Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria sterowania, PWN Warszawa t.1,1977, t.2,1981. W. Pe lczewski, Teoria sterowania, WNT, Warszawa 1980. K. Ogata, Metody przestrzeni stanów w teorii sterowania, WNT, Warszawa, 1974. Literatura uzupe lniaj aca H. Górecki, Optymalizacja systemów dynamicznych, PWN, Warszawa 1993. J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania,pwn, Warszawa 1991. H. Nijmeijer, A. van der Schaft, Nonlinear Dynamical Control Systems, Springer-Verlag, New York 1990. R. Vinter, Optimal Control, Birkhauser, Boston 2000. Sterowanie jest to celowe oddzia lywanie cz lowieka lub skonstruowanych przez niego urz adzeń na obiekt sterowania (natury technicznej, biologicznej, ekonomicznej) zapewniaj ace przebiegi procesów w obiekcie zgodne z przebiegami poż adanymi tj. zgodne z zadaniem sterowania. Sterowanie jest realizowane za pomoc a urz adzenia steruj acego. Zespó l urz adzenia steruj acego i obiektu sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowania lub systemem sterowania. Wyróżnia siȩ dwie podstawowe struktury uk ladów sterowania: otwarty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace nie korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie Urz adzenie steruj ace Obiekt sterowania US sterowanie OS wyjście W otwartym uk ladzie sterowania zak ladana jest dok ladna aprioryczna zna- 1

jomość modelu obiektu. Na tej podstawie określany jest algorytm sterowania - nie uwzglȩdnia on jednak bież acych zmian w obiekcie i może być ma lo dok ladny. zamkniȩty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie - w uk ladzie tym wprowadzane jest wiȩc sprzȩżenie zwrotne od obiektu do urz adzenia steruj acego. Urz adzenie steruj ace US sterowanie Obiekt sterowania OS wyjście W uk ladach sterowania badane s a przebiegi wielkości charakteryzuj acych obiekt sterowania i urz adzenie steruj ace. Przebiegi te traktowane s a jako funkcje czasu ci ag lego t [t 0, + ) lub jako funkcje czasu dyskretnego k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... Model matematyczny obiektu (uk ladu) obejmuje wielkości zwi azane z obiektem (uk ladem) i zależności miȩdzy nimi. Z obiektem sterowania o czasie ci ag lym zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu ci ag lego: Obiekt sterowania sterowanie u(t) zak lócenie z(t) stan obiektu x(t) wyjście y(t) u(t) = (u 1 (t),..., u j (t),..., u m (t)) T - sterowanie obiektu - wektor wielkości, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia lywuje na obiekt, y(t) = (y 1 (t),..., y p (t),..., y q (t)) T - wyjście obiektu - wektor wielkości mierzonych w obiekcie lub wektor wielkości, za pomoc a których obiekt oddzia lywuje na inne uk lady, 2

z(t) = (z 1 (t),..., z r (t),..., z s (t)) T - zak lócenie obiektu - wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia lywuje na obiekt sterowania, x(t) = (x 1 (t),..., x i (t),..., x n (t)) T - stan obiektu - najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu t wraz ze znajomości a wymuszeń u(t) i z(t) pocz awszy od chwili t pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu w przysz lości tj. przebiegi x(t) i y(t); stan obiektu charakteryzuje wnȩtrze obiektu i reprezentuje jego pamiȩć, w której gromadzone s a skutki przesz lych oddzia lywań na obiekt. Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie ci ag lym obejmuj a równanie stanu obiektu w postaci równania różniczkowego (liniowego lub nieliniowego) ẋ(t) = f(x(t), u(t), z(t), t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], f : R n R m R q R R n, równanie wyjścia obiektu w postaci równania funkcyjnego y(t) = g(x(t), u(t), z(t), t), t [t 0, t 1 ], g : R n R m R s R R q, równanie urz adzenia steruj acego w postaci równania funkcyjnego u(t) = ϕ(y(t), t), t [t 0, t 1 ], ϕ : R q R R m. Liniowe autonomiczne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], A R n n, B R n m, równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania funkcyjnego y(t) = Cx(t), t [t 0, t 1 ], C R q n, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego stacjonarnego równania funkcyjnego u(t) = Ky(t) + ψ(t), t [t 0, t 1 ], K R m q, 3

gdzie A - macierz stanu, B - macierz sterowania, C - macierz wyjścia, K - macierz sprzȩżenia zwrotnego. Liniowe autonomiczne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], A(t) R n n, B(t) R n m, równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania funkcyjnego y(t) = C(t)x(t), t [t 0, t 1 ], C(t) R q n, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego niestacjonarnego równania funkcyjnego u(t) = K(t)y(t) + ψ(t), t [t 0, t 1 ], K(t) R m q, gdzie A(t) - niestacjonarna macierz stanu, B(t) - niestacjonarna macierz sterowania, C(t) - niestacjonarna macierz wyjścia, K(t) - niestacjonarna macierz sprzȩżenia zwrotnego. Uwzglȩdnienie opóźnień stanu i sterowania w opisie dynamiki obiektu prowadzi do równań stanu w postaci równań różniczkowych z odchylonym argumentem ẋ(t) = f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ), z(t), t), gdzie h 1 jest opóźnieniem stanu, a h 2 jest opóźnieniem sterowania. 4

Uwzglȩdnienie przestrzennie roz lożonego stanu i sterowania prowadzi do równań stanu w postaci równań różniczkowych o pochodnych cz astkowych x(t, s)/ t = f(x(t, s), x(t, s)/ s, u(t, s), t, s), gdzie s jest zmienn a przestrzenn a. Z obiektem sterowania o czasie dyskretnym k = k 0, k 0 +1, k 0 +2,... zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu dyskretnego: Obiekt sterowania sterowanie u(k) zak lócenie z(k) stan obiektu x(k) wyjście y(k) u(k) = (u 1 (k),..., u j (k),..., u m (k)) T - sterowanie obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości zmienianych w chwilach czasu dyskretnego, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia lywuje na obiekt, y(k) = (y 1 (k),..., y p (k),..., y q (k)) T - wyjście obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości mierzonych w obiekcie w chwilach czasu dyskretnego, z(k) = (z 1 (k),..., z r (k),..., z s (k)) T - zak lócenie obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia lywuje na obiekt sterowania w chwilach czasu dyskretnego, x(k) = (x 1 (k),..., x i (k),..., x n (k)) T - stan obiektu z czasem dyskretnym - najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu dyskretnego k wraz ze znajomości a wymuszeń u(k) i z(k) pocz awszy od chwili k pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu z czasem dyskretnym w przysz lości tj. określić przebiegi x(k) i y(k). 5

Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie dyskretnym obejmuj a równanie stanu obiektu w postaci równania różnicowego (liniowego lub nieliniowego) x(k + 1) = f(x(k), u(k), z(k), k), x(k 0 ) = x 0, k [k 0, k 1 ], f : R n R m R s R R n, równanie wyjścia obiektu w postaci dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = g(x(k), u(k), z(k), k), k [k 0, k 1 ], g : R n R m R s R R q, równanie urz adzenia steruj acego w postaci dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = ϕ(y(k), k), k [k 0, k 1 ], ϕ : R q R R m. Liniowe dyskretne autonomiczne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego stacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(k 0 ) = x 0, k [k 0, k 1 ], A R n n, B R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = Cx(k), t [k 0, k 1 ], C R q n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = Ky(k) + ψ(k), k [k 0, k 1 ], K R m q, gdzie A - macierz stanu uk ladu dyskretnego, B - macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C - macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K - macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Liniowe dyskretne autonomiczne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), x(k 0 ) = x 0, k [k 0, k 1 ], 6

A(k) R n n, B(k) R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = C(k)x(k), k [k 0, k 1 ], C(k) R q n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = K(k)y(k) + ψ(k), k [k 0, k 1 ], K(k) R m q, gdzie A(k) - niestacjonarna macierz stanu uk ladu dyskretnego, B(k) - niestacjonarna macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C(k) - niestacjonarna macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K(k) - niestacjonarna macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Podstawowe zadania sterowania zwi azane z realizacj a poż adanych procesów w uk ladach sterowania obejmuj a: zadanie sterowania docelowego - zadanie polega na przeprowadzeniu obiektu z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego lub do zadanego zbioru stanów końcowych, zadanie optymalnego sterowania docelowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich trajektorii stanu przeprowadzaj acych obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego wybrać trajektoriȩ optymaln a, dla której minimalizowany jest wskaźnik jakości procesu np. czas realizacji procesu (zadanie sterowania minimalnoczasowego) lub straty energetyczne na sterowanie (zadanie sterowania minimalnoenergetycznego), zadanie sterowania okresowego - zadanie polega na zastosowaniu okresowych oddzia lywań steruj acych na obiekt, które zapewniaj a poż adane uśrednione charakterystyki procesów zachodz acych w obiekcie, zadanie optymalnego sterowania okresowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich okresowych oddzia lywań steruj acych wybrać takie, które zapewni optymalny uśredniony wskaźnik jakości procesu np. jego maksymaln a średni a wydajność, zadanie regulacji stanu - zadanie polega na tym, aby na podstawie pomiaru wyjścia obiektu określić tak a korektȩ sterowania, która zniweluje odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej nominalnego przebiegu; zadanie to realizowane jest wiȩc w uk ladzie ze sprzȩżeniem zwrotnym, 7

zadanie optymalnej regulacji stanu - zadanie polega na wyborze optymalnego sterowania koryguj acego przebieg trajektorii stanu, które np. minimalizuje straty energetyczne na sterowanie. Podstawowe zagadnienia zwi azane z realizacj a zadań sterowania obejmuj a: badanie stabilności uk ladów sterowania tj. badanie wrażliwości trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego; zaburzona trajektoria stanu uk ladu niestabilnego może nieograniczenie oddalać siȩ od trajektorii poż adanej powoduj ac awariȩ uk ladu (uszkodzenie mechaniczne wskutek nadmiernego naprȩżenia wa lu silnika, pożar instalacji wskutek nadmiernie narastaj acej temperatury uk ladu, wybuch nadmiernie sprȩżonego sk ladnika chemicznego procesu produkcyjnego), badanie sterowalności uk ladów sterowania tj. badanie istnienia sterowania docelowego przeprowadzaj acego obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego; w zwi azku z tym określane s a warunki ca lkowitej lub czȩściowej sterowalności uk ladu, badanie obserwowalności uk ladów sterowania tj. określanie warunków, przy których na podstawie znajomości sterowania i wyjścia uk ladu można jednoznacznie określić stan uk ladu, synteza uk ladów sterowania o zadanych wartościach w lasnych macierzy stanu, dla których uk lad sterowania ma duży zapas stabilności i ma l a oscylacyjność, synteza wejściowo-wyjściowych uk ladów sterowania o zadanych zerach i biegunach transmitancji operatorowej, synteza obserwatorów stanu uk ladów sterowania, badanie algorytmów sterowania optymalnego tj. określanie warunków 8

ich zbieżności i szybkości ich zbieżności. Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a tarcza obrotowa θ(t), Ω(t) U(t) silnik rewersyjny przek ladnia zmienna steruj aca - napiȩcie obwodu steruj acego silnika u(t) = U(t), zmienne stanu - po lożenie k atowe tarczy x 1 (t) = θ(t), prȩdkość k atowa tarczy x 2 (t) = Ω(t), zmienne wyjściowe - pomiar po lożenia k atowego za pomoc a uk ladu mostkowego y 1 (t) = c 1 θ(t), pomiar prȩdkości k atowej za pomoc a pr adnicy tachometrycznej y 2 (t) = c 2 Ω(t). Równania stanu obiektu ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 ) = x 10, ẋ 2 (t) = au(t), x 2 (t 0 ) = x 20. Równania wyjścia y 1 (t) = c 1 x 1 (t), Równanie sprzȩżenia zwrotnego y 2 (t) = c 2 x 1 (2). u(t) = k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t). Wskaźniki jakości procesu sterowania docelowego tarcz a obrotow a: sterowanie minimalnoczasowe Q = t 1 t 0 dt = t 1 t 0, sterowanie minimalnoenergetyczne Q = t 1 t 0 u 2 (t)dt. Teoria struktur i systemów sterowania jest ilustrowana ćwiczeniami laboratoryjnymi ster1 - ster10 w systemie Mathematica. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/ 9 Ćwiczenia s a pod adresami