Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019

2 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n x n dla n 1. Ograniczoność. Monotoniczność. Inny algorytm:

3 Algorytm Hornera Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci x a wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia. w x = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n w x = a 0 + x(a 1 + x(a x a n 2 + x a n 1 + xa n )) Przykład

4 Wzory Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Kontekst dydaktyczny. Przykład ciągu, który jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny. Czy ciąg 1, 0, 0, 0, jest geometryczny?

5 Jeden z trzech Jeden z trzech analitycznych dowodów o punktach szczególnych trójkąta.

6 Trzy twierdzenia z listy Twierdzenie o kątach w okręgu. Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym. Twierdzenie o dwusiecznej.

7 Zakres podstawowy lista twierdzeń Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych. Niewymierność liczb: 2, log 2 5, itp. Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów. Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci x a wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia. Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Twierdzenie o kątach w okręgu: Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąty wpisane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach. Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym: Jeśli odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym ACB, to AD CD = CD 2, AC 2 = AB AD, BC 2 = AB BD. Twierdzenie o dwusiecznej: Jeśli prosta CD jest dwusieczną kąta ACB w trójkącie ABC i punkt D leży na boku AB, to AD BD = AC BC. Wzór na pole trójkąta P = 1 ab sin γ. 2 Twierdzenie sinusów. Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

8 Zakres rozszerzony lista twierdzeń n Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli 0 < k < n, to k = n 1 k 1 + n 1 k Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na a n ± b n (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych a i b, a b a n b n. Wzory Viète a. Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych trójkąta: a) Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. b) Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu: Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i twierdzenie o trzech prostopadłych jako wniosek z niego: Dane są proste k, l i m leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli proste k i l przecinają się i prosta n jest do nich prostopadła, to prosta n jest także prostopadła do prostej m. Prosta k przecina płaszczyznę P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę P. Prosta m leży na płaszczyźnie P. Wówczas proste k i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste l i m są prostopadłe.

9 Zadanie domowe Dla wszystkich: Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli n 0 < k < n, to k = n 1 k 1 + n 1 k Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na a n ± b n (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych a i b, a b a n b n.

10 Zadanie domowe Dwie osoby dwa twierdzenia: Wzory Viète a. (G.C.) Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. (A.M.) Pozostałe przydzielone tematy 12-go grudnia.