Rozdzał Weloryteralne problemy wyznaczana tras w secach omputerowych Zbgnew TARAATA Wojsowa Aadema Technczna, Wydzał Cybernety Zbgnew.Tarapata@s.wat.edu.pl Streszczene W pracy przedstawono weloryteralne podejśce do problemów routngu w secach omputerowych. Zdefnowano najważnejsze rytera, tóre projetanc sec omputerowych borą pod uwagę onstruując algorytmy routngu. Następne sformułowano zadane wyznaczana routngu w sec jao zadane optymalzacj weloryteralnej (z wetorową funcją celu. Opsano metody rozwązywana sformułowanego zadana optymalzacj weloryteralnej przedysutowano ch własnośc. Szczególny nacs położono na ops sposobu przystosowana stnejących algorytmów routngu do rozwązana sformułowanego problemu weloryteralnego.. Wprowadzene roblemy wyznaczana tras (ang. routng są jednym z najstotnejszych zastosowań metod badań operacyjnych nformaty teoretycznej w secach omputerowych. Z tego też względu jest wele prac pośwęconych tym problemom [4], [5], [0], [2], [2], [22], [27]. Zadana wyznaczana tras są często utożsamane z zadanam sterowana ruchem (przepływem, co ne do ońca jest uzasadnone. Różnce wynają w sformułowanach tych dwóch problemów [0]: celem zadań wyznaczana tras jest optymalna aloacja zasobów dla znanego ruchu generowanego przez źródła, celem zadana sterowana przepływem oraz przecwdzałana przecążenom jest defnowane warunów, w tórych oneczne jest ogranczane lośc ruchu, a w raze onecznośc ogranczena (dławena lośc wprowadzanego obsługwanego ruchu, ta sposób aloacj ogranczonych zasobów, tóry gwarantuje zadany pozom jaośc obsług ruchu.
2 Z. Tarapata onadto stneje jeszcze jedna podstawowa różnca mędzy zadanam wyznaczana tras, a sterowana ruchem: te perwsze formułuje sę rozwązuje na etape projetowana sec, tzn. na etape zabezpeczana zasobów w ogólnym przypadu są zadanam sterowana prewencyjnego; te druge są formułowane rozwązywane na potrzeby zarządzana dostępem do sec ruchem w sec, tzn. na etape aloacj zasobów. Najczęścej stosowane rytera wyboru trasy zależą od podstawowej charaterysty jaą jest jaość obsług QoS (ang. Qualty of Servce [6], [0], [22]. Są to: mnmalzacja lczby utraconych paetów; mnmalzacja masymalnego opóźnena dotarca paetu do celu; mnmalzacja lczby tras (w przypadu routngu z weloma równoległym (rozłącznym trasam; mnmalzacja przecążena, merzonego np. średną wartoścą ruchu przechodzącego przez łącze; mnmalzacja czasu przesyłana ze źródła do ujśca; mnmalzacja długośc trasy; mnmalzacja prawdopodobeństwa nezdatnośc trasy lub masymalzacja prawdopodobeństwa jej zdatnośc. Jednoryteralne sformułowana problemów routngu wyorzystują zdefnowane powyżej rytera. To, jae metody rozwązywana zdefnowanych problemów jednoryteralnych zostaną wyorzystane zależy w pratyce od odpowedz na następujące pytana: czy chcemy wylczać trasy statyczne (lasyczny algorytm Djstry, algorytm A [3], [9], czy dynamczne (dopasowując sę do obcążena [8], [2]; czy w sec występują zależnośc stochastyczne [7], [3], [4], [5], [8], [24], [25]; czy wylczamy drogę dla jednego zadana, czy równolegle dla welu (np. rozłącznym trasam transmtując głos obraz [], [6], [7], [9], [20], [23], [25]; czy planujemy wylczane alternatywnych tras, czy ne [9], [27]. W welu przypadach podejśce jednoryteralne w zagadnenach routngu ne wystarcza. Dla przyładu, autorzy pracy [5] zajmują sę dwuryteralnym modelem routngu w welousługowych secach szybch. Częstym sojarzenem dwóch ryterów są sytuacje, w tórych żądamy szybego, ale nezawodnego dostępu do usług. Wówczaefnujemy problem dwuryteralny: z czasem transmsj (realzacj usług oraz prawdopodobeństwem jej poprawnego zrealzowana. Innym przyładem pary, często sprzecznych, ryterów są: szybość jaość. rzyładów zastosowana lu ryterów do oceny routngu jest wele, a o netórych z nch tratują prace [0], [2], [22], [24], [25]. Celem nnejszej pracy jest sprecyzowane weloryteralnego modelu oceny routngu oraz ocena metod rozwązywana weloryteralnych zadań routngu, z uwzględnenem możlwośc adaptacj wyorzystywanych w secach omputerowych algorytmów routngu (np. najbardzej popularnego algorytmu Djstry. 2. Model sec routngowej Zdefnujmy struturę sec, w tórej doonywać będzemy routngu : G = N G, A G ( G graf Berge a, N G zbór werzchołów grafu, N G ={,2,...,N}, A G zbór łuów grafu, AG = { n, n' : n, n' N G }, A G =A; t=[t n,n ] NxN K-wymarowy wetor macerzy opsujący czasy przetwarzana (transmsj K zadań na łuach grafu G,
Weloryteralne problemy routngu w secach omputerowych 3 t, = t, t,..., t,..., t, t neujemna wartość oreślająca czas przetwarzana n, n ' n n' n, n' 2 n, n' n, n' K n, n' (transmsj -tego zadana po łuu nn, ' (gdy n n lub wewnątrz werzchoła n (gdy n=n. W ogólnym przypadu, na werzchołach oraz na łuach grafu G będzemy meć zdefnowane zbory funcj opsujących charaterysty werzchoła (lub łuu, tae ja: czas transmsj, odległość, przepustowość, nezawodność, tp. rzypomnjmy, że w lasycznym ujęcu werzchołam grafu G są przełączn (routery sec, a łu opsują fzyczne połączena mędzy werzchołam G (patrz Rysune. (a 3 4 2 2 5 6 3 6 4 3 4 7 2 8 = (, 2 = (7,8 (b Rys. Seć routerów (a oraz model grafowy (b wraz z macerzam t t 2 czasów transmsj mędzy poszczególnym routeram oraz zaznaczonym werzchołam źródłowym s =(,2 docelowym d =(7,8 s d 0 3 0 4 2 0 6 2 3 4 0 4 3 2 t = t = 2 0 6 4 0 3 0 2 0 Nech I ( (, ( oraz T ( (, ( opsują drogę prostą oraz czasy osągnęca werzchołów na tej drodze dla -tego zadana: I ( s (, d ( = ( = s (, (,..., r (,..., ( = d ( (2 0 R ( 0 R ( τ τ τ τ r T ( (, ( = (, (,..., (,..., ( (3 r r gdze ( - r-ty werzchołe na drodze -tego zadana; τ ( - czas osągnęca r-tego werzchoła na drodze dla -tego zadana, r r 0 0 (, ( m m (, ( m m (, ( m= τ ( = t + t + t, r =, R, =, K (4
4 Z. Tarapata 3. Model weloryteralnego routngu w sec rzedstawmy obecne model weloryteralnego routngu w sec omputerowej. Załadać będzemy, że routngow podlega - w ogólnym przypadu - K zadań, tóre należy transportować z werzchołów początowych opsanych za pomocą wetora s s s s s = (, (2,..., (,..., ( K do werzchołów docelowych opsanych za pomocą ( d d d d d wetora ( (, (2,..., (,..., ( K =. Dla K= mamy lasyczny przypade routngu dla pojedynczego zadana. onadto zdefnujemy funcje ocenające wyznaczane trasy, o tórych załadać będzemy, że posadają pewne własnośc (np. addytywność. 3.. Sformułowane problemu routngu przy welu ryterach jao zadana optymalzacj weloryteralnej 3... Sformułowane ogólne zadana optymalzacj z wetorową funcją celu Oznaczmy przez M( s, d zbór dopuszczalnych K-wymarowych wetorów dróg w grafe G z wetora werzchołów początowych o wetora werzchołów ońcowych d, a przez I( s, d element zboru M( s, d. Zwróćmy uwagę, że I( s, d jest wetorem, tórego sładowym są drog proste dla ażdego -tego zadana zdefnowane przez (2. Ustalmy równeż, że wszędze tam, gdze ne będze to prowadzło do neporozumeń zaps I będze równoważmy zapsow I( s, d (pomjamy s oraz d w zapse. Dysponujemy -sładowym wetorem yi ( = F( I, F2( I,..., F ( I funcj ryterów ocenających wetor tras I M( s, d. Funcje te mogą oreślać charaterysty trasy tae, ja: czas transmsj, odległość, przepustowość, nezawodność, tp. Możemy zatem powedzeć, że na zborze M( s, d zdefnowalśmy wetorową funcję celu o postac: yi ( = F( I, F( I,..., F( I, I M( s, d (5 2 roblem routngu w sec możemy obecne zdefnować jao problem optymalzacj weloryteralnej następująco: D M (,, y( I, R (6 D D D gdze R Y (, Y (, jest relacją domnowana w następującej przestrzen D ryteralnej Y (, : { 2 } { ( m, ( n (, (, : ( ( m, ( n } D Y (, = y( I = F( I, F ( I,..., F ( I : I M(, (7 D D D R y I y I Y Y y I y I = Ψ (8 gdy wetor dróg Im jest lepszy od wetora In Ψ ( yi ( m, yi ( n = (9 0 w przecwnym przypadu
Weloryteralne problemy routngu w secach omputerowych 5 roblem (6 możemy rozwązywać stosując różne metody poszuwana tzw. rozwązań nezdomnowanych (lub domnujących jeżel nepusty, od tórych ne ma lepszych w sense przyjętej wetorowej oceny rozwązana. Zbór wynów domnujących jest równy: Y (, = y( I Y (, : y( I, z( I R D z( I Y (, z( I y( I DM D D (0 Zbór rozwązań domnujących jest wyznaczany jao przecwobraz zboru Y DM, tzn. { } DM DM M (, = I M(, : y( I Y (, ( Zbór wynów nezdomnowanych jest równy: Y (, = y( I Y (, : ~ z( I, y( I R ND D D D z( I Y (, z( I y( I Zbór rozwązań nezdomnowanych jest wyznaczany jao przecwobraz zboru Y ND, tzn. { } (2 ND ND M (, = I M(, : y( I Y (, (3 3..2. rzyład sformułowana zadana routngu jao zadana optymalzacj dwuryteralnej rzyjmjmy, że na ażdym łuu nn, ' grafu ( opsana jest dodatowo funcja F ( nn, ' t, tóra oreśla prawdopodobeństwo zdatnośc łuu przez czas t: Fnn, '( t = ( γ nn, ' t, γ n,n dodatna zmenna losowa reprezentującą czas życa łuu nn, '. Załadamy, że zmenne γ n,n są nezależne dla ażdej pary łuów. rzyjmemy równeż założene, że czas lczony jest od momentu, edy łu zaczyna pracować (np. przesyłany jest po nm paet. Wówczas możemy dla ażdego wetora dróg w grafe G zdefnować prawdopodobeństwo, że wszyste drog będą zdatne w sposób następujący: K R ( I F ( t r r r (, r ( (, ( r (, = (4 = r= Zdefnujmy równeż czaotarca przez wszyste K zadań do ch werzchołów docelowych, jao czaotarca najpóźnejszego zadana (5a lub sumę czasów dotarca wszystch zadań (5b, tzn.: ( {,..., K} ( R TI (, = max τ ( (5a R TI (, = τ ( (5b {,..., K} Wówczas wetorowa funcja celu (5 przyjme postać:
6 Z. Tarapata tzn. F (I=T(I, F 2 (I=r(I. rzestrzeń ryteralna (7 będze mała postać: yi ( = TI (,r( I, I M( s, d (6 { } D Y (, = y( I = T( I,r( I : I M(, (7 natomast funcja zdanowa (9 będze zdefnowana następująco: gdy T( Im T( In r( Im r( In Ψ ( yi ( m, yi ( n = (8 0 w przecwnym przypadu Zwróćmy uwagę, że równoważne, ale mnej formalne sformułowane tego zadana może wyglądać następująco: wyznaczyć tae I ( s, d M ( s, d, aby ( (, = mn ( (, I(, M(, ( I = ( I T I T I r (, max r (, I(, M(, 3.2. Metody rozwązywana weloryteralnych zadań routngu Idee metod rozwązywana zadana (6 przedstawmy na przyładze zadana dwuryteralnego zdefnowanego w rozdzale 3..2. 3.2.. Metoda rozwązań ompromsowych Aby znaleźć rozwązane ompromsowe zadana (6 z wetorową funcją celu (6 należy najperw wyznaczyć: T = mn T( I(, (20 I(, M(, I(, M(, (9 = max r( I(, (2 Sposób wyznaczena T oraz opsano na ońcu podrozdzału. Mając T oraz r( I T( I możemy zdefnować r( I, T( I T otrzymując znormalzowaną wetorową funcję celu: hi ( T( I r( I, T (22 przy założenu, że T 0 oraz 0. Ja łatwo zauważyć T( I oraz r( I, I M(, otrzymujemy znormalzowany punt dealny h = (,.
Weloryteralne problemy routngu w secach omputerowych 7 Stosując metodę rozwązań ompromsowych z parametrem p wyorzystujemy metryę ε p w przestrzen Y D (, zdefnowanej zgodne z (7, ale zamenając TI ( na TI ( oraz r( I na r( I [] : ε 2 p p( h, h( I = h, h( I = hn hn( I p n= p (23 gdze n oznacza lczbę ryterów (dla rozważanego przyładu n=2. Zwróćmy uwagę, że metrya (23 defnuje różne odległośc od rozwązana dealnego: dla p= otrzymujemy sumę odchyleń bezwględnych od deału; dla p=2 otrzymujemy normę euldesową (w przestrzen dwuwymarowej = odległośc geometrycznej mędzy dwoma puntam; dla p= otrzymujemy normę Czebyszewa (mnmalzację masymalnej różncy mędzy wartoścą dealną tóregoś ryterum, a jego wartoścą atualną; Na przyład dla p= otrzymujemy: Z warunu, że ( T I 0 oraz T ε T( I r( I ( h, h( I = T + (24 r( I 0 otrzymamy T( I r( I T( I r( I ε ( h, h( I = + = (25 T T Dla wynu ompromsowego h 0 spełnony będze warune : 0 T( I r( I ε(, h h ( I = mn ε (, h h( I = mn (26 I M(, I M(, T c Rozwązane ompromsowe I M(, (dla p= jest to tae rozwązane, dla tórego formuła (26 jest spełnona. Metoda rozwązań ompromsowych gwarantuje nam uzysane rozwązana c ND nezdomnowanego, tzn. I M (,. Sposób wyznaczena T oraz zależy przede wszystm od lczby K zadań, dla tórych wyznaczamy trasy. Jeżel K=, wówczas mamy do czynena z lasycznym zadanem wyznaczana drog najrótszej w sec mędzy ustaloną parą werzchołów, tóre dla funcj T(( I, możemy rozwązać algorytmem Djstry lub jedną z jego szybch modyfacj (np. A [8] lub wersją zmodyfowaną opartą o wydajne strutury danych (opce Fbbonacego, drzewa d-arne [3]. Dla funcj r( I (, możemy zastosować podejśce opsane w [3], [4], [5], [24], [25]. Oazuje sę, że mmo ż funcja r( I (, jest wylczana w sposób multplatywny (loczyn prawdopodobeństw, to można otrzymać wersję addytywną w sposób następujący: K R ( I F ( t r r r (, r ( (, ( ˆr (, ln =. Otrzymane rozwązana (tzn. (, = r= I zarówno dla
8 Z. Tarapata funcj r( I (,, ja ˆr( ( s, d I będą dentyczne. Sytuacja ompluje sę, gdy K>. Jeżel będzemy poszuwal dróg rozłącznych dla K zadań wówczas nawet dla K=2 funcj T( I(, problem jest N-trudny oblczenowo można jedyne wyznaczać rozwązana przyblżone. O problemach algorytmach dróg rozłącznych dla K=2 tratują prace [], [6], [20], [23] natomast o ogólnym probleme dróg rozłącznych można przeczytać w [7], [9], [24], [25]. 3.2.2. Metoda herarchzacj funcj celu Metoda herarchzacj funcj celu polega na tym, że w zborze funcj ryterów wprowadza sę relację ważnośc, tóra porząduje te funcje począwszy od najważnejszej do najmnej ważnej (mów sę o tzw. porządu lesyografcznym []. h Rozwązane I M(, poszuwane jest w ten sposób, że rozwązujemy cąg zadań jednoryteralnych począwszy od najważnejszej funcj ryterum, po rozwązanu tego zadana do zboru ogranczeń dodajemy ogranczene o postac: wartość najważnejszej funcj ryterum mus być równa jej wartośc optymalnej, po czym rozwązujemy (z tym nowym zborem ogranczeń olejne zadane jednoryteralne borąc drugą, co do ważnośc, funcję ryterum, po rozwązanu dodajemy ogranczene z ną zwązane, td. ostępowane jest ontynuowane aż rozwążemy zadane dla ostatnej funcj ryterum, bądź na etapach wcześnejszych stwerdzmy, że atualny zbór rozwązań dopuszczalnych jest jednoelementowy. Stosuje sę równeż metody herarchzacj z relasacją funcj ryterów, osłabając dodawany po ażdym etape oblczeń warune ogranczający. Metoda herarchzacj funcj celu gwarantuje nam uzysane rozwązana h ND nezdomnowanego, tzn. I M (,. 3.2.3. Metody z wyorzystanem funcj metaryterum W metodach tych onstruuje sę pewną funcję zwaną funcją metaryterum, tóra nejao scala wszyste rytera cząstowe. Stosuje sę dwa podejśca do defnowana funcj metaryterum: w perwszym funcja metaryterum ma postać średnej ważonej ryterów cząstowych, w drugm doonuje sę mnmalzacj masymalnych odchyleń sładowych funcj ryterów od ch wartośc dealnych (analoga do metody rozwązań ompromsowych z parametrem p=. Funcję metaryterum w postac średnej ważonej ryterów cząstowych z wagam α dla -tego ryterum defnuje sę następująco (przy założenu, że wszyste rytera cząstowe podlegają mnmalzacj: F F ( I F ( I MF( I = α F ( I (27 = R ( I r r+ r= 0 ( I = = = 0 F mn F( mn ( I F x I M(, I M(, f ( n, n, =,, (28
Weloryteralne problemy routngu w secach omputerowych 9 gdze: f (, opsuje -tą funcję łuową grafu G (2. Najczęścej przyjmuje sę, że zestaw wag mus spełnać następujące warun: = nezdomnowanych, tzn. I MF M ND ( s, d α [0,], =,, α =. Gwarantuje nam to (patrz [] otrzymane rozwązań. Zadane wyboru optymalnego wetora dróg możemy sformułować następująco: I MF M s, d, że wyznaczyć tae ( ( MF MF I = mn MFI (, ( (29 I M roblem ten można rozwązać wyorzystując algorytm Djstry z jedną funcją łuową : f ( nn, ' mf ( n, n' = α, n, n' N 0 G (30 = F Można poazać [4], [24], że funcja łuowa (30 umożlwa wyznaczene MF ND I M (, używając algorytmu Djstry przy założenu, że perwotne funcje łuowe f, f 2,..., f są neujemne addytywne. 3.2.4. Inne metody Do rozwązywana zadań weloryteralnego routngu wyorzystuje sę równeż nne podejśca, np. wartośc dopuszczalnych (rytycznych, ε-domnowana wetorów [26], syntezy logcznej, uogólnonej syntezy logcznej []. Metoda wartośc dopuszczalnych polega na tym, że netóre z funcj ryterów wchodzą do zboru ogranczeń wprowadzając dodatowe ogranczene na dolny lub górny próg wartośc ryterum. Dla przyładu zadane (9 można według tego podejśca zapsać następująco: wyznaczyć tae I ( s, d M ( s, d, aby r ( I (, max r ( I(, I(, M(, przy dodatowym ogranczenu: ( ( T I, T0 ryterum T (. = (3, gdze T 0 ustalona wartość rytyczna Metoda ε-domnowana wetorów wyorzystuje następującą defncję: Defncja Mówmy, że wetor a = a, a2,..., a ε-domnuje wetor b = b, b2,..., b dla ustalonego ε 0, co zapsujemy a ε b, jeżel zachodz : a ( + ε b (32 =,
0 Z. Tarapata Następne relację domnowana (8 zastępujemy relacją ε-domnowana opartą o (32 rozwązujemy zadane wyznaczena drog ε-najrótszej, tóra, zgodne z defncją (32, charateryzowała sę będze tym, że wartość ażdego ryterum dla nej będze ne gorsza nż (+ε razy od wartośc optymalnej tego ryterum. Wyorzystane de ε-domnowana w zastosowanu do znajdowana przyblżonego rozwązana problemu najrótszych dróg przy welu ryterach zostało szczegółowo opsane w [26]. 4. odsumowane W pracy przedstawono weloryteralne podejśce do problemów routngu w secach omputerowych. Zdefnowano najważnejsze rytera, tóre projetanc sec omputerowych borą pod uwagę onstruując algorytmy routngu, a następne na ch baze zdefnowano model weloryteralnej oceny routngu. Opsane problemy, modele metody ne wyczerpują oczywśce mnogośc zagadneń, tóre z tym sę wążą. Zasygnalzowano jedyne tae problemy, ja: wyznaczane dróg rozłącznych, stochastyczne zależnośc w sec routngowej, zależność charaterysty sec od czasu, td. Są to problemy często bardzo złożone (równeż oblczenowo, do rozwązana tórych wyorzystuje sę ne tylo lasyczne algorytmy dróg estremalnych w secach, ale równeż algorytmy genetyczne, sec neuronowe, algorytmy randomzowane nne. LITERATURA. Ameljańczy A.: Optymalzacja weloryteralna w problemach zarządzana sterowana. Ossolneum, Kraów 984. 2. Boyan J., Mtzenmacher M.: Improved results for route plannng n stochastc transportaton networs. roceedngs of the Twelfth Annual ACM-SIAM Symposum on Dscrete Algorthms (roceedngs n Appled Mathematcs 03, Washngton 200, 895-902. 3. Cherassy B., Goldberg A., Radz T.: Shortest paths algorthms: theory and expermental evaluaton. roceedngs of the ffth annual ACM-SIAM symposum on Dscrete algorthms, Arlngton, Vrgna, Unted States (994, 56 525. 4. Cdon I., Rom R., Shavtt Y.: Analyss of mult-path routng. IEEE/ACM Transactons on Networng, Volume 7, Issue 6 (December 999, 885 896. 5. Clímaco, J., Cravernha, J., ascoal, M. : A bcrteron approach for routng problems n multmeda networs. Networs, Vol. 4(4 (2002, pp 206-220. 6. Comer D.: Sec omputerowe ntersec. WNT, Warszawa 2003. 7. Corea G.A., Kularn V. G.: Mnmum cost routng on stochastc networs. Operatons Research 38 (990: 527-536. 8. Djdjev H., antzou G., Zarolags C.D.: On-lne and dynamc algorthms for shortest path problems. Lecture Notes n Computer Scence, vol.900 (995, 93-204. 9. Eppsten D. : Fndng the K shortest aths. SIAM Journal of Computng, 28(2 (999: 652-673. Węcej lteratury zwązanej z tematyą artyułu znajduje sę pod adresem: http://tarapata.strefa.pl/publacje/mult_crtera_routng.htm.
Weloryteralne problemy routngu w secach omputerowych 0. Grzech A.: Sterowane ruchem w secach telenformatycznych. Ofcyna Wydawncza oltechn Wrocławsej, Wrocław 2002.. Jongh A., Gendreau M., Labbe M.: Fndng dsjont routes n telecommuncatons networs wth two technologes. Operatons Research 47 (999: 8-92. 2. Kerbache L., Smth J. : Mult-objectve routng wthn large scale facltes usng open fnte queueng networs. European Journal of Operatonal Research 2 (2000, 05-23. 3. Korzan B. : Metoda wyznaczana dróg ompromsowych w zawodnych secach serowanych. Buletyn WAT 7 (982: 2-36. 4. Korzan B.: Metoda wyznaczana dróg nezdomnowanych w zawodnych secach serowanych. Buletyn WAT (983: 2-33. 5. Korzan B. : Optymalzacja dróg w zawodnych secach serowanych. Buletyn WAT 6 (983: 69-85. 6. L C.L., McCormc S.T., Smch-Lev D. : The complexty of fndng two dsjont paths wth mn-max objectve functon. Dscrete Appled Math. 26 (990: 05-5. 7. L C.L., McCormc S.T., Smch-Lev D.: Fndnd dsjont paths wth dfferent path-costs: Complexty and algorthms. Networs 22 (992: 653-667. 8. Lou R.. : Optmal paths n graphs wth stochastc or multdmensonal weghts. Comm. Assoc. Comp. Mach. 26 (983: 670-676. 9. Schrjver A., Seymour. : Dsjont paths n a planar graph a general theorem. SIAM Journal of Dscrete Mathematcs 5 (992: 2-6. 20. Sheral H., Ozbay K., Subramanan S. : The tme-dependent shortest par of dsjont paths problem: complexty, models and algorthms. Networs 3 (998: 259-272. 2. Shoubrdge.: Adaptve Strateges for Routng n Dynamc Networs. Doctor s Thess, School of hyscs and Electronc Systems Engneerng, Unversty of South Australa, 996. 22. Slva R., Cravernha J.: An Overvew of Routng Models for MLS Networs. Frst Worshop on Multcrtera Modellng n Telecommuncaton Networ lannng and Desgn, Faculty of Economcs of the Unversty of Combra, September 2004. 23. Suurballe J.W., Tarjan R.E.: A quc method for fndng shortest pars of dsjont paths. Networs 4 (984: 325-336. 24. Tarapata Z.: Optmzaton of many tass sendng n an unrelable parallel computng system. roceedngs of Regonal Conference on Mltary Communcaton and Informaton Systems, (Zegrze, oland, October 06-08 999, vol. III, 245-254. 25. Tarapata Z.: Mult-paths optmzaton n unrelable tme-dependent networs. roceedngs of The Regonal Conference on Mltary Communcaton and Informaton Systems, 04-06 October, Zegrze (oland 2000, vol.i, 8-89. 26. Warburton A.: Approxmaton of areto optma n multple-objectve, shortest-path problems. Operatons Research 35 (987: 70-79. 27. Zappala D.: Alternate ath Routng for Multcast, IEEE/ACM Transactons on Networng, Volume 2, Issue (February 2004, 30 43.