Algebra WYKŁAD ALGEBRA
Realacja predmotu Wykład 30 god. Ćwcena 5 god. Regulamn alceń: www.mn.pw.edu.pl/~fgurny ALGEBRA
Program ajęć Lcby espolone Algebra macery Układy równań lnowych Geometra analtycna ALGEBRA 3
ALGEBRA - LITERATURA Jurlewc Teresa, Skocylas Zbgnew, Algebra lnowa, Prykłady adana, GIS, 004 Jurlewc Teresa, Skocylas Zbgnew, Algebra lnowa, Defncje, Twerdena, Wory, GIS, 004 Krysck W., Włodarsk L. Anala matematycna w adanach, PWN, 000. Nawrock J. Matematyka, Ofcyna Wydawnca Poltechnk Warsawskej, 00. Klukowsk J., Nabałek I., Algebra dla studentów, WNT, 006 Nabałek I., Zadana algebry lnowej, WNT, 006 Otto E. (red., Matematyka dla wydałów budowlanych mechancnych, Tom, PWN, 978 Otto E. (red., Matematyka dla wydałów budowlanych mechancnych, Tom, PWN, 980 Stankewc W., Zadana matematyk dla wyżsych uceln techncnych. Cęść A B, PWN 006 Gdowsk B., Plucńsk E., Zadana rachunku wektorowego geometr analtycnej, PWN, 974 ALGEBRA 4
Algebra - dedna matematyk, będąca pocątkowo teorą rowąywana równań, obecne ajmuje sę własnoścam dałań określonych na pewnych borach ora strukturą tych borów ALGEBRA 5
Lcby espolone ALGEBRA 6
Lcby espolone Defncja Nech a, b R. Parą uporądkowaną o poprednku a następnku b naywamy bór {{ a },{ a, b}}. (, b Onacamy ją w skróce a. Defncja Zbór wsystkch par uporądkowanych naywamy locynem (produktem kartejańskm boru R pre R onacamy symbolem R R. Uwaga ( a, b ( c, d ( a c b d ALGEBRA 7
Lcby espolone Defncja Dla dowolnych par (, b ( c, d dodawana mnożena Defncja R a defnujemy dałana: ( a, b ( c, d ( ac, bd ( a, b ( c, d ( acbd, ad bc Zbór R dałanam dodawana mnożena elementów naywamy borem lcb espolonych. Onacamy go symbolem C. Jego elementy naywamy lcbam espolonym onacamy symbolam,, ALGEBRA 8
Lcby espolone Prykład Oblcyć sumę locyn lcb espolonych (,- (3,7 (, - + (3, 7 = ( + 3, - + 7 = (5, 6 (, -(3, 7 = ( 37, 73 = (3, Defncja Odejmowanem lcb espolonych naywamy dałane odwrotne do dodawana. Wynk odejmowana lcb espolonych naywamy różncą lcb espolonych. ALGEBRA 9
W bore lcb espolonych o elementach postac (a, b można wyodrębnć podbór o elementach (a,0 Dodawane mnożene lcb postac (a,0 (a, 0 + (b, 0 = (a + b, 0 (a, 0 (b, 0 = (ab, 0 Element neutralny dodawana - (0, 0 Element neutralny mnożena - (, 0 Element precwny do (a,0 - - (a, 0 Element odwrotny do (a,0 - (a, 0(0, 0. Lcby espolone (,0 a dla ALGEBRA 0
Lcby espolone Wyodrębnony podbór boru lcb espolonych ma wględem dodawana mnożena jego elementów analogcne właścwośc jak bór R lcb recywstych. Dlatego lcby espolone postac (a, 0 są utożsamane lcbam recywstym. W scególnośc lcba (0, 0 jest utożsamana erem recywstym. Uwaga Lcby (0, b różnej od era espolonego, ne można w analogcny sposób utożsamć żadną lcbą recywstą. ALGEBRA
Lcby espolone Defncja Lcbę (0, naywamy jednostką urojoną onacamy symbolem. (0, (0, Stąd Uwaga Ne stneje lcba recywsta, której kwadrat byłby lcbą ujemną! ALGEBRA
Lcby espolone Poneważ (a, b = (a, 0 + (0, b ora (0, b = (0, (b, 0 każą lcbę espoloną = (a, b można apsać w postac kanoncnej (algebracnej, kartejańskej, Gaussa = a + b a R - cęść recywsta lcby espolonej, - onacene a = Re (cyt. reals b R - cęść urojona lcby espolonej, - onacene b = Im (cyt. magnals ALGEBRA 3
Lcby espolone Dałana wykonywane na lcbach espolonych w postac kartejańskej podlegają tym samym prawom, jake stosujemy pry prekstałcanu wyrażeń algebracnych (wyłącane pred nawas, redukcja wyraów podobnych, wory skróconego mnożena tp.. Wykorystujemy pry tym fakt, że. ALGEBRA 4
Lcby espolone Prykłady a b c d a cb d a b c d a cb d a bc d acadbc acbdad bc bd ALGEBRA 5
Lcby espolone Inacej apsane 3 4 5 6 7 8 3 Potęg jednostk urojonej... 4 Wynacane n dla n N. Delmy n pre 4 (poneważ wartośc potęg powtarają sę cyklcne co 4.. Nech r będe restą delena, wówcas n= r. 3. Jeżel resta wynos 0 to n =,(poneważ 0 =. 5 6 7 8... ALGEBRA 6
Lcby espolone Prykłady a = b 67 = c 4 + 3 = 4 + ( = 4 d 4 4 + = 4( ( + = 4 + + = 6 + ALGEBRA 7
Lcby espolone Defncja Modułem lcby espolonej = a + b, onacanym pre, naywamy recywstą lcbę neujemną, będącą perwastkem sumy kwadratów cęśc recywstej cęśc urojonej tej lcby Prykłady,, 0 0. 3 4 3 a b 4 5, ALGEBRA 8
Lcby espolone Defncja Lcbą sprężoną lcbą ab, naywamy lcbę postac a b onacamy ab. Dwe lcby, których jedna jest sprężona drugą, naywamy lcbam sprężonym. Wnosk Lcby sprężone mają równe moduły Ilocyn lcb sprężonych jest równy kwadratow ch wspólnego modułu ALGEBRA 9
Lcby espolone Ostatn wór można apsać w postac a b a ba b Zatem w bore lcb espolonych sumę kwadratów można rołożyć na locyn cynnków perwsego stopna. Prykład x x x ALGEBRA 0
Lcby espolone Delene lcb espolonych Jeśl ab cd ora 0, to, Po ropsanu a b c d a b c d c dc d acbdad bc c d ALGEBRA
ALGEBRA Prykład 5 3 0 3 0 6 4 8 8 6 0 0 8 6 4 4 4 5 4 4 5 4 Lcby espolone
ALGEBRA 3 Prykłady 5 5 4 3 4 3 4 3 ( Lcby espolone
ALGEBRA 4 ( R Podstawowe własnośc Lcby espolone
Lcby espolone Prykład Oblcyć jeżel a b c d Metoda I a b / c d ( a b /( c d ALGEBRA 5
ALGEBRA 6 Prykład (c. d. Metoda II ( ( ( ( ( ( d c ad bc d c bd ac d c d c d c b a d c b a ( ( ( Im( Re( d c ad bc bd ac ( ( ( d c d a abcd c b d b abcd c a ( ( ( ( d c b a d c d c b d c a d c d a c b d b c a Lcby espolone
Lcby espolone Zadane 3 4 Nech Wynacyć, (a (b (c Zadane Zapsać w postac kanoncnej (a, gde cos sn (b cos sn (c cos sn (d ALGEBRA 7
Lcby espolone INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH Roważmy płascynę wyróżnonym układem współrędnych prostokątnych. Każdy punkt płascyny jest opsany w sposób jednonacny a pomocą pary (uporądkowanych współrędnych. Zatem każdej lcbe espolonej = x + y, można pryporądkować punkt o współrędnych (x, y. Im y jest odległoścą punktu P od środka układu O = r φ θ P x = x + y φ jest kątem skerowanym pomędy osą Re wektorem OP Re ALGEBRA 8
Lcby espolone Ważne lcby Im r = = - O Re - ALGEBRA 9
Lcby espolone Ważne lcby Im O r = Re ALGEBRA 30
Lcby espolone Dałane dodawana w lcbach espolonych odpowada dodawanu wektorów Im + O Re ALGEBRA 3
Lcby espolone Im y P = x + y O Re Podobne jak punkt na płascyźne, lcbę e espoloną 0 możemy repreentować pre parę,. Jest to predstawene lcby we współrędnych begunowych. x ALGEBRA 3
Lcby espolone Jeżel lcba espoloną jest repreentowana pre parę,, to kąt φ naywamy argumentem lcby onacamy arg. Argument spełnający nerówność 0 arg <, (lub równoważne - < arg naywamy argumentem głównym onacamy Arg. Uwaga Dla lcby = 0 argumentu ne defnuje sę. Lcby recywste dodatne mają argument główny równy 0, aś lcby ujemne. ALGEBRA 33
Lcbę espoloną 0 możemy predstawć w postac gde a b ab ( rcos sn r moduł lcby espolonej, argument lcby espolonej. Defncja Predstawene Lcby espolone r cos sn naywamy postacą trygonometrycną lcby espolonej. ALGEBRA 34
Lcby espolone Prykład Znaleźć postać trygonometrycną lcby r 3 3 cos sn 3 6 k 3 cos 6 sn 6 ALGEBRA 35
ALGEBRA 36 Prykład Znaleźć postać trygonometrycną lcby = -+.. 4 3 8 sn 8 cos 8, ( 4 3 sn 4 3 cos 8 Lcby espolone
ALGEBRA 37