1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1 = x 1 x = e. Poieważ działaie jest łącze, więc (ab)c = a(bc) moża pisać po prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczy a 1 a 2... a moża pisać bez awiasów (ale uwaga a kolejość!). Jeśli a 1 = a 2 =... = a, to taki iloczy azywamy tą potęgą i ozaczamy a. Określamy poadto a 0 = e, a = (a ) 1 lub a = (a 1 ). Ć w i c z e i e. Wykazać, że dla a G, m, Z a m a = a m+, (a m ) = a m. Jeśli a = e dla pewego > 0, to ajmiejszą z liczb o tej własości azywamy rzędem elemetu a i ozaczamy a. Jeśli a e dla każdego > 0, to a =. Jeśli grupa ma skończoą liczbę elemetów, to azywamy ją grupą skończoą. Liczbę elemetów grupy azywamy rzędem grupy; ozaczeie: G. Ć w i c z e i e. Jeśli a = e, to dzieli się przez a. Jeżeli G spełia oprócz G1 G3 jeszcze: G4. x,y G x y = y x, to azywamy ją grupą abelową. Tradycyjie działaie w grupie abelowej ozaczamy + i stosujemy astępującą termiologię: + możeie dodawaie iloczy suma jedyka zero odwroty przeciwy potęga krotość e lub 1 0 a 1 a a a Przykłady. 1. Zbiór elemetów dowolego ciała rozpatryway z dodawaiem tworzy grupę abelową, p. Q, R, C. 2. Zbiór elemetów iezerowych dowolego ciała rozpatryway z możeiem tworzy grupę abelową, p. Q, R, C. 3. Zbiór Z z dodawaiem tworzy grupę abelową. 4. Zbiór Z reszt z dzieleia przez z działaiem dodawaia modulo tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończoa rzędu. 5. Q p = { m p m, Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest addytywą grupą abelową. 6. Zbiór C pierwiastków stopia z 1 jest grupą multiplikatywą skończoą rzędu. Przypomieie. Pierwiastkami stopia z 1 są liczby ε k = ( cos 2kπ + i si 2kπ Moża je zapisać w postaci wykładiczej: ), k = 0, 1,..., 1 e i 2kπ, k = 0, 1,..., 1 7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) iech ozacza zbiór odwzorowań odwracalych Ω Ω. Zbiór S(Ω) z działaiem składaia tworzy grupę. 1

8. W szczególości, gdy Ω = {1, 2,..., },to S(Ω) jest grupą permutacji -elemetowych. Nazywamy ją grupą symetryczą i ozaczamy S. Grupa S jest skończoa; S =!. Dla > 2 grupy S są ieabelowe. 9. Niech K będzie dowolym ciałem. Zbiór macierzy ieosobliwych o wyrazach z K z działaiem możeia macierzy jest grupą. Ozaczamy ją GL(, K) lub GL (K) i azywamy pełą grupą liiową. Jedyką tej grupy jest macierz jedostkowa; elemetem odwrotym do macierzy A jest macierz odwrota A 1. W GL (K) moża rozpatrywać astępujące podzbiory: a) SL (K) = {A GL (K) : det A = 1}; b) D (K) = {A GL (K) : A jest diagoala}; c) T (K) = {A GL (K) : A jest górotrójkąta}; d) UT (K) = {A T (K) : A ma jedyki a przekątej }. Grupy te oszą azwy: specjala grupa liiowa, grupa diagoala, grupa trójkąta, grupa uitrójkąta. Uwaga. Rozpatruje się rówież struktury uboższe (tz. mające miej aksjomatów) od grupy. Defiicja 2. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy półgrupą, gdy działaie to jest łącze, tj. x,y,z G (x y) z = x (y z). Pojęcie półgrupy okazało się bardzo użytecze, p. w teorii automatów. 2. Podgrupy Jeśli podzbiór H grupy G jest zamkięty ze względu a możeie (tj. a, b H ab H), to ograiczeie operacji możeia do H jest działaiem a H. Jeżeli względem tego działaia H jest grupą, to mówimy, że H jest podgrupą G i ozaczamy H G. Jeśli H G i H G, to piszemy H < G. Lemat 1. Następujące waruki są rówoważe: a) H G; b) a,b H ab 1 H; c) a,b H ab H a 1 H. Waruki te moża zapisać iaczej stosując pojęcie iloczyu kompleksowego podzbiorów grupy G: AB def = {ab : a A, b B} i przyjmując: dla A G i B G. A 1 def = {a 1 : a A} Lemat 2. Następujące waruki są rówoważe: a) H < G; b) HH H H 1 H. Przykłady. 1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = Q p. 2. Q < R < C. 3. C p < C p 2 <... < C p. Poadto C p = C p. 4. Dla 2: SL (K) < GL (K), D (K) < T (K),. UT (K) < T (K) < GL (K) 2

3. Iloczyy proste grup Niech G, H będą dowolymi grupami. Wtedy w zbiorze G H moża określić działaie wzorem: (g, h) (g, h ) = (gg, hh ) dla dowolych (g, g ), (h, h ) ze zbioru G H. Zbiór G H z tym działaiem tworzy grupę, której elemetem eutralym jest (e G, e H ). Nazywamy ją iloczyem prostym grup G i H. Zbiory G = {(g, e H ) : g G} i H = {(e G, h) : h H} są podgrupami grupy G H i oczywiście są izomorficze odpowiedio z G i H. U w a g a. W przypadku grup abelowych mówimy raczej: suma prosta grup. 4. Zbiory geerujące Jase jest, że przekrój dowolego zbioru podgrup daej grupy jest także podgrupą. Niech M dowoly podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich podgrup grupy G zawierających M azywamy podgrupą geerowaą przez M, a zbiór M zbiorem geeratorów dla (M). Grupę mającą skończoy zbiór geeratorów azywamy skończeie geerowaą. Twierdzeie 1. Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to (M) = {a ε1 1 aε2 2 aεm m : a i M, ε i = ±1, m = 1, 2,...}. D o w ó d. Ozaczmy prawą część przez H. Poieważ (M) zawiera wszystkie a i M, więc (M) H. Z drugiej stroy, jeśli x, y H, to xy 1 H, więc H jest podgrupą, oczywiście zawierającą M. Stąd H (M) i w końcu H = (M). Przykłady.. Uwaga: jeśli zbiór M określoy jest w postaci M = {... :...}, to będziemy pisać (... :...) zamiast ({... :...}). 1. Z = (1). 2. Z = (1(mod)). 3. Q = ( 1 : = 1, 2,...). 4. Q = ( 1, 2, 3, 5, 7, 11,...). 5. C = (ε ), ε = cos 2π + i si 2π = ei 2π. 6. C p = (ε p m : m = 1, 2,...). 5. Fukcja Eulera Defiicja 3. Fukcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie aturalej liczbę liczb względie z ią pierwszych ie większych od iej samej. Przykład. Początkowe wartości fukcji Eulera: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ϕ() 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 Fukcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istote zastosowaia w kryptografii w badaiach ad złożoością szyfrów. Własości fukcji ϕ. 1. Dla dowolej liczby pierwszej p i k N jest ϕ(p k ) = p k p k 1 ; w szczególości ϕ(p) = p 1. 2. Jeżeli liczby całkowite m, są względie pierwsze, to ϕ(m) = ϕ(m)ϕ(). 3

3. Jeżeli ie ma wielokrotych dzielików pierwszych, tj. = p 1 p 2... p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami róże (i = 1,..., k), to ϕ() = (p 1 1)(p 2 1)... (p k 1). 4. Dla dowolej liczby całkowitej zachodzi: ϕ(m) = (sumowaie przebiega wszystkie dzieliki liczby ). 5. Jeżeli = k i=1 pki i jest rozkładem liczby a czyiki pierwsze to Z tych własości wyika też wzór ϕ() = k i=1 m ϕ(p ki i ) ) ) ( ) ϕ() = (1 (1 1p1 1p2... 1 1 p k, gdzie p 1, p 2,..., p k są wszystkimi czyikami pierwszymi liczby liczoymi bez powtórzeń. Ostati wzór moża wyprowadzić bezpośredio z zasady włączaia-wyłączaia. Twierdzeie 2. (zasada włączaia-wyłączaia) Niech S ozacza liczbę elemetów zbioru S. Jeżeli A 1, A 2,..., A r są zbiorami skończoymi, to r i=1 A i = r i=1 A i r + r i,j,k=1 i j,i k,j k i,j=1 i j A i A j + A i A j A k + + ( 1) r 1 A 1 A 2 A r. Załóżmy, że liczba ma astępujący rozkład a czyiki pierwsze: = p e 1 1 pe 2 2... per r. i iech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m {1, 2,..., } takich, że p i dzieli m. Moża wykazać, że A i = p i, A i A j = p i p j dla i j, A i A j A k = p i p j p k dla różych i, j, k, r itd. Poieważ ϕ() = i=1 A i, więc stosując zasadę włączaia-wyłączaia i powyższe rówości otrzymujemy: ϕ() = pi + p i p j p i p j p k +... = ( 1 1 p 1 ) ( 1 1 p 2 )... ( 1 1 p k ) 6. Podgrupy cyklicze Podgrupa (a) geerowaa przez jede elemet a azywa się cykliczą. Z twierdzeia o podgrupie geerowaej przez zbiór wyika, że (a) = {a : = 0, ±1, ±2,...}. Dwa pierwsze przykłady wyżej pokazują, że Z i Z są grupami cykliczymi. Twierdzeie 3. (i) Każda podgrupa grupy cykliczej jest cyklicza; (ii) Niech (a) będzie grupą cykliczą rzędu. Elemet a k geeruje podgrupę rzędu wd(k,) ; (iii) Niech (a) będzie grupą cykliczą rzędu a l dodatim dzielikiem liczby. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elemetów rzędu l; (iv) Grupa cyklicza rzędu zawiera ϕ() geeratorów. Geeratorami są te i tylko te elemety a r dla których wd(r, ) = 1. 4

Dowód (i) (dla grupy skończoej). Niech (a) będzie cykliczą grupą rzędu, H {e} jej podgrupą. Niech m będzie ajmiejszą liczbą całkowitą o własości: a m H, 0 < m <. Oczywiście (a m ) H. Wykażemy, że aprawdę (a m ) = H. Weźmy dowoly elemet z H; musi o mieć postać a k, 0 k <. Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy a r = a k (a m ) q H. Ze sposobu wyboru liczby m wyika, że r = 0, a więc a k (a m ). Dla grupy ieskończoej dowód jest aalogiczy. Dowód (iii). Niech = dl. Na mocy (ii) a k = l wtedy, i tylko wtedy, gdy wd(k, ) = d. Zatem liczba elemetów rzędu l jest liczbą tych k, że wd(k, ) = d. Ale gdy k = dh, to wd(k, ) = d wd(dh, dl) = d wd(h, l) = 1. Przykład. Rozważmy grupę C pierwiastków stopia z 1, geerowaą przez ε 1 = e i 2π. Przykładowo weźmy = 12; wtedy geeratorem jest liczba e i π 6. Grupa ma 12 elemetów: Dzielikami 12 są 1, 2,3, 4, 6, 12. C 12 = {e kπ/6 : k = 0, 1, 2,..., 11}. l 1 2 3 4 6 12 ϕ(l) 1 1 2 2 2 4 liczby 1 e π e i 2π 3, e i 4π 3 e i π 2, e i 3π 2 e i π 3, e i 5π 3 e i π 6, e i 5π 6, e i 7π 6, e i 11π 6 Przykład. Jak wiadomo, możeie przez liczbę e i ϕ moża iterpretować jako obrót płaszczyzy zespoloej o kąt ϕ. Grupę C możemy więc zastąpić grupą O obrotów płaszczyzy, geerowaą przez obrót o 2π/. Poprzedi przykład traspoujemy astępująco: dla = 12 geeratorem grupy obrotów jest obrót o kąt π 6. Grupa ma 12 elemetów: Dzielikami 12 są 1, 2,3, 4, 6, 12. O 12 = {o kπ/6 : k = 0, 1, 2,..., 11}. l 1 2 3 4 6 12 ϕ(l) 1 1 2 2 2 4 obroty id o π o 2π/3, o 4π/3 o π/2, o 3π/2 o π/3, o 5π/3 o π/6, o 5π/6, o 7π/6, o 11π/6 Twierdzeie 4. (podstawowe teorii grup abelowych) Jeżeli G jest grupą abelową geerowaą przez skończeie wiele elemetów, to G jest sumą prostą grup cykliczych. Wiosek 1. Każda skończoa grupa abelowa jest sumą prostą grup cykliczych postaci C p r, gdzie p jest liczbą pierwszą, a r N. 7. Homomorfizmy Niech G, G będą grupami. Odwzorowaie f : G G azywamy homomorfizmem, gdy dla dowolych a, b G spełioy jest waruek: f(ab) = f(a)f(b). Homomorfizm różowartościowy azywamy moomorfizmem; jeżeli obrazem G jest cała G, to mówimy o epimorfizmie. Homomorfizm, który jest moomorfizmem i epimorfizmem azywamy izomorfizmem. Jeśli G = G, to homomorfizm azywamy edomorfizmem; edomorfizm, który jest izomorfizmem, azywamy automorfizmem. 5

Jeżeli istieje izomorfizm f : G G, to grupy G i G azywamy izomorficzymi; piszemy wtedy G = G. Przykłady. 1. Odwzorowaie Z Z przyporządkowujące liczbie jej resztę z dzieleia przez jest epimorfizmem. 2. l : R + R oraz exp : R R + są izomorfizmami. 3. det : GL (K) K jest epimorfizmem. 4. f : Z O, f(k) = o 2kπ/. Z każdym homomorfizmem grup f : G G związae są dwie podgrupy: jądro ker f G i obraz f(g) G : ker f = {x G : f(x) = e}; im f = {y G : x G f(x) = y}. Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy. Jeśli a, b ker f, to f(ab 1 ) = f(a)f(b) 1 = ee = e, zatem ab 1 ker f. Jeśli c, d f(g), to istieją a, b G takie, że c = f(a), d = f(b). Zatem cd 1 = f(a)f(b) 1 = f(ab 1 ), więc cd 1 f(g). Warto także zauważyć, że ab 1 ker f f(ab 1 ) = e f(a) = f(b). Zatem jeżeli f jest moomorfizmem, to a ker f ae 1 ker f f(a) = f(e) a = e, więc ker f = e. Odwrotie, jeśli ker f = {e}, to f(a) = f(b) ab 1 ker f ab 1 = e a = b. Wykazaliśmy więc, że homomorfizm jest moomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro jedoelemetowe. 8. Grupa symetrycza S Zajmiemy się bardziej szczegółowo grupą S permutacji -elemetowych. Permutacje ozaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek permutacja tożamościowa e). Permutację π : i π(i), i = 1, 2,..., zapisuje się w dwóch rzędach: ( ) 1 2... i 1 i 2... i podając wszystkie wartości przekształceia π: 1 2.... i 1 i 2... i Permutacje moży się zgodie z prawem składaia przekształceń. Jeżeli σ, τ S, to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 σ =, τ = 2 3 4 1 4 3 2 1 mamy στ = ( 1 2 3 4 2 3 4 1 Zauważmy, że τσ = ) ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ) = ) ( 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 4 3 2 ) = = ( 1 2 3 4 3 2 1 4 ( 1 2 3 4 1 4 3 2 więc στ τσ. Jak wiadomo, istieje! permutacji -elemetowych, więc S =!. Grupy permutacji staowią uiwersaly przykład grup skończoych. 6 ), ).

Twierdzeie 5. (Cayleya) Każda grupa skończoa jest izomorficza z pewą grupą permutacji. D o w ó d. Niech G będzie grupą, G =. Określimy odwzorowaie Γ : G S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie ( ) g1 g γ = 2... g S(G). gg 1 gg 2... gg γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem. Poieważ dla x G, Γ(x)(g) = xg, więc Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) = = (Γ(a) Γ(b)) (g) czyli Γ(ab) = Γ(a) Γ(b). Odwzorowaie Γ jest różowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G, więc a = e G. Zatem Γ ma jądro jedoelemetowe, czyli jest moomorfizmem. Prawdziwe jest także poiższe twierdzeie. Twierdzeie 6. (uogólioe twierdzeie Cayleya) Każda grupa jest izomorficza z grupą odwzorowań wzajemie jedozaczych ( permutacji ieskończoych ) pewego zbioru a siebie. Permutacje z S moża rozłożyć a iloczy prostszych permutacji. Zauważmy p., że dla powyższych σ i τ moża arysować grafy: 4 σ : 1 3 τ : 4 1 3 2 2 Naturale będzie więc azwaie permutacji σ cyklem o długości 4, a permutacji τ iloczyem dwóch rozłączych cykli długości 2. Ogóliej, mówimy, że elemety i, j są π-rówoważe, jeśli j = π s (i) dla pewego s Z (π s ozacza s-krote złożeie permutacji π). Tak zdefiiowaa relacja jest relacją rówoważości (sprawdzić!). Twierdzeie 7. (zasada abstrakcji). Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją rówoważości w X. Dla x X iech [x] = {y X : x y} ozacza zbiór wszystkich elemetów rówoważych z x. Wtedy dla dowolych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = x X [x]. 4) [x] [y] [x] = [y]. Zgodie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru Ω = {1, 2,..., } Ω = Ω 1 Ω p (1) a rozłącze klasy Ω 1,..., Ω p, zwae π-orbitami. Każdy elemet i Ω ależy więc do dokładie jedej orbity. Liczbę l k = Ω k azywamy długością orbity Ω k. Jeśli i Ω k, to Ω k = {i, π(i),..., π lk 1 (i)}. Permutację ( ) i π(i)... π l k π k = 2 (i) π lk 1 (i) π(i) π 2 (i)... π lk 1 (i) i 7

azywamy cyklem długości l k. Cykle będziemy zapisywać w postaci jedego wiersza: π k = ( i π(i)... π l k 2 (i) π l k 1 (i) ). Elemety te moża oddzielać przecikami lub ie. Cykl π k pozostawia a miejscu wszystkie elemety zbioru Ω \ Ω k. Dlatego też uzasadioe jest azywaie cykli π s i π t dla s t cyklami rozłączymi. Z rozbiciem zbioru (1) wiąże się zatem rozkład permutacji π a iloczy π = π 1 π 2 π p, (2) w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemiee. W zapisie tym zwykle pomijamy cykle o długości 1, p. ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 π = S 2 3 4 5 1 7 6 8 8 (3) moża zapisać: π = (1 2 3 4 5)(6 7)(8) = (1 2 3 4 5)(6 7). Twierdzeie 8. Każdą permutację π e w S moża przedstawić w postaci iloczyu cykli rozłączych o długości większej lub rówej 2. Rozkład taki jest jedozaczy z dokładością do kolejości czyików. Rozkład a cykle pozwala a łatwe zalezieie rzędu permutacji. Wiosek 2. Rząd permutacji π S jest rówy ajmiejszej wspólej wielokrotości długości cykli występujących w rozkładzie (2). D o w ó d. Niech π = π 1 π 2 π p. Poieważ cykle są ze sobą przemiee, więc π s = π s 1π s 2 π s p, s = 0, 1, 2,... Cykle π 1 π 2... π p są rozłącze (działają a różych zbiorach Ω 1,..., Ω p ), więc π q = e π q k = e k=1,2,...,p. Zatem q jest wspólą wielokrotością rzędów cykli π k, czyli wspólą wielokrotością ich długości l k. Rzędem π jest ajmiejsza taka liczba q, czyli π = NWW(l 1,..., l p ). Np. rząd permutacji π daej wzorem (3) wyosi 10. Przykład. Jaki jest maksymaly rząd elemetów grupy S 8? Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 a sumy: 8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4,... dojdziemy do wiosku, że rzędami elemetów różych od e w S 8 mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15. Np. π = (1 2 3 4 5)(6 7 8) jest rzędu 15. Zwróćmy uwagę, że S 8 = 8! = 40320. Cykl długości 2 azywamy traspozycją. Z twierdzeia 8 wyika poiższy wiosek. Wiosek 3. Każda permutacja π S jest iloczyem pewej liczby traspozycji. D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolej traspozycji τ. Po drugie, z twierdzeia 8 wyika, że wystarczy podać sposób rozkładu cyklu a traspozycje. Mamy p.: (1 2... l 1 l) = (1 l)(1 l 1) (1 3)(1 2), a ogóliej: (a 1 a 2... a l 1 a l ) = (a 1 a l )(a 1 a l 1 ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). Wiosek te moża wypowiedzieć iaczej: Wiosek 4. Traspozycje tworzą zbiór geeratorów dla S. 8

Oczywiście ie jest to miimaly zbiór geeratorów, p.: S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ). Twierdzeie 9. (o geeratorach grupy S ). Następujące podzbiory są zbiorami geeratorów grupy symetryczej S : a) wszystkie traspozycje elemetów zbioru Ω = {1, 2,..., }; b) {(1 2), (2 3), (3 4),..., ( 1 )}; c) {(1 2), (1 3), (1 4),..., (1 )}; d) {(1 2), (1 2 3... )}. D o w ó d. a) jest treścią poprzediego wiosku. b) Każdą traspozycję (ij), 1 i < j moża przedstawić w postaci: (i j) = (i i+1)(i+1 i+2) (j 1 j)(j 2 j 1)(j 3 j 2) (i+1 i+2)(i i+1). Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji geeruje S, więc rówież zbiór traspozycji poday w b) ją geeruje. c) Teza wyika z rówości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i). d) Niech α = (1 2), β = (1 2... ). Wtedy mamy kolejo β 1 = β 1 (bo β = e), (2 3) = βαβ 1, (3 4) = β(2 3)β 1, (4 5) = β(3 4)β 1,..., ( 1 ) = β( 2 1)β 1. Na mocy b) zbiór {α, β} jest rówież zbiorem geeratorów. Warto także podkreślić, że rozkład permutacji a traspozycje ie jest jedozaczy; więcej, róże rozkłady mogą mieć awet różą liczbę czyików. Np. w S 4 mamy: (1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4). Moża jedak wykazać, że jeśli jakiś rozkład permutacji a traspozycje ma parzystą liczbę czyików, to każdy iy ma także parzystą liczbę czyików. Iymi słowy, liczba ε π = ( 1) k, gdzie k jest liczbą traspozycji w dowolym rozkładzie permutacji π, jest iezmieikiem permutacji. Dokładiej, moża udowodić kolejo poiższe lematy. Lemat 3. Niech π S, iech τ S będzie traspozycją. Liczby cykli występujących w rozkładach a cykle permutacji π i τπ różią się o 1. Lemat 4. Jeżeli permutacja tożsamościowa e jest przedstawioa w postaci iloczyu k traspozycji, p. e = τ k τ k 1 τ 2 τ 1, to liczba k jest parzysta. Korzystając z tych lematów moża wykazać twierdzeie 10. Twierdzeie 10. Jeżeli π S jest a dwa sposoby przedstawioa w postaci iloczyu traspozycji, to albo w obu przedstawieiach liczba czyików jest parzysta, albo w obu ieparzysta. D o w ó d. Niech π = τ k τ k 1 τ 2 τ 1 = σ l σ l 1 σ 2 σ 1 będą dowolymi przedstawieiami permutacji π S w postaci iloczyu traspozycji. Wtedy: e = π 1 π = (σ l σ l 1 σ 2 σ 1 ) 1 (τ k τ k 1 τ 2 τ 1 ) = = σ1 1 2 σ 1 l τ k τ k 1 τ 2 τ 1 = = σ 1 σ 2 σ l τ k τ k 1 τ 2 τ 1 jest przedstawieiem permutacji tożsamościowej w postaci iloczyu k + l traspozycji. Na mocy poprzediego lematu k + l jest liczbą parzystą, więc albo k, l są obie parzyste, lub obie ieparzyste. Permutację π S azywamy parzystą, gdy ε π = 1 i ieparzystą, gdy ε π = 1. Tak więc wszystkie traspozycje są permutacjami ieparzystymi. Moża wykazać, że wszystkie permutacje parzyste zbioru -elemetowego ( 2) tworzą podgrupę A grupy S, rzędu! 2. Jest to tzw. grupa alterująca. Defiicja 4. Dwie permutacje π 1 i π 2 azywamy podobymi, jeżeli w ich rozkładach a cykle występuje tyle samo cykli tej samej długości. 9

Przykład. Permutacje: są podobe. π 1 = (1)(2)(3 4 5)(6 7 8 9 10), π 2 = (1 2 3)(4)(5 6 7 8 9)(10) Nietrudo sprawdzić, że podobieństwo jest relacją rówoważości w zbiorze S. Defiicja 5. Mówimy, że permutacja π 1 S jest sprzężoa z permutacją π 2 S względem pewej grupy permutacji G S, jeśli istieje elemet π grupy G taki, że ππ 1 π 1 = π 2. Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężeie względem G jest relacją rówoważości. Klasy abstrakcji relacji sprzężeia (względem grupy G) w zbiorze G azywamy klasami elemetów sprzężoych w grupie G. Twierdzeie 11. Dwie permutacje π 1, π 2 S są sprzężoe względem S wtedy i tylko wtedy, gdy są podobe. D o w ó d. ( ) Najpierw przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i sprzężoą z ią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podoba do π 1. Ogólie: jeśli day jest rozkład permutacji π 1 a cykle, to rozkład π 2 otrzymujemy zastępując liczby ich obrazami przy permutacji π. ( ) Zowu przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobe (123)(45) i (143)(25). Określamy ( ) 1 2 3 4 5 π = = (24). 1 4 3 2 5 Wtedy π(123)(45)π 1 = (143)(25). Ogólie: iech permutacje π 1 = (a 1 a 2... a k )(b 1... b l )... (...), π 2 = (a 1 a 2... a k)(b 1... b l)... (...) będą podobe. Niech ( ) a1 a π = 2... a k b 1 b 2... b l... a 1 a 2... a k b 1 b 2... b S l.... Wtedy π 2 = ππ 1 π 1. W wielu zagadieiach moża utożsamiać permutacje podobe. Dlatego przydate jest astępujące pojęcie. Defiicja 6. Niech w rozkładzie permutacji π S a cykle występuje j k cykli o długości k, k = 1, 2,...,. Jedomia azywamy typem permutacji π. z(π) = x j1 1 xj2 2 xj Uwaga. Czasem typ ozacza się z(π) = 1 j1 2 j2 j. Defiicja 7. Ideksem cyklowym grupy permutacji G S azywamy wielomia: Z(G) = 1 z(π). G π G Przykład. Niech G = S 2 = {e, (12)}. Wtedy Dla grupy S 3 mamy z kolei: Z(S 3 ) = 1 6 Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x2 1 + x 2 ). 6 z(π i ) = 1 6 (x3 1 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 3 ) = i=1 = 1 6 (x3 1 + 3x 1 x 2 + 2x 3 ). 10

9. Ideks cyklowy grupy dwuściau Defiicja 8. Grupę izometrii -kąta foremego ( 3) azywamy grupą dwuściau (diedralą) i oz. D. D = 2, bo D składa się z obrotów i symetrii osiowych. Grupa ta jest geerowaa p. przez obrót o kąt 2π/ i jedą symetrię osiową. Każda izometria z D da się opisać jako pewa permutacja wierzchołków, więc D moża traktować jako podgrupę grupy S. Np. D 4 = {e, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}. Twierdzeie 12. 1) Jeżeli = 2m + 1, to 2) Jeżeli = 2m, to Z(D ) = 1 ( x 2 1 + x 1 x m 2 + ϕ(d)x /d ) d. d,d 1 Z(D ) = 1 ( x 2 1 + mx 2 1x2 m 1 + (m + 1)x m 2 + ϕ(d)x /d ) d. d,d 1,2 D o w ó d. Symetrie osiowe dają w D składiki: x 1 x m 2 dla = 2m + 1, mx 2 1x m 1 2 + mx m 2 dla = 2m. Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczą. Niech g będzie geeratorem jest to cykl rzędu, p. g = (123... ). Wtedy g k ma rząd d = wd(k, ) i jest iloczyem /d cykli długości d, tj. z(g k ) = x /d d. Elemetów rzędu d jest tyle, ile jest takich k, że wd(k, ) = /d, tj. ϕ(d) (bo wd(k, d) = 1 wd(k d, d d ) = d ). Dla = 2m istieje jede obrót typu xm 2. 10. Grupa ilorazowa Defiicja 9. Warstwą lewostroą grupy G względem podgrupy H wyzaczoą przez a G azywamy zbiór: ah = {ah : h H}. Przykłady. 1. Niech G = Q, H = {3 : Z}. Wtedy p. 5H = {5 3 : Z}. 2. W zapisie addytywym: iech G = Z, H = 3Z = {3k : k Z}; wtedy 5 + H = {5 + 3k : k Z}. 3. G = GL (K), H = SL (K). Dla A GL (K) mamy: AH = {AB : B SL (K)} = {C : det C = det A}. Lemat 5. Niech H G. b ah a 1 b H. Lemat 6. Relacja : a b a 1 b H jest relacją rówoważości w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej relacji są warstwy G względem H. Wiosek 5. Niech H G. Każdy elemet grupy G ależy do dokładie jedej warstwy względem H. 11

Wiosek 6. (twierdzeie Lagrage a). Rząd podgrupy grupy skończoej jest dzielikiem rzędu grupy. D o w ó d. Niech G =. Każdy elemet G ależy do dokładie jedej warstwy względem H. Poadto każda warstwa ma tyle elemetów, ile podgrupa H. Zatem: = liczba warstw liczba elemetów warstwy, Zatem H jest dzielikiem G. = liczba warstw H. Wiosek 7. Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cyklicza. D o w ó d. Jeżeli a G jest rzędu, to {e, a,..., a 1 } jest podgrupą cykliczą rzędu. Zatem p. Defiicja 10. Zbiór warstw G względem H azywamy zbiorem ilorazowym grupy G przez podgrupę H i ozaczamy G/H. Moc zbioru G/H azywamy ideksem podgrupy H w grupie G ; ozaczeie (G : H). W zbiorze ilorazowym moża wprowadzić działaie, ale trzeba więcej założyć o H. Defiicja 11. Podgrupę H grupy G azywamy podgrupą ormalą lub dzielikiem ormalym (ozaczeie : H G), jeżeli spełioy jest waruek: Waruki rówoważe: g G h H g 1 hg H. g G gh = Hg ; g G g 1 Hg H. Przykłady. 1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest ormala. 2. SL (K) jest ormala w GL (K). 3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} ie jest ormala, bo dla g = (1 2 3), gh = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}. Lemat 7. Niech f : G G będzie homomorfizmem. Wtedy ker f G. D o w ó d. Dla g G, h ker f mamy f(g 1 hg) = f(g) 1 f(h)f(g) = f(g) 1 f(g) = e, więc g 1 hg ker f. Twierdzeie 13. Jeżeli H G, to działaie: ah bh = abh wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwaej grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eh jest jedyką w G/H, a elemetem odwrotym do ah jest a 1 H. D o w ó d. Sprawdzimy, że działaie jest dobrze określoe, tj. (ah = a H, bh = b H) = abh = a b H. Mamy : a b H = a (b H) = a (bh) = a (Hb) = (a H)b = (ah)b = a(hb) = a(bh) = abh. Twierdzeie 14. (podstawowe o homomorfizmach). Niech f : G G będzie homomorfizmem grup z jądrem H = ker f. Wtedy H G oraz G/H = f(g). Na odwrót, jeśli H G, to istieje grupa G (miaowicie G/H) i epimorfizm π : G G o jądrze H. 12

G π G/ ker f Uwaga. π azywamy homomorfizmem kaoiczym (aturalym). D o w ó d. Wiemy już, że H G. Określamy odwzorowaie f f G f : G/H G, f(gh) = f(g). Odwzorowaie f jest dobrze określoe, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to g1 1 g 2 H, czyli f(g1 1 g 2) = e, tj. f(g 1 ) = f(g 2 ). Dalej, f jest homomorfizmem, bo f(g 1 H g 2 H) = f(g 1 g 2 H) = f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) = f(g 1 H) f(g 2 H). Poadto f jest moomorfizmem, bo jeśli f(gh) = e, to f(g) = e czyli g H, więc gh = H. Oczywiście f(g/h) = f(g), czyli obraz f jest taki sam jak obraz f. Zatem f jest szukaym izomorfizmem. Odwrotie, iech H G. Określamy π : G G/H wzorem π(g) = gh. Odwzorowaie π ma wtedy wszystkie żądae własości. Niekiedy grupa jest izomorficza z iloczyem prostym swoich podgrup. Mówi o tym poiższe twierdzeie. Twierdzeie 15. Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielikami ormalymi. Jeżeli A B = {e} i AB = G, to G = A B. D o w ó d. Każdy elemet g G moża w sposób jedozaczy(!) przedstawić w postaci iloczyu g = ab, a A, b B. Określamy f : G A B wzorem f(g) = (a, b). To odwzorowaie jest izomorfizmem. Twierdzeie 16. Niech G = A B. Wtedy G/A = B. D o w ó d. Niech f : G B, f(a, b) = b. Wtedy f jest epimorfizmem z jądrem A. Przykład. Rozpatrzmy odwzorowaie (moduł) przyporządkowujące każdej liczbie zespoloej jej wartość bezwzględą. Poieważ z 1 z 2 = z 1 z 2 więc jest to homomorfizm grupy multiplikatywej C w grupę multiplikatywą R + liczb ieujemych. Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z C : z = 1}. Grupa ilorazowa C /C 1 jest izomorficza z grupą R +. Geometryczie, elemetami grupy ilorazowej są okręgi o środku w początku układu współrzędych. Iloczyem dwu takich okręgów o promieiach r 1 i r 2 jest okrąg o promieiu r 1 r 2. Grupa R + jest także podgrupą w C ; łatwo zauważyć, że jest to jądro homomorfizmu arg : C R (R grupa addytywa). Widać, że R + C 1 = {1} oraz R +C 1 = C. Zatem C = C 1 R +. Przykład. Niech ϕ : C C będzie określoe wzorem ϕ(z) = z3 z. Sprawdzić, 3 że ϕ jest homomorfizmem, wyzaczyć ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficzie oba zbiory i arysować warstwę e i π/4 ker ϕ. Rozwiązaie. C jest grupą z możeiem. Sprawdzamy, czy ϕ jest homomorfizmem: ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 z 1 z 2 3 = z3 1z2 3 z 1 3 z 2 3 = z3 1 z 1 3 z2 3 z 2 3 = ϕ(z 1)ϕ(z 2 ). Jądro tworzą rozwiązaia rówaia ϕ(z) = 1, tz. z 3 z 3 = 1 Aby je rozwiązać moża p. zapisać z w postaci wykładiczej: z = re i α. Wtedy (re i α ) 3 re i α 3 = 1, e 3 i α = 1 13

3 i α = 2kπ, k Z. Zatem r jest dowole, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3: ker ϕ = {r, re 2 i π/3, re 4 i π/3 : r R + }. Geometryczie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami 0, 2π/3, 4π/3. Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α, α R. Jest to więc okrąg jedostkowy. Warstwa: e i π/4 ker ϕ = {re i π/4 e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4, re i(π/4+2π/3), re i(π/4+4π/3) : r R + }. Geometryczie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami π 4, 11π 12, 19π 12. 11. Działaie grupy a zbiorze Defiicja 12. Mówimy, że grupa G (zapisywaa multiplikatywie) działa a zbiorze X, jeżeli jest dae przekształceie G X X, w którym obrazem pary (g, x) jest elemet zbioru X, ozaczay przez gx. Zakładamy, że to przekształceie ma astępujące własości: a) x X ex = x; b) x X g,h G (gh)x = g(hx). W tym kotekście elemety grupy G azywamy operatorami, a zbiór X azywamy G-zbiorem. Dla x X zbiór Gx = {gx : g G} azywamy G-orbitą elemetu x. Może się zdarzyć, że Gx = {x}; wtedy x azywamy puktem stałym względem G. Lemat 8. Niech X będzie G-zbiorem. Rodzia orbit {Gx : x X} jest podziałem zbioru X a parami rozłącze iepuste zbiory których suma jest rówa X. D o w ó d. Wystarczy wykazać, że relacja: x y (x, y ależą do tej samej orbity) jest relacją rówoważości i powołać się a zasadę abstrakcji (twierdzeie 7). Defiicja 13. Zbiór G x = {g G : gx = x} azywamy stabilizatorem elemetu x. Lemat 9. G x jest podgrupą G. D o w ó d. Jeśli g, h G x, czyli gx = hx = x, to g 1 hx = x, więc g 1 h G x. Przykłady. 1. Niech G będzie grupą permutacji zbioru Ω = {1, 2,..., }. Wtedy G działa a Ω wg wzoru (α, j) α(j). W szczególości, jeśli G = S, to orbita jest tylko jeda. Stabilizatorem G i elemetu i jest wtedy grupa złożoa z permutacji, w których rozkładzie a cykle występuje cykl (i). Np. gdy G = S 6, to G = 720 a G i = 120 dla i = 1, 2,..., 6. Jeśli G jest grupa cykliczą geerowaą przez π, G = (π), to orbitami tego działaia są wprowadzoe wcześiej π-orbity : i, j ależą do tej samej π-orbity, jeśli w rozkładzie π a cykle są elemetami tego samego cyklu. Stabilizator G i składa się wtedy z tych potęg π k, dla których π k (i) = i. Np. gdy π = (123)(45)(6) S 6 to mamy 3 orbity: G1 = G2 = G3 = {1, 2, 3}, G4 = G5 = {4, 5}, G6 = {6}. Stabilizatory: G 1 = G 2 = G 3 = {e, π 3 }, G 4 = G 5 = {e, π 2, π 4 }, G6 = G. 14

2. Przykład poprzedi moża uogólić : każda grupa G działa a G wg wzoru (g, x) gx. Wtedy orbita jest tylko jeda. Jeśli H G, to H działa a G wg wzoru (h, x) hx. Wtedy orbitami są warstwy prawostroe grupy G względem podgrupy H. 3. Iym działaiem G a G jest działaie poprzez automorfizmy wewętrze: (a, g) I a g = aga 1 dla a, g G. Sprawdzimy, że jest to działaie. Mamy I e g = ege 1 = g oraz I ab g = (ab)g(ab) 1 = abgb 1 a 1 = ai b ga 1 = I a (I b g). Dla tego działaia : Gx = {I a x : a G} = {axa 1 : a G}. Jeżeli x Z(G), to dla dowolego a G mamy axa 1 = x, więc Gx = {x}. Elemety orbity Gx azywamy sprzężoymi z x. W szczególości, gdy G = S, to orbitami są klasy elemetów podobych, czyli tego samego typu. Działaie, które ma tylko jedą orbitę, azywamy przechodim. Jeśli działaie jest przechodie, to dla każdego x X, G x = {e}. Twierdzeie 17. (o orbitach i stabilizatorach) Niech grupa G działa a zbiorze X. Wtedy liczość orbity Gx jest rówa ideksowi stabilizatora G x, tj. Gx = (G : G x ). Zatem jeżeli G jest grupą skończoą, to Gx = elemetów orbity jest dzielikiem rzędu grupy. G G x. W szczególości liczba D o w ó d. Określimy odwzorowaie Gx G/G x wzorem f(y) = gg x dla y = gx. Takie odwzorowaie jest dobrze określoe, bo jeśli y = g 1 x = g 2 x, to g 1 2 g 1x = x, czyli g 1 2 g 1x G x, więc g 1 G x = g 2 G x. Poadto f jest surjektywe, bo g może być dowolym elemetem G. Wreszcie jeśli g 1 G x = g 2 G x, to g 1 2 g 1x G x, czyli g 1 2 g 1x = x, więc g 1 x = g 2 x, co dowodzi, że f jest różowartościowe. Zatem f określa rówoliczość zbiorów Gx i G/G x. Twierdzeie 18. (lemat Burside a). Niech X będzie skończoym G-zbiorem. Liczba G-orbit, a które dzieli się zbiór X, jest rówa 1 G χ(g), g G gdzie χ(g) ozacza liczość zbioru {x X : gx = x} puktów stałych operatora g. D o w ó d. Utwórzmy macierz o X wierszach i G kolumach astępująco: { 1 dla gx = x a x,g = 0 dla gx x. Obliczymy liczbę jedyek w tej macierzy dwoma sposobami. Sumując jedyki wierszami otrzymujemy x X G x, a sumując kolumami g G χ(g). Zatem G x = χ(g). g G czyli x X x X G x G = 1 G χ(g). g G Z twierdzeia o orbitach i stabilizatorach otrzymujemy x X 1 Gx = 1 G 15 χ(g). g G

Zauważmy, że 1 x Gx Gx = 1, więc x X 1 Gx jest liczbą orbit. Przykład. Naszyjiki składają się z pięciu paciorków w trzech kolorach. Ile jest istotie różych aszyjików? Poieważ kolor każdego paciorka moża wybrać a 3 sposoby, więc aszyjików jest 3 5 = 243. Jedak ie wszystkie są istotie róże. Jeśli aszyjik traktować jako pięciokąt foremy, którego wierzchołki są pomalowae trzema ustaloymi kolorami (p. czerwoy, iebieski, zieloy), to istota jest sekwecja kolorów. Należy zatem utożsamić te aszyjiki, które moża otrzymać przez obrót pewego ustaloego aszyjika. Zatem możemy a zbiorze X wszystkich 243 aszyjików rozpatrywać działaie grupy obrotów; wtedy liczba istotie różych aszyjików jest liczbą orbit tego działaia. Na mocy lematu Burside a otrzymamy: liczba orbit = 1 5 χ(o i ), 5 gdzie o i jest obrotem o kąt 2π 5 i dla i = 1, 2,..., 5. Poieważ aszyjik iezmieiczy przy obrocie o kąt iezerowy musi być 1-kolorowy, więc χ(o i ) = 3 dla i = 1, 2, 3, 4; ale χ(o 5 ) = 243. Zatem i=1 liczba orbit = 1 (4 3 + 243) = 51. 5 Ale zwrot istotie róże moża rozumieć iaczej. Moża utożsamiać aszyjiki które moża otrzymać przez obrót oraz te, które moża otrzymać przez przełożeie a drugą stroę, czyli przez symetrię. Matematyczym modelem będzie wtedy działaie grupy diedralej D 5. Oprócz obrotów zawiera oa jeszcze 5 symetrii osiowych s i, przy czym χ(s i ) = 3 3 = 27 (kolory 3 wierzchołków wybieramy a 3 sposoby, ale dwa pozostałe muszą mieć taki kolor jak wierzchołek symetryczy). Zatem wtedy liczba orbit = 1 (4 3 + 243 + 5 27) = 39. 10 Przykład. Ogóliej, aszyjiki składają się z paciorków w k kolorach. Ile jest istotie różych aszyjików? a) Jeśli grupą działającą jest grupa obrotów: G = {o 1,..., o } gdzie o jest obrotem o kąt 2π i dla i = 1, 2,...,, to mamy χ(o i ) = k wd(,i), bo jeżeli wd(, i) = d, to obrót o i jest rzędu d, co ozacza, że tyle paciorków (co d-ty) musi być tego samego koloru. (Przykładowo, gdy = 8, i = 6, to d = 2. Obrót o 6 jest obrotem o kąt 3 2π, czyli paciorki przechodzące a siebie to 1,7,5,3 oraz 2,8,6,4. Zatem co drugi musi być tego samego koloru. Jest więc k 2 możliwości wyboru kolorów.) Liczba orbit wyosi: 1 k wd(,i). i=1 Np. dla = 6, k = 3 otrzymujemy 130. b) Jeśli grupą działającą jest grupa diedrala, to dochodzą jeszcze symetrie. W przypadku ieparzystego oś symetrii musi przechodzić przez wierzchołek. Wtedy χ(s) = k +1 2 dla każdej symetrii s. W przypadku parzystego oś symetrii może przechodzić przez dwa wierzchołki (symetria s w ) lub być symetralą boku (symetria s b ). Wtedy χ(s w ) = k 2 +1, χ(s b ) = k 2. 16

Zatem: dla ieparzystego liczba orbit wyosi ( ) 1 k wd(,i) + k +1 2 = 1 2 2 i=1 dla parzystego liczba orbit wyosi ( ) 1 k wd(,i) + 2 2 k 2 +1 + 2 k 2 i=1 i=1 = 1 2 k wd(,i) + 1 2 k +1 2 ; k wd(,i) + 1 4 k 2 (k + 1). Np. dla = 6, k = 3 otrzymujemy 92. Uwaga. Obroty i symetrie o których mowa wyżej moża iterpretować jako permutacje. Jeżeli pod działaiem permutacji aszyjik ie zmieia się, to zaczy, że paciorki odpowiadające elemetom tego samego cyklu są jedakowego koloru. Zatem: Jeżeli permutacja π S ma r cykli (wliczając cykle długości 1), to liczba pokolorowań stałych dla π wyosi k r (k liczba kolorów). Wiosek 8. Jeżeli G jest grupą permutacji działającą a zbiorze pokolorowań, i zamy jej ideks cyklowy Z(G), to liczbę różych pokolorowań otrzymamy podstawiając w Z(G) x 1 = x 2 = = x = k. i=1 17