Analiza Matematyczna 2. Ćwiczenia

Analiza Matematyczna. Ćwiczenia Bogdan Balcerzak 4 Spis treści RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA. Ca ka oznaczona................................... Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej....................3 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina. Szeregi Fouriera............. 4 FUNKCJE WELU MENNYCH 5. Granica i ci ¾ag ość funkcji dwóch zmiennych.................... 5. Pochodna kierunkowa. Pochodne cz ¾astkowe. Ró zniczka funkcji dwóch zmiennych 7.3 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych....................... 9.4 Funkcja uwik ana jednej zmiennej. Ekstremum funkcji uwik anej......... 3 RACHUNEK CA KOWY FUNKCJ WELU MENNYCH. POLE WEKTOROWE 3. Ca ka podwójna. Ca ka potrójna.......................... 3. Ca ka krzywoliniowa nieskierowana......................... 3.3 Pole wektorowe................................... 3 3.4 Calka krzywoliniowa skierowana.......................... 5 4 PODSTAWY ANALY ESPOLONEJ 7 4. Wprowadzenie do analizy zespolonej........................ 7

RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA Ćwiczenie. Obliczyć ca ki nieoznaczone R (x 9) dx; R x x 9 dx; R 4 x 9 dx; R p x x 9 dx; R p x 9 dx; R 9 + x dx; R x p x 9 dx; R p dx; 9 x R x 9 x dx; R (x 9) e x dx; R p x 9 dx; R x 9 dx. Ca ka oznaczona Ćwiczenie. Obliczyć ca ki: a) 4 (3x 4) dx b) 4 4 cos x dx c) p 4 x dx d) 3x dx e) 4 x 8 sin x dx f) 5 3p x dx 4 8 3 g) e 5 dx h) x p dx i) + x 3 x dx j) ;5 p dx k) p x p x x 6 3 dx l) 4 6 tan x dx m) p) 3 dx n) 9 + x x dx r) + x4 4 5 3x 4 p x dx o) 5 3 x + 3 dx s) ( x ) ;5 dx q 9 x 9 4 x dx t) + dx u) q(x + ) 5 4 e p x p x dx w) 4 p x ln x dx x) e x dx y) x + e p x p x dx z) + dx q(x + ) 4 3. Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej.. najdź pole gury ograniczonej parabola¾ y = 4x x oraz prosta¾ y = :.. najdź pole gury ograniczonej parabola¾ y = x + oraz prosta¾ x + y = 3:

..3 najdź pole gury ograniczonej przez krzywe: y = x, y = x x, x =, x = :..4 najdź pole gury ograniczonej przez parabole y = 4 x i y = 3x x :..5 najdź pole gury ograniczonej parabola¾ y = x oraz prosta¾ x + y + = :..6 najdź pole gury ograniczonej hiperbola¾ xy = oraz prostymi y = x i x = :..7 Obliczyć pole gury ograniczonej przez parabol¾e y = x x + oraz proste styczne do niej w punktach A = ; i B = (4; ) :..8 Obliczyć d ugość uku: a) y = x 3 od punktu (; ) do (; ) ; b) b ¾ed acego ¾ funkcja¾ f : ; 3! R, f (x) = ln sin x; c) b ¾ed acego ¾ funkcja¾ g : ; 6! R, g (x) = ln cos x; d) o równaniach parametrycznych e) o równaniach parametrycznych x (t) = 3 t3 t y (t) = t + ; x (t) = e t cos t y (t) = e t sin t; t [; 3] ; t [; ln ] ; f) o równaniach parametrycznych x (t) = p 3 t, y (t) = t t 3, t [ ; ] :..9 Obliczyć d ugość p ¾etli! = t ; t 3 (t 3) R ; t p 3; p 3 :.. Obliczyć d ugość uku krzywej x = 4 y ln y od punktu 4 ; do punktu ln p e ; :.. Obliczyć obj ¾etość bry powsta ych przez obrót gury D wokó ka zdej z osi, gdzie: a) D = (x; y) R ; x ; y sin x ; b) D jest gur a¾ ograniczona¾ osia¾ x, funkcja¾ y = p x 4 i prosta¾ x = 8; c) D = (x; y) R ; x 3 ; y tg x ; d) D = f(x; y) R ; x ; y + cos xg ; e) D = f(x; y) R ; x [; ] ; y e x g :.. Wiedzac, ¾ ze a; h; p sa¾ dodatnimi liczbami rzeczywistymi, obliczyć pole powierzchni obrotowej powsta ej przez obrót wok ó osi x funkcji f, gdzie: a) f : [; h]! R, f (x) = a x (pobocznica sto zka), h b) f : [ a; a]! R, f (x) = p a x (sfera), obacz, ze zbiór! jest odcinkiem: y = 3x ; x [; 3] : 3

c) f : [; h]! R, f (x) = p px (paraboloida), d) f : [; ]! R, f (x) = sin x, e) f : [; ]! R, f (x) = x 3 ; f) f : [; ]! R, f (x) = e x ; g) f : ( ; ]! R, f (x) = e x :..3 Wykazać, ze pole powierzchni obrotowej powsta ej przez obrót wok ó osi Ox funkcji f : [ ; +)! R określonej wzorem f (x) = jest skończone. x..4 Obliczyć obj ¾etość bry y powsta ej przez obrót doko a osi Oy gury p askiej ograniczonej prostymi x y =, x 3y =, y = 6:..5 Niech D b ¾edzie gur a¾ p ask a¾ ograniczona¾ osia¾ Ox oraz funkcja¾ f : [ ; +)! R określona¾ wzorem f (x) =. Obliczyć pole gury D oraz pole powierzchni bocznej i obj¾etość x bry y powsta ej przez obrót D wokó osi Ox:.3 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina. Szeregi Fouriera.3. Rozwin ać ¾ w szereg Maclaurina funkcj ¾e f oraz podać obszar zbie zności tego szeregu, gdzie: a) f (x) = + x ; b) f (x) = ln + x ; c) f (x) = ( x) ; d) f (x) = 5x x + 5x 6 ; e) f (x) = x ( x) ; f) f (x) = ex; ( + x) g) f (x) = cos x; h) f (x) = p + x; i) f (x) = p + x ; j) f (x) = + x ; k) f (x) = p x ; l) f (x) = x arctan 3x; m) f (x) = x arcsin x; n) f (x) = xe x ; o) f (x) = xr e t dt (funkcja b ¾edu)..3. Rozwinać ¾ w szereg Fouriera w przedziale [ ; ] funkcj¾e f, gdzie: a) f (x) = x; b) f (x) = ; 5 x ; c) f (x) = jxj ; 4

d) f (x) = jsin xj ; e) f (x) = e x ; dla x f) f (x) = x dla x < ; x dla x g) f (x) = dla x < :.3.3 Rozwinać ¾ w szereg Fouriera w przedziale [ ; ] funkcj¾e f, gdzie: 8 < dla jxj < a) f (x) = x; b) f = sgn; c) f (x) = ; 5 dla jxj = : dla jxj > :.3.4 Rozwinać ¾ w przedziale [ ; ] funkcj¾e 8 < dla x < f (x) = ; 5 dla x = : dla < x a) w szereg cosinusów, b) w szereg sinusów..3.5 Rozwinać ¾ w przedziale [ ; ] w szereg cosinusów i w szereg sinusów funkcj¾e R 3 x 7! e x R. FUNKCJE WELU MENNYCH. Granica i ci ¾ag ość funkcji dwóch zmiennych.. Wykazać, ze dla funkcji f danej wzorem lim limf (x; y) x! y! (; ). = ; lim y! f (x; y) = x y x + y.. Wykazać, ze dla funkcji f danej wzorem lim limf (x; y) x! y! = = lim y! lim f (x; y) = ; ale nie istnieje granica funkcji f w punkcie x! f (x; y) = x y x y + (x y) lim f (x; y), ale nie istnieje granica funkcji f w punkcie (; ). x! 5

..3 Obliczyć albo wykazać, ze nie istnienieje granica funkcji f w punkcie (; ), gdzie a) f (x; y) = x y xy ; b) f (x; y) = x 3 y3 x + y ; c) f (x; y) = xy p ; xy + d) f (x; y) = sin (xy) ; e) f (x; y) = sin ; f) f (x; y) = x sin ; xy x + y x + y p g) f (x; y) = x3 + y 9 + x + y ; h) f (x; y) = 3 ; i) f (x; y) = (x + y) sin x + y4 x + y sin : x y..4 Obliczyć albo wykazać, ze nie istnienieja¾ granice iterowane lim limf (x; y), x!a y!b lim lim f (x; y) oraz lim f (x; y), gdzie: y!b x!a (x;y)!(a;b) a) f (x; y) = x +y x y, a =, b = b) f (x; y) = y, a =, b =, x+y c) f (x; y) = x + y ; a =, b =, x + y4 d) f (x; y) = sin x, a =, b =, y e) f (x; y) = x + y, a =, b =, x 3 + y3 f) f (x; y) = sin x ; a =, b = : x + y..5 Wykazać, ze funkcja f : R! R, f (x; y) = xy dla (x; y) R n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) jest ciag a ¾ w punkcie (; ), zaś jest ciag a ¾ wzgl ¾edem ka zdej zmiennej oddzielnie, tj. ciag e ¾ sa¾ funkcje h y : R! R, g x : R! R określone wzorami h y (x) = f (x; y), g x (y) = f (x; y) :..6 badać ciag ość ¾ funkcji f : R! R, gdzie: ( x 3 y 3 dla (x; y) R a) f (x; y) = n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) ; b) f (x; y) = ( x 4 y 4 x 4 +y 4 dla (x; y) R n f(; )g dla (x; y) = (; ) : nie 6

. Pochodna kierunkowa. Pochodne cz ¾astkowe. Ró zniczka funkcji dwóch zmiennych.. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji f i g w punktach (x o ; y o ), ( ; ) R, w kierunku wektora h, gdzie f (x; y) = x, g (x; y) = x y ey oraz: a) h = [ ; ], b) h = 4 ; 3 5 5, c) h = [; ]... Obliczyć pochodna¾ kierunkow a¾ funkcji f w punkcie P, w kierunku wektora h, gdzie: a) f (x; y) = x 3 3x y + 3xy +, P = (3; ), h = [3; 4] ; b) f (x; y) = x a + y, ab 6=, P = (a; b), h = [a; b] ; b c) f (x; y) = ln (e x + e y ), P = (; ), h jest dowolny, d) f (x; y; z) = xyz, P = (; ; ), h = [ ; ; ] ; e) f (x; y; z) = x + y + z, P = (; ; ), h = [; ; ] :..3 Wyznaczyć dziedzin ¾e oraz pierwsze pochodne czastkowe ¾ funkcji f, gdzie: a) f (x; y) = ln (x y) ; b) f (x; y) = ln p xy ; c) f (x; y) = log x y ; d) f (x; y) = log x+y x + y + y; e) f (x; y) = tg (x y) ; f) f (x; y) = y x ; g) f (x; z) = 3 x + z ; h) f (x; y) = p x +y 5 ; i) f (x; y) = y sin x y :..4 Obliczyć pochodne czastkowe ¾ pierwszego rz ¾edu funkcji f, gdzie: a) f (x; y) = ln x + p q x + y x ; b) f (x; y) = arcsin y ; c) f (x; y) = (e x + xy) x ; x +y d) f (x; y; z) = xz cos (x + y ) ; e) f (x; y) = arctg y x..5 Obliczyć pochodne czastkowe ¾ drugiego rz ¾edu funkcji f, gdzie: + x; f) f (x; y) = exp x+y : x y a) f (s; t) = ln p s + t ; b) f (r; s) = r s r + s ; x c) f (x; y) = y ; d) f (x; y) = arctg x + y xy ; e) f (x; y; z) = sin (x y) ; f) f (p; q) = p + qe p q : z..6 Udowodnić, ze funkcja f : R! R, xy dla (x; y) R n f(; )g f (x; y) = x +y dla (x; y) = (; ) ma pochodne czastkowe ¾ f jx, f jy w punkcie (; ), mimo ze f nie jest ciag a ¾ w tym punkcie. 7

..7 Wykzać, ze funkcja u : R! R, u (r; s) = arctg (r s) spe nia równanie @ u @r + @ u @r @s = :..8 Obliczyć pochodne czastkowe ¾ pierwszego i drugiego rz¾edu funkcji f : R! R, ( x y 3 dla (x; y) R f (x; y) = n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) w punkcie (; )...9 badać, czy dla funkcji f : R! R, ( x 3 y dla (x; y) R f (x; y) = n f(; )g x +y dla (x; y) = (; ) pochodne mieszane f jxy (; ) i f jyx (; ) sa¾ równe... Dana jest funkcja f (x; y) = x ln (xy). Obliczyć @3 f @ x 3... Dana jest funkcja f (x; y) = x 4 y. Obliczyć.. Dana jest funkcja f (x; y) = cos (xy). Obliczyć @ 5 f @x @y @x...3 Dana jest funkcja f (x; y) = x y. Obliczyć @ 3 f @x @y @x...4 Dana jest funkcja f (x; y; z) = (x y) z. Obliczyć @ 4 f @x @y. @ 3 f @x @y @z...5 Dana jest funkcja f (x; y; z) = x y z. Obliczyć @3 f @z x z. @x..6 Korzystajac ¾ z ró zniczki funkcji zaleźć przybli zon a¾ wartość liczby: a) ; ;, b) p ; 3 + ; 97 3 c) (3; ) p 3; 95 ; d) (; ) e ; e) (sin 3 ) cos 46 ; f) log ; 3; 9:..7 Wyznaczyć (grad f) (P ) (rf) (P ), gdzie: a) f (x; y) = x xy + 3y, P = (; ) b) f (x; y) = 5x y 3xy 3 + y 4, P = ( ; ), c) f (x; y) = p 4 + x + y, P = (x o ; y o ) : 8

..8 Dane sa¾ funkcje: Wykazać, ze funkcja spe nia równanie na (; +) (; +). g : (; +) (; +)! R ; g (x; y) = y x ; h : R! R ; h (x) = arcctg x ; z : (; +)! R ; z (x) = ln x ; pr : R R! R ; pr (x; y) = x : u = pr (h g) + (z g) x @ u @x + xy @ u @x@y + y @ u @y =.3 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f określonej wzorem: a) f (x; y) = y p x y x + 6y; b) f (x; y) = x 3 + xy + 5x + y, c) f (x; y) = x xy + y + 9x 6y + ; d) f (x; y) = xy + 5 x + y e) f (x; y) = x 3 + 3xy 6xy + ; f) f (x; y) = x + xy + y 4 ln x y, g) f (x; y) = x 3 + 8y 3 6xy + : w obszarze (; +) (; +) ;.3. Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ wartość funkcji f : T! R określonej wzorem f (x; y) = x y (4 x y), gdzie T jest domkni¾etym trójkatem ¾ o wierzcho kach (; ), (6; ), (; 6)..3.3 Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ wartość funkcji f : K (O; )! R określonej wzorem f (x; y) = (x + y ) + 3x; gdzie K (O; ) = f(x; y) R ; x + y g..3.4 Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ i najmniejsza¾ wartość funkcji f : D! R określonej wzorem f (x; y) = x 3 y 3 6x + 3y; gdzie D jest prostokatem ¾ [ ; ] [ ; ]..3.5 Wyznaczyć najwi ¾eksz a¾ i najmniejsza¾ wartość funkcji f : D! R; f (x; y) = ( y) (x + y + ) w obszarze domkni¾etym D = f(x; y) R ; x i y xg..3.6 naleźć wymiary odkrytego basenu w kszta cie prostopad ościanu majacego ¾ najmniejsza¾ powierzchni¾e, je zeli jego obj¾etość równa si¾e V..3.7 Na p aszczyźnie znaleźć punkt, dla którego suma kwadratów jego odleg ości od trzech prostych: x =, y =, x y + = jest najmniejsza..3.8 naleźć odleg ość punktu P = (; ; 4) od powierzchni z = xy. 9

.4 Funkcja uwik ana jednej zmiennej. Ekstremum funkcji uwik anej.4. Rozwiazać ¾ wzgl ¾edem y równanie a) x + y =, b) x + y + =, c) x + xy x + y =, d) y + = e y, e) x y + = e x y, f) y x = 4 arctg y x..4. Sprawdzić, ze równanie xy + cos x sin y = określa w pewnym otoczeniu punktu taka¾ funkcj ¾e uwik an a¾ y zmiennej x, ze y () =, a nast¾epnie obliczyć y () i y ()..4.3 Wyznaczyć pierwsza¾ i druga¾ pochodna¾ funkcji uwik anej y zmiennej x danej równaniem a) x xy + y + x y = w otoczeniu punktu P o = ;, b) xy ln y = w otoczeniu punktu P o = e ; e, c) x y e y = w otoczeniu punktu P o = (e; ), d) y e x + e y = w otoczeniu punktu P o = ( ; )..4.4 Wyznaczyć ekstrema funkcji uwik anej y zmiennej x, danej równaniem a) x xy + =, b) x xy + y + x + =, c) x + xy + y 4x + y =, d) x 3 y xy 3 + 6 =, e) x y x 4 + y 4 5 =, f) ln p x + y arctg y x =. 3 RACHUNEK CA KOWY FUNKCJ WELU MENNYCH. POLE WEKTOROWE 3. Ca ka podwójna. Ca ka potrójna 3.. Niech D = f(x; y) R ; x ; y eg : Obliczyć: a) (x y) x dx dy; b) dx dy; c) y D D D dx dy: x + y 3.. Niech D b ¾edzie trójkatem ¾ o wierzcho kach (; ), (; a) (x + y ) dx dy; b) (x + y + ) dx dy; c) ), (; ). Obliczyć: xy dx dy; d) e x+y dx dy: D D D D 3..3 Korzystajac ¾ z ca ki podwójnej obliczyć pola gur ograniczonych krzywymi: a) y = x, y = p x;

b) y = ln x ; y = ln ; x = p e; x c) y = ; y = ; xy = 4; 3y + x = 9; f) xy = ; xy = 4; x = ; x = 4: 3..4 Obliczyć f (x; y) dx dy, gdzie: D a) f (x; y) = y +, D = f(x; y) R ; x + y 9; x g ; b) f (x; y) = y +, D = f(x; y) R ; x + y + x ; y g ; c) f (x; y) = xy, D = f(x; y) R ; x + y 4; x ; y g ; d) f (x; y) = (x y) y +, D = (x; y) R ; x + (y ) 4; x > ; e) f (x; y) = 3..5 Obliczyć mas ¾e: (x + y) x + y, D = f(x; y) R ; x + y 6x; y > g : a) trójkata ¾ o wierzcho kach (; ), (; ), (; ) i g¾estości (x; y) = x ln y; b) rombu o wierzcho kach (; ), p ;, p + ;, (; ) i g¾estości (x; y) = e x y : 3..6 Obliczyć f (x; y; z) dx dy dz, gdzie: V a) f (x; y; z) = y cos (x + z), V = ; 4 [ ; 4] ; ; b) f (x; y; z) = z, V = f(x; y; z) R 3 ; y x; z x y + g ; n c) f (x; y; z) = e z, V = (x; y; z) R 3 ; (x; y) D, x + y z p o x + y jest ko em o środku (; ) i promieniu ; oraz D V d) f (x; y; z) = e x y+z ; V = f (x; y; z) R 3 ; (x; y) D ^ x z y g ; D jest trójkatem ¾ o wierzcho kach (; ), (; ), (; ) : 3..7 Obliczyć z p x + y dx dy dz, gdzie V jest obszarem przestrzennym ograniczonym powierchniami o równaniach z = 4, z = 3; x + y =, x + y = 6. 3..8 Korzystajac ¾ z ca ki potrójnej obliczyć obj¾etość bry y V, gdzie: a) V = f(x; y; z) R 3 ; (x; y) D, z 4 x y g i D jest pierścieniem ko owym o środku (; ) i promieniach i ;

b) V jest ograniczona powierzchniami o równaniach z = p x y i z = x + y : 3..9 Obliczyć pole powierzchni o równaniu z = xy le z acej ¾ nad kwadratem [ ; 3] [ ; 3] : 3.. Obliczyć pole powierzchni walca parabolicznego o równaniu z = x ; ograniczonego powierzchniami y = x; y = x; x = p : 3. Ca ka krzywoliniowa nieskierowana 3.. Obliczyć ca k¾e krzywoliniow a¾ K f (x; y) dr po krzywej K R, gdzie: a) f (x; y) = x y oraz K jest pó okr¾egiem f(x; y) R ; x + y = ; y g ; b) f (x; y) = B = (4; ), p oraz K jest odcinkiem ¾ x + y acz acym ¾ punkt A = (; c) f (x; y) = xy oraz K jest brzegiem prostokata ¾ [ ; 4] [ ; ] ; d) f (x; y) = xy oraz K jest parabola¾ y = x od punktu (; ) do punktu (; 4) ; x = e) f (x; y) = xy 4 oraz K : t y = t ; t [ ; 3] ; ) z punktem f) f (x; y) = y x oraz K : x = + t y = 3 (t3 3t) ; t [ ; a] ; a > ; g) f (x; y) = xy oraz K = AB, gdzie A = ; 4 ; B = 3 ; 9 ; h) f (x; y) = xy oraz K jest brzegiem kwadratu jxj + jyj : 3.. Obliczyć ca k¾e krzywoliniow a¾ f (x; y; z) dr po krzywej K R 3, gdzie: K a) f (x; y) = x + y + z oraz K jest brzegiem trójkata ¾ o wierzcho kach (; ; ), (; ; ), (; ; ), b) f (x; y; z) = xyz oraz K : śrubowej), 8 < : x = cos t y = sin t z = t 8 < x = e t c) f (x; y; z) = xyz oraz K : y = e t : z = t p ; t ; (czyli K jest cz¾eści a¾ zwoju linii ; t :

3..3 Korzystajac ¾ z ca ki krzywoliniowej obliczyć d ugości uków i, i f; ; 3g, gdzie: jest funkcja¾ f : ; 3! R określona¾ wzorem f (x) = ln sin x; = cos 3 t; sin 3 t R ; t t ; 5 5t, 3 = ; t3 5 3 + R ; t [ ; ] : 3..4 Wyznaczyć te wartości ( ; ], dla których d ugość uku L : x (t) = t + sin t y (t) = cos t ; t [ ; ] ; jest mniejsza ni z. 3..5 Obliczyć mas¾e jednorodnej (g¾estość liniowa (x; y) = o ) cykloidy t [ ; ] : x = y = t cos t sin t, 3..6 Obliczyć mas¾e krzywej y = ln x, x p 3 ; p, je zeli g¾estość liniowa w ka zdym jej punkcie równa si ¾e kwadratowi pierwszej wspó rz ¾ednej tego punktu. 3..7 Obliczyć f (x; y) dr, gdzie f (x; y) jest kwadratem odleg ości punktu (x; y) od poczatku ¾ K uk adu wspó rz ¾ednych, a K jest odcinkiem ¾ aczacym ¾ punkty A = ( ; ) i B = (3; ) : 3..8 Obliczyć f (x; y; z) dr, gdzie f (x; y; z) jest odwrotnościa¾ odleg ości punktu (x; y; z) K od poczatku ¾ uk adu wspó rz ¾ednych, a K jest odcinkiem ¾ aczacym ¾ punkty A = (; 3; ) i B = (; ; ) : 3.3 Pole wektorowe 3.3. Funkcja f : R 3! R określona jest wzorem f (x; y; z) = x 3 + y 3 + z 3 3xyz. naleźć punkty, w których: a) (rf) (x; y; z) = ; b) (rf) (x; y; z) jest niezerowy i prostopad y do osi Oz. 3.3. naleźć kat ¾ mi¾edzy gradientami funkcji ' określonej wzorem ' (x; y; z) = xp y z odpowiednio w punktach M = (; ; ) i N = (; 4; ). 3.3.3 badać w asności poni zszych pól wektorowych w R 3 (obliczyć ich dywergencj¾e i rotacj¾e): a) K (x; y; z) = [y; z; ] ; b) L (x; y; z) = [x 3 ; ; z] ; c) M (x; y; z) = [y; x; ] ; 3

d) N (x; y; z) = [sin x; sin z; sin y] : W przypadku, gdy pole wektorowe jest potencjalne wyznaczyć jego potencja. 3.3.4 Wyznaczyć wspó rz¾edne pola wektorowego X = V (rf), gdzie V =! i +! j +! k z oraz f (x; y; z) = arctg p x + y : 3.3.5 Wykazać, ze pole F = [F ; F ] : R! R jest potencjalne oraz wyznaczyć jego potencja, gdzie: a) F (x; y) = 3x y, F (x; y) = x 3 y, b) F (x; y) = x (y + ), F (x; y) = x y; c) F (x; y) = (y + ) e x ; F (x; y) = ye x : 3.3.6 Wyznaczyć rot (rot W) dla pola wektorowego W w R 3, gdzie W (x; y; z) = [z y; x z; y x] : 3.3.7 Wyznaczyć dywergencj¾e pola wektorowego W w (R n f(; ; )g) 3, gdzie W (x; y; z) = p x + y + z x! i + y! j + z! k : 3.3.8 Sprawdzić, ze pole wektorowe W w R 3 ; jest potencjalne. naleźć potencja pola W. W (x; y; z) = e y+z ; xe y+z ; xe y+z ; 3.3.9 Sprawdzić, ze pole wektorowe W w R ; jest potencjalne. naleźć potencja pola W. W (x; y) = [cos y + y cos x; sin x x sin y] ; 3.3. Sprawdzić, ze pole wektorowe F w R 3 ; F (x; y; z) = jest potencjalne. naleźć potencja pola F. [yz; xz; xy] ; + (xyz) 3.3. Niech G b ¾edzie obszarem zawartym w R 3. Wykazać, ze dowolnego pola wektorowego X = [X ; X ; X ] : G! R 3 klasy C (G) i dowolnej funkcji f : G! R klasy C (G) zachodzi równość rot (f X) = f rot (X) + (rf) X ; gdzie f X jest polem wektorowym na G zde owanym wzorem dla dowolnego (x; y; z) G. (f X) (x; y; z) = f (x; y; z) X (x; y; z) 4

3.4 Calka krzywoliniowa skierowana 3.4. Obliczyć (; e) : 3.4. Obliczyć dx + x dy, gdzie x + jest ukiem y = ex od punktu (; ) do punktu y dx x dy, gdzie = f(ln t; t + ) R ; t eg jest ukiem skierowanym dodatnio. 3.4.3 Obliczyć y dx, gdzie jest ukiem z zadania 3..4 z Rozdz.. (str. 3) od punktu (; ) do punktu +;. 3.4.4 Obliczyć [P; Q] [dx; dy], gdzie: a) P (x; y) = 3x y, Q (x; y) = x 3 y, jest odcinkiem od punktu A = ; p 7 do punktu B = (; ) ; x = + t b) P (x; y) = x (y + ), Q (x; y) = x y, gdzie : y = 3 (t3 3t) skierowany jest zgodnie z parametryzacj a, ¾ ; t [ ; 5] ; c) P (x; y) = (y + ) e x ; Q (x; y) = ye x, : jest ukiem zorientowanym ujemnie, x = cos j t j y = + sin 3 t, t ; d) P (x; y) = ln xy; Q (x; y) = x, jest ukiem hiperboli xy = e od punktu (; e) do y (e; ). 3.4.5 Obliczyć (x + y ) dx + y dy, gdzie = f(x; y) R ; x + y = 4xg jest p ¾etl a¾ zorientowan a¾ dodatnio. 3.4.6 Obliczyć x y dx xy dy, gdzie jest okr¾egiem o równaniu x + y = R o : 3.4.7 Obliczyć + (x + y) dx (x y) dy, gdzie jest brzegiem obszaru + D = f(x; y) R ; x < y < xg : 3.4.8 Obliczyć e x ( cos y) dx e x (y sin y), gdzie uk jest brzegiem obszaru + D = f(x; y) R ; < x < ; < y < sin xg : 5

3.4.9 Obliczyć xy dx + (y x) dy wzd u z amanej ABCA, gdzie A = (; ), B = (; ), C = (; 3). + 3.4. Obliczyć za pomoca¾ ca ki krzywoliniowej pole elipsy (x; y) R ; a; b > : x a + x b, 3.4. Niech a ( ; +). Dane sa¾ punkty A = ( a; ) i B = (; a) oraz si a F = [P; Q], gdzie P = pr : R! R, Q (x; y) = y x dla (x; y) R. Obliczyć prac¾e si y F wykonana¾ przy przesuni ¾eciu jednostkowej masy: a) po odcinku AB; b) po amanej AOB, c) po uku AB paraboli y = a x a : 3.4. Obliczyć prac¾e wykonana¾ w polu wektorowym F (x; y) = ; y wzd u z dodatnio x+3 zorientowanej elipsy x + y =. 4 9 3.4.3 Obliczyć prac ¾e wykonana ¾ w polu wektorowym F (x; y) = [3x + xy ; x y + y 3 ] wzd u z brzegu trójkata ¾ o wierzcho kach (; ), (; ), (; ) : 3.4.4 Obliczyć prac¾e si y F (x; y; z) = [ x ; y ; cos z] wzd u z linii śrubowej (a cos t; a sin t; t) R 3 ; t 3, a > : 3.4.5 Obliczyć prac ¾e wykonana ¾w polu wektorowym F : R! R, F (x; y) = y ; arctg x x + wzd u z uku y = e px od punktu (x o ; ) do punktu (x ; e) : 3.4.6 Udowodnić, ze pole wektorowe V : ( ; +)R! R sin y sin y, V (x; y) = y ; x + x x jest potencjalne. Wyznaczyć potencja pola V i za jego pomoca¾ obliczyć R V (x; y)[dx; dy], gdzie jest dowolna¾ droga¾ zawarta¾ w obszarze ( ; +) R prowadzac ¾ a¾ od punktu (; ) do punktu (; ). 3.4.7 Wykazać, ze xy dx+x dy = dla ka zdej krzywej zamkni¾etej kawa kami g adkiej zawartej w R. 3.4.8 Obliczyć jdj = + (; 4 ) (; 6 ) cos y dx x sin y dy: x dy y dx, = Fr D, D jest obszarem jednospójnym y + 6

3.4.9 Obliczyć (; 4 ) (; 6 ) xy + y p dx + x + p x + dy: x + 3.4. Obliczyć B A W (x; y; z) [dx; dy; dz], gdzie A = (; ; ), B = (; 3; 5) oraz W (x; y; z) = xz y! i + (yz xy)! j + (y + x) (y x)! k : 3.4. Obliczyć B A F (x; y; z) [dx; dy; dz], gdzie A = (; ; 3), B = (3; ; ) oraz F (x; y; z) = xyz! i + x z! j + x y +! k : 3.4. Obliczyć p (y x) p dx + p x dy, gdzie jest wykresem funkcji log x x od punktu A = (; ) do punktu B = (4; ) : 3.4.3 Obliczyć (;) (;) przechodzacego ¾ przez oś Oy. y x dx dy wzd u z ka zdego g adkiego ujemnie zorientowanego uku nie x 4 PODSTAWY ANALY ESPOLONEJ 4. Wprowadzenie do analizy zespolonej 4.. Wyznaczyć cz ¾eść rzeczywista ¾ i urojona¾ liczb: e i, sin i, cos ( + i), e i, e 3 i, sin ( + i). 4.. Wyznaczyć: ln ( i), Ln ( i), ln ( i), Ln ( i). 4..3 Wykazać, ze modu y liczb cos i i cos 3i sa¾ wi¾eksze od. 4..4 Wykazać, ze fz C ; e z = g = [ k fkig. 4..5 Wykazać, ze sin z + cos z = ; sin z = cos z dla dowolnego z C. 7

4..6 Narysować zbiór f z C ; j z j = Re (z + ) g : 4..7 Narysować na p aszczyźnie zespolonej kilka poczatkowych ¾ wyrazów ciagu ¾ (a n ), a nast¾epnie zbadać: a) czy jest on ograniczony, b) czy jest on zbie zny; jeśli tak to do jakiej granicy, wiedzac, ¾ ze: a) a n = i + n ; b) a n = in n ; c) a n = i + ( ) n ; n + i d) a n = + i + i n ; e) a n = ; f) a n = n + ni + in + n + i : 4..8 Obliczyć pochodna¾ funkcji zmiennej rzeczywistej z : R! C określonej wzorem a) z (t) = 5e it ; b) z (t) = t + i sin t; c) z (t) = e it + 3 + ti: 4..9 Sprawdzić, czy funkcja f : C! C jest holomor czna na C, gdzie: a) f (z) = z z; b) f (z) = z e z ; c) f (z) = z Re z; d) f (z) = sin 3z i; e) f (z) = e z e z z : W przypadku holomor czności f wyznaczyć pochodna¾ f. 4.. Wykazać, ze funkcja f : C! C określona wzorem f (z) = jzj 3 jest holomor czna tylko w punkcie z =. 4.. Wykazać, ze funkcja f : C! C określona wzorem f (z) = e z jest holomor czna na C. 4.. naleźć taka¾ funkcj¾e f = u + iv H (A), ze: a) u (x; y) = e x cos y oraz f () = ; A = C (odp. e z ) b) v (x; y) = y x + y oraz f (i) = i; A = C n fg : (odp. z ) 4..3 badać holomor czność funkcji zespolonej f zmiennej zespolonej, gdzie: a) f (z) = z; 8

b) f (z) = z 3 ; c) f (z) = z ; d) f (z) = z z: W punktach, w których f jest holomor czna wyznaczyć jej pochodna. ¾ 4..4 Wykazać, ze je zeli funkcja analityczna f w pewnym obszarze D C przyjmuje wy ¾ acznie wartości rzeczywiste (m f = ), to f jest funkcja¾ sta ¾ a. 4..5 Obliczyć: a) e it dt; b) sin it dt; c) e ikt dt; K R n fg ; d) ( + ti) dt: 4..6 Obliczyć: a) z dz, gdzie C = fe it ; t g ; C b) i jzj dz po prostej, c) i i jzj dz po prostej, d) e) i e z dz po prawym uku elipsy x + 9 y =, x ; Re z dz po konturze jre zj + jm zj = : C 4..7 Obliczyć: e z a) dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o środku w punkcie (z ) C i promiemiu ; b) dz, gdzie C jest ujemnie zorientowan ¾ z 4 a elips a ¾ f(3 cos t; sin t) ; t [ ; ]g ; C 9

c) z + z + 3 dz po dodatnio zorientowanej p ¾etli fz C; jzj = g ; d) e) f) g) C + C + (i;) C cos z ( + z dz, C (i; ) = fz C ; jz ij = g ; ) dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o środku w punkcie z 4 z i promiemiu, z sin z 3 dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o środku w punkcie (z ) C i promiemiu, e z dz, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okr¾egiem o o środku w punkcie + z C i promiemiu.