ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o inducji matematycznej uzasadnić że dla ażdej liczby naturalnej n zachodzi: a 1 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1(2n+1 6 b 1 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = n2 (n+1 2 c 1 1 2 + 1 2 3 + 1 n(n+1 = n n+1 4 3 Wyorzystując twierdzenie o inducji matematycznej uzasadnić nierówności: a 1 + 1 4 + 1 9 + + 1 n 2 2 1 n n N b (1 + x n 1 + nx dla x 1 n N (nierówność Bernoulliego 4 Wyorzystująć twierdzenie o inducji matematycznej wyazać że a liczba 5 5n 2 + 3 jest podzielna przez 4 n N b Liczba 11 n 4 n jest podzielna przez 7 n N 5 a Uzasadnić że ( ( n n + = 1 ( n + 1 b zapisać za pomocą jednego współczynnia Newtona: ( 12 5 + ( 12 6 ( 19 11 + ( 19 9 ( 21 7 ( + 21 13 1

6 Zastosować wzór na dwumian Newtona do wyrażeń: a ( 3 2x + x 1 3 b (2x 1 5 7 W rozwinięciu dwumianowym (x 4 + 1 x 3 12 znaleźć współczynni stojący przy 1 x oraz przy x9 a 8 Korzystając ze wzoru na dwumian Newtona obliczyć sumy; ( n n n b =0( 1 ( n n c 3 ( n =0 =0 ( n 2n + 1 =0 9 Dla jaiego n zbiór n-elementowy ma ooło 10 12 podzbiorów? 10 Przypuścmy że zarząd słada się ze 21 członów Na ile sposobów mogą oni utworzyć grupy więszościowe tzn grupy złozone przynajmniej z 11 członów? 11 Dane są macierze: 1 0 1 1 2 3 B = 3 0 1 3 2 1 0 0 2 1 2 3 cosα sinα D = 0 3 0 E = sinα cosα 1 2 3 C = 1 1 1 1 Obliczyć jeśli to możliwe następujące macierze: 2B 3D I D C 2 AB A (D B 2 E 2 AB + 3I BA 12 Rozwiązać równanie macierzowe: 3 ( 1 2 3 3 2 1 X = X + 1 0 1 3 0 1 13 Podać przyłady niezerowych macierzy A oraz B że a AB = 0 b AB BA 14 Uzasadnićże iloczyn macierzy trójątnych dolnych górnych tego samego stopnia jest macierzą trójatną dolna górną 2

15 Dla macierzy: 2 1 2 1 3 0 1 1 B = 3 1 1 1 1 1 1 0 4 1 1 1 wyznaczyć A T B T Obliczyć jeśli to możliwe AA T A T A B T A T B + A T A Co można powiedzieć o elementach (ij oraz (jiw macierzy AA T 16 Dla podanych macierzy A obliczyć A n (ws obliczyć potęgi macierzy A dla początowych wartości n postawić hipotezę o postaci A n i udowodnić ją inducją matematyczną cosα sinα a b sinα cosα 17 Dana jest macierz A 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 5 c 2 0 2 0 2 0 2 0 2 gdzie a ij = 1 oznacza że jest bezpośrednie połączenie lotnicze z miasta i do miasta j: zaś a ij = 0 oznacza że nie ma bezpośredniego połączenia lotniczego z miasta i do miasta j a Narysować schemat połączeń opisanych przez macierz A b Sprawdzićże element (ij macierzy A 2 jest liczbą różnych połączeń z i do j złożonych z 2 etapów ( z 1 przesiadą c Sprawdzić że element (ij macierzy A 3 jest liczbą różnych połączeń z i do j złożonych z 3 etapów ( 2 przesiadi d Co oznacza element (ij w macierzy A n? e Przy jaim najmniejszym n dla podanej macierzy A możliwe jest dotarcie z dowolnego miasta i do dowolnego miasta j? 18 Podane macierze zapisać w postaci sumy macierzy symetrycznej oraz macierzy antysymetrycznej 1 2 3 2 7 8 2 0 0 B = 1 2 4 0 6 2 0 0 3 3

LISTA ZADAŃ 2 19 Napisać rozwinięcie Laplace a wyznacznia względem : a pierwszego wiersza; b trzeciego wiersza; c drugiej olumny: 1 2 4 3 3 0 2 1 4 0 3 2 7 0 0 1 20 Obliczyć podane wyznacznii 2 4 1 3 7 1 1 3 1 1 2 3 2 2 3 4 1 0 2 2 4 2 1 0 3 1 2 3 2 6 2 3 9 0 3 4 8 0 0 2 5 0 0 0 1 cosα sinα sinα cosα 21 Wyorzystując własności wyznacznia obliczyć: 2 5 3 2 1 2 2 1 3 2 4 3 4 2 1 2 a a a a a b a a a a b b a a a b b b a a b b b b a 22 Obliczyć wyznacznii podanych macierzy: 2 5 0 0 1 3 0 0 0 0 4 3 0 0 1 2 B = 0 0 0 a 1n 0 0 a 2n 1 0 0 a n1 0 0 0 0 B 1 B 2 B n gdzie B są macierzami wadratowymi i pozostałe elementy macierzy B są równe zero 23 Dla macierzy A oraz B stopnia piatego mamy det 3 detb = 2 Ile wynosi det( 2A det( A 3 det(a T B det(aba T det( A 3 B 4 24 Czy istnieje macierz nieosobliwa A że: a A T ; b A + 2A 2 = 0 4

25 Wyznaczyć rząd macierzy 4 2 4 8 1 2 1 4 3 1 1 0 26 Podać przyład macierzy wymiaru 3 5 tórej rząd wynosi a 1; b 3 27 Dla ażdej z podanych macierzy wyznaczyć macierz odwrotną: 4 2 3 2 B = 2 1 3 3 1 4 0 1 2 C = 4 3 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 28 Dla jaiego parametru p podana macierz ma macierz odwrotną? Wyznaczyć macierz odwrotna do podanej gdy p = 0 c p 1 p 0 p 1 1 1 p 29 Rozwiązać równanie macierzowe: a 1 2 3 0 2 1 2 0 2 3 2 1 0 1 4 0 0 1 X X = 2 1 4 3 1 0 3 2 1 1 = b Y 1 2 1 2 1 2 1 2 3 0 2 1 2 0 2 = 2 2 2 0 1 1 LISTA ZADAŃ 3 30 Który z podanych uładów równań ma rozwiązanie: x + y + 5z + 2t = 1 a 2x + y + 3z + 2t = 3 x + y + 3z + 4t = 3 x + y + 5z + 2t = 1 b 2x + y + 3z + 2t = 3 3x + y + z + 2t = 0 31 Wyorzystując wzory Cramera rozwiązać uład równań: 5

{ 5x + 2y = 3 a 6x y = 2 b 2x y z = 4 3x + 4y 2z = 11 3x 2y + 4z = 11 32 Wyorzystując wzory Cramera wyznaczyć niewiadomą t z uładu równań: x + 5y + 2z + 4t = 4 x 3y + t = 0 4x 4y 2z 2t = 2 3y + t = 1 33 Rozwiązać ułady równań liniowych metodą eliminacji Gaussa Ile rozwiązań mają te ułady równań? x + 2y + 2z 5t = 5 a x y 3t = 4 2x + 3y 2z 2t = 1 d x 2y 2z t = 3 3x + 6y + 7z + t = 5 2x + 4y + 7z 4t = 6 2x + 4y + 5z = 2 b e x + 2y + 3z t = 1 3x + 6y + 7z + t = 5 2x + 4y + 7z 4t = 6 { x y + z + 2t = 1 2x + 4y z 2t = 2 34 Dla jaich wartości parametru p podane ułady równań x + y + z = 0 a 2x y + pz = 1 x + 4y 6z = p b px + 2y = 4 py z = 3 px + py + z = p c mają: zero rozwiązań jedno rozwiązanie niesończenie wiele rozwiązań? 35 Znależć funcję wadratową tórej wyres przechodzi przez punty (1-4 (-1-6 (2-9 36 Rozwiązać uład równań 2x 2 1 y 2z = 3 x 2 + 1 + y 2z = 5 3x 2 2 1 y 2z = 4 2x + y + z = 1 3x y + 3z = 2 x + y + z = 0 x y + z = 1 6

LISTA ZADAŃ 4 37 Punty A B C D sa wierzchołami równoległobou gdzie A(1 2 3 B(2 4 0 C(3 1 2 Wyznaczyć współrzędne puntu D puntu przecięcia przeątnych długość przeątnych oraz ąt między nimi 38 Czy punty A(2 1 0 B(3 2 2 C(8 1 1 D(7 2 1 są wierzchołami prostoąta? Obliczyć długość AD CA oraz ąt między nimi 39 Wsazać tóre spośród wetorów 1 3 2 1 2 3 2 2 2 2 4 6 2 0 1 są : a równoległe b prostopadłe 40 Obliczyć następujące iloczyny wetorowe: a 1 2 4 3 1 2 b 1 1 1 1 2 3 41 Obliczyć: a pole trójąta o wierzchołach A(1 2 3 B(3 1 0 C(1 1 1 b pole równoległobou o boach wyznaczonych przez wetory 1 2 4 1 42 Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołach w puntach (0 0 0 ( 1 2 1 (1 3 2 (2 1 5 Jaą długość ma wysoość czworościanu poprowadzona z wierzchoła (2 1 5 43 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punt (1 2 3 i a prostopadłej do wetora 1 0 2 b przez punty ( 2 0 4 (2 1 1 c zawierającej wetory 2 1 3 1 2 2 d równoległej do płaszczyzny x + y + 3z 3 = 0 44 Znależć i naszicować punty w tórych płaszczyzna przecina osie uładu współrzędnych w R 3 : a x + 3y + 6z = 6 b x + y = 2 45 Napisać parametryczne i ierunowe równanie prostej przechodzącej przez punt (1 2 3 i a równoległej do wetora 2 3 5 b przez punt (2 2 1 c prostopadłej do płaszczyzny x y + 2z 5 = 0 7

46 Które z podanych prostych: x = 2 t l = y = 3 + t z = 1 + t t R n = = x = 1 + 2t y = 5 + 3t z = t t R x = 1 + s y = s z = 2 s s R p = m = x = 1 + 2t y = 3 t z = 1 + t t R x = 1 + 3t y = 3 3t z = 7 3t t R a są równoległe b są prostopadłe c przecinają się (wyznaczyć punt przecięcia i ąt między prostymi d są sośne 47 Obliczyć: a odległość puntu ( 1 2 3 od płaszczyzny x + 2y 2z 5 = 0 b odległość między płaszczyznami x + 2y 2z = 5 3x 6y + 6z = 8 48 Dane są proste x = 1 + 2t l = y = 3 + 2t z = 4t t R = x = 1 + s y = 2 + s z = 1 + 2s s R m = x = 1 + t y = 2 + 2t z = 1 2t t R Obliczyć: a odległość puntu (1 1 1 od prostej l; b odległość między prostymi l ; c odległość między prostymi l m 49 Obliczyć: x = 1 + t a ąt między prostą l = y = 1 t a płaszczyzną x + 5z 7 = 0 z = 1 + 2t b ąt między płszczyznami x + 2y + 2z 3 = 0 3x 5y + 4z 7 = 0 LISTA ZADAŃ 5 50 Wyonać podane działania na liczbach zespolonych: ( 3 + 2i + (1 2i (7 2i (4 i 2 ( 1 + 3i(4 + 3i (2 i 2 3+i 4+i 1 2i 3i 1 51 Znaleźć liczby zespolone spełniające poniższe równania: a z(1 2i = z b (2 i 2z + (3 + 2iz = 9 8i c z 2 + 4 = 0 8

52 Obliczyć moduł następujących liczb zespolonych: 3 4i 3+5i 2 (2+3i(4 i 3 i 2+2i sin 3α cos 3α i3 (1+i 100 53 Wyorzystując interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb spełniających podane waruni: a z + 2 3i 9 b 3i z = 5 2i + z c 2 iz + 2 < 6 54 Wyznaczyć argumenty główne następujących liczb zespolonych: a 3 3i b 4i c 4 4 3i d 2+2i i 55 Przedstawić w postaci trygonometrycznej (lub wyładniczej następujące liczby zespolone: a 7 b 2 2 3i c 5 +5i d 3 27i e i f sin α + i cos α 56 Wyorzystując wzór de Moivre a obliczyć: a ( 2 + 2i 7 b (1 + 3i 17 c (2i 12 9 d (2 2 3i 21 ( 2+2i 16 57 Wyznaczyć i narysować na płaszczyżnie zespolonej wszystie pierwiasti podanego stopnia z podanych liczb zespolonych: a 6 1 b 3 8 c 3 2 2i d 5 8i e 4 2 3 2i 9