Funkcja Wignera 1
Funkcja spójności czasowej t 2 dwa spójne impulsy I(t) = t 1 ~I(!) = h (t 1 ) (t 2 )i 2
Kierunki funkcji spójności t 2 t t 1 I(t) = h (t) (t)i ~I(!) = R dt 1 dt 2 h (t 1 ) (t 2 )ie i!(t 2 t 1 ) 3
Inne spojrzenie t 2 t t 1 I(t) = h (t) (t)i 4 ~I(!) = R d dth (t 1 ) (t 2 )ie i!(t 2 t 1 )
Kierunki funkcji spójności t 2 t t 1 W(!; t) = 1 ¼ I(t) =h (t) (t)i ~I(!) = R d dth (t 1 ) (t 2 )ie i!(t 2 t 1 ) Z d h (t + ) (t )ie 2i! 5
Wynik: funkcja wignera dwóch impulsów! nos kota (z wąsami) t W(!; t) = 1 ¼ Z d h (t + ) (t )ie 2i! 6
Funkcja Wignera W(!; t) = 1 ¼ Z d h (t + ) (t )ie 2i!! I(t) / j (t)j 2 = Z d!w (!; t) W t ~I(!) / j (!)j 2 = Z dtw (!; t) 7
W przestrzeni częstości (t) = Z d!e i!t ~ (!)! W(!; t) = 1 ¼ Z d h (t + ) (t )ie 2i! W(!; t) = 1 ¼ Z dsh~ (! + s)~ (! s)ie :::ist W t 8
Propagacja f. Wignera - dyspersja! W(!; t) = 1 ¼ Z d h (t + ) (t )ie 2i! W t @ (t) @z = i 2 @ 2 (t) @t 2 @W(!; t) @z = 9
Propagacja f. Wignera - dyspersja! W(!; t) = 1 ¼ Z dsh~ (! + s)~ (! s)ie 2ist W t ~ (!)! exp i 2z! 2 ~ (!) x! x z k k 0 10
Przestrzenna funkcja wignera x 0 x W(k; x) = 1 ¼ Z d»h (x +») (x»)ie 2ik» 11
Funkcja Wignera k k x x µ = ¼w 0 12
Znaczenie nosa opóźnienie fazowe jednej wiazki? 13
Soczewka x Á(x) = ik 0 ³ f p f 2 x 2 f x 2 ' ik 0 2f 14
Propagacja f. Wignera - soczewka k W(k; x) = 1 ¼ Z d»h (x +») (x»)ie 2ik» W x 0 (x) = exp µ ik0 2f x2 (x) W 0 (k; x) = 15
Propagacja f. Wignera gradient-index fiber k W(k; x) = 1 ¼ Z d»h (x +») (x»)ie 2ik» W x @ (x) @z = i 2 @ 2 (x) @x 2 + i x 2 (t) @W(k; x) @z = jaki jest mod własny takiego światłowodu? 16
Przesunięcie i pchnięcie k 0 (x) = e ik0x (x + x 0 ) µ = exp ik 0 x + ix 0 @ (x) @x W x ^D(k 0 ; x 0 ) W 0 (k; x) = 1 ¼ Z d»h 0 (x +») 0 (x»)ie 2ik» jak się będzie propagować dowolna wiazka gaussowska w światłowodzie gradient-index? 17
Symetria k W(0; 0) = 1 ¼ Z d»h (») (»)i W x ^ (x) = ( x) 18
Żarówka k x 19
Żarówka k x 20
twierdzenie Winera-Chińczyna h (x) (x 0 )i = : : : W (: : :) : : : k x 21
Obraz źródło światła, soczewka, ekran 22
Tomografia f. Wignera k k x x 23
Tomografia f. Wignera k x 24
Sprzęganie światła do światłowodu v(x) u(x) = = Z Z dx u (x)v(x) dxdk W u (x; k)w v (x; k) 2 bezstratne (unitarne) transfomracje optyczne nie zmieniają 25
Podsumowanie funkcji Wignera Obrazuje pole za pomocą promieni Pozwala na wygodną propagację oraz oszacowanie własciwości światła, zwłaszcza niespójnego 26
Mody pola - przykłady 27
Mody pudła k x k y mody w pudełku L 3 k z 28
Inne bazy J Y 29
Mody wnęki R! Wiązki gaussa-hermita zależność od z/t: fala stojąca (przesunięcie Gouy'a) x,y: gauss-hermit 30
Zadanie 1. Oblicz, jak przekształca się funkcja Wignera przy pełnym obiegu przez wnękę od z=0 do z=0, długość wnęki L, promień krzywizny luster R. 2. Zaproponuj funkcję Wignera która nie zmienia się po zastosowaniu takiego przekształcenia. 31
Emisja dipola Dla momentu dipolowego oscylującego z częstościa i amplitudą d daleko (strefa promieniowania) ~d cos(!t) przyspieszenie elektronu moc emitowana Jackson, Elektrodynamika klasyczna, rozdz. 9.2 32
Dipol zmienny Czy to jest emisja do wszystkich modów Czy tylko do niektórych? Moc wypromieniowana? Zanik dipola? 33
Płytka 50/50: różne możliwości Mody urywające się jak na rysunku Lub rozszczepiające się 34
Pojęcie modu kwestia umowna 35
Mody = byty niezależne Ortogonalne i zupełne Fale płaskie Mody wnęki Fale sferyczne Prawie-zupełne? uzupełnialne? Wiązki HG Impulsy 36
Detekcja homodynowa "lokalny oscylator" I 1 I 2 - najbardziej bezpośredni pomiar pola tzw. detekcja homodynowa 37
Selektywność modowa: praca ciągła E LO Detektor wolny w stosunku do impulsów 38
Selektywność modowa: praca ciągła "lokalny oscylator" I 1 I 2-39
Kwantowanie pola E-M 40
Rozkład pola E-M na mody Klasyczne pola D(x,t) i B(x,t) można rozłożyć w bazie rozwiązań równań Maxwella (np. fal płaskich): wtedy współczynniki p i q spełniają równania oscylatora co oznacza przejście do innej bazy funkcji modowych? co z normalizacją? zamiana p na 2p itd.? zysk: uproszczenie do "czarnej skrzynki" I. & Z. Białyniccy, QED in Encyclopedia of Modern Optics, Elsevier 41
Rozkład pola E-M na mody 2 Klasyczne pola D(x,t) i B(x,t) można rozłożyć w bazie rozwiązań równań Maxwella (np. fal płaskich): wtedy współczynniki p i q spełniają równania oscylatora Chcemy, żeby problem stał się formalnie identyczny z zestawem oscylatorów harmonicznych, o częstościach n i masach. wymusza to normalizacje modów u I. & Z. Białyniccy, QED in Encyclopedia of Modern Optics, Elsevier 42
Rozkład pola 3 Zapisaliśmy całe pole jako sumę modów Każdy mod ewoluuje jak oscylator harmonicznym Byty niezależne, hamiltonian sumą hamiltonianów Łatwo kwantujemy 43
3 2 1 0 q 1 Oscylator harmoniczny 44
Kwantowanie pola Kwantujemy każdy oscylator harmoniczny (osobno) wymuszamy wprowadzamy hamiltonian operator pola stany o ustalonej energii 45
1 0 n 2 k k k statystyka i charakterystyka modowa 46
"Całe" pole k x k y mody w pudełku L 3 k z 47
Stan koherentny oscylatora 48
Ewolucja czasowa oscylatora 49
Pole elektryczne w st. koherentnym p fluktuacje q 50
Detekcja homodynowa E LO E S ½ E LO +E S 2 E LO E S ½ E LO -E S 2 51
Detekcja homodynowa stanu koherentnego p q 52
Nic? Funkcja falowa stanu podstawowego oscylatora w reprezentacji pędowej prawd.(e) I 1 I 2-53
Jeden foton stan własny operatora całkowitej liczby wzbudzeń z wartością własną równą 1. Da się zapisać jako: 54
Pole od 1. fotonu Funkcja falowa 1 stanu wzbudzonego oscylatora w reprezentacji pędowej prawd.(e) Czas? E 55
1 foton Lvovsky et al., Phys. Rev. Lett. 87, 050402 (2001) 56
Różne drogi do pakietu fale płaskie superpozycja kwantowanie superpozycja superpozycja superpozycja wiązki "placki" kwantowanie superpozycja a y kwantowanie foton "zlokalizowany" 57
Stany wielomodowe stany Foka jn 1 ; n 2 ; : : :i = ^ayn 1 1 ^a yn 2 2 : : : p n1!n 2! : : : j0i hnjejni = 0 stany koherentne j 1 ; 2 ; : : :i = Ã! Y e j kj 2 =2 e k^a y k j0i k he(~r; t)i = i P : : : k (t)e i~ k ~r + c.c. 58
Detekcja: zliczanie fotonów ^n(~r; t) = a(~r; t) y a(~r; t) ^a(~r; t) = Z d 3 ~ k p (2¼) 3 ^a ~ k (t)e i~ k r np.: na stanie koherentnym hn(~r; t)i = Z d 3 ~ k ~k (t)e i~ k r 2 59
Przykład: zwykła interferencja k ^a(x; t) = ^a k+ (t)e ik xx + ^a k (t)e ik xx p(x)dx = jh0j^a(x)jãij 2 = 1 2 jeik xx + e ik xx j 2 k + = cos[2k x x] + 1 Á e iá jãi = ay k + + a y k p 2 j0i = j10i + j01i p 2 to samo dla stanów koherentnych k = ( k x ; 0; k z ) 60
Przykład: interferencja 2 fotonów k ^a(x; t) = ^a k+ (t)e ik xx + ^a k (t)e ik xx C(x; x 0 )dxdx 0 = jh0j^a(x)^a(x 0 )jãij 2 = je ik x(x x 0) + e ik x(x x 0) j 2 k + = 2 cos[2k x (x x 0 )] + 2 e iá jãi = a y k + a y k j0i = j11i 61
x 62
Przykład: interferencja 2002 k ^a(x; t) = ^a k+ (t)e ik xx + ^a k (t)e ik xx C(x; x 0 )dxdx 0 = jh0j^a(x)^a(x 0 )jãij 2 = je ik x(x+x 0) + e ik x(x+x 0) j 2 k + jãi = ay2 k + + a y2 k j0i = 2 e 2iÁ j20i + j02i p 2 = 2 cos[2k x (x + x 0 )] + 2 2Á 63
bifoton dowolny znormalizowany stan: X ck;k 0a y k ay k 0 j0i f.f. w reprezentacji modów k Ã(x; x 0 ) = 1 X c k;k 0(u k (x)u k 0(x 0 ) + u k (x 0 )u k 0(x)) 2 k;k 0 f.f. w reprezentacji położeniowej 64
XX PP monochromatycznie, częstość x! 0 (na jdn. czasu) k f f Ã(x; x 0 ) = N exp µ (x + x0 ) 2 2¾ 2 (x x0 ) 2 2w 2 65
Interferencja 2 fotonów: gęstość k ^a(x; t) = ^a k+ (t)e ik xx + ^a k (t)e ik xx p(x)dx = jh10j^a(x)jãij 2 + jh01j^a(x)jãij 2 = je ik xx j 2 + je ik xx j 2 = 2 k + jãi = a y k + a y k j0i = j11i 0 p(x)dx = hãj^a y (x) @ X f 1 jfihfja ^a(x)jãi Brak prążków 66
1-fotonowa macierz gęstości jãi = a y k + a y k j0i = j11i jãi = ay2 k + + a y2 k j0i = 2 ½( ~ k; ~ k 0 ) = ha y ( ~ k)a( ~ k 0 )i j20i + j02i p 2 ½ = µ 1 0 0 1 jãi = ay k + + e iá a y k p 2 j0i = j10i + eiá j01i p 2 ½ = µ 1 e iá e iá 1 p(x) = ½(x; x) ½(x; x 0 ) = h^a y (x)^a(x 0 )i = Z d 3 kd 3 k 0 2¼ 3 e ikx+ik0 x 0 h^a y (k)^a(k 0 )i 67
SPDC Spontaneous parametric down conversion P = ² 0 (Â (1) E + Â (2) E 2 ) tensory (klasyczna) ewolucja wolnozmiennej obwiedni zadaszenie poprawka do hamiltonianu komutowanie r-r heisenberga 68
³ r 2 1 c 2 @ 2 @t 2 Fale płaskie w ośrodku E = 1 c 2 ² 0 @ 2 @t 2 P P = ² 0 (Â (1) E + Â (2) E 2 ) ³ k 2 +!2 c ~E( ~ k;!) =! 2 ~ 2 c 2 ² 0 P ( ~ k;!) ³ k 2!2 c (1 + Â (1) ) ~E( ~ k;!) =!2 2 c 2 ² 0 ~P NL ( ~ k;!) P L P NL k 2 = (1 + Â (1) )! 2 =c 2? 69
Fale płaskie w ośrodku ³ k 2 n2! 2 c 2 ~E( ~ k;!) =! 2 c 2 ² 0 ~ P NL ( ~ k;!) ~ k! ~ k + ~ k0!!! +! 0 k 0 = (1 + Â (1) )! 0 =c pozostawiamy pierwsze nieznikające wyrazy ³ 2 ~ k 0 ~ k 2n2! 0! c 2 ~E( ~ k + ~ k0 ;! +! 0 ) =!2 0 c 2 ² 0 ~ P NL ( ~ k + ~ k 0 ;! +! 0 ) F 1 70
Plasterki E 71
Propagacja pola przez ośrodek P = ² 0 (Â (1) E + Â (2) E 2 ) ³ r 2 1 c 2 @ 2 @t 2 P L P NL E = 1 c 2 ² 0 @ 2 @t 2 P <fp(z; t)e i!t+ikz g ³ @ 2 k2 @z + 2ik @ 2 @z E ³ + 1 @ 2 c 2 @t 2 <fe(z; t)e i!t+ikz g + 2i! c ³ = @ @t +!2 c 2 (1 + Â (1) )E =!2 @ 2 @t 2i! @ 2 @t P c 2 ² 0 72
Propagacja pola przez ośrodek ³ @ 2 k2 @z + 2ik @ 2 @z E ³ + 1 @ 2 c 2 @t + 2i! 2 c ³ = k 2 = (1 + Â (1) )! 2 =c 2 @ @t +!2 c 2 (1 + Â (1) )E =!2 @ 2 @t 2i! @ 2 @t P c 2 ² 0 2i @ @z + 2ik @ @t E =! c P ² 0 73
Propagacja pola przez ośrodek 2i @ @z + 2ik @ @t E =! c P ² 0 Czas impulsu ~t = z v f t; ~z = z 2i @E @ ~z =! c P ² 0 74
Wiele różnych pól 1 2 P 2i @E 1 @~z =! c P 1 ² 0 E = < X n E n e ik nz i! n t 2i @E 2 @~z =! c P 2 ² 0 P (NL) = ² 0 Â (2) E 2 2i @E P @~z =! c P P ²0 P P / E 1 E 2 P 1 / E P E 2 75
Parametryczny podział częstości E 2 (z)e ik 2r i! 0 t E P e i(k 1+k 2 )r 2i! 0 t 2i @E P @ ~z = 2! 0 c  (2) ² 0 E 1 E 2 2i @E 1 @ ~z =! 0 c  (2) ² 0 E P E 2 2i @E 2 @ ~z =! 0 c  (2) ² 0 E P E 1 E 1 (z)e ik 1r i! 0 t je P j 2 + je 1 j 2 + je 2 j 2 =const je 1 j 2 je 2 j 2 =const Klasycznie całe pole 76
Undepleted pump 2i =! 0 c  (2) ² 0 E P 2i @E P @ ~z = 2! 0  (2) c ² 0 E 1 E 2 2i @E 1 @ ~z =! 0  (2) c ² 0 E P E 2 2i @E 2 @ ~z =! 0 c  (2) ² 0 E P E 1 @E 1 @ ~z = E 2 @E 2 @ ~z = E 1 E P e i(k 1+k 2 )r 2i! 0 t E 2 (z)e ik 2r i! 0 t E 1 (z)e ik 1r i! 0 t 77
Degeneracja @E 1 @ ~z = E 2 @E 2 @ ~z = E 1 @E 1 @ ~z = E 1 E P e i(k 1+k 2 )r 2i! 0 t E 1 (z)e ik 1r i! 0 t 78
Rozwiazanie? @E 1 @ ~z = E 2 @E 2 @ ~z = E 1 @E 1 @ ~z = E 1 79
Kwantowanie przez podstawianie ^a 1 @E 1 @ ~z = E 2 ^a y 2 @E 2 @ ~z = E 1 a 1 (z) = cosh( L)a 1 (0) + sinh( L)a y 2 (0) a 2 (z) = cosh( L)a 2 (0) + sinh( L)a y 1 (0) Warincja sumy/różnicy pędów/położeń? W granicy stan EPR 80
Kwantowanie przez podstawianie ^a 1 @E 1 @ ~z = E 2 @E 2 @ ~z = E 1 ^a y 2 H= a y 1 ay 2 + H:c: a 1 (z) = cosh( L)a 1 (0) + sinh( L)a y 2 (0) a 2 (z) = cosh( L)a 2 (0) + sinh( L)a y 1 (0) jãi = Uj0i a 1 (z) = U y a 1 (0)U Obliczamy 81
Wzmacniacz zdegenerowany a(z) = cosh( L)a(0) + sinh( L)a y (0) x(z) = e L x(0) p p(z) = e L p(0) jhp 0 j ij 2 = h j±(p 0 ^p)j i fluktuacje q 82
Ściskanie w eksperymencie 10.1103/PhysRevLett.100.033602 83