I PRACOWNIA FIZYCZNA

I PRACOWNIA FIZYCZNA

I PRACOWNIA FIZYCZNA redakcja naukowa Andrzej Magiera Wydanie drugie poprawione i uzupełnione Instytut Fizyki Uniwersytet Jagielloński 2010

c Copyright by Instytut Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2010 All rights reserved Wydanie trzecie poprawione i uzupełnione Autorzy rozdziałów: A. Budkowski: 1.2, 4.15 J. Czerwiec: 3.1 B. Dybiec: 4.8 B. Głowacz: 3.3 T. Jaworska-Gołąb: 1.2, 1.4, 2.5, 2.8, 3.1, 3.2, 4.3, 4.4, 4.15, A.2 A.Kapanowski:1.1,1.6,1.7,1.8,1.11,2.7,2.6,2.10,2.11,3.1,3.4,4.2,4.5,4.6 T. Kawalec: 2.9 M. Kleiner: 4.13 J. Kołodziej: 1.3 P. Korecki: 1.3, 4.1 R. Marcinek: 2.1, 3.1, 4.9 L. Muszyński: 1.9, 1.10 B. Pukowska: 4.3, 4.4, 4.7, 4.11, 4.16, A.4 R. Skibiński: 2.1 M. Stankiewicz: 4.1 B.Such:1.5 M.Zawada:2.2,2.3,2.4 M. Zimnal-Starnawska: 1.3, 3.3, 3.5, 4.1, 4.7, 4.9, 4.10, 4.12, 4.14, A.1, A.3, A.4 Ilustracje- G. Domosławska, A. Kaczmarski, A. Magiera Skład- A. Kaczmarski, A. Magiera Okładka- A. Magiera Recenzenci: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, Akademia Górniczo-Hutnicza prof. dr hab. Władysław Waluś Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński Publikacja finansowana przez: Instytut Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Rektorski Fundusz Rozwoju Dydaktyki Ars Docendi

Spis treści Od Redaktora 7 1 Mechanika 9 1.1 Wahadłoanharmoniczne... 9 1.2 Badaniedrgańtłumionychwahadłatorsyjnego... 13 1.3 Drganiatłumioneiwymuszoneoscylatoraharmonicznego... 21 1.4 Badaniedrgańwahadełsprzężonych... 29 1.5 Badaniedrgańmodelucząsteczkiczteroatomowej... 35 1.6 Badanieruchuobrotowegobryłysztywnej... 45 1.7 Badanieruchuprecesyjnegożyroskopu... 50 1.8 Wiskozymetrrotacyjny... 53 1.9 PomiarwspółczynnikalepkościcieczymetodąStokesa... 59 1.10PomiarwspółczynnikalepkościcieczymetodąPoiseuille a... 62 1.11Wyznaczaniemodułusztywnościprętówmetodądynamiczną... 66 2 Ciepło 71 2.1 Cechowanietermoparyitermistora... 71 2.2 Wyznaczanieciepłatopnienialodu... 75 2.3 Wyznaczanieciepłaparowaniawody... 79 2.4 Wyznaczanieciepławłaściwegociałstałych... 81 2.5 Wyznaczanieciepławłaściwegocieczymetodąostygania... 83 2.6 Wyznaczanie współczynnika napięcia powierzchniowego cieczy... 86 2.7 Równaniestanugazudoskonałego... 90 2.8 Pomiarstosunku C p /C V metodąclémenta-désormes a... 95 2.9 Badaniezależnościtemperaturywrzeniawodyodciśnienia...101 2.10Badanieprzewodnictwacieplnegoizolatorów...105 2.11Gazklockowy...109 3 Elektryczność 115 3.1 Temperaturowazależnośćoporuprzewodników...115 3.2 Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą rozładowania... 125 3.3 WyznaczaniewspółczynnikaHalla...130 3.4 Badaniecharakterystyktranzystora...137

6 Spis treści 3.5 Wyznaczaniestosunkue/m...142 4 Fale 149 4.1 Obsługaoscyloskopu...149 4.2 Analizafourierowska...164 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej... 169 4.4 Wyznaczanieprędkościdźwiękuwcieczachmetodąfalibiegnącej...174 4.5 ZjawiskoDopplerawpowietrzu...177 4.6 PomiarprędkościdźwiękuwcieczywoparciuozjawiskoDopplera...179 4.7 Pomiar prędkości dźwięku w metalach metodą echa ultradźwiękowego. 181 4.8 Wyznaczanieogniskowychsoczewekibadaniewadsoczewek...186 4.9 Badaniestanupolaryzacjiświatła...194 4.10Skręceniepłaszczyznypolaryzacjiświatławcieczach...202 4.11 Badanie widm emisyjnych za pomocą spektroskopu pryzmatycznego.. 206 4.12Badaniezjawiskadyfrakcjiiinterferencjiświatłalaserowego...211 4.13 Pomiar długości fali świetlnej z wykorzystaniem pierścieni Newtona... 226 4.14Pomiardługościfaliświetlnejzapomocąsiatkidyfrakcyjnej...230 4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym... 235 4.16Pomiarprędkościdźwiękuwcieczymetodąoptyczną...242 A Uzupełnienia 247 A.1 Analizaniepewnościpomiarowych...247 A.2 Jakprowadzićzeszytlaboratoryjny...255 A.3 Zasadadziałanianoniusza...256 A.4 Lasery...257 A.5 Przydatnetabliceiwidmaspektralne...261 Spis literatury 265

Od Redaktora Książka przygotowana została dla potrzeb studentów wykonujących ćwiczenia na I Pracowni Fizycznej. Zebrane w niej opisy eksperymentów powstały w wyniku wieloletniej pracy wielu asystentów prowadzących te ćwiczenia w Instytucie Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Dzięki temu autorzy poszczególnych rozdziałów korzystali z bardzo bogatego doświadczenia dydaktycznego, zarówno swojego jak i kolegów prowadzących wcześniej te zajęcia. Pierwsze wydanie tej książki ukazało się w 2006 roku. W praktyce okazało się, że książka ta stanowi doskonałą pomoc zarówno dla asystentów w prowadzeniu zajęć, jak i dla studentów wykonujących ćwiczenia na I Pracowni Fizycznej. Wydanie drugie zostało uzupełnione o opis jednego ćwiczenia. Obecne wydanie trzecie uzupełnione zostao o opis kilku nowych ćwiczeń, które ostatnio zostały wprowadzone na pracownię. Na podstawie uwag zebranych od prowadzących zajęcia i studentów wprowadzone zostały także poprawki. Były to zarówno korekty literówek jak i merytoryczne zmiany dotyczące szczególnie metod opracowywania wyników niektórych pomiarów. Zajęcia na I Pracowni Fizycznej prowadzone są dla studentów kilku kierunków: fizyki, inżynierii materiałowej, chemii, biologii, biofizyki, ochrony środowiska, biotechnologii oraz Studiów Matematyczno-Przyrodniczych. Program nauczania fizyki i matematyki na tych różnych kierunkach jest bardzo zróżnicowany. Dlatego celem wszystkich autorów było opracowanie podręcznika, który uwzględni różny poziom przygotowania studentów poszczególnych kierunków z fizyki oraz matematyki. Opis każdego ćwiczenia zawiera wprowadzenie teoretyczne, zawierające podstawy fizyczne konieczne do zrozumienia zagadnień związanych z wykonywanym pomiarem. Podany jest spis zagadnień, których znajomość jest wymagana przed przystąpieniem do wykonywania pomiarów. Te podstawowe wiadomości studenci powinni starać się uzupełnić korzystając z dodatkowej literatury, której spis podany jest przy każdym ćwiczeniu. Każdy eksperyment wymaga użycia specyficznej aparatury, która opisana jest szczegółowo dla wszystkich ćwiczeń. Wszyscy studenci powinni jednak wcześniej zapoznać się z wykorzystywaną aparaturą, co na pewno usprawni późniejsze wykonywanie doświadczenia. Każdy rozdział zawiera opis przebiegu prowadzonych pomiarów. Na jego podstawie studenci powinni przygotować szczegółowy plan pracy, uwzględniając ograniczony czas dostępny do wykonywania pomiarów. Wyniki otrzymane w eksperymentach powinny zostać opracowane, co polega na podaniu ostatecznych wielkości wyznaczanych w każdym ćwiczeniu. Każdy rozdział zawiera opis metody, którą należy

8 Od Redaktora zastosować przy opracowywaniu wyników pomiarów. W opracowaniu wyników należy zwrócić uwagę na wyznaczenie niepewności pomiarowych mierzonych wielkości. W tym celu konieczne jest zapoznanie się, z opisanymi w uzupełnieniu, metodami analizy niepewności pomiarowych. Mam nadzieję, że książka ta ułatwi studentom zrozumienie zagadnień fizycznych badanych w poszczególnych eksperymentach oraz przyczyni się do sprawnego wykonywania tych doświadczeń oraz ich analizy. Chciałbym także aby książka była pomocna dla wszystkich asystentów umożliwiając sprawniejsze prowadzenie zajęć. Dotychczas sprzedane zostało 1200 egzemplarzy książki z pierwszego i drugiego wydania. Obecne trzecie wydanie pojawia się tylko w wersji elektronicznej. Powinno to ułatwić dostęp do książki studentom i asystentom nie tylko z Uniwersytetu Jagiellońskiego, ale także z innych uczelni. Dodatkową zaletą wersji elektronicznej jest możliwość łatwego wprowadzania zmian związanych z modernizacj a istniej acych zestawów eksperymentalnych, jak również z uruchamianiem nowych ćwiczeń na naszej I Pracowni Fizycznej.

1Mechanika 1.1 Wahadłoanharmoniczne Celem ćwiczenia jest zbadanie drgań anharmonicznych wahadła fizycznego(zależność okresu drgań wahadła od amplitudy jego drgań, bilans energetyczny wahadła). Zagadnienia do przygotowania: oscylator harmoniczny; wahadło fizyczne; oscylator anharmoniczny; wykresy fazowe. Literaturapodstawowa:[1],[2],[5],[4]. 1.1.1 Podstawowe pojęcia i definicje Wahadło fizyczne Wahadło fizyczne to bryła, która może obracać się wokół osi O nie przechodzącej przez środek ciężkości CM(rysunek 1.1.1). Niech kąt θ oznacza wychylenie z położenia równowagi. Moment siły N działający na wahadło, pochodzący od siły ciężkości, wyraża się wzorem: N = mgl sin θ, (1.1.1) gdzie m to masa wahadła, l odległość środka ciężkości od punktu podparcia, czyli od osi obrotu. Równanie ruchu wahadła ma postać: N = J θ, (1.1.2) gdzie J jest momentem bezwładności względem osi obrotu.wprowadzającoznaczenie ω 2 0 = mgl/jmożna równanie ruchu zapisać w postaci: CM l lsin mg O θ + ω 2 0 sinθ = 0. (1.1.3) Rys. 1.1.1: Wahadło fizyczne.

10 Mechanika Przybliżenie oscylatora harmonicznego Dla małych wychyleń możemy zrobić przybliżenie sin θ θ. Wtedy równanie(1.1.3) sprowadza się do równania ruchu oscylatora harmonicznego: Rozwiązaniem równania(1.1.4) jest funkcja postaci: gdzie θ 0 toamplituda,aφ 0 fazapoczątkowa. Okres drgań wahadła fizycznego θ + ω 2 0θ = 0. (1.1.4) θ (t) = θ 0 sin(ω 0 t + φ 0 ), (1.1.5) Ruchopisanyfunkcją(1.1.5)jestokresowyzokresem T 0 = 2π/ω 0.Dlapewnych warunków początkowych ruch opisany równaniem(1.1.3) jest również okresowy. Aby obliczyćokresdrgań Tmnożymyrównanie(1.1.3)przez θiposeparacjizmiennych całkujemyobustronnieuwzględniającwarunek θ = 0dla θ = θ 0.Otrzymujemywtedy równanie ruchu: θ 2 2ω 2 0 (cos θ cos θ 0 ) = 0. (1.1.6) Przyprzejściuwahadłaodkąta 0do θ 0 upływaczasrówny T/4.Więcrozdzielajączmienneicałkującrównanie(1.1.6)poczasiewgranicach (0, T/4)orazpokącie wgranicach (0, θ 0 )otrzymujemy: T 4 = θ 0 0 dθ 2ω 2 0 (cos θ cos θ 0 ). (1.1.7) W całce z równania(1.1.7) wykonujemy zamianę zmiennych z θ na α poprzez podstawienie sinα = sin (θ/2)/sin(θ 0 /2).Otrzymujemycałkęeliptycznązupełnąpierwszego rodzaju: T = 2T 0 π π/2 0 dα 1 sin 2 (θ 0 /2) sin 2 α. (1.1.8) Całkęeliptycznąmożnawyrazićprzezfunkcjęhipergeometryczną 2 F 1 lubjejrozwinięcie w szereg. Wtedy okres drgań wynosi: [ 1 T = T 0 2F 1 2, 1 ( )] 2 ; 1; θ0 sin2 = 2 [ = T 0 1 + 1 ( ) θ0 4 sin2 + 9 ( ) ] θ0 2 64 sin4 +.... (1.1.9) 2

Wahadło anharmoniczne 11 W przybliżeniu małych wychyleń otrzymujemy okres drgań: [ T = T 0 1 + 1 16 θ2 0 + 11 ] 3072 θ4 0.... (1.1.10) Przybliżenie oscylatora anharmonicznego Dla większych wychyleń musimy uwzględnić kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg funkcji sinθ θ θ 3 /6.Wtedyrównanie(1.1.3)sprowadzasiędorównaniaruchu oscylatora anharmonicznego: θ + ω0θ 2 ω2 0 θ3 = 0. (1.1.11) 6 Można znaleźć przybliżone rozwiązanie tego równania w postaci[4]: gdzie ω ω 0 ( 1 θ 2 0 /16 ). Wykresy fazowe θ (t) = θ 0 sin(ωt) + θ3 0 sin(3ωt), (1.1.12) 192 Ruch wahadła fizycznego(i ( innych układów mechanicznych) można wygodnie przedstawić na płaszczyźnie fazowej θ, θ ) [4]. Korzystając z równania(1.1.6) możemy zapisać energię mechaniczną wahadła fizycznego(energia potencjalna określona względem najniższego położenia wahadła): E = J θ 2 2 + mgl (1 cos θ) = mgl (1 cos θ 0). (1.1.13) Różnym wartościom energii E odpowiada rodzina krzywych na płaszczyźnie fazowej. Jeżeli E = 0, to wahadło pozostaje w spoczynku. Odpowiada temu punkt (0, 0) na płaszczyźnie fazowej. Dla 0 < E < 2mgl otrzymujemy krzywe zamknięte otaczające punkt (0, 0), a ruch jest periodyczny względem położenia równowagi. Dla E > 2mgl mamy krzywe otwarte, a ruch odbywa się tylko w jednym kierunku. Przy rysowaniu krzywych wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową energię ǫ = 2E/ ( Jω 2 0) iprędkość υ = θ/ω0.wtedynapłaszczyźnie (θ, υ)rysujemykrzywe υ 2 = ǫ 4 sin 2 (θ/2).ruchperiodycznymamydla 0 < ǫ < 4. 1.1.2 Przebiegpomiarów Układ doświadczalny Przyrządy: wahadło fizyczne ze skalą kątową, miernik czasu z układem fotokomórek (schemat układu pomiarowego przedstawiony jest na rysunku 1.1.2).

12 Mechanika wahad³o uk³ad fotokomórek miernik czasu skala k¹towa Rys. 1.1.2: Schemat układu do badania drgań anharmonicznych. Badanie zależności okresu od amplitudy Zmierzyćokresdrgańwahadła Twzależnościodamplitudy θ 0 przystałympołożeniu fotokomórki, np. w najniższym położeniu wahadła. Sprawdzanie bilansu energetycznego Fotokomórkęumieścićwnajniższympołożeniuwahadła.Zmierzyćprędkość θwzależnościodkątapoczątkowego θ 0.Wtejseriipomiarówzewzrostemkątapoczątkowego ustalamy coraz większą całkowitą energię mechaniczną układu. Prędkość w całym doświadczeniu obliczać jako odwrotność czasu przelotu pomiędzy bramkami. Przyjąć umowne jednostki prędkości, ponieważ jest to wystarczające do naszych rozważań. Ponadto unika się kłopotliwego pomiaru odległości kątowej pomiędzy bramkami. W następnej serii pomiarów wahadło wprawić w ruch za każdym razem z ustalonego położeniapoczątkowego θ 0.Wtensposóbukładmazakażdymrazemtąsamącałkowitąenergięmechaniczną.Zmierzyćprędkość θwfunkcjikąta θ 1 podjakimumieszczona jest fotokomórka. Wahadło nie może być w ruchu dłużej niż przez czas połowy jednego drgania, aby wpływ tarcia był minimalny. Badanie dyssypacji energii Wahadłowprawićwruchzustalonegopołożeniapoczątkowego θ 0.Zmierzyćprędkość θwzależnościodkąta θ 1,wktórymumieszczonajestfotokomórka.Tymrazem notować prędkości w obu kierunkach i na przestrzeni kilku okresów.

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego 13 1.1.3 Opracowaniewyników Zależność okresu od amplitudy Narysowaćwykreszależności Tod θ 2 0 dladanychdoświadczalnychidopasowaćprostą T = aθ 2 0 + b(wykorzystaćtylkopunktyzprzedziałuod0do1rad2 ).Parametry otrzymane z dopasowania porównać z przewidywaniami równania(1.1.10). Parametr b = T 0 porównaćzezmierzonymiwartościamiokresu Tdlamałychwychyleń.Sprawdzić czy stosunek parametrów b i a zgodnie z równaniem(1.1.10) w granicy niepewności wynosi b/a = 16.Narysowaćwykreszależności T/T 0 od θ 0 dladanychdoświadczalnych. Na tym samym wykresie przedstawić zależność teoretyczną daną równaniem(1.1.9). Bilans energetyczny Narysowaćwykresyzależności θ2 od (1 cos θ 0 )oraz θ 2 od (cos θ 1 cos θ 0 ).Do danych eksperymentalnych dopasować zależność liniową i obliczyć współczynnik korelacji. Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika, że energia kinetyczna wahadła w najniższym położeniu jest równa energii potencjalnej wahadła w najwyższym położeniu.dlategooczekujemyzależnościliniowej θ 2 od (1 cos θ 0 ).Ponieważwkażdej chwili energia kinetyczna wahadła jest równa ubytkowi energii potencjalnej wahadła,torównieżwdrugimprzypadkuoczekujemyzależnościliniowejzmiennych θ 2 od (cos θ 1 cos θ 0 ).Oznaczato,żewobydwóchprzypadkachpowinnootrzymaćsię współczynnik korelacji bliski jedności. W rozważaniach tych pominięto wpływ tarcia, który rozważany jest w przypadku dyssypacji energii. Dyssypacja energii Nawykresiefazowym (θ, θ)zaznaczyćkolejnepozycjewahadła.zaobserwowaćstopniowe zbliżanie się do punktu (0, 0). Wynik ten potwierdza istnienie tarcia w układzie, które powoduje stopniowe zmniejszanie całkowitej energii mechanicznej układu. Energia mechaniczna zamienia się na inne formy energii, głównie na ciepło. 1.2 Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego Celem ćwiczenia jest badanie małych drgań swobodnych i tłumionych wahadła torsyjnego oraz wyznaczenie parametrów drgań tłumionych dla różnych rodzajów tłumienia. Zagadnienia do przygotowania: ruch harmoniczny: okres drgań, częstość drgań, wychylenie, amplituda; oscylator harmoniczny: równanie ruchu oscylatora harmonicznego, zależność amplitudy i okresu od czasu;

14 Mechanika oscylator harmoniczny tłumiony stałym momentem siły lub momentem siły zależnym od czasu: równanie ruchu, zależność amplitudy i okresu od czasu, logarytmiczny dekrement tłumienia; dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej: moment bezwładności(definicja i wzory na moment bezwładności kuli i pręta), twierdzenie Steinera, zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej, wahadło torsyjne. Literatura podstawowa:[25] 16.1-16.6, 16.8,[4]; literatura dodatkowa:[2],[10]. 1.2.1 Podstawowe pojęcia i definicje Drgania swobodne wahadła torsyjnego We wszystkich działach fizyki, gdy mamy do czynienia z małymi drganiami układów wokół położenia równowagi, pojawia się pojęcie oscylatora harmonicznego. Oscylatorem harmonicznym nazywamy ciało fizyczne(np. punkt materialny) poruszające się ruchem harmonicznym. Ruch harmoniczny jest periodycznym ruchem drgającym zachodzącym między dwoma punktami zwrotnymi będącymi punktami maksymalnego wychylenia z położenia równowagi trwałej. Jeśli rozważymy punkt materialny, oscylujący wokół położenia równowagi, to zmianę jego energii potencjalnej w funkcji wychylenia opisuje równanie: U(x) = 1 2 kx2. (1.2.1) Siłę działającą na tak oscylujący punkt materialny można wyrazić poprzez pochodną energii potencjalnej: F(x) = du = kx. (1.2.2) dx Widać stąd, że działająca siła jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi, ale ma zwrot do niego przeciwny. Możemy więc powiedzieć, że oscylatorem harmonicznym nazywamy punkt materialny, którego ruch odbywa się pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi, ale zwrocie do niego przeciwnym. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona można zapisać: F(x) = ma = mẍ, (1.2.3) gdzie a jest przyspieszeniem z jakim porusza się rozważane ciało o masie m. Porównując równania(1.2.2) i(1.2.3) otrzymujemy: kx = mẍ. (1.2.4) Po przekształceniu otrzymuje się równanie ruchu prostego oscylatora harmonicznego wpostaci:

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego 15 ẍ + k m x = 0 (1.2.5) Aby znaleźć położenie badanego układu w danej chwili należy znaleźć rozwiązanie tego równania różniczkowego. Rozwiązaniem musi być pewna funkcja x(t), której druga pochodna równa jest jej samej ze znakiem przeciwnym i stałym współczynnikiem k/m. Jak wiemy własność taką posiadają funkcje sinus i cosinus. Nie rezygnując z ogólności możemy więc przyjąć, że rozwiązanie ma postać: ( x(t) = A cos(ω 0 t + δ) = A cos 2π t ) + δ. (1.2.6) T 0 Łatwosprawdzić,żespełniaonorównanieruchu(1.2.5)jeżeli ω 0 = k/m.wielkość ω 0 nazywamyczęstościąkołową(ω 0 = 2πf 0,gdzie f 0 = 1/T 0 jestczęstotliwościądrgań, a T 0 jestokresemdrgań), δjestprzesunięciemfazowym,astała Aokreślaamplitudę ruchu. Przesunięcie fazowe i amplituda zależą od początkowych wartości położenia i prędkości punktu materialnego, natomiast okres drgań zależy tylko od parametrów układu tworzącego oscylator harmoniczny: m T 0 = 2π k. (1.2.7) Jak widać okres drgań harmonicznych jest niezależny od ich amplitudy(własność tę nazywamy izochronizmem). Zależność wychylenia od czasu trwania ruchu, opisaną równaniem(1.2.6), przedstawia rysunek 1.2.1. A wychylenie x 0 -A T 0 2T 0 czas t Rys. 1.2.1: Zależność wychylenia od czasu x(t) w ruchu harmonicznym prostym dla δ = 0. Właściwości układów drgających wykonujących drgania harmoniczne przeanalizujemy na przykładzie drgań torsyjnych kuli. Rozważmy kulę zawieszoną na sztywno zamocowanym drucie(rysunek 1.2.2). Jeśli skręcimy ją w płaszczyźnie poziomej z położenia równowagi O do położenia B to drut ulegnie skręceniu i na kulę zacznie działać moment siły wywołany sprężystością drutu, który stara się przywrócić ją do położenia

16 Mechanika równowagi.dlamałegoskręceniaprzyjmujemy,żetenmomentsiły N 1 jestproporcjonalny do wartości kąta wychylenia z położenia równowagi ϕ i wyraża się równaniem: A O B Rys. 1.2.2: Wahadło torsyjne. Okres drgań wynosi więc: N 1 = D 1 ϕ. (1.2.8) Wielkość D 1 nazywasięmomentemkierującymizależyodrozmiarówdrutuorazmateriałuzjakiegojeston wykonany. Pod działaniem momentu siły N 1 kula wykonuje drgania harmoniczne obracając się wokół stałej osi. Równanie ruchu takiego układu można zapisać w postaci: J ϕ = D 1 ϕ, (1.2.9) gdzie wielkość J jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu. Dla kuli, obracającej się względem osi przechodzącej przez jej środek, moment bezwładności wynosi: J kuli = 2MR2, (1.2.10) 5 gdzie MjestmasąkuliaRjejpromieniem.Rozwiązaniem równania ruchu(1.2.9) jest funkcja postaci: ϕ(t) = Φcos (ω 0 t + δ) = Φcos ( 2π t ) + δ. (1.2.11) T 0 J T 0 = 2π. (1.2.12) D 1 Widać, że mierząc okres drgań wahadła torsyjnego o znanym momencie bezwładności można wyznaczyć moment kierujący drutu. Wahadło torsyjne tłumione stałym momentem siły Rozważmy teraz ruch wahadła torsyjnego tłumionego stałym momentem siły o wartości N skierowanym przeciwnie do prędkości kątowej kuli(czyli moment siły wynosi N ϕ/ ϕ ). Przypadek taki ma miejsce między innymi podczas tłumienia drgań mechanicznych tarciem kulombowskim. Sytuację taką można zrealizować praktycznie podstawiając pod kulę metalową sprężynę. W przypadku tłumienia stałym momentem siły równanie ruchu przyjmuje postać: J ϕ = D 1 ϕ N ϕ. (1.2.13) ϕ

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego 17 Ogólnym rozwiązaniem równania(1.2.13) jest funkcja(dla uproszczenia przyjęto, że dla t = 0 wychylone wahadło spoczywa): ϕ(t) = Φcos (ω 0 t) + N D 1 dla ϕ < 0 ϕ(t) = Φcos (ω 0 t) N D 1 dla ϕ > 0. (1.2.14) Okres drgań pozostaje niezmieniony w porównaniu z okresem drgań wahadła swobodnego. Każde z rozwiązań jest słuszne pomiędzy dwoma kolejnymi punktami maksymalnego wychylenia, w których wahadło się zatrzymuje. Oznacza to, że w ciągu połowy okresu ruch odbywa się harmonicznie, a maksymalne wychylenie jakie osiąga wahadło po połowie okresu stanowi warunki początkowe dla ruchu w następnej połowie okresu. Wraz z warunkiem na ciągłość funkcji ϕ(t) równanie(1.2.14) pozwala na otrzymanie ogólnegorozwiązaniadlaruchuwahadławczasiepomiędzy nin + 1maksymalnym wychyleniem(rysunek 1.2.3): ϕ(t) = Φ n cos (ω 0 t) + ( 1) n N D 1, (1.2.15) gdzie kolejne amplitudy spełniają związek rekurencyjny: Φ n+1 = Φ n 2N D 1. (1.2.16) = 4N D 1 k¹t skrêcenia 0 n n+1 n+2 T 0 czas t 2T 0 Rys. 1.2.3: Zależność kąta skręcenia ϕ od czasu t dla wahadła torsyjnego tłumionego stałym momentem siły. Otrzymaną zależność kąta skręcenia ϕ od czasu t przedstawia rysunek 1.2.3. Korzystając z równania(1.2.16) można wyznaczyć różnicę amplitud Φ w czasie równym jednemu okresowi drgań: Φ = Φ n Φ n+2 = 4N D 1. (1.2.17)

18 Mechanika Badanie drgań wahadła torsyjnego tłumionych stałym momentem siły pozwala na wyznaczenie momentu siły tarcia ze związku: N = D 1 Φ. (1.2.18) 4 Wahadało torsyjne tłumione momentem siły zależnym od czasu W przypadku mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy mamy do czynienia z tłumieniem momentem siły proporcjonalnym do prędkości ruchu i przeciwnie do niej skierowanym. Tarcie tego typu, zwane wiskotycznym, wnosi dodatkowy momentsiłyrówny N 2 = D 2 ϕ.równanietakiegoruchuzapisujemywpostaci: J ϕ = D 1 ϕ D 2 ϕ. (1.2.19) Jeśli tłumienie jest zbyt duże to nie ma możliwości zaobserwowania oscylacji, gdyż wychylenieeksponencjalniemalejedozera.dlasłabegotłumienia(d 2 małe)rozwiązaniem powyższego równania ruchu jest funkcja: ( ϕ (t) = Φe Γt/2 cos (ω 2 t + δ) = Φe Γt/2 cos 2π t ) + δ, (1.2.20) T 2 gdzie Γ = D 2 /Ji ω 2 2 = D 1/J Γ 2 /4.Zatemokresdrgań T 2 wyrażonyprzezokres drgańwahadłaswobodnego T 0,wynosi: T 2 = T 0 1 D 2 2 /4JD 1. (1.2.21) W przypadku tłumienia momentem siły proporcjonalnym do prędkości okres drgań wydłuża się w porównaniu do okresu drgań swobodnych. Zależność kąta skręcenia ϕ od czasu t dla tłumienia wiskotycznego przedstawia rysunek 1.2.4. e - t/2 k¹t skrêcenia 0 n n+1 n+2 T = T 2 0 czas t Rys. 1.2.4: Zależność kąta skręcenia ϕ od czasu dla wahadła tłumionego wiskotycznie.

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego 19 Wielkością charakterystyczną dla drgań tłumionych oporem wiskotycznym jest tak zwany logarytmiczny dekrement tłumienia d. Jest on w prosty sposób związany z parametrami ruchu. Obliczmy stosunek dwóch kolejnych amplitud po tej samej stronie położenia równowagi: Φ n Φ n+2 = e Γt/2 e Γ(t+T 2)/2 = eγt 2/2. (1.2.22) Stosunek ten jest wielkością stałą. Jego logarytm naturalny jest szukanym logarytmicznym dekrementem tłumienia: 1.2.2 Przebiegpomiarów Układ pomiarowy d = ln Φ n Φ n+2 = D 2T 2 2J. (1.2.23) W skład układu doświadczalnego wchodzą: wahadło torsyjne(kula zaopatrzona w lusterko, zawieszona na sztywno zamocowanym pręcie), skala na statywie, oświetlacz(lampka na statywie), soczewka skupiająca na statywie. Do dyspozycji jest również sprężyna na statywie, zlewka z gliceryną, stoper, suwmiarka, przymiar metrowy. Schemat układu doświadczalnego przedstawiony jest na rysunku 1.2.5. x R skala l oświetlacz soczewka zwierciadło kula Rys. 1.2.5: Schemat układu do badania drgań wahadła torsyjnego. Metoda pomiarowa Światło odbija się od lusterka zamocowanego na drucie, na którym zawieszona jest kula.jeżelikulaobracasięokąt ϕtopromieńświatłaulegaskręceniuokąt α = 2ϕ.

20 Mechanika Używając skali milimetrowej można dzięki temu zmierzyć odchylenie x od położenia równowagi, co pozwala na wyznaczenie kąta skręcenia ϕ. Analizując geometrię układu doświadczalnego przedstawionego schematycznie na rysunku 1.2.5, kąt obrotu wahadła ϕmożnapowiązaćzodchyleniem xpoprzez tg α = tg 2ϕ = x/l,gdzie ljestodległością skali od lusterka. Zakładając niewielkie wychylenia z położenia równowagi(małe wartości kąta skręcenia ϕ) możemy zastosować przybliżenie tg 2ϕ 2ϕ i wobec tego ϕ x/2l. Przebieg doświadczenia Kilkakrotnie zmierzyć suwmiarką średnicę kuli i oszacować niepewność pomiaru. Masa kuli podana jest przy zestawie pomiarowym. Zestawić układ eksperymentalny do badania drgań torsyjnych swobodnych(bez tłumienia) według schematu przedstawionego na rysunku 1.2.5. Następnie, przy skrajnym położeniu rączki R, dobrać odpowiednio odległości i kąt nachylenia oświetlacza tak, aby uzyskać ostry obraz nici (pionowej linii zaznaczonej na okienku oświetlacza) na podziałce skali. W położeniu równowagi wahadła torsyjnego powinien on znajdować się możliwie blisko zera skali. Zmierzyć kilkakrotnie odległość skali od lusterka. Wprawić kulę w drgania torsyjne skręcając ją o niewielki kąt od położenia równowagi. Kulę należy wprowadzać w ruch obrotowy przy pomocy rączki R, przez przesunięcie jej ze skrajnego położenia(ruchem powolnym tak aby obraz nici pozostał na skali) i powrót do niego(ruchem szybkim). Zanotować kilkanaście wartości wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiar powtórzyć kilkakrotnie. Zmierzyć czas trwania dziesięciu kolejnych okresów drgań torsyjnych kuli. Pomiar powtórzyć dziesięciokrotnie. Zestawić układ do badania drgań torsyjnych tłumionych stałym momentem siły, wstawiając metalową sprężynę bezpośrednio pod kulę. Nacisk sprężyny dobrać tak, aby można było odczytać kilkanaście kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi. Przeprowadzić pomiary wychylenia i okresu tak, jak dla drgań swobodnych. Zestawić układ do badania drgań torsyjnych tłumionych oporem lepkościowym. W tym celu usunąć sprężynę, a kulę umieścić w zlewce z gliceryną. Głębokość zanurzenia kuli dobrać tak, aby można było odczytać kilkanaście kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiary wychylenia i okresu przeprowadzić tak, jak dla drgań swobodnych. 1.2.3 Opracowaniewyników W przypadku drgań torsyjnych nietłumionych wykonać wykres zależności amplitudy od czasu(dla kilku punktów zaznaczyć prostokąty niepewności pomiarowych). Obliczyć okres drgań wahadła i oszacować jego niepewność pomiarową(metodą najmniejszych kwadratów). Obliczyć moment bezwładności wahadła, a następnie moment kierujący D 1.Oszacowaćichniepewnościpomiarowe(metodąróżniczkizupełnejlub metodą pochodnej logarytmicznej).

Drgania tłumione i wymuszone oscylatora harmonicznego 21 W przypadku drgań torsyjnych tłumionych stałym momentem siły(tarciem kulombowskim) wykonać wykres zależności amplitudy od czasu. Obliczyć okres drgań wahadła(wraz z niepewnością pomiarową), porównać go z wartością otrzymaną dla wahadła nietłumionego. Wyznaczyć średnią różnicę dwóch kolejnych amplitud, a następnie korzystając z wzoru(1.2.18) obliczyć moment siły tarcia i jego niepewność pomiarową(metodą różniczki zupełnej lub metodą pochodnej logarytmicznej). W przypadku tłumienia oporem wiskotycznym sporządzić wykres zależności amplitudy od czasu oraz zależności logarytmu amplitudy od czasu. Obliczyć okres drgań wahadła,logarytmicznydekrementtłumieniaorazwspółczynnik D 2.Sprawdzić,czy okres drgań wyznaczony eksperymentalnie jest zgodny z wartością obliczoną na podstawie wzoru(1.2.21). 1.3 Drgania tłumione i wymuszone tłumionego oscylatora harmonicznego Celem ćwiczenia jest badanie drgań tłumionych i wymuszonych oscylatora harmonicznego. W szczególności, należy wykonać pomiar zaniku drgań oscylatora tłumionego i zbadać krzywe rezonansowe oscylatora wymuszonego dla różnych parametrów tłumienia. Zagadnienia do przygotowania: oscylator harmoniczny- równanie ruchu i jego rozwiązanie, częstotliwość własna; oscylator tłumiony- równanie ruchu i jego rozwiązanie, parametr tłumienia, tłumienie krytyczne; drgania wymuszone- wymuszenie siłą sinusoidalną, zjawisko rezonansu; dynamika bryły sztywnej, wahadło torsyjne. Literaturapodstawowa:[45],[4],[11]. 1.3.1 Podstawowe pojęcia i definicje Wahadło torsyjne W rozdziale 1.1 omawiane było wahadło fizyczne, którego drgania spowodowane są działaniem siły grawitacji. Wahadło torsyjne to inny rodzaj wahadła, którego drgania powstają na skutek sił sprężystości. Przykładem wahadła torsyjnego jest np. bryła zawieszona na skręcającym się sprężystym drucie lub tarcza z umocowaną do niej spiralną sprężyną(włosową lub taśmową). Dla dostatecznie małych skręceń, wahadło torsyjne zachowuje się jak oscylator harmoniczny i może być ono wykorzystane do obserwacji jego podstawowych cech. W dalszej części tego rozdziału przedstawione są elementarne wiadomości dotyczące drgań tłumionych i wymuszonych oscylatora harmonicznego. Szczegółową analizę tych zagadnień, sposób rozwiązania równań ruchu oraz ich ogólną postać czytelnik może znaleźć np. w[45].

22 Mechanika Oscylator harmoniczny tłumiony Zakładamy, że skręcenie wahadła torsyjnego o kąt ϕ z położenia równowagi prowadzidopowstaniamomentusiłysprężystości N 0 wprostproporcjonalnegodowychylenia (prawo Hooke a): N 0 = D 0 ϕ, (1.3.1) Stałaproporcjonalności D 0 zależyodparametrówużytejsprężynyijestnazywana momentem kierującym. Równanie ruchu wahadła o momencie bezwładności J można zapisać jako: J ϕ + D 0 ϕ = 0. (1.3.2) Jest to równanie ruchu oscylatora harmonicznego, którego ogólnym rozwiązaniem jest: ϕ(t) = ϕ 0 cos(ω 0 t + δ), (1.3.3) gdzieamplitudadrgań ϕ 0 iichfaza δwyznaczonesąprzezwarunkipoczątkowe,aω 0 zdefiniowane jako: ω 0 = 2π D0 = (1.3.4) T 0 J jest częstością drgań własnych wahadła. Rozważmy teraz oscylator tłumiony momentem siły wprost proporcjonalnym do prędkości kątowej wahadła. W takim przypadku w równaniu ruchu obecny jest dodatkowy człon: Równanie ruchu przyjmuje zatem następującą postać: Wprowadzony parametr N = D ϕ. (1.3.5) ϕ + Γ ϕ + ω 2 0ϕ = 0. (1.3.6) Γ = D J (1.3.7) to tzw. parametr tłumienia. Wprzypadkutłumieniamniejszegoniżtzw.tłumieniekrytycznetj.dla Γ < Γ kr, gdzie Γ kr = 2ω 0,ruchwahadłajestoscylacyjny.Dlawarunkówpoczątkowych ϕ(0) = ϕ 0 i ϕ(0) = 0(wahadłopuszczonejestzzerowąprędkościąkątowązpozycji ϕ 0 ) rozwiązaniem równania ruchu(1.3.6) jest funkcja: ϕ(t) = ϕ 0 e Γt/2 cos(ωt), (1.3.8)

Drgania tłumione i wymuszone oscylatora harmonicznego 23 gdzie ω = ω 2 0 (Γ/2)2 (1.3.9) jest częstością drgań tłumionych. Częstość ta jest mniejsza niż częstość drgań własnych. Amplitudadrgańzmniejszasięwczasiezgodniezzależnością ϕ 0 e Γt/2.Stałączasową τ = 1 Γ (1.3.10) nazywamy czasem relaksacji. Dla słabego tłumienia, określa ona szybkość zaniku oscylacji tłumionych w układzie. Wprzypadkugdytłumieniejestsilnetj.dla Γ Γ kr podczasruchuwahadła oscylacjeniewystępują.dlagranicznegoprzypadkutłumieniakrytycznego Γ = Γ kr szybkość zaniku oscylacji jest maksymalna. Zależność amplitudy drgań oscylatora harmonicznego tłumionego od czasu przedstawiona jest na rysunku 1.3.1. Rys. 1.3.1: Wychylenie oscylatora harmonicznego tłumionego ϕ w funkcji czasu. W chwili t = 0 oscylatormawychyleniepoczątkowe ϕ 0 izerowąprędkośćkątową.krzywaciągła ( )odpowiada przypadkowisłabegotłumienia Γ < 2ω 0.Dodatkowo,cienkąliniązaznaczonoobwiednięoscylacji.Krzywa ( )odpowiadatłumieniukrytycznemu Γ = 2ω 0 akrzywa ( )silnemutłumieniu Γ > 2ω 0. Oscylator wymuszony Do opisywanego oscylatora dokładamy układ wymuszający, który wywiera na wahadłotorsyjnedodatkowymomentsiły N w (t)zależnyodczasu.równanieruchuprzyjmuje wtedy postać:

24 Mechanika ϕ + Γ ϕ + ω 2 0ϕ = f(t), (1.3.11) gdzie f(t) = N w (t)/j.wnaszymprzypadkurozważamywymuszenieharmoniczne: f(t) = f 0 cos(ωt). (1.3.12) Opisywany układ może znajdować się w stanie nieustalonym lub w stanie stacjonarnym. Stany nieustalone mogą występować np. krótko po włączeniu siły wymuszającej lub po zmianie jej częstości. Rozwiązanie równania(1.3.11) dla tych przypadków jest bardziej skomplikowane, dlatego ograniczymy się tylko do stanów stacjonarnych, w których amplituda oscylacji osiąga stałą, niezależną od czasu wartość. Oczekujemy, że dla czasu t τ(czyli dla czasów znacznie większych od czasu relaksacji) drgania układu będą zachodzić z częstością siły wymuszającej Ω(rysunek 1.3.2). (a) wymuszenie (b) wychylenie oscylatora stan nieustalony stan stacjonarny Rys. 1.3.2: Reakcja tłumionego oscylatora harmonicznego na wymuszenie sinusoidalne.(a) Wymuszenie f w funkcji czasu.(b) Wychylenie oscylatora ϕ w funkcji czasu. W chwili t = 0 oscylator spoczywał w położeniu równowagi: ϕ(0) = 0, ϕ(0) = 0. W czasie kilku pierwszych oscylacji oscylator znajduje się w stanie nieustalonym. Stan stacjonarny osiągany jest po czasie twiększymniżczasrelaksacji τ = 1/Γ.Potymczasieoscylatorwykonujedrganiazczęstością wymuszenia niezależnie od warunków początkowych. Wykresy wykonano dla częstości wymuszenia Ω = 0.25ω 0 iparametrutłumienia Γ = 0.05ω 0. Przez podstawienie można łatwo sprawdzić, że funkcja: ϕ(t) = ϕ 0 cos(ωt δ) (1.3.13)

Drgania tłumione i wymuszone oscylatora harmonicznego 25 spełnia równanie ruchu(1.3.11), jeśli przyjąć następujące zależności: ϕ 0 = f 0 (1.3.14) (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + Γ 2 Ω2, tan δ = ω 2 0 ΓΩ (1.3.15) Ω2. Narysunku1.3.3przedstawionajestamplituda ϕ 0 iprzesunięciefazowe δstacjonarnych drgań wymuszonych w zależności od częstości siły wymuszającej. W okolicy pewnej częstości ω r amplitudadrgańukładuwyraźniewzrastaiosiągamaksimum.zjawisko tonazywanejestrezonansem.częstośćrezonansową ω r możnaznaleźćstosującstandardowąproceduręwyznaczaniaekstremówfunkcji ϕ 0 (Ω).Maksimumfunkcji,czyli rezonans występuje dla wartości: ω r = ω0 2 Γ2 /2, (1.3.16) którajestmniejszaniżczęstośćdrgańwłasnych ω 0.Odchylenieczęstościrezonansowej od częstości drgań własnych rośnie wraz ze wzrostem parametru tłumienia Γ. Współczynnik tłumienia wpływa również na szerokość krzywej rezonansowej oraz jej wysokość. Im większy jest współczynnik tłumienia, tym krzywa rezonansowa jest szersza a jej amplituda mniejsza. Szerokość krzywej rezonansowej określa parametr nazywany szerokością połówkową(szerokość krzywej mierzona w połowie jej wysokości). Dla słabego tłumienia można w dużym przybliżeniu przyjąć, że szerokość połówkowa krzywej rezonansowejjestrzędu 3Γ. Rys. 1.3.3: Zależności amplitudy(krzywe rezonansowe) i fazy drgań stacjonarnych oscylatora harmonicznego od częstości siły wymuszającej. Wykresy pokazane są dla kilku parametrów tłumienia Γ. Choć stacjonarne drgania wymuszone zachodzą zawsze z częstością siły wymuszającej Ω to przesunięcie fazowe δ pomiędzy wymuszeniem a wychyleniem oscylatora silnie zależy od Ω. Dla małych częstości, oscylacje wahadła są zgodne z siłą wymuszającą,

26 Mechanika dla Ω = ω 0 sąprzesuniętewfazieo90 adlawysokichczęstościsąwprzeciwfaziew stosunku do siły wymuszającej. 1.3.2 Przebiegpomiarów Układ doświadczalny Głównym elementem zestawu doświadczalnego jest wahadło torsyjne tzw. balans, czyli tarcza ze stopu miedzi, do której przymocowana jest spiralna sprężyna(rysunek 1.3.4). taśmowa sprężyna spiralna skala kątowa metalowa tarcza silnik hamulec indukcyjny Rys. 1.3.4: Uproszczony rysunek wahadła balansowego używanego podczas doświadczenia. Wahadła tego typu wykorzystywane są np. w zegarkach mechanicznych. Warto zwrócić uwagę na wykorzystanie takiego elementu np. w zegarkach mechanicznych i jego analogię do wahadła grawitacyjnego w zegarach ściennych. Wymuszenie odbywa się poprzez układ dwóch prętów umocowanych z jednej strony do sprężyny wahadła a z drugiej strony(mimośrodowo) do silnika stałoprądowego. Przybliżenie oscylatora harmonicznego jest spełnione dla wszystkich kątów wychylenia(mierzonych w jednostkach umownych). Regulacja częstości siły wymuszającej następuje poprzez zmianę napięcia podawanego na silnik. Schemat połączenia układu przedstawiony jest na rysunku 1.3.5. Tłumienie w układzie realizowane jest poprzez hamulec indukcyjny działający w oparciu o powstawanie prądów wirowych. W hamulcu indukcyjnym tłumienie jest wprost proporcjonalne do prędkości kątowej tarczy. Zmiana tłumienia następuje poprzez regulację prądu płynącego przez uzwojenia elektromagnesu, między którymi umieszczone jest koło balansowe, a w praktyce przez zmianę ustawienia tarczy Power na zasilaczu.

Drgania tłumione i wymuszone oscylatora harmonicznego 27 zasilacz V DC + - Power AC ~ hamulec silnik M potencjometry mostek Graetza wahadło Rys. 1.3.5: Schemat połączenia układu doświadczalnego. Kalibracja częstości siły wymuszającej Pomiarzależności Ω = Ω(U),gdzie ΩjestczęstościąsiływymuszającejaUjestnapięciem podawanym na silnik. Ta część ćwiczenia pozwoli na późniejsze przedstawienie krzywych rezonansowych w funkcji częstości. Wyznaczenie częstości drgań wahadła Prosty pomiar stoperem. Puszczając koło balansowe z maksymalnego wychylenia należyzmierzyćokresdrgańswobodnych T 0 = 2π/ω 0 itłumionych T = 2π/ωwahadła dla różnych parametrów tłumienia Γ. Badanie oscylacji tłumionych Pomiaramplitudyoscylacjiwzależnościodczasu ϕ m = ϕ(t m )gdzie t m = mt/2, Tjestokresemdrgańtłumionycham=1, 2,....Puszczająckołobalansowezmaksymalnego wychylenia można obserwować zanik amplitudy oscylacji. Należy zanotować maksymalne wychylenia wahadła w zależności od numeru oscylacji m(zarówno dla dodatnichiujemnychpołożeńczylico t = T/2).Pomiarynależywykonaćdlaróżnych parametrów tłumienia Γ. Pomiar pozwoli na wyznaczenie obwiedni drgań tłumionych (por. rysunek 1.3.1). Pomiar krzywej rezonansowej Pomiarkrzywejrezonansowej φ 0 = φ 0 (Ω),dlaróżnychwartościwspółczynnikatłumienia Γ, pozwoli na wykreślenie krzywych rezonansowych analogicznych do krzywych

28 Mechanika pokazanych na rysunku 1.3.3. Zmieniając i notując napięcie zasilania silnika, należy zapisać maksymalne wychylenie koła balansowego po ustabilizowaniu się amplitudy drgań. Do precyzyjnej zmiany napięcia należy stosować bardziej czuły potencjometr. Dla małych parametrów Γ, przy zmianie częstości siły wymuszającej, wahadło bardzo wolno dochodzi do stanu stabilnego. Dlatego warto, przy każdorazowej zmianie napięcia, bardzo delikatnie ręcznie lub poprzez wyzerowanie napięcia zatrzymać koło balansowe. Wyraźnie wtedy widać stopniowy proces dochodzenia do stabilnego periodycznego ruchu. Pomocne może być wstępne oszacowanie czasu relaksacji τ na podstawie pomiarów drgań tłumionych. Dla małych parametrów Γ koło balansowe zaczyna uderzać w ograniczniki i krzywej rezonansowej nie można zmierzyć w ścisłym rezonansie. W połączeniu z małą precyzją pomiarów, może utrudnić to dalszą analizę danych. Podczas pomiaru krzywych rezonansowych można w sposób jakościowy wykonać obserwację przesunięcia fazowego między oscylacjami wahadła a siłą wymuszającą. 1.3.3 Opracowaniewyników Kalibracja częstości siły wymuszającej Narysować wykres Ω = Ω(U). Do zmierzonej zależności, metodą regresji liniowej, dopasować prostą. Otrzymane parametry regresji pozwolą na późniejsze przeliczenie napięcia na częstotliwość i prezentacje krzywych rezonansowych w skali częstości. Wyznaczenie częstości drgań wahadła Wyznaczyćiporównaćczęstościdrgańwahadłaswobodnego ω 0 itłumionego ω dla różnych wartości Γ. W tej części ćwiczenia należy szczególnie zwrócić uwagę na niepewności pomiarowe. Badanie oscylacji tłumionych Narysowaćwykresyzanikuamplitudyoscylacji φ m = φ(t m )dlaróżnychparametrów tłumienia. Z wykresów(przez dopasowanie eksponenty lub prostej do zlinearyzowanej zależności) wyznaczyć parametry Γ oraz ω dla różnych wartości prądu płynącego przez hamulec indukcyjny. Pomiar krzywej rezonansowej Narysowaćkrzywerezonansowe φ = φ 0 (Ω).Dokrzywychdopasowaćzależność zrównania(1.3.14).wyznaczyćparametrydopasowania f 0, ω 0, Γorazwielkość ω r. Porównać otrzymane wartości z wartościami otrzymanymi w poprzednich punktach. Przedyskutować otrzymane wyniki. Opcjonalnie można wykonać wykres przesunięcia fazowego między oscylacjami wahadła a siłą wymuszającą.

Badanie drgań wahadeł sprzężonych 29 1.4 Badanie drgań wahadeł sprzężonych Celem ćwiczenia jest wyznaczenie okresów drgań normalnych oraz częstości dudnień w ruchu dwóch jednakowych wahadeł sprzężonych i porównanie uzyskanych wyników z wartościami przewidywanymi na podstawie teorii. Można również badać zależność okresu dudnień od odległości punktu zaczepienia sprężyny sprzęgającej wahadła od osi obrotu wahadeł. Zagadnienia do przygotowania: dynamika bryły sztywnej: przyspieszenie liniowe, przyspieszenie kątowe, moment bezwładności, moment bezwładności pręta i walca, twierdzenie Steinera, moment siły, II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego; oscylator harmoniczny: ruch harmoniczny, ruch wahadła fizycznego przy małych wychyleniach z położenia równowagi(okres, częstość, amplituda, wychylenie, moment kierujący); opis ruchu wahadeł sprzężonych dla małych wychyleń z położenia równowagi: drgania normalne, dudnienia. Literatura podstawowa:[9] 11.6-11.9, 12.5;[25] 18.7, 16.6, 16.2-16.4;[11] 1 str. 17-22, 29-33, 44-52; literatura dodatkowa:[2]. 1.4.1 Podstawowe pojęcia i definicje Rozważmy dwa identyczne wahadła fizyczne, połączone sprężyną, za której pośrednictwem energia drgań będzie przekazywana od jednego wahadła do drugiego. Układ taki, przedstawiony schematycznie na rysunku 1.4.1, nazywamy wahadłami sprzężonymi. Ograniczymy się tutaj do drgań o niewielkich wychyleniach z położenia równowagi, tak aby można je było rozważać jako drgania harmoniczne. Opis ruchu takiego układu w przypadku ogólnym może być dość skomplikowany. Układ dwóch wahadeł ma dwa stopnie swobody czyli do opisu jego ruchu potrzebujemy dwóch zmiennych, dla których otrzymujemy dwa równania ruchu. Zazwyczaj w każdym z równań występują jednocześnie obie zmienne i równań tych nie można rozwiązywać niezależnie. Jeżeli jednak równania ruchu, oprócz wyrazów z drugą pochodną, zawierają wyrazy liniowe w obydwu zmiennych(tzn. wyrazy wprost proporcjonalne do tych zmiennych), to możliwa jest transformacja do dwóch nowych zmiennych. Dla nowych zmiennych otrzymuje się dwa niezależne równania ruchu, tzn. każde z tych równań zależy tylko od jednej zmiennej. Nowe zmienne opisują tzw. drgania normalne(drgania własne) układu. Układ ma tyle rodzajów drgań własnych ile ma stopni swobody, tj. tyle ile jest zmiennych niezależnych opisujących jego ruch. Dowolne drganie każdego elementu układu można opisać jako pewną kombinację drgań normalnych, czyli ich superpozycję(złożenie). Do opisu ruchu wahadeł sprzężonych najwygodniej jest wybrać kąty ich wychylenia zpołożeniarównowagi ϕ a i ϕ b,stosującprzybliżeniemałychkątów,tzn. sinϕ ϕ oraz cos ϕ 1. Rozważmy ruch jednego wahadła(dla drgań swobodnych omówiony w rozdziale 1.2). Ruch wahadła swobodnego jest powodowany przez działanie momentu siły N g pochodzącegoodsiłygrawitacji:

30 Mechanika s l b a Rys. 1.4.1: Schemat układu do badania drgań wahadeł sprzężonych. N g = mgl sin( ϕ a ) mglϕ a = Dϕ a, (1.4.1) gdzie m jest masą wahadła, l jest odległością środka masy wahadła od punktku zawieszenia, g to przyspieszenie grawitacyjne, natomiast D = mgl jest momentem kierującym. W przypadku występowania sprzężenia dodatkowo działa także moment siły sprzężenia N s.wahadłazawieszonesąwtakiejodległości,żedlapołożeniarównowagisprężynaniejestrozciągnięta.przywychyleniuwahadełokąty ϕ a i ϕ b sprężyna rozciągasięo x: x = ssin ϕ a ssin ϕ b s(ϕ a ϕ b ), (1.4.2) gdzie s jest odległością punktu zawieszenia sprężyny od punktu zaczepienia(długości sprzężenia). Jeżeli sprężyna ma stałą sprężystości k to moment siły pochodzący od sprężyny działający na wahadło a wynosi: N s = sk xcos ϕ a ks 2 (ϕ a ϕ b ). (1.4.3) Analogiczne rozważania można przeprowadzić dla drugiego wahadła, pamiętając, że moment siły od sprężyny działający na nie ma przeciwny znak. Oznaczając moment sprzęgającyprzez D s = ks 2 otrzymujemysprzężonyukładrównańopisującyruch wahadeł: J ϕ a = Dϕ a D s (ϕ a ϕ b ) J ϕ b = Dϕ b D s (ϕ b ϕ a ). (1.4.4)

Badanie drgań wahadeł sprzężonych 31 Po podstawieniu D/J = ω 2 0 i D s /J = K (1.4.5) i odpowiednich przekształceniach otrzymujemy następujący układ równań: ϕ a + ω 2 0 ϕ a + K (ϕ a ϕ b ) = 0 ϕ b + ω 2 0 ϕ b + K (ϕ b ϕ a ) = 0. (1.4.6) Każde z nich składa się z części znanej z równania dla wahadła swobodnego wykonującegodrganiaharmoniczneorazzdrugiejczęścizawierającejobiezmienne ϕ a i ϕ b. Właśnietaczęśćsprzęgaobarównaniazesobąiniepozwalananiezależneichrozwiązaniewzmiennej ϕ a lub ϕ b.jeżelinajpierwdodamy,apotemodejmiemytedwa równania stronami to otrzymamy dwa nowe, równoważne im równania: ϕ a + ϕ b + ω 2 0 (ϕ a + ϕ b ) = 0 ϕ a ϕ b + ω 2 0 (ϕ a ϕ b ) + 2K (ϕ a ϕ b ) = 0. (1.4.7) Używając nowych zmiennych ϕ 1 = 1 2 (ϕ a + ϕ b ) i ϕ 2 = 1 2 (ϕ a ϕ b ) (1.4.8) otrzymujemy dwa niezależne równania dla każdej z tych zmiennych: ϕ 1 + ω 2 0 ϕ 1 = 0 ϕ 2 + ( ω 2 0 + 2K) ϕ 2 = 0. (1.4.9) Każde z tych równań ma postać równania oscylatora harmonicznego, którego częstość wynosi odpowiednio: ω 1 = ω 0 dladrgańopisywanychzmienną ϕ 1 ω 2 = ω 2 0 + 2K dladrgańopisywanychzmienną ϕ 2. (1.4.10) Rozwiązania równań tego typu są nam już znane: ϕ 1 (t) = A cos(ω 1 t + δ 1 ) ϕ 2 (t) = B cos(ω 2 t + δ 2 ). (1.4.11)

32 Mechanika Każde z tych równań opisuje pewne niezależne drganie harmoniczne, są to tzw. drgania normalnewahadełsprzężonych.pierwszedrganienormalneodbywasięzczęstością ω 1, równączęstościdrgańwłasnychwahadłaswobodnego ω 0,adrugiedrganienormalne odbywasięzwiększąod ω 1 częstością ω 2 = ω 2 0 + 2K.Abyzobaczyćtedrgania w ruchu dwóch identycznych wahadeł sprzężonych musimy wiedzieć jak wprawić je wruch.wtymcelumusimypowiązaćzmienne ϕ 1 i ϕ 2 zezmiennymi ϕ a i ϕ b,będącymi kątami wychylenia wahadeł z położenia równowagi. Ponieważ, na mocy wzoru(1.4.8), ϕ a = ϕ 1 + ϕ 2 i ϕ b = ϕ 1 ϕ 2,tojakorozwiązaniaotrzymujemy: ϕ a (t) = A cos (ω 1 t + δ 1 ) + B cos (ω 2 t + δ 2 ) ϕ b (t) = A cos (ω 1 t + δ 1 ) B cos(ω 2 t + δ 2 ). (1.4.12) Aby układ wykonywał pierwsze drganie normalne potrzeba, aby w dowolnej chwili ϕ 2 = 0,cojestspełnionegdy B = 0.Wtedy ϕ a (t) = A cos (ω 1 t + δ 1 ) = ϕ b (t), (1.4.13) czylikażdewahadłodrgazczęstością ω 1 = ω 0 iwdowolnejchwilimamy ϕ a = ϕ b. Podobnie,abyukładwykonywałdrugiedrganienormalnewdowolnejchwili ϕ 1 = 0, cojestrównoważnewymaganiuaby A = 0.Wtedy ϕ a (t) = B cos(ω 2 t + δ 2 ) = ϕ b (t) (1.4.14) ikażdezwahadełdrgazczęstością ω 2 = ω 2 0 + 2Kiwkażdejchwili ϕ a = ϕ b. Rozważmy przypadek, gdy dwa drgające jednakowe wahadła sprzężone nie wykonują drgań normalnych. Dowolne rozwiązanie układu równań ruchu można przedstawić jako kombinację liniową znalezionych rozwiązań(1.4.12). Jeżeli, dla prostoty rachunku, przyjmiemy równość amplitud drgań normalnych i fazy początkowe równe zero (A = B, δ 1 = δ 2 = 0)tozrównań(1.4.12)otrzymamy: ϕ a (t) = 2A cos ( ω 2 ω 1 2 t ) cos ( ω 2 +ω 1 2 t ) = A mod (t)cos ( ω 2 +ω 1 2 t ) ϕ b (t) = 2A sin ( ω 2 ω 1 2 t ) sin ( ω 2 +ω 1 2 t ) = B mod (t)cos ( ω 2 +ω 1 2 t ). (1.4.15) Powyższe zależności przedstawione są w postaci graficznej na rysunku 1.4.2. Opisując zachowanie wahadeł na podstawie powyższych równań, możemy powiedzieć,żekażdeznichwykonujedraganiaoczęstości ω = (ω 2 + ω 1 )/2iamplitudzie zmieniającejsięwczasiezczęstością ω mod = (ω 2 ω 1 )/2.Jednakże,gdyjednozwahadeł ma maksymalne wychylenie, drugie w tym momencie spoczywa. Następnie amplituda pierwszego wahadła stopniowo maleje, a drugiego rośnie, aż sytuacja się odwróci. Następnie amplituda drugiego wahadła stopniowo maleje, a pierwszego rośnie i sytuacja powtarza się cyklicznie. W ciągu jednego okresu modulacji amplituda każdego

Badanie drgań wahadeł sprzężonych 33 a Amod( t) t b Bmod( t) t Rys. 1.4.2: Zależność wychylenia od czasu dla wahadeł sprzężonych wykonujących dudnienia (przy założeniu jednakowych amplitud drgań normalnych i faz początkowych równych zero). wahadła dwukrotnie osiąga wartość maksymalną. Mówimy, że wahadła wykonują dudnieniazczęstością ω d = ω 2 ω 1.Dudnieniawukładziewahadełsprzężonychpolegają na okresowym wzmacnianiu i wygaszaniu amplitudy drgania początkowego, są więc wynikiem superpozycji drgań normalnych układu. Zjawisko dudnień dwóch jednakowych wahadeł sprzężonych jest bardzo ładnym przykładem przekazu energii. W przypadku, gdy nie ma strat energii(dyssypacji energii) wahadła na zmianę przekazują sobie stopniowo całą energię i przekaz ten odbywa się z częstością dudnień. Zadanie 1. Pokaż, że prawdziwy jest związek: T d = T 0T 2 T 0 T 2, (1.4.16) gdzie T 0 jestokresemdrgańswobodnychwahadeł, T 2 jestokresemdrugiegodrgania normalnegoukładujednakowychwahadełsprzężonych,at d jestokresemdudnień. Zadanie2.Wykaż,żewprzypadkusłabegosprzężenia(tj.dla K << ω 2 0 )dlaukładu jednakowych wahadeł sprzężonych możemy zapisać: D s = 4π 2 J. (1.4.17) T d T 0 Uwaga:skorzystajzewzorów(1.4.5)i(1.4.10)orazprzybliżenia 1 + x 1 + 1 2 xdla małych wartości x.

34 Mechanika 1.4.2 Przebiegpomiarów Układ doświadczalny W skład układu pomiarowego wchodzą: dwa jednakowe wahadła fizyczne, sprężyna (jako urządzenie sprzęgające wahadła), przymiar metrowy, suwmiarka i stoper. Przebieg doświadczenia Zanotuj masy pręta i krążka podane przy ćwiczeniu. Dokonaj pomiarów niezbędnych do wyznaczenia momentów bezwładności wahadeł(moment bezwładności używanego w tym ćwiczeniu wahadła jest sumą momentów bezwładności pręta i krążka liczonych względem osi obrotu wahadła). Wykonaj przynajmniej trzy pomiary każdej wielkości. Ustal, czy wahadła można uważać za identyczne. Jeżeli nie, dokonaj koniecznej korekty. Zmierz czas trwania dwudziestu okresów drgań każdego wahadła swobodnego. Pomiar powtórz dziesięciokrotnie. Połącz wahadła za pomocą sprężyny zamocowanej w połowie długości wahadeł. Wykonaj pomiar czasu trwania dwudziestu okresów dla pierwszego i drugiego drgania normalnego. Każdy pomiar powtórz trzykrotnie. Wykonaj pomiar czasu trwania dziesięciu dudnień powtarzając pomiar trzykrotnie. Dla kilku różnych długości sprzężenia s wykonaj pomiar czasu trwania dziesięciu dudnień. Każdy pomiar powtórz trzykrotnie. 1.4.3 Opracowaniewyników Wyznaczyć okresy drgań wahadeł swobodnych oraz oszacować ich niepewności. Czy wahadła można uważać za jednakowe(czy uzyskane wartości są zgodne w granicach niepewności pomiarowych)? Znaleźć wartość częstości drgań własnych wahadeł swobodnych i jej niepewność. Obliczyć wartości momentu bezwładności J i momentu kierującego D wahadeł użytych w tym doświadczeniu oraz oszacować ich niepewności. Korzystając z tych wartości obliczyć częstości drgań własnych. Otrzymany wynik porównać z wartością wyznaczoną eksperymentalnie. Sprawdzićczywyznaczoneeksperymentalniewartości T 0, T 2 i T d spełniajązwiązek (1.4.16). Wyznaczyć częstość pierwszego i drugiego drgania normalnego oraz częstość dudnień i oszacować ich niepewności. Uzyskane wyniki porównać z przewidywaniami teoretycznymi. Korzystajączezwiązku(1.4.17)wyznaczyćwartościmomentusprzęgającego D s dla różnych wartości długości sprzężenia s wraz z niepewnościami pomiarowymi. Zależność D s (s)przedstawićnawykresienanoszącprostokątyniepewnościpomiarowych. Do danych eksperymentalnych dopasować odpowiedni wielomian. Wyznaczyćwartościmomentusprzęgającego D s korzystajączzależności(1.4.5) i(1.4.10) i oszacować niepewność pomiarową. Czy otrzymana wartość jest zgodna z wartością uzyskaną metodą opisaną powyżej? Która z tych metod zapewnia większą precyzję wyznaczenia momentu sprzęgającego wahadeł?