Uniwesytet Wszwski Wydził Fizyki Instytut Geofizyki Zkłd Fizyki Atmosfey Wpływ uchów wiowych n ewolucję widm kopel w chmuch Kzysztof Mkowicz Pc mgistesk npisn pod kieunkiem d Kond Bje Wszw, styczeń 1999
1. Wstęp W fizyce chmu szeokie zinteesownie wzbudz obecnie teoi powstwni ciepłego deszczu. Poblem genezy opdu z chmu, w któych nie występuje fz lodow nie jest jk n zie zdowljąco wyjśniony. Teoi pzedstwion pzez F. Begeon pzeszło 50 lt temu wyjśni poces powstwni opdu w chmuch miesznych, jednk nie funkcjonuje on dl chmu zwiejących jedynie kopelki wody. Z tką sytucją mmy do czynieni np. w chmuch konwekcyjnych, w któych w stefie topiklnej opd może powstć w ciągu kilkunstu minut. N ktulnym poziomie nszej wiedzy nie jesteśmy w stnie wyjśnić poszezni się wąskiego początkowo widm kopel chmuowych tk by powstły w chmuze duże kople mogące już zpoczątkowć poces kogulcji. Istnienie dużych kopel we wstępnej fzie istnieni chmuy możn tłumczyć istnieniem tzw. gigntycznych jąde kondenscji. Jednk istnienie tkich jąde obsewuje się jedynie w eozolu pochodzenie moskiego. W związku z tym poszukuje się innych mechnizmów odpowiedzilnych z poszezenie widm kopel do momentu ż poces sedymentcji kopel dopowdzi do intensywnej kogulcji. Obecnie istnieje wiele hipotez póbujących opisć poszezenie widm kople chmuowych. Zliczyć do nich możn pocesy mieszni i wciągni powietz z otoczeni chmuy. Osttnio jednk njwiększą uwgę bdczy pzyciąg tubulencj i jej wpływ n widmo kopel. W niniejszej pcy pzedstwiony jest opis uchu kopel w obszze wiów występujących w skli Komogoow. Istnienie tkich wiów potwiedzono w symulcjch numeycznych oz w ekspeymentch lbotoyjnych. Pomimo tego ich stuktu jest jk n zie słbo poznn. Opisujemy uchu kopel w obecności pojedynczego wiu bioąc tkże pod uwgę efekt ozciągni wiu. Bdm dw modele wiów: wi Rnkine oz wi Buges w óżnych ustwienich w stosunku do siły gwitcji. Pokzno, że obecność wiów w chmuch modyfikuje początkowy ozkłd kopel. W obszze wiów powstją stefy o dużych kontstch koncentcji kopel. Rozkłd pzestzenny kopel w chmuch w obecności uchów wiowych nie jest pzypdkowy. Kople skupiją się w obszch o niskiej wiowości powodując loklnie wzost gęstości. Rozciągnie wiu oz sedymentcj kopel powodują sotownie kopli o óżnej wielkości. Twozą one chkteystyczne skupisk w obębie któych występują kople o zbliżonych ozmich. Obszy te mją ksztłt wyciągniętych uek ównoległych do osi wiu. Czs fomowni się tkich stuktu jest bdzo kótki, dl kopel o pomieniu 10 µm wynosi kilk milisekund. Niniejsz pc m nstępującą stuktuę. W ozdzile pzedstwiony jest w zysie poblem powstwni ciepłego deszczu w świetle osttnich pc nukowych. Rozdził 3 poświęcony jest sklom uchów tubulentnych jkie występują w chmuch. W ozdzile 4 pzedstwione są wyjściowe ównni uchu kopel w chmuze oz ich pzybliżeni stosowne w dlszej części pcy. Kolejny ozdził zwie nlizę uchu pojedynczej kopli w pobliżu wiu Rnkine. Pzedstwione są w nim uchu kopli w dwóch obszch: wewnętznym, gdzie wiowość jest stł óżn od ze oz zewnętznym dl któego jest on ówn zeo (wi punktowy). W pgfie tym ozptywne są pondto uchy kopel w pobliżu wiu punktowego, któy jest ozciągny. Rozwżne są dw pzypdki: piewszy, gdy wi ozciągny jest w kieunku pionowym oz dugi, gdy ozciągnie wiu odbyw się w kieunku poziomym. W tym osttnim pzypdku istotny stje się wpływ gwitcji n uch kopel w płszczyźnie postopdłej do osi wiu. W ozdzile 6 ozwżmy sytucję kiedy mmy do czynieni z wielom koplmi. Bdmy koncentcje kopel w pobliżu wiu punktowego oz w obszze wiu o stłej wiowości. Główną uwgę zwcmy n ewolucję
gęstości kopel w płszczyźnie postopdłej do osi wiu oz n ozkłd pzestzenny kopel w zleżności od ich ozmiów. Nstępny ozdził (7) poświęcony jest opisowi uchu kopli w obszze wiu Buges. Rozwżne są tzy pzypdki tkiego wiu: wi pionowy, wi pionowy poddwny ozciągniu oz wi poziomy poddwny ozciągniu. Rozdził 8 zwie opis gęstości powiezchniowej kopel w wyżej wymienionych pzypdkch. Obliczeni numeyczne pzestzennego ozkłdu kopel wykonne zostły dl kopel jednkowych oz dl kopel zóżnicownych o zdnym widmie. W kolejnym ozdzile zmieszczone jest podsumownie wyników uzysknych w mch tej pcy. Pgnę wyzić podziękownie d Kondowi Bjeowi oz z wnikliwe pzeczytnie pcy i konstuktywne uwgi pomocnicze w jej npisniu, jk ównież d Szymonowi P. Mlinowskiemu z uwgi meytoyczne i sugestie, któe pzyczyniły się do popwy ukłdu pcy jk i lepszego ujęci teści fizycznej opisywnych zjwisk.
. Poblem powstwni ciepłego deszczu Poblem poszezeni widm kopli w chmuch, któe powdzi do powstni opdu jest jednym głównych zgdnień w fizyce chmu nieozwiąznych do chwili obecnej. Pocesy odpowiedzilne z pojwinie się kopel chmuowych są jk n zie słbo poznne. Nie widomo dokłdnie jkie pocesy fizyczne są odpowiedzilne z powstwnie ciepłego deszczu. Poces kondenscji i dyfuzji py wodnej powdzi w obecności typowych jąde kondenscji do powstni wąskiego widm kopel. Wzost kopel, początkowo szybki, z czsem jednk stje się mło wydjny. Powdzi to do stgncji widm kopel, któego pmety fizyczne zleżą od pzesyceni powietz pą wodną oz ozmiu zktywizownych jąde kondenscji. Tk powstłe kople w chmuch są bdzo młe, ich typowe ozmiy nie pzekczją kilku mikometów. Dlszy ich wzost wskutek kolescencji jest niemożliwy poniewż współczynnik wychwytu kopel jest bdzo mły. Intensywny wzost występuje dopieo dl kopel, któych pomień jest większy od 0 µ m. Obecność tkich kopli w widmie możn stwiedzić spodycznie jedynie w eozolu pochodzeni moskiego, któy zwie tzw. jąd gigntyczne. Zwykle jednk w widmo chmuowe powstłe w wyniku kondenscji nie zwie kopel mogących zpoczątkowć poces kolescencji. Osttnio uwgę uczonych bsobuje wpływ tubulencji n poszezenie widm kopel. Stosunkowo dużo wiemy o uchch kopel w nieuchomym powietzu (Puppche i Klett 1978) zś dużo mniej w obecności tubulencji. Jednymi z pekusoów tego zgnieni byli Ivnovskij i Mzin 1960, Sminoff (1969) oz Mxey i Cosin (1986). Bdli oni osidnie młych, sfeycznych cząstek pod wpływem gwitcji w peiodyczo-komókowym polu pędkości. Pokzli oni, że kople o młej bezwłdności w słbym polu pędkości mją tendencje do gomdzeni się wzdłuż septysy. Studi nd uchem dużych cząstek wewnątz tubulentnego pol pędkości były powdzone pzez Squies i Eton (1991), Fung (1993) oz Wng i Mxey (1993). Pce te były poświęcone wpływom tubulencji n osidnie cząstek eozolu. Poblem wpływu tubulencji n współczynnik wychwytu był nlizowny pzez Almeide (1976). Pokzł on, że współczynnik wychwytu wzst szybko ze wzostem intensywności tubulencji. Efekt ten jest szczególnie widoczny dl kopel o pomieniu <30 µm, któe n swojej dodze zbieją mniejsze kople. Duże kople nie podlegją wyźnie temu efektowi ze względu n ich dużą bezwłdność. Główną wdą teoii Almeidy było złożenie inecyjnego eżimu tubulencji i wynikjące stąd funkcji koelcji pędkości dl młych kopel, gdy w zeczywistości nleży bć pod uwgę fluktucje pędkości w eżimie lepkim. Wynik to z fktu, że w pzypdku młych odległości pomiędzy koplmi (kilk pomieni kopli) istotne dl pocesu zdezni kopel stją się koelcje pędkości n niewielkich odległościch. Pzez wiele lt bk było pktycznych ekspeymentów potwiedzjących lub obljących modele teoetyczne kolescencji. Poblemem było wytwozeni pol pędkości o dobze okeślonym spektum enegii tubulencji, któe mogłoby spzyjć wzostowi kopel pzez ich zdeznie się ze sobą. Jedną z nielicznych były pce Woods (197) i Blce (1981). Piewszy z nich bdł spdek kopli pzez obsz pionowego gdientu pędkości powietz ogniczony do wstwy kilku milimetów. Tki pzepływ tudno uznć z zdowljący model tubulencji w toposfeze.
Blce umieszczł w pionowym tunelu młe kople, któe zdezły się z większą koplą zbiejącą. Auto pokzł, że współczynnik zdezeniowy kopel jest bdzo czuły n względne pędkości pomiędzy koplmi. W osttnim czsie pojwiły się pce, w któych utozy pzedstwili wyniki modeli, powdzących do poszezeni się widm kopli w chmuch w obecności tubulencji. Jedną z nich jest pc Pinsky ego i Khin (1997 I, 1997 II), któ dotyczy wzostu kopli chmuowych popzez kolescencje. Autozy pzedstwiją mechnizmy powstwni względnych pędkości kopel w jednoodnej i izotopowej tubulencji. Zliczją do nich bezwłdność kopel, gwitcje oz gdient pędkość powietz z wysokością. Opis uchu tubulentnego uwzględnił zówno eżimy lepkościowy jk i bezwłdny. Względne pędkości kopel jk pokzli utozy bdzo zleżą od ozmiów kopel oz intensywności 3 tubulencji. Nwet dl słbej tubulencji ( ε = 10 cm s ) typowej dl chmu sttus względne pędkości kopel o pomieniu < 30 µ m są zędu 30% wtości uzysknej w 3 wyniku gwitcyjnego opdni. Pzy silniejszej tubulencji ( ε = 100 cm s ) chkteystycznej dl młych chmu typu cumulus óżnice pędkości kopel są dwukotnie większe niż wywołne sedymentcją. W chmuch konwekcyjnych bdziej ozwiniętych, gdzie tubulencj jest większ, względne pędkości kopel są 5-7 zy większe. Wyniki tkie uzyskno w losowym polu pędkości i n ich podstwie możn stwiedzić, że tubulencj m istotny wpływ n fomownie się względnych pędkości kopel. Wobec tego poces kolescencji jest zncznie wydjniejszy niż w pzypdku, gdy zdezeni kopel są jedynie wynikiem óżnych pędkości ich opdni. Klsyczne teoie kolescencji opisywne są pzez wzó n tzw. jądo kolescencji, któe okeśl liczbę połączeń kopli dużej z młymi w jednostce czsu: k(m,m i j ) = π(i + j) E(m i, m j) Vt, (.1) gdzie, i j pomień kopli i oz j m, i m j ms kopli i oz j E współczynnik wychwytu V t - względn pędkość gniczn opdni kopli (teminl velocity) Autozy zpoponowli nową fomułę uwzględnijącą óżnice pędkości kopel spowodowne tubulencją,. k(m,m i j ) = π(i + j) E(m i, m j) Vt + R ij Vt, (.) gdzie: V' R ij = zś V' jest względną wtością fluktucji pędkości kopli i oz j Vt Powyższe ównnie było punktem wyjściowym do obliczeń numeycznych ewolucji widm kopel chmuowych. Autozy nie uwzględnili wpływu tubulencji n współczynnik wychwytu, któy w obu ównnich mił tką smą postć. Wydje się jednk, że jest to wżny poblem, poniewż teoie klsyczne dją zeową wtość współczynnik wychwytu dl kopli z któych pzynmniej jedn nie m pomieni większego od 18µ m. Poblem ten był studiowny pzez F.C Alemeide (1979). Wyniki obliczeń numeycznych ewolucji widm kopel (Pinsky, Khin (1997)) pzedstwi ysunku.1 i.. Początkowo widmo kopel było centowne n =10 µm. Czs
3 fomowni się kopel opdowych ( = 100µ m ) wynosił 10 min pzy ε = 00 cm s oz 3 około 0 min pzy ε = 50 cm s. Pzy bku tubulencji kople opdowe nie pojwiły się widmo nie uległo pktycznie zminie. Autozy do obliczeń pzyjęli dość szeokie widmo początkowe kopel, w któym niewątpliwie znjdują się kople o pomieniu większym od 0 µm. W tkim pzypdku ównież klsyczne teoie kolescencji powdzą do wzostu kopel. Dl tkiego Rysunek.1 Widmo kopel po 10 minutch. Kzywe A, B, C, D, E odpowidją ε=0 cm s -3, ε=50 cm s -3, ε=100 cm s -3, ε=00 cm s -3, ε=500 cm s -3 (Pinsky, Khin (1997)). [µm]
Rysunek. Widmo kopel po 0 minutch (Pinsky, Khin (1997)) widm tubulencj pzyspiesz poces łączeni się kopel w większe, pozostje jednk bez odpowiedzi pytnie czy tubulencj może spowodowć poszezenie się wąskiego widm kopel, tkiego jk powstje we wczesnym stdium ozwoju chmuy? Bez oszcowni wpływu tubulencji n współczynnik wychwytu odpowiedz n to pytnie jest niemożliw. Zsdniczo inne podejście do poblemu zpoponowł Rymond Shw (1997) w swojej pcy. Auto pzedstwił wpływ tubulencji n poszezenie się widm kopel podczs ich wzostu wskutek kondenscji. Tym zem tubulencj modelown jest w postci wiów powietz zloklizownych w sposób losowy. Wykozystno model wiu Rnkine tzn. wiu, któy blisko swojej osi obc się ze stłą pędkością kątową, zś dleko pędkość jest tk jk dl wiu punktowego. Shw pokzł, że kople zostją szybko wyzucone z obszu wiu i dlej już wolno oddlją się od niego. Wnioskuje z tego, że w obszch chmuy o dużej wiowości koncentcj kopel jest dużo mniejsz niż w obszch o niskiej wiowości. Regiony o dużej wiowości pozbwine są kopel wobec tego jeśli pocj tkiego powietz wznosi się do góy występują występują w niej pzesyceni. Sytucj tk występuje dopóki nie zktywizują się nowe jąd kondenscji. N podstwie tego uto stwiedz, że kople pouszjąc się pzez obsz chmuy znjdują się w obszch o óżnych pzesycenich powietz. W obszch o dużej wiowości wzost kopel ze względu n wtość pzesyceni [µm] będzie intensywny. Model stosowny pzez uto zwie tzy podstwowe części: ewolucj pzesyceni w chmuze, ktywcj kopel oz ich wzost pzez kondenscje. Zmin pzesyceni s w czsie opisywn jest ównniem: ds dt = αw βs i i, (.3) gdzie: w- pędkość pionow powietz, zś α, β stłe Wzó ten okeśl zminy pzesyceni, wywołne uchmi pionowymi powietz oz kondenscją py wodnej n kopelkch. Wzost kopli opisywny jest w tym modelu wzoem: d Gs =, (.4) dt gdzie G jest stłą. Początkowy pomień kopli w mikometch opisuje fomuł Twomey: 0.0145 0 =, (.5) / 3 s zś liczbą zktywizownych kopel zś wyż się wzoem: k N CCN = Cs, (.6) gdzie C i k są stłymi. Rozwiąznie ównni wzostu kopli (.4) wskzuje n powolny wzost kopli pzy złożeniu stłej wtości pzesyceni. Jednk w obszze tubulentnym wtość pzesyceni
nie jest stł, co powdzi do zleżności intensywności wzostu kopli od jej położeni w chmuze. Auto pzyjął do obliczeń typowe wtości stłych wchodzących w skłd powyższych ównń i pędkość pionową ówną m/s. Rozmi wiów powietz wynosił10 η, gdzieη jest sklą pzestzenną Komogoow (wzó 3.1). W modelu zmienin był ównież intensywność tubulencji popzez zminę temp dysypcji enegiiε. Wyniki obliczeń po czsie t=150s pzedstwiją ysunek.3. Góny wykes pzedstwi widmo kopel w pzypdku gdy czs życi wiów wynosił τ s = 5s. Pozostłe wykesy dl czsów ównych odpowiednio 10 i 15 s. Widmo kopel w pzypdku bdzo słbo ozwiniętej tubulencji jest wąskie. Wzost tubulencji powoduje znczne poszezenie widm z Rysunek.3. Widmo kopel po czsie t=150 s w zleżności od temp dyssypcji enegii ε oz czsu istnieni wiów τ (Shw 1997) s jednoczesnym pzesunięciem się jego mksimum w stonę mniejszych kopelek. Obecność kopel o bdzo zóżnicownych uozmiconych ozmich wynik z fluktucji pzesyceni w chmuze i związne z nimi zóżnicowną szybkością wzostu kopel. Wzost kopel jk wynik z pzedstwionych wykesów zleży od czsu życi stuktuy koheentnej wiu. Auto nie pzedstwi dlszej ewolucji pol kopel chmuowych, więc ich wzostu pzez kolescencje, jednk wskzuje, że w tym pzypdku, w poównniu z sytucj klsyczną, mechnizm kolescencji dopowdzić może do szybszego ich wzostu. Z pcy Shw wynikją tzy istotne wnioski. Po piewsze, że ozkłd kopelek w chmuze nie jest losowy, występują znczne fluktucje pzesyceń powietz pą wodną. Po dugie, po stosunkowo kótkim czsie (.5 min) widmo kopel stje się zncznie szesze niż pod nieobecność woów. Po tzecie czs życi wiów dl któych ten efekt odgyw ole jest niewielki i wynosi kilk lub kilknście sekund. Rozkłd pzestzenny kopel we mgle był studiowny pzez A. Kozikowską i K. Hmn. (1984). Pc t powstł n podstwie pomiów ozkłdu kopelek pzy użyciu hologmu. Wyniki pzepowdzonych ekspeymentów były poównywne z losowym ozkłdem Poisson. W pzypdku wąskiego widm kopel hipotez ozkłdu losowego zostł zdowljąco potwiedzon. Jednk dl szeszych widm (o szeokości kilknście
mikometów) wyniki są bdzo wątpliwe. Autozy stwiedzją, że jest to efekt pojwieni się klstów kopel. Wynik stąd, że dlsze bdni kolescencji powinny być powdzone pzy złożeniu nielosowego ozkłdu kopli nie jk dotąd kopel ozłożonych pzypdkowo. 3. Skle uchów tubulentnych. Ruch tubulentny płynów chkteyzuje się w kżdym punkcie nieegulnymi i nieupoządkownymi zminmi pędkości w czsie. W chwili obecnej nie istnieje jeszcze pełn ilościow teoi tubulencji. Znne jest jednk wiele wżnych wyników jkościowych uzysknych dzięki nlizie wymiowej. W dlszej części inteesowć ns będzie uch w młej skli, w któej decydujący wpływ m lepkość powietz. Pzedził skl tubulencji w tym pzypdku nosi nzwę pzedziłu dyssypcyjnego. Zchodzi w nim njwiększ dyssypcj enegii kinetycznej. Źódłem enegii w tej skli jest stumień enegii kinetycznej skieowny z tzw. pzedziłu enegii popzez pzedził inecyjny do pzedziłu dyssypcji. Ustl się w ten sposób stn stcjonny tubulencj okeśln jest jko sttystycznie stcjonn. Ekspeymenty lbotoyjne i numeyczne wskzują, że typowymi stuktumi, któe dyssypują znczną część enegii są długie i cienkie włókn wiowe. W obszze dyssypcji możemy n podstwie nlizy wymiowej okeślć skle uchu tzw. skle Komogoow: 1/ 4 3 ν µ = - skl długości (3.1) ε 1/ ν τ µ = - skl czsu (3.) ε 1 / 4 Vµ = ( νε) - skl pędkości (3.3) gdzie: ν jest lepkością kinetyczną powietz, zś ε ozncz tempo dyssypcji enegii. Współczynnik dyssypcji enegii ε zmieni się w szeokim zkesie w zleżności od odzju oz stopni ozwoju chmuy. Dl typowych chmu sttocumulus wynosi około ε=10 cm / s 3 3 zś dl młych chmu typu cumulus wynosi ε=100 cm / s. W silnie ozbudownych 3 chmuch konwekcyjnych może pzekoczyć wtość ε=1000 cm / s (Mzin i inni 1984, 1989). Tbel 3.1 Typowe wtości skl Komogoow obsewowne w chmuch ε [cm /s 3 ] µ [mm] τ µ [s] V µ [cm/s] 0.1 3.9 1.11 0.35 1. 0.36 0.61 10 1. 0.11 1.09 100 0.7 0.04 1.75
1000 0.4 0.01 4.0 Z powyższej tbeli wynik, że typow skl pzestzenn wiów wynosi 1mm, skl czsow zmieni się w zkesie od 0.01-1s. Pzeciętn pędkość wynosi 1cm/s. Wzost intensywności tubulencji powdzi do zmniejszni się chkteystycznych skl czsowych i pzestzennych oz wzostu pędkości. Sytucj tk odpowid wzostowi liczy Reynolds i poszezeniu pzedziłu inecyjnego enegii. W tym pzypdku lepkość powdzi do destukcji tylko bdzo młych wiów. Inteesuje ns tutj uch kopel w chmuch, gdzie tempo dyssypcji enegii nie jest dobze okeślone. Z powodu występowni intemitencji wielkość t może zncznie zmienić się w zleżność od położeni w chmuze. W związku z tym do typowe skle wiów w chmuch pzedstwionych w tbeli 3.1 nleży tktowć z dużą ostożnością. Nie m jk n zie pomiów chmuowych pol pędkości powietz ze względu n tudności z pomimi pzepływów w sklch milimetowych w tych wunkch. Ztem stuktu pol pędkości w chmuch jest jeszcze wielką niewidomą i tudno być pewnym z jkimi uchmi mmy tm do czynieni.
4. Równni uchu kopli chmuowych. Rozwżmy uch kopli pouszjącej się w powietzu o pędkości v. Zkłdć będziemy kopl w czsie swojego uchu nie oddziłuje z innymi koplmi. Równnie uchu kopli m nstępującą postć: dv m = mg + F 0 + F b (4.1) dt gdzie: ρ F b = mg ρ w jest siłą wypou kopli (4.) F 0 jest siłą opou eodynmicznego kopli, zś ρ m = V( ρw + ) jest msą efektywną (4.3) gdzie V ozncz objętość kopli. W dlszym ciągu będziemy pomijli siłę wypou kopli oz pzyjmiemy, że ms efektywn kopli jest ówn zwykłej msie ze względu n elcję: ρ ρ w << 1 (4.4) Sił opou eodynmicznego Stokes w ogólności m postć: 1 F0 = ρπr Cd v v (v v ) zś współczynnik opou 4 C d = [1 + f (Re)] Re gdzie: (4.5) (4.6) Re Rρ = v v (4.7) µ zś f(re) jest funkcją liczby Reynolds wyznczoną empiycznie pzez Wng i Puppche 1997. Dl młych liczb Reynolds f(re) 0 i popwkę tę możn pominąć. W tym pzypdku sił opou Stokes zncznie się upszcz pzyjmując postć: F 0 = 6πRµ (v v ) (4.8)
Osttecznie ównnie uchu m postć: dv m = 6πRµ (v v ) mg dt e z (4.9)
5. Ruch kopli w pobliżu wiu Rnkine. Pzechodzimy tez do nlizy uchu pojedynczej kopli w obszze odosobnionego wiu w powietzu. Zwiownie to będzie miło postć wiu Rnkine, w któym mmy dw óżne eżimy uchu. W piewszym, znjdującym się wewnątz wiu pędkość kątow powietz jest stł więc powietze wiuje tk jk był sztywn,w dugim zś, pędkość powietz jest tk jk od wiu punktowego. Pofil pędkość tkiego wiu mm więc postć: c1eϕ v = c eϕ < 0 0 gdzie c 1, c są stłymi tkimi by był zpewnion ciągłość pędkości n gnicy wiu, czyli w 0. Tki model wiu jest powszechnie używny, kżdy wi możn w pzybliżeniu tktowć jko twó skłdjący się z dwóch części. Wewnątz wiu możn złożyć, że wiowość jest stł, zś n zewnątz jego w dosttecznie dużej odległości możn tktowć go jk wi punktowy. (5.1) 5.1 Ruch kopli w pobliżu pionowego wiu punktowego Rozptzmy uch kopli wokół wiu punktowego w pzypdku któego wiowość jest ówn zeo poz jego punktem centlnym i wyż się on wzoem: Γ δ() ζ = (5.1.1) π gdzie: Γ jest cykulcją wiu, zś odległością od śodk wiu Pofil pędkości tkiego wiu m postć: v = Γ π e ϕ (5.1.) Pędkość podobnie jk wiowość m osobliwość w punkcie =0. Pzechodzimy do cylindycznego ukłdu współzędnych tk, że oś wiu pokyw się z osią z tego ukłdu. Po podstwieniu do ównni uchu (4.9) otzymujemy: d m = mge dt d = ge dt z z d Γ 6πRµ ( e dt π d Γ ( e dt π ϕ ) ϕ ) (5.1.3) (5.1.4) gdzie: 9µ = (5.1.5) R ρ w
Po ozpisniu wekto pzyspieszeni i pędkości n skłdowe dostjemy: Γ π [&& ϕ& ] e + [ && ϕ + ϕ&& ] e + && ze = ge e & ϕ& e e + z& e ϕ z z (5.1.6) Równnie to powdzi do ukłdu tzech ównń óżniczkowych zwyczjnych dugiego zędu. ϕ ϕ z && ϕ& = & Γ && ϕ + ϕ && = ϕ& π && z = g z& (5.1.7) Z powyższych ównń wynik, że uch w płszczyźnie (x, y) jest niezleżny od uchu w kieunku postopdłym do niej. W kieunku pionowym mmy spdek kopli w polu gwitcyjnym hmownym popzez siłę opou eodynmicznego. Pzyspieszenie w kieunku dilnym jest spowodowne siłą odśodkową dziłjącą n koplę i siłą opou eodynmicznego w tym kieunku. Ruch obotowy kopli wywołny jest pzez dziłnie siły eodynmicznej związnej z wiowniem powietz. Równnie tzecie we wzoze (5.1.7) dje się łtwo scłkowć co powdzi do wzou: z & = gt z + C 1 (5.1.8) Rozwiązując kolejno ównnie jednoodne i nstępnie niejednoodne metodą uzmiennini stłej otzymujemy wzó: C 1 z (t) = C 0 exp( t) + t + g Uwzględnijąc wunki początkowe z(t=0) oz ównni uchu w kieunku pionowym (t) = z 0 g z(t) & = g + z g ( exp( t) 1) ( 1 exp( t) ) + g t z &(t = 0) = 0 dostjemy ozwiąznie (5.1.9) (5.1.10) N podstwie ozwiązni łtwo stwiedzić, że zsięg uchu jest nieogniczony, pędkość kopli wzst dążąc symptotycznie do wtości (teminl velocity): v t = g Wielkość τ=1/ jest czsem dptcji, po któym kopl dostosowuje swoją pędkość do wunków zewnętznych. Pzechodzimy obecnie do ozwiązywni dwóch piewszych ównń uchu && ϕ& = & Γ && ϕ + ϕ && = ϕ& π (5.1.11)
& 0 (5.1.1) Dugie ównnie dje się scłkowć ϕ & + d dt Γ ϕ & = π & Γ ( ϕ & ) = ϕ& π ϕ& (5.1.13) (5.1.14) gdzie ϕ& = L jest momentem pędu kopli n jednostkę msy, czyli dl Γ = L dt π Rozwiązując to ównnie óżniczkowe mmy; dl = dt Γ L π (5.1.15) (5.1.16) Γ ln L = t + C (5.1.17) π L(t) Γ = exp( t C) (5.1.18) π Uwzględnijąc wunek początkowy L(t)= L 0 otzymujemy: L( t) = L ( L L0 )exp( t) w w (5.1.19) gdzie: L w = Γ π (5.1.0) Zbdjmy zchownie symptotyczne dl t>>1. Moment pędu kopli dąży do wtości. Gdy początkow wtość momentu pędu kopli jest ówn tej wtości wówczs moment pędu jest wielkością stłą, niezleżną od czsu. Rozwiązujemy ównnie dilne, w tym celu podstwimy do piewszego ównni ze wzou (5.1.1) wielkość ϕ& = L(t) w celu wyeliminowni zmiennej zymutlnej φ. W wyniku tego otzymujemy ównnie óżniczkowe zwyczjne -go zędu. L (t) & + & = (5.1.1) 3
w 0 Rozptzy ponownie zchownie symptotyczne dl t>>1. Dl dosttecznie dużych czsów kopl będzie znjdowł się dleko od centum wiu i jej pędkość będzie niewiele óżnił się od pędkości powietz. Ztem siły eodynmiczne dziłjące n kople będą niewielkie i piewszy czynnik w ównniu (5.1.1) pominąć. Tk uposzczone ównnie óżniczkowe dje się łtwo ozwiązć co uczyniono poniżej. d L (t) = (5.1.) 3 dt [ L (L L ) exp( t) ] dt 3 d = (5.1.3) w w 0 4 [ L L (L L ) exp( t) + (L L ) exp( t) ] 1 4 + C = dt w w w 0 w 0 (5.1.4) 1 4 4 L w (L w L 0 ) + C = L w t + (L w L 0 ) exp( t) + exp( t) (5.1.5) pzyjmując wunek początkowy (t = 0) = 0 kontynuujemy obliczeni powdzące do osttecznego ównni. C = 1 4 0 L + w (L w (L L ) 0 w L 0 ) (5.1.6) 4 1 = 4 L + (L L )[exp( t) 1] L 1 4 4 w w 0 (L [exp( t) 1] 4L 0 w 0 + w ) t (5.1.7) 8L (L L ) = (5.1.8) w 4 4 w w 0 4L 0 + (L w L 0 )[exp( t) 1] [exp( t) 1] + t W pzypdku gdy L w = L 0 ównnie (5.1.8) zncznie się upszcz 4 4 4L w 0 + t = (5.1.9) Kopl oddl się od centum wiu potęgowo z czsem. Odległość jej ośnie coz wolniej w coz dlszych momentch czsu. Tkie smo zchownie otzymujemy gdy L w L 0, poniewż dl dużych czsów czynniki wykłdnicze: exp(-t) i exp(-t) dążą do ze. Wyżenie w wykłdniku jest odwotnością czsu elkscji kopli. Ze wzou wynik, że czs ten jest popocjonlny do kwdtu pomieni kopli. Młe kople w kótkim czsie będą dostosowywły swoją pędkość do pofilu pędkości wiu, w pzeciwieństwie do dużych dl któych czs ten uleg zncznemu wydłużeniu. Wielkość T=1/ jest więc sklą czsową uchu kopli w wize. Wi punktowy nie m wyóżnionej skli pzestzennej ze względu n swoją geometię, pomimo tego oznczmy pzez S sklę długości uchu kopli. Wielkość o
wymize długości możn utwozyć z stłych chkteyzujących wi (L w ) oz kople () w nstępujący sposób: L w S = (5.1.30) Wpowdzon po wyżej skl długości jest odległością n któej kopl dostosowuje swój uch do otoczeni. T chkteystyczn odległość n któej nstępuje elkscj jest tym większ im większ jest cykulcj wiu i większy pomień kopli. Definiujemy zmienne bezwymiowe: ' = S t t ' = (5.1.31) T Dokonujemy kolejno zminy zmiennych w ównnich uchu (5.1.1) S S S && ' ' ϕ& ' = ' & T T T S S Γ ' & ϕ& ' + ' ϕ&& ' = ϕ& T T π's S T (5.1.3) Pomijjąc kolejno znk pim pzy wyżenich i podstwijąc z skle długości i czsu otzymujemy: && ϕ& = & 1 && ϕ + ϕ && = ϕ& (5.1.33) Równni uchu w zmiennych bezwymiowych nie zleżą od ozmiów kopli ni od cykulcji wiu. Ruch kopel w obszze wiu punktowego jest zwsze tki sm, nie zleży on od bezwymiowych wielkości chkteyzujących kople oz wi. W zmiennych bezwymiowch ozwiąznie symptotyczne dl dużych czsów pzyjmuje postć: = + 4 4 0 4t (5.1.34) Pzy nlizie uchu kopel o óżnych wielkościch powyższy zpis ównń jest dość niewygodny, poniewż wykonując w tych zmiennych obliczeni numeyczne óżnym koplom odpowidją óżne chwile czsu. Dltego by uniknąć tego poblemu możn wpowdzić skle czsu i długości jednkowe dl wszystkich kopel. 1 T =, 0 L w S = (5.1.35) 0 gdzie 9µ 0 = ρ R w 0, (5.1.36)
zś R 0 jest pomieniem kopli względem któego sklowny jest uch pozostłych kopel. Wówczs ówni uchu pzyjmują postć: && ϕ& = && ϕ + ϕ && = 0 0 & Γ ϕ& π W tym pzypdku ównni uchu zleżą od bezwymiowego czynnik / 0. W tkich zmiennych ozwiąznie symptotyczne wyż się wzoem: (5.1.37) 4 4 0 = 0 + 4 t (5.1.38) Po uwzględnieniu wzoów 5.1.5 i 5.1.36 oz pominięciu piewszego czynnik pod piewistkiem otzymujemy osttecznie: R 4 = 4t (5.1.39) R 0 Z powyższego wzou wynik, że kopl dw zy większ znjduje się dw zy dlej od osi wiu niż mniejsz. Kople cięższe podlegją większej sile odśodkowej co powoduje ich szybsze oddlnie się od osi wiu w poównniu z mniejszymi koplmi. Rysunek 5.1.1 Położenie kopli w uchu w pobliżu wiu punktowego w czsie t=10 [1/].
N ysunku 5.1. pzedstwion jest uch kopli wokół wiu punktowego. Cłkowity czs uchu wynosił 1.6 tunove time (dl =1) w czsie któego kopl wykonł 0.6 obotu. Odległość kopli w skli podwójnie logytmicznej ukzn jest n ysunku 5.1.. Dl czsów Rysunek 5.1. Odległość kopli od śodk wiu w funkcji czsu
Wykes 5.1.3 Pędkości kopli w czsie uchu pzez wi. Góny wykes pzedstwi pędkość dilną, śodkowy pędkość kątową i dolny pędkość cłkowitą. Cłkowity czs uchu jest ówny w pzybliżeniu czsowi jednego obotowi wiu wokół włsnej osi dl =1. większych od t=10 [1/] wykes stje się liniowy co ozncz, że odległość kopli jest potęgowy. Pędkość diln i kątow kopli osiąg mksimum po czym obie wtości zmniejszją się dążą symptotycznie do ze ( ys. 5.1.3). Wtość mksymlną szybciej osiąg pędkości kątow (dl t 1[1/]) co spowodowne zymutlnym pofilem pędkość powietz w pobliżu wiu punktowego. Wygodną do nlizy uchu kopel jest jednostk czsu okeśljąc czs obotu wiu wokół włsnej osi tzw. tunove time T ov. W pzypdku wiu punktowego nie jest on wielkością stł, poniewż zleży od odległości od osi wiu. T ov π = (5.1.40) v Podstwimy ze wzou 5.1. z pędkość wiu oz zmienimy zmienne n bezwymiowe co powdzi do wzou: (π's) T ov = (5.1.41) Γ Wykozystując kolejno definicje skli pzestzennej i pomijjąc znk pim pzy mmy: T ov π = (5.1.4)
Wyznczjąc tunove time w jednostkch czsu elksji τ =1/ otzymujemy wzó: T ov τ = π (5.1.43) Powyższy wzó ukzuje kwdtową zleżność czsu obotu wiu od odległości. Dl =1 tunove time jest pzeszło 6-kotnie dłuższy od czsu dptcji kopli, ozncz to elkscj uchu kopli do otoczeni odbyw się w czsie mniejszym niż jeden obót kopli wokół wiu. Podczs gdy kopl znjduje się jeszcze dlej od wiu tunove time jest dużo większy niż czs dptcji. Równni uchu w pzybliżeniu Stokes są popwne pod wunkiem, że liczb Reynolds jest dużo mniejsz od jedności. W celu oszcowni liczby Reynolds pzepowdźmy dyskusje w pzypdku gdy kopl początkowo spoczyw oz gdy w chwili początkowej jej pędkość kątow jest tk sm jk pędkość kątow wiu. Zuwżmy, że w piewszej sytucji njwiększ liczb Reynolds występuje gdy kopl spoczyw, poniewż po ozpoczęciu uchu względn pędkość kopli i powietz zmniejsz się. Obliczmy wtość liczby Reynolds w chwili początkowej. R 0v Re = ν (5.1.44) gdzie R0 -pomieniem kopli, v-pędkość powietz, ν -lepkość kinemtyczn powietz Obliczmy pędkość wiu, wyżjąc ją w jednostkch bezwymiowych. Wychodząc ze wzou 5.1. n pędkość wiu i dokonując zminy zmiennych n bezwymiowe mmy v = Γ π's (5.1.45) Wykozystują kolejno definicję skli pzestzennej S wzó 5.1.35 i pomijją znk pim pzy dostjemy:
Rysunek 5.1.4 Względn pędkość powietz i kopli. Linią ciągłą pzedstwiony jest pzypdek gdy kopl początkowo spoczyw, zś pzeywną gdy pędkość kątow kopli w chwili początkowej jest ówn pędkości kątowej powietz. Γ v = (5.1.46) Γ π π Podstwijąc ze wzou 5.3.5 z i po kilku pzeksztłcenich otzymujemy wzó n pędkość powietz: Γ v = (5.1.47) ΓR 0 ρ w π 9πνρ gdzie ρ i ρ w są odpowiednio gęstością powietz i wody Podstwijąc do wzou n liczbę Reynolds dostjemy końcowy wzó: Re 3 ρ Re w ρ = (5.1.48) π w Γ gdzie Re w = jest liczbą Reynolds wiu punktowego. ν
W eżimie stoksowskim spełniony musi być wunek Re<<1 co jest ównoznczne z zchodzeniem nieówności: Re w ρ >> (5.1.49) ρ w Mmy stąd wunek n początkową odległość kopel od wiu, pzy któej pzybliżenie Stokes jest uzsdnione. Zuwżmy, że stosunek ρ / ρ w wynosi około 0.001, dużo większe poblemy są oszcowniem liczby Reynolds wiu punktowego. Typowy pzedził zmienności tej wielkości jest oceniny n 100-1000 (Doudy, Coude, Bchet 1991). N podstwie tych dnych otzymujemy, że odległość początkow kopli od wiu musi być większ od =1 [ L w / ] by ównni uchu nlizowne powyżej były spełnione. Otzymny wunek w zeczywistości jest dużo słbszy wynik to z ysunku 3.1.4. Względn pędkość powietz i kopli szybko zmniejsz się z czsem ztem liczb Reynolds stje się coz mniejsz. W dugim pzypdku, gdy kopl początkowo m pędkość tką smą jk wi, mksymln względn pędkość jest mniejsz niż gdy kopl początkowo spoczyw (ys. 3.1.4 ). W związku z tym ogniczenie stosowlności ównń w tym pzypdku jest słbsze. Z pzedstwionej nlizy uchu kopli w wize punktowym wynik, że kople w początkowym momencie swego uchu oddlją się szybko od centum wiu. Z czsem ich pędkość diln szybko mleje i w gnicznym pzypdku odległość kopli od wiu będzie 1/ 4 popocjonln do t. Wi punktowy jest obiektem czysto teoetycznym i niespotyknym w tmosfeze. Jest to obiekt nietwły, poniewż npięci lepkie powodują ozmywnie się osobliwości wiowości N podstwie ównni Helmholz dl lepkiego i nieściśliwego płynu opisującego ewolucję pol wiowości, któe w chwili początkowej m postć wiu punktowego otzymujemy ozwiąznie w postci (wiu Lmb): Γ ζ(t) = exp 4πνt 4νt Wiowość m postć funkcji Guss o szeokości (5.1.50) σ = νt (5.1.51) Wiowość będzie z upływem czsu uległ ozmyciu. Wynik z tego, że pole pędkości będzie zmieniło się z czsem. W związku z tym uch kopli będzie inny niż jk było to pzedstwione powyżej. Jeśli jednk kopl znjduje się z dl od mksimum funkcji Guss wówczs czuł pole pędkości jk od wiu punktowego. Wynik to z postego chunku. ζ = v Skłdow z wiowości wyż się wzoem (5.1.5) ζ = 1 d dt (v ϕ ) (5.1.53) stąd v ϕ = 1 ' d' ζ
(5.1.54) Rysunek 5.1.5 Odległość kopli od wiu punktowego, któy uleg dyssypcji. v ϕ 1 = 0 Γ ' d' ' exp 4πνt 4νt (5.1.55) W wyniku scłkowniu otzymujemy nstępujący wzó: v ϕ Γ = 1 exp π 4νt (5.1.56) Dl dosttecznie dużego otzymujemy pofil pędkość jk w pzypdku wiu punktowego. 1/ Jk wynik ze wzou (5.1.9) szeokość wiu jest popocjonln do t podczs gdy kopl 1/ 4 oddl się od wiu wolnej tzn. t. Ozncz to, że po pewnym czsie wi dogoni koplę i pzedstwione powyżej wzoy opisujące uch kopli ulegną zminie. Czs po któym wi dogoni koplę zleży od wielu zmiennych tkich jk cykulcj wiu, ms i położenie początkowe kopli. Większ cykulcj powoduje szybsze oddlnie się kopli od centum wiu wobec tego powyższy czs ulegnie wydłużeniu. Podobnie kople większe będą dłużej pouszć się czując pofil wiu punktowego niż kople młe. Pondto kople zloklizowne dleko od wiu w momencie początkowym będą długo pouszły się w polu wiu punktowego. Ze wzou (5.1.56) wynik, że lepkość powietz modyfikuje pofil pędkości wiu w cłej pzestzeni. Spwi on, że znik osobliwość pędkości w punkcie =0. W cłym obszze
objętym pzez wi pędkość powietz stje się mniejsz od wtości początkowej ysunek 5.1.6. M to miejsce ównież w obszze mksimum pędkości, któe oddl się od punktu centlnego. Ze względu n to pędkość powietz będzie stwł się coz mniejsz ztem kopelk będzie wolniej oddlł się niż wynik to ze wzou 5.1.9 Wykes 5.1.6 Pofil pędkości wiu punktowego (lini ciągł) oz pędkość wiu gussowskiego otzymnego po ozmyciu się osobliwości wiowości (lini pzeywn).
5. Ruch kopli w wize o stłej wiowści. Rozptujemy uch w obszze wewnętznym wiu, gdzie wiowość jest stł i wynosi: ζ ( ) = ω = const (5..1) gdzie ω jest pędkością kątową powietz Wewnątz wiu powietze pousz się jk był sztywn, wiując ze stłą pędkością kątową ω. Pofil pędkości zymutlnej wiu m postć: v ϕ () = ωe ϕ (5..) Anlizę uchu kopli pzepowdzmy dl wiu pionowego. Równnie uchu kopli m postć we współzędnych biegunowych: m& = m(v ) & (5..3) Wewnątz wiu pofil pędkości ośnie liniowo wz z odległością od centum wiu. Młe kople pouszjące się w wize podlegją mniejszej sile odśodkowej niż duże kople, dltego ich uch będzie szybko dptowł się do otoczeni. Zuwżmy, że pędkość zymutln kopli będzie osł z oddlniem się jej od centum wiu. W związku z tym ich pędkość kątow zbliżć się będzie po dosttecznie długim czsie do pędkości kątowej wiu. Duże kople, ze względu n bezwłdność, nie będą się mogły pouszć z tk dużymi pędkościmi kątowymi. Oczekujemy, że po dosttecznie długim czsie uchu wewnątz wiu pędkość kątow kopel będzie mło zmienić się z czsem. Oznczmy gniczną pędkość kątową pzez ω k i ozptzmy pzypdek symptotyczny. Równni uchu w płszczyźnie poziomej mją postć: && ϕ& = & && ϕ + ϕ && = ( ω ϕ& ) (5..4) Kiedy pędkość kątow osiągnie wtość gniczną wówczs ównni upszczją się do postci: && ωk = & ωk = ( ω ωk) (5..5) Rozwiązujemy piewsze ównnie, któe jest ównniem óżniczkowym -go zedu o stłych współczynnikch. Dltego ozwiąznie jest postci: (t) = A exp( λt) (5..6) Po podstwieniu do ównnie 5..5 otzymujemy wunek n współczynniki λ k λ + λ ω = 0 (5..7)
± + 4ωk Otzymujemy: λ 1/ = (5..8) Z ozwiązni wynik, że jeden ze współczynników jest dodtni dugi zś ujemny. Ozncz to, że odległość kopli od wiu ośnie wykłdniczo z czsem. Po uwzględnieniu wunków początkowych ( t = 0) = 0 oz & ( t = 0) = 0 ozwiąznie piewszego z ównń 5.4.5 ównń m postć: λ λ1 (t) = 0 exp( λ1t) 0 exp( λ t) (5..9) λ λ λ λ 1 1 Piewszy czynnik w ównniu jest dominujący ze względu n współczynnik λ > 1 0, pzy spełnieniu elcji >> ωk co dl młych kopel jest bdzo dobze spełnione możemy dokonć ozwinięci wyżeni pod piewistkiem n λ. W skutek tego otzymujemy symptotyczne zchownie: ω k (t) exp t (5..10) Z powyższego wzou wynik, że pędkość oddlni się kopli będzie tym większ im większ jest pędkość kątow wiu co z tym idzie wiowość wiu. Pondto pędkość t ośnie w mię wzostu wielkości kopli. Pzechodzimy obecnie do ozwiązywni dugiego z ównń 5..5 le dopuszczmy zminy pędkości kątowej w tym pzypdku ównnie n pędkość kątową kopli m postć: dωk & ωk + = ( ω ω ) (5..11) dt k Podstwijąc ze wzou 5..10 z oz po zóżniczkowniu po czsie z & otzymujemy dωk λ 1ωk + = ( ω ω ) (5..1) dt k Rozwiąznie tego ównni óżniczkowego m postć: ω C ω k = exp[ t( + λ1) ] (5..13) + λ + λ 1 1 Po uwzględnieniu wunku początkowego ω k ( t = 0) = 0 oz wykozystując wzó n wtość współczynnik λ 1 otzymujemy ównnie uwikłne n pędkość kątową kopli: ω ωk = 1 exp t + 4ω + 4ω k k (5..14)
Wyżenie w wykłdniku znik z czsem dltego do nlizy symptotycznej pędkość kątową kopli w exponensie możemy zstąpić pędkością kątową wiu. W wyniku czego z ównni 5..14 łtwo jest wyznczyć ω. [ 1 exp( t + 4ω )] 1 k ω ω k = 1+ 16 (5..15) Rozwżmy pzypdek gniczny kopel bezmsowych ( ) wówczs wyżenie pod piewistkiem możn ozwinąć i po kilku pzeksztłcenich otzymujemy końcowy wynik: ω k = ω. Nie m w nim niczego zskkującego, kopelk pousz się tk jk powietze. Podobną nlizę możn pzepowdzić dl dużych kopel, w tym pzypdku pędkość kątow dąży do ze. Również dl pośednich wtości pomieni kopel istnieje wtość pędkości kątowej do któej dąży kopl. ω ω k = 1+ 16 1 (5..16) Rysunek 5..1 Pędkość kątow kopli w uchu w wize o stłej wiowości ównej. Kzyw 1 odpowid njlżejszym koplą ( ω / = 0. 5 ), kzyw koplą większym ( ω / = 1) zś linią 3 oznczone są kople njcięższe ( ω / = 0. 5 ). N ysunku 5..1 pzedstwione są zminy pędkości kątowej podczs uchu kopli w wize uzyskne ze wzou 5..15. Wynik z niego, że kople dążą do stłej pędkości kątowej mniejszej niż pędkości kątow wiu. Kople młe już po czsie ok. t=0.1[1/] osiągją /3 wtości końcowej pędkości kątowej dl dużych kopel tw to zdecydownie dłużej.
Rysunek 5.. Odległość kopli od osi wiu (góny wykes), pędkość kątow (wykes śodkowy) oz pędkość cłkowit (wykes dolny). Rozptzy obecnie ścisłe ównni uchu kopli w wize. Rozwiązujemy jej numeycznie w tym celu zminie zmiennych n bezwymiowe wpowdzjąc wielkości sklujące: T = 1/ podobnie jk w pzypdku wiu punktowego jest to czs elkscji. Jko skle pzestzenną wybno pomień wiu czyli S = 0. W zmiennych bezwymiowych ównni uchu mją postć: && ϕ& = & ω && ϕ + ϕ && = ϕ& (5.417) Równni uchu zleżą od jednego bezwymiowego czynnik ω /.Wyniki obliczeń numeycznych powyższego ukłdu ównń pzedstwione są n ysunku 5... Otzymne ezultty potwiedzją pzedstwioną powyżej nlizę symptotyczną uchu. Odległość kopli od wiu w skli logytmicznej jest dl t>1 [1/] liniow. Ozncz to, że po kótkim czsie dptcji kopl oddl się wykłdniczo z czsem od centum wiu. Pędkość kątow kopli dąży do stłej wtości po osiągnięciu mksimum związnego z początkowym pzyspieszniem kopli. Rozptujemy uch óżnych kople w wize o stłej wiowości. Kople óżnej wielkości będą podległy óżnym pzyspieszeniom dilnym. Kople młe, dl któych czs dptcji do uchu otoczeni jest niewielki będą początkowo njszybciej oddlć się od osi wiu. Tk sytucj tw do momentu kiedy duże kople uzyskją wystczjącą pędkość kątową, któ spowoduje większą niż dl młych kopli siłą odśodkową. Kiedy to nstąpi kople będą miły njwiększą pędkość dilną.
Rysunek 5..3 Pocentow liczb kopel znjdujących się w obszze wiu o pomieniu = 0.50. Jednostką czsu jest okesu obotu wiu wokół włsnej osi. Kzyw 1 odpowid koplom ośednich ozmich ( ω / = 1), kzyw koplom większym ( ω / = 10 ), zś kzyw 3 koplom mniejszym ( ω / = 0. 1). Z pzedstwionej powyżej nlizy uchu wynik, że kople oddlją się od wiu wykłdniczo z czsem pzy czym współczynnik w wykłdniku jest tym większy im większy jest pomień kopli. Liczb kopel w wize w funkcji czsu pzedstwion jest n ysunku 5..3. N początku symulcji z obszu wymitne są njmniejsze kople, później zś kople większe. Po czsie ównym jednemu obotowi wiu wewnątz jego pozostło jedynie 0% kopel śednich i 50% kopel njmniejszych i njwiększych. Pod koniec okesu symulcji w obębie wiu nie m już kopel śednich, jest około % kopel dużych i 10% kopel młych. N ysunku 5..4 pzedstwiony jest czs uchu kopli w wize w funkcji wielkości ω /, któ jest popocjonln do kwdtu pomieni kopli. Funkcj t posid minimum dl ω / ównego około 0.7. Kople tkie zostją njszybciej wyzucne z obszu wiu. Zówno kople większe od nich jk i mniejsze pouszją się w wize dłużej. Czs ten szybko ośnie w mię oddlni się ω / od minimum tej funkcji. Istnienie tkiego ozmiu pomieni kopel dl któych czs uchu w obszze wiu jest njmniejszy wydje się dość intuicyjne. Rozmi kopli odpowidjący temu minimum zleży od szeokości wiu oz jego pędkości kątowej. Wykłdnicze oddlnie się wykłdnicze kopel od osi wiu powoduje, że opuszczją one szybko obsz o dużej wiowości. Odległości pomiędzy poszczególnymi koplmi osną z czsem co powdzi do zmniejszni się koncentcji kopel wewnątz wiu. Wynik z tego, że w obszch chmuy w któych występuje duż wiowść gęstość kopel jest mniejsz niż w obszch sąsiednich.
Rysunek 5..4 Czs pzebywni kopli w wize w zleżności od stosunku ( ω / ). Jednostką czsu jest czs obotu wiu wokół włsnej osi.
5.3 Ruch kopli w pobliżu wiu punktowego ozciągnego w kieunku pionowym. Rozptzmy obsz pzestzeni, w któej znjduje się pionowy wi punktowy. Pzyjmijmy, że wi ten jest ozciągny w kieunku pionowym. Wunek ciągłości wymg by powietze npływło do śodk wiu podtzymując w ten sposób ozpływnie powietz w kieunku pionowym. Innymi słowy po zzutowniu uchu powietz n płszczyznę poziomą w centlnej części wiu mmy zlew o sile γ i jego pofil pędkości m postć. v 1 1 = γx, γy, γz (5.3.1) W ukłdzie cylindycznym: v γ = e + γze z (5.3.) Wobec tego ozkłd pędkości powietz dl ozciągnego wiu punktowego m postć: v γ Γ = e + eϕ + γze z (5.3.3) π Równnie uchu kopli w obszze o tkim ozkłdzie pędkości pzyjmuje postć: m & = m(v ) & mg (5.3.4) e z Równnie uchu ozwiązujemy w ukłdzie cylindycznym w któym po ozpisniu wektoów pzyspieszeni, pędkości oz położeni otzymujemy ukłd ównń óżniczkowych zwyczjnych -go zędu, γ && ϕ& = ( ) & Γ && ϕ + ϕ && = ( ϕ& ) π && z = ( γz z) & g Rozwiąznie tzeciego ównni możn otzymć w sposób nlityczny zczynjąc od ozptzeni ównni jednoodnego: (5.3.5) & z γz + z& = 0 (5.3.6) Równnie powyższe jest ównniem óżniczkowym -go zędu o stłych współczynnikch. W związku z tym ozwiąznie m postć: z(t)=αexp(λt) (5.3.7) Po podstwieniu do ównni otzymujemy ównnie kwdtowe n współczynniki λ, któego ozwiąznie powdzi do wzou
- ± + 4γ λ 1/ = (5.3.8) Rozwiąznie ównni jednoodnego jest więc postci: (t) = α exp( λ t) + α exp( t) (5.3.9) z 1 1 λ Uwzględnienie niejednoodności jest ntychmistowe, poniewż niejednoodność jest wielkością stłą. Otzymujemy po kilku pzeksztłcenich ostteczną postć wzou: γg (t) = α1 exp( λ1t) + α exp( λ t) + (5.3.10) z Uwzględnienie wunków początkowych powdzi do wzou: z 0 γg γg (t) = [ λ exp( λ1t) λ1 exp( λ t)] + (5.3.11) ( λ λ ) z 1 Jk wynik ze wzou 5.3.8 λ 1 >0 zś λ <0. Ztem kopelk będzie oddlć się od płszczyzny z=0 wykłdniczo z czsem do góy lub n dół w zleżności od początkowego położeni. Pędkość oddlni kopli zleży od jej wielkości. Wcjąc do piewszego i dugiego ównni uchu 5.3.5 ozwżmy siły dziłjące n kople w płskim uchu. W skutego wiowni powietz popzez lepkość kopl będzie uzyskiwł pędkość kątową. Z kolei uch po kzywej spowoduje zdziłnie n nią siły odśodkowej. Pondto powietze będzie spływło do punktu =0. Ztem pojwi się sił ównowżąc siłę odśodkową. Możemy oczekiwć sytucji stcjonnej, w któej kopelk będzie pouszć się po okęgu wokół wiu. Wówczs wielkości tkie jk: &ϕ &,, & & będą ówne zeo. Po tym uposzczeniu ównni 5.3.5 upszczją się do postci: γ ϕ& = Γ ( ϕ& ) = 0 π Otzymujemy stąd, że pędkość kątow kopli jest stł i wynosi: (5.3.1) ϕ& = γ (5.3.13) Z dugiego ównni 5.3.1 mmy, że = (5.3.14) π& ϕ Γ N podstwie osttnich dwóch ównń otzymujemy wzó n pomień obity kopelki: Γ = 4 (5.3.15) γ π
Pomień obity stcjonnej będzie tym większy im silniejszy będzie wi i większy jest pomień kopli. Kopelki niezleżnie od swego początkowego położeni będą zbliżły się do uchu n pomieniu stcjonnym. Sił odśodkow mleje z odległością od śodk wiu sił Stokes pochodząc od ozciągni ośnie ztem jeśli kopelk znjdzie się poz pomieniem stcjonnym dziłć n nią będą siły w kieunku osiągnięci obity stcjonnej. Ruch jej w kieunku dilnym pzypomin dgni o gsnącej z czsem mplitudzie. Dokłdny uch kopli uzyskno w wyniku obliczeń numeycznych. Obliczeni wykonno dl zmiennych bezwymiowych (wzó 5.1.31). W nowych zmiennych ówni uchu pzyjmują postć: 1 γ && ϕ& = & 1 && ϕ + ϕ && = ϕ& (5.3.16) γ Piewsze ównnie uchu zleży od bezwymiowej wielkości: L 1 =, (5.5.17) któ okeślon jest pzez wielkość kopli oz współczynnik ozciągnie wiu. Rysunek 5.3.1 Położenie kopli w uchu w wize w czsie t [1/] Tjektoi kopli widoczn jest n ysunku 5.3.1. Początkowo oddl się on od osi wiu, jednk po pzekoczeniu njwiększej odległości od wiu jej uch dilny stje się zncznie mniejszy dominuje uch wokół osi wiu. Z pzedstwionych ysunków (5.3. i 5.3.3) wynik, że po stosunkowo kótkim czsie kople wchodzą n obitę stcjonną. Czs po któym to nstępuje wynosi około jeden tunove-time wiu (dl =1).
Rysunek 5.3. Pędkość diln (góny wykes) i pędkość kątow (dolny ysunek) kopli Rysunek 5.3.3 Odległość kopli od osi wiu (wykes góny) i cłkowit pędkość kopli (wykes dolny) Pędkość diln kopli podleg oscylcjom o mplitudzie wykłdniczo gsnącej z czsem.
Kopelk uzyskuje początkowo dużą pędkość kątową, któ z czsem szybko znik, dążąc do wtości stłej wynikjącej ze wzou 5.3.13 Podobnie jk w pzypdku wiu punktowego dugie wzou 5.3.5 dje się łtwo scłkowć i po podstwieniu do piewszego ównni otzymujemy ównnie n skłdową dilną. L γ & &+ & = (5.3.18) 3 gdzie L opisywne jest wzoem 5.1.19 Roptujemy sytucje symptotyczną dl dużych czsów wówczs możemy pominąć piewszy czynnik z lewej stony. Powdzi to do ównni óżniczkowego piewszego zędu: L γ & = (5.3.19) 3 1 d L γ 4 dt 4 4 = (5.3.0) Zmienimy kolejno zmienne x= 4 dx dt L = 4 γx (5.3.1) Γ gdzie: L = [1 exp( t)] (5.3.) π Rozwiązujemy njpiew ównnie jednoodne dx dt = γx (5.3.3) co powdzi do ównni: x(t) = C exp( γt) (5.3.4) Równnie niejednoodne obliczmy pzy pomocy metody uzmiennini stłej C. Powdzi to do ównni óżniczowego n zmienną C(t). dc dt L = 4 exp(γt) [ 1 exp( t) + exp( t) ] (5.3.5) L w C(t) C0 = 4 dt[ exp(γt) exp(t(γ )) + exp(t( γ )) ] (5.3.6) L w exp(γt) exp(t(γ )) exp(t( γ )) C(t) C0 = 4 + (5.3.7) γ γ ( γ )
Wcjąc do stych zmiennych mmy: (t) = 4 4 0 w L exp( γt) + 4 1 exp( γt) + γ ( exp( γt) exp( t) ) γ exp( t) exp( γt) + ( γ ) (5.3.8) W pzypdku gnicznym możemy pominąć czynniki wykłdnicze i otzymujemy znny już wynik n obitę stcjonną: (t) L 4 w = (5.3.9) γ Zleżność odległości kopli od wiu m zbliżon postć do tej dl uchu kopli w wize punktowym. Wyżenie pod piewistkiem jest sumą członów wykłdniczych, któe zmniejszją się z czsem. Szybkość tych zmin jest tym większ im mniejsz jest kopl i większy spływ powietz do śodk wiu. Jk łtwo pzekonć się ze wzou 5.3.8, odległość kopelki podleg oscylcjom wokół położeni ównowgi.
5.4 Ruch kopli w pobliżu wiu punktowego ozciągnego w kieunku poziomym. Rozwżmy pzypdek uchu pojedynczej kopli w obszze wiu punktowego zoientownego nie pionowo lecz poziomo do siły gwitcji. Podobnie jk popzednio uch kopli ozptywć będziemy w ukłdzie cylindycznym, lecz tym zem oś symetii ustwion jest poziomo. Inteesujący z punktu widzeni nlizy gęstości kopel jest ich uch w płszczyźnie pionowej. W tym pzypdku symeti uchu jest zkłócon popzez siłę gwitcji. Wskutek tego kopelki nie będą obsdzły obity kołowej. Równni uchu kopli mją tym zem postć: m& = m(v ) &s mg sin ϕe mg cos ϕe ϕ (5.4.1) Modyfikcji uległ człon pochodzący od siły gwitcji, któy tym zem będzie wpływł n uch dilny i zymutlny kopli. Po ozpisniu n współzędne otzymujemy ukłd tzech ównń óżniczkowych: γ && ϕ& = & g sin ϕ Γ && ϕ + ϕ && = ϕ& g cos ϕ (5.4.) π && z = ( γz z) & W ozwżnym pzypdku nie możn bezpośednio scłkowć dugiego ównni pzez co piewsze i dugie ównnie nie sepuje się. W dlszej nlizie pzyjmujemy, że z& = 0. Dokonujemy zminy zmiennych dl piewszych dwóch ównń w nlogiczny sposób jk dl wiu punktowego co powdzi do ukłdu ównń: L1 && ϕ& = & L sin ϕ 1 && ϕ + ϕ && = ϕ& L cos ϕ (5.4.3) gdzie; L 1 γ =, zś (5.4.4) g π = (5.4.5) Γ L Równni uchu zleżą od dwóch bezwymiowych liczb ( L, 1 L ), któe zleżą od wielkości kopli, cykulcji wiu, pzyspieszeni gwitcyjnego oz pmetu ozciągni. Nowy pmet (L ) chkteyzujący uchu w nlizownym pzypdku m łtwą intepetcje fizyczną. Wykozystują wzó n skle długości w wize pionowym (wzó 5.1.35), oz wzó okeśljący pędkość gniczną do któej dąży kopl opdjąc w nieuchomym powietzu (teminl velocity wzó 5.1.11) otzymujemy:
v L = t V (5.4.6) gdzie: V jest chkteystyczną sklą pędkości w uchu kopli w wize pionowym, zś v t jest pędkością gniczną (teminl velocity). Ztem pmet ten jest stosunkiem pędkości gnicznej kopli do pędkości chkteyzującej uch kopli w wize pionowym. Rozptujemy siły dziłjące n kopelkę w tej płszczyźnie. Są to: sił gwitcji skieown pionowo w dół, dwie siły Stokes, jedn skieown dilnie do śodk wiu, dug zymutlnie zgodnie z kieunkiem uchu wiu. Rozptujemy cztey położeni kopel w kżdej ćwitce ukłdu współzędnych. Jedynie w ćwitce IV możliw jest ównowg sił dziłjących n koplę w płszczyźnie postopdłej do osi wiu. W pozostłych pzypdkch zównowżenie sił jest niemożliwe z pzyczyn czysto geometycznych. Rozwżny był pzypdek dodtniej cykulcji wiu punktowego. Stn ównowgi kopli może nie istnieć np. gdy sił gwitcji jest zbyt mł by zównowżyć siły eodynmiczne. Wówczs kopl pouszj się do góy i po dotciu do I części ukłdu współzędnych wypdkow sił spowoduje zkęcnie uchu w lewo. Podobnie w II części ukłdu nstąpi uch ku dołowi itd. Wnioskujemy stąd, że możliwy będzie uch po kzywych zmkniętych. Łtwo pzekonć się, że wystąpi on dl młych kopel oz pzy dosttecznie dużym stetchingu. Obliczmy położenie ównowgi kopli w płszczyźnie pionowej, w tym pzypdku wszystkie pochodne po czsie znikją. Dostjemy w ztem ukłd ównń lgebicznych. II F ϕ y F F F ϕ I F g F g x III F F ϕ F F ϕ IV F g F g Rysunek 5.4.1 Siły dziłjące n kople w spoczynku: stetchingu, F g -sił gwitcji, F -sił stokesowsk pochodząc od F ϕ -sił stokesowsk pochodząc od uchu wiowego powietz. L1 = L sin ϕ 1 = ϕ L cos (5.4.7)
Stąd otzymujemy położenie ównowgi L L 1 = 1 + 1 L 1 L L ϕ = c sin 1 + 1 L 1 (5.4.8) Położeni ównowgi istnieje jeśli spełniony jest wunek: L L 1 1 (5.4.9) γγ co powdzi do nieówności: 1 πg (5.4.10) Rysunek 5.4. Tjektoie kopli wokół wiu w zleżności od pmetu L 1 / L, ) L1 / L = 0. 8, b) L1 / L = 1. 004, c) L1 / L = 1, d) L1 / L = Wunek ten wyż zleżność pomiędzy pmetmi wiu i kopli dl któych mmy ównowgę sił. Wyżenie z lewej stony nieówności 5.4.10 jest odwotnie popocjonlne do R -4 Kople, dl któych spełnion jest t nieówność zdążjąc do osiągnięci punktu ównowgowego. Jest to punkt ównowgi twłej, poniewż cił z niej wytącone będzie poddwne sile spychjącej je do położeni wyjściowego. Pzy ustlonych pmetch wiu
istnieją kople o msie poniżej kytycznej, dl któych sił gwitcji będzie zbyt mł by zównowżyć pozostłe siły dziłjące n nią i w ezultcie kopelk będzie pouszł się wokół wiu. Gdy pomień kopelki będzie zbliżł się do wtości kytycznej wówczs jej położenie stcjonne będzie miło współzędne: (, ϕ) = γ L L 1 7, π 4 (5.4.11) Dl kopel dużych współzędn diln położeni ównowgowego stwć się będzie coz większ, jednocześnie odchylenie je od pionowej osi y stwć się będzie coz mniejsze. Wynik stąd, że kople o njwiększe będą skupiły się w pobliżu osi y, zś coz mniejsze z dl od niej osiągjąc mksymlne odchylenie od niej dl msy kytycznej. Toy kopel w zleżności od czynnik L1 / L pzedstwione są n ysunku 5.4.. Dl dużych kopel ich tjektoi zmiez do punktu ównowgi ( L1 / L < 1), zś dl młych mmy cykl gniczny ( L1 / L > 1).
6 Ewolucj czsow pol gęstości kopel chmuowych w wize punktowym. 6.1 Gęstość kopel w obecności pionowego wiu punktowego. Rozptzmy ewolucję jednoodnego pol kopel w obecności pojedynczego pionowego wiu punktowego. Inteesowć ns będzie modyfikcj początkowego ozkłdu kopelek. N początek ozwżmy pzypdek kopel o jednkowych msch. Stosujemy do opisu uchu identyczne wzoy jk w pzypdku uchu jednej kopli. Opisujemy uch w płszczyźnie poziomej, postopdłej do osi wiu. Rozwżni ozpocznijmy od pzypdku symptotycznego (t>>1) i obliczmy jk zmieni się odległość pomiędzy dwiem dowolnymi koplmi znjdującymi się w chwili początkowej w odległości 01 oz 0 od centum wiu Kozystją ze wzou 5.1.9 mmy. 4 4 4L w 4 4 4L w 1 = 01 + t 0 t = + (6.1.1) Rozwijmy wyżeni pod piewistkiem i tk dl piewszego skłdnik mmy 4L 4 w t 4 1 = 1 + 4 01 w 4L t (6.1.) Poniewż dl dużych czsów zchodzi elcj: 4 01 << 1 (6.1.3) 4L t w ztem możemy dokonć ozwinięci wg wzou 4 1 + x = 1 + 1 4 x Dl x<<1 (6.1.4) 4 4L t = 4 w + 01 1 16L w t 1 (6.1.5) Postępując nlogicznie dl otzymujemy: = 4 4L w t 16L w ( t 4 01 4 0 ) (6.1.6) stąd t 3 / 4 (6.1.7)
Ze wzou 6.1.7 wynik, że odległość pomiędzy koplmi będzie z czsem dążyć do ze. Zmniejsznie się odległości pomiędzy koplmi nie musi oznczć, że gęstość kopel będzie osł, poniewż kople oddljąc się od centum zjmują coz większą powiezchnię. Element powiezchni w ukłdzie biegunowym m postć: ds=dφd (6.1.8) zś dl symetii obotowej mmy: S=πd (6.1.9) W związku z tym zmin powiezchni zjmownej pzez kople wynosi: S πt 3 / 4 (6.1.10) Uwzględnijąc, że kopl oddl się wg zleżności 1/ 4 = t otzymujemy: S t 1/ (6.1.11) Powdzi do zleżność wg któej zmieni się gęstość kopli ρ t (6.1.1) Ztem gęstość kopel będzie osł wolno z czsem. Jest to wynik uzyskny dl dużych czsów, dl początkowych chwil czsu zgęszcznie kopel może nie mieć miejsc. W celu pzenlizowni tej sytucji niezbędne są obliczeni numeyczne. Do symulcji uchu kopel pzyjęto jednoodny ozkłd kopel o jednkowych Rysunek 6.1.1 Początkowy ozkłd kopel użyty do symulcji numeycznej
msch. Kople w początkowym momencie spoczywły. Położeni początkowe pokzno n ysunku 6.1.1. Wynik obliczeń pzedstwiony jest n ysunku 6.1. wynik z niego, że kople zostły wyzucone z njbliższego otoczeni wiu. Rysunek 6.1. Rozkłd kopelek po czsie jednego tunove time (w odległości =1.5) Kople, któe znjdowły się z dl od centum wiu pzemieściły się niezncznie. W skutek tego kople skupiły się w pieścieniu tk, że ich njwiększ gęstość występuje od stony wewnętznej pieścieni. Dokłdny ozkłd gęstości kopel w zleżności od odległości od śodk wiu pzedstwiony jest n ysunku 6.1.3. Njwiększe zgęszczenie obsewujemy n bzegu oddljącego się pieścieni kopel. Nstępnie gęstość szybko mleje z odległością od wiu. Jk wynik z ysunku 6.1.3 gęstość kopel n końcu symulcji w obszze mksimum jest 10-kotnie większ niż wtość początkow. Również śedni gęstość kopel w obszze pzez nie zjmownym stle wzst (ysunek 6.1.4). Początkowo wzost ten jest powolny, po czym stje się linowy. Z pzedstwionych wyników wynik, że kople w obszze wiu punktowego będą miły tendencje do twozeni stuktu o symetii obotowej w obębie któych mmy loklny wzost koncentcji kopli. N koniec obliczeń numeycznych wto pzedstwić wyniki dl kopel o óżnych pomienich. Widmo kopel użyte do obliczeń m postć funkcji Guss centownej n pomieniu kopli R=10µm (ys. 6.1.5). Położeni kopel zostły wygeneowne losowo, tk by gęstość ich był stł w ozwżnym obszze. W pzypdku kopel o óżnych ozmich ozkłd gęstość kopel jest skomplikowny. Mmy tu nłożenie się poszczególnych ozkłdów gęstości n siebie. Powdzi to do dużego zóżnicowni koncentcji kopelek w zleżności od szeokości widm początkowego kopel.
Rysunek 6.1.3 Rozkłd gęstości powiezchniowej kopel w zleżności od odległości od osi wiu dl jednkowych kopel Rysunek 6.1.4 Śedni gęstość kopel w obszze pzez nie zjmownym.
Wyniki obliczeń dl widm kopel pzedstwione są n ysunku 6.1.6. Wynik z niego, że koncentcj kopel jest w tym pzypdku mniejsz niż w sytucji, gdy ozwżmy uch jednkowych kopel. Gęstość kopel w obszze mksimum jest pzeszło dw zy większ od wtości początkowej. Tym zem obliczeni były wykonne dl okesu czsu 5- kotnie dłuższego niż w popzednio. Z pzedstwionych dnych wynik, że w pzypdku kopel o zóżnicownych ozmich koncentcj kopel jest dużo mniejsz niż w pzypdku uchu jednkowych kopel. Poszezenie widm powdzi do mniejszego wzostu gęstości. Pondto, w wąskich widmch kople będą koncentowć się w cienkim pieścieniu, gdzie gęstość będzie kilkukotnie większ niż w otoczeniu. W celu pzenlizowni ozkłdu pzestzennego gęstości kopelek zbdjmy uch ośodk ciągłego w pobliżu pionowego wiu punktowego. Rozwiązujemy ównnie ciągłości w płszczyźnie postopdłej do osi wiu, pzez gęstość będziemy ozumieli liczbę kopelek n jednostkę powiezchni. Równnie ciągłości m postć: ρ + div( ρv) = 0 t (6.1.13) Ze względu n symetię obotową gęstość powiezchniow ośodk nie będzie zleżeć od zmiennej zymutlnej i ównnie ciągłości w ukłdzie biegunowym m postć ρ 1 + (ρv ) = 0 t t (6.1.14) gdzie v -jest pędkością dilną kopli. Dlszą nlizę pzepowdzimy dl dosttecznie dużych czsów, gdy dje się stosowć pzybliżenie symptotyczne. Współzędn diln położeni kopel w zmiennych zedukownych m postć: = ( + (6.1.15) 4 4 0, t) = 0 + 8[exp( t) 1] [exp( t) 1] 4t Pędkość dilną uzyskujemy po zóżniczkowniu powyższego wyżeni po czsie co powdzi do wzou: v = exp( t) + exp( t) + 1 (6.116) + 8[exp( t) 1] [exp( t) 1] + 4t 4 4 0 Pędkość jest więc funkcją położeni początkowego i czsu (opis Lgnge ). Możemy łtwo pzejść do opisu polowego i wówczs pędkość wyż się wzoem: v exp( t) + exp( t) + 1 = (6.1.17) 3 pzy czym [(, t), (, t)]. (6.1.18) 0 min 0 mx
[ µ m] Rysunek 6.1.5 Losowo wygeneowne widmo początkowe kopel Rysunek 6.1.6. Ewolucj koncentcji kopel n jednostkę powiezchni w pzypdku widm kopel.
Wunek ten uwzględni fkt, że ośodek ciągły nie wypełni w chwili początkowej cłej pzestzeni oz nie wypływ z punktu =0. Łtwo zuwżyć, że ozwiązniem ównni ciągłości z wunkiem początkowych postci ρ (, t = 0) = ρ 0 = const. jest funkcj: ρ (, t) = ρ0 (6.1.19) 4 8[exp( t) 1] + [exp( t)] 4t Rysunek 6.1.7 Ewolucj czsow gęstości powiezchniowej kopel uzyskn n podstwie pzybliżonego wzou 6.1.19. Cłkowity czs uchu kopel wynosił t=10[1/] co w pzybliżeniu odpowid 1.6 tunove-time dl (=1) Dl dużych czsów czynniki wykłdnicze możn pominąć i wzó upszcz się do postci: 4t ρ (, t) = ρ0 = ρ0 1+ (6.1.0) 4 4 4t 4t 4 0 + 4t + 6 lub ρ (0, t) = ρ0 (6.1.1) 0 Otzymliśmy nlogiczny wzó co pzy bdniu odległości pomiędzy koplmi, wynik z niego że: ρ t. Ze wzou 6.1.0 wynik, że gęstość mleje szybko wz z odległością od osi wiu dążąc do wtości początkowej ρ 0. Wzó 6.1.0 m osobliwość dl = 4 4t.
Ozncz to, że = 0 0 czyli w chwili początkowej ośodek ciągły musił znjdowć się też w punkcie =0. Jest to zozumiłe, poniewż w tym punkcie pędkość wiu m osobliwość. Gdy jednk w chwili początkowej ośodek zczyn się w pewnej odległości od osi wiu wówczs poblem ten znik. Gęstość osiąg mksimum w punkcie, gdzie po czsie t dotł ośodek, któy w chwili sttu był njbliżej osi wiu ( ). Wtość tego mksimum jest tym większ omin im bliżej centum wiu znjdowł się początkowo ozwżny ośodek oz im dłużej twł uch kopel. N ysunku 6.1.7 pzedstwiony jest ozkłd gęstości kople po czsie t=10 [1/] co w pzybliżeniu odpowid T ov = 1. 5 (dl =1). Wynik z niego, że n gnicy ośodk mmy silne wąskie mksimum, któe widoczne było n ysunku 6.1.3. Pzesuw się ono początkowo szybko nstępnie wolniej w stonę większych odległości od wiu. Pzy tym gęstość kopel ośnie, tk że n końcu tego okesu czsu pzekcz 6-kotnie wtość początkową.
6. Gęstość kopel wokół wiu punktowego ozciągnego w kieunku pionowym. Pzejdźmy do opisu pzypdku z uwzględnieniem stetchingu. Inteesowć ns będzie zmin koncentcji kopelek w czsie ich uchu wokół pionowego wiu punktowego. Jeśli kople będą miły te sme ozmiy wówczs n podstwie pzepowdzonej wcześniej nlizy w ozdzile 5.3 wiemy, że będą one pouszły się wokół n pomieniu stcjonnym. W związku z tym kopelki będą zgęszczły się n pieścieniu o coz mniejszej szeokości. Symulcję uchu kopel wykonno dl jednoodnego ozkłdu początkowego kopelek w ukłdzie biegunowych (ys. 6.1.1). Gęstość ich będzie szybko osł co widć n wykesch śedniej gęstości kopel (ys.6..1). Wynik z nich, że w chwili t= [1/] gęstość kopel pzekcz kilkkotnie wtość początkową. Później np. w t=6 [1/] gęstość pzekcz 300- kotnie wtość wyjściową. Stwiedzmy pondto, że gęstość podleg oscylcjom wywołnym uchem kopelek wokół ich położeni ównowgi. Rysunek 6..1 Ewolucj gęstości powiezchniowej jednkowych kopel o jednoodnym ozkłdzie początkowym. Wykes pzedstwi unomowną (do chwili początkowej) gęstość kopel w zleżności od odległości od wiu w óżnych momentch czsu. Cłkowity czs symulcji wynosił t=10 [1/], co odpowid 1.5 tunove time (dl =1) Pzestzenny ozkłd gęstości w zleżności od odległości od osi wiu pokzny jest n ysunku 6..1. Wynik z niego, że gęstość szybko się zmieni obsz mksymlnego zgęszczeni kopel pzesuw się to w jedną, to w dugą stonę. Po czsie jednego obotu wiu gęstość kople jest kilkdziesiąt zy większ od wtości początkowej. W dlszych chwilch czsu gęstość ośnie jeszcze szybciej co uwunkowne jest wchodzeniem kopelek n obitę stcjonną. Obliczeni numeyczne wykonno ównież dl kopel o óżnych ozmich pzyjmując gussowskie widmo (ys. 6.1.5) centowne n koplch o pomieniu =10 µm.
Tym zem kople będą miły óżne obity stcjonne ztem będą ozmyte n pewnym obszze pzestzennym. Wyniki obliczeń dl gussowskiego widm kopel pzedstwione są n ysunkch 6.. i 6..3. Zuwżmy, że tym zem gęstość osiąg pod koniec symulcji mniejszą wtość niż w pzypdku popzednim. Kople znjdują się w obszze pieścieni, któego ozmiy z czsem stją się pktycznie stłe. N początku uchu wzost gęstości jest podobny jk w pzypdku gdy mmy tylko kople o tym smym ozmize. Z centlnej części wiu kople są wyzucne, zś z zewnętznych kńców zpdją się do śodk wiu. Rysunek 6.. Ewolucj gęstości widm kopel (ysunek 6.1.5) o jednoodnym ozkłdzie początkowym. Wykes pzedstwi unomowną (do chwili początkowej) gęstość kopel w zleżności od odległości od wiu w óżnych momentch czsu. Cłkowity czs symulcji wynosił t=10 [1/], co odpowid 1.5 tunove time (dl =1) N podstwie pzedstwionych wyników stwiedzmy, że uch kopel w obszze pionowego wiu ze stetchingiem powdzi do intensywnego wzostu powiezchniowej koncentcji kopel. Istnienie pomieni stcjonnego spwi, że kople są ozsotowne wg ozmiów. Poces ten odbyw się szybko, bo po zledwie kilku obotch wiu mmy stn, któy mło zmieni się w czsie. Sotownie kopelek widoczne jest dobze n ysunku 6..4, gdzie kople njwiększe (kolo niebieski i fioletowy) znjdują się n zewnętznej stonie pieścieni. Młe kople (kolo żółty i zielony) znjdują się od stony wewnętznej wiu. Rozciągnie wiu punktowego powdzi ztem do ozdziłu kopel pod względem ich wielkości. W płszczyźnie postopdłej do wiu zwiększ się koncentcj kopelek. Kopelki pouszją się ównież wzdłuż osi wiu co okeśl wzó 5.3.11. Oddlją się one od płszczyzny z=0 wykłdniczo z czsem. Wynik stąd, że odległość pomiędzy kopelkmi nwet o tych smych ozmich będzie osł z czsem, pzy czym początkowo wzost ten będzie dość powolny. Wnioskujemy z tego, że n początku uchu kopel opócz wzostu gęstości w płszczyźnie postopdłej do wiu, nstąpi wzost koncentcji pzestzennej kopel.
Rysunek 6..3 Rozkłd kopel n płszczyźnie w óżnych chwilch czsu dl kopel o ozkłdzie gussowskim
Rysunek 6..4 Końcowe położenie kopelek w płszczyźnie postopdłej do wiu po czsie odpowidjącym 1.5 obotom wiu w odległości =1. Koloem żółtym i zielonym pzedstwione są njmniejsze kople, czewonym kople śednie, zś niebieskim i fioletowym kople njwiększe.
6.3 Gęstość kopel wokół wiu punktowego ozciągnego w kieunku poziomym. Pzedstwimy tutj symulcje kopel o jednkowych pomienich i jednoodnym ozkłdzie w płszczyźnie pionowej. Symulcje pzepowdzono dl 1000 kopli spoczywjących w chwili sttu. Wyniki pzedstwiono w postci położeni kopel w ukłdzie biegunowym w kolejnych chwilch czsu (ysunek 6.3.1). Początkowo symeti osiow jest zchown, zuwżmy jedynie że kople uległy zgęszczeniu do śodk wiu z niewielkim pzemieszczeniem w dół. W kolejnych momentch utzymuje się tendencj kopel do uchu w kieunku do śodk wiu pzy jednoczesnym opdniu. Kopelki z centlnego obszu zostją wyzucone. Nstępnie symeti obszu zjmownego pzez kople zostje zbuzon i pieścień zjmowny pzez kople zostje pzewny. Jednocześnie obsz uleg szybkiemu zmniejszniu. Pod koniec uchu kople pzestją opdć i twozą chkteystyczne stuktuy. Pzedstwiony powyżej opis uchu kopel obowiązuje dl ms kopel większych od wtości kytycznej. Dl mniejszych kopel lub dl silniejszego ozciągni wiu, jk to było wcześniej wspomnine, kopelki nie będą posidły położeni ównowgi. W związku z tym będą one skupiły się n powiezchnich zmkniętych zloklizownych wokół centum wiu. N podstwie pzedstwionych dnych dochodzimy do wniosku, że gęstość kopel ośnie loklnie w pewnych miejscch zś w innych istotnie się zmniejsz. Wynik stąd, że sedymentcj istotnie modyfikuje ozkłd pzestzenny kopel w obszch znjdujących się w pobliży wiów powietz. Pzenlizujmy tez pzypdek uchu kopel o óżnych ozmich pzyjmując do obliczeń numeycznych ozkłd gussowski kopelek pzedstwiony n ysunku 6.1.5. W tym pzypdku część kopel posid położenie ównowgi stłej, zś pouszją się po obicie stnowiącej cykl gniczny. Wyniki obliczeń pzedstwione są n ysunku 6.3.1 Tym zem symulowno kople o ozkłdzie losowym, pzy czy ozkłd ten był jednoodny. Podobnie jk w pzypdku kopel o jednkowych ozmich początkowo obsz zjmowny pzez nie uleg zpdniu do śodk wiu pzy jednoczesnym wyzucniu kopel z obszu bliskiego osi wiu. Kopelki systemtycznie opdją i po czsie t=3, obsz zjmowny pzez nie stci symetię. Widzimy pzy tym, że kople njwiększe są wyzucne poz zewnętzny bzeg obszu zjmownego pzez nie. W dlszym ciągu symulcji zuwżmy, że zdecydown większość kopel znjduje się w IV-tej ćwitce ukłdu współzędnych, wynik to z fktu, że w tym obszze kople mją njmniejszą pędkość ztem ich czs pzebywni w tym obszze jest njdłuższy. Łtwo zuwżyć, że kopelki segegują się wg ozmiów, tzn. kople njcięższe (kolo niebieski i fioletowy) dl któych istnieje położenie ównowgi, opdją njniżej zbliżjąc się do pionowej osi symetii wiu. Ich pędkość względem siebie dąży do ze, le względem powietz jest njwiększ spośód wszystkich kopel. Mniejsze kople znjdują się pond koplmi dużymi i są ozmyte n nieco większym obszze. Njmniejsze kople są skupione n pieścieniu wokół wiu i wykonują cykl gniczny. Rysunek 6.3.3 pzedstwi końcowe położenie kopel, obz ten nie uleg już dlszym zminom. Kople njwiększe, dl któych występuje położenie ównowgi ułożone są n jednej linii, pzecinjącej się z osią pionow ukłdu. Powyższe wykesy pokzują dobitnie, że w wize w któym opócz stetchingu występuje sedymentcj kopel dochodzi do sepcji kopel według ich ozmiów. Sytucj wygląd w ten sposób, że kople, któe początkowo zjmują obsz tójwymiowy po kótkim czsie, zędu kilku obotów wiu, znjdują się n postej (jednowymiowej) ównoległej do osi wiu. Koplą o óżnych ozmich odpowidją óżne poste. Jk wynik z obliczeń, uch w kieunku osi wiu odbyw się z pzyspieszeniem zleżnym od wielkości kopelki. Ztem może okzć się, że pomimo dużego wzostu gęstości
Rysunek 6.3.1 Rozkłd jednkowych kopelek w płszczyźnie pionowej w óżnych momentch czsu
Rysunek 6.3. Położenie w płszczyźnie pionowej kopel o gussowskim ozkłdzie widmowym w óżnych chwilch czsu. Koloem żółtym i zielonym zznczono kople mniejsze, czewonym śednie, zś niebieskim i fioletowym kople njwiększe.