v a u = a u a v u ) < a u a / ) = a u ) a < au a. Jeśli ustalimy liczbe x R i wybierzemy liczbe aturala k > x, to otrzymamy ierówość 0 < a v a u < a u a < a k a. Dla każdej liczby ε > 0 istieje taka liczba aturala m, że a k a < ε. Jeśli m, u < x < v m oraz v u <, to 0 < a v a u < a u a < a k a a k a < ε wykazaliśmy, że różica m pote g liczby a, których wyk ladiki sa bardzo bliskie, jest bardzo ma la). Przed zdefiiowaiem pote gi o wyk ladiku iewymierym sformu lujemy jedo twierdzeie, którego dowodu podawać ie be dziemy. Lemat 4. o przedzia lach zste puja cych) Jeśli [a,b ] [a,b ] [a,b ]..., to istieje liczba x taka, że dla każdego N zachodzi a x b. * Dowodu ie możemy podać, bo jest o zbyt bliski podstawom teorii liczb rzeczywistych, których w ogóle ie omawiamy. Stwierdzić jedak wypada, że chodzi w tym lemacie wyraźie o przedzia ly domkie te. Przyk ladowo 0,] 0, ] 0, ]..., ale cze ścia wspóla wszystkich przedzia lów 0,],0, ],0, ],... jest zbiór pusty. Przedzia ly domkie te [0,],[0 ], [0, ],... maja dok ladie jede wspóly elemet: 0. * Iymi s lowy: istieje pukt ależa cych do wszystkich przedzia lów. 9
Zadaia szkole Twierdzeie 5. o istieiu pote gi o wyk ladiku rzeczywistym) Niech a,x R, a >. Istieje wtedy dok ladie jeda liczba rzeczywista y taka, że jeśli u < x < v, u,v Q, to a u < y < a v. Dowód. Niech u,u,..., v,v,... be da liczbami wymierymi takimi, że x < u < u < x < v < v < x dla =,,,... Mamy zatem a u a u < a u < a v < a v a v. Wobec tego [a u,b v ] [a u,b v ] [a u,b v ]... Zajdzie sie wie c liczba y, która jest elemetem każdego przedzia lu [a u,b v ] dla =,,,... Poieważ 0 < v u <, wie c 0 < a v a u < a v a. Za lóżmy, że dla każdego =,,,... zachodzi ierówość a u < y < z < a v, tz. zak ladamy, że liczby y,z sa elemetami wspólymi wszystkich rozpatrywaych przedzia lów, przy czym y < z. Wtedy dla każdej liczby =,,,... mamy 0 < z y < a v a, co ie jest możliwe, bo po odpowiedim wybraiu otrzymujemy ierówość z y > a v a, przeciwa do poprzediej. Dowód zosta l zakończoy. Teraz możemy zdefiiować pote ge o dowolym wyk ladiku i dowolej dodatiej podstawie. Defiicja 6. pote gi o wyk ladiku dowolym) Jeśli a >, x R, to a x jest jedya liczba taka, że dla każdej pary liczb wymierych u,v takich, że u < x < y zachodzi ierówość a u < a x < a y. Jeśli 0 < a <, x R, to a x = a ) x. Na pote gi o dowolym wyk ladiku przeosza sie w lasości pote gowaia, o których wspomialiśmy w kotekście wyk ladików wymierych i dodatiej podstawy. Prócz tego dochodza owe. Twierdzeie 7. o w lasościach fukcji wyk ladiczej) Jeśli a > 0, to 0. dla każdej liczby x R zachodzi x = ;. dla dowolych x,y R zachodzi a xy = a x a y ;. dla dowolych x,y R zachodzi a x y = ax a y ;. a 0 =, a = a; 4. dla dowolych x,y R zachodzi a x) y = a xy ; 5. dla dowolej liczby x R zachodzi a x = a x ; 6. dla dowolych b,x R, b > 0 zachodzi ab) x = a x b x ; 7. jeśli a >, x,y R i x < y, to a x < a y fukcja wyk ladicza o podstawie wie kszej iż jest ściśle rosa ca); 8. jeśli 0 < a <, x,y R i x < y, to a x > a y fukcja wyk ladicza o podstawie dodatiej, miejszej iż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y > 0 i dla każdej liczby dodatiej a istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista x taka, że y = a x. Dowód tego twierdzeia pomijamy, wie ksza jego cze ść powia być zaa ze szko ly. Niektóre w lasości fukcji wyk ladiczej wymieioe w twierdzeiu sa latwe do uzasadieia lub wyikaja ieomal atychmiast z pozosta lych umieszczoych a tej liście, dowody iych wymagaja pewej pracy. 0
Zadaia szkole Defiicja 8. logarytmu) Logarytmem liczby y > 0 przy podstawie a > 0, a azywamy taka liczbe x R, że y = a x. Piszemy x = log a y. Z twierdzeia o w lasościach fukcji wyk ladiczej, pukt 9 wyika, że ta defiicja ma ses, tz. każda liczba dodatia ma logarytm przy dowolej podstawie dodatiej, różej od. Zachodzi wie c rówość a log a x = x przy za lożeiu: 0 < a, x > 0. Przypomijmy, że fukcja wyk ladicza o podstawie a to fukcja przypisuja ca liczbie x liczbe a x. Argumetem jest w tym przypadku wyk ladik pote gi, a wartościa pote ga. Fukcja logarytmicza o podstawie a to fukcja odwrota do fukcji wyk ladiczej o podstawie a, czyli fukcja, która liczbie y przypisuje wartość wyk ladika x w taki sposób, że podstawa podiesioa do pote gi x daje liczbe logarytmowaa y. Zapiszemy to wzorem y = a log a y. Fukcja pote gowa o wyk ladiku α azywamy fukcje, która liczbie x > 0 przypisuje liczbe x α. Logarytmów liczb ujemych ie defiiujemy, bo ie sa am potrzebe i ie moża ich dobrze zdefiiować w zbiorze liczb rzeczywistych. Sytuacja zmiei laby sie po rozszerzeiu aszego zapasu liczb tz. gdybyśmy zajmowali sie rówież liczbami zespoloymi, do czego dojdzie w II semestrze). Przyk lad 0. log 8 =, bo = 8; log 0 0000 = 4, bo 0 4 = 0000; log 0 = 4, bo 0000 0 4 = 0000 ; log 0 0 =, bo 0/ = 0; log 0 000 =, bo 0 / = 0 = 000. Poieważ fukcja logarytmicza jest fukcja odwrota do wyk ladiczej, wie c w lasościom fukcji wyk ladiczej odpowiadaja w lasości fukcji logarytmiczej. Twierdzeie 9. o w lasościach fukcji logarytmiczej) Jeśli a > 0, to. dla dowolych x,y > 0 zachodzi log a xy) = log a x log a y ;. dla dowolych x,y > 0 zachodzi log a x y = log a x log a y ;. log a = 0 i log a a = ; 4. dla dowolych x,y R, x > 0 zachodzi log a x y ) = y log a x; 5. dla dowolej liczby x > 0 zachodzi log a x = log a x; 6. jeśli b,x > 0 i b, to log a x = log b x log b a, czyli log b a log a x = log b x; 7. jeśli a >, x,y R i 0 < x < y, to log a x < log a y fukcja logarytmicza o podstawie wie kszej iż jest ściśle rosa ca); 8. jeśli 0 < a <, x,y R i 0 < x < y, to log a x > log a y fukcja wyk ladicza o podstawie dodatiej, miejszej iż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y i dla każdej liczby dodatiej a istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista x taka, że y = log a x. W lasość szósta to twierdzeie zae iektórym studetom ze szko ly pod azwa : twierdzeie o zmiaie podstawy logarytmu. Jest oo bezpośredim wioskiem z w lasości 4 fukcji wyk ladiczej. Wyika z iego, że zaja c logarytmy przy podstawie b moża zaleźć logarytmy przy owej podstawie a. Warto powiedzieć, że logarytmy zosta ly wyalezioe przez astroomów, bo ludzie obserwuja cy iebo w ocy, przeprowadzali wiele obliczeń, a w przeciwieństwie do obecie żyja cych ie mieli do dyspozycji
Zadaia szkole urza dzeń elektroiczych. Możeie liczb pochodza cych z obserwacji by lo trude a ogó l ie by ly to ma le liczby aturale), wie c usi lowao zasta pić możeie zaczie miej pracoch loym dodawaiem. Pocza tkowo używao do tego tablic trygoometryczych i wzorów typu siαsi β = si αβ cos α β, a późiej stworzoo tablice logarytmów * i używao w lasości r : zajdowao logarytmy możoych liczb x,y w tablicach, sumowao je i zajdowao w tablicach liczbe, której logarytmem by la liczba log a x log a y. Podobie pierwiastkowao i podoszoo do pote gi lx y ) = y l x ). Tak by lo do pocza tku lat osiemdziesia tych XX wieku, czyli do mometu, w którym komputery osobiste sta ly sie powszeche. Dziś do,,re czych obliczeń logarytmy ie sa używae, tym iemiej sa, i zapewe be da, stosowae róże skale logarytmicze. W chemii używaa jest wielkość ph, która jest rówa mius logarytmowi o podstawie 0) ze ste żeia joów wodorowych w roztworze, chemicy mówia ujemy logarytm... maja c a myśli liczbe przeciwa do logarytmu. W czystej wodzie ste żeie joów wodorowych wyosi oko lo 0,000000 = 0 7, zatem ph czystej wody jest rówe 7. Chodzi o to, by operować miejszymi liczbami, co w przypadku jedokrotego użycia zaczeia ie ma, ale ph jest używae przez bardzo wielu ludzi wielokrotie, wie c prostota defiicji ma duże zaczeie. Iym przyk ladem jest p. skala Richtera trze sień Ziemi: trze sieie o jede stopień siliejsze ma dziesie ciokrotie wie ksza eergie. Podobie jest jest z ate żeiem dźwie ku, rówież w tym przypadku skala jest logarytmicza. Podobie skala jasości gwiazd. Logarytmy sa użytecze, bo ich użycie,,sp laszcza skale. Zilustrujemy to zjawisko a przyk ladzie log 0 0,000000 = 7, log 0 0,00000 = 6, log 0 0,0000 = 5, log 0 0,000 = 4, log 0 0,00 =, log 0 0,0 =, log 0 0, =, log 0 =, log 0 0 =, log 0 00 =, log 0 000 =, log 0 0000 = 4, log 0 00000 = 5, log 0 000000 = 6, log 0 0000000 = 7. Chodzi o to, że trudo jest ogla dać te zera w dużych ilościach, a czasem mamy do czyieia z wielkościami, jak wspomiae wyżej, które zmieiaja sie w szerokim zakresie. Wtedy wygodiej jest je zlogarytmować, bo wtedy latwiej moża sie porozumiewać mówia c lub pisza c o ich, zw laszcza wtedy, gdy zostaje to ustaloe,,raz a zawsze, jak w podaych przyk ladach. W tym tekście symbol x a ozacza pierwiastek stopia x z liczby a, przy czym ozacza to po prostu, że zachodzi rówość x a = a /x ; x może być liczba aturala, ale rówież może być liczba iewymiera, ujema. 5! Zaleźć log 4, log 5, log 6, log 8, log 9 wiedza c, że log 0,00, log 0,477 oraz log 7 0,84509. 54! Uprościć 0 00 55. Uprościć 5 log 5 40. 56. Uprościć 7 log 49 5. 57! Uprościć 5 log 5 6. log 9 log. 58. Zaleźć log 5 wiedza c, że log 0,00 i log 0,477. 59. Jaki waruek musza spe liać liczby dodatie a i b, by zachodzi la rówość log c a log c b = a b? Podać przyk lady liczb a i b, dla których ta rówość ie zachodzi. * Tablice logarytmów stworzoo w XVII wieku J.Napier). Pierwsza podstawa by la liczba e,7, o której be dzie mowa w pierwszym semestrze, a po oko lo 0 latach przeliczoo J.Briggs) logarytmy aturale czyli o podstawie e ) a logarytmy o podstawie 0, czyli dziesie te.