ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1 j n, dokªadnie jednej liczby rzeczywistej (zespolonej) a ij Macierz zapisujemy w jeden z nast puj cych sposobów: A = A = [a i,j ] m n lub A = [a ij ] lub a 11 a 12 a 1j a 1,n 1 a 1,n a 21 a 22 a 2j a 2,n 1 a 2,n a i1 a i2 a ij a i,n 1 a i,n a m 1,1 a m 1,2 a m 1,j a m 1,n 1 a m 1,n a m1 a m2 a mj a m,n 1 a m,n j -ta kolumna i -ty wiersz

MACIERZE Je±li m = n, to macierz A nazywamy macierz kwadratow, a liczb n nazywamy stopniem macierzy A, w przeciwnym przypadku macierz A nazywa si prostok tn wymiaru m n Elementy a ii tworz gªówn przek tn macierzy A Dwie macierze prostok tne A = [a ij ] i B = [b ij ] nazywamy równymi, je±li speªnione s warunki: 1 A i B s tego samego wymiaru, 2 a ij = b ij dla wszystkich 1 i m, 1 j n Macierz A T = [a lk ] m n nazywamy macierz transponowan do macierzy A = [a kl ] m n (kolumny A s wierszami macierzy A T, wiersze A s kolumnami macierzy A T ) RODZAJE MACIERZY macierz zerowa: Z = [0] m n macierz trójk tna dolna: m = n i a ij = 0 dla i < j macierz trójk tna górna: m = n i a ij = 0 dla i > j macierz diagonalna: m = n i a ij = 0 dla i j macierz jednostkowa: m = n i a ij = Macierz jednostkow oznacza si I n 0, i j, 1, i = j

DZIAŠANIA NA MACIERZACH Niech dane b d macierze A = [a ij ] m n, B = [b ij ] p q Iloczynem macierzy A przez liczb α nazywamy macierz α A = [α a ij ] m n Je±li m = p i n = q, to sum macierzy A i B nazywamy macierz A + B = [a ij + b ij ] m n Je±li m = p i n = q, to ró»nic macierzy A i B nazywamy macierz A B = [a ij b ij ] m n Je±li n = p, to iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz A B = [a i1 b 1j + a i2 b 2 j + + a in b nj ] m q UWAGA: Powy»sze dziaªania nie zawsze s wykonalne! MNO ENIE MACIERZY a i1 b 1j + a ik b kj + a in b nj b 11 b 1j b 1q b k1 b kj b kq b n1 b nj b nq a 11 a 1k a 1n a i1 a ik a in c 11 c 1j c 1q c i1 c ij c iq a m1 a mk a mn c m1 c mj c mq

WŠASNO CI DZIAŠA NA MACIERZACH α A = A α, (α + β) A = α A + β A, α (A + B) = α A + α B, (αβ)a = α(βa), 1 A = A, 0 A = Z, (α A) T = α A T, (A + B) T = A T + B T, A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B) + C, A + Z = A, Je±li A jest macierz kwadratow stopnia n, to A I n = A = I n A WŠASNO CI DZIAŠA NA MACIERZACH Mno»enie macierzy na ogóª nie jest przemienne, ale jest ª czne, tzn A (B C) = (A B) C Ponadto A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C, A(αB) = (αa) B = α(a B), (A B) T = B T A T, o ile powy»sze dziaªania s wykonalne

WYZNACZNIK Niech A ij oznacza macierz jak otrzymamy z macierzy A poprzez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a ij ] nazywamy liczb rzeczywist lub zespolon det A okre±lon w nast puj cym wzorem rekurencyjnym 1 Je»eli stopie«macierzy A jest równy 1, to det A = a 11, 2 Je»eli stopie«n macierzy A jest wi kszy ni» 1, to det A = n i=1 ( 1) k+i a ki det A ki, gdzie 1 k n jest numerem dowolnie wybranego wiersza z macierzy A WYZNACZNIK Denicj wyznacznika podaª matematyk francuski Pierre-Simon Laplace Ponadto warto± wyznacznika nie zale»y od wyboru wiersza, dlatego te» licz c wyznacznik macierzy b dziemy mówi,»e stosujemy metod rozwini cia Laplace'a wzgl dem k-tego wiersza Wyznacznik macierzy mo»emy równie» obliczy dokonuj c rozwini cia wzgl dem dowolnej kolumny danej macierzy, wówczas n det A = ( 1) k+j a jk det A jk, j=1 gdzie 1 k n jest numerem dowolnie wybranej kolumny z macierzy A

WŠASNO CI WYZNACZNIKA Wyznacznik macierzy kwadratowej maj cej wiersz lub kolumn zªo»on z samych zer jest równy zero Je»eli w macierzy kwadratowej zamienimy miejscami dwa wiersze albo dwie kolumny, to jej wyznacznik zmieni znak na przeciwny Wyznacznik macierzy kwadratowej, w której dwa wiersze lub dwie kolumny maj proporcjonalne elementy jest równy zero Je»eli jedn z kolumn lub jeden z wierszy pomno»ymy przez dowoln liczb c, to wyznacznik macierzy zostanie równie» pomno»ony przez c WŠASNO CI WYZNACZNIKA Wyznacznik macierzy trójk tnej dolnej, trójk tnej górnej i diagonalnej jest równy iloczynowi elementów stoj cych na gªównej przek tnej Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni si je»eli dowolny wiersz (kolumn ) pomno»ymy przez liczb ró»n od zera i dodamy go do innego wiersza (kolumny) det A T = det A det I n = 1 det(a B) = det A det B

MACIERZ ODWROTNA Macierz nieosobliw nazywamy macierz kwadratow, której wyznacznik jest ró»ny od zera Macierz o wyznaczniku równym zero nazywamy macierz osobliw Macierz odwrotn do macierzy A nazywamy macierz oznaczon przez A 1, która speªnia nast puj cy warunek A A 1 = A 1 A = I, gdzie I jest macierz jednostkow Macierz do której istnieje macierz odwrotna nazywa b dziemy macierz odwracaln WŠASNO CI MACIERZY ODWROTNEJ Macierz odwracalna jest nieosobliwa det A 1 = 1 det A Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, tzn (A 1 ) 1 = A Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierz odwracaln i (A B) 1 = B 1 A 1 Macierz transponowana do macierzy odwracalnej jest odwracalna oraz (A T ) 1 = (A 1 ) T

Ukªad równa«a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m nazywamy ukªadem m równa«liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,, x n Ukªad równa«liniowych mo»emy zapisa w postaci macierzowej macierz gªówna { }} { a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = a m1 a m2 a mn x n kolumna niewiadomych b 1 b 2 b m kolumna wyrazów wolnych MACIERZ UZUPEŠNIONA U = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m

UKŠADY RÓWNA LINIOWYCH Rozwi zaniem ukªadu równa«liniowych nazywamy ka»dy ci g (x 1, x 2,, x n ) liczb rzeczywistych speªniaj cych ten ukªad Je»eli istnieje dokªadnie jeden ci g (x 1, x 2,, x n ), który speªnia ukªad równa«liniowych, to mówimy,»e ukªad jest oznaczony W przypadku, gdy takich ci gów jest niesko«czenie wiele ukªad b dziemy nazywa nieoznaczonym Natomiast ukªad równa«, który nie ma rozwi za«nazywamy sprzecznym Ukªad równa«liniowych, w którym kolumna wyrazów wolnych jest macierz zerow nazywamy ukªadem jednorodnym OPERACJE ELEMENTARNE NA WIERSZACH I KOLUMNACH Problemy algebry liniowej takie jak obliczanie wyznaczników, wyznaczanie macierzy odwrotnej, czy rozwi zywanie ukªadów równa«liniowych, mo»na rozwi za poprzez sprowadzenie macierzy do macierzy diagonalnej W tym celu wykorzystuje si nast puj ce operacje elementarne zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn) mno»enie wiersza (kolumny) przez liczb ró»n od zera dodanie wielokrotno±ci wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) Wymienione operacje wykorzystuje si w algorytmie zwanym eliminacj Gaussa-Jordana

Eliminacja Gaussa-Jordana to algorytm przeksztaªcania macierzy [A B] do postaci [I C], gdzie A jest macierz wymiaru m n Eliminacja Gaussa-Jordana przebiega w nast puj cych krokach I Je±li m n, to w := n, w przeciwnym przypadku w := m II Dla k = 1, 2,, w wykonujemy kolejno ELIMINACJA GAUSSA-JORDANA 1k Wybieramy tzw element gªówny poprzez zamian wierszy miejscami tak, aby element stoj cy w k-tym wierszu i k-tej kolumnie byª ró»ny od zera 2k Dzielimy k-ty wiersz przez a kk, aby uzyska w k-tym wierszu i k-tej kolumnie jedynk 3k Do wierszy o numerach wi kszych jak k dodajemy k-ty wiersz pomno»ony przez liczb ró»n od zera tak, aby wyzerowa elementy stoj ce w k-tej kolumnie pod elementem a kk 4k Je±li istnieje wiersz zªo»ony z samych zer, to usuwamy go 5k Je±li istniej jednakowe wiersze, to usuwamy te wiersze pozostawiaj c tylko jeden z nich

ELIMINACJA GAUSSA-JORDANA III Dla k = w, w 1,, 2, 1 wykonujemy kroki 1k-5k, przy czym krok 3k zast pujemy krokiem 3'k Do wierszy o numerach mniejszych jak k dodajemy k-ty wiersz pomno»ony przez liczb ró»n od zera tak, aby wyzerowa elementy stoj ce w k-tej kolumnie nad elementem a kk Eliminacj Gaussa-Jordana mo»na wykorzysta do: obliczania wyznacznika macierzy - pomijamy wszystkie kroki 2k, 4k,5k i dokonuj c operacji tylko na wierszach macierzy A doprowadzamy j do macierzy diagonalnej, odwracania macierzy - pomijamy wszystkie kroki 2k, 4k,5k i dokonuj c operacji tylko na wierszach macierzy [A I ] doprowadzamy j do macierzy [I A 1 ],

Eliminacj Gaussa-Jordana mo»na wykorzysta do: rozwi zywania ukªadu równa«liniowych - dokonuj c operacji tylko na wierszach macierzy [A B] doprowadzamy j do macierzy postaci 1 0 0 p 1,r+1 p 1,r+2 p 1n z 1 0 1 0 p 2,r+1 p 2,r+2 p 2n z 2 0 0 1 p r,r+1 p r,r+2 p rn z r 0 0 0 0 0 0 z r+1 Wówczas, je»eli z r+1 0, to ukªad jest sprzeczny, je»eli ostatni wiersz nie pojawi si i n = r, to ukªad jest oznaczony i ma rozwi zanie postaci x 1 = z 1, x 2 = z 2,, x n = z n, je»eli ostatni wiersz nie pojawi si i n > r, to ukªad jest nieoznaczony, a jego rozwi zania zale» od parametrów (x r+1, x r+2,, x n ) w nast puj cy sposób x 1 z 1 p 1,r+1 p 1,r+2 p 1n x r+1 x 2 = z 2 p 2,r+1 p 2,r+2 p 2n x r+2 x r z r p r,r+1 p r,r+2 p rn x n

WARTO CI I WEKTORY WŠASNE MACIERZY Niech dana b dzie macierz kwadratowa A = [a ij ] n n, n 2 o elementach rzeczywistych lub zespolonych i V = [v j ] n 1 niech b dzie macierz kolumnow o n wierszach Ka»d liczb λ speªniaj c równanie A V = λv nazywamy warto±ci wªasn macierzy A, a macierz V nazywamy wektorem wªasnym macierzy A odpowiadaj cym warto±ci wªasnej λ WARTO CI I WEKTORY WŠASNE MACIERZY Aby wyznaczy warto± i wektor wªasny macierzy A nale»y rozwi za ukªad jednorodny (A λi ) V = 0 Ukªad taki ma rozwi zanie tylko wtedy, gdy det(a λi ) = 0 Macierz A λi nazywamy macierz charakterystyczn, za± wyznacznik tej macierzy rozpatrywany jest jako funkcja zmiennej λ - wielomianem charakterystycznym macierzy A Równanie det(a λi ) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym Rozwi zania tego równania s oczywi±cie pierwiastkami wielomianu charakterystycznego i warto±ciami wªasnymi macierzy A

WARTO CI I WEKTORY WŠASNE MACIERZY Ka»da macierz kwadratowa ma tyle warto±ci wªasnych (licz c z krotno±ciami), ile wynosi jej stopie«poniewa» warto±ci wªasne s pierwiastkami równania charakterystycznego, to wektory wªasne otrzymujemy przez rozwi zanie ukªadu równa«z osobliw macierz gªówn Dlatego dla ka»dej warto±ci wªasnej otrzymujemy niesko«czenie wiele wektorów wªasnych, przy czym dla ka»dej warto±ci wªasnej macierzy A mo»na wybra tyle liniowo niezale»nych wektorów wªasnych, ile wynosi krotno± tej warto±ci wªasnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego W zastosowaniach najciekawszy jest przypadek, gdy ka»da z warto±ci wªasnych jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego Wtedy, ka»dej warto±ci wªasnej przypisa mo»na, z dokªadno±ci do przemno»enia przez niezerow liczb, dokªadnie jeden wektor wªasny WARTO CI I WEKTORY WŠASNE MACIERZY Ponadto wiadomo,»e wielomiany mog posiada pierwiastki zespolone Dlatego warto±ci wªasne rozwa»amy jako liczby zespolone Co wi cej, wektory wªasne przyporz dkowane zespolonej warto±ci wªasnej skªadaj si z elementów zespolonych Istniej jednak macierze, które maj tylko rzeczywiste warto±ci wªasne, co jest bardzo przydatne, gdy» np liczb zespolonych nie da si uporz dkowa pod wzgl dem wielko±ci Mamy nast puj ce twierdzenie TWIERDZENIE Je»eli A jest macierz symetryczn rzeczywist, to wszystkie jej warto±ci i wektory wªasne s rzeczywiste Dodatkowo wektory wªasne odpowiadaj ce ró»nym warto±ciom wªasnym s prostopadªe