dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli
Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki pręta jest odniesiony do jego powierzchni środkowej. Oznacza to, że pręt zastępujemy pewna powierzchnią będącą miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od obydwu powierzchni zewnętrznych jego powłoki.
Krzywą powstałą w wyniku przecięcia powierzchni środkowej płaszczyzną prostopadłą do osi pręta nazywamy linią środkową przekroju (konturem). Zakładamy, że ścianka nie traci stateczności przy deformacji i pomijamy naprężenia miejscowe związane z lokalnym przyłożeniem siły. Pomijamy też zjawiska koncentracji naprężeń w punktach ostrego załamania ścianki przekroju, wbudowania przewiązek, przepon itp. Mogą one osiągać znaczne wartości. Przyjmujemy, że spełnienie powyższych warunków dotyczących sposobu obciążenia pręta zapewniono odpowiednimi zabiegami konstrukcyjnymi.
Przekrój pręta podczas skręcania przestaje być płaski Zarówno obciążenia jak i reakcje oddziaływają na pręt w miejscach przewidzianych konstrukcyjnie, tzn. nie może być takich sił skupionych, których składowe oddziaływają prostopadle do nie przygotowanej do tego powłoki pręta.
Przy opisie problemu zastosujemy trzy prawoskrętne układy odniesienia: 1. Układ globalny η i kartezjański, ortogonalny, względem którego zdefiniowano geometrię całego obiektu i zbudowano równania równowagi. Oś η 1 jest równoległa do tworzących powłoki pręta, a osie η i η są głównymi sprowadzonymi środkowymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego. Układ krzywoliniowy (η,s) definiujący położenie rozpatrywanego punktu K na powierzchni środkowej (η η 1 ), będącą miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od obydwu powierzchni zewnętrznych powłoki pręta.
. Układ lokalny ξ i kartezjański, ortogonalny, styczny do powierzchni środkowej, względem którego określamy przemieszczenia u i oraz odkształcenia ε i, γ ij w punkcie K(ε i = η 1 ) ξ 1 ξ η 1 s K powierzchnia środkowa η=η 1 η ξ η Rys. Układy odniesienia stosowane w teorii prętów cienkościennych.
Materiałom składnikowym przypisane są następujące znane stałe materiałowe: - moduł Younga E i, - współczynnik Poissona i, - moduł Kirchoffa G i, - gęstość ρ i. Grubość powłoki pręta δ(η,s) może zmieniać się wraz ze zmianą współrzędnych η 1 i s. Podobnie przyjęto, że stałe materiałowe są również zależne od η 1 i s: E=E(η,s), G=G(η,s), =(η,s), ρ=ρ(η,s).
Dla określenia przemieszczenia punktu K przekroju zastosujemy współrzędne u i dane w układzie ξ i Dla określenia zachowania się całego przekroju użyto przesunięcia o współrzędnych i i obroty o współrzędnych ϕ i w układzie η i Przyjęto przy tym równoważne oznaczenia dla obrotu pręta wokół osi podłużnej ϕ 1 = Θ. Natomiast ϕ i ϕ są obrotami przekroju poprzecznego wokół jego głównych środkowych sprowadzonych osi bezwładności
Przyjmujemy, że zwroty dodatnie obciążeń zewnętrznych i sił przekrojowych są ustalone względem osi η i. Obciążenia przyłożone do pręta mogą być skupione, bądź ciągłe, o współrzędnych m i, q i danych w układzie η i.
W powłoce pręta panuje płaski stan naprężenia (PSN). Oznacza to, że w lokalnym układzie odniesienia σ =σ =σ =σ 1 = σ 1 =0.
Stąd przyjmujemy, że stan naprężenia w powłoce pręta jest reprezentowany przez poniżej zdefiniowane: -strumień naprężeń normalnych σ= σ(η,s)= σ 1 (η,s)δ(s) -strumień naprężeń stycznych: τ(η,s)= σ 1 (η,s)δ(s), 1 g d przy czym σ = ( σ + σ ) 1 1 1
oraz naprężenia de Saint-Venanta σ 1 δ s d g 1 = ( σ1 σ1) ξ
Powierzchnia środkowa PC ulega odkształceniom postaciowym γ = γ 1 ( η, ξ) = γ 1 ( η, s) = τ ( η, s) G( s) δ ( s) Oprócz podanych oznaczeń dla punktu K przekroju o współrzędnych η i posłużmy się następującymi wielkościami określającymi również jego położenie:
n, t odległość od punktu A, zwanego biegunem, odpowiednio od stycznej i normalnej do osi środkowej, α kąt nachylenia linii środkowej przekroju do osi 0η. Rys..6.
Definicja. Jako teorię 1-P (pierwszego przybliżenia), określamy taką teorię, w której odkształcenia postaciowe powierzchni środkowej PC są wynikiem TYLKO czystego skręcania. Tak więc w teorii 1-P obowiązuje: γ = γ ( s) = τ ( s) G( s) δ ( s) W przypadku przekrojów otwartych można stosować założenie (Własowa), że γ = 0
Definicja. Jako teorii -P i N-P kolejnych przybliżeń, odkształcenia γ i deplanacja przekroju zależą od wszystkich sił przekrojowych. Tak więc w teorii 1-P obowiązuje: γ = γ ( s) = τ ( s) G( s) δ ( s) W przypadku przekrojów otwartych można stosować założenie (Własowa), że γ = 0.
. Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju. Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Kluczowym punktem teorii PC jest wyznaczenie przemieszczeń przekroju. Jeżeli znamy przemieszczenia możemy określić naprężenia, a następnie siły przekrojowe. Rozpatrzmy dwa szczególne przypadki przemieszczenia dla punktów związanych z przekrojem, wywołane przemieszczeniami uogólnionymi: Przesunięciami liniowymi osi pręta o składowych i Obrotem osi Θ wokół pewnego punktu A.
. Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Weźmy linię środkową przekroju przedstawioną na poniższym rysunku.
. Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Punkt B doznaje, przy ruchu sztywnym przekroju, obrotu Θ oraz przemieszczeń liniowych B i B. Są one sumą przemieszczeń całego przekroju: i oraz przemieszczeń dodatkowych i wynikających z jego obrotu o kąt Θ, co zapisujemy:. ) (, ) ( :,, Θ = Θ = + = + = A B A B B B gdzie η η η η (.1) Po podstawieniu otrzymujemy ostatecznie:. ) (, ) ( Θ + = Θ = A B B A B B η η η η (.)
. Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Znajdziemy teraz punkt, który nie doznaje przesunięcia. Podstawiając powyższego wzoru B = B =0, otrzymamy: η B = η A Θ Θ, η = η B A +. (.) Są to współrzędne punktu B nie zmieniającego swego położenia w płaszczyźnie przekroju pręta. Wszystkie inne punkty ulegają przesunięciom liniowym i obrotowi.
.1. Przemieszczenia punktu leżącego na linii środkowej przekroju.1. Przemieszczenia punktu leżącego na linii środkowej przekroju dane w układzie lokalnym Rozpatrzmy linię środkową przekroju podaną na rysunku. Pokazano tam przemieszczenia ik punktu K w układzie globalnym η i pręta. Rzutując je na osie układu lokalnego ξ i piszemy: u = K cosα + K sinα, (.4) u = K sinα + K cosα. (.5)
.1. Przemieszczenia punktu leżącego na linii środkowej przekroju Rys..1.