Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy jest to niezbędne. I tak na przykład nie podam tu definicji granicy ciągu (funkcji) zakładając intuicyjność tego wyraŝenia liczba, na której kończy się ciąg liczb (funkcja). Pamiętajmy jednak, Ŝe liczba ta moŝe być nieskończenie duŝa (mała) mówimy wtedy, Ŝe granica jest w nieskończoności (odpowiednio w + lub - ). Oczywiście musimy jeszcze przy okazji określić jak zachowują się wyrazy ciągu (argumenty funkcji). Matematycy podniosą tu zaraz wielkie larum, ale takie sformułowanie nam tu wystarczy. n + n + Na przykład granica ciągu przy n dąŝącym do nieskończoności n n + n + n + ( ) wynosi co zapisujemy : lim n n n + lim 0 lim 0 Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej. Niestety teraz przychodzi pora na parę definicji. Wyobraźmy sobie, Ŝe mamy określoną jakąś funkcję f() oraz pewną zmienną (argument tej funkcji). Oczywiście zmienna jak sama nazwa mówi zmienia się :-). ZałóŜmy, Ŝe na początku wartość tej zmiennej wynosiła 0, a wartość funkcji w tym punkcie f( 0 ). Jak przystało na zmienną, zmieniła się ona o od wartości 0 (wzrosła lub zmalała). Wartość funkcji w tym punkcie będzie wynosiła f( 0 + ). Przykład : Mamy funkcję określoną wzorem : f() Jeśli 0 to f( 0 ) 4. Wartość zmiennej wzrosła np. o wobec tego f( 0 + ) f(+) f(). RóŜnicę y f( 0 + ) - f( 0 ) nazywamy przyrostem funkcji f() (dla powyŝszego przykładu y 4 ). Ilorazem róŝnicowym funkcji f() nazywamy stosunek przyrostu y funkcji do przyrostu zmiennej co zapisujemy : y f( 0 + ) - f( 0 ) () Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
Niektóre interpretacje ilorazu róŝnicowego : ) traktując drogę s jako funkcję czasu t czyli s f (t) moŝemy powiedzieć, s f(t 0 + t) - f(t 0 ) Ŝe iloraz róŝnicowy oznacza prędkość średnią ciała t t poruszającego się w odstępie czasu t ) traktując ładunek elektryczny Q przepływający przez poprzeczny przekrój przewodnika jako funkcję czasu t czyli Q f (t) moŝemy powiedzieć, Ŝe Q f(t 0 + t) - f(t 0 ) iloraz róŝnicowy oznacza średnie natęŝenie prądu t t przepływającego przez ten przewodnik w czasie t. JeŜeli zmiany (przyrosty) zmiennej są bardzo małe to mówimy o ilorazie róŝniczkowym (róŝnica wynik odejmowania, róŝniczka wynik odejmowanka :-) ). Zamiast mówić o ilorazie róŝniczkowym mówimy krótko o pochodnej i zapisujemy : f () lim 0 y lim 0 f( 0 + ) - f( Proszę zwrócić uwagę, Ŝe mamy tu granicę ilorazu róŝnicowego przy dąŝącym do zera. Przypominam, Ŝe zapis A A końcowe A początkowe d f() Pochodną funkcji f() moŝemy zapisać z apostrofem f () lub Opierając się na podanych powyŝej interpretacjach ilorazu róŝnicowego, moŝemy podać interpretacje pochodnej : s d s ) granica ilorazu róŝnicowego (czyli pochodna ) oznacza prędkość t dt chwilową w chwili t 0 Q d Q ) granica ilorazu róŝnicowego (czyli pochodna ) oznacza t dt natęŝenie prądu w chwili t 0 (natęŝenie chwilowe) Procedura szukania pochodnej nazywana jest róŝniczkowaniem, a metoda postępowania rachunkiem róŝniczkowym. Przedstawienie pełnego rachunku róŝniczkowego nie jest nam potrzebne (i tak wykraczamy poza program nauczania matematyki w LO), dlatego poniŝej przedstawimy pochodne funkcji elementarnych oraz ogólne reguły róŝniczkowania. 0 ) () Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
Pochodne funkcji elementarnych f () f () f () f () α α R α α - e e sin cos a a ln a cos - sin ln / tg + tg log a cos ln a Pochodna ze stałej jest równa zero!! Ogólne reguły róŝniczkowania ) stałą wolno przenieść przed znak róŝniczkowania [c f()] c f () ) pochodna sumy algebraicznej dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji [f() + g() ] f () + g () () ) pochodna iloczynu dwóch funkcji dana jest wzorem : [f() g() ] f () g() + f() g () (4) 4) pochodna ilorazu dwóch funkcji dana jest wzorem : f() g() f () g() - [g()] f() g () ) Pochodna funkcji złoŝonej Mamy dwie funkcje : y f (u) oraz u g(). dy dy du () du Szczególny przypadek powyŝszego wzoru to : gdzie g() 0 () ( f() ) f () f() Przykłady : 4 [ + 4 ] 0 9 + 4 Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
n n [ + n + n] n + n ( n stała ) ( - ) ( ) ( ) ( ) - ( ) a dalej to juŝ samodzielnie : ) { korzystamy ze wzoru y sin u, u } cos [sin()] Bardzo przydatnym zastosowaniem róŝniczki jest wykorzystanie jej do obliczania przybliŝonych wartości funkcji. Korzystamy wtedy ze wzoru : f( 0 + ) f( 0 ) + f ( 0 ) () Obliczyć przybliŝoną wartość wyraŝenia,9 Bierzemy pod uwagę funkcję f() oraz jej pochodną f () Z wartości potrafimy obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia () wobec tego 0 oraz - 0,8 Stosujemy teraz wzór () 0,8 0,8 0,8 0,0,9 9 Obliczyć przybliŝoną wartość wyraŝenia sin 0 Bierzemy pod uwagę funkcję f() sin oraz jej pochodną f () cos 0 π 0 π ZauwaŜmy, Ŝe rad, a 0 rad 80 π π Tak więc rad, a 0 rad 80 Korzystamy ze wzoru () π π π π π sin( + ) sin + cos 0, + 0,0 0, 80 80 Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 4
Pochodne wyŝszych rzędów Jeśli funkcja f() posiada pochodną f () to ta pochodna jest juŝ nową funkcją, która teŝ moŝe posiadać swoją pochodną.. W takim wypadku mówimy o pochodnej drugiego rzędu funkcji f() i oznaczamy ją symbolem d y f () lub. Tak więc pochodną drugiego rzędu moŝemy zapisać w postaci : f () [f ()]. Analogicznie moŝemy zdefiniować pochodne wyŝszych rzędów. Przykład : Obliczyć drugą pochodną funkcji y sin Liczymy pierwszą pochodną, a następnie drugą pochodną : d d( sin) d(sin + cos) cos + cos + ( sin) 4cos 4sin Interpretacja fizyczna drugiej pochodnej : d s druga pochodna drogi po czasie, czyli dt chwili t 0 oznacza przyspieszenie chwilowe w Za pomocą pierwszej pochodnej jesteśmy w stanie wyznaczyć ekstrema funkcji (minimum lub maksimum) w danym punkcie 0 (zakładamy, Ŝe funkcja jest w danym punkcie róŝniczkowalna). Aby to uczynić naleŝy : ) Obliczyć pierwszą pochodną f () tej funkcji. ) Rozwiązać równanie f () 0. ) Zbadać znak po obu stronach kaŝdego punktu 0, który jest pierwiastkiem tego równania. Jeśli następuje zmiana znaku w 0 z plusa na minus to w 0 występuje maksimum, jeśli zaś znak zmienia się w 0 z minusa na plus to w tym punkcie jest minimum funkcji. 4) Obliczyć wartość funkcji w kaŝdym punkcie 0, w których następuje zmiana znaku dla pierwszej pochodnej. Wartości te są ekstremami funkcji. JeŜeli pierwsza pochodna f () jest równa zeru w punkcie 0, a druga pochodna jest ciągła i róŝna od zera w tym punkcie, to istnieje w 0 ekstremum funkcji, Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
przy czym jeśli f () > 0 to jest to minimum, a jeśli f () < 0 to jest maksimum. W przypadku gdy f () 0 to nie jesteśmy w stanie określić. Obliczyć największą energię kinetyczną punktu materialnego o masie m poruszającego się ruchem drgającym określonym wzorem A sin ωt. We wzorze na energię kinetyczną k E mv nie mamy podanej prędkości. d(a sin ωt) Wiemy jednak, Ŝe v czyli v A ω cosω t dt dt Stąd wzór na energię kinetyczną przyjmuje postać : E m A ω cos ω t. k Szukamy maksymalnej energii (ekstremum), więc policzmy jej pierwszą pochodną (oczywiście względem czasu zmienna). E k ma ω sinωi cosωo A ω sin( ω t ) n π Znajdujemy miejsca zerowe tej pochodnej są to punkty t ω 4 Druga pochodna energii kinetycznej wynosi E k A ω cos (ω t ), n π podstawiamy do niej t i sprawdzamy, kiedy E < 0 (maksimum) ω 4 nπ 4 A ω > 0 gdy n jest nieparzyste Czyli E k ( ) A ω cos (n π ) ω 4 A ω < 0 gdy n jest parzyste oznacza to, Ŝe E ma maksimum w punktach Stąd E k ma m A ω n π t dla n 0,,4,... ω Ogniwo o SEM równej E i oporze wewnętrznym r zwierano drutem o róŝnych oporach R. Oblicz przy jakim oporze R ilość ciepła wydzielona na drucie w tym samym czasie t będzie największa. Z prawa Joule a-lenza oraz z prawa Ohma dla obwodu mamy : Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
E Q R I t oraz I r + R R Stąd Q E t (r + R) Liczymy pierwszą pochodną ciepła po oporze wynika to z treści zadania. dq dr d E R t (r + R) dr E t R d (r + R) dr E r - R t (r + R) Szukamy miejsc zerowych Q - istnieje jedno : R r E t Druga pochodna Q (r) < 0 czyli ma w tym punkcie maksimum. 8 r Stąd największa ilość ciepła wydzieli się tylko wtedy, gdy opór drutu R r. E t Ilość ciepła wynosi wtedy Q ma. 4 r Zadanie do samodzielnego rozwiązania : Z kwadratowego arkusza blachy o boku L wycinamy przy wierzchołkach równe kwadraty i zaginając brzegi otrzymujemy prostokątne otwarte pudełko. Jakie kwadraty naleŝy wyciąć aby otrzymać pudełko o największej objętości? Odp. Kwadrat o boku / L Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
Całka nieoznaczona. Całkowanie jest poszukiwaniem funkcji pierwotnej w stosunku do pochodnej. Czyli jeśli po zróŝniczkowaniu jakiejś funkcji otrzymujemy pochodną to całkowanie odpowiada na pytanie jaka funkcja została zróŝniczkowana. Niestety, nie otrzymamy dokładnej odpowiedzi na to pytanie. Spójrzmy na tabele poniŝej. f () f () f () f () + + + + RóŜniczkując róŝne funkcje f() otrzymujemy identyczną pochodną. Wniosek z tego jest taki, Ŝe przeprowadzając operację odwrotną (całkowanie) nie jesteśmy w stanie dokładnie określić funkcji pierwotnej otrzymamy ich nieskończenie wiele, róŝniących się od siebie o jakąś stałą. Dlatego teŝ mówimy o całce nieoznaczonej i stąd teŝ pojawia się w niej stała C. Jeśli przez F() oznaczymy funkcję pierwotną, a przez f() jej pochodną to całkę nieoznaczoną zapisujemy w postaci : f() F() + C (8) Podstawowe wzory dla całek nieoznaczonych. a a+ + C a + a - i a R (9) ln + C (0) sin cos + C () cos sin + C () sin ctg + C cos tg + C () (4) Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 8
e e + C () a a + C a > 0 () ln a Ogólne reguły całkowania. A f() A f() A-stała () [ f() ± g()] f() ± g() (8) f () Jeśli f() 0 to ln f( ) + C f() f () Jeśli f() > 0 to f() + C f() (9) (0) Wyznaczyć całkę nieoznaczoną Korzystamy ze wzoru (9) + C + C + + + C Wyznaczyć całkę nieoznaczoną + ZauwaŜmy, Ŝe licznik jest pochodną funkcji skorzystać ze wzoru (0) + + C + + wobec tego moŝemy Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 9
Wyznaczyć całkę nieoznaczoną 4 Pochodna funkcji -4 wynosi -4 zatem licznik i mianownik mnoŝymy przez tą liczbę, korzystamy ze wzoru (), a następnie ze wzoru (0). - 4-4 - f 4 + C 4 + C 4 4 4 4 4 4 Wyznaczyć całkę nieoznaczoną ( + ) ( ) ( + + ) + + + + C Całkowanie przez podstawianie. Przy całkowaniu przez podstawianie stosujemy poniŝsze wzory : f() f [ (t)] ϕ ϕ(t) dt gdzie φ(t) () f[ ()] ϕ() ϕ f(t) dt gdzie φ() t () Całkowanie przez wstawianie stosujemy na ogół wtedy, gdy funkcja podcałkowa jest funkcją złoŝoną. Znaleźć całkę cos ( + ) Wykorzystamy tu wzór (), a zatem + t stąd dt czyli zgodnie ze wzorem () otrzymamy : cos ( + ) cos t dt sin t sin ( + ) + C Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 0
Znaleźć całkę e Funkcja podcałkowa e jest funkcją złoŝoną wobec tego podstawiamy : t stąd dt a stąd dt Podstawiamy wzory do naszej całki i korzystamy ze wzoru () : e e t dt t e dt e t e + C Podstawianie przez części. Podstawianie przez części stosujemy wtedy, gdy funkcja podcałkowa jest iloczynem dwóch funkcji. Stosujemy wówczas następujący wzór : f() g() F() g() - F() g() gdzie F() f() () Znaleźć całkę cos Funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji g() oraz cos f(). ) Obliczamy F() : F() cos sin ) Znajdujemy pochodną g () ) Obliczamy całkę F() g() sin cos 4) Stosujemy wzór () podstawiając obliczone w pkt, i wartości cos sin ( cos) sin + cos + C Uwaga : waŝny jest wybór, która z funkcji będzie f(), a która g(). Chodzi oczywiście o moŝliwość przewidzenia, która z całek ze wzoru () będzie łatwiejsza do policzenia. Myślę, Ŝe na tych przykładach zakończymy liczenie całek nieoznaczonych, choć na pewno nie wyczerpaliśmy wszystkich moŝliwości ich wyliczenia. Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona