Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wdział Budownictwa i Inżnierii Środowiska Analiza wpłwu roślinności na warunki przepłwu wod w międzwalu. Określenie krteriów ustalania miejsc przeprowadzania wcinek i usuwania nadmiaru roślinności. Autorz: Prof. dr hab. inż. Janusz Kubrak Dr inż. Adam P. Kozioł Dr inż. Elżbieta Kubrak Dr inż. Michał Wasilewicz Dr inż. Adam Kiczko Warszawa, 2012
Spis treści 1. Analiza oddziałwania roślinności na przepustowość korta. Krteria podziału roślin ze względu na warunki przepłwu w korcie z terenami zalewowmi... 3 2. Jednowmiarowe modele prowadzenia obliczeń przepustowości korta uwzględniające wpłw tpu roślin na przepustowość korta 13 3. Przepustowość złożonego przekroju korta z uwzględnieniem wdzielonch tpów roślinności - program obliczeń w arkuszu kalkulacjnm... 32 4. Krteria usuwania roślinności z terenów zalewowch... 37 5. Teren zalewowe korta z rozwiniętmi tpami roślin wpłwającmi na warunki przepłwu wod i wmagającmi jej usunięcia.. 47 6. Zalecenia prac utrzmaniowch w międzwalu rzek ograniczające nadmiern rozwój roślinności wpłwającej na podwższenie fali wezbraniowej.. 57 Spis literatur. 60 2
1. Analiza oddziałwania roślinności na przepustowość korta. Krteria podziału roślin ze względu na warunki przepłwu w korcie z terenami zalewowmi Rzeki nizinne mają zwkle przekroje poprzeczne złożone z korta głównego i przległego do niego jednego lub dwu terenów zalewowch, które charakterzują się następującmi cechami (Żelazo, 1992, Żbikowski, Żelazo, 1992, Żelazo, Popek, 2002): zmiennością kształtu przekroju poprzecznego, tzn. korta głównego i terenów zalewowch, zmiennością chropowatości powierzchni dna i ścian korta, brakiem umocnień brzegów, meandrującą linią korta (prostoliniowe odcinki korta naturalnego w naturze wstępują bardzo rzadko), wstępowaniem na zalewach i w strefie przbrzeżnej (pomiędz kortem głównm a zalewem) roślinności sztwnej, przez którą przepłwa woda oraz elastcznej, nad którą przepłwa woda. Warunki przepłwu wod w korcie kształtują się pod wpłwem wszstkich wmienionch elementów. Ich wpłw bezpośrednio na warunki przepłwu określa się mianem oporów przepłwu. Dlatego analiza przepustowości kort naturalnch winna uwzględniać opor wszstkich wmienionch wcześniej składników. Schematczne zestawienie oporów przepłwu w korcie rzek pokazano na rs. 1.1. Całkowite opor przepłwu w naturalnm korcie Brzegi i teren zalewowe Interakcja Korto główne Interakcja Układ poziom korta Mikrostruktur Mezostruktur Makrostruktur Makrostruktur Chropowatość powierzchni dna i skarp Opłw roślin Łuki i meandrowania Wsp i odspiska Mikrostruktur Mezostruktur Mezostruktur Średnica ziaren płaskiego dna Opłw struktur dennch (wdm, stożki odspowe) Opłw wboju, skarp, wnęk Rs. 1.1. Schematczne powiązanie oporów przepłwu w naturalnm korcie (Lehmann i in. 2005) 3
Opor przepłwu opisuje się współcznnikami, które wstępują w zależnościach do obliczania prędkości przepłwu wod. Dzieli się je na wmiarowe i bezwmiarowe. Znajomość tch ostatnich stwarza możliwość oszacowania całkowitch oporów przepłwu na podstawie znajomości oporów składowch. Opor wwołane chropowatością dna i skarp korta. Opor te są obliczane na podstawie chropowatości zastępczej piaskowej powierzchni korta k s i powiązanego z formą przepłwu wod współcznnika oporów λ. Chropowatość definiowana jest jako własność powierzchni korta. W hdraulice do charakterzowania chropowatości powierzchni dna i skarp korta wkorzstuje się: absolutną chropowatość k wrażaną w [m]; jest miarą odchlenia nierówności powierzchni od linii uśrednionej poziomej, zastępczą chropowatość piaskową k s ; techniczna i naturalna chropowatość zostaje wrażona jako zastępcza chropowatość piaskowa w turbulentnm, szorstkim przepłwie. Opor przepłwu dna i skarp w korcie opisuje się bezwmiarowm współcznnikiem oporów λ, wznaczanm z zależności Colebrooka-White a: 1 2,51 k / 4 = 2lg + s R (1.1) λ Re λ 3. 71 gdzie: Re liczba Renoldsa obliczana ze związku v4r Re = [-], ν ν kinematczn współcznnik lepkości wod [m 2 /s], R promień hdrauliczn przekroju strumienia [m], k s zastępcza piaskowa chropowatość powierzchni przewodu [m]. Współczesne badania wkazują, że opor dna i ścian korta mogą bć wznaczane z zależności: 8 R = 2.5ln + Br k λ s (1.2) gdzie Br współcznnik charakterzując opor przepłwu w korcie, którego wartość uzależnia się od form przepłwu (rs. 1.2). Zastępczą chropowatość piaskową określa się na podstawie charakterstcznch średnic ziaren i wsokości form dennch. 4
20 16 Br=6.25 (8/ λ) 0.5 12 8 obszar przejściow 4 Br=3.25 0 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 100 h/k s Rs. 1.2. Wartości współcznników oporów przepłwu w korcie uzależnione od form przepłwu Przkładowe zależności do wznaczania zastępczej chropowatości piaskowej zestawiono w tabeli 1.1. Tabela 1.1. Zależności do wznaczania zastępczej chropowatości piaskowej (Kubrak E., 2007) Autor (rok) Wrażenie dla k s [mm] Zanke (1982): - płaskie dno, jednolite uziarnienie - płaskie dno, zróżnicowane uziarnienie, brak spójności - wdm - stożki uspowe k s = d ch k s = 2.5d 50 lub k s = d 90 k s h wdm k s h stożka Garbrecht (1961) k s = d 90 Engelund i Hansen (1966) k s = 2d 65 He (1979) k s = 3.5d 84 Kamphuis (1974) k s = 2d 50 Mertens (1997) k s = 2.5d 50 Dittrich (1998) k s = 3.5d 84 d 50, d 65, d 84, d 90 średnice charakterstczne / miarodajne do określania zastępczej chropowatości piaskowej. 5
Średnią prędkość przepłwu wod w przekroju korta oblicza się z empircznie potwierdzonej zależności Darc-Weisbacha: 8gRJ v = λ gdzie: g przśpieszenie ziemskie [m/s 2 ], J spadek hdrauliczn [-]. (1.3) Określenie oporów przepłwu w naturalnch kortach w praktce utrudnia zróżnicowanie kształtu i struktur korta. W obliczeniach hdraulicznch uwzględniać się winno ukształtowania brzegów i dna, układu korta w planie, wstępowania w przekroju wsp i odspisk oraz struktur roślinnch. Opor niektórch z tch elementów nie doczekał się praktcznego opisu, np. oporów powstałch wskutek meandrowania, cz opłwu wsp. Prz opisie oporów związanch z opóźnieniem / przśpieszeniem przepłwu wwołanego interakcją strumieni wprowadza się umowne powierzchnie rozdziału złożonego przekroju. Prędkość wod w korcie na pozbawionej nierówności powierzchni dna wskutek sił adhezji jest równa zeru, lecz szbko rośnie w obszarze o niewielkiej grubości δ. Obszar ten nazwan został przez Prandtla warstwą przścienną (rs. 1.3). z z κ* ks śr strefa rozwiniętego turbulentnego przepłwu κ* k s v * v=0 dv(z) / dz ~0 k s strefa turbulentna przścienna strefa buforowa podwarstwa laminarna < τ T (z) = τ T (z) δ T δ L δ warstwa przścienna v warstwa przścienna a b Rs. 1.3. Zmian prędkości wod wraz z głębokością przepłwu nad gładkim dnem w korcie: a - logartmiczn rozkład prędkości na głębokości w korcie, b - schemat zmian prędkości w warstwie przściennej - bez zachowania skali (Kubrak E., 2007) Prędkość ciecz tuż prz dnie jest bardzo mała i wstępuje tam podwarstwa laminarna. W turbulentnej warstwie przściennej na skutek intenswnch zmian prędkości w kierunku poprzecznm do głównego kierunku ruchu wstępuje przeważająca część oporów ruchu. 6
Rozkład prędkości nad dnem opiswan jest równaniem wprowadzonm przez Prandtla, zwanm prawem logartmicznego rozkładu prędkości na głębokości: v z v( z) = ln (1.4) gdzie: * κ k s κ - stała Karmana, v * - prędkość dnamiczna (ścinająca) definiowana jaka pierwiastek kwadratow ze stosunku naprężeń stcznch prz dnie τ 0 do gęstości wod ρ : τ0 v * = (1.5) ρ Krteria podziału roślin ze względu na warunki przepłwu. Roślinność porastająca zwkle skarp korta i powierzchnię terenu zalewowego oddziałuje na warunki przepłwu wod, zwiększając opor przepłwu powstałe w następstwie opłwu roślin. Rosną strat energii strumienia oraz następuje zmiana kierunku i rozkładu prędkości płnącej wod (Kubrak E., 2007). Wzrost strat energii strumienia wod powoduje wraźne zmniejszenie prędkości przepłwu i zdolności transportowej strumienia, co z kolei intensfikuje proces sedmentacji rumowiska unoszonego i wleczonego. Prz opłwie roślin w korcie większe znaczenie mają opor opłwu brł roślin niż chropowatości ich powierzchni. Ponadto w naturalnm przekroju poprzecznm korta nie wstępują jednolite rozkład prędkości, dlatego powstają dodatkowe naprężenia ścinające i opor przepłwu. Dokładność metod obliczeń przepłwu w kortach naturalnch zależ przede wszstkim od tego jak preczjnie opisane zostaną wszstkie składniki oporów przepłwu pokazane na rsunku 1.1. Na opor przepłwu wod wpłwa rodzaj roślin, sposób ich ułożenia w przekroju, rozmieszczenie na powierzchni dna, sztwność, wsokość i gęstość roślin, średnica łodg, a także spadek i nierówności powierzchni dna oraz głębokość przepłwu wod. Istotne są także warunki opłwu roślin, tzn., cz opłwana roślinność jest całkowicie zatopiona, cz częściowo i jaki jest stan rozwoju opłwanej roślinności. Bretschneider i Schulz (1985) wprowadzili podział roślinności w zależności od relacji pomiędz jej wsokością, a głębokością przepłwu wod. Jako roślinność wsoką określili roślinność wższą niż głębokość przepłwu (rs. 1.4) i w niewielkim stopniu ulegającą ugięciu pod wpłwem parcia dnamicznego wod. Warunek ten najlepiej spełniają drzewa i makrofit. Roślinność, której wsokość jest nieco mniejsza od głębokości wod, nazwano 7
roślinnością średnią. Określenie to najczęściej dotcz krzewów. Roślinność o wsokości wraźnie mniejszej niż głębokość przepłwu została określona jako niska. Ostatnie określenie stosuje się przede wszstkim do roślinności trawiastej. Zaproponowane krterium podziału roślinności może wdawać się niejednoznaczne, gdż w praktce, prz naturalnej zmienności głębokości przepłwu tę samą roślinność, można określać w różn sposób (Kubrak E., 2007). Jednakże u jego podstaw leż hdrauliczna analiza zjawiska przepłwu wkorzstwana w opisie przepłwu wod, co oznacza, że sposób opisu rozkładu prędkości na głębokości będzie uzależnion od relacji międz głębokością przepłwu a wsokością roślin. Każde z tch określeń można stosować do scharakterzowania wprowadzonch uprzednio tpów roślinności. roślinność niska h << h p roślinność średnia h ~ h p roślinność wsoka h > h p h h p h p Rs. 1.4. Zaproponowana przez Bretschneidera i Schulza (1985) klasfikacja opłwanej roślinności Analizując zachowanie się roślin podczas przepłwu wod można ją podzielić na: sztwną (brak ugięcia), sprężstą (wstępowanie ugięcia), gładką (ugięcie trwałe). Opor opłwu roślinności wsokiej, sztwnej i sprężstej (nie zatopionej) są w głównej mierze wiązane z oporami opłwanej brł roślin. Opor przepłwu prz opłwie wsokiej, średniej lub niskiej roślinności (zatopionej) sprężstej i sztwnej określane są na podstawie charakterstk brł roślin. W przpadku roślinności niskiej gładkiej nie określa się oporów przepłwu w obszarze z roślinnością, gdż zwkle pomija się przepłw wod w obszarze z tą roślinnością. Natomiast obecność tej 8
roślinności w korcie uwzględnia się w ocenie nierówności powierzchni przekroju utworzonej przez trwale ugięte roślin, nad którmi odbwa się przepłw wod. Rozkład prędkości w pionie z roślinnością niską charakterzuje się wstępowaniem obszaru przepłwu kształtowanego przez tę roślinność i logartmicznm rozkładem prędkości ponad nią (rs. 1.5). Rozkład prędkości na głębokości w obszarze przepłwu z roślinnością wsoką nie podlega logartmicznemu prawu rozkładu, gdż prędkość nie zmienia się wraz z głębokością (rs. 1.6). z H v(z) z h Rs. 1.5. Rozkład prędkości w obszarze z niską, bądź średnią roślinnością sztwną i sprężstą (Kubrak E., 2007) z v H z v(z) Rs. 1.6. Rozkład prędkości w obszarze z wsoką roślinnością sztwną i sprężstą (Kubrak E., 2007) v Przjmując przedstawion schemat podziału roślinności, Rouvé (1987) zaproponował hdrauliczną parametrzację geometrcznch cech roślinności średniej i wsokiej. Opiera się ona na równości sił w kierunku przepłwu z uwzględnieniem różnorodnch form struktur roślinnej. Charakterstkę hdrauliczną tego tpu roślinności zbudowano na potwierdzonm doświadczalnie założeniu, że opor przepłwu nieregularnie rozmieszczonch roślin wsokich można obliczć w założeniu regularnie rozmieszczonch tej samej liczb roślin o uśrednionch parametrach geometrcznch Pasche (1984), Kubrak, Kozioł (2001). 9
Charakterstczne parametr roślinności określa się na podstawie inwentarzacji i bezpośrednich pomiarów z uwzględnieniem etapu rozwoju roślin. Prz zróżnicowanch strukturach roślinnch podanie charakterstcznch parametrów roślinności związane jest z problemami natur metodcznej. Dlatego w praktce zaleca się tpizację roślinności o wmienione krterium głębokości przepłwu i wsokości roślin. Opis przepłwu wod w korcie o złożonm przekroju. Zmienność przepustowości i oporów przepłwu w przekroju naturalnego korta charakterzowanch współcznnikiem Stricklera (odwrotność współcznnika Manninga) pokazano na rs. 1.7. Rzędna zwierciadła wod h Krzwa natężenia przepłwu Q Zmienność współcznnika Stricklera 5 4 3 2 1 Natężenie przepłwu Q Współcznnik Stricklera 1/n Rs. 1.7. Zmienność przepustowości i oporów przepłwu w przekroju naturalnego korta charakterzowanch współcznnikiem Stricklera (Lehmann i in. 2005) Przepłw wod w obszarze z roślinnością ma charakter trójwmiarow (rs. 1.8). Zbudowanie trójwmiarowego opisu przepłwu wod w warunkach ruchu turbulentnego opartego na równaniach Naviera-Stoksa jest dziś możliwe, lecz jego wkorzstwanie w praktce nie jest ekonomicznie uzasadnione, głównie ze względu na konieczność użcia komputerów o odpowiednio dużej moc obliczeniowej (Moin, Kim, 1997). Z tego powodu do opisu przepłwu nadal wkorzstuje się jednowmiarowe równania, ustalonego przepłwu wod z uwzględnieniem wstępującej roślinności w obszarze przepłwu i charakterstk hdraulicznch korta. 10
rozkład prędkości średnich w pionach na szerokości korta obszar interakcji prędkości lokalne v() wir tworzące się pod wpłwem chropowatości terenu zalewowego wmiana pędu, wir w płaszczźnie rozdziału przekroju korta v(,z) zmienność prędkości w pionie v(z) τ teren zalewow Q τ τ z x przepłw wtórne naprężenia stczne korto główne Rs. 1.8. Struktura strumienia w korcie o złożonm przekroju poprzecznm (według Shiono i Knight, 1991) Dla uproszczonego opisu turbulentnego przepłwu wod w złożonm przekroju i uniknięcia konieczności stosowania modeli turbulencji dla wrażenia naprężeń Renoldsa, dzieli się poprzeczn przekrój strumienia na podobszar, na granic którch określa się naprężenia turbulentne, jako tzw. naprężenia pozorne (rs. 1.9). Oznacza to, że opis procesu przepłwu strumienia w korcie o złożonm przekroju i zmiennej chropowatości powierzchni dna i skarp nie odnosi się do całego przekroju strumienia, lecz jest tworzon dla każdego z podobszarów przekroju. Jednakże proces przepłwu w każdej takiej części są od siebie wzajemnie uzależnione, więc fakt ten, musi bć uwzględnion w wprowadzanch zależnościach. v x rozkład uśrednionch na głębokości prędkości τ x rozkład uśrednionch na głębokości naprężeń turbulentnch geometria korta Rs. 1.9. Rozkład prędkości i naprężeń turbulentnch w złożonm przekroju poprzecznm korta (Pasche 1984) 11
Analizując zmianę uśrednionej na głębokości składowej prędkości w kierunku przepłwu w złożonm przekroju poprzecznm korta wdziela się zwkle obszar pokazane na rs. 1.10 (Nuding, 1991): obszar I przepłw w terenie zalewowm niezakłócon przez przepłw w korcie głównm, obszar II przepłw w terenie zalewowm przśpieszon przez przepłw w korcie głównm, obszar III przepłw w korcie głównm opóźnion przez przepłw w terenie zalewowm, obszar IV przepłw w korcie głównm niezakłócon przez przepłw w terenie zalewowm. Szerokość obszaru II i III nazwa się zasięgiem wstępowania interakcji przepłwu w terenie zalewowm i korcie głównm. obszar I obszar II obszar III obszar IV obszar interakcji rozkład prędkości w przekroju poprzecznm korta v max v T v z pionowa płaszczzna podziału przekroju 1:s h z O z A z h T 1:s A g H b I b II b III b IV O /2 g chropowat teren zalewow b z korto główne b /2 g Rs. 1.10. Rozkład prędkości wod w złożonm przekroju poprzecznm korta 12
2. Jednowmiarowe modele prowadzenia obliczeń przepustowości korta uwzględniające wpłw tpu roślin na przepustowość korta Podstawą jednowmiarowch metod obliczania przepustowości są zależności na prędkość przepłwu wod uzupełnione o fizczne, bądź półempirczne zależności do określania hdraulicznch parametrów strumienia. Zdefiniowane został granice ważności tch zależności oraz wskazano na możliwość ich stosowania w warunkach idealizacji i schematzacji rzeczwistego obszaru przepłwu. Wskutek idealiazacji obszaru przepłwu w złożonm korcie z roślinnością tworz się abstrakcjn obszar przepłwu z regularnie rozmieszczonmi clindrcznmi elementami smulujacmi roślinność w obszarze przepłwu. Obliczenia przepustowości złożonego przekroju korta porośniętego roślinnością przeprowadza się w 3 krokach: idelalizacja i schematzacja przekroju do jednowmiarowego przepłwu opis oporów przepłwu obliczenie przepustowości. Idealizacje przepłwu w kortach do obliczeń jednowmiarowch prowadzi się poprzez przgotowanie danch geometrcznch, tzn. przekrojów poprzecznch korta dobranch w taki sposób, ab ich powierzchnia i odległości międz nimi pozwalał obliczć objętość naturalnego korta. Przkład idealizacji i schematzacji naturalnego korta pokazano na rsunku 2.1. Schematzację oporów przepłwu prowadzi się porzez określenie oporów powierzchni dna i skarp korta. Współcznniki oporów powierzchni dna i skarp oblicza się na podstawie zastępczej chropowatości piaskowej. W przpadku gładkiego dna chropowatość jego powierzchni ustala się na podstawie analiz sitowej gruntu. W przpadku opancerzenia dna lub wstępowania form dennch ustalenie takie może bć dość trudne. 13
wał zalew odspisko (wspa) roślinność brzeg dno Realna stuacja opłw struktur dennch ograniczenia modelu przekrój poprzeczn zalew korto główne Idealizacja i schematzacja przekroju korta roślinność wsoka opor wwołane interakcją roślinność średnia roślinność niska opor opłwanch roślin opor wwołane chropowatością dna pozorna powierzchnia rozdziału opor opłwanch roślin Schematzacja oporów przepłwu w korcie Rs. 2.1. Idealizacja i schematzacja korta i oporów przepłwu w korcie (Lehmann B., Bernhart H., Nestmann F., 2005) Przepłw wod w częściach złożonego przekroju korta. Natężenie przepłwu wod w korcie określić można na podstawie bezpośrednich pomiarów lub obliczeń prowadzonch w założeniu ustalonego jednostajnego przepłwu w korcie. Ten drugi sposób ma szczególne znaczenie w praktce projektowej. W wdzielonch częściach złożonego przekroju korta do obliczania prędkości wkorzstuje się zależność na prędkość przepłwu wod jak w kortach o zwartm przekroju poprzecznm. Obliczenia 14
średniej prędkości przepłwu w kortach prowadzi się zwkle zależnościami potęgowmi lub na podstawie uniwersalnego prawa przepłwu. Wkorzstwanie zależności potęgowch do obliczania średniej prędkości przepłwu w kortach otwartch ma swoją długą tradcję (Hager W., 1992, 2001, Kubrak J., 1998). Cechą wspólną wspomnianch zależności jest empirczn charakter i prosta struktura, co bardzo ułatwia obliczenia. Współcześnie wkorzstwana jest przez inżnierów do obliczania prędkości przepłwu wod, obok już wspomnianej zależności Darc, zależność Gaucklera Manninga Stricklera zapiswana w postaci: g v = 8 RJ (2.1) λ 2 / 3 1/ 2 v = kst R J (2.2) 1 n 2 / 3 1/ 2 v = R J (2.3) gdzie: R promień hdrauliczn przekroju strumienia w korcie [m], k St współcznnik szorstkości korta wprowadzon przez Stricklera [m 1/3 /s], n współcznnik szorstkości korta wprowadzon przez Manninga [m -1/3 s], J spadek linii energii przjmowan jako równ spadkowi dna i w warunkach ustalonego jednostajnego przepłwu J = i [-], v średnia prędkość przepłwu [m/s]. Współcznnik szorstkości korta wprowadzon przez Stricklera wrażan jest zależnością: 26 k St = (2.4) 1/ 6 k s gdzie k s jest zastępczą chropowatością piaskową powierzchni korta [m]. W krajach anglojęzcznch stosuje się w miejsce współcznnika szorstkości Stricklera współcznnik szorstkości Manninga. Oba współcznniki powiązane są zależnością: 1 kst = (2.5) n n współcznnik szorstkości korta do wzoru Manninga [m -1/3 s]. 15
Związek międz bezwmiarowm współcznnikiem oporów λ, a współcznnikiem Manninga ma postać: 2 8gn λ = (2.6) 1/ 3 R Wkorzstując zależności (2.2) - (2.3) Gaucklera Manninga Stricklera do obliczeń średniej prędkości przepłwu w kortach należ pamiętać o ich ograniczeniach (Naudascher, 1992): wprowadzone współcznniki szorstkości nie uwzględniają lepkości wod, więc zależności (2.2) - (2.3) są ważne jednie w strefie hdraulicznie szorstkiego przepłwu, współcznniki szorstkości nie uwzględniają relacji pomiędz chropowatością powierzchni korta i głębokością przepłwu w korcie, tzw. chropowatości względnej korta, współcznniki szorstkości k St oraz n nie są bezwmiarowe i są wznaczone dla jednego określonego napełnienia w korcie, promień hdrauliczn nie jest wstarczającą charakterstką kształtu przekroju strumienia, więc wznaczane współcznniki szorstkości odnoszą się do określonego kształtu przekroju korta. Z wżej wmienionch względów do obliczania średniej prędkości przepłwu w kortach zostało zapożczone z hdrauliki przewodów zamkniętch uniwersalne prawo przepłwu. Wprowadzono je na podstawie teorii Prandtla o tzw. drodze mieszania. Hdrauliczne warunki przepłwu w przewodach scharakterzowano bezwmiarowm współcznnikiem oporów λ wznaczanm z zależności podanej przez Colebrooka i White a (Kubrak J., 1998): 1 2,51 k / 4 = 2lg + s R (2.7) λ Re λ 3. 71 gdzie: Re liczba Renoldsa obliczana ze wzoru v4r Re = [-], ν ν kinematczn współcznnik lepkości wod [m 2 /s], k s bezwzględna chropowatość powierzchni przewodu, odpowiadająca zastępczej chropowatości piaskowej [m]. 16
Z zależności (2.7) wnika, że współcznnik oporów λ w przewodach zamkniętch jest uzależnion od liczb Renoldsa i chropowatości względnej ich powierzchni k s 4 R. Opor w hdraulicznie gładkim obszarze przepłwu (k s 0) zależą od lepkości ciecz i dlatego w zależności (2.7) pomijan jest składnik k s / 4R : 3.71 1 λ 2.51 = 2 lg Re λ (2.7a) Opor w hdraulicznie szorstkim obszarze przepłwu uzależnione są przede wszstkim od 2.51 chropowatości względnej powierzchni korta (Re, więc składnik 0) i zależność Re λ (2.4) upraszcza się do postaci: 1 k / 4 = 2 lg s R (2.7b) λ 3. 71 Zależności (2.1) i (2.7) nazwane są uniwersalnm prawem przepłwu. Wznaczane z zależności (2.7) współcznniki oporów przepłwu w korcie wmagają jednak powiązania z kształtem przekroju i strukturą chropowatości powierzchni korta. Wpłw tch dwóch cznników nie został uwzględnion w pełni w zależności Colebrooka White a. Pomimo tch niedoskonałości, uniwersalne prawo przepłwu jest stosowane także w hdraulice kort otwartch, gdż: współcznniki oporów λ wrażone zależnością (2.7) uwzględniają wpłw lepkości wod i chropowatości ścian, współcznniki oporów λ są bezwmiarowe i umożliwiają poprzez ich sumowanie uwzględnienie dodatkowch oporów wwołanch np. roślinami porastającmi korto i opisanch dodatkowmi modelami. Porównanie obliczanch współcznników oporu i prędkości przepłwu w kortach (strefa hdraulicznie szorstkiego przepłwu). Przczną rozbieżności w obliczanch wartościach prędkości są różnice w wartościach współcznników oporu / szorstkości. W celu znalezienia zależności pomiędz współcznnikami szorstkości ze wzoru Stricklera i współcznnikami oporów w strefie przepłwu hdraulicznie szorstkiego przekształcono zależności Stricklera (2.2), (2.4) do postaci: 17
v St = ( k 26 = 1/ k s s 6 2.33 R / 4R) 2 / 3 1/ 6 J 1/ 2 8gRJ = 26 R k s 1/ 6 R 1/ 2 J 1/ 2 = 4 1/ 6 26 (8g) 1/ 2 4R k s 1/ 6 (8g) 1/ 2 R 1/ 2 J 1/ 2 = (2.8) Przez porównanie zależności (2.1) i (2.8) wrażono współcznnik oporów w funkcji chropowatości względnej powierzchni korta według wzoru Stricklera: ( k s 2.33 / 4R) 1/ 6 = 1 λ (2.9) to znacz: λ St 1/ 3 k = 0.184 s (2.10) 4R Natomiast współcznnik oporów λ do wzoru Darc-Weisbacha wznaczono w obszarze hdraulicznie szorstkiego przepłwu z zależności (2.7b): 1 k / 4 = 2lg s R (2.7b) λ 3. 71 skąd wznaczono: 1 λ = k / 4 2lg s R 3.71 2 (2.11) Wartości współcznników oporów obliczone z zależności (2.10) i (2.11) przedstawiono na rsunku 2.2. 0,1 λ lamst lam k/4r 0,01 0,001 0,010 0,100 Rs. 2.2. Współcznniki oporów w strefie hdraulicznie szorstkiego przepłwu obliczone ze wzoru Stricklera (lamst) i zależności Colebrooka-White a (lam) wrażone w funkcji chropowatości względnej korta - k s /4R (Kubrak E., 2005) 18
Jak wnika z rs. 2.2 wartości współcznników oporów obliczane ze wzoru Colebrooka- White a są w strefie hdraulicznie szorstkiego przepłwu wższe od wartości współcznników oporu, odpowiadającch wartościom szorstkości we wzorze Stricklera dla k s / 4R < 0.002 lub / 4R > 0. 030. Natomiast współcznniki oporów obliczone z obu wzorów k s są zbliżone dla chropowatości względnch k s / 4R < 0.002; 0. 030 >. Ogólna analiza porównawcza wartości prędkości oraz współcznników oporu obliczanch w korcie ze wzoru Stricklera i z uniwersalnego prawa przepłwu jest możliwa jednie w obszarze hdraulicznie szorstkiego przepłwu. Stosunek prędkości średnich obliczanch wzorem Stricklera (2.2), (2.4) v St i Darc-Weisbacha (2.1), (2.11) v można wrazić w postaci: v St v ( k s / R) = 14.84 2lg k / R s 26 1/ 6 ( 8g) RJ 1/ 2 RJ 1.467 = 1/ 6 k s 14.84 lg R k / R s (2.13) Zmienność stosunku prędkości średnich wrażonch wzorem Stricklera i Darc-Weisbacha w strefie hdraulicznie szorstkiego przepłwu w zależności od chropowatości względnej k s /4R pokazano na rs. 2.3. v ST /v 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,00001 0,00010 0,00100 0,01000 0,10000 1,00000 k/4r strefa przejściowa (hdraulic transition flow) k=0,0002m, i=0,0002 k=0,0002m, i=0,0020 k=0,0005m, i=0,0002 k=0,0005m, i=0,0020 k=0,0010m, i=0,0002 k=0,0010m, i=0,0020 przepłw hdraulicznie szorstki (hdraulic rough flow) Rs. 2.3. Stosunek prędkości średniej obliczonej wzorem Stricklera v St i Darc-Weisbacha v w funkcji chropowatości względnej powierzchni korta k s /4R w obszarze przepłwu przejściowego i hdraulicznie szorstkiego (Kubrak E., 2005) Z rs. 2.3 wnika, że w strefie przepłwu hdraulicznie szorstkiego, dla chropowatości względnch k s / 4R (0.002; 0.030) wartości prędkości średnich obliczone wzorem Stricklera są do ok. 3 % mniejsze od otrzmanch z zależności Darc-Weisbacha. Relacja pomiędz 19
obliczonmi prędkościami zmienia się dla chropowatości względnch powierzchni prz k s / 4R < 0.002 lub / 4R > 0. 030. Prędkości średnie obliczone wted wzorem Stricklera są k s większe od wartości otrzmanch ze wzoru Darc-Weisbacha, a maksmalne różnice mogą przekraczać nawet 20%. Podsumowując można stwierdzić, że w strefie przepłwu hdraulicznie szorstkiego dla 0.001< k s / 4R < 0. 050 różnice w obliczonch wartościach prędkości wahają się w przedziale 3% < v St / v < 3%. Przepłw wod w korcie z terenami zalewowmi porośniętm drzewami U podstaw obliczeń przepustowości kort o przekrojach złożonch i terenach zalewowch porośniętch roślinnością wsoką leż analiza warunków przepłwu w przekroju poprzecznm korta i wdzielenie obszarów przepłwu kształtowanch pod dominującm wpłwem szorstkości skarp i dna korta, oporów opłwu roślinności wsokiej i obszarów przejściowch pomiędz nimi. Złożon przekrój poprzeczn korta zostaje podzielon pionowmi płaszczznami rozdziału na korto główne i teren zalewowe. Wsokość płaszczzn rozdziału uwzględnia się w obwodzie zwilżonm korta głównego. Średnią prędkość przepłwu w każdm obszarze oblicza się z równania Darc-Weisbacha (2.1). Opor przepłwu wwołane chropowatością skarp i dna korta oblicza się ze wzoru (2.7) podanego przez Colebrooka-White a. Jak wnika z prawa Colebrooka-White a, współcznniki oporów przepłwu λ s zależą od liczb Renoldsa i chropowatości względnej k s /R. Wpłw liczb Renoldsa na współcznniki oporów zmniejsza się wraz ze wzrostem jej wartości i chropowatości względnej pobocznic korta. W kortach naturalnch względna chropowatość jest tak duża, że wpłw liczb Renoldsa można pominąć bez uszczerbku dla dokładności obliczeń. Dlatego Rickert (1986) zaleca stosować ostatnie równanie w obliczeniach praktcznch w postaci: 1 λ s k s = 2.03lg 14.84 R h (2.7b) Współcznnik oporów skarp i dna korta o chropowatości k s oblicza się wted z przekształconego wzoru (2.7b). W porośniętch roślinnością częściach przekroju korta opor przepłwu uzależnione są zarówno od roślinności jak i chropowatości dna. Współcznnik oporów w tm obszarze, zgodnie z koncepcją Einsteina i Banksa, jest sumą, tzn.: λ = λ + (2.14) s λ v 20
gdzie: λ średni współcznnik oporów w części przekroju korta [-], λ s współcznnik oporów wwołan chropowatością dna korta [-], λ v współcznnik oporów wwołan opłwem roślinności wsokiej [-]. Oznaczenia i smbole przjęto jak w orginalnch opracowaniach dotczącch omawianch zagadnień. Współcznniki oporów dla roślinności wsokiej λ v bł przedmiotem m.in. badań Kaisera (1984), Lindnera (1982) i Pasche (1984). W obszarze z drzewami λ v oblicza się na podstawie oporów powstałch prz opłwie drzew odniesionch do powierzchni całego zalewu korta w planie: λ v = 4h d a x p a p C WR cosα (2.15) gdzie: h p wsokość zanurzonej części drzew [m], d p średnica drzew [m], α kąt nachlenia dna w kierunku poprzecznm do kierunku przepłwu, a x odległość międz drzewami w kierunku przepłwu, a odległość międz drzewami w kierunku poprzecznm do kierunku przepłwu, C WR bezwmiarow współcznnik oporów dla opłwu drzew. Współcznnik oporów C WR jest zależn od stosunku prędkości dopłwającej V i do średniej prędkości przepłwu w obszarze z drzewami V v, jak i wsokości fal powstałch na powierzchni wod prz opłwie drzew: 2 d p Vi + 1 C WR = 1.1+ 2.3 2 1 (2.16) a Vv 1 d p / a Pasche (1984) podał empirczną zależność na względną prędkość dopłwającej wod do drzewa, którą Rickert (1986) uprościł do postaci: V V i v 2 a = 0.6 + 0.5lg a x z (2.17) Obliczanie natężenia przepłwu w terenie zalewowm wmaga określenia szerokości tego obszaru. W tm celu oblicza się długość a NL i szerokość a NB ścieżki Karmana prz opłwie pojednczego drzewa: 21
a NL ga + NL = 128.87CW d p 1 2 VT J / 2 2.143 (2.18) a NB 0.59 0.41 = 0.24a NL ( CW d p ) (2.19) gdzie: a NL długość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie pojednczej roślin / drzewa [m], a NB szerokość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie pojednczej roślin / drzewa [m], J spadek hdrauliczn. Współcznnik oporu C W wznaczan jest dla pojednczego drzewa prz idealnie dwuwmiarowm przepłwie. Jego zmienność dla różnch form turbulentnego przepłwu podał Lindner (1982) w postaci równań: 0.1680 W = Vvd p C 3.07Re p dla Re p = < 800 ν (2.20) C = 1.0 dla 800 Re p 8000 (2.21) W C = 1.2 dla W 5 < Re p 10 (2.22) 8000 < gdzie: Re liczba Renoldsa dla pojednczej roślin [-], p ν współcznnik lepkości kinematcznej [m 2 /s]. Ze względu na wstępowanie we wzorze (2.18) prędkości V T w płaszczźnie rozdziału złożonego przekroju obliczenia prowadzi się zakładając wartość V T, prz czm V T > V v, a następnie oblicza się współcznnik porośnięcia: a Ω = 0.07 a NL x 3.29 a + a NB 0.95 (2.23) Bezwmiarową prędkość w płaszczźnie rozdziału oblicza się ze wzoru: C = 3.27lg Ω + 2.85 (2.24) T Szerokość stref oddziałwania przepłwu w korcie głównm na przepłw w terenie zalewowm oblicza się z zależności: ht b m = (2.25) 0.56C λ (0.068e T 0.056) v 22
gdzie: h T głębokość w płaszczźnie rozdziału terenu zalewu od głównego przekroju korta [m], c bezwmiarowa prędkość w płaszczźnie rozdziału. T Prz obliczaniu przepłwu w korcie głównm traktuje się płaszczznę rozdziału terenu zalewu od korta głównego jak szorstką ścianę o chropowatości korta k T i współcznniku oporów λ T. W rzeczwistości opor te wwołane są intenswnmi cklicznmi impulsami mas i pędu w kierunku poprzecznm do głównego kierunku przepłwu i towarzszącmi im wsokimi naprężeniami turbulentnmi oraz zawirowaniami na powierzchni wod prz opłwie drzew. Chropowatość w płaszczźnie rozdziału oblicza się ze wzoru: 1.07 2bm k = 0.854, Ω 1.7 T R T (2.26) bk gdzie: R,T promień hdrauliczn odnosząc się do oporu stawianego przez płaszczznę rozdziału [m], b m szerokość stref oddziałwania obszaru z drzewami na obszar bez drzew [m], b k szerokość korta głównego [m]. Wstępowanie różnch chropowtości i współcznników oporu w korcie głównm wmaga obliczenia średniego współcznnika oporów i rozdziału promienia hdraulicznego korta głównego według koncepcji Einsteina zakładającej równość prędkości średniej w każdm podobszarze korta głównego: λ = (2.27) λ i R, i R, F gdzie: λ i współcznnik oporów części przekroju o promieniu hdraulicznm R i, R,F promień hdrauliczn korta głównego liczon z uwzględnieniem długości płaszczzn rozdziału h T w obwodzie zwilżonm. Obliczanie promienia hdraulicznego przpadającego dla różnch chropowatości w przekroju prowadzi się metodą kolejnch iteracji. Z zależności (2.27) oblicza się promień hdrauliczn w płaszczźnie rozdziału R,T, a następnie zastępczą wsokość chropowatości w płaszczźnie rozdziału k T ze wzoru (2.26) i współcznnik oporów λ T ze wzoru (2.7b). Średni współcznnik oporów w całm korcie głównm λ oblicza się uwzględniając współcznnik oporów przepłwu dna λ S i λ T w płaszczźnie rozdziału przekroju: 23
2λT ht + 2λ l λ = 2h + l T s s s gdzie: l s obwód zwilżon korta głównego, λ s współcznnik oporów dna i skarp korta. (2.28) Średnią prędkość przepłwu V F w korcie głównm oblicza się ze wzoru Darc-Weisbacha (2.1), zaś prędkość V T w płaszczźnie rozdziału korta głównego i terenu zalewowego z zależności: V T λ v = CT VF (2.29) 8 Prędkość V T obliczona ze wzoru (2.29) jest zwkle różna od założonej na początku do obliczania a NL (2.18), toteż całość obliczeń należ powtórzć, przjmując obliczoną wartość V T wg wzoru (2.29) za kolejne przbliżenie. Re = p v d p ν Rs. 2.4. Zmienność współcznników oporów wznaczonch dla opłwu walca prz różnch liczbach Renoldsa 24
a NL O v x, v x, max v x, max a NB x = 0.03 v x, Rs. 2.5. Długość i szerokość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie drzewa (DVWK - Merkblätter 220, 1991) gdzie: a NL długość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie pojednczego drzewa (rs. 2.5), a NB szerokość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie pojednczego drzewa, J spadek hdrauliczn Współcznnik oporów w obszarze przepłwu z drzewami jest sumą współcznnika oporu drzew λ v i dna korta λ s : λ = λ s + λ s (2.30) Słuszność koncepcji sumowania współcznników oporu dna i drzew w obszarze przepłwu z drzewami została potwierdzona licznmi badaniami Kaisera (1984) i Nudinga (1991). Metodka określania parametrów krzewów i drzew w obliczeniach przepustowości kort. W wtcznch opracowanch dla inżnierów niemieckich (DVWK, 1991) podaje się trz różne struktur roślinności średniej i wsokiej, porastającej przekroje kort naturalnch: zwarta grupa drzew lub krzewów (rs. 2.6), pojedncze krzew lub drzewa (rs. 2.7), mieszane skupiska drzew i krzewów (rs. 2.8). Opor przepłwu prz opłwie roślinności średniej i wsokiej obliczane są na podstawie zastępczej średnic skupisk roślin d p oraz zastępczch odległości międz roślinami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a. Opor roślinności niskiej w tm całkowicie zatopionch krzaków obliczane są z zależności Colebrooka-White'a na podstawie wznaczonej chropowatości bezwzględnej k s. 25
Zwarta grupa drzew lub krzewów Zwarte grup drzew lub krzewów wstępują najczęściej w pasach brzegowch kort. Prz wstępowaniu tlko drzew lub tlko krzewów, oblicza się ich zastępczą średnicę i średnie odległości międz roślinami. Do badań inwentarzacjnch wbiera się powierzchnię zbliżoną w planie do prostokąta o długości boków ok. 10-20 m i porośniętą drzewami A pro. Powierzchnia do inwentarzacji krzewów nie powinna przekraczać kilku metrów kwadratowch (rs. 2.6). Zastępczą średnicę drzew lub gałęzi krzewów oblicza się jako średnią artmetczną z pomierzonch średnic na wsokości 1.0 1.3 m: d d i p = (2.31) N i gdzie: d p zastępcza średnica roślin, d i średnica roślin, N i liczba roślin porastającch powierzchnię wbraną do inwentarzacji. Zastępczą odległość międz roślinami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a oblicza się w założeniu równości obu odległości (a x = a ) z zależności: Apro a x = a = (2.32) N i Gd odległości te nie są równe (a x a ), wted oblicza się na podstawie pomiarów terenowch powierzchnię przpadającą na jedną roślinę A pro a xa =, średnią wartość N i stosunku odległości a = C, i po podstawieniu a = Ca x odległość a x Apro a x = C. Pojedncze krzew i drzewa Powierzchnię do inwentarzacji określa się według takich samch zasad jak omówione wcześniej. Następnie wkonuje się pomiar średnic kolejnch drzew i oblicza się powierzchnię przekroju roślin A PR,i oraz średnią powierzchnię przekroju roślin z zależności: A PR = A N PR, i (2.33) gdzie N jest liczbą roślin. 26
W następnej kolejności oblicza się zastępczą średnicę roślin d p z wzoru: d p = 4A π PR (2.34) Zastępcze odległości międz roślinami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a określa się jak wżej. Mieszane skupiska drzew i krzewów W przpadku mieszanch skupisk drzew i krzewów zaleca się określanie parametrów zastępczch łącznie dla obu tpów roślin. Wstępnie wkonuje się inwentarzację roślin na powierzchni wtpowanej do badań, a następnie oblicza zastępczą średnicę roślin z zależności: d d N + d N k k d d p = (2.35) N k + N d gdzie: N k liczba gałęzi krzewów, N d liczba drzew. Opor przepłwu zatopionej roślinności średniej można scharakterzować zastępczą chropowatością piaskową k s. W takich przpadkach zwkle nie uwzględnia się chropowatości powierzchni terenu zalewowego. Istniejące różnice w otrzmwanch przez różnch autorów badań wartościach współcznników tłumacz się okresową zmiennością oporów przepłwu w czasie okresu wegetacji oraz cznników działającch bezpośrednio na roślin (np. czasu trwania zalewu, pochlenie się roślin pod wpłwem sił strumienia wod). W literaturze niezwkle rzadko spotka się stabelarzowane wartości zastępczch chropowatości piaskowch dla terenów pokrtch roślinnością średnią. Tm większe znaczenie mają wartości zastępczej chropowatości podane przez Ritterbacha (1991) dla różnch tpów roślinności terenów zalewowch rzeki Wupper w Niemczech (tabela 2.1). 27
Tabela 2.1. Zestawienie zastępczch chropowatości piaskowch (Ritterbach, 1991) Tp roślinności Zastępcza chropowatość piaskowa k s [m] Podszt leśn 0.16 0.32 Gęst podszt leśn 0.40 Zioła, pnącza 0.50 0.70 Dzika roślinność, słabe trzcinowiska 0.60 1.20 Dzika roślinność, podszt 0.80 1.60 Narzut kamienn z roślinnością zielną 0.70 Narzut kamienn z wikliną 1.00 Przkład obliczeń wartości parametrów zwartej grup drzew Dla korta wielkiej wod pokazanego na rsunku 2.6, wbrano do inwentarzacji 2 prostokątną powierzchnię = 10 m 6 m = 60 m, porośniętą drzewami N d = 40 sztuk, dla A pro którch ze zmodfikowanego wzoru (2.34) obliczono średnią średnicę drzew d pd = 0.25 m. 10 m 2 m 2 m 6 m Powierzchnie objęte inwentarzacją Opis smboli: drzewo krzew granice pomiarowe Rs. 2.6. Powierzchnie objęte inwentarzacją porośnięte drzewami lub krzewami 28
Rozstawę międz drzewami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a obliczono z zależności: a x a A pro = N d 2 60 m = = 1.5 m 40 Przjmując a x = a obliczono 2 a a = 1.5m 2 = 1.23 m. x = 1.5m Dla a x a wznaczono z pomiarów C = 1.5, a następnie obliczono a = = 1.0 m i 1.5 a x = 1.5 1.0 = 1.5m 2 Przkład obliczeń parametrów roślin zwartej grup krzewów Dla krzewów pokazanch na rsunku 2.6 wbrano prostokątną powierzchnię inwentarzacjną A pro = 2 m x 2 m = 4 m 2, porośniętą krzewami w ilości N k = 69 sztuk, dla którch obliczono ze wzoru (2.35) średnią zastępczą średnicę krzewów d pk = 0.04 m. Zastępczą rozstawę międz krzewami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a obliczono prz założeniu równości obu odległości z zależności: a x = a = A N pro k = 2 4 m 69 = 0.24 m Przkład obliczeń wartości parametrów roślin dla terenu zalewowego porośniętego pojednczmi krzewami i drzewami Dla terenu zalewowego porośniętego pojednczmi krzewami i drzewami pokazanego na 2 rsunku 2.7 wbrano prostokątną powierzchnię inwentarzacjną A = 4.5 m 11m = 49.5m. Na powierzchni tej znajduje się N = 8 skupisk roślin o określonch na podstawie pomiarów powierzchniach przekroju w planie: 1) 1.05 m 2, 2) 0.70 m 2, 3) 2.80 m 2, 4) 0.20 m 2, 5) 0.35 m 2, 6) 0.95 m 2, 7) 0.15 m 2, 8) 2.10 m 2. pro 29
8 7 6 5 4 3 11 m 1 2 Powierzchnia objęta inwentarzacją 4.5 m Opis smboli: drzewo krzew granice pomiarowe Rs. 2.7 Powierzchnia objęta inwentarzacją porośnięta drzewami i krzewami Sumarczna powierzchnia przekroju roślin jest równa powierzchnia przekroju roślin A PR = 8.3/8 = 1.04 m 2. A PR, i. 3 = 8 m 2, a średnia Zastępczą średnicę skupiska roślin obliczono z zależności 2 πd p 4 =1,04 m 2, skąd wznaczono 1.04 4 d p = = 1.15 m. 3.14 Zastępczą rozstawę międz roślinami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a obliczono z zależności: a A = N pro 2 x a = 6.19 m a na podstawie ustalonej w pomiarach wartości C = 1.3 wznaczono a x = 2.18 m i a = 2.84 m. 30
Przkład obliczeń wartości parametrów roślin dla mieszanch skupisk drzew i krzewów Dla terenu zalewowego porośniętego krzewami i drzewami pokazanego na rsunku 2.8 wbrano powierzchnie inwentarzacjne dla drzew i krzewów. 2 m 2 m 10 m 5.5 m Powierzchnie objęte inwentarzacją Opis smboli: drzewo krzew granice pomiarowe Rs. 2.8. Powierzchnie objęte inwentarzacją porośnięte sku-piskami drzew i krzewów Na prostokątnej powierzchni inwentarzacjnej drzew 2 A pro d = 5.5 m 10 m = 55 m znajdują się N = 24 drzewa. d Na powierzchni inwentarzacjnej krzewów 2 A pro k = 2 m 2 m = 4 m znajduje się 68 gałęzi krzewów. Liczbę gałęzi krzewów na powierzchni 55 m 2 obliczono na podstawie średniej liczb krzaków na powierzchni 2 68 2 A pro k = 4 m z zależności N k = 55m = 935 gałęzi krzewów. 2 4 m Sumarczna liczba roślin na powierzchni 55 m 2 jest równa N = 24 + 935 = 959. 31
Następnie obliczono zastępczą średnice drzew d d = 0.25 m i gałęzi krzewów d k = 0.04 m. Zastępczą średnicę roślin obliczono z zależności (2.35): d p 24 0.25m + 935 0.04m = = 0.045 m 24 + 935 Zastępczą rozstawę międz drzewami w kierunku przepłwu a x i poprzecznm do niego a obliczono z wzoru: a x A = a = N pro = 55 = 0.24 m 959 3. Przepustowość złożonego przekroju korta z uwzględnieniem wdzielonch tpów roślinności - program obliczeń w arkuszu kalkulacjnm. W celu prowadzenia analiz wpłwu roślinności na przepustowość złożonego przekroju korta w warunkach ustalonego przepłwu wod opracowano program obliczeniowe napisane w arkuszu kalkulacjnm Excel z wkorzstaniem makr zapisanch w jęzku programowania VBA. Prędkości przepłwu wod w obszarach/częściach złożonego w przekroju obliczano z formuł Darc Weisbacha. Współcznniki oporów obliczano wkorzstując opracowaną w Niemczech metodkę obliczeń opracowaną przez Niemiecki Związek Inżnierów Gospodarki Wodnej i Inżnierii Środowiska (DVWK, 220, 1991). Metodkę obliczeń przepustowości złożonch przekrojów z roślinnością przedstawiono w rozdziale 2. Ze względu na zmienność przekrojów poprzecznch korta i wstępowania w nich roślinności wdzielono różne wariant porośnięcia przekroju roślinnością i przgotowano dla nich odpowiednie wersje programu. Różnice w programach wjaśniono na przkładzie przekroju poprzecznego Wisł nr 42 w km 507,606 (rs. 3.1). Przekrój korta jest obustronnie obwałowan. Obszar przepłwu w obwałowanej części przekroju podzielono na korto główne oraz lew i praw teren zalewow (rs. 3.2). 32
110 105 100 95 90 85 z [mnpm] Przekrój nr 42, 507,606 km Obszar przepłwu rzeki Wisł 80 75 [m] 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Rs. 3.1. Przekrój poprzeczn dolin rzeki Wisł wbran do ilustracji programu 93 91 89 87 85 83 81 79 z [mnpm] Przekrój nr 42, 507,606 km lew teren zalewow korto główne praw teren zalewow zakres obliczeń 77 [m] 75 4450 4550 4650 4750 4850 4950 5050 5150 5250 5350 Rs. 3.2. Przekrój poprzeczn korta rzeki Wisł wbran do ilustracji opracowanch programów do obliczeń przepustowości Uwzględnienie wpłwu wstępującej na terenach zalewowch różnch form roślinności na przepustowość korta wmagała wdzielenia obszarów przepłwu nieporośniętch i porośniętch krzakami i drzewami. Prędkość przepłwu w każdm wdzielonm obszarze z roślinnością zależ od charakterstk roślin (liczb pni, gałęzi krzewów, ich gęstości i ich rozmieszczenia w planie). Przjęto, że w złożonm przekroju korta maksmalnie może wstępować 7 obszarów w tm 6 obszarów z roślinnością (pokazanch na rsunku 3.3). 33
Program - 1, przekrój nr 42, 507,606 km z [mnpm] 95 93 obszar -1 obszar -2 obszar -3 obszar -4 obszar-5 obszar-6 obszar-7 91 drzewa krzew drzewa krzew korto główne krzew drzewa 89 87 85 83 81 79 77 [m] 75 4450 4550 4650 4750 4850 4950 5050 5150 5250 5350 Rs. 3.3. Obszar przepłwu wodrębnione w złożonm przekroju poprzeczn korta z roślinnością Do analiz wpłwu roślinności na warunki przepłwu wod w złożonm przekroju korta opracowano 5 programów obliczeniowch, umożliwiającch obliczanie przepustowość korta rzeki prz różnch wariantach rozmieszczenia roślinności w przekroju poprzecznm: Pierwsz program umożliwia obliczanie przepustowości z uwzględnieniem wstępowania 7 obszarów pokazanch na rsunku 3.3, Drugi program umożliwia obliczanie przepustowości z uwzględnieniem 7 obszarów, ale w obszarze 4 i 6 prz korcie głównm nie wstępują krzew i drzewa (rs. 3.4), Trzeci program umożliwia obliczanie przepustowości przekroju prz założeniu, że krzew i drzewa wstępują w dwóch pierwszch obszarach na lewm terenie zalewowm (rs. 3.5), Czwart program umożliwia obliczanie przepustowości przekroju prz założeniu, że oba teren zalewowe są bez drzew i krzewów (rs. 3.6), Piąt program umożliwia obliczanie przepustowości przekroju prz założeniu, że krzew i drzewa wstępują tlko w obszarze 1, 2 i 7 przekroju poprzecznego (rs. 3.7). Opracowane program umożliwiają obliczanie natężenia przepłwu wod w przekrojach poprzecznch z podaną liczbą obszarów rozmieszczenia roślinności. Geometria przekroju, granice obszarów, charakterstki roślin w poszczególnch obszarach, ilość obszarów z roślinnością średnią i wsoką (drzewa i krzew) oraz spadek podłużn dna korta stanowią dane do obliczeń. Szczegółow opis zakresu dopuszczalnch zmian w danch do obliczeń podano w zakładce Uwagi w opracowanm programie zapisanm w arkuszu kalkulacjnm Excel Wisla_QPP.xlsb. 34
Program - 2, przekrój nr 42, 507,606 km z [mnpm] 95 93 obszar -1 obszar -2 obszar -3 obszar -4 obszar-5 obszar-6 obszar-7 91 drzewa krzew drzewa krzew trawa korto główne krzew trawa drzewa 89 87 85 83 81 79 77 [m] 75 4450 4550 4650 4750 4850 4950 5050 5150 5250 5350 Rs. 3.4. Obszar przepłwu wodrębnione w złożonm przekroju poprzeczn korta z roślinnością Program - 3, przekrój nr 42, 507,606 km z [mnpm] 95 93 obszar -1 obszar -2 obszar -3 obszar -4 obszar-5 obszar-6 obszar-7 91 drzewa krzew drzewa trawa krzew trawa korto główne krzew trawa drzewa 89 87 85 83 81 79 77 [m] 75 4450 4550 4650 4750 4850 4950 5050 5150 5250 5350 Rs. 3.5. Obszar przepłwu wodrębnione w złożonm przekroju poprzeczn korta z roślinnością Program - 4, przekrój nr 42, 507,606 km z [mnpm] 95 93 obszar -1 obszar -2 obszar -3 obszar -4 obszar-5 obszar-6 obszar-7 91 drzewa trawa krzew trawa drzewa trawa krzew trawa korto główne krzew trawa drzewa 89 87 85 83 81 79 77 [m] 75 4450 4550 4650 4750 4850 4950 5050 5150 5250 5350 Rs. 3.6. Obszar przepłwu wodrębnione w złożonm przekroju poprzeczn korta z roślinnością 35
Program - 5, przekrój nr 42, 507,606 km z [mnpm] 95 93 obszar -1 obszar -2 obszar -3 obszar -4 obszar-5 obszar-6 obszar-6 obszar-7 obszar-7 91 drzewa krzew drzewa trawa krzew trawa korto główne krzew trawa drzewa drzewa 89 87 85 83 81 79 77 [m] 75 4450 4550 4650 4750 4850 4950 5050 5150 5250 5350 Rs. 3.7. Obszar przepłwu wodrębnione w złożonm przekroju poprzeczn korta z roślinnością Rozpoczęcie obliczeń natężenia przepłwu wod w korcie rzeki wmienionmi programami wmaga wprowadzenia danch o przekroju poprzecznm korta rzeki. Współrzędne przekroju poprzecznego Y i Z wprowadzane są w arkuszu DaneXYZ od komórki A21 (Wszstkie wprowadzane dane oznaczono kolorem żółtm). Po podaniu rzędnej zwierciadła wod w przekroju RZW (komórka I5 ), można dwoma programami kontrolnmi obliczć podstawowe parametr przekroju poprzecznego. Pierwszm z tch programów oblicza się szerokość zwierciadła wod w przekroju, początkową i końcową odciętą zwierciadła wod w przekroju, pole powierzchni przekroju poprzecznego strumienia wod, głębokość średnią oraz długość obwodu zwilżonego przekroju. Drugim programem kontrolnm, po ustaleniu liczb obszarów przepłwu (komórka K23 ) i granic tch obszarów (komórki L25:U25 ), oblicza się dla każdego obszaru: szerokość zwierciadła wod w obszarze, głębokość w płaszczźnie obszaru, głębokość średnią, długość obwodu zwilżonego, pole powierzchni, promień hdrauliczn, oraz sum kontrolne tch parametrów. Kolejnm krokiem jest wbór odpowiedniego programu obliczeniowego z pięciu przedstawionch powżej, które znajdują się w arkuszach (Program1, Program2,..). W każdm z programów podaje się spadek zwierciadła wod (komórka E4 ), liczbę obszarów przepłwu (komórka K5 ), numer obszaru korta głównego (komórka E6 ), granice obszarów (komórki K7:T8 ). W komórkach K10:T13 podaje się dla poszczególnch obszarów chropowatość piaskową powierzchni dna, średnią średnicę drzew lub gałęzi krzewów oraz średnią odległość międz drzewami lub gałęziami krzewów w kierunku przepłwu (X) i (Y). W komórkach J15:J23 wpisuje się chropowatość piaskową skarp korta głównego oraz granice pomiędz obszarami nad skarpami korta głównego. W 36
komórkach J25:J27 (program 2-5) podaje się poziom zależne od metod obliczeń przepłwu w danm obszarze. Zakres rzędnch zwierciadła wod do obliczeń przepustowości oraz ich skok głębokości wpisuje się w komórkach Q16:Q18. 4. Krteria usuwania roślinności z terenów zalewowch W skupiskach roślin rzek nizinnch, porastającch teren zalewowe dominują krzew wiklin, wierzb i zarośla. Roślinność tę Schiechtl i Stern (2002) podzielił na trz grup wraźnie zróżnicowane pod względem wsokości i kształtu brł utworzonej przez roślinność: - zarośla (np. wiklina uszata, szara) Charakterzują się niewielką wsokością i półkolistm, bądź eliptcznm obrsem przekroju. Gęste gałęzie i liście oraz niewielka wsokość powodują podczas przepłwu wod w terenach zalewowch wzmożone proces sedmentacjne, filtrowanie unoszonch cząstek. Usunięcie akumulowanego w terenie zalewowm rumowiska wmaga olbrzmiego nakładu prac i przcięcia roślin. - krzaki (np. wiklina czarna, wiciowa) Ta forma roślin odznacza się silnm rozgałęzieniem i ulistnieniem na całej wsokości. Przekrój poprzeczn krzaków roślin jest eliptczn lub prostokątn. Obecność liści wzmaga sedmentację podczas przepłwu wod, a uginające się pod naporem wod gałęzie włapują przepłwające w wodzie roślin i zanieczszczenia, co prowadzi do zwiększenia oporu opłwanch roślin i dalszą intensfikację procesów akumulacji rumowiska. - drzewa (np. wierzba iwa, biała) Ta forma roślin ma pień główn, a ulistnienie zaczna się na pewnej wsokości, przez co nie wpłwa znacząco na warunki przepłwu wielkich wód. Hdrauliczne opor opłwu drzew są niewielkie. Wsokość form roślin wróżnionch przez Schiechtla i Sterna (2002) przedstawiono na rsunku 4.1. 37
Drzewa wsokość powżej 10 m Krzew wsokość 5-10 m Zarośla wsokość do 5m Krzew wsokość 5-10 m Zarośla wsokość do 5m [m] [m] 25 20 15 10 5 10 5 wierzba wiciowa Salix viminalis wierzba purpurowa Salix purpurea wierzba biała Salix alba wierzba czarna Salix nigra wierzba krucha Salix fragilis Salix mielichhoferi Salix appendiculata wierzba wawrznkowa Salix daphnoides wierzba szara Salix cinetea wierzba trójpręcikowa Salix triandra wierzba ostrolistna Salix acutifolia Salix hegetschweileri wierzba pięciopręcikowa Salix pentandra wierzba uszata Salix aurita Salix glabra wierzba iwa Salix caprea Salix glaucosericea wierzba szwajcarska Salix helvetica Rs. 4.1. Form i wsokość zarośli, krzaków i drzew porastającch teren zalewowe europejskich rzek nizinnch (Schiechtl, Stern, 2002) Krteria usuwania roślinności z terenów zalewowch wprowadzono z analiz przepustowości przekroju korta. O ile maksmalna prędkość przepłwu wod w korcie bez roślinności zależ głównie od jego spadku i różnch form chropowatości powierzchni dna i skarp korta, to rozkład prędkości wod w złożonm przekroju poprzecznm korta jest dodatkowo uzależnion od jego kształtu: największe prędkości przepłwu wod wstępują w głębszm korcie głównm, najmniejsze w płtszm terenie zalewowm. W terenie zalewowm, graniczącm z kortem głównm wstępuje obszar przśpieszonego przepłwu wod. Dla potrzeb praktki można przjąć, że w złożonm przekroju poprzecznm korta bez zabudow o płaskich smetrcznch terenach zalewowch wpłw przśpieszenia przepłwu wod w terenie zalewowm wwołanego szbszm przepłwem wod w korcie głównm sięga w głąb terenu zalewowego na odległość równą połowie szerokości korta głównego (b II - patrz rs. 1.10). A zatem w tej części terenu zalewowego złożonego przekroju korta wstępują prędkości wod, które istotnie wpłwają na przepustowość całego przekroju. W drugiej części terenu zalewowego ograniczonego obwałowaniem lub wsoczzną prędkości przepłwu wod są znacznie niższe i w efekcie ta część przekroju mniej wpłwa na przepustowość całego przekroju poprzecznego. W oparciu o to stwierdzenie i opisane, głównie w literaturze niemieckiej, wniki badań modelowch przepustowości kort o złożonch przekrojach poprzecznch z roślinnością w terenie zalewowm oraz obliczeń rozkładów prędkości można sformułować następujące krteria usuwania / pozostawiania roślinności w terenach zalewowch: 38
1. W złożonch przekrojach kort o płaskich, smetrcznch i niesmetrcznch terenach zalewowch nie należ pozostawiać zarośli, krzewów i gęstch skupisk drzew w terenie zalewowm o szerokości b II równej w przbliżeniu połowie szerokości korta głównego i bezpośrednio przległm do korta głównego (rs. 4.2a, 4.2b). obszar z roślinnością b II b II b II b II z roślinnością obszar v [m/s] Rs. 4.2a. Obszar z roślinnością w złożonch przekrojach kort o płaskich, smetrcznch terenach zalewowch rozkład prędkości wod obszar z roślinnością b II b II b II b II obszar z roślinnością v [m/s] Rs. 4.2b. Obszar z roślinnością w złożonch przekrojach kort o płaskich, niesmetrcznch terenach zalewowch rozkład prędkości wod Dopuszczenie do wstępowania skupisk roślinności w tm terenie prowadzić może do znacznego zmniejszenia prędkości przepłwu wod, w następstwie czego dochodzi do akumulacji rumowiska wleczonego w skupiskach roślin i tuż za nimi. Pozostawione krzew ulegają uszczelnieniu niesionmi przez wodę trawami i liśćmi, co prz odpowiedniej ich gęstości powoduje włączenie tej części przekroju z przepłwu. Przepustowość całego przekroju zmniejszają istotnie powstające odspiska rumowiska. Pozostawione w tm obszarze pojedncze drzewa nie mają istotnego wpłwu na rozkład prędkości przepłwu wod 2. W złożonch przekrojach poprzecznch korta o zróżnicowanej wsokości / głębokości terenów zalewowch nie należ pozostawiać roślinności przede wszstkim w głębszm terenie zalewowm (rs. 4.3). Odległość oddziałwania przepłwu w terenie zalewowm 39
przez przepłw w korcie głównm w tej części przekroju korta jest większa niż połowa szerokości korta głównego. W odniesieniu do płtszego terenu zalewowego należ stosować poprzednie zalecenia. obszar z roślinnością b II b II >b II obszar z roślinnością v [m/s] Rs. 4.3. Obszar z roślinnością w złożonch przekrojach kort o zróżnicowanej wsokości/głębokości terenów zalewowch rozkład prędkości wod 3. W złożonm przekroju poprzecznm korta z wspą/wspami każd tp roślinności na wspie istotnie zmniejsza przepustowość przekroju poprzecznego korta (rs. 4.4). Stosunkowo najmniejsz wpłw na rozkład prędkości przepłwu wod ma roślinność wsoka - drzewa. Natomiast skupiska zarośli i krzewów istotnie ograniczają prędkość przepłwu wod, intensfikują proces akumulacji rumowiska, co przśpiesza proces podziału przekroju poprzecznego na części. v [m/s] Rs. 4.4. Obszar z roślinnością w złożonm przekroju poprzecznm korta z wspą rozkład prędkości wod Gęste skupiska roślinności wsokiej powodują odkładanie rumowiska wleczonego wewnątrz skupisk roślin i tuż za nimi. Wmiar powstałch odspisk obliczać można na podstawie długości i szerokości ścieżki Karmana (określanch z zależności podanch przez Pasche, 1984) powstałej na powierzchni wod prz opłwie pnia drzewa. Nie stwierdzono wstępowania równości objętości rumowiska dopłwającego i odpłwającego, dlatego trzeba się liczć z ciągłm powiększaniem powierzchni odkładu rumowiska wleczonego, a w praktce z nasileniem prac związanch z usuwaniem odspisk po przejściu wezbrań. Wszstkie rodzaje roślin utrudniają przejście lodów w korcie i z tego względu nie należ pozostawić roślinności na wspie. 40
4. W obszarach z pozostawioną roślinnością w terenach zalewowch pokazanch na rsunkach 4.2, 4.3 nie powinno się pozostawiać jednego rzędu gęstch roślin wsokich (drzew) ustuowanch wzdłuż linii brzegu korta głównego (rs. 4.5). Pojęcie gęste roślin oznacza, że odległość międz roślinami jest mniejsza niż długość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie pojednczej roślin. widok z gór zalew x brzeg korto główne z z x rząd roślin wsokich odkład rumowiska Rs. 4.5. Rząd roślin wsokich w terenie zalewowm (Lehmann i in. 2005) Wstępowanie drzew w terenie zalewowm w rzędzie równoległm do linii brzegu powoduje wzmożone proces sedmentacji i powstawania odkładów wzdłuż rzędów roślin. Tworz się wraźn kortarz przepłwow, zwłaszcza prz gęstch krzakach, uszczelnianch często przez liście i roślinność (np. liście barszczu). Od zasad tej stosuje się odstępstwa omówione w punkcie 9 i 10. 5. W obszarach z pozostawioną roślinnością w terenach zalewowch pokazanch na rsunkach 4.2, 4.3 nie należ pozostawiać roślinności wsokiej oraz karp / pieńków ściętch drzew ustuowanch w dwóch lub więcej rzędach spełniającch warunek odległości pokazan na rsunku 4.6. widok z gór zalew x brzeg dno z z x drzewo odkład rumowiska Rs. 4.6. Ustuowanie skupisk roślinności wsokiej w terenie zalewowm (Lehmann i in. 2005) 41
Pozostawienie wsokich karp prz nieprawidłowo ściętch drzewach powoduje prz przepłwie wielkich wód powstanie odkładów i odspisk rumowiska wleczonego, powiększającch się ze wzrostem gęstości roślin i średnic ich gałęzi. 6. W obszarach z pozostawioną roślinnością w terenach zalewowch pokazanch na rsunkach 4.2, 4.3 nie zaleca się pozostawiania dwóch rzędów dojrzałch wierzb lub innch drzew ustuowanch równolegle do linii brzegowej i spełniającch warunek odległości pokazan na rsunkach 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 (woda nie sięga liści). a widok z gór a x=0,06a zalew x brzeg korto główne z z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.7. Ustuowanie dwóch rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) widok z gór a x=0,06a a zalew x brzeg korto główne z z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.8. Ustuowanie dwóch rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) 42
widok z gór a x=0,20a a zalew x brzeg korto główne z z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.9. Ustuowanie dwóch rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) widok z gór a x=0,67a a zalew x brzeg korto główne z z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.10. Ustuowanie dwóch rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) Pomimo zróżnicowania odległości międz drzewami wstępują wzmożone proces powstawania odspisk rumowiska, zwłaszcza w obrębie drugiego rzędu roślin. Zjawisko tłumaczć można w oparciu o rozkład prędkości przepłwu wod w przekroju poprzecznm korta. Oddziałwanie strumieni (interakcja strumienia w korcie głównm ze strumieniem w terenie zalewowm) powoduje wzrost prędkości w obrębie rzędu roślin w pobliżu korta głównego oraz wraźne zmniejszenie prędkości w obrębie oddalonego od korta głównego drugiego rzędu roślin i stąd obserwowan wzmożon odkład rumowiska. Nasilenie tego procesu obserwowano wraz ze wzrostem gęstości roślin. Konieczne staje się regularne prześwietlanie roślin, które szbko rozwijając się nadają niekorzstne z hdraulicznego punktu widzenia cech. 43
7. W obszarach z pozostawioną roślinnością w terenach zalewowch pokazanch na rsunkach 4.2, 4.3 nie zaleca się pozostawiania rzędów dojrzałch wierzb w poprzecznch rzędach, różnie rozmieszczonch względem osi przekroju (rs. 4.11, 4.12, 4.13). widok z gór a x=3,5a x a zalew brzeg korto główne z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.11. Ustuowanie rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) a widok z gór a x=1,17a zalew x brzeg korto główne z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.12. Ustuowanie rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) 44
a widok z gór a x=2,33a zalew x brzeg korto główne z x wierzba odkład rumowiska Rs. 4.13. Ustuowanie rzędów dojrzałch wierzb lub drzew wzdłuż linii brzegowej (woda nie sięga liści) (Lehmann i in. 2005) Pomimo znacznie zróżnicowanch odległości międz rzędami drzew, badania potwierdzają wzrost tendencji powstawania odspisk rumowiska i tworzenia się jednej lub dwóch rnien wzdłuż linii brzegowej. Praktczn aspekt tch badań zaleca, ab ograniczć rozwój roślin w przekroju poprzecznm korta. Roślinność pozostawiana w pobliżu linii brzegu powinna rosnąć w górę, ab nie ograniczać światła przekroju. Dopuszczenie do zarastanie przestrzeni międz drzewami przez zarośla i krzew grozi uszczelnieniem światła międz drzewami - zatkaniem przekroju, co skutkuje podniesieniem zwierciadła wod w przekroju. 8. Bezwzględnie nie należ dopuszczać do powstawania i utrzmwania nawet najniższch ogrodzeń, w terenach zalewowch, które podczas przepłwu wod w terenie zalewowm ulegają uszczelnieniu i pracują jak przelew o ostrej krawędzi, wwołując dodatkowe spiętrzenie wod w korcie. 9. Wniki badań laboratorjnch (Lehmann i in. 2005) dopuszczają wstępowanie rzadkich skupisk roślinności wsokiej (drzew) w terenie zalewowm w odległości mniejszej niż szerokość b II od korta głównego (rs. 4.14). Nie należ dopuścić, ab zarośla i krzew porastał pomiędz drzewami. Pojęcie rzadkie roślin oznacza, że odległość międz roślinami jest większa niż długość ścieżki Karmana powstałej prz opłwie pojednczej roślin. 45