Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna t oznaczać mogłaby oznaczać czas wegetacji mierzony w tygodniach, a zmienna y masie 100 ziaren kukurydzy, wyrażonej w gramach). 1
Funkcja logistyczna c.d. f(t) 0 10 20 30 40 5 0 5 10 15 t Rysunek 1: Wykres funkcji y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Chcemy: (a) obliczyć pochodną funkcji f w punkcie x 0 = 5, (b) znaleźć punkt, w którym tempo wzrostu funkcji f przestaje rosnąć. 2
Funkcja logistyczna: ogólna postać: Funkcja logistyczna f(t) = a 1 + be ct. Zastosowania: modelowanie wzrostu populacji zwierząt, wzrostu masy roślin, zmiany w popycie na niektóre artykuły wprowadzane na rynek. Dziedziną naturalną funkcji f jest R, ale w zastosowaniach przyjmujemy D f = [0, ). 3
Prędkość wzrostu w chwili t 0 wartość przybliżona Chcąc znaleźć wartość przybliżoną prędkości wzrostu funkcji f 0 w chwili t 0 = 5 można obliczyć iloraz gdzie x jest równa np. 0,01 lub 0,001. f 0 (5 + x), (1) x Można sprawdzić, że wyrażenie (1) dla x = 0,01 jest równe 4,122012 a dla x = 0,001 jest równe 4,125897. Wyrażenie (1), tzw. iloraz różnicowy; jego granica przy x 0 : pochodna funkcji f 0 w x 0 = 5. 4
Iloraz różnicowy Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f bedzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadajacym przyrostowi x, gdzie 0 < x < r, zmiennej niezależnej nazywamy liczbę f x = f(x 0 + x) f(x 0 ). x 5
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej przechodzącej przez punkty (x 0, f(x 0 )) i (x 0 + x, f(x 0 + x)) (tzw. siecznej). Uwaga Współczynnik kierunkowy siecznej jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej do dodatniej części osi OX. 6
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego c.d. y 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 x Rysunek 2: Sieczne do funkcji f 0 dla x 0 = 5 i wartości x = 3, 5, i 10. 7
Interpretacja geometryczna pochodnej Definicja 2 (stycznej do wykresu funkcji) Niech x 0 R oraz niech funkcja ciagła f będzie określona przynajmniej na otoczeniu x 0. Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych funkcji f przechodzacych przez punkty (x 0, f(x 0 )), (x, f(x)), gdy x x 0. Geometrycznie styczna jest prostą, która w sąsiedztwie punktu styczności najlepiej przybliża wykres funkcji. Nie jest prawdą, że każda prosta która ma tylko jeden punkt wspólny z wykresem jest do niego styczna. 8
Interpretacja geometryczna pochodnej- c.d. y 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 x Rysunek 3: Styczna jako graniczne położenie siecznych Równanie stycznej: y = f 0 (x 0 ) + f 0(x 0 )(x x 0 ), gdzie x 0 = 5. Pytanie: jak obliczyć f 0(x 0 )? Korzystając z definicji pochodnej? 9
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych Wzór (c) = 0 Zakres zmienności c R (x n ) = nx n 1 n N oraz x R (x p ) = px p 1 p { 1, 2, 3,...} oraz x 0 (x α ) = αx α 1 α R \ Z, Zakres zmiennej x zależy α (sin x) = cos x (cos x) = sin x x R x R (log a x) = 1 x ln a 0 < a 1 oraz x > 0 (log x) = 1 x x > 0 (a x ) = a x ln a 0 < a 1 oraz x R (e x ) = e x x R 10
Pochodna f(x) = x α Pochodna f(x) = x α : (x α ) = αx α 1 jest określona na (0, ) dla α = 1 2 na [0, ) dla α = 3 2 na R \ 0 dla α = 1 3 etc. 11
Pochodna funkcji złożonej: przypadek gdy funkcja wewnętrzna jest liniowa Można pokazać, że ( e αx ) = αe αx. Prawdziwe jest bardziej ogólne stwierdzenie: ( f(αx + β) ) = α(f (αx + β)). 12
Twierdzenia o pochodnych funkcji Twierdzenie 1 (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji). Jeżeli funkcje f i g maja pochodne właściwe w punkcie x 0, to (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ); (2) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) ; (3) (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ), gdzie c R; (4) (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ); (5) ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g 2, o ile g(x 0 ) 0. (6) (x 0 ) 13
Pochodna funkcji logistycznej Pochodna funkcji logistycznej jest równa f(t) = a 1 + be ct. f (t) = (a) (1 + be ct ) a(1 + be ct ) (1 + be ct ) 2 = abce ct (1 + be ct ) 2. Dla a = 40, b = 5 i c = 0,5 oraz x 0 = 5 otrzymujemy f (x 0 ) = 40 5 0,5 e 0,5 5 (1 + 5e 0,5 5 ) 2 = 4,126329. 14
Pochodna funkcji na przedziale Definicja 3 (pochodnej funkcji na przedziale otwartym) Funkcja ma pochodna właściwa na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodna właściwa w każdym punkcie tego zbioru. Funkcję określona na zbiorze, której wartości w punktach x tego zbioru sa równe f (x) nazywamy pochodna funkcji na zbiorze i oznaczamy przez f. Uwaga. Pochodną na przedziale z jednej lub z dwóch stron domkniętym definiujemy przy pomocy pochodnych jednostronnych (w punkcie). Odpowiednie definicje podamy podczas następnych wykładów. 15
Pochodna funkcji logistycznej wykresy y 0 1 2 3 4 5 y 4.2 4.6 5.0 0 5 10 15 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 x x y 4.975 4.985 4.995 y 4.9980 4.9990 5.0000 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.20 3.24 3.28 x x Rysunek 4: Pochodna funkcji y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t 16
Punkt przegięcia funkcji logistycznej Przedstawione wykresy: punkt, w którym tempo wzrostu funkcji f 0 przestaje rosnąć: w przybliżeniu 3,22. Problemy: w jaki sposób w sposób bardziej precyzyjny zdefiniować punkt, w którym tempo wzrostu danej funkcji przestaje rosnąć (tzw. punkt przegięcia); w jaki sposób znajdować punkt przegięcia funkcji (przy użyciu metod analitycznych, a nie graficznych). Odpowiedzi: następny wykład. 17