WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na elementach pewnego zbioru, przy czym w tej teorii tej nie mówi sie czym sa te elementy i na czym polegaja dzia lania na nich, a tylko zak lada sie pewne ogólne w lasności tych dzia lań. Za loźenia te nazywamy aksjomatami algebry abstrakcyjnej. Niech A - dowolny zbiór zawierajacy co najmniej dwa elementy. Definicja 2 Dzia lanie nazywamy wewn etrznym w zbiorze A, gdy: a,b A a b A. Definicja 3 Dzia lanie nazywamy przemiennym, gdy: a,b A a b = b a. Definicja 4 Dzia lanie nazywamy l acznym, gdy: a,b,c A (a b) c = a (b c). 1
Definicja 5 Elementem neutralnym dzia lania nazywamy element e A majćy t e w lasność, że: a A a e = e a = a. Definicja 6 Elementem odwrotnym do elementu a A wzgl egem dzia lania nazywamy element a 1 A taki, że: a a 1 = a 1 a = e, Definicja 7 Niepusty zbiór G nazywamy grupa, jeżeli określone w nim dzia lanie jest: 1. wewn etrzne czyli: 2. l aczne, czyli: a,b G a b G, a,b,c G (a b) c = a (b c), 2
3. ma element neutralny, czyli: e G a G a e = e a = a, 4. ma element odwrotny: a G a 1 G a a 1 = a 1 a = e, Definicja 8 Niepusty zbiór G nazywamy grupa przemienna (abelowa), jeżeli jest grupa oraz dzia lanie jest przemienne. 3
Definicja 9 Pierścieniem (P,, ) nazywamy niepusty zbiór P wyposażony w dwa dzia lania wewnetrzne,, przy czym: (i) (P, ) - grupa abelowa, (ii) - l aczne, (iii) rozdzielne wzgl edem, czyli a (b c) = (a b) (a c). Jeżeli jest przemienne, to pierścień nazywamy przemiennym. Jeżeli istnieje w P element neutralny wzgledem mnożenia, to P nazywamy pierścieniem z jedynka. Definicja 10 Cia lem (K,, ) nazywamy co najmniej dwuelementowy pierścień (P,, ), w którym (K \ {0}, ) jest grupa, a wiec : x K\{0} x 1 K\{0} x 1 x = x x 1 = 1. Uwaga. W ciele K równanie a + x = 0 ma dok ladnie jedno rozwiazanie: x = 1. Ananlogicznie, równanie bx = 1, b 0 ma rozwiazanie x = 1/b. 4
PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 11 Niech W (x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 -dany wielomian. Liczbe rzeczywista (zespolona) x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W, jeżeli W (x 0 ) = 0. Theorem 12 [Bezout] W (x 0 ) = 0 wielomian W jest podzielny przez dwumian x x 0. Theorem 13 [o pierwiastkach ca lkowitych wielomianu] Niech W (x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x +a 0 b edzie wielomianem n-tego stopnia o wspó lczynnikach ca lkowitych i niech p 0 b edzie pierwiastkiem ca lkowitym wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0. Przyk lady: 5
Theorem 14 [Twierdzenie zasadnicze algebry] Każdy wielomian zespolony stopnia n > 0 ma n pierwiastków zespolonych (różnych lub nie - wtedy sa to pierwiastki k-krotne). Theorem 15 Niech W (z) = c n z n +c n 1 z n 1 +...+c 1 z +c 0 -dany wielomian zespolony (c n C). Niech wielomian W ma pierwiastki z j o krotności odpowiednio k j, dla 1 j m, i k 1 + k 2 +... + k m = n. Wtedy Przyk lady: W (z) = c n (z z 1 ) k 1 (z z 2 ) k2... (z z m ) km. Theorem 16 Niech W bedzie wielomianem o wspó lczynnikach rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z 0 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W wtw, gdy liczba z 0 jest pierwiastkiem k-krotnym tego wielomianu. 6
Przyk lady: Theorem 17 Niech W bedzie wielomianem stopnia n N o wspó lczynnikach rzeczywistych. Ponadto niech x j dla j = 1,..., m i m < n 1 bed a pierwiastkami o krotności k i. Wtedy istnieja takie liczby p 1,..., p s, q 1,..., q s, l 1,..., l s że: W (x) = a n (x x 1 ) k1... (x x m ) km (x 2 + p 1 x + g 1 ) l1... (x 2 + p s x + q s ) ls. Definicja 18 Funkcja wymierna rzeczywista (zespolona) nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych). Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż wielomianu w mianowniku, to funkcja jest w laściwa. W przeciwnym wypadku jest niew laściwa. Każda funcje wymierna niew laściwa możemy zapisać w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej w laściwej. Przyk lady: 7
Definicja 19 [U lamki proste] Zespolonym u lamkiem prostym nazywamy zespolona funkcje wymierna postaci: A (z + a) n gdzie A, a C oraz n N. Rzeczywistym u lamkiem prostym I rodzaju nazywamy rzeczywista funkcje wymierna postaci: A (x + a) n gdzie A, a R oraz n N. Rzeczywistym u lamkiem prostym II rodzaju nazywamy rzeczywista funkcje wymierna postaci: Ax + B (x 2 + px + q) n gdzie A, B, p, q R oraz n N przy czym p 2 4q < 0. Theorem 20 [o rozk ladzie zespolonej funkcji wymiernej w laściwej na u lamki proste] Niech f(z) = P (z) c n (z z 1 ) k 1 (z z2 ) k 2... (z zm ) km. Wtedy funkcja roz loży si e jednoznacznie na: A 11 z z 1 + A 12 (z z 1 ) 2 +... + A 1k 1 (z z 1 ) k 1 + + A 21 z z 2 + A 22 (z z 2 ) 2 +... + A 2k 2 (z z 2 ) k 2 +... + A m1 + A m2 z z m (z z m ) +... + A mk m 2 (z z m ) km 8
Przyk lady: 9
Theorem 21 [o rozk ladzie rzeczywistej funkcji wymiernej w laściwej na u lamki proste] Niech f(x) = P (x) c n (x x 1 ) k 1... (x xm ) km (x 2 + p 1 x + g 1 ) l 1... (x2 + p s x + q s ) ls. Wtedy funkcja roz loży si e jednoznacznie na: A 11 x x 1 + A 12 (x x 1 ) 2 +... + A 1k 1 (x x 1 ) k 1 + + A 21 x x 2 + A 22 (x x 2 ) 2 +... + A 2k 2 (x x 2 ) k 2 +... + A m1 + A m2 x x m (x x m ) +... + A mk m 2 (x x m ) + km + B 11x + C 11 x 2 + p 1 x + q 1 + B 12x + C 12 (x 2 + p 1 x + q 1 ) 2 +... + B 1l 1 x + C 1l1 (x 2 + p 1 x + q 1 ) l 1 + + B 21x + C 21 x 2 + p 2 x + q 2 + B 22x + C 22 (x 2 + p 2 x + q 2 ) 2 +... + B 2l 2 x + C 2l2 (x 2 + p 2 x + q 2 ) l 2 +... + B s1x + C s1 + B s2x + C s2 x 2 + p s x + q s (x 2 + p s x + q s ) +... + B sl s x + C sls 2 (x 2 + p s x + q s ) ls Przyk lady: 10