5.DRGANIA MODELU O DWU STOPNIACH SWOBODY DSS Mimo dużych możiwości interpretacyjnych modeu o jednym stopniu swobody w dynamice obietów mechanicznych, nie jest on w stanie wyjaśnić wszystich zjawis drganiowych, zwłaszcza w obietach o budowie niejednorodnej z gwałtowną zmianą własności masowo-sprężysto-dyssypacyjnych. Taą gwałtowną zmianą będzie np. podparcie bryły sztywnej sprężynami i tłumiami w wieu płaszczyznach, podwieszenie do bei ciężaru na inie wahadło, wstawienie podatnego sprzęgła w inii napędowej agregatu maszynowego, posadowienie operatora na amortyzowanym foteu itp. We wszystich tych przypadach zamiast jednego stopnia swobody musimy uwzgędnić ia stopni swobody ruchu drganiowego. Najmniejszą ompiację wyróżnia się tu mode o dwu stopniach swobody. Co więcej można na jego przyładzie wyjaśnić więszość cech szczegónych uładów o wieu stopniach swobody. Z drugiej strony gros zastosowań w dziedzinie minimaizacji drgań mieści się w ategoriach uładów o dwu stopniach swobody. Mając na uwadze powyższe nasze dasze rozważania ograniczymy do dwu stopni swobody DSS, wsazując w nietórych miejscach na możiwość uogónień. 5.. OBIEKTY MECHANICZNE I ICH MODELE O DSS Ja pamiętamy z rozdziału oraz 3 zastąpienie obietu mechanicznego właściwym modeem o JSS nie zawsze było łatwe. Znacznie trudniejsze jest to jedna da modeu o DSS, gdyż tutaj dodatowe trudności dochodzą na etapie mode fizyczny - mode matematyczny". Stosowana przez nas poprzednio metoda transformacji do modeu matematycznego za pomocą zasady d'aemberta da ruchu postępowego ub obrotowego nie zawsze jest pomocna. W wieu przypadach przy budowie modeu matematycznego trzeba się posługiwać równaniami Lagrange a II rodzaju [7], bądź nawet metodą sił ub przemieszczeń da uładów beowych [6,8,9]. Pozostawiając z brau miejsca na uboczu dwie ostatnie metody poażemy niżej ia przyładów modeowania obietów mechanicznych do modei o DSS z wyorzystaniem równań Lagrange a bądź zasady d'aemberta. Jao pierwszy obiet weźmy pod uwagę suwnicę bramową podrywającą uośnie nosiwo o masie M na inie o długości, ta ja na rysunu 5.. Przyjmując że sztywność bei nośnej suwnicy jest duża, mamy dwa wypadowe ruchy drgające; suwnicy w ierunu powstrzymywany przez sprężystość onstrucji z i wzbudzany dodatowo siłą Ft oraz ruch wahiwy nosiwa. Jeśi oznaczymy
Współrzędna masy suwnicy m z :, współrzędne masy nosiwa M: = sin φ y = - cos φ. Stąd po wyiczeniu prędości mamy: energia inetyczna gdzie δ,δ φ, to przemieszczenie przygotowane. Pamiętamy, że równania Lagrange a [[7] da współrzędnej uogónionej mają postać: q j. gdzie D jest funcją dyssypacji zaeżną od prędości uogónionej, zaś Q j. to siły uogónione działające we współrzędnej o numerze j. Zastosowanie tych równań do wyrażeń na energię 5. da nam ostatecznie równania ruchu modeu z rysunu 5. w postaci: Ja widać na sute zastosowanych założeń o małej wartości ąta φ, co nie zawsze będzie słuszne, otrzymaiśmy uład dwu równań różniczowych iniowych sprzężonych poprzez przyspieszenia mas m z, M. Ten typ sprzężenia, powszechny da uładów z wahadłami, nosi nazwę sprzężenia bezwładnościowego. Sprzężenie to jest tu dość proste na sute wymuszenia ruchu puntu zawieszenia wahadła jedynie w ierunu prostopadłym do ierunu sił ciążenia ziemsiego. W następnych dwu przyładach punt zawieszenia iny będzie się poruszał w ierunu pionowym, co niewspółmiernie sompiuje zagadnienie. Sytuację taą daje dźwig wieżowy, oraz suwnica pomostowa przedstawione schematycznie łącznie z modeem fizycznym na rysunu 5..
Ja widać mimo zastosowanych założeń o małej wartości ąta wychyenia nosiwa φ, równania ruchu sprzężone bezwładnościowo ja poprzednie są tutaj nieiniowe, gdyż zawierają ioczyny szuanych zmiennych podreśone. Rozwiązywanie taich równań nie jest proste i można je wyonać: anaitycznie poprzez różnego typu inearyzację członów nieiniowych [np. 0], numerycznie całując ro po rou np. metodą różnic sończonych, oraz na modeu anaogowym modeując eetrycznie równania różniczowe i obserwując ich
Umieszczając zastępczą siłę wymuszającą F t pod abiną operatora można w tym samym miejscu supić zastępczą masę, sztywność i tłumienie bei suwnicowej o metodach taiej reducji patrz w rozdziae ostatnim s, mz cs. Uznając, że ciało człowiea w pozycji siedzącej o masie m c będzie sztywniejsze niż sprężynowanie fotea,, c, mamy tym samym doończony bardzo prosty mode fizyczny naszego f f zagadnienia. Wystarczy tu zastosować znaną zasadę d'aemberta patrz rys. 5.3, by otrzymać: Otrzymamy uład równań jest iniowy i posiada sprzężenie ruchu poprzez człony sprężyste, taą też nosi nazwę. Warto tu dodać, że równania o sprzężeniu bezwłasnościowym można doprowadzić przez odpowiednie iniowe przeształcenie do sprzężenia sztywnościowego i odwrotnie. Stąd też wniosi ogóne uzysane da jednego typu sprzężenia muszą być słuszne da innych typów sprzężeń. Będzie to podstawą naszych daszych rozważań. Jao oejny obiet mechaniczny rozważmy jazdę samochodu po nierównościach, przy założeniu ruchu płasiego i małych drgań rys. 5.4.
Ruch pojazdu tratujemy jao płasi, ta więc ustaona jest prędość iniowa środa masy &, ątowa woół tego puntu φ & oraz deformacje sprężyn równe :, t y z t y z = = φ φ Ta więc wyrażenie na energię będą, y z y z V I M z T c = = φ φ φ & 5.7 Po zastosowaniu równań Lagrange a otrzymamy równania ruchu w postaci [ 9 ] :, t y t y z I t y t y z M z c = = = φ φ φ && && 5.8 tóre ja widać są iniowe z sprzężeniem typu sprężystego. Na zaończenie weźmy przyład agregatu sinia eetrycznego pompa i rozważmy jego drgania srętne. Niech momenty bezwładności wirniów będą: pompy p I, sinia s I, zaś sprężystość srętna wału. Uwzgędnimy ponadto moment : napędowy t M n i
Ułady tego typu mające swobodę ruchu w jednej współrzędnej tutaj obrót całości noszą nazwę uładów półoreśonych, gdyż ja łatwo sprawdzić ich pierwsza częstość własna jest zerowa. Jest to cechą charaterystyczną wszystich inii napędowych maszyn [ patrz np. ] oraz pojazdów, jeśi rozważymy drgania w ierunu ruchu pociąg, raieta, itp..
5.. CZĘSTOŚCI WŁASNE I POSTACIE DRGAŃ WŁASNYCH UKŁADU O DSS Wyżej przedstawiiśmy zasadnicze probemy modeowania uładów o dwu stopniach swobody. Podreśiiśmy taże, że w ramach uładów iniowych istnieje prosta transformacja między uładami o sprzężeniu bezwładnościowym 5.4, 5.5 i sprężystym 5.8, 5.9. Możemy wobec tego daej doonać anaizy własności uładów o DSS na przyładzie uładów o sprzężeniu sprężystym. Ogóny typ uładu o DSS i sprzężeniu sprężystym przedstawiono na rysunu 5.6. Weźmy najpierw pod uwagę drgania swobodne F t F t 0,bez tłumienia c = c = c = 0, gdyż można podejrzewać, że wpływ tłumienia na uład o DSS nie będzie jaościowo różny niż da uładu o JSS. W taim razie nasze wyjściowe równanie ruchu będzie:
Z agebry wyższej wiadomo, że rozwiązania niezerowe 5.3 tzn. A A 0 będą jedynie wtedy, gdy zerować się będzie wyznaczni uładu, czyi:, Tym samym otrzymaiśmy równanie na wyznaczenie dwu częstości drgań własnych, ω, ω, z tórymi mogą zachodzić drgania swobodne uładu o DSS. Zwróćmy uwagę, że wyznaczni 5.4, a więc i równanie częstości, tworzą jedynie parametry masowosprężyste. Ta więc częstości ω i ω, zaeżą jedynie od rozładu i wartości mas i sprężystości: m, m,,,. Każda z częstości własnych ω, ω, oreśa ruch eementarny uładu harmoniczny o tej częstości, wobec tego ruch ogóny uładu o DSS musi być syntezą dopuszczanych ruchów eementarnych, czyi syntezą cząstowych drgań własnych. Ta więc rozwiązanie równań ruchu 5. można wyrazić w postaci: Zauważmy przy tym, że pierwszy wsaźni w ampitudzie A i j oznacza numer współrzędnej a drugi numer częstości własnej. Jeśi popatrzymy na proponowane rozwiązanie 5.5 poprzez pryzmat warunów początowych równania 5., gdzie mamy dane 0, & 0, 0, & 0,, to 5.5 zawiera o dwie niewiadome za dużo. Wróćmy zatem do niewyorzystanego w pełni uładu
co ja widać jest rozwiązaniem w pełni oreśonym, gdyż A, A, φ, φ wyznaczymy z czterech znanych warunów początowych. Wróćmy jedna do iorazów 5.7 i 5.8, czyi µ, µ. Oreśają one reację jaa musi być zachowania między ampitudami mas m. i m podczas drgań eementarnych z częstością ω µ, bądź częstością ω µ Stąd też mówi się,że µ i µ, oreśają postać drgań własnych uładu, czyi dozwoone stosuni ampitudane. Da uładu o JSS mieiśmy jedynie dozwooną częstość drgań w postaci częstości własnej ω 0. Tutaj zaś mamy dwie dozwoone częstości drgań ω, ω, zwane częstościami własnymi i związane z tym dwa dozwoone stosuni ampitudowe µ ; µ zwane postaciami własnymi. Ta więc da oreśenia ruchu własnego uładu o DSS naeży podać częstości i odpowiadające im postacie własne ω ; µ oraz ω ; µ. Anaogicznie będzie da uładów o więszej iczbie stopni swobody. Sytuację powyższą iustruje rysune 5.7, sąd można zauważyć, że druga postać własna wymaga zmiany fazy drgań o 80, µ < 0, tzn. masy m i m drgają w przeciwfazie. Mówiąc o postaciach własnych nie można pominąć jeszcze jednej ich własności, a mianowicie ich wzajemnej ortogonaności prostopadłości, tórą łatwo wyprowadzić z zasady wzajemności sił i pomieszczeń [6]. Da n stopnia swobody własność tę można zapisać następująco:
Czyteni z pewnością rozpisze tę własność da dwu stopni swobody. Kończąc zagadnienie drgań swobodnych uładu o DSS naeży dodać jeszcze słowo o tłumieniu. Jego wpływ jaościowy jest tai sam ja da JSS, stąd też da F t = F t = 0 rozwiązania równań 5.0 można napisać przez anaogię: Ja widać zjawiają się tu wyładnii tłumienia h, h * *, częstości drgań własnych tłumionych ω, ω i również postacie własne. Wieości te wyrażają się jedna w sompiowany sposób przez parametry uładu, stąd też nie warto daej się tu w to zagłębiać. Zainteresowanym można poecić bogatą iteraturę [ 5,, 8,, 3, 4 ]. 5.3. DRGANIA WYMUSZONE MODELU O DSS
Ja widać z rysunu zastosowano tu wzór Euera przedstawienia funcji trygonometrycznych. Taie podejście ułatwia niewspółmiernie rachune, naeży jedna pamiętać, by na ońcu obiczeń zastosować oczywiste rozumowanie: i ω t jeśi wymuszenie F t = F cos ω t = Re F e, to odpowiedź t R e [ t ] =. Ta więc stosując postać zespooną wymuszenia dogodną rachunowo naeży na ońcu przejść do dziedziny rzeczywistej wg podanej wyżej zasady. Równania ruchu uładu z rysunu 5.8 mają postać: Rozpatrując drgania wymuszone ustaone po wygaśnięciu drgań swobodnych spowodowanych włączeniem wymuszenia możemy przyjąć:
F i c i c m F i c m = = ω ω ω ω ω 5.3 a w postaci macierzowej : F K X C X i X M = ω ω 5.4
gdzie: gdzie X jest wetorem ampitud drgań, F - wetorem wymuszeń, M, K, C to macierze bezwładności, sztywności i tłumienia. Jeśi oznaczymy macierz sumaryczną przez D: D = ω M iω C K i nazwiemy ją macierzą dynamiczną uładu, to równanie 5.4 przyjmie ostateczną postać: D X = F 5.5 Z agebry macierzy otrzymujemy rozwiązanie postaci: X = D F = H iω F czyi: 5.6 i j iω gdzie i j są dopełnieniem agebraicznym macierzy D, zaś H i j iω = det D transmitancjami uładu. Transmitancja iω to ampituda odpowiedzi w puncie j" na jednostowe wymuszenie harmoniczne w H i j puncie i". W tym przypadu przy wymuszeniu siłowym i odpowiedzi przenieszczeniowej transmitancja nosi nazwę podatności". Mimo że nasze rozważania zaczęiśmy od dwu stopni swobody, to wprowadzony zapis wetorowo macierzowy daje możiwość uogónień na n" stopni swobody, przy odpowiedniej zamianie rzędu i eementów wetorów i macierzy. W taim razie odpowiedź uładu o n stopniach swobody w współrzędnej s-tej może być na podstawie 5.6 wyrażona w postaci: s n X = H iω F 5.7 j= s j j
5.4. ZASTOSOWANIA - ELIMINACJA I IZOLACJA DRGAŃ W wieu przypadach inżynierii mechanicznej całe onstrucje, maszyny, narzędzia, eementy maszynowe wyazują zbyt duże ampitudy drgań wymuszonych, za duże ze wzgędu na trwałość i niezawodność, doładność, itp. Modeem naszego narzędzia, eementu maszynowego, itp. niech będzie uład o jednym stopniu swobody o parametrach K, M drgający pod wpływem siły wymuszającej F sin ω t. Podejrzewamy, że dołączenie uładu dodatowego o parametrach, m może poepszyć sytuację drganiową rys. 5.9. Da jasności wyładu pominiemy na razie roe tłumienia w uładzie h=0, a uładając równania ruchu otrzymamy: Przyjęcie oczywistych rozwiązań: daje: W śad za Den Hartogiem [3] przyjmiemy następujące oznaczenia : F st = - ugięcie statyczne uładu głównego modeu obietu, K
ω = n m - częstość drgań własnych uładu dołączonego eiminatora, K Ω = n - częstość drgań własnych uładu głównego, M m µ = - stosune masy eiminatora do obietu, a po prostych przeształceniach M otrzymamy: Anaizując ampitudy drgań mas w funcji częstości wymuszenia można powiedzieć, że masa eiminatora A, będzie miała zawsze różną od zera ampitudę drgań poza przypadiem granicznym ω. Natomiast masa główna będzie miała zerową ampitudę drgań da ω = ω n, tzn. wtedy gdy eiminator nastrojony będzie swą częstością własną, na częstość wymuszenia. Można poazać, że w tym przypadu nastrojenia ω = ω n eiminator oddziaływuje na masę główną z siłą równą sie wymuszającej, ecz w przeciwfazie. Następuje więc ompensacja sił i masa uładu głównego ma zerową ampitudę drgań wymuszonych. Eiminator ten nosi nazwę dynamicznego, gdyż jedynym jego waruniem pracy jest ω n = ω, czyi: częstość własna eiminatora = częstości wymuszenia. Nadmierne ampitudy drgań uładu głównego rys. 5.9a mogą wystąpić w dwu przypadach: da ażdego ω 0, przy potężnej ampitudzie siły wymuszającej oraz da ω =Ωn, tzn. w rezonansie przy małej sie wymuszającej i małym tłumieniu. Ten ostatni przypade jest znacznie częstszy. Wtedy warune eiminacji drgań będzie: ω =ω n = Ω n, czyi : K ω = = 5.30 m M Do pełnej anaizy zachowania się eiminatora dynamicznego naeży wziąć pod uwagę wpływ iorazu masy µ, wpływ tłumienia, itp. Nie mając na to miejsca zainteresowanych odsyłamy do iteratury [3, 5, 4], podając m jednocześnie główne wniosi z tych badań. Otóż im więsze µ =, tym szerszy zares eiminacji drgań, M jedna ze wzgędów oczywistych masa dołączona m jest mniejsza od masy uładu głównego M tzn. µ <. Wpływ tłumienia na zjawiso eiminacji drgań jest istotny, szczegónie w uładzie eiminatora patrz rys. 5.9 tłumi wrysowany inią przerywaną. Optymanie dobrane tłu mienie iwiduje prawie całowicie dwa rezonanse na charaterystyce uładu o DSS.
Całe zagadnienie dobrze iustruje rysune 5.0 zaczerpnięty od Den Hartoga [3], gdzie podano A charaterystyi częstościowe drgań masy głównej = f ω da trzech przypadów tłumienia: s t c = 0 z widocznym dobrze zerowaniem się ampitudy drgań, c = c o p t z dosonae wytłumionymi rezonansami, 3 c =, co daje zwarcie masy dużej z małą i uład główny z powięszoną masą do "Mm", widać tu rezonans tego nowego uładu niewiee różnego od uładu wyjściowego 5.9a. Wiee przyładów zastosowań i onretnych onstrucji dynamicznych eiminatorów drgań można znaeźć w [5,3]. Tutaj warto jedynie wspomnieć, że maszyna do strzyżenia włosów pracuje bez szarpania dzięi eiminatorowi; przypomnieć, że w ażdym sprzęge pojazdu znajduje się eiminator drgań, a taże wsazać, że eiminator to nie tyo masa i sprężyna, to taże może być wahadło, ua we wgłębieniu itp. Te ostatnie typy eiminatora dynamicznego znajdują szczegóne zastosowanie w iwidacji drgań wału orbowego siniów spainowych, przy czym dzięi wyorzystaniu siły odśrodowej daje się je nastroić na harmoniczne częstości obrotowej. Na zaończenie zagadnień eiminacji drgań warto wspomnieć o innym rodzaju eiminatorów tzw. rezonansowych, tóre jedynie są suteczne w rezonansie uładu głównego ω = Ωn, odmiennie niż da eiminatora dynamicznego. Jego ogóny schemat dynamiczny i charaterystyę przedstawiono na rysunu 5.. Tajemniczy niesprężysty eement sprzęgający z rysunu 5. o zastępczej wartości tłumienia C Z, może być zwyłym tłumiiem oejowym, tłumiiem ciernym nieiniowym, a nawet może mieć postać zespołu mas dodatowych pracujących uderzeniowo rys. 5.. Da zainteresowanych tą tematyą można poecić pracę dotorsą Z.Goca [5]. Zastosowanie uładów o DSS to również zagadnienie wibroizoacji maszyn poruszone już w p. 4.4 przy uładach o JSS. Jeśi na rysunu 5.8 pominiemy da prostoty tłumienie, a wymuszenie zachowamy jedynie przy masie m, to będzie to przypade maszyny m jao źródła wymuszenia F posadowionej na wibroizoatorze, z masą pośrednią m, patrz rys. 5.3. Napisanie równań ruchu i ich rozwiązanie da,, a następnie obiczenie siły przeazywanej na podłoże R = pozostawimy czyteniowi. Tutaj jedynie wypuntujemy najważniejsze wniosi w porównaniu z wibroizoacją w uładzie o JSS patrz p. 4.4. Tam w uładzie mieiśmy jeden rezonans, tutaj dwa dwie masy, dwa stopnie swobody, dwie częstości własne -
- rezonansowe. Podobnie więc po minięciu strefy rezonansu wystąpi strefa wibroizoacji. Da uładu o JSS w 4 mianowniu mieiśmy wadrat częstości ω, tutaj mamy.jej czwartą potęgę ω. Stąd jest wniose, że w miarę wzrostu częstości i w strefie wibrozoacji jej efetywność jest więsza da uładu z masą pośrednią niż da uładu o JSS. Ta więc tam gdzie jest możiwe stosowanie masy pośredniej, będziemy ją 4 ω ω zaecai da zwięszenia efetywności wibroizoacji. Przyład. Da eiminacji drgań srętnych wału orbowego, wymuszonych częstością drugiej harmonicznej odpaeń cyindrów ω w całym zaresie obrotów, postanowiono zamontować w miejscu masymanych drgań srętnych dwa symetryczne eiminatory wahadłowe. Znaeźć ich parametry. Rozwiązanie: Załadamy, że uład jest symetryczny, a znając warune nastrojenia eiminatorów ω = Ω n, druga harmoniczna, trzeba jedynie znaeźć częstość własną Ω n, wahadła w pou sił odśrodowych spowodowanych obrotem wału z prędością ątową ω. Na masę m w taim ruchu działa siła odśrodowa F wzdłuż L, siła Corioisa z tytułu ruchu wzgędnego równa φ & wzdłuż i oraz siła bezwładności, z tytułu ruchu na ramieniu. Biorąc ich rzuty na ierune ruchu masy mamy:
m & & m ω L sin α = 0, R R ae : sinα = sinψ ψ, X zaś ψ da małych ątów można wyrazić jao ψ =. L Wobec tego po podstawieniu : R m && mω L ψ = 0, mω L R m && = 0, L R && ω = 0, && Ω = 0, n sąd : Ω n = ω R. Ta więc strojenie eiminatora poega na doborze R oraz ta, by R / =.