ZASTOSOWANIE TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH W HARMONOGRAMOWANIU ROBÓT BUDOWLANYCH METODĄ ŁAŃCUCHA KRYTYCZNEGO

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH W HARMONOGRAMOWANIU ROBÓT BUDOWLANYCH METODĄ ŁAŃCUCHA KRYTYCZNEGO Janusz KULEJEWSKI, Nab IBADOV, Bogdan ZIELIŃSKI Wydzał Inżyner Lądowej, Poltechna Warszawsa, Al. Arm Ludowej 6, Warszawa Streszczene: W referace przedstawono nowe podejśce do problemu harmonogramowana robót budowlanych metodą łańcucha rytycznego. Nowoścą przedstawonego podejśca jest uwzględnene neprecyzyjne oreślonych parametrów rozładu prawdopodobeństwa czasów wyonana robót. W celu dentyfacj łańcucha rytycznego oraz wyznaczena buforów w harmonograme budowy, wyorzystano teorę zborów rozmytych oraz zmodyfowane zasady arytmety lczb rozmytych. Dla wyznaczena buforowanego harmonogramu nerozmytego, wyorzystano oncepcję -przerojów lczby rozmytej. Poprawność przyjętych założeń wyazano na podstawe wynów przeprowadzonych symulacj. Słowa luczowe: łańcuch rytyczny, buforowane harmonogramu, zbory rozmyte.. Wstęp Coraz częścej w zarządzanu projetam stosuje sę metodę łańcucha rytycznego, wprowadzoną przez Goldratta (997). Charaterystyczną cechą projetów budowlanych jest nepowtarzalność warunów realzacj robót. Dlatego, opne espertów o wpływe różnych czynnów na czas wyonana danej roboty mogą być zróżncowane. Wtedy, parametry rozładów prawdopodobeństwa czasu wyonana tej roboty ne zostają precyzyjne oreślone. Teora zborów rozmytych umożlwa wyorzystane neprecyzyjnych nformacj w procesach zarządzana projetam (Kuchta, 00). Celem artyułu jest przedstawene możlwośc wyorzystana teor zborów rozmytych w metodze łańcucha rytycznego.. Ustalene rozmytych parametrów rozładów prawdopodobeństwa czasów wyonana poszczególnych robót Załóżmy, że N espertów szacuje neznany czas wyonana pewnej roboty. Zgadzają sę, że czas jej wyonana jest zmenną losową o trójątnym rozładze prawdopodobeństwa z parametram a (czas optymstyczny), b (czas pesymstyczny) c (czas najbardzej prawdopodobny). Natomast, różną sę w ocenach wartośc lczbowych parametrów tego rozładu (rys. ). f(t) µ(t),0 a () a () a (N) c () c () c (N) b () b () b (N) t A C D B a a a 3 a 4 c c c c 3 4 d d d d 3 4 b b b b 3 4 t Rys.. Modelowane opn espertów transformacja ształtu opn Nech A oznacza zbór możlwych wartośc parametru a. Jeżel, w opn espertów, ażda z wartośc a (), a (),..., a (N) w jednaowym stopnu przynależy do zboru A, to neprecyzyjne oreśloną wartość parametru a modeluje lczba przedzałowa Ā = [a (), a (N) ]. Natomast, jeżel netóre z wartośc a (), a (),..., a (N) parametru a przynależą, w opn espertów, do zboru A w wyższym stopnu nż pozostałe, to neprecyzyjne Autor odpowedzalny za orespondencję. E-mal: j.ulejews@l.pw.edu.pl 33

2 Cvl and Envronmental Engneerng / Budownctwo Inżynera Środowsa (0) oreśloną wartość parametru a modeluje lczba rozmyta Ã. Załóżmy, że esperc ocenają, ż do zboru A w najwyższym stopnu przynależy wartość parametru a, wyznaczona jao: a śr = N N a n, () n= gdze: N jest lczbą espertów, a a n jest wartoścą oceny według n-tego esperta. W tam przypadu, neprecyzyjne oreśloną wartość parametru a modeluje trójątna lczba rozmyta à = (a, a, a 3 ), gdze a = a (), a = a śr, a 3 = a (N). Z ole, gdy esperc ocenają, ż wartośc parametru a z pewnego podprzedzału [a, a 3 ] [a (), a (N) ] przynależą do zboru A w stopnu wyższym, nż nne wartośc parametru a z przedzału [a (), a (N) ], to neprecyzyjne oreśloną wartość parametru a modeluje lczba rozmyta trapezowa à = (a, a, a 3, a 4 ) gdze a = a (), a 4 = a (N). W podobny sposób można modelować neprecyzyjne oreślone wartośc parametrów b oraz c. W referace, zajmujemy sę przypadem modelowana wartośc parametrów a, b c za pomocą lczb rozmytych A = T j opt, C = T j np, B = T j pes o trapezowych funcjach przynależnośc. Medany T j0, rozładów prawdopodobeństwa czasów wyonana poszczególnych robót wyznaczamy na podstawe opn espertów, modelowanych za pomocą funcj przynależnośc ja na rysunu. Korzystając z właścwośc rozładu trójątnego, można wyznaczyć lczby rzeczywste w uporządowanej czwórce tworzącej rozmytą medanę T j0, = D = ( d j,, d j,, d j,3, d j, 4) : ( b j, a j, )( c j, a j, ) a j, + ; b j, a j, =,...,4 c j, > d j, = () ( b j, a j, )( b j, c j, ) b j, ; b j, a j, =,...,4 c j, 3. Wyznaczene harmonogramu rozmytego dla pesymstycznych oszacowań czasów wyonana robót Prade (979) oraz Chanas Kamburows (98) wyazal możlwość wyznaczana najwcześnejszych termnów rozmytych rozpoczynana ẼS j zaończena ẼF j poszczególnych robót na podstawe ponższych zależnośc: ES j = max { ES T }, Prec{( j)} j j j = EF (3) = ES T, j,,..., J, (4) gdze Prec{(j)} jest zborem poprzednów czynnośc j w modelu secowym budowy. Rozmyty termn T zaończena realzacj budowy można ustalć jao (Lorterapong Moselh, 996): T = EF J. () Z ole, do wyznaczana rozmytych termnów najpóźnejszych można wyorzystać następujące zależnośc (np. Hape Słowńs, 996): ) dla wyznaczena termnu najpóźnejszego zaończena LF roboty : LF j = mn { LF ( T )} gdy Succ{( )}, j Succ{( )} j LF = T gdy Succ {( )} =, (7) gdze Succ{()} jest zborem następnów czynnośc w modelu secowym budowy; ) dla wyznaczena termnu najpóźnejszego rozpoczynana LS roboty : LS = LF ( T ). (8) Jedna, dla dwóch lczb rozmytych X = ( x, x, x3, x4) Y = ( y, y, y3, y4) ne zachodzą zależnośc, oczywste dla dwóch lczb rzeczywstych x y. Dlatego, jeżel operację odejmowana lczb rozmytych przeprowadza sę zgodne z zależnoścą podaną przez Dubosa Prade (978): ( X Y ) = ( x y, x y, x y, x y ), (9) (6) to lczba Z = X ( Y ) może zawerać sładn ujemne. Utrudna to analzę rozmytego modelu secowego budowy. W celu usunęca tej trudnośc, można wyorzystać modyfację odejmowana trapezowych lczb rozmytych, podaną przez Rama Rommelfangera (99). Zgodne z tą modyfacją, sładn uporządowanej czwór tworzącej lczbę Z = X ( Y ) wyznacza sę następująco: z = max{0,( x ( x 3 3 y )} max{0,(( x y ))} max{0,( y 4 x 4 )}, y ) (0) 33

3 Janusz KULEJEWSKI, Nab IBADOV, Bogdan ZIELIŃSKI z z z = mn{( x y),( x3 y3)} max{0,( y4 4 )}, () x = x3 y3 max{ 0,( y4 4 )}, () 3 x = max{ 0,( x4 4 )}. (3) 4 y Jeżel pesymstyczny czas wyonana roboty j jest wyrażony przez lczbę T j pes = ( b j,, b j,, b j,3, b j, 4 ), a najpóźnejszy termn zaończena roboty j jest wyrażony przez lczbę LF j pes = ( lf j,, lf j,, lf j,3, lf j, 4), to na podstawe wzorów (0) - (3) można wyznaczyć sładn uporządowanej czwór tworzącej lczbę LS j pes = LF j pes ( T j pes). Dzę temu, można opracować rozmyty harmonogram budowy dla najpóźnejszych termnów realzacj robót o czasach wyonana T j pes. 4. Identyfacja łańcucha rytycznego wyznaczene buforów W celu dentyfacj łańcucha rytycznego wyznaczena buforów, najperw ustalamy długość L ażdej śceż p w modelu secowym budowy. Do oblczeń przyjmujemy czasy wyonana T j pes poszczególnych robót. Wyorzystując metodę porównywana lczb rozmytych podaną przez Kuchtę (00), wyznaczamy stopeń możlwośc Π ( L Ln); n, że śceża p ne oaże t t sę rótsza od śceż p n. Nech L [ L, t = l l U ], t t L [ n L, n t n = l l U ] będą t-pozomam lczb L L n, t [0, ]. Wówczas: t t ( U n L Π L Ln ) = ε ε = sup{ t : l l, t [0, ]}. (4) Z ole, wyorzystując metodę podaną przez Changa (996), wyznaczamy stopeń możlwośc, że śceża p ne oaże sę rótsza od żadnej z pozostałych śceże w modelu secowym budowy: Π( L =, L, L,,..., n; n..., L ) = mn Π( L L ); P; n P; n, () gdze P jest zborem śceże w modelu secowym. Jao łańcuch rytyczny (CC), wyberamy śceżę p o masymalnej wartośc stopna możlwośc Π( L L, L,..., Ln); P ; n P; n. Jednocześne, dentyfujemy łańcuchy zaslające (FC). Następne, wyznaczamy rozmytą rezerwę wyonana ażdej roboty: R j czasu R j = T j pes T j0,. (6) Do operacj odejmowana lczb rozmytych, wyorzystujemy wzory (0)-(3). Należy zwrócć uwagę, że ze względu na sposób wyznaczena rozmytych parametrów trójątnego rozładu prawdopodobeństwa czasu wyonana roboty budowlanej, ażda rezerwa R j oazuje sę być sngletonem: R j = ( rj, rj, rj, rj ). Na tej podstawe, wyznaczamy: bufor projetu PB: r CC PB =, (7) gdze jest ndesem danej czynnośc w łańcuchu rytycznym, bufory zaslające FB n : FB n = r m, (8) m FC n gdze: n jest ndesem danego łańcucha zaslającego, a m jest ndesem olejnej czynnośc w tym łańcuchu.. Wyznaczene zbuforowanego harmonogramu nerozmytego W celu wyznaczena zbuforowanego harmonogramu nerozmytego, sporządzamy harmonogram rozmyty dla najpóźnejszych termnów realzacj czynnośc o czasach wyonana zreduowanych z T j pes do T j0,. Do uzysanego harmonogramu rozmytego, wprowadzamy bufory zaslające (FB). Następne, wyznaczamy termny rozpoczynana S j zaończena F j poszczególnych robót, wynające z reducj czasów wyonana czynnośc wprowadzena buforów zaslających. Zbuforowany harmonogram nerozmyty uzysujemy, doonując przeroju zbuforowanego harmonogramu rozmytego na oreślonym pozome pewnośc oszacowań czasów wyonana robót przyjmując oreśloną wartość wsaźna aceptacj ryzya β. Wartośc β są doberane subetywne przez planstę. Nech S j = [ sjl, sju ], F j = [ f jl, f ju] będą przerojam lczb S j F j, [0, ]. Wówczas, termny realzacj robót w zbuforowanym harmonograme nerozmytym ustalamy na podstawe zależnośc: s j = βs j L + ( β) s j U, (9) 333

4 Cvl and Envronmental Engneerng / Budownctwo Inżynera Środowsa (0) j = j L ( j U f βf + β) f. (0) 6. Przyład lczbowy Rozpatrujemy przyładowy model secowy budowy ja na rysunu. W tabel zestawono wyn modelowana opn espertów o parametrach trójątnego rozładu prawdopodobeństwa czasu wyonana ażdej roboty (rys. ). Na tej podstawe, można wyznaczyć najwcześnejsze najpóźnejsze termny realzacj czynnośc o czasach wyonana T j pes. Wyn zestawono w tabel Rys.. Przyładowy model secowy budowy Tab.. Rozmyte parametry trójątnego rozładu prawdopodobeństwa czasów wyonana robót w modelu secowym według rysunu ; dane w dnach roboczych A = T j opt C = T j np B = T j pes D = T j0, (, 4, 6, 8) (, 7, 9, ) (6, 8, 0, ) (4.4, 6.4, 8.4, 0.4) (4, 7, 8, ) (7, 0,, 4) (8,,, ) (6.4, 9.4, 0.4, 3.4) 3 (3, 4,, 6) (7, 8, 9, 0) (9, 0,, ) (6., 7., 8., 9.) 4 (6, 7, 8, 9) (8, 9, 0, ) (3, 4,, 6) (8.6, 9.6, 0.6,.6) (4,, 7, 8) (6, 7, 9, 0) (9, 0,, 3) (6., 7., 9., 0.) 6 (, 3, 4, ) (6, 7, 8, 9) (7, 8, 9, 0) (., 6., 7., 8.) 7 (, 3,, 6) (6, 7, 9, 0) (9, 0,, 3) (.7, 6.7, 8.7, 9.7) 8 (4,, 6, 7) (7, 8, 9, 0) (9, 0,, ) (6.7, 7.7, 8.7, 9.7) 9 (3, 4, 6, 7) (4,, 7, 8) (8, 9,, ) (4.6,.6, 7.6, 8.6) Tab.. Najwcześnejsze najpóźnejsze termny realzacj czynnośc w modelu secowym według rysunu dla pesymstycznych czasów wyonana robót ES j pes EF j pes LS j pes LF j pes (0, 0, 0, 0) (6, 8, 0, ) (0, 0, 0, 0) (6, 8, 0, ) (6, 8, 0, ) (4, 9,, 7) (6, 8, 0, ) (4, 9,, 7) 3 (4, 9,, 7) (3, 9, 33, 39) (4, 9,, 7) (3, 9, 33, 39) 4 (6, 8, 0, ) (9,,, 8) (9,, 30, 36) (3, 39, 4, ) (3, 9, 33, 39) (3, 39, 4, ) (3, 9, 33, 39) (3, 39, 4, ) 6 (3, 39, 4, ) (39, 47, 4, 6) (3, 39, 4, ) (39, 47, 4, 6) 7 (9,,, 8) (8, 3, 37, 4) (39, 47, 3, 6) (48, 7, 6, 74) 8 (39, 47, 4, 6) (48, 7, 6, 74) (39, 47, 4, 6) (48, 7, 6, 74) 9 (48, 7, 6, 74) (6, 66, 76, 86) (48, 7, 6, 74) (6, 66, 76, 86) 334

5 Janusz KULEJEWSKI, Nab IBADOV, Bogdan ZIELIŃSKI Dla czasów wyonana T j pes, wyznaczamy możlwe śceż rytyczne w modelu secowym budowy według rysunu : p = , L = (6, 66, 76, 86); p = , L = (43, 49, 6, 6); p 3 = , L 3 = (36, 4, 48, 3). Wyorzystując zależność (4), wyznaczamy stopeń możlwośc Π ( L Ln); =,,3; n =,,3; n, że śceża p ne oaże sę rótsza od śceż p n : Π( L L) =, Π( L L3) = ; Π( L L) = 0.37, Π( L L3) = ; Π( L 3 L) = 0, Π( L3 L) = 0,909. Na podstawe zależnośc (), wyznaczamy stopeń możlwośc, że śceża p ne oaże sę rótsza od żadnej z pozostałych śceże w modelu secowym budowy: Π( L L, L3) = mn(, ) = ; Π( L L, L3) = mn(0.37, ) = 0,37; Π( L 3 L, L) = mn(0, 0.909) = 0. Jao łańcuch rytyczny (CC) w modelu secowym budowy według rysunu, wyberamy śceżę p. Ustalamy równeż, że do perwszego łańcucha zaslającego (FC I ) należy czynność j = 4, a do drugego łańcucha zaslającego (FC II ) czynność j = 7. Dla ażdej czynnośc, wyznaczamy rezerwę czasu R j. Wyn zestawono w tabel 3. Na tej podstawe, wyznaczamy bufor projetu: PB = ( r + r + r3 + r + r6 + r8 + r9 ) = 6.3, oraz bufory zaslające: FB I = ( r4 ) = 4.4, FB II = ( r7 ) = 3,3. Następne, reduujemy czasy wyonana czynnośc wprowadzamy bufory zaslające. Wyn zestawono w tabel 4. Tab. 3. Rezerwy czynnośc w modelu secowym według rysunu T j pes T j0, R j = T j pes T j0, r j (6, 8, 0, ) (4.4, 6.4, 8.4, 0.4) (.6,.6,.6,.6),6 (8,,, ) (6.4, 9.4, 0.4, 3.4) (.6,.6,.6,.6),6 3 (9, 0,, ) (6., 7., 8., 9.) (.,.,.,.), 4 (3, 4,, 6) (8.6, 9.6, 0.6,.6) (4.4, 4.4, 4.4, 4.4) 4,4 (9, 0,, 3) (6., 7., 9., 0.) (.8,.8,.8,.8),8 6 (7, 8, 9, 0) (., 6., 7., 8.) (.8,.8,.8,.8),8 7 (9, 0,, 3) (.7, 6.7, 8.7, 9.7) (3.3, 3.3, 3.3, 3.3) 3,3 8 (9, 0,, ) (6.7, 7.7, 8.7, 9.7) (.3,.3,.3,.3),3 9 (8, 9,, ) (4.6,.6, 7.6, 8.6) (3.4, 3.4, 3.4, 3.4) 3,4 Tab. 4. Najpóźnejsze termny realzacj czynnośc w modelu secowym według rysunu po reducj czasów wyonana czynnośc po wprowadzenu buforów zaslających Po reducj czasów wyonana czynnośc Po wprowadzenu buforów zaslających LS j0, LF j0, LS j0, LF j0, (0, 0, 0, 0) (4.4, 6.4, 8.4, 0.4) (0, 0, 0, 0) (4.4, 6.4, 8.4, 0.4) (4.4, 6.4, ) (0.8,.8, 8.8, 3.8) (4.4, 6.4, ) 0.8,.8, 8.8, (0.8,.8, 8.8, 3.8) (7.3, 3.3, 7.3, 33.3) (0.8,.8, 8.8, 3.8) (7.3, 3.3, 7.3, 33.3) 4 (4.9, 0.9,.9, 3.9) (3., 30., 36., 43.) (0., 6.,., 7.) (9., 6., 3., 39.) (7.3, 3.3, 7.3, 33.3) (3., 30., 36., 43.) (7.3, 3.3, 7.3, 33.3) (3., 30., 36., 43.) 6 (3., 30., 36., 43.) (8.7, 36.7, 43.7,.7) (3., 30., 36., 43.) (8.7, 36.7, 43.7,.7) 7 (9.7, 37.7, 43.7,.7) (3.4, 44.4,.4, 6.4) (6.4, 34.4, 40.4, 48.4) (3., 4., 49., 8.) 8 (8.7, 36.7, 43.7,.7) (3.4, 44.4,.4, 6.4) (8.7, 36.7, 43.7,.7) (3.4, 44.4,.4, 6.4) 9 (3.4, 44.4,.4, 6.4) (40, 0, 60, 70) (3.4, 44.4,.4, 6.4) (40, 0, 60, 70) 33

6 Cvl and Envronmental Engneerng / Budownctwo Inżynera Środowsa (0) Zbuforowane harmonogramy nerozmyte budowy sporządzamy, przyjmując na przyład = 0,3 β = 0,7 lub = 0,7 β = 0,3. Termny realzacj robót, wyznaczone na podstawe zależnośc (9) (0), zestawono w tabel. Zaończene budowy, planowane z uwzględnenem buforu projetu PB, ustala sę następująco: dla = 0,3 β = 0,7: po = 6 dnach roboczych od dna rozpoczęca budowy, dla = 0,7 β = 0,3: po = 64 dnach roboczych od dna rozpoczęca budowy. Uzysane harmonogramy nerozmyte podano na rysunach 3 4. Poprawność przedstawonej metody sprawdzono symulacyjne, zgodne z ponższym schematem: ) Generujemy losowo: -przeroje lczb rozmytych, modelujących parametry trójątnych rozładów prawdo-podobeństwa czasów wyonana poszczególnych robót, wartość współczynna β, charateryzującego stosune plansty do ryzya. ) Wyznaczamy parametry trójątnego rozładu prawdopodobeństwa czasu wyonana ażdej roboty w danej symulacj: a j = β a j L + ( β ) a j U; b j = βb j L + ( β ) b j U; c j = βc j L + ( β ) c j U. () 3) Na podstawe wyznaczonych parametrów trójątnego rozładu prawdopodobeństwa, generujemy losowo czas wyonana ażdej roboty w danej symulacj. 4) Dla ażdej symulacj, wyznaczamy termny realzacj robót oraz termn zaończena budowy. Tab.. Termny realzacj robót w zbuforowanych harmonogramach nerozmytych = 0.3, β = 0. 7 = 0.7, β = 0. 3 s j f j s j f j PB 4 FB I 7 FB II Rys. 3. Zbuforowany harmonogram nerozmyty dla = 0,3 β = 0, PB 4 FB I 7 FB I Rys. 4. Zbuforowany harmonogram nerozmyty dla = 0,7 β = 0,3 336

7 Janusz KULEJEWSKI, Nab IBADOV, Bogdan ZIELIŃSKI Po przeprowadzenu założonej lczby symulacj, sprawdzamy suteczność ochrony planowanego termnu zaończena budowy w zbuforowanym harmonograme nerozmytym. Hstogramy dystrybuanty empryczne zmennej losowej czasu realzacj budowy, uzysane dla symulacj, przedstawono na rysunach 6. Suteczność ochrony planowanych termnów zaończena budowy w obu zbuforowanych harmonogramach nerozmytych wynos ooło 99,4%. a) b) Rys.. Wyn symulacj zbuforowanych harmonogramów nerozmytych, uzysanych dla = 0,3 β = 0,7: a) hstogram, b) dystrybuanta empryczna a) b) Rys. 6. Wyn symulacj zbuforowanych harmonogramów nerozmytych, uzysanych dla = 0,7 β = 0,3: a) hstogram, b) dystrybuanta empryczna 337

8 Cvl and Envronmental Engneerng / Budownctwo Inżynera Środowsa (0) Wnos Wyorzystane aparatu matematycznego teor zborów rozmytych, pozwala na uwzględnene różnorodnośc opn espertów o parametrach rozładu czasu wyonana danej roboty. Umożlwa równeż dentyfację łańcucha rytycznego oraz wyznaczene buforów. Wyn symulacj potwerdzają suteczność ochrony termnu zaończena realzacj budowy w harmonograme nerozmytym, uzysanym z uwzględnenem preferowanego pozomu pewnośc czasów wyonana robót pozomu ryzya. Tym samym, potwerdzają poprawność przyjętych założeń metodycznych. Kuchta D. ( 00). Męa matematya w zarządzanu. Zastosowane lczb przedzałowych rozmytych w rachunowośc zarządczej. Ofcyna Wydawncza Poltechn Wrocławsej,Wrocław. Lorterapong P., Moselh O. (996). Project networ analyss usng fuzzy sets theory. Journal of Constructon Engneerng and Management, Vol., No. 4, Prade H. (979). Usng fuzzy set theory n a schedulng problem: a case study. Fuzzy Sets and Systems, Vol., No., 3-6. Ram J., Rommelfanger H.(99). Nonnegatve extremal soluton of fuzzy equaton A X B and ts use n networ analyss. Foundatons of Computng and Decson Scences, Vol. 9, -37. Lteratura Chang D. Y. (996). Applcatons of the extend analyss metod on fuzzy AHP. European Journal of Operatonal Research, Vol. 9, No. 3, Chanas S., Kamburows J. (98). The use of fuzzy varables n PERT. Fuzzy Sets and Systems, Vol., No., -9. Dubos D., Prade H. (978). Operatons on fuzzy numbers. Internatonal Journal of Systems Scence, No. 9, Goldratt E. M. (997). Crtcal chan. The North Rver Press Publshng Corporaton, Great Barrngton. Hape M., Słowńs R.(996). Fuzzy prorty heurstcs for project schedulng. Fuzzy Sets and Systems, Vol. 83, No. 3, APPLICATION OF FUZZY SET THEORY TO SCHEDULE CONSTRUCTION WORKS BY THE CRITICAL CHAIN METHOD Abstract: The paper presents a new approach to the problem of schedulng of constructon project by the crtcal chan method. Novelty of the method s to nclude naccurate nformaton about the parameters of probablty dstrbutons of duratons of wors. In order to dentfy the crtcal chan and schedule buffers, fuzzy set theory and the modfed rules for the arthmetc of fuzzy numbers s used. To determne the non-fuzzy buffered schedule, the concept of -cuts of a fuzzy number s used. The correctness of the presented approach s demonstrated on the bass of the results of the smulaton. 338