A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 389 TORUŃ 2009

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 389 TORUŃ 2009 Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki Jarosław Krajewski ZASTOSOWANIE DYNAMICZNEGO MODELU CZYNNIKOWEGO DO MODELOWANIA I PROGNOZOWANIA PKB W POLSCE Z a r y s r e ś c i. Refera rakuje o podsawach konsrukcji dynamicznych modeli czynnikowych i ich zasosowaniu empirycznym. DFM sosuje się do prognozowania, konsruowania głównych wskaźników koniunkury, analiz poliyki monearnej i badania międzynarodowych cykli koniunkuralnych. W referacie oszacowano DFM PKB w Polsce w laach 1997 2008, a akże oceniono rafność uzyskanych na jego podsawie prognoz w porównaniu do modelu AR i modelu sympomaycznego. Zbiór danych wykorzysanych do badania zawiera 41 zmiennych makroekonomicznych. Najlepszym ze saysycznego punku widzenia okazał się model z 3 czynnikami. S ł o w a k l u c z o w e: dynamiczny model czynnikowy, meoda głównych składowych, PKB. 1. WSTĘP Dynamiczne modele czynnikowe (Dynamic Facor Models DFM) w osanim czasie sały się bardzo popularne w empirycznych analizach makroekonomicznych. Zauważyć można akże znaczny rozwój ego narzędzia pod względem meodologicznym. Za pionierów w zakresie DFM uważa się Geweke a (1977) oraz Simsa i Sargena (1977), kórzy zasosowali en yp modeli do małych zbiorów danych. DFM sosuje się do prognozowania, konsruowania głównych wskaźników koniunkury, analiz poliyki monearnej i badania mię- Praca naukowa współfinansowana ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego i Budżeu Pańswa w ramach Zinegrowanego Programu Operacyjnego Rozwoju Regionalnego, Działania 2.6 Regionalne Sraegie Innowacyjne i ransfer wiedzy projeku własnego Wojewódzwa Kujawsko-Pomorskiego Sypendia dla dokoranów 2008/2009 ZPORR"

248 JAROSŁAW KRAJEWSKI dzynarodowych cykli koniunkuralnych. Dynamic Facor Models prezenują aeoreyczne podejście do modelowania ekonomerycznego (por. Sims, 1980). Celem prezenowanego arykułu jes skonsruowanie dynamicznego modelu czynnikowego PKB w Polsce w laach 1997 2008. Ponado w pracy przedsawiona zosanie isoa DFM i jedna z meod ich esymacji. Kolejny punk zawierał będzie opis danych wykorzysanych w obliczeniach, a akże empiryczny model PKB. 2. DYNAMICZNY MODEL CZYNNIKOWY Koncepcja modeli czynnikowych opiera się na założeniu, że zachowanie się większości zmiennych makroekonomicznych może być dobrze opisane za pomocą małej liczby nieobserwowalnych wspólnych czynników. Czynniki e częso są inerpreowane jako wiodące siły w ekonomii. Poszczególne zmienne mogą wedy zosać wyrażone jako liniowa kombinacja mniej niż 20 czynników, kóre wyjaśniają znaczącą część ich zmienności (por. Kołowski, 2008). Niech y oznacza pewien szereg czasowy i X wyraża wekor N zmiennych w posaci szeregów czasowych zawierających informacje użyeczne w modelowaniu, a akże prognozowaniu warości y. W dynamicznym modelu czynnikowym zakładamy, że wszyskie zmienne x zaware w wekorze mogą zosać wyrażone jako liniowa kombinacja bieżących i opóźnionych nieobserwowalnych czynników f i x λ + e, dla i = 1,..., N, (1) i = i ( L)f i gdzie f = [ f1, f 2,..., f r ]' jes wekorem r nieobserwowalnych wspólnych 2 q czynników w momencie, λ i ( L) = λi0 + λi1l + λi2l +... + λiq L jes operaorem opóźnień, naomias e i wyraża swoisy błąd zmiennej x i (por. Sock, Wason, 1998). Sąd eż y może być zapisane jako funkcja bieżących i opóźnionych wspólnych czynników zawarych w wekorze f oraz opóźnionych warości y w nasępujący sposób: y = β ( L) f + γ ( L) y + e. (2) Zaem można powiedzieć, że dynamiczny model czynnikowy składa się z równań (1) i (2). i X

Zasosowanie dynamicznego modelu czynnikowego 249 3. ESTYMACJA PARAMETRÓW DFM I SPECYFIKACJA LICZBY CZYNNIKÓW Jedną z najczęściej używanych meod esymacji paramerów i czynników w modelach czynnikowych jes meoda głównych składowych. W meodzie ej obie macierze, czynników i paramerów, są nieznane. Model przedsawiony jako równanie (1) może zosać zapisany w nasępującej formie macierzowej: 1 X = FHH Λ' + e, (3) gdzie H jes niejednoskową macierzą o wymiarach r r. Niezbędne jes wykonanie odpowiedniej normalizacji macierzy H. Sock i Wason (1998) zaproponowali warunek ( Λ' Λ / N ) = Ir, kóry może zosać nałożony na paramery modelu i sprawi, że macierz H będzie oronormalna. Esymacja macierzy F i Λ przy użyciu meody głównych składowych polega na znalezieniu akich esymaorów macierzy Fˆ i Λˆ, kóre będą minimalizować sumę kwadraów resz równania (3) wyrażoną w nasępujący sposób: V 1 N T 2 ( F, Λ) = ( x i Λ i ' F ). (4) NT i= 1 = 1 W pierwszym kroku należy dokonać minimalizacji funkcji (4) w odniesieniu do macierzy czynników F przy założeniu, że macierz Λ jes znana i sała. W wyniku ego orzymany zosanie esymaor Fˆ, jako funkcja Λ, kóry nasępnie zasępuje w powyższym równaniu prawdziwe warości F. W drugim kroku minimalizowana jes funkcja (4) w odniesieniu do macierzy Λ z warunkiem normalizacji ( Λ' Λ / N ) = Ir, w en sposób orzymany zosaje bezpośrednio esymaor Λˆ. Waro zauważyć, że jes o równoznaczne z maksymalizacją wyrażenia r [ Λ' ( X'X) Λ]. Kolejne kolumny macierzy Λˆ są wekorami własnymi, macierzy X X pomnożonej przez N, odpowiadającymi największym warościom własnym ej macierzy. Z kolei esymaor macierzy F jes wyrażony jako F ˆ = ( XΛˆ ) / N. (5) Sock i Wason podkreślają, że jeżeli liczba zmiennych jes wyższa od liczby obserwacji, zn. N > T, wedy z obliczeniowego punku widzenia ławiejsza do zasosowania jes procedura polegająca na oszacowaniu F ~ przez minimalizację (4) z uwzględnieniem dla F warunku F' F / T = Ir. Macierz F ~ zawiera wówczas wekory własne z macierzy X X odnoszące się do r największych warości własnych z ej macierzy przemnożonej przez T. Z kolei esymaor macierzy Λ ~ przyjmie nasępującą formę:

250 JAROSŁAW KRAJEWSKI ~ ~ Λ ' = ( F'X) /T. (6) Oba esymaory Fˆ i F ~ są równoważne. W prakyce liczba czynników, niezbędna do pokazania związków pomiędzy zmiennymi, jes zazwyczaj nieznana. Isnieją jednak kryeria, kóre mogą zosać użye do wyznaczenia liczby czynników. Bai i Ng (2002) zaproponowali w ym celu nasępujące kryeria informacyjne: N + T NT IC1 ( ) k) = ln( V ( k)) + k ln (7) NT N + T ) N + T 2 IC2 ( k) = ln( V ( k)) + k ln C NT (8) NT ) 2 lnc NT IC = + 2 ( k) ln( V ( k)) k 2 (9) CNT W powyższych wzorach V ˆ( k ) oznacza sumę kwadraów resz z k czynniko- C NT = min N, T. wego modelu, a { } 4. DANE I ANALIZA WYNIKÓW EMPIRYCZNYCH W badaniu zasosowanie znalazły kwaralne dane makroekonomiczne charakeryzujące polską gospodarkę. Zbiór danych zawiera 41 zmiennych w posaci szeregów czasowych o częsoliwości kwaralnej. Dane doyczą okresu od 1 kwarału 1997 do 3 kwarału 2008 roku, a więc każdy szereg składa się z 47 obserwacji. Jako zmienna objaśniana posłużyło PKB. Wszyskie dane pochodzą z inerneowej srony Głównego Urzędu Saysycznego1 i poddane zosały odpowiednim ransformacjom. Sprowadzono je do cen sałych z 1 kwarału 1997 roku i oczyszczono z wahań sezonowych. W kolejnym kroku dane zlogarymowano i zróżnicowano odpowiednio do szeregów, w celu sprowadzenia ich do sacjonarności (por. Greene, 2003). Na koniec dane poddane zosały sandaryzacji. W obliczeniach wykorzysano dane doyczące wielkości sprzedaży produkcji przemysłowej ogółem, jak i jej części składowych, budownicwa w różnych aspekach, handlu krajowego i zagranicznego, inflacji i rynku pracy w różnych ujęciach, sfery budżeowej, a akże charakerysyki szeroko rozumianej sfery poliyki pieniężnej. Po wsępnym przygoowaniu danych zasosowana zosała meoda głównych składowych w celu wyznaczenia czynników. Nasępnie wyznaczone zosały warości kryeriów informacyjnych Bai a i Ng w celu specyfikacji ich liczby. Tabela 1 pokazuje warości ych kryeriów informacyjnych dla różnej liczby 1 www.sa.gov.pl.

Zasosowanie dynamicznego modelu czynnikowego 251 czynników w modelu, a akże warości własne i ich udział w całkowiej zmienności. Osaecznie w modelu zosały uwzględnione rzy czynniki, ponieważ wskazały na o pierwsze i drugie kryerium. Trzecie kryerium wskazało na konieczność uwzględnienia 10 czynników, jednakże ma ono endencję do zawyżania ich liczby. Trzy czynniki wyjaśniają niemal 82% całkowiej zmienności, co jes warością wysoce zadowalającą. Część badaczy soi na sanowisku, że czynniki wyznaczone meodą głównych składowych nie mają inerpreacji ekonomicznej. Jednakże w niniejszym arykule dokonana zosanie próba ich przybliżonej inerpreacji. W ym celu przeprowadzona zosała analiza współczynników R kwadra z regresji pomiędzy poszczególnymi czynnikami a zmiennymi pierwonymi. Założono, że w skład czynnika wchodzi a zmienna, kórej R kwadra jes najwyższy. Z powyższego wynika, że pierwszy czynnik reprezenuje głównie rynek pracy i handel zagraniczny. Na drugi czynnik wpływ mają ceny, wynagrodzenia i przychody z działalności gospodarczej. Trzeci czynnik zawiera szeroko pojęą sprzedaż. Nasępnie za pomocą kryerium BIC wybrano opóźnienia zarówno dla zmiennej zależnej, jak i dla czynników. Okazało się, że najlepszy jes model zawierający jedynie czynniki bez opóźnień. Wyniki esymacji ego modelu prezenuje abela 2. Wszyskie współczynniki ego modelu okazują się być isone na poziomie nieprzekraczającym 5%. Tak oszacowany model opisuje kszałowanie się PKB w ponad 70% i nie wysępuje w nim auokorelacja. Rzeczywise warości PKB i warości obliczone na podsawie modelu czynnikowego prezenuje wykres 1. Tabela 1. Wybór liczby czynników do modelu Liczba czynników Warości własne Udział w zmienności Skumulowany udział w zmienności IC1 IC2 IC3 1 76,949 0,721 0,721-3,694-3,491-3,833 2 6,249 0,059 0,779-3,584-3,177-3,861 3 4,278 0,040 0,819-4,555-3,945-4,971 4 2,921 0,027 0,846-4,490-3,677-5,044 5 2,460 0,023 0,870-4,467-3,451-5,160 6 1,976 0,019 0,888-4,335-3,115-5,166 7 1,551 0,015 0,903-4,192-2,769-5,162 8 1,429 0,013 0,916-4,109-2,482-5,216 9 1,282 0,012 0,928-4,246-2,417-5,493 10 1,066 0,010 0,938-4,126-2,093-5,511 Źródło: obliczenia własne. W ym miejscu sprawdzone zosało również czy kolejność rozważania czynników w procedurze badawczej ma wpływ na wynik końcowy modelowania. Zbadany zosał wpływ zmiany kolejności czynników na: warości kryeriów informacyjnych Bai a i Ng oraz warości kryerium BIC, jak również na

252 JAROSŁAW KRAJEWSKI warości paramerów modelu i podsawowe miary dobroci modelu. W każdym przypadku okazało się, że zmiana kolejności rozważanych w badaniu czynników nie ma wpływu na wynik końcowy modelowania. Kolejnym krokiem analizy było sprawdzenie czy opóźnienie niekórych zmiennych pierwonych ma wpływ na osaeczną posać modelu. Działanie akie spowodowało zmianę osaecznej posaci modelu, a dokładniej zwiększenie liczby uwzględnionych w nim czynników do 4. Wynik esymacji modelu czeroczynnikowego prezenuje abela nr 3. Tabela 2. Dynamiczny model czynnikowy PKB Polski w laach 1997 2008 Zmienna zależna: PKB Współczynnik Błąd sd. Saysyka P F1-0,0362 0,0095-3,7985 0,0005 F2 0,0683 0,0335 2,0404 0,0478 F3 0,3707 0,0405 9,161 0,0000 R-kwadra 0,7142 Kryerium Akaika 1,7264 Dopasowany R-kwadra 0,7003 Kryerium Schwarza 1,8481 Durbin-Wason 2,1454 Kry. Hannana-Quinna 1,7715 Źródło: obliczenia własne. 3 2 1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43-1 -2-3 Empiryczne Wyrównane Wykres 1. Rzeczywise i dopasowane na podsawie DFM warości PKB w Polsce w laach 1997 2008 Źródło: opracowanie własne. Jak nierudno zauważyć, zmiana pierwonego zbioru danych spowodowała również polepszenie się saysycznych właściwości modelu. Współczynnik R

Zasosowanie dynamicznego modelu czynnikowego 253 kwadra wzrósł o około 7 punków procenowych. Spadły akże empiryczne poziomy isoności paramerów znajdujących się przy poszczególnych czynnikach. Osanim eapem analizy było wyznaczenie prognozy i jej błędów na podsawie dynamicznych modeli czynnikowych. Błędy e nasępnie poddane zosały porównaniu z analogicznymi orzymanymi z modelu auoregresyjnego. Modele klasy AR sanowią bowiem najczęsszy, choć nie jedyny, punk odniesienia w lieraurze emau. Auorzy najczęściej przeciwsawiają prognozy z modeli z wieloma zmiennymi modelom z jedną zmienną (por. Marcellino, Sock, Wason, 2001). Do porównań przyjęy zosał, na podsawie kryerium BIC, sacjonarny model AR(1). Ponado do wyznaczenia prognozy posłużył również klasyczny model sympomayczny PKB w Polsce. W modelu sympomaycznym za zmienne objaśniające posłużyły wielkości reprezenujące produkcję sprzedaną przemysłu i przecięne zarudnienie. Modele prognosyczne oszacowane zosały na próbie skróconej do końca roku 2007, co nie wywarło isonego wpływu na ich jakość. Prognoza zosała wyznaczona na pierwszy kwarał roku 2008. Najbardziej rafną prognozą okazała się a orzymana na podsawie pierwszego DFM, czego powierdzenie znajduje się w abeli 4. Tabela 3. Dynamiczny model czynnikowy PKB Polski w laach 1997 2008 po modyfikacji zbioru danych Zmienna zależna: PKB Współczynnik Błąd. Sd. Saysyka P F21 0,1722 0,0273 6,316 0,0000 F22 0,1686 0,0329 5,132 0,0000 F23-0,2548 0,0361-7,0669 0,0000 F24 0,2241 0,04 5,609 0,0000 R-kwadra 0,7909 Kryerium Akaike'a 1,4858 Dopasowany R - kwadra 0,7748 Kryerium Schwarza 1,6497 Durbin-Wason 2,2511 Kry. Hannana-Quinna 1,5463 Oznaczenie w posaci F21 oznacza, że jes o pierwszy czynnik ze zmodyfikowanego o odpowiednie opóźnienia zbioru danych. Źródło: obliczenia własne.

254 JAROSŁAW KRAJEWSKI Tabela 4. Błędy prognoz MAPE RMSE R-kwadra AR 90,8002 0,8116 0,1246 DFM 1,7898 0,016 0,7003 DFM2 12,869 0,115 0,7748 Model sympomayczny 4,9267 0,044 0,8694 Źródło: obliczenia własne. 5. PODSUMOWANIE Przeprowadzona analiza doprowadziła do zredukowania liczby pierwonych zmiennych objaśniających z 41 do 3 czynników, co orzymane zosało przez zasosowanie meody głównych składowych. Dzięki emu orzymano dynamiczny model czynnikowy opisujący gospodarkę Polski w zakresie PKB w sposób zadowalający ze saysycznego punku widzenia. Modyfikacja zbioru danych pierwonych w posaci opóźnienia poszczególnych zmiennych o jeden okres w ył ma wpływ na osaeczną posać modelu. W powyższej analizie spowodowała zwiększenie się liczby czynników w modelu i polepszenie poziomu jego dopasowania do danych empirycznych. Niesey, nie przyniosła oczekiwanej poprawy wyników prognozy. Z dynamicznego modelu czynnikowego wzrosu PKB w Polsce w laach 1997 2008 oparego na niezmodyfikowanym zbiorze zmiennych pierwonych orzymaliśmy prognozę charakeryzującą się najwyższą rafnością spośród narzędzi rozważanych w powyższym arykule. LITERATURA Bai J., Ng S. (2002), Deermining he Number of Facors in Approximae Facor Models, Economerica, 70, 191 221. Geweke J. (1977), The Dynamic Facor Analysis of Economic Time Series, [w:] Aigne D. J., Goldberger A. S. (red.), Laen Variables in Socio Economic Models, Amserdam, Norh Holland. Greene W. H. (2003), Economeric Analysis, Pearson Educaion, New Jersey. Marcellino M., Sock J. H., Wason M. W. (2001), Macroeconomic Forecasing in he Euro Area: Counry Specific versus Area Wide Informaion, Working Paper, 201, Innocenzo Gasparini Insiue for Economic Research. Sargen T., Sims C. (1977), Business Cycle Modelling wihou Preending o have oo much a-priori Economic Theory, [w:] Sims C. (red.), New Mehods in Business Cycle Research, Minneapolis, Federal Reserve Bank of Minneapolis. Sims C. A. (1980), Macroeconomics and Realiy, Economerica, 48, 1 48. Kołowski J. (2008), Forecasing Inflaion wih Dynamic Facor Model he Case of Poland, Working Papers, 2-08, SGH, Warszawa. Sock J., Wason M. W. (1998), Diffusion Indexes, Working Paper, 6702, Naional Bureau of Economic Research.

Zasosowanie dynamicznego modelu czynnikowego 255 ESTIMATING AND FORECASTING GDP IN POLAND WITH DYNAMIC FACTOR MODEL A b s r a c. Presened paper concerns he dynamic facors models heory and applicaion in he economeric GDP in Poland analyses. DFMs are used for consrucion of he economic indicaors and in forecasing. They are applied in macroeconomics analyses, mainly in regard o he moneary policy and inernaional business cycles. In he aricle we compare forecas accuracy of dynamic facor models wih he forecas accuracy of wo compeiive models: univariae auoregressive model and sympomaic model. We have used 41 quarerly ime series from he Polish economy. The resuls are encouraging. The dynamic facor model ouperforms oher models. The bes fied o empirical daa was model wih 3 facors. K e y w o r d s: Dynamic facor models, principal componens analysis, GDP.