Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6B, 1 17. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. K lad p laszczyzny Rys. 6B-01: Konstrukcja k ladu p laszczyzny w rzucie środkowym: a) rysunek pogl adowy; b) konstrukcja k ladu punktu (A) i prostej a p laszczyzny α Omawiane dotychczas konstrukcje nie mia ly charakteru miarowego a jedynie afiniczny (w rzeczywistości) i rzutowy (w rzucie środkowym). W szczególnych przypadkach, gdy pewne elementy odwzorowywanego obiektu leż a na tle ( np. geometryczny model bry ly domku odwzorowany w perspektywie pionowej w zadaniach 11, wnȩtrze pokoju zrealizowane w perspektywie jednozbieżnej w wyk ladzie 6C) można, bez znajomości konstrukcji miarowych w rzucie środkowym, narysować ten obiekt z uwzglȩdnieniem jego wymiarów. By móc wykreślić Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B bry lȩ w rzucie środkowym, w przypadku ogólnym powinniśmy poznać wcześnie konstrukcje miarowe. Należ a do nich: k lad p laszczyzny - konstrukcja uniwersalna stosowana w wielu rzutach oraz specjalna dla rzutu środkowego metoda punktów mierzenia. Aby móc wykreślić obiekty o określonych wymiarach można pos lużyć siȩ k ladem. Omówimy teraz k lad w rzucie środkowym. Przez k lad bȩdziemy rozumieć obrót p laszczyzny o taki k at, że pokryje sie ona z t lem (rys. 6B-01). Przyjmijmy, że na danej p laszczyźnie α leży prosta a. Aby wykonać k lad Rys. 6B-02: Konstrukcja kwadratu leż acego na p laszczyźnie α o wierzcho lku w punkcie A i boku na danej prostej a (A a). Pocz atek konstrukcji tak jak w przypadku prostok ata (znajdujemy ślad zbiegu Z c (= Z d ) prostych prostopad lych do prostej a i konstruujemy k lady prostych a i d p laszczyzny α dokonamy obrotu p laszczyzny zbiegu tej p laszczyzny (na rysunku 6B-01a jest to p laszczyzna α z). Wszak możemy przyj ać, że wraz z obrotem p laszczyzny α obraca siȩ także stowarzyszona z ni a p laszczyzna zbiegu α z. Oko zajmie po lożenie O o, zaś promień zbiegu prostej a po lożenie O o Z a (rys.6b-01a, b). K at ω, jaki tworzy prosta a ze śladem t lowym t α p laszczyzny α, jest równy k atowi jaki tworzy promień zbiegu O o Z a tej prostej ze śladem zbiegu z α p laszczyzny α. Ten sam k at tworzy oczywiście k lad a o prostej a ze śladem t lowym t α p laszczyzny α (rys. 6B-01b). Należy zauważyć, że tak jak w przestrzeni, miȩdzy rzutem perspektywicznym obiektów p laszczyzny α oraz miȩdzy k ladem tej p laszczyzny zachodzi kolineacja środkowa. Środkiem tej kolineacji jest punkt O o, osi a kolineacji ślad t α, prost a graniczn a ślad zbiegu z α. Sk ad bierze siȩ kolineacja? Zwróćmy uwagȩ na rysunek pogl adowy 6B-01a. Obróćmy zatem równocześnie p laszczyzny α i α z (p laszczyzna zbiegu p laszczyzny α) doko la odpowiednio śladu t lowego t α i śladu zbiegu z α o taki k at, by p laszczyny te pokry ly siȩ z t lem (τ). Punkt O i punkt A zatocz a okr agi, proste Z a O oraz T a A zakreśl a fragmenty powierzchni stożkowych o wierzcho lkach Z a, T a i k acie rozwarcia ω. Powierzchnie te s a jednok ladne o środku jednok ladności A s, bȩd acym punktem przeciȩcia siȩ prostych Z a T a oraz OA. Zatem przez punkt A s przechodzi prosta O o A o. Punkty O o, A o, A s s a wiȩc wspó lliniowe. St ad miȩdzy rzutem środkowym A s punktu A i k ladem A o tego punktu zachodzi zwi azek kolineacyjny o osi t α i prostej granicznej z α. Rysunek 6B-01b przedstawia
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 3 Rys. 6B-03: Konstrukcja kwadratu (cd): a1) w k ladzie na prostych a o i d o odmierzamy odcinek q Rys. 6B-04: Konstrukcja kwadratu (cd): a2) w k ladzie konstruujemy pozosta le proste b o i c o odmierzamy odcinek q konstrukcjȩ k ladu punktu A (i równocześnie prostej a). Rysunki 6B-02 6B-05 ilustruj a konstrukcjȩ rzutu środkowego kwadratu o boku przystaj acym do danego odcinka q.
4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-05: Konstrukcja kwadratu (cd): a3) w k ladzie konstruujemy pozosta le proste b o i c o i powracamy do rzutu poprzez konstrukcjȩ prostych c s i b s. Zauważmy, że trójki punktów (A o, A s, O o ); (B o, B s, O o ); (C o, C s, O o ); (D o, D s, O o ) s a wspó lliniowe 2. Punkty mierzenia Rozważmy prost a a i zawarty w niej odcinek AB w rzucie środkowym oraz k lad tych elementów (rys. 6B-06). Wyznaczmy punkt M a przeciȩcia siȩ okrȩgu o środku Z a i promieniu [Z a O o ] z prost a z α. Otrzymany punkt M a uważajmy za ślad zbiegu prostych m 1, m 2 przechodz acych przez punkty A i B. Dokonajmy k ladu prostych m 1, m 2. Z w lasności k ladu (obracane s a, jak pamiȩtamy, p laszczyzna α i, stowarzyszona z ni a, jej p laszczyzna zbiegu α z) mamy równoleg lośći: O o M a m o 1 mo 2 ; Oo Z a a o. Trójk at O o M a Z a jest równoramienny. Zatem trójk aty A T a A o i B T a T o s a również równoramienne. Mamy wiȩc równość A B = A o B o. Ale odleg lość A o B o jest rzeczywist a d lugości a odcinka [AB]. St ad odleg lość A B jest rzeczywist a d lugości a odcinka [AB]. Otrzymaliśmy zatem prostrzy, niż poprzez k lad, sposób znajdowania rzeczywistej d lugości odcinka danego (znanego) w rzucie środkowym. Ale mamy, co jest ważniejsze, również prostsz a konstrukcjȩ odwrotn a: metodȩ odmierzania w rzucie środkowym odcinka o danej d lugości. Wystarczy dla danej prostej a znaleźć punkt M a i z niego zrzutować dan a prost a a s na ślad t lowy t α p laszczyzny α (rys. 6B-06). Punkt M a nazywać bȩdziemy punktem mierzenia prostej a. Wykorzystanie punktów mierzenia zilustrujemy na przyk ladzie konstrukcji rzutu środkowego szećianu o krawȩdzi maj acej dan a d lugość. 3. Odmierzanie d lugości na prostych prostopad lych do danej p laszczyzny Rozwi ażmy nastȩpuj ace zadanie. Dany jest rzut środkowy A s punktu A na p laszczyźnie α(t α, z α ) (rys. 6B-07a). Wyznaczyć w rzucie środkowym odcinek [AB] prostopad ly do
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 5 Rys. 6B-06: Ilustracja uzasadniaj aca w lasność punktu mierzenia prostej p laszczyzny α i maj acy dan a d lugość c. Algorytm przestrzenny rozwi azania jest nastȩpuj acy: Przyjmujemy, że punkt A leży na pewnej prostej a o śladzie zbiegu Z a. Znajdujemy ślad zbiegu Z 90 wszystkich prostych prostopad lych do p laszczyzny α (rys. 6B-07a1). Przez punkt A prowadzimy prost a n prostopad l a do p laszczyzny α. Prost a n, na której leży punkt A, przesuwamy równolegle tak, by punkt A znalaz l siȩ na tle (na rysunku 6B-08a2 jest to punkt A o ), czyli na śladzie t lowym t α. Prosta ta zajmie po lożenie m (rys. 6B-08a3). Znajdujemy nastȩpnie rzut równoleg ly m o prostej m na t lo w kierunku prostej ON α (promienie rzutuj ace maj a wspólny slad zbiegu N α ). Prosta m tworzy z t lem k at ω. Dokonujemy k ladu m x prostej m na t lo (rys. 6B-09a4) i odmierzamy odcinek [A x B x ] o d lugości c (rys. 6B-09a5). Powracaj ac z k ladu znajdujemy punkt B o (rys. 6B-10a6), który przesuwaj ac równolegle wed lug N α daje szukany punkt B s (rys. 6B-10a7). Istniej a także inne konstrukcje odmierzenia na odcinku prostopad lym. Na przyk lad poprzez punkt mierzenia korzystaj ac z konstrukcji omówionej wyżej (rys. 6B-11). Przez punkt A prowadzimy proste: prost a b o kierunku N α i prost a n prostopad l a do p laszczyzny α. Przez proste b i n prowadzimy p laszczyznȩ β(t β, z β ) (rys. 6B-11a1). W p laszczyznie β znajdujemy punkt mierzenia M n prostej n; a4) i za pomoc a tego punktu odmierzamy odcinek [A B ] o d lugości c. Nastȩpnie korzystaj ac z konstrukcji metod a punktu mierzenia znajdujemy szukany rzut środkowy odcinka. 4. Perspektywa stosowana Jeżeli za lożymy, że p laszczyzna α(t α, z α ) podstawy jest prostopad la do t la (wówczas ślad zbiegu z α p laszczyzny przechodzi przez punkt g lówny O τ ) otrzymamy tzw. perspektywȩ stosowan a lub pionow a. Ślad zbiegu z α nazywamy horyzontem i oznaczamy przez h, ślad t lowy t α nazywamy prost a podstawy i oznaczamy przez p. Perspektywa stosowana posiada dwa w laściwe punkty zbiegu i jest nazywana również perspektyw a dwuzbieżn a. Wtedy szczególnie latwo znajdujemy punkty O x, O o a ślad zbiegu Z 90 prostych prostopad lych do p laszczyzny α jest niew laściwy (rys. 6B-14a). Zatem proste prostopad le do p laszczyzny α,
6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-07: Konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α: a) dany w rzucie punkt A na p laszczyźnie α; a1) konstrukcja prostej n prostopad lej do p laszczyzny α, przechodz acej przez punkt A. Rys. 6B-08: Konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α (cd): a2) przesuniȩcie punktu A na t lo (otrzymujemy punkt A o ); a3) przesuniȩcie prostej n na t lo i jej rzut równoleg ly z kierunku odwzorowanego na N α (otrzymujemy prost a m o ) równoleg le do siebie w rzeczywistości, w rzucie środkowym s a także równoleg le (rys. 6B-14). W perspektywie stosowanej zrealizujemy konstrukcjȩ sześcianu w perspektywie stosowanej (dwuzbieżnej). Zak ladamy, że na p laszczyźnie α prostopad lej do tla (O τ z α ) dana jest prosta a na której leży punkt A. Algorytm konstrukcji jest nastȩpuj acy. Najpierw 1) znajdujemy punkt mierzenia M a prostej a (rys. 6B-15). Nastȩpnie 2) rzutujemy punkt A s na ślad t lowy t α czyli prost a podstawy p i znajdujemy punkt A (rys. 6B-16).
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 7 Rys. 6B-09: Konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α (cd): a4) dokonanie k ladu bocznego prostej m x na t lo; a5) odmierzenie odcinka A x B x o d lugości c Rys. 6B-10: Konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α (cd): a6) powrót z k ladu bocznego punktu B x do rzutu równoleg lego; a7) powrót z rzutu równoleg lego punktu B o do rzutu środkowego B s 3) Na prostej podstawy odmierzamy odcinek [A B ] o d lugości q (rys. 6B-17). 4) Powracamy z rzutu na prost a a s, tj. l aczymy punkt B z punktem M a i w przeciȩciu z prost a a s otrzymujemy punkt B s (rys. 6B-17). 5) Znajdujemy ślad zbiegu Z c prostych prostopad lych do prostej a i konstruujemy prost a c s l acz ac punkty Z c i B s (rys. 6B-18b4). 6) Powtarzamy operacje od 1 do 4 w odniesieniu do prostej c (rys. 6B-18b4) i otrzymujemy punkt C s. 7) L acz ac punkt C s z Z a i A s z Z c otrzymujemy proste, które w przeciȩciu daj a zcwarty punkt D s kwadratu podstawy (rys. 6B-19b5). 8) Konstruujemy proste prostopad le do p laszczyzny α przechodz ace przez wierzcho lki kwadratu podstawy (rys. 6B-20b6). 9) Prost a przechodz ac a przez punkt A przesuwamy równolegle do po lożenia na tle (punkt A zajmie po lożenie A ) i na niej odmierzamy odcinek [A A 1 ] i wracaj ac do rzutu otrzy-
8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-11: Druga konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α: a1) przez punkt A prowadzimy proste: prost a b o kierunku N α i prost a n prostopad l a do p laszczyzny α. Przez proste b i n prowadzimy p laszczyznȩ β(t β,z β ) Rys. 6B-12: Druga konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α (cd): a3) w p laszczyznie β znajdujemy punkt mierzenia M n prostej n; a4) i za pomoc a tego punktu odmierzamy odcinek [A B ] o d lugości c mujemy punkt A s 1 (rys. 6B-21b7). 10) Pozosta le punkty górnej ściany sześcianu znajdujemy prowadz ac odpowiednie proste równoleg le do krawȩdzi podstawy (rys. 6B-22b8, 6B-23b9). Warto zwrócić uwagȩ na konfiguracyjność Reidemeistera rysunku sześcianu w perspektywie, która t lumaczy wymienność prostych przy konstrukcji ostatniego punktu D s 1 sześcianu.
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 9 Rys. 6B-13: Druga konstrukcja odmierzania odcinka na prostej prostopad lej do danej p laszczyzny α (cd): powracamy z odcinkiem do rzutu środkowego [A B ]. Rys. 6B-14: Perspektywa stosowana: a) podstawowe za lożenia perspektywy stosowanej; b) dane do konstrukcji sześcianu w perspektywie stosowanej 5. Perspektywa 2-, 1-, 0-zbieżna Perspektywa stosowana jest perspektyw a dwuzbieżn a. Może siȩ zdarzyć, że drugi ślad zbiegu (jeden z dwu pozosta lych śladów zbiegu) krawȩdzi prostopad lościanu jest również punktem niew laściwym. Wówczas w dwóch kierunkach krawȩdzie s a równoleg le. Mamy wtedy do czynienia z perspektyw a jednozbieżn a. Odwzorowanie to stosujemy czȩsto przy przedstawianiu wnȩtrz. Wreszcie może siȩ zdarzyć, że wszystkie trzy ślady zbiegu s a niew laściwe. Otrzymujemy wtedy aksonometriȩ, któr a czȩsto nazywa siȩ perspektyw a równoleg l a.
10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-15: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b1) wyznaczenie punktu mierzenia M a prostej a Rys. 6B-16: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b2) wyznaczenie rzutu A na t α punktu A s 6. Punkty dzielenia Gdy zachodzi potrzeba podzielenia odcinka (np. [AB]) odwzorowanego w rzucie środkowym na pewn a liczbȩ jednakowych czȩści rzutujemy ten odcinek z dowolnego punktu horyzontu na prost podstawy (na t lo). W rzeczywistości jest to rzut równoleg ly i przy podziale korzys-
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 11 Rys. 6B-17: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b3) odmierzenie odcinka [A B ] o d lugości q i znalezienie rzutu [A s B s ] odcinka [AB] na prostej a Rys. 6B-18: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b4) wyznaczenie punktu mierzenia M c prostej c, odmierzenie odcinka [A C ] o d lugości q i znalezienie rzutu [A s C s ] odcinka [AC] na prostej c tamy z twierdzenia Talesa. W rzucie środkowym postȩpujemy nastȩpuj aco. Przyjmujemy dowolny punkt (D) na horyzoncie i l aczymy ten punkt z końcami odcinka. Na prostej podstawy p otrzymujemy odcinek A p B p, który dzielimy na ż adan a liczbȩ czȩści i powracamy
12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-19: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b5) wyznaczenie rzutu [A s B s C s D s ] kwadratu podstawy [ABCD] sześcianu Rys. 6B-20: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b6) poprowadzenie krawȩdzi sześcianu prostopad lych do podstawy do rzutu (rys. 6B-24). Z ilustracji pogl adowej (przestrzennej) przedstawionej na rys. 6B-24 wynika, że sposób wyboru punktu D jest dowolny. Wszystkie tego typu dowody niezależności można przeprowadzić na p laszczyźnie nie odwo luj ac siȩ do przestrzeni trójwymiarowej. Jako przyk lad przytoczymy dowód niezależności wyboru punktu D przy odmierzaniu w perspekty-
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 13 Rys. 6B-21: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b7) przesuniȩcie punktu A na t lo w kierunku Z c (kierunek przesuniȩcia można wybrać dowolnie) i odmierzenie odcinka [A A 1 ] o d lugości q i znalezienie rzutu [A s A s 1 ] odcinka [AA 1] na prostej prostopad lej do podstawy sześcianu, przechodz acej przez punkt A Rys. 6B-22: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b8) znalezienie rzutu B s 1 kolejnego punktu B 1 poprzez poprowadzenie prostej równoleg lej do prostej a, przechodz acej przez punkt A 1 wie stosowanej wysokości na prostej prostopad lej do p laszczyzny podstawy poprzez sprowadzenie (przesuniȩcie) do t la. Z rysunku 6B-24 z uwagi na równoleg lość odcinków o d lugościach
14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-23: Konstrukcja sześcianu w perspektywie stosowanej (cd): b9) znalezienie pozosta lych punktów sześcianu poprzez poprowadzenie odpowiednich prostych równoleg lych przez punkty A 1, B 1 a nastȩpnie przez C 1 x, y, z i daj ace siȩ zauważyć twierdzenia Talesa możemy zapisać proporcje a + b a = y x = c + d, e + f c e = z x = g + h h. Z uwagi na równoleg lość prostych p, h i st ad z uwagi na podobieństwo odpowiednich trójk atów mamy inn a proporcjȩ i równoważności c d = g h ch = dg gc + gd = cg + ch c + d c = g + h h y x = z x. St ad otrzymujemy równość y = x co dowodzi niezależności konstrukcji od wyboru punktu na prostej p. 7. Czȩściowe punkty mierzenia Czȩsto mimo ograniczonego miejsca na rysunku zachodzi potrzeba odmierzania odcinka. Pos lugujemy siȩ wtedy tzw. czȩściowym punktem mierzenia, który pozwoli odmierzyć tylko czȩść odcinka na prostej podstawy p, a promienie rzutuj ace wykreśl a w perspektywie odcinek ca lkowity. Konstruuje siȩ zamiast punktu mierzenia M a pe lnego odcinka punkt M2 3 a na horyzoncie (h), który mierzy w perspektywie ca ly odcinek [A s B s ] na prostej a s, mimo że na prostej p odmierzamy tylko 2 3 A B (A B = 2 3 A B ) (rys. 6B-26a1). Punkt M2 3 nazywamy czȩściowym punktem mierzenia. Ogólnie, dla punktu mierzenia M a k m a wystarczy k odmierzyć odcinek d lugości m A B. Uzasadnijmy to. Niech rzutem punktu A s z punktu M a na prost a p bȩdzie punkt A a rzutem z punktu M k m a bȩdzie punkt A. Podobnie niech bȩdzie w przypadku punktu B s (rys. 6B-26a1). Zauważmy, że A B = T a B T a A lub
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 15 Rys. 6B-24: Ilustracja konstrukcji podzia lu odcinka w rzucie środkowym na dowoln a liczbȩ jednakowych czȩści: a) odcinek [AB] ([A s B s ]); a1) wybieramy dowolnie punkt niew laściwy D i rzutuj ac punkty A s, B s na prost a podstawy p otrzymujemy A p, B p ; a2) odcinek [A p B p ] dzielimy na n (n = 3) równych czȩści; a3) wracaj ac do rzutu otrzymujemy ż adany podzia l; b) ilustracja do p laskiego dowodu dowolności, niezależności wyboru punktu D przy odmierzaniu wysokości na prostej prostopad lej do p laszczyzny podstawy poprzez sprowadzenie (przesuniȩcie) do t la B A = T a A T a B. Mamy Z a M k m a = k Z m am a. Należy wykazać, że A B = k m A B. Zauważmy, że T a A = k T m aa (z podobieństwa trójk atów [Z a A s M a ], [T a A s A ]), B B = (1 k )T m ab (z podobieństwa trójk atów [M k m abs M a ], [B B s B ]), T a B = A B + T a A, A B = T a B (1 k )T m ab k T a A = k T m m ab k T m aa = k m A B. Zatem, zamiast odmierzać A B z punktu M a odmierzać bȩdziemy k m A B z punktu M k a (na rys. 6B-26a1 m k = 2, m = 3). 8. Zasada redukcji i powiȩkszania Każdy obraz możemy jednok ladnie powiȩkszyć lub zmiejszyć. O obrazach takich mówimy, że pozostaj a do siebie w stosunku redukcji. Punkt sta ly jednok ladności nazywa siȩ punktem redukcji. Najczȩściej jako punkt redukcji przyjmuje siȩ punkt g lówny O τ. Proste, l acz ace odpowiadaj ace sobie w jednok ladności punkty, nazywamy promieniami redukcji. Na rysunku 6B-26b, aby przeprowadzić przez dany rzut punktu A s rzuty a s, b s prostych a, b, zredukowano k lad oka oraz ślady zbiegu w stosunku 1:3. Nastȩpnie konstrukcjȩ wykonano w uk ladzie zredukowanym (na rysunku 6B-26b otrzymano obiekty z indeksem 1 ), po czym przesuniȩto 3 równolegle otrzymane proste do punktu A s. Podobieństwo trójk atów, które widzimy w zasadzie redukcji można wykorzystać do budowy tzw. podzia lek zbiegu. Idea takich podzia lek omówiona jest na rysunku 6B-26c. Zak ladamy, że mamy zredukowany ślad zbiegu Z 1 3 a prostej a. W punktach O τ i Z 1 3 a wystawiamy proste prostopad le do linii horyzontu h. Odmierzamy na
16 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B Rys. 6B-25: Ilustracja konstrukcji podzia lu odcinka w rzucie środkowym na dowoln a liczbȩ jednakowych czȩści: a) odcinek [AB] ([A s B s ]); a1) wybieramy dowolnie punkt D na horyzoncie i rzutuj ac punkty A s, B s na prost a podstawy p otrzymujemy A p, B p ; a2) odcinek [A p B p ] dzielimy na n (n = 3) równych czȩści; a3) wracaj ac do rzutu otrzymujemy ż adany podzia l; pokazano także sposób wielokrotnego odmierzania odcinka na prostej, przy szczup lości miejsca na rysunku Rys. 6B-26: Zasady zmniejszania (redukcji rysunków): a1) ilustracja istoty czȩściowego punktu mierzenia; b) konstrukcja w rzucie środkowym poprzez redukcjȩ; c) podzia lki zbiegu i pos lugiwanie siȩ podzia lkami zbiegu w konstrukcji prostych o śladach zbiegu pozxa rysunkiem nich dowolne jednostki j i j takie, by j : j = 3 : 2 (stosunek ten odczytujemy z podobieństwa odpowiednich trójk atów na rys. 6B-26c). Aby znaleźć prost a o śladzie zbiegu Z a, bȩd acym poza rysunkiem, przechodz ac a przez punkt A s prowadzimy przez ten punkt prost a tak, by
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, rzut środkowy 06B 17 przecina la podzia lki zbiegu w punktach o tych samych wspó lrzȩdnych w, w (na rys. 6B-26c w = w 2, 4). Literatura [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1995. [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1994. [Pal85] Z. Pa lasiński: Zasady perspektywy. Skrypt. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Kraków 1985.