Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów. A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH
|
|
- Stanisław Wolski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH 21 stycznia 2009
2 Spis treści 1 Wyk lad I. 1.X Wstep Arytmetyka liczb ca lkowitych Grupy Wyk lad 2. 8.X Grupy c.d Grupy cykliczne Wyk lad X Grupy c.d Twierdzenia Cayleya i Lagrange a Wyk lad X Grupy c.d Wnioski z twierdzenia Lagrange a Twierdzenie Eulera i Ma le Twierdzenie Fermata Ćwiczenia Chińskie twierdzenie o resztach równania modularne Wyk lad X Grupy c.d Zliczanie orbit grupy - teoria Burnside a-polyi Wyk lad 6. 5.XI Grupy - c.d Lemat Burnside a Grupy alternujace Podgrupy normalne Wyk lad XI Grupy c.d Podgrupy normalne Pierścienie
3 SPIS TREŚCI Przyk lady pierścieni Wyk lad XI Podpierścienie Zadania Idea ly Wielomiany Podzielność w pierścieniach Wyk lad XI Pierścienie Gaussa Wielomiany nad pierścieniem (c.d.) Wyk lad XII Pierścienie g lówne (c.d.) Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Wyk lad XII Cia lo u lamków pierścienia ca lkowitego Pierścienie ilorazowe Homomorfizmy pierścieni Wyk lad XII Wielomiany wielu zmiennych Wielomiany symetryczne Twierdzenie Wilsona Wyk lad XIII, 7.I Zasadnicze Twierdzenie Algebry Pierścienie wielomianów nad pierścieniami Gaussa Wyk lad XIV, 14.I Twierdzenie Gaussa Rozszerzenia cia l Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przestepne Wyk lad XV, 21.I Cia lo rozk ladu Bibliografia 41
4 Rozdzia l 1 Wyk lad I. 1.X Wst ep Zacznijmy od kilku informacji o historii nazwy przedmiotu. Nazwa algebra pochodzi od tytu lu dzie la arabskiego matematyka dzia lajace- go w IX wieku w Bagdadzie, Muhammada Ibn Mussa Al Chwarizimi: Hisab al-dżabr wal mukabala (w transkrybcji polskiej, oczywiście). Algebra jest zniekszta lconym al-dżabr z owego tytu lu 1. Tytu l ten oznacza Sztuka redukcji i przenoszenia, zaś samo dzie lo arabskiego matematyka dotyczy lo rozwiazywania równań algebraicznych stopni pierwszego i drugiego. Al Chwarizimi by l g lówna postacia znakomitej instytucji która by l bagdadzki Dom Nauki, prekursor późniejszych uniwersytetów i instytucji naukowych. Nazwisko Al Chwarizimiego, także zniekszta lcone 2, sta lo sie źród lem nazwy algorytm, tak ważnej we wspó lczesnej matematyce i informatyce. Zainteresowanych historia matematyki namawiam goraco do przeczytania pie- knej ksiażki Marka Kordosa Wyk lady z historii matematyki dzieki której można poznać historie matematyki, prześledzić jak powstawa la i zrozumieć jak bardzo niebanalnymi by ly, dla pozbawionych wspó lczesnego formalizmu algebraicznego uczonych, dzia lajacych we wcale niedawnej przesz lości wieków średnich, najprostsze operacje algebraiczne. Poza aspektami historycznymi, warto w tym miejscu zwrócić uwage na jeszcze jedna sprawe. Ta cześć algebry, która jest obiektem Notatek, najcześciej nazywana jest algebra abstrakcyjna. To piekna i dobra nazwa, która wyróżnia ten dzia l od algebry liniowej. Niestety przymiotnik abstrakcyjna sugruje też: niekoniecznie potrzebna. To oczywista nieprawda - nawet podczas tego wyk ladu 1 W jezykach angielskim i francuskim podobieństwo s lowa algebra czy też algèbre do arabskiego orygina lu jest znacznie wyraźniejsze niż w jezyku polskim. 2 Tytu l dzie la Al Chwarizimiego przet lumaczony na lacine brzmia l Algorithmi de numero Indorum, co mia lo znaczyć: Al Chwarizimiego dzie lo o liczbach indyjskich. To w laśnie dzieki temu dzie lu Europa pozna la dziesiatkowy system pozycyjny i liczbe zero, które matematycy arabscy przejeli od Hindusów. 3
5 ROZDZIA L 1. WYK LAD I. 1.X bedziecie mieli okazje do poznania niektórych zastosowań. Czasu nie wystarczy lo, by przedstawić ich wiecej. Poznacie je z pewnościa na innych przedmiotach (kodowanie, matematyka dyskretna, teoria algorytmów...). Po refleksji doszed lem do wniosku, że do l aczanie do niniejszego tekstu zestawu pytań by loby szkodliwe. Podczas ostatniego wyk ladu stara lem sie ten poglad obszernie uzasadnić. Życze Wam (i sobie) powodzenia podczas sesji. Nie tylko, choć przede wszystkim, z algebry. A. Pawe l Wojda Kraków 21 stycznia 2009
6 ROZDZIA L 1. WYK LAD I. 1.X Arytmetyka liczb ca lkowitych Przypomnijmy twierdzenie o dzieleniu liczb ca lkowitych. Twierdzenie 1.1 Dla dowolnych liczb ca lkowitych a i b, b > 0 istnieja jednoznacznie wyznaczone liczby q, r Z takie, że a = bq + r, przy czym 0 r < b. Liczby q oraz r nazywamy, odpowiednio, ilorazem i reszta dzielenia a przez b. Warto podkreślić, że twierdzenie 1.1 nie jest tym, które wiekszość studentów pamieta ze szko ly 3. Mówimy, że d jest najwiekszym wspólnym dzielnikiem liczb ca lowitych a i b jeżeli d a i d b oraz dla każdego c Z: c a c b c d Algorytm Euklidesa Niech a, b Z, a, b 0. Tworzymy rekurencyjnie ciag (r n ): r 0 = a, r 1 = b r n 1 = q n r n + r n+1, gdzie 0 r n+1 < r n. Twierdzenie 1.2 Niech a, b Z, a, b 0. Istnieje takie k ca lkowite, że r k 0, r k+1 = 0 (gdzie ciag (r n ) jest wyznaczony przy pomocy algorytmu Euklidesa). Co wiecej, mamy wówczas r k =NWD(a, b). Jeśli NWD(a, b)= 1, wówczas mówimy, że a i b sa wzglednie pierwsze i piszemy (a, b)= 1 lub a b. Twierdzenie 1.3 Niech a, b Z, nie równe równocześnie zero. NWD(a, b) = min{d > 0 : d = ax + by, x, y Z} Wniosek 1.4 Jeśli a, b Z, a b, to istnieja α, β Z: αa + βb = 1 Co wiecej, α i β dadza sie znaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Twierdzenie 1.5 (Euklides) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. 3 Sprawdź, jaki jest wynik dzielenia liczby 9 przez 7?
7 ROZDZIA L 1. WYK LAD I. 1.X Grupy Definicja 1.1 (Przypomnienie) Zbiór G z dzia laniem l acznym, posiadaja- cym element neutralny w G i taki, że każdy element w G ma element odwrotny nazywamy grupa. O grupie G mówimy, że jest przemienna (lub abelowa) jeśli dzia lanie jest przemienne. h : G 1 G 2 jest homomorfizmem grupy (G 1, ) w grupe (G 2, ) jeśli h(x y) = h(x) h(y) dla dowolnych x, y G 1. Homomorfizm h jest: monomorfizmem, jeśli h jest injekcja, epimorfizmem, jeśli h jest surjekcja, izomorfizmem, jeśli h jest bijekcja. W tym ostatnim przypadku mówimy, że grupy G i H sa izomorficzne. Przyk lad 1.1 Przyk lady grup: (Z, +), (Q, +) (Q +, ) (Z n, +), (R, +),... grupy przemienne (Q = Q {0}), Q + = {a Q a > 0}. (S(X), ) grupa permutacji zbioru X, nieprzemienna dla X 3 Z dok ladnościa do izomorfizmu, istnieje tylko jedna grupa o co najwyżej 3 elementach. Istnieja dok ladnie dwie grupy (z dok ladnościa do izomorfizmu) rzedu 4: grupa (Z 4, +) oraz grupa Kleina (materacowa) (Z 2 Z 2, +). Twierdzenie 1.6 Niech n N i niech a Z n. a jest elementem odwracalnym ze wzgledu na dzia lanie mnożenia w Z n wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i n sa wzglednie pierwsze. Przyk lad 1.2 (Z 8, ) oczywiście nie jest grupa. Co wiecej, także (Z 8, ), gdzie Z = Z {0}, nie jest grupa. Grupa przemienna natomiast jest (Z 8, ), gdzie Z 8 = {1, 3, 5, 7}.
8 Rozdzia l 2 Wyk lad 2. 8.X Grupy c.d. Definicja 2.1 Niech n N. Definiujemy Z n = {z Z n : a n}. Oczywiście prawdziwe jest nastepuj ace: Twierdzenie 2.1 Niech n N. Wówczas (Z n, ) jest grupa przemienna. Definicja 2.2 (Funkcja ϕ Eulera) Niech n N. Przez ϕ(n) oznaczamy liczbe takich a N, że a n = 1 (a i n sa wzglednie pierwsze). Funkcje ϕ : N N nazywamy funkcja Eulera. Nast epne twierdzenie nie wymaga dowodu. Twierdzenie 2.2 Dla każdej liczby naturalnej n 2 ϕ(n) = Z n. W lasności funkcji Eulera: Niech P bedzie liczba pierwsza. Wówczas ϕ(p) = p 1, ϕ(p 2 ) = p 2 p, ϕ(p n ) = p n p n 1 Jeśli także q jest pierwsze, to ϕ(pq) = pq p q + 1 = (p 1)(q 1). 7
9 ROZDZIA L 2. WYK LAD 2. 8.X Twierdzenie 2.3 (Formu la Sita 1 lub Zasada W l aczania i Wy l aczania) Niech A 1, A 2,..., A n bed a zbiorami skończonymi. Wówczas zachodzi wzór A 1 A 2... A n = ( 1) k+1 A i1 A i2... A ik. 1 i 1<i 2<...<i k n Formu la sita pos luży nam do wykazania nastepuj aego twierdzenia. Twierdzenie 2.4 Niech n = p 1...p t, gdzie p i sa różnymi liczbami pierwszymi dla i = 1,..., t. Wówczas ϕ(n) = n n n... n + n n n n ± ( 1)t n p 1 p 2 p t p 1 p 2 p t 1 p t p 1 p 2 p 3 p t 2 p t 1 p t p 1 p 2...p t ) ) ) = n (1 (1 1p1 1p2... (1 1pt Przyk lad 2.1 ϕ(42) = ϕ(2 3 7) = 12 Wniosek 2.5 Wzór na ϕ z twierdzenia 2.4 pozostaje identyczny jeśli po lożymy n = p a pat t gdzie p 1 <... < p t sa liczbami pierwszymi, a 1,..., a t N. 2.2 Grupy cykliczne Definicja 2.3 (Generator grupy) Mówimy, że element g jest generatorem grupy G z dzia laniem, jeżeli każdy element grupy G można otrzymać jako wynik dzia lania na elementach g i g 1. Przyk lad (a także 1) jest generatorem grupy Z (addytywnej grupy liczb ca lkowitych). 2 jest generatorem (multyplikatywnej) grupy Z 5. Twierdzenie 2.6 Jeżeli G jest multyplikatywna grupa skończona, g G, wówczas istnieje n N takie, że g n = g 1 Dow.... Definicja 2.4 Jeśli grupa G na skończona liczbe elementów, wówczas mówimy, że G jest skończona a jej liczbe elementów nazywamy rzedem grupy G. 1 Dok ladniej: sita Eratostenesa. Eratostenes, ( p.n.e) by l kustoszem Biblioteki Aleksandryjskiej i jednym z najwiekszych umys lów starożytności. Sito Eratostenesa s luży lo do odsiewania liczb pierwszych od plew innych liczb (por. twierdzenie 2.4 i wniosek 2.5). Jego innym, wielkim osiagni eciem by la próba zmierzenia promienia Ziemi przez zmierzenie d lugości cieni rzucanych w po ludnie przez dwie tyczki: jednej ustawionej w Aleksandrii, drugiej zaś w Syene (dzisiejszy Asuan). Wynik jaki otrzyma l różni l sie tylko o 1% od nam znanego, a by lo to w czasach kiedy w kulistość Ziemi wierzy l ma lo kto!
10 Rozdzia l 3 Wyk lad X Grupy c.d. Definicja 3.1 Najmniejsze n N takie, że g n = e (3.1) nazywamy rzedem elementu g grupy, jeśli n N spe lniajace (3.1) nie istnieje, wówczas mówimy, że rzedem g jest. Jeśli grupa zawiera generator, to nazywamy ja cykliczna. Przyk lad 3.1 Grupa (Z 4, +) jest cykliczna, grupa Kleina nie. Twierdzenie 3.1 Każda grupa cykliczna jest przemienna. Dowód oczywisty tym bardziej trzeba umieć! Twierdzenie 3.2 Każda skończona grupa cykliczna G jest izomorficzna z (Z n, +), gdzie n jest rz edem grupy G Twierdzenia Cayleya i Lagrange a Definicja 3.2 (Grupa transformacji) Dowolna podgrupe grupy permutacji S(X) nazywamy grupa transformacji. Twierdzenie 3.3 (Tw. Cayleya) Dowolna grupa jest izomorficzna z pewna grupa tranformacji. Twierdzenie 3.4 (Lagrange a) Niech H bedzie podgrupa grupy skończonej G, a = H, b = G. Wówczas a b. 1 Inaczej: jedyna, z dok ladnościa do izomorfizmu, grupa skończona o n elementach jest (Z n, +). 9
11 ROZDZIA L 3. WYK LAD X Definicja 3.3 (Przystawanie modulo pó lgrupa) Niech H bedzie podgrupa grupy G, a, b G. Mówimy, że a przystaje do b modulo H (piszemy a b (mod H) lub ar H b) jeżeli ab 1 H. Lemat 3.5 Jeżeli H jest podgrupa G wówczas relacja przystawania modulo H jest w G relacja równoważności. Lemat 3.6 Niech G bedzie dowolna grupa, zaś H jej podgrupa. Wówczas klasa elementu neutralnego grupy G modulo H jest zbiór H. Lemat 3.7 Niech G bedzie dowolna grupa, zaś H jej podgrupa. Wówczas dowolne dwie klasy równoważności modulo H sa równoliczne (bijektywne) 2. Oczywiście twierdzenie Lagrange a wynika natychmiast z lematu W przypadku gdy G jest grupa skończona oznacza to, że dowolne dwie klasy równoważności modulo H maja taka sama liczbe elementów.
12 Rozdzia l 4 Wyk lad X Grupy c.d Wnioski z twierdzenia Lagrange a Wniosek 4.1 Każdy element grupy skończonej G ma rzad bed acy dzielnikiem rzedu grupy G. Wniosek 4.2 Jeśli rzad grupy G jest liczba pierwsza, to G jest cykliczna. Wniosek 4.3 (stary) Jedynymi grupami grupami rzedu 4 sa Z 4 i grupa Kleina Twierdzenie Eulera i Ma le Twierdzenie Fermata Twierdzenie 4.4 (Eulera) Jeśli liczby naturalne a, n sa wzglednie pierwsze, wówczas a ϕ(n) 1 (mod n) Twierdzenie 4.5 (Ma le Twierdzenie Fermata) Jeśli p jest liczba pierwsza, a Z, to a p a( mod p) 4.2 Ćwiczenia 1. Niech G bedzie grupa. Wykaż, że podzbiór niepusty H G jest podgrupa G wtedy i tylko wtedy, gdy x, y H : xy 1 H. 2. Wykaż że jeśli w grupie skończonej G zbiór S jest zamkniety ze wzgledu na dzia lanie grupowe, wówczas S jest podgrupa. 3. Wykaż, że podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. 11
13 ROZDZIA L 4. WYK LAD X Chińskie twierdzenie o resztach równania modularne Twierdzenie 4.6 Równanie modularne ax 1 (mod n) (4.1) ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy gdy a i n sa wzglednie pierwsze (oczywiście takie rozwiazanie jest jedyne w Z n i jest postaci x a 1 b (mod n), lub inaczej: x = x 0 + kn, gdzie k Z n, zaś x 0 jest równy a 1 b przy czym a 1 jest el. odwrotnym do a w Z n ze wzgledu na mnożenie). Uwaga. Sposobem znajdowania elementu odwrotnego do elementu a w Z n jest skorzystanie z algorytmu Euklidesa. Jest to możliwe zawsze wtedy gdy taki element istnieje, a mianowicie gdy a i n sa wzglednie pierwsze. Rzeczywiście, a n wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieja s i t ca lkowite spe lniajace sa + tn = 1 Wówczas sa = 1 + ( t)n, co oznacza, że s jest w Z n elementem odwrotnym do a. Twierdzenie 4.7 (Chińskie o resztach 1 ) Niech a, b Z, m, n N, m n. Wówczas uk lad równań { x a ( mod m) (4.2) x b ( mod n) ma rozwiazanie. Co wiecej, każde dwa rozwiazania tego uk ladu różnia sie o wielokrotność mn (można też powiedzieć, że rozwiazanie jest jedyne modulo mn lub, że zbiór rozwiazań 4.3 jest postaci {x 0 + k(mn) k Z}). Twierdzenie 4.7 pozwala latwo (indukcyjnie) udowodnić nastepuj ace uogólnienie chińskiego twierdzenia o resztach. Twierdzenie 4.8 Niech m 1,..., m k N bed a parami pierwsze (t.zn. m i m j dla i j). Wówczas uk lad równań x a 1 ( mod m 1 ) x a 2 ( mod m 2 )... x a k ( mod m k ) ma jednoznaczne rozwiazanie modulo m 1... m k. (4.3) 1 Twierdzenie to udowodni l ok. 350 roku n.e. Sun Tsu Suan-Ching.
14 Rozdzia l 5 Wyk lad X Grupy c.d Zliczanie orbit grupy - teoria Burnside a-polyi Niech G bedzie grupa multyplikatywna. Mówimy, że G dzia la na zbiorze X jeśli jest określone odwzorowanie ϕ : G X X spe lniajace nastepuj ace dwa warunki (piszemy g(x) zamiast ϕ(g, x)): 1. dla dowolnych g 1, g 2 G oraz dla każdego x X (g 1 g 2 )(x) = g 1 (g 2 (x)) 2. dla dowolnego x X e(x) = x (gdzie e jest elementem neutralnym grupy G). Przyk lady... Twierdzenie 5.1 Jeśli grupa G dzia la na zbiorze X, g G, to g jest bijekcja. Dla grupy G dzia lajacej na zbiorze X oraz el. x X stabilizatorem x nazywamy Stab x = {g G : g(x) = x} Przyk lad.. Twierdzenie 5.2 Stabilizator dowolnego elementu x X jest podgrupa grupy G. Orbita elementu x X nazywamy zbiór Relacja R określona przez jest w X równoważnościowa. Orb x = {g(x) : g G} xry g G : g(x) = y 13
15 ROZDZIA L 5. WYK LAD X Twierdzenie 5.3 Jeśli skończona grupa G dzia la na zbiorze X, wówczas dla każdego x X G = Stab x Orb x Dowód... Liczne przyk lady naszyjniki, liczby różnych pokolorowań wierzcho lków wielościanów.
16 Rozdzia l 6 Wyk lad 6. 5.XI Grupy - c.d Lemat Burnside a Dla danej grupy G dzia lajacej na zbiorze X oraz ging zbiór punktów sta lych g oznaczamy przez F ix g: F ix g = {x X : g(x) = x} Twierdzenie 6.1 (Lemat Burnside a) Niech G bedzie grupa skończona dzia lajac a na zbiorze skończonym X. Wówczas liczba N orbit zbioru X ze wzgledu na G wynosi N = 1 F ix g G Przyk lady... Dowód... g G Grupy alternujace Definicja 6.1 S n grupa permutacji zbioru [1, n] A n podzbiór permutacji parzystych S n Twierdzenie 6.2 A n jest podgrupa grupy S n. Twierdzenie 6.3 A n = n! 2 Twierdzenie 6.4 Grupa A n jest generowana przez 3-cykle. 15
17 ROZDZIA L 6. WYK LAD 6. 5.XI Podgrupy normalne Warstwy prawo- i lewostronne Już wiemy (dowiedzieliśmy sie tego przy okazji dowodu twierdzenia Lagrange a), że dla dowolnej podgrupy H grupy multyplikatywnej G relacja: arb ab 1 jest równoważnościowa. Klasa równoważności dowolnego elementu a G dla tej relacji jest zbiór Ha = {ha h H} zwany warstwa prawostronna. Podobnie można zdefiniować warstwe lewostronna elementu a: ah = {ah h H} Z latwościa można sprawdzić, że warstwy lewostronne sa klasami równoważności dla relacji (także równoważnościowej) L zdefiniowanej w G wzorem alb a 1 b H (gdzie H jest podgrupa G).
18 Rozdzia l 7 Wyk lad XI Grupy c.d Podgrupy normalne Twierdzenie 7.1 Jeśli grupa G jest przemienna, to dla dowolnej podgrupy H i a G ah = Ha Definicja 7.1 Mówimy, że podgrupa H grupy G jest normalna (lub niezmiennicza), jeśli dla dowolnego a H i dla każdego b G zachodzi b 1 ab H. Twierdzenie 7.2 Podgrupa H grupy G jest normalna wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego c G ch = Hc Twierdzenie 7.3 Niech H bedzie podgrupa grupy multyplikatywnej G. H jest podgrupa normalna wtedy i tylko wtedy gdy relacja R (zdefiniowana wzorem arb ab 1 H) jest zgodna z dzia laniem grupowym grupy G. Twierdzenie 7.4 Jeśli H jest podgrupa normalna grupy G, to G/H z dzia laniem zdefiniowanym wzorem Ha Hb = Hab jest grupa (zwana grupa ilorazowa). Twierdzenie 7.5 (O morfiźmie grup) Jeśli f : G H jest morfizmem grup, to grupa ilorazowa G/Ker f jest izomorficzna z Im f. Dok ladniej: jeśli oznaczymy przez k : G G/Ker f morfizm kanoniczny dany wzorem k(g) = (Ker f)g, zaś przez h : G/Ker f Im f odwzorowanie zadane wzorem h((ker f)a) = f(a), to h jest izomorfizmem grup i zachodzi wzór f = h k. 17
19 ROZDZIA L 7. WYK LAD XI Pierścienie W definicji pierścienia, która podajemy poniżej, stosujemy powszechnie znana ze zbiorów liczbowych (R, N, Z etc) konwencje nie pisania znaku dzia lania (inaczej: dzia lania multyplikatywnego), o ile tylko nie prowadzi to do nieporozumień. W wyrażeniach postaci (ab)+c opuszczamy nawias i piszemy ab+c, co oznacza, że jeśli nie ma nawiasu, to stosujemy regu l e pierwszeństwa mnożenia przed dodawaniem (w laściwie powinniśmy powiedzieć: pierwszeństwa dzia lania multyplikatywnego (to znaczy: oznaczanego przez ) przed dzia laniem addytywnym (to znaczy: oznaczanym przez +)). Bedziemy pisać a b zamiast a + ( b). Definicja 7.2 Zbiór P z dwoma dzia laniami + (dodawania) oraz (mnożenia) nazywamy pierścieniem jeśli: P z dzia laniem dodawania jest grupa przemienna, dzia lanie mnożenia jest l aczne, dla dowolnych elementów a, b, c P : a(b + c) = ab + ac oraz (a + b)c = ac + bc (rozdzielność mnożenia wzgl edem dodawania) Element neutralny dla dzia lania + pierścienia P nazywamy zerem pierścienia (i najcześciej oznaczamy przez 0). Jeśli dzia lanie jest przemienne to P nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeśli ab = 0 a = 0 lub b = 0 to P jest pierścieniem bez dzielników zera. Jeśli zaś w P istnieje taki element 1 P, że dla dowolnego x P zachodzi: 1x = x1 = x to P nazywamy pierścieniem z jedynka (a element 1 jedynka pierścienia P ). Pierścień przemienny z jedynka i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem ca lkowitym. Pierścien ca lkowity P w którym każdy element różny od zera ma element odwrotny ze wzgledu na mnożenie 1 nazywamy cia lem. Twierdzenie 7.6 Pierścień P jest bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy dla dowolnych elementów spe lniony jest warunek: a, b, c P, c 0 { ac = bc a = b ca = cb a = b ( prawa skracania) (7.1) Dowód. Przypuśćmy wpierw, że w pierścieniu P spe lniony jest warunek (7.1) oraz, że dla pewnych a, b P zachodzi ab = 0. Wówczas mamy ciag implikacji: ab = 0 ab = a0 ab a0 = 0 a(b 0) = 0 a(b 0) = a0. Z ostatniej równości oraz z drugiej z implikacji warunku (7.1) wynika, że jeśli a 0, wówczas b 0 = 0, a wiec b = 0. 1 Inaczej: dla każdego a P, a 0 istnieje a P taki, że aa = 1.
20 ROZDZIA L 7. WYK LAD XI Przypuśćmy teraz, że pierścień P jest bez dzielników zera. Wówczas, dla dowolnego c P, c 0 prawdziwe sa implikacje ac = bc ac bc = 0 ac+( b)c = 0 (a + ( b))c = 0 a + ( b) = 0 a = b. Podobnie dowodzimy prawa lewostronnego skracania Przyk lady pierścieni Z pewnościa najlepiej znanymi pierścienimi sa zbiory liczbowe: liczb ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych ze zdefiniowanymi w znany sposób dzia laniami dodawania zczególna role w teorii pierścieni odgrywa pierścień liczb ca lkowitych.// Z latwościa można sprawdzić, że poniższe zbiory ze wskazanymi w nich dzia laniami sa pierścieniami. Zbiór macierzy R n n, (o n wierszach i n kolumnach), z dzia laniami określonymi w zwyk ly sposób. Latwo sprawdzić, że w zbiorze liczb ca lkowitych Z relacja przystawania modulo n zdefiniowana przez a b (mod n) n b a jest zgodna z dzia laniami dodawania i mnożenia w Z. Można wi ec zdefiniować dzia lania indukowane dodawania i mnożenia w zbiorze klas Z/(mod n). Nietrudno także wykazać, że z tymi dzia laniami Z/(mod n) jest pierścieniem.
21 Rozdzia l 8 Wyk lad XI Podpierścienie Podpierścieniem pierścienia P nazywamy dowolny podzbiór A P, A jeśli A wraz z dzia laniami + i (zacieśnionymi do zbioru A) jest pierścieniem. Twierdzenie 8.1 Niech P b edzie pierścieniem. A P, A. A jest podpierścieniem P wtedy i tylko wtedy, gdy 1. a, b A a b A, 2. a, b A ab A. 8.2 Zadania Zadanie 1 Sprawdź, że zbiory: Z < 1 >= {a + ib a, b Z} Z < 3 >= {a + 3b a, b Z} z dzia laniami dodawania i mnożenia w zbiorze liczb zespolonych lub rzeczywistych, sa pierścieniami. Podaj przyk lady innych, podobnie skonstruowanych pierścieni. Zadanie 2 W pierścieniu P oznaczmy przez P zbiór dzielników zera pierścienia P. Sprawdź, że w zbiorze P P mnożenie jest dzia laniem. Zbadaj w lasności mnożenia w P P dla pierścienia Z/(mod 6) Zadanie 3 Element a pierścienia P nazywamy nilpotentnym, jeżeli istnieje liczba ca lkowita l taka, że a p = 0. Jeśli dodatkowo zachodzi a l 1 0, to l nazywamy rz edem elementu nilpotentnego a 0. Rz edem elementu nilpotentnego 0 jest z definicji 1. 20
22 ROZDZIA L 8. WYK LAD XI Co można powiedzieć o elementach nilpotentnych w pierścieniu ca lkowitym? Zbadaj elementy nilpotentne pierścienia Z/( mod 12). Wykaż, że suma i iloczyn elementów nilpotentnych jest nilpotenna. Co można powiedzieć o ich rz edzie (nilpotencji)? Zadanie 4 W przyk ladzie pierścieni Z/mod(n) wystapi ly sformu lowania latwo sprawdzić i nietrudno wykazać. Sprawdź wiec i wykaż. Przyjrzyj sie pierścieniom Z/mod(6) i Z/mod(7) (wypisz elementy tych pierścieni, utwórz tabelki zia lań, wskaż dzielniki zera (o ile istnieja)) Idea ly Definicja 8.1 Niech P bedzie pierścieniem, I P, I. Mówimy, że I jest idea lem pierścienia P jeśli spe lnione sa nastepuj ace dwa warunki: 1. a, b P a b P 2. α P, a I αa I, aα I Przyk lad 8.1 W dowolnym pierścieniu P zbiory {0} i P sa idea lami. Przyk lad 8.2 W dowolnym pierścieniu przemiennym P, dla dowolnego a P, zbiór (a) = {αa α P } jest idea lem. Idea ly tej postaci nazywać bedziemy idea lami g lównymi. Definicja 8.2 Pierścień P nazywamy pierścieniem g lównym jeżeli każdy jego idea l jest idea lem g lównym. Najlepiej znanym przyk ladem pierścienia g lównego jest pierścień liczb ca lkowitych. Twierdzenie 8.2 Pierścień liczb ca lkowitych Z jest pierścieniem g lównym. Dowód. Przypuśćmy, że A jest idea lem w Z, A {0}. Zauważmy, że do A należy co najmniej jedna liczba dodatnia. Rzeczywiście, skoro A {0}, w A jest jakaś liczba a 0. Wobec tego także a A (wiemy, że 0 jest w dowolnym ideale, a zatem i 0 a = a A), zaś jedna z liczb: a lub a jest dodatnia. Niech teraz a 0 bedzie najmniejsza liczba dodatnia w A. Oczywiście A zawiera wszystkie wielokrotności liczby a, a wiec A (a). Wystarczy wiec wykazać, że A (a). Na mocy twierdzenia o dzieleniu z reszta w zbiorze liczb ca lkowitych, istnieja q, r Z spe lniajace b = qa + r, 0 r < a r = b qa, a wi ec r A, a ponieważ a jest najmniejszym dodatnim elementem A, mamy r = 0 i w konsekwencji a b.
23 ROZDZIA L 8. WYK LAD XI Wielomiany Definicja 8.3 Wielomianem o wspó lczynnikach w pierścieniu P nazywamy dowolny szereg formalny v = v 0 + v 1 x + v 2 x o wspó lczynnikach w P dla którego istnieje takie k 0 P, że v k = 0 dla k k 0 (inaczej: wielomian to szereg formalny majacy tylko skończona liczbe wspó lczynników różnych od zera). Zbiór wielomianów o wspó lczynnikach w P oznaczamy przez P [x] 1. Dla wielomianu v = v 0 + v 1 x +... P [x] najwieksze k 0 dla którego v k0 0 nazywamy stopniem wielomianu v i oznaczmy przez (v). Stopniem wielomianu zerowego jest 2. Wspó lczynnik v k0 nazywamy wtedy wspó lczynnikiem dominujacym wielomianu v. Z latwościa można sprawdzić, prawdziwość nastepuj acych dwóch twierdzeń. Twierdzenie 8.3 Dla dowolnego pierścienia P zbiór P [x] jest pierścieniem. Jeśli P jest pierścieniem ca lkowitym, wówczas także P [x] jest pierścieniem ca lkowitym. Twierdzenie 8.4 Dla dowolnego pierścienia P i wielomianów v, w P [x] zachodza wzory: (v + w) max{ v, w} (vw) v + w Co wiecej, druga z tych nierówności jest równościa o ile P jest pierścieniem (przemiennym) bez dzielników zera. Zauważmy, że z każdym wielomianem w P [x], w = w 0 + w 1 x w n x n można skojarzyć funkcje wielomianowa: w : P x w(x) = w 0 + w 1 x w n x n P Zbiór funkcji wielomianowych o wspó lczynnikach w pierścieniu P oznaczamy przez P (x). Jest oczywiste, że także P (x) jest pierścieniem (przemiennym jeśli P jest przemienny, ca lkowitym, jeśli P jest ca lkowity) Podzielność w pierścieniach Definicja 8.4 Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym, a, b P. Mówimy, że a dzieli b jeżeli istnieje c P takie, że b = ac. Piszemy wówczas a b. Jeśli a b i b a to elementy a i b nazywamy stowarzyszonymi. 1 Zwróćmy uwage, że sens definicji szeregów formalnych, jak i wielomianów, by lby dok ladnie taki sam, gdybyśmy je zdefiniowali jako ciagi v = (v n), w = (w n) z dzia laniami v + w = n (v n + w n), vw = ( k=0 v kw n k ). 2 Zauważmy, że wielomian zerowy v = 0 nie ma wspó lczynnika v k0 0. Można wiec postapić na dwa sposoby: albo nie definiować w ogóle stopnia wielomianu zerowego, albo zdefiniować go jako i definiujac a + = 0, max{a, } = a, dla dowolnego a Z, by wzory na stopień sumy i iloczynu wielomianów pozosta ly prawdziwe (sprawdź, że rzeczywiście tak jest!
24 ROZDZIA L 8. WYK LAD XI Przyk lady... Definicja 8.5 Elementy stowarzyszone z 1 (jedynka pierścienia) nazywamy jednościami pierścienia. Twierdzenie 8.5 Zbiór jedności pierścienia P tworzy grupe (multyplikatywna). (Grupe te nazywamy grupa jedności pierścienia). Przyk lady... Każde przedstawienie elementu a pierścienia P w postaci a = a 1... a n (8.1) nazywamy rozk ladem na czynniki. O rozk ladzie 8.1 mówimy, że jest w laściwy, jeśli 1. n 1, 2. żaden z czynników a 1,..., a n nie jest jednościa. Jeśli żaden w laściwy rozk lad elementu a nie istnieje, wówczas mówimy, że a jest nierozk ladalny. Element a pierścienia P nazywamy pierwszym, jeżeli zachodzi implikacja: a bc a b lub a c Wbrew temu co pamietamy ze szko ly, pojecia elementów nierozk ladalnych i pierwszych sa różne, choć ca lkowite liczby nierozk ladalne i pierwsze to jednak to samo. Poniższe twierdzenie podaje relacje zawierania pomiedzy zbiorami elementów pierwszych i nierozk ladalnych dowolnego pierścienia ca lkowitego. Twierdzenie 8.6 W dowolnym pierścieniu ca lkowitym P, każdy element pierwszy jest nierozk ladalny. Dowód. Niech a P b edzie elementem pierwszym pierścieni ca lkowitego P. Przypuśćmy, że istnieje rozk lad a, czyli a = a 1... a k (8.2) dla pewnego k 2. Wówczas istnieje i {1,..., k} takie, że a a i. Ponieważ (na mocy (8.2)) a i a, elementy a oraz a i sa stowarzyszone. Wykażemy teraz, że jeśli dwa elementy x, y sa stowarzyszone w pierścieniu ca lkowitym P, powiedzmy x y i y x, wówczas x = yz, gdzie z jest jednościa. Rzeczywiście, } x y z P : y = zx y = zty y x t P : x = ty
25 ROZDZIA L 8. WYK LAD XI Stad i z faktu, że P jest pierścieniem ca lkowitym (a wiec z jedynka i prawem skracania) wnioskujemy latwo, że zt = 1, czyli, że z i t sa stowarzyszone z jedynka, czyli jednościami pierścienia P. Odnoszac te rozważania do a i a i otrzymujemy a = a 1... a i 1 a i+1... a k a i = a i z, przy czym z jest jednościa. Korzystajac z przemienności i ponownie z prawa skracania otrzymujemy, że a 1... a i 1 a i+1... a k = z, a wiec, jak latwo zauważyć, także a 1,..., a i 1, a i+1,..., a k sa jednościami, co kończy dowód. Bardzo znanym przyk ladem na to, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia 8.6 nie jest prawdziwe, jest pierścień Dedekinda Z[ 5i] = {a + bi 5 a, b Z}. Wykażemy wpierw, że liczba 2 jest elementem nierozk ladalnym pierścienia Dedekinda. rzeczywiście, 2 = (a + bi 5)(c + di 5) daje uk lad równań ac 5bd = 2 bcd + ad = 0 Traktujac ten uk lad jako uk lad o niewiadomych c i d otrzymamy c = 2a a 2 + 5b 2 d = 2b a 2 + b 2 (zauważmy, że a i b nie moga być równocześnie równe zero). Ponieważ c i d sa ca lkowite, zachodzi a 2 + 5b 2 2 a (lub a = 0). Stad i wobec tego a 2 a {0, 1, 1, 2, 2} Gdyby a = 0 wówczas mielibyśmy ac = 0 i w konsekwencji 2 = 5bd, co dla ca lkowitych b i d jest niemożliwe. Gdyby a = 1 mielibyśmy c = 2 1+5b, a wiec 2 b = 0 i w konsekwencji c = 2 i d = 0. Nasz rozk lad by lby wiec z konieczności postaci 2 = 1 2, a wiec nie by lby rozk ladem w laściwym (jeden z czynników jest jednościa). Gdyby a = 2 wówczas mielibyśmy c = 4 4+5b a stad 2 wnioskujemy latwo, że b = 0, c = 1, d = 0 i wobec tego 2 = 2 1 sprzeczność z przypuszczeniem, że rozk lad liczby 2 (w Z[ 5i]) jest w laściwy. Podobnie jak powyżej sprawdzamy, że a nie może być równe ani 1 ani 2. Zauważmy teraz, że 6 = 2 3 = (1 + i 5)(1 i 5) Wobec tego 2 6. Latwo także sprawdzić, że 2 nie dzieli ani ani 1 5. Sprawdziliśmy, że w pierścieniu Dedekinda Z[ 5] liczba 2 jest elementem nierozk ladalnym, który nie jest elementem pierwszym.
26 Rozdzia l 9 Wyk lad XI Pierścienie Gaussa Definicja 9.1 Pierścień P nazywamy pierścieniem z rozk ladem jeżeli każdy, nie bed acy jednościa pierścienia P, element a P da sie przedstawić jako iloczyn skończonej liczby elementów nierozk ladalnych w P. Dwa rozk lady elementu a: a = a 1... a m a = b 1... b b nazywamy jednakowymi jeżeli 1. m = n, 2. istnieje permutacja σ : [1, m] [1, n] taka, że elementy a i oraz b σ(i) sa stowarzyszone. Pierścień ca lkowity P nazywamy pierścieniem Gaussa 1 jeśli każdy nie bed acy jednościa element pierścienia P ma rozk lad jednoznaczny (tzn. ma rozk lad na iloczyn elementów nierozk ladalnych i każde dwa rozk lady dowolnego elementu na iloczyn elementów nierozk ladalnych sa jednakowe). Przyk lad 9.1 Z, K[x] - gdzie K jest dowolnym cia lem, sa pierścieniami Gaussa (dowód tych faktów bedzie nieco później). Pierścień Dedekinda nie jest pierścieniem Gaussa (np. rozk lad liczby 6 w tym pierścieniu nie jest jednoznaczny: 6 = 3 2 = (1 + 5)((1 5)). Twierdzenie 9.1 Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym z rozk ladem. P jest pierścieniem Gaussa wtedy i tylko wtedy gdy każdy element nierozk ladalny w P jest elementem pierwszym. Dowód. 1 Carl Friedrich Gauss
27 ROZDZIA L 9. WYK LAD XI Przypuśćmy, że P jest pierścieniem Gaussa, a P jest elementem nierozk ladalnym w P i a dzieli iloczyn dwóch elementów pierścienia P, powiedzmy a bc, b, c P. Wykażemy, że a dzieli jeden z elementów b, c. Skoro a bc, istnieje d P takie, że bc = ad. Niech b = b 1... b n, c = c 1... c m, d = b 1... d k bed a rozk ladami elementów a, b, c, d na iloczyny elementów nierozk ladalnych. Wówczas b 1... b n c 1... c m = a d 1... d k Z jednoznaczności rozk ladu wynika, że element a jest stowarzyszony z jednym z elementów b i (i = 1,..., n) lub a jest stowarzyszony z jednym z elementów c j (j = 1,..., m). A wi ec a b lub a c. 2. Przypuśćmy, że każdy element nierozk ladalny pierścienia P jest w P elementem pierwszym. Wykażemy, że P jest pierścieniem Gaussa czyli, że każdy element a P ma rozk lad jednoznaczny. Dowód przeprowadzimy przez indukcj e. Mamy wykazać, że jeźeli a P ma dwa rozk lady na iloczyny elementów nierozk ladalnych: a = a 1... a m = b 1... b n (9.1) wówczas rozk lady te sa jednakowe. Jeśli m = n = 1, to jedyność rozk ladów jest oczywista. Przypuśćmy wiec, że jeśli a ma dwa rozk lady postaci (9.1) i m, n k, wówczas rozk lady te sa jednakowe i niech a = a 1... a k a k+1 = b 1... b n, (n k + 1) (9.2) b edzie rozk ladem a na iloczyn elementów nierozk ladalnych. Ponieważ a k+1 a 1... b m, oraz a k+1 jest z za lożenia elementem pierwszym, a k+1 dzieli jeden z elementów b 1,..., b n, powiedzmy a k+1 b m. Istnieje wiec w P element α taki, że b m = αa k+1. Skoro b m jest elementem nierozk ladalnym, α jest jednościa. Mamy wiec a 1... a k a k+1 = αb 1... b m 1 a k+1 i wobec tego (na mocy prawa skracania) a 1... a k = αb 1... b m 1 Oznaczajac przez b 1 stowarzyszony z nim element αb 1 otrzymujemy a 1... a k = b 1... b m 1 (9.3) Skoro m 1 k dowód kończymy stosuj ac do rozk ladów (9.3) za lożenie indukcyjne.
28 ROZDZIA L 9. WYK LAD XI Zadania Zadanie 5 Wykaż, że w dowolnym pierścieniu ca lkowitym relacja stowarzyszenia elementów jest równoważnościowa. W znanych Ci przyk ladach pierścieni wskaż przyk lady klas równoważności elementów wzgl edem tej relacji. Zadanie 6 Wykaż, że jeśli element pierwszy p dzieli iloczyn n 1 elementów pierścienia, wówczas p dzieli jeden z czynników tego iloczynu. Zadanie 7 Zauważ, że w grupie Z< 3 > zachodzi (2+ 3) k (2 3) k = 1, dla każdego k Z. Co stad wynika dla liczności grupy jedności pierścienia Z< 3 >? Zadanie 8 Dokończ dowód faktu, że w pierścieniu Dedekinda 2 jest elementem nierozk ladalnym a także, że 2 nie dzieli ani 1 + 5i ani 1 5i. 9.1 Wielomiany nad pierścieniem (c.d.) Twierdzenie 9.2 (O dzieleniu wielomianów) Niech P bedzie pierścieniem ca lkowitym i niech p P [x] bedzie wielomianem którego wspó lczynnik dominujacy jest odwracalny. Dla każdego wielomianu v P [x] istnieja wielomiany q, r P [x] takie, że v = qp + r, r < p lub r = 0 (9.4) Wielomiany q i r o tych w lasnościach wyznaczone sa jednoznacznie. Dowód. Wykażemy wpierw istnienie wielomianów p oraz r. Oznaczmy przez k stopień wielomianu v i przez m stopień wielomianu p. Dowód poprowadzimy przez indukcje ze wzgledu na k. Twierdzenie jest prawdziwe dla k < m. Rzeczywiście, wówczas v = 0p + v, k = deg v < deg p = m. Przypuśćmy, że k m a także, że jeśli v P [x] jest wielomianem stopnia k < k wówczas istnieja wielomiany q oraz r takie, że v = q p + r, deg r < deg p lub r = 0. Oznaczmy przez v k i p m wspó lczynniki dominujace wielomianów v i p. Z za lożenia element p m jest odwracalny. Wielomian v = v v k p 1 m x k m p jest stopnia mniejszego od k. Z za lożenia indukcyjnego istnieja wiec wielomiany q oraz r takie, że v = qp+r, deg r < deg p lub r = 0. Wówczas v v k p 1 m x k m p = qp+r, a zatem v = (v k p 1 m x k m + q)p + r, co kończy dowód istnienia wielomianów q i r. Pozostaje wykazać jedyność wielomianów q i r spe lniajacych warunki (9.4). Przypuśćmy, że v = qp + r oraz v = qp + r przy czym r < p lub r = 0 i r < p lub r = 0. Wówczas r r = ( q q)p, (r r) < p lub r r = 0. Stad już latwo wywnioskować, że q = q i r = r.
29 ROZDZIA L 9. WYK LAD XI Wniosek 9.3 Niech P bedzie pierścieniem z jedynka. Reszta z dzielenia wielomianu v P [x] przez wielomian x c jest równa v(c). Dowód. Na mocy twierdzenia o dzieleniu wielomianów możemy napisać v = q(x c) + r gdzie deg r = 0 lub r = 0. Wówczas v(c) = q(c)(c c) + r(c), co oznacza, że r(c) = v(c). ponieważ zaś wielomian r może mieć jedynie wspó lczynnik r 0 różny od zera (mówimy, że r jest sta ly), r 0 = v(c). Element c pierścienia P nazywamy pierwiastkiem wielomianu v P [x] jeśli v(c) = 0. Niech v P [x], gdzie P jest pewnym pierścieniem ca lkowitym, x = q(x c) + r, gdzie r jest wielomianem stopnia zero. Z wniosku 9.3 wynika, że c jest pierwiastkiem wielomianu v wtedy i tylko wtedy, gdy x c dzieli v. Zapiszmy to spostrzeżenie Wniosek 9.4 Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym. Wielomian v P [x] jest podzielny przez wielomian x c wtedy i tylko wtedy, gdy c jest pierwiastkiem wielomianu v. Z wniosku 9.4 bardzo latwo można wykazać jeszcze jeden, bardzo ważny wniosek. Wniosek 9.5 Niech P bedzie pierścieniem ca lkowitym. v P [x] stopnia k ma co najwyżej k pierwiastków. Dowolny wielomian
30 Rozdzia l 10 Wyk lad XII Pierścienie g lówne (c.d.) Twierdzenie 10.1 Pierścień wielomianów K[x] nad dowolnym cia lem K jest pierścieniem g lównym. Dowód. Niech B bedzie idea lem pierścienia K[x]. Jeśli B = {0}, to B jest oczywiście idea lem g lównym, B = (0). Przypuśćmy wiec, że B {0}. Wtedy w B sa wielomiany niezerowe. Niech d bedzie wielomianem niezerowym, minimalnego stopnia w B. Wykażemy, że B = (d). W tym celu wystarczy wykazać, że dla dowolnego b B istnieje q K[x] takie, że b = qd. Z algorytmu dzielenia wielomianów (twierdzenie 9.2) wynika, że istnieja takie wielomiany q, r K[x], że b = qd + r deg r < deg d Stad r = b qd B. Jednak w ideale B jedynym wielomianem stopnia silnie mniejszego niż deg d jest wielomian r = 0, a wiec b = qd, co należa lo udowodnić. Już niebawem okaże sie, że bardzo ważna w lasnościa pierścieni g lównych jest, że dowolny wstepuj acy ciag idea lów pierścienia g lównego jest stacjonarny. Te w lasność wykażemy w nastepnym twierdzeniu. Twierdzenie 10.2 W pierścieniu g lównym P każdy wstepuj acy ciag idea lów C 1 C 2... C k... jest stacjonarny, tzn. istnieje k 0 N takie, że C k0 = C k0+1 =... Dowód. Suma idea lów C = i=1 C i iest idea lem (por. zad.??). Ponieważ P jest pierścieniem g lównym, istnieje a P takie, że C = (a). Oczywiście a C, a wi ec istnieje k 0 N takie, że a C k0. 29
31 ROZDZIA L 10. WYK LAD XII Z definicji C (jako mnogościowej sumy C I, i N): C k0 C. Z drugieje strony, skoro a C k0, to z definicji idea lu (a) C k0, a wiec C C k0 i ostatecznie: C = C k0. Najwiekszym wspólnym dzielnikiem elementów a i b pierścienia ca lkowitego P nazywamy element d P spe lniajacy warunek: d a, d b oraz dla każdego c P : c a, c b c d Najwi ekszy wspólny dzielnik elementów a i b oznaczamy przez NWD(a, b) lub, cz eściej, przez (a, b). W pierścieniach g lónych najwi ekszy wspólny dzielnik dwóch elementów zawsze istnieje i można go zapisać w specjalnej postaci. Twierdzenie które o tym mówi nazwiemy twierdzeniem o NWD w pierścieniu g lównym. Twierdzenie 10.3 Każde dwa elementy a, b pierścienia g lównego P maja najwiekszy wspólny dzielnik d P który jest ich kombinacja liniowa, tzn. istnieja s, t P takie, że d = sa + tb Dowód. Rozważmy zbiór S = {s 1 a + t 1 b s 1, t 1 P } Latwo sprawdzić (por. zadanie??), że S jest idea lem. Ponieważ z za lożenia P jest pierścieniem g lównym, idea l S jest g lówny, a wiec istnieje d P takie, że S = (d). Ponieważ zarówno a jak i b należa do S, d a oraz d b. Jeśli c a i c b, a wiec a = αc, b = βc (α, β P ), wówczas d = sa + tb = sαc + tβc = (aα + tβ)c i wobec tego c d. Jeżeli najwiekszym wspólnym dzielnikiem elementów a i b jest jedynka pierścienia (inaczej: jeżeli (a, b) = 1), wówczas mówimy, że a i b sa wzglednie pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i b sa 1 i elementy stowarzyszone z 1 (a wiec, elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać (a, b) = 1 czesto piszemy a b. Pierścień ca lkowity P nazywamy euklidesowym jeśli istnieje funkcja h : P N + taka, że dla wszystkich a P, b P istnieja q, r P : a = bq + r, i albo r = 0 albo h(r) < h(b). Twierdzenie 10.4 Każdy pierścień euklidesowy jest pierścieniem g lównym. ALGORYTM EUKLIDESOWY W PIERŚCIENIU EUKLIDESO- WYM) 10.1 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Twierdzenie 10.5 Każdy pierścień g lówny jest pierścieniem Gaussa.
32 Rozdzia l 11 Wyk lad XII Cia lo u lamków pierścienia ca lkowitego Niech P b edzie pierścieniem ca lkowitym, P = P {0}. wzbiorze Q = P P zdefiniujmy dwa dzia lania: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) (11.1) oraz relacj e R: (a, b) (c, d) = (ac, bd) (11.2) (a, b)r(c, d) ad = bc (11.3) Twierdzenie 11.1 Dla dowolnego pierścienia ca lkowitego P relacja R zdefiniowana przez 11.3 jest relacja równoważności zgodna z dzia laniami 11.1 i Dzi eki twierdzeniu 11.1 w zbiorze ilorazowym P P /R można wprowadzić dzia lania dodawania i mnożenia: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] (11.4) [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] (11.5) Twierdzenie 11.2 (O ciele u lamków) Dla dowolnego pierścienia ca lkowitego P zbiór P P /R z dzia laniami zdefiniowanymi wzorami 11.4 i 11.5 jest cia lem przemiennym. Cia lo wystepuj ace w tezie twierdzenia 11.2 nazywamy cia lem u lamków pierścienia P. 31
33 ROZDZIA L 11. WYK LAD XII Pierścienie ilorazowe Twierdzenie 11.3 Niech P b edzie pierścieniem, a D P jego podpierścieniem. Relacja R D zdefiniowana w D wzorem jest relacja równoważności w D. ar D b a b D Zbiór klas równoważności P/R D nazywamy ilorazem pierścienia P przez podpierścień D i oznaczamy przez P/D. Twierdzenie 11.4 W dowolnym pierścieniu P i dla dowolnego podpierścienia D P relacja R D jest zgodna z dzia laniami pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy D jest idea lem pierścienia P. Twierdzenie 11.5 (O ilorazie pierścienia przez idea l) Jeśli I jest idea lem pierścienia P, to P/I jest pierścieniem (przemiennym, jeśli P jest przemienny, z jedynka, jeśli P jest z jedynka). Zauważmy, że zerem pierścienia P/I jest I. Jeśli P jest pierścieniem, zaś I jego idea lem, wówczas pierścień P/I nazywamy pierścieniem ilorazowym. Mówimy, że idea l I pierścienia P jest idea lem pierwszym, jeżeli dla dowolnych a, b P prawdziwa jest implikacja ab I a I lub b I Przyk lad. W Z idea lami pierwszymi sa idea ly generowane przez liczby pierwsze (inaczej: I Z jest idea lem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy I = (p), gdzie p jest pewna liczba pierwsza). Nast epne twierdzenie nazwiemy twierdzeniem o pierścieniach ilorazowych bez dzielników zera. Twierdzenie 11.6 Niech P b edzie dowolnym pierścieniem, zaś I jego idea lem. P I jest pierścieniem bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy I jest idea lem pierwszym. Lemat 11.7 Pierścień przemienny z jednościa jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego idea l jest trywialny. Dowód.... Idea l I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jedynym idea lem zawierajacym I i różnym od I jest ca ly pierścień P. Twierdzenie 11.8 (O idea lach maksymalnych) Niech P bedzie pierścieniem przemiennym z jedynka. Idea l I jest idea lem maksymalnym pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień P/I jest cia lem. Dowód....
34 ROZDZIA L 11. WYK LAD XII Homomorfizmy pierścieni Odwzorowanie h : P Q pierścienia P w pierścień Q jest homomorfizmem jeśli spe lnia warunki 1. h(a + b) = h(a) + h(b) 2. h(ab) = h(a)h(b) dla dowolnych a, b P. Im h = h(p ) nazywamy obrazem zaś Ker h = h 1 [Q] jadrem homomorfizmu h. Twierdzenie Obraz homomorfizmu pierścieni h : P Q jest podpierścieniem pierścienia Q. 2. Jadro homomorfizmu pierścieni h : P Q jest idea lem pierścienia P. Twierdzenie Dla dowolnych pierścieni P, Q homomorfizm pierścieni h : P Q jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker h = {0}. Twierdzenie (Podstawowe o izomorfiźmie pierścieni) Jeśli h : P Q jest epimorfizmem pierścienia na pierścień Q, wówczas zachodzi wzór h = h k gdzie k : P P/Ker h jest homomorfizmem kanonicznym, zaś h : P/Ker h Q izomorfizmem przyporzadkowuj acym zażdej klasie elementów P/Ker h ich wspólna wartość w homomorfiźmie k.
35 Rozdzia l 12 Wyk lad XII Wielomiany wielu zmiennych Twierdzenie 12.1 (Wzory Viety) Jeśli v K[x] v = a 0 + a 1 x a n x n jest wielomianem stopnia n o n pierwiastkach α 1,..., α n (niekoniecznie różnych), wówczas v = k(x α 1 )... (x α n ) i zachodza wzory (zwane wzorami Viety): a n = k a n 1 = k(α α n ) a n 2 = k(α 1 α 2 + α 1 α α n 1 α n )... a 0 = k( 1) n α 1... α n Wielomiany symetryczne r-tym podstawowym wielomianem symetrycznym S r (x 1,..., x n ) nazywamy wielomian n zmiennych x 1,..., x n który jest suma wszystkich różnych iloczynów r różnych zmiennych. Przyk lad. n = 4, r = 1: S 1 (x 1,..., x 5 ) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 n = 5, r = 3: S 3 (x 1,..., x 5 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x x 3 x 4 x 5 Twierdzenie 12.2 Jeżeli α 1,..., α n L sa pierwiastkami wielomianu v K[x] (gdzie cia lo K jest podcia lem cia la L), v = a n x n + a n 1 x n a 0 to a r = ( 1) r S r (α 1,..., α n ) 34
36 ROZDZIA L 12. WYK LAD XII Wniosek 12.3 Jeśli α 1,..., α n L sa pierwiastkami wielomianu v K[x] (gdzie K jest podcia lem cia la L), to dla każdego r, 1 r n. S r (α 1,..., α n ) K Twierdzenie 12.4 (Podstawowe o wielomianach symetrycznych) W dowolnym opierścieniu z jedynka D dla każdego wielomianu symetrycznego v D[x 1,..., x n ] istnieje dok ladnie jeden wielomian w D[x 1,..., x n ] taki, że Dow... v(x 1,..., x n ) = w(s 1 (x 1,..., x n ),..., S n (x 1,..., x n )) Twierdzenie Wilsona Twierdzenie 12.5 (Twierdzenie Wilsona) Liczba p N jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy (p 1)! + 1 0( mod p) Dow....
37 Rozdzia l 13 Wyk lad XIII, 7.I Zasadnicze Twierdzenie Algebry Twierdzenie 13.1 Cia lo liczb zespolonych jest algebraicznie zamkni ete. Dow.... Wniosek 13.2 Niech v R[x]. v ma nad R jednoznaczny rozk lad na iloczyn postaci: v = a n (x c 1 ) s1... (x c l ) s l (x 2 + p 1 x + q 1 ) t1... (x 2 + p r x + q r ) tr 13.2 Pierścienie wielomianów nad pierścieniami Gaussa Mówimy, że wielomian p = a 0 +a 1 x+... a n x n jest pierwotny jeżeli NWD(a 0,..., a n ) = 1. Każdy wielomian nierozk ladalny jest pierwotny (na odwrót nie). Twierdzenie 13.3 Każdy element pierwszy dowolnego pierścienia P jest także elementem pierwszym P [x]. Dow.... Twierdzenie 13.4 (Lemat Gaussa) Jeśli P jest pierścieniem Gaussa, p, q P [x] sa wielomianami pierwotnymi to iloczyn pq jest wielomianem pierwotnym. Dow.... Twierdzenie 13.5 Iloczyn dowolnej liczby wielomianów pierwotnych nad pierścieniem Gaussa jest wielomianem pierwotnym. 36
38 ROZDZIA L 13. WYK LAD XIII, 7.I Twierdzenie 13.6 Jeśli p jest wielomianem nierozk ladalnym nad pierścieniem Gaussa P, wówczas p jest także nierozk ladalny nad cia lem u lamków pierścienia P. Dow.... Wniosek 13.7 Niech P bedzie pierścieniem Gaussa. Każdy wielomian nierozk ladalny w P [x] jest elementem pierwszym pierścienia P [x]. Dow....
39 Rozdzia l 14 Wyk lad XIV, 14.I Twierdzenie Gaussa Twierdzenie 14.1 Pierścień wielomianów nad pierścieniem Gaussa jest pierścieniem Gaussa. Dow Rozszerzenia cia l Rozszerzeniem cia la K nazywamy cia lo L takie, że K jest podcia lem cia la L. (czasami cia lo K nazywamy ma lym zaś L dużym). Jeśli cia lo L jest rozszerzeniem cia la K, piszemy L : K. Cia lem generowanym przez X K nazywamy najmniejsze cia lo zawierajace K. Cia lo generowane przez X K jest równe: przecieciu wszystkich podcia l cia la K zawierajacych X, zbiorowi elementów które można otrzymać w ciagu skończonym operacji (dzia lań w ciele) na elementach z X (o ile X ). Niech L : K, X L. Cia lem powsta lym z K przez do l aczenie X nazywamy cia lo generowane w L przez K X. Przyk lad 14.1 Q(i, 2) Rozszerzenie cia la K o element a L nazywamy rozszerzeniem prostym i oznaczamy przez K(a) (zamiast K({a})). Rozszerzenia o zbiór skończony {a 1,..., a n } oznaczamy przez K(a 1,..., a n ). Ćwiczenie 14.1 Sprawdź, że Q(i, i, 3, 3) jest rozszerzeniem prostym. 38
40 ROZDZIA L 14. WYK LAD XIV, 14.I Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przest epne Jeśli L i K sa cia lami i L : K i wymiar przestrzeni wektorowej L nad cia lem K wynosi n to mówimy, że n = [L : K] jest wymiarem cia la L nad K. Rozszerzenie L nazywamy wówczas skończonym. Baza cia la L nad K nazywamy baze L (traktowanego jako przestrzeń wektorowa nad K). L jest rozszerzenienm nieskończonym L, jeśli nie jest rozszerzeniem skończonym. Element a L nazywamy algebraicznym nad K jeśli a jest pierwiastkiem pewnego, nie zerowego wielomianu v K[x]. Liczba algebraiczna nazywamy dowolny element algebraiczny nad cia lem Q. Przyk lad 14.2 Sprawdź, że i, 3, oraz i + 3 sa liczbami algebraicznymi. Wskaż ich wielomiany minimalne. Twierdzenie 14.2 (Cantora) Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. Element a L nazywamy elementem przest epnym nad K (gdzie L : K), jeżeli a nie jest algebraiczny nad K. Elementy przest epne nad Q nazywamy liczbami przest epnymi. Wniosek 14.3 (O liczbach przest epnych) Zbiór liczb przest epnych jest nieprzeliczalny. Rozszerzenie L cia la K nazywamy algebraicznym jeźeli każdy element a L jest algebraiczny nad K. Przyk lad 14.3 Wszystkie dotychczasowe przyk lady. Q( 2, 3 2, 4 2,...) Podaj inne, nietrywialne przyk lady. Twierdzenie 14.4 (O rozszerzeniach skończonych) Każde rozszerzenie skończone jest rozszerzeniem algebraicznym. Co wiecej, jeśli [L : K] = k i a 1,..., a k jest baza L nad K, to L = K(a 1,..., a k ) i każdy element b L jest elementem algebraicznym stopnia co najwyżej k nad K. Twierdzenie 14.5 (O wielomianie minimalnym) Dla każdego elementu a L algebraicznego nad K istnieje dok ladnie jeden wielomian unormowany 1 v K[x] taki, że v jest nierozk ladalny na K, v(a) = 0, v dzieli każdy wielomian w K[x] którego a jest pierwiastkiem. Wielomian v o którym mówi twierdzenie 14.5 nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego a, zaś stopień tego wielomianu stopniem elementu a. 1 To znaczy taki, którego wspó lczynnik dominuj acy (przy najwyższej pot edze) jest równy jedynce.
41 Rozdzia l 15 Wyk lad XV, 21.I Cia lo rozk ladu Cia lem rozk ladu wielomianu v K[x] nazywamy najmniejsze cia lo, w którym v rozk lada si e na iloczyn czynników liniowych v = a(x b 1 )... (x b n ) Inaczej mówiac, jest to cia lo K(b 1,..., b n ) Lemat 15.1 (O izomorficznych rozszerzeniach cia l izomorficznych) Niech K i K bed a izomorficznymi cia lami, h : K K izomorfizmem, zaś L rozszerzeniem cia la K. Wówczas istnieje rozszerzenie L cia la K takie, że 1. L jest izomorficzne z L, oraz 2. istnieje izomorfizm g : L L taki, że g K = h. Dow.... Twierdzenie 15.2 (O ciele rozk ladu) Dla dowolnego cia la K i wielomianu v K[x] istnieje rozszerzenie L : K w którym v rozk lada si e na iloczyn czynników liniowych. Dow
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoAlgebra 2009 Notatki do wyk ladów. A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH
Algebra 2009 Notatki do wyk ladów A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH 28 stycznia 2010 Spis treści 1 Wyk lad 1. 7.X.2009 4 1.1 Wstep................................. 4 1.2 Arytmetyka liczb
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoAlgebra 2010 Notatki do wyk ladów. A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH
Algebra 2010 Notatki do wyk ladów A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH 26 stycznia 2011 Spis treści 1 Wyk lad 1. 6.X.2010 4 1.1 Wstep................................. 4 1.2 Arytmetyka liczb
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A. Roman Wencel
ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A Roman Wencel Wroc law, wrzesień 2008 Spis treści Wst ep 2 Rozdzia l 0. Liczby naturalne, ca lkowite i wymierne 3 Rozdzia l 1. Dzia lania i systemy algebraiczne. Pojecie pó
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoUproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem,
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoim = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Bardziej szczegółowo