OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1

Acta Sci. Pol., Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009, 19-30 OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1 Marek Trojaowicz Uiwersytet Przyrodiczy we Wrocławiu Streszczeie. W pracy podjęto próbę ocey dokładości dwóch ogólie dostępych globalych modeli geopotecjału, tj. EGM96 i EGM08. Dokładość tych modeli badao w odiesieiu do rejou Dolego Śląska, przy czym aalizowao wartości zakłóceń grawimetryczych oraz aomalii wysokości. Do porówań wykorzystao dae pomiarowe w postaci 92546 puktów grawimetryczych oraz 29 puktów sieci POLREF. Przeprowadzoe aalizy potwierdziły zaczie większą dokładość modelu EGM08. Odchyleie stadardowe różic satelitaro/iwelacyjych aomalii wysokości oraz wyzaczoych z aalizowaych modeli globalych wyiosły odpowiedio ± 16 cm dla modelu EGM96 oraz ± 2,8 dla modelu EGM08. Słowa kluczowe: globale modele geopotecjału EGM96 i EGM08 WSTĘP Wykorzystaie techik satelitarych do wyzaczaia wysokości puktów w obowiązującym w daym kraju systemie wysokości jest ściśle związae z budową dokładych modeli geoidy i quasi-geoidy. Jest wiele metod modelowaia tych powierzchi. Ogólie wśród tych metod moża wyróżić dwie grupy [Tscherig 2001]. Grupę pierwszą staowią metody oparte a rozwiązaiu Stokesa. Grupę drugą tworzą metody aproksymacyje oparte a metodzie ajmiejszych kwadratów (ajbardziej popularą w tej grupie jest kolokacja metodą ajmiejszych kwadratów). Ogólą charakterystykę tych metod zaleźć moża w opracowaiach [Heiskae i Moritz 1967], [Sasò, Rummel 1997], [Torge 2001] oraz [Hofma-Wellehof i Moritz 2005]. Niezależie od zastosowaej metody podstawą dokładych lokalych wyzaczeń geoidy i quasi-geoidy są powierzchiowe dae grawimetrycze. Praktyczie wszystkie owoczese techiki modelowaia geoidy i quasi-geoidy wykorzystują jako model pola grawitacyjego Ziemi globale modele geopotecjału. Adres do korespodecji Correspodig author: Marek Trojaowicz, Istytut Geodezji i Geoiformatyki, Uiwersytet Przyrodiczy we Wrocławiu, ul. Gruwaldzka 53, 50-357 Wrocław, e-mail: marek.trojaowicz@up.wroc.pl.

20 M. Trojaowicz Wykorzystaie tych modeli odbywa się za pomocą techiki RCR (remove-compute-restore), która polega a usuięciu z aomalii grawimetryczych składowej globalego modelu geopotecjału, astępie obliczeiu a podstawie rezydualych aomalii tzw. rezydualych aomalii wysokości lub rezydualych wysokości geoidy oraz przywróceiu składowej globalego modelu geopotecjału do wyzaczoych, rezydualych aomalii wysokości lub rezydualych wysokości geoidy. Zastosowaie takiej techiki pozwala przede wszystkim a zacze ograiczeie obszaru iezbędych do obliczeń daych grawimetryczych. Poieważ globale modele geopotecjału są opracowywae z coraz to większą rozdzielczością i dokładością, zasadym wydaje się pytaie, jak dokładie opisują oe rzeczywiste pole grawitacyje. Celem iiejszego artykułu jest więc próba ocey dokładości wybraych globalych modeli geopotecjału. Przy czym ocea ta będzie polegała a określeiu charakterystyk pola rezydualego aomalii grawimetryczych i aomalii wysokości. Do aaliz wybrao dwa ogólodostępe modele geopotecjału. Pierwszym jest model EGM96 [Lemoie i i. 1998], drugim zaś model EGM08 [Pavlis i i. 2008]. Model EGM96 (Earth Gravitatioal Model 1996) jest wyikiem współpracy trzech istytucji: NIMA (Natioal Imagery ad Mappig Agecy), NASA GSFC (Goddard Space Flight Ceter) oraz Ohio State Uiversity. Jest to model o współczyikach harmoiczych sferyczych do stopia i rzędu 360. Model EGM08 został opublikoway przez Natioal Geospatial-Itelligece Agecy (NGA) EGM Developmet Team w 2008 roku. Jest to model o współczyikach harmoiczych sferyczych do stopia i rzędu 2159. Dostępe są także dodatkowe współczyiki do stopia 2190 i rzędu 2159. Prezetowae w dalszej części pracy aalizy odiesioe są do obszaru Dolego Śląska. WYKORZYSTANA TECHNIKA OBLICZENIOWA Do rozwiązywaia globalych problemów geodezji, potecjał grawitacyjy Ziemi V przedstawia się w postaci rozwiięcia w szereg harmoiczych sferyczych. Rozwiięcie to przedstawioe jest w postaci rówaia [Torge 2001]: GM a V = 1 + ( Cm cos mλ+ Sm si mλ) Pm (cos θ) (1) r = 2 r m= 0 gdzie: r, θλ, współrzęde sferycze puktu, w którym potecjał wyzaczamy (r odległość od środka sfery, θ odległość bieguowa, λ długość geograficza), GM geocetrycza stała grawitacyja, a dłuższa półoś elipsoidy, P m zormalizowaa stowarzyszoa fukcja Legedre a o stopiu i rzędzie m oraz Cm, S m zormalizowae współczyiki modelu. Fukcje: c Y = P (cos θ)cos mλ m m s Y = P (cos θ)si mλ m m Acta Sci. Pol.

Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału... 21 azywae są powierzchiowymi harmoiczymi sferyczymi Laplace a lub fukcjami kulistymi. W praktyczych zastosowaiach globalych modeli geopotecjału wyzaczae są bezpośredio wielkości wykorzystywae w obliczeiach, tz. aomalie grawimetrycze (ozaczoe dalej jako Δ ggm ) lub zakłóceia grawimetrycze (ozaczoe dalej jako δ g GM ) oraz potecjał zakłócający (ozaczoy dalej jako T GM ), zamieiay a wysokości geoidy lub aomalie wysokości. Rówaia umożliwiające wyzaczeie tych parametrów moża zapisać w postaci [Torge 2001]: T + 1 1 a Δ ggm = ( 1) T r = 2 r + 1 1 a δ ggm = ( 1) T r + = 2 r (2) GM a = = 2 r + 1 T T ζ GM =, γ gdzie: GM T = ( ΔCm cos mλ+δsm si mλ) Pm (cos θ) a m= 0 GM N m W rówaiach (2) współczyiki Δ Sm = Sm, atomiast Δ Cm = Cm Cm. Współczyiki C są zormalizowaymi współczyików harmoiczych sferyczych pola ormalego, z których róże od zera są jedyie współczyiki parzystych, strefowych (m = 0) harmoiczych sferyczych. Współczyiki pola ormalego dae są jako stałe defiiujące pole ormale. Wyzaczeie globalego modelu geopotecjału polega w zasadzie a określeiu współczyików Cm, S m. Maksymaly stopień max i rząd rozwiięcia, a więc liczba wyzaczoych współczyików określają rozdzielczość modelu, która w powiązaiu z dokładością wyzaczeia tych współczyików decyduje o dokładości samego modelu. Charakteryzując zastosowaą techikę obliczeiową, warto wspomieć, że stowarzyszoe fukcje Legedre a geerowae są za pomocą metod iteracyjych. W obliczeiach prezetowaych w iiejszej pracy fukcje te geerowae były za pomocą tzw. stadard forward colum method, której algorytm zaczerpięto z pracy [Holmes i Featherstoe 2002]. Metoda ta polega a wykorzystaiu dwóch rówań iteracyjych w dwóch krokach. Krok pierwszy polega a wyzaczeiu fukcji P mm : N Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009

22 M. Trojaowicz gdzie t = si( θ) 2m + 1 = > 1 (3) 2m Pmm t Pm 1, m 1 m Krok drugi to geerowaie fukcji P m rzędu m i stopia od = m+ 1 do = max : gdzie P = a up b P > m (4) m m 1, m m 2, m a m = (2 1)(2+ 1), ( m)( + m) b m = (2+ 1)( + m 1)( m 1), ( m)( + m)(2 3) u = cos( θ) oraz P 0 = 1, P1,0 = u 3, P1,1 = t 3 Do przeprowadzeia aaliz wykorzystao bezpośredio rówaia (2), przy czym pola rezyduale ( δgr dla zakłóceń grawimetryczych oraz Δζr dla aomalii wysokości) obliczoo a podstawie zależości: Przy czym δ g =δg δ g (5) r Δζ = ζ ζ r GM GM ζ= h H (6) gdzie h wysokość elipsoidala wyzaczoa z pomiarów satelitarych, atomiast H wysokość ormala tego samego puktu wyzaczoa a drodze iwelacji geometryczej. γ δ g = g γ o + ( H +ζ) (7) h gdzie g wartość przyspieszeia siły ciężkości pomierzoa w pukcie grawimetryczym, wartość przyspieszeia ormalego a elipsoidzie dla szerokości geodezyj- γ o γ ej tego puktu, h gradiet pioowy przyspieszeia ormalego (w obliczeiach Acta Sci. Pol.

Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału... 23 γ 2 przyjęto = 3.086 μ m/ s ), H wysokość ormala puktu grawimetryczego oraz h ζ aomalia wysokości w tym pukcie 1. 2 CHARAKTERYSTYKA OBSZARU BADAŃ I DANYCH POMIAROWYCH Obszar testowy zajmuje cały rejo Dolego Śląska. Półoco-wschodia część tego obszaru ma charakter rówiy. Część połudiowo-zachodia obejmuje obszar przedgórza sudeckiego i Sudetów z ajwyższym puktem o wysokości 1602 m.p.m. Rzeźbę tereu tego obszaru przedstawioo a rysuku 1. Rys. 1. Mapa wysokościowa obszaru testowego Fig. 1. Altimetric map of test area Do aaliz wykorzystao dae pomiarowe w postaci 92546 puktów grawimetryczych 23 oraz 29 puktów sieci POLREF 34 o zaych aomaliach wysokości. Położeie wszystkich puktów prezetuje rysuek 2. Na podstawie daych grawimetryczych w postaci wartości przyspieszeń siły ciężkości wyzaczoo zakłóceia grawimetrycze według rówaia (7). Mapę zakłóceń grawimetryczych prezetuje rysuek 3. 12 Aomalie wysokości puktów grawimetryczych w obliczeiach testowych wyzaczoo z modelu EGM08. 23 Dae udostępioe przez Państwowy Istytut Geologiczy. 34 Dae udostępioe przez Główy Urząd Geodezji i Kartografii. Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009

24 M. Trojaowicz Rys. 2. Położeie puktów grawimetryczych i puktów sieci POLREF Fig. 2. Locatio of gravity poits ad the POLREF etwork poits 51.5 51 50.5 Jeleia_Góra widica Kłodzko Wrocław Strzeli Nysa Opole 50 15 16 17 18 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0-100 Rys. 3. Mapa zakłóceń grawimetryczych 2 Fig. 3. Map of gravimetric disturbaces [ μ m/ s ] Podstawowe statystyki daych z obszaru testowego prezetowae są w tabeli 1. Wielkość H ozacza wysokość puktu grawimetryczego. g Acta Sci. Pol.

Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału... 25 Tabela 1. Podstawowe statystyki daych pomiarowych Table 1. Basic statistics of the data Mi. Max. Średia Mea δg -72.7 1273.0 330.7 ± 177.0 σ Jedostka Uit μm/ s 2 H g 87.33 1485.48 283.09 ± 175.07 m ζ 38.704 43.688 41.305 ± 1.316 m WYNIKI OBLICZEŃ Z modeli EGM96 i EGM08 wyzaczoo zakłóceia grawimetrycze δ g GM 96 (model EGM96) oraz δ g GM 08 (model EGM08) dla wszystkich puktów grawimetryczych. Wyiki tych obliczeń prezetowae są a rysukach 4 i 5. Rys. 4. Wartości zakłóceń grawimetryczych δ g GM 96 Fig. 4. Values of gravimetric disturbaces δ g [ 2 GM 96 μ m/ s ] Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009

26 M. Trojaowicz Rys. 5. Wartości zakłóceń grawimetryczych δ g GM 08 Fig. 5. Values of gravimetric disturbaces δ g GM [ 2 08 μ m/ s ] Na podstawie rówań (5) obliczoo rezyduale wartości zakłóceń grawimetryczych. Przy czym przyjęto astępujące ozaczeia: δ g =δg δ g rezyduale pole zakłóceń grawimetryczych dla modelu EGM96 r96 GM96 δ gr08 =δg δ ggm08 rezyduale pole zakłóceń grawimetryczych dla modelu EGM08 Rysuki 6 i 7 przedstawiają mapy rezydualych pól zakłóceń grawimetryczych δ g r 96 (rys. 6) oraz g r 08 δ (rys. 7). 51.5 700 51 Jeleia_Góra widica Wrocław Strzeli 500 300 Opole 100 50.5 Kłodzko Nysa -100-300 50 15 16 17 18-500 Rys. 6. Wartości rezydualych zakłóceń grawimetryczych δ g r 96 Fig. 6. Values of residual gravimetric disturbaces δ g [ 2 r 96 μ m/ s ] Acta Sci. Pol.

Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału... 27 51.5 400 Wrocław 300 51 Jeleia_Góra widica Strzeli 200 100 Opole 0 50.5 Kłodzko Nysa -100-200 -300 50 15 16 17 18-400 Rys. 7. Wartości rezydualych zakłóceń grawimetryczych δ g r 08 2 Fig. 7. Values of residual gravimetric disturbaces δ g r [ 08 μ m/ s ] Dla puktów sieci POLREF wyzaczoo aomalie wysokości ζ GM 96 (z modelu EGM96) oraz ζ GM 08 (z modelu EGM08). Na ich podstawie obliczoo rezyduale wartości pola aomalii wysokości dla obu modeli. Na rysuku 8 prezetowae są wartości tych pól. Przyjęto astępujące ozaczeia: ζ =ζ ζ rezyduale pole aomalii wysokości dla modelu EGM96 r96 GM96 ζ =ζ ζ rezyduale pole aomalii wysokości dla modelu EGM08 r08 GM08 51.5 51 50.5-1.5-11.1-1.0-0.2-15.2-23.9 2.3-28.6 3.4-0.9-31.3-15.9 11.4 35.9 1.3-17.7 1.5-7.0 1.8-1.0-0.1 2.3-4.5-26.4 2.4-28.9 6.5-0.3 5.6-20.2-5.4-13.6 1.6-2.8-0.2 8.4 4.3-6.4 0.8-0.7 1.7-41.1 1.1-13.9 1.1 8.8 2.2 2.5 2.8-35.5 0.7-29.5 0.7 6.9 2.2-6.7 2.2-11.6 50 15 16 17 18 Rys. 8. Wartości rezydualych aomalii wysokości ζ r 96 oraz ζ r 08 Fig. 8. Values of residual height aomalies ζr 96 ad ζ [cm] r 08 ζ r 08 ζ r96 Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009

28 M. Trojaowicz Podstawowe statystyki wyzaczoych pól rezydualych zawiera tabela 2. Tabela 2. Podstawowe statystyki pól rezydualych Table 2. Basic statistics of residua fields Mi. Max. Średia Mea δg r 96-504.2 706.3-57.2 ± 143.6 δg r 08-414.9 429.0-04.4 ± 65.9 σ Jedostka Uit μm/ s 2 μm/ s 2 ζr 96-0.411 0.359-0.114 ± 0.160 m ζr 08-0.054 0.114 0.017 ± 0.028 m OMÓWIENIE WYNIKÓW Omówieie wyików rozpocziemy od aalizy zakłóceń grawimetryczych. Porówując mapy zakłóceń grawimetryczych (rys. 3) z wartościami wyzaczoymi z obu modeli (rys. 4 model EGM96 oraz rys. 5 model EGM08), zauważymy wyraźie lepszą jakość modelu EGM08. Model EGM96 z powodu swojej iskiej, w porówaiu do modelu EGM08, rozdzielczości a tak małym obszarze opisuje w zasadzie zmiay uśredioe dla dużych powierzchi. Wyraźie widoczy jest jedyie wzrost wartości zakłóceń a tereie Sudetów oraz ich obiżeie a tereie Śląska Opolskiego. Wszystkie lokale zmiay wartości zakłóceń są w tym modelu iewidocze, co potwierdza mapa pola rezydualego (rys. 6), której podobieństwo do pola zakłóceń grawimetryczych jest wyraźe. Porówując ajważiejsze statystyki z tabeli 2 ze statystykami zawartymi w tabeli 1, zauważymy także małą różicę pomiędzy odchyleiem stadardowym oraz zakresem wartości dla wielkości δg oraz δ g r 96. Na mapie zakłóceń grawimetryczych obliczoych z modelu EGM08 (rys. 5) wyraźie zazaczoe są rówież lokale zmiay ich wartości. Na przykład dobrze widocze jest obiżeie wartości zakłóceń w rejoie Kotliy Kłodzkiej i Jeleiogórskiej oraz w rejoach Świdicy i Nysy. Na mapie rezydualych zakłóceń grawimetryczych dla tego modelu (rys. 7) zauważyć moża, że a obszarze iziym pole rezyduale charakteryzuje się zaczą zmieością w małym zakresie i brakiem powiązaia z rozkładem zakłóceń grawimetryczych (rys. 3). Na tereie Sudetów powiązaie to jest bardziej widocze, co świadczy o ieco gorszym odwzorowaiu pola grawitacyjego Ziemi w tym rejoie przez te model. Tę wizualą oceę potwierdzają podstawowe statystyki pola rezydualego tego modelu, zawarte w tabeli 2. Aalizując wartości rezyduale aomalii wysokości (rys. 8), rówież zauważymy wyraźie większą dokładość modelu EGM08. Dla modelu EGM96, wartości resztkowe aomalii wysokości a tereie iziym dochodzą do 10 cm atomiast a obszarze Sudetów wartości te przekraczają awet 40 cm. Wartości pola resztkowego aomalii wysokości dla modelu EGM08 a tereie iziym w zasadzie ie przekraczają 2,5 cm. Na obszarze Sudetów wartość maksymala wyosi 11,4 cm. W tym miejscu przypomieć Acta Sci. Pol.

Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału... 29 ależy, że dokładość (wyrażoa przez błąd średi) satelitaro/iwelacyjych aomalii wysokości puktów sieci POLREF szacowaa jest a ok. ±2,0 cm [Kryński i i. 2005], atomiast dokładość (wyrażoa odchyleiem stadardowym różic pomierzoych i modelowaych aomalii wysokości) modelu geoidy iwelacyjej 2001 a ±1,8 cm [Kryński 2007]. Biorąc to pod uwagę oraz wartość odchyleia stadardowego pola resztkowego dla całego obszaru, która wyosi ±2,8 cm, model EGM08 moża określić jako bardzo dokłady. Model te mógłby być w zasadzie wykorzystyway do iwelacji satelitarej przy pracach wymagających miejszej dokładości (p. pomiar rzeźby tereu). PIŚMIENNICTWO Heiskae W.A., Moritz H., 1967. Physical geodesy. Freema, Sa Fracisco. Hofma-Wellehof B., Moritz H., 2005. Physical geodesy. SprigerWieNewYork 2005. Holmes, S.A. ad Featherstoe W.E., 2002. A uified approach to the Cleshaw summatio ad the recursive computatio of very-high degree ad order ormalised associated Legedre fuctios, Joural of Geodesy 76(5), 279 299, Kryński J., 2007. Precyzyje modelowaie quasi-geoidy a obszarze Polski wyiki i ocea dokładości. Istytut Geodezji i Kartografii, seria moograficza Nr 13, Warszawa. Kryński J., Osada E., Figurski M., 2005. GPS/Levellig data i Polad i view of precise geoid modellig, Worshop II: Summary of the project o a cm geoid i Polad 16 17 November 2005, Warsaw. Lemoie F.G., Keyo S.C., Factor J.K., Trimmer R.G., Pavlis N.K., Chi D.S., Cox C.M., Klosko S.M., Luthcke S.B., Torrece M.H., Wag Y.M., Williamso R.G., Pavlis E.C., Rapp R.H., Olso T.R., 1998. The Developmet of the Joit NASA GSFC ad NIMA Geopotetial Model EGM96. NASA Goddard Space Flight Ceter, Greebelt, Marylad, 20771 USA, July 1998. Pavlis N.K., Holmes S.A., Keyo S.C., Factor J.K., 2008. A Earth Gravitatioal Model to Degree 2160: EGM2008. EGU Geeral Assembly 2008 Viea, Austria, April 13 18. Sasò F. Rummel (Eds.), 1997. Lecture Notes i Earth Scieces. Geodetic Boudary Value Problems i View of the Oe Cetimeter Geoid. Spriger-Verlag Berli Heidelberg. Torge W., 2001. Geodesy 3 rd Editio. Walter de Gruyter, Berli, New York. Tscherig C.C., 2001. Geoid determiatio after first satellite gravity missios. Paper prepared at the occasio of the 70 birthday of Wolfgag Torge. Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009

30 M. Trojaowicz ESTIMATION OF AN ACCURACY OF GLOBAL GEOPOTENTIAL MODELS EGM96 AND EGM08 AT LOWER SILESIA AREA Abstract. The study is a attempt to estimate accuracy of two global geopotetial models EGM96 ad EGM08. Accuracy of the models was estimated with referece to Lower Silesia area. It aalyse values of gravity disturbaces ad height aomalies. For comparisos there were used 92546 gravity poits ad 29 poits of the POLREF etwork. Carried aalyses have cofirmed superior accuracy of the EGM08 model. Stadard deviatios of residual height aomalies, has a amout ± 16 cm for EGM96 ad ± 2.8 EGM08 model. Key words: global geopotetial models EGM96 ad EGM08 Zaakceptowao do druku Accepted for prit: 30.03.2009 Do cytowaia For citatio: Trojaowicz M., 2009. Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału EGM96 i EGM08 a obszarze Dolego Śląska. Acta Sci. Pol. Geod. Descr. Terr., 8(1), 19 30. Acta Sci. Pol.