KONCEPCJA ZASTOSOWANIA ALGORYTMU FAKTORYZACJI DO OCENY NIEZAWODNOŚCI CIĄGÓW KOMUNIKACYJNYCH

Transkrypt

1 POBLEMY ESPLOATACJI 29 obert PILCH, Jan SZYBA Akadema Górnczo-Hutncza, raków ONCEPCJA ZASTOSOWANIA ALGOYTMU FATOYZACJI DO OCENY NIEZAWODNOŚCI CIĄGÓW OMUNIACYJNYCH Słowa kluczowe Nezawodność układów secowych, sec transportowe, komunkacja samochodowa, algorytm faktoryzacj. Streszczene W artykule przedstawono zastosowane metody faktoryzacj do przeprowadzena oceny nezawodnoścowej dowolnego fragmentu sec komunkacyjnej w dużej aglomeracj mejskej. W tym celu dokonano modyfkacj algorytmu faktoryzacj. Potwerdzene skutecznośc proponowanej metody oblczenowej może umożlwć wykorzystane jej w przyszłośc do optymalzacj organzacj ruchu samochodowego w dużych mastach. Wprowadzene Optymalzacja sec transportowych pod kątem zapewnena cągłośc komunkacj (przepływów) jest problemem rozwązywanym od welu lat []. Pommo znacznego rozwoju metod oblczenowych nadal stneją możlwośc rozszerzena problematyk optymalzacyjnej, poneważ budowane sprawnego systemu komunkacyjnego, zapewnającego mędzy nnym przejazdy przez duże aglomeracje mejske, jest problemem, którego rozwązane stotne jest dla welu użytkownków, a przede wszystkm dla turystów meszkańców tych mast.

2 30 POBLEMY ESPLOATACJI Wprowadza sę obecne rozwązana, które zmerzają do poprawy ruchu samochodowego w dużych mastach, take jak na przykład obwodnce czy bezkolzyjne skrzyżowana, ale brakuje skutecznych metod oceny przepustowośc cągów komunkacyjnych, które dadzą loścowe a ne jakoścowe (subektywne) wynk. Autorzy proponują zastosowane metody faktoryzacj do oceny nezawodnośc sec komunkacyjnej, która umożlw w sposób loścowy wyznaczene wartośc funkcj nezawodnośc połączeń mędzy dwoma, dowolne wybranym węzłam. Tego typu oceny mogą stanowć podstawę do podejmowana decyzj o zmanach kerunku ruchu, zwększenu lub zmnejszenu lczby połączeń mędzy skrzyżowanam oraz o ogranczenu ch lczby lub potrzebe przebudowy w celu zwększena przepustowośc.. Nezawodność sec transportowych Sec transportowe są typowym układam secowym (grafam), w których wyróżna sę węzły (werzchołk, punkty krzyżowe grafu) połączena (łuk, odcnk grafu). Graf może być spójny, jeżel stneją połączena mędzy wszystkm węzłam. Połączena uporządkowane stanową pary węzłów, w których połączena mają określoną orentację (kerunek) lub neuporządkowane, gdy połączena ne posadają orentacj. Jeżel berzemy pod uwagę fragment sec, to traktowany jest on jako graf względne odosobnony. Graf jest lnowy, jeżel połączena oprócz węzłów ne mają żadnych wspólnych punktów. Cąg połączeń stanow drogę, śceżkę lub łańcuch. Ważne znaczene w secach komunkacyjnych ma przepustowość połączena potok w połączenu []. Potok zdefnować można jako zbór wszystkch pojazdów znajdujących sę w określonym fragmence sec komunkacyjnej. Przepustowość stanow ogranczene przepływającego potoku pojazdów. Wszystke te wymenone określena będą wykorzystywane w dalszej częśc opracowana. W celu zdefnowana nezawodnośc sec wprowadzamy pojęce drog nadana (wejścowej) drog odboru (wyjścowej). Przez pojęce nezawodność połączena mędzy dowolnym drogam wejścowym wyjścowym rozumemy prawdopodobeństwo, że pojazd znajdujący sę na drodze wejścowej znajdze sę na drodze wyjścowej przejeżdżając przez określony fragment sec komunkacyjnej. Ogranczene możlwośc przejazdu stanową węzły sec, którym są skrzyżowana. Nezawodność połączeń mędzy węzłam równa jest. Ocena nezawodnośc węzłów wyznaczana jest jako prawdopodobeństwo, że pojazd przejedze skrzyżowane w cągu jednej zmany śwateł. Nedotrzymane tego warunku jest traktowane jako uszkodzene węzła, czyl skrzyżowana.

3 POBLEMY ESPLOATACJI 3 Wypadk samochodowe występujące mędzy węzłam na skrzyżowanach ne są brane pod uwagę. W rzeczywstośc realnym ogranczenem płynnośc ruchu samochodowego są skrzyżowana od ch przepustowośc uzależnona jest nezawodność połączeń węc prezentowana koncepcja szacowana nezawodnośc posada walory praktyczne może meć znaczene w organzacj komunkacj. W metodze faktoryzacj przyjmuje sę sytuację przecwną nezawodne są węzły, a zawodne są połączena. Autorzy zmenl założena wejścowe, ale jak będze to wdoczne w przeprowadzonych oblczenach, zmana ta w przedstawonej koncepcj faktoryzacj ne wpływa na poprawność wynków oblczeń nezawodnoścowych. 2. Charakterystyka metody faktoryzacj Do wyznaczana nezawodnośc układów secowych, w których łącza ulegają losowym uszkodzenom, zastosowane znajduje metoda faktoryzacj. W jej klasycznym ujęcu przyjmuje sę, że rozpatrywana seć składa sę z nezawodnych węzłów oraz z zawodnych połączeń mędzy nm. Jako matematyczny model takego układu secowego przyjmowany jest graf neskerowany G = (V,E), w którym V to zbór węzłów sec, natomast E to zbór połączeń mędzy nm. Marą nezawodnośc sec jest tzw. nezawodność -termnal, defnowana jako prawdopodobeństwo, że wszystke węzły ze zboru są ze sobą połączone przez neuszkodzone połączena [2, 3, ]. W praktyce najczęścej rozważane są dwa skrajne przypadk; perwszy, gdy = V (ocena sę wtedy prawdopodobeństwo, że wszystke węzły w sec są połączone) oraz drug przypadek, gdy =2 (co oznacza prawdopodobeństwo, że są połączone wybrane dwa węzły w sec). Algorytm faktoryzacj wykorzystuje zdarzena elementarne zdatnośc lub nezdatnośc pojedynczego połączena w sec. Dlatego stany grafu można podzelć na dwa zbory ze względu na możlwe stany połączena e o nezawodnośc. Natomast nezawodność sec ( s ) reprezentowanej przez graf G z wyróżnonym zborem węzłów można zapsać jako [3]: s ( G e ) + F ( G e ) = ' () gdze: e dowolne połączene w sec reprezentowanej przez graf G, prawdopodobeństwo, że połączene e E jest zdatne, F prawdopodobeństwo, że połączene e E jest nezdatne,

4 32 POBLEMY ESPLOATACJI G ' e = ( V u v + w, E e ), w = u v, gdy ' = u v + w gdy G e = ( V E e )., u, v, u lub v, Nezawodność sec ( s ) może być wyznaczona poprzez stosowane powyższej formuły kolejno dla wszystkch połączeń e. Efektem tych operacj jest redukcja grafu o kolejne połączena, przez co graf ten staje sę coraz prostszy. Gdy zredukowane zostaną wszystke połączena, uzyskuje sę zależność końcową, pozwalającą oblczyć szukaną nezawodność. Tą metodą możlwe jest wyznaczene nezawodnośc sec o dowolnej konfguracj. Powyższy algorytm może być stosowany dla różnych sec przy założenu, że to połączena w sec ulegają uszkodzenom. Metodę tę Autorzy artykułu wykorzystal do szacowana nezawodnośc rozdzelczych sec gazowych []. ozważając jednak seć transportową, jaką jest seć dróg na terene masta, przyjmuje sę założene, że to połączena, czyl drog są nezawodne, a węzły czyl skrzyżowana są zawodne, tzn. mogą być neprzejezdne. Nezawodność takej sec transportowej należy rozumeć jako prawdopodobeństwo stnena połączena mędzy wybranym lub wszystkm drogam bez konecznośc przejeżdżana przez skrzyżowana neprzejezdne. W celu wyznaczena w ten sposób nezawodnośc, klasyczny algorytm faktoryzacj musał zostać zmodyfkowany. Zaproponowano następującą jego postać: model sec transportowej stanow graf neskerowany G = (V,E), w którym zbór węzłów (V) reprezentuje skrzyżowana dróg a zbór połączeń mędzy węzłam (E) reprezentuje drog, drog są nezawodne = dwukerunkowe, skrzyżowana mogą ulegać uszkodzenu (być neprzejezdne) ze znanym prawdopodobeństwem F, nezawodność sec ( s ), wg proponowanego modelu może być wyznaczana jako prawdopodobeństwo stnena połączena mędzy wybranym zborem dróg w sec, dla wyznaczena nezawodnośc sec stosuje sę zmodyfkowaną zależność faktoryzacj, a układ secowy jest redukowany o kolejne, uszkadzające sę węzły: s ( G v ) + F ( G v ) = ' (2)

5 POBLEMY ESPLOATACJI 33 gdze: s nezawodność sec, prawdopodobeństwo, że skrzyżowane v jest przejezdne, (G *v ) nezawodność pozostałej częśc sec, gdy skrzyżowane v jest przejezdne powstaje na tym skrzyżowanu połączene mędzy wszystkm wchodzącym do nego drogam, F prawdopodobeństwo, że skrzyżowane v jest neprzejezdne, (G v ) nezawodność pozostałej częśc sec, gdy skrzyżowane v jest neprzejezdne powstaje na tym skrzyżowanu przerwa mędzy wszystkm wchodzącym do nego drogam, jeśl w trakce redukcj sec uszkodzene (neprzejezdność) skrzyżowana powoduje brak połączena z secą którejkolwek drog znajdującej sę w zborze, to dla takego węzła wykorzystuje sę tylko perwszą część sumy z zależnośc (2), ponadto jeśl w trakce redukcj wszystke drog wychodzące z węzła są już połączone ze sobą bezpośredno (bez przechodzena przez węzły nezredukowane), to tak węzeł jest neaktywny, tzn. jego zdatność lub nezdatność ne ma wpływu na połączene dróg do nego wchodzących jest on wycnany z sec, a w powstającej zależnośc na s jego nezawodność ne jest uwzględnana. Podobne jak w klasycznym algorytme faktoryzacj po zredukowanu wszystkch węzłów (skrzyżowań) otrzymuje sę zależność pozwalającą wyznaczyć nezawodność sec, przy czym w tym przypadku jest to prawdopodobeństwo połączena wszystkch dróg ze zboru bez konecznośc przejeżdżana przez skrzyżowane neprzejezdne. 3. Przykład praktyczny Dla zlustrowana proponowanej metody wybrano fragment sec ważnejszych dróg transportowych masta rakowa, przedstawony na rysunku (rys. ). Na schemace tym w postac ponumerowanych punktów zaznaczono węzły komunkacyjne (skrzyżowana), które mogą być neprzejezdne ze znanym prawdopodobeństwem. Natomast w postac ln mędzy węzłam oraz ln wychodzących z węzłów na zewnątrz wyodrębnonego układu zaznaczono dwukerunkowe drog, które będą uwzględnone w analze. Stosując proponowany, zmodyfkowany algorytm faktoryzacj przeprowadzono analzę nezawodnoścową przedstawonego fragmentu sec transportowej, wyznaczając nezawodność jako prawdopodobeństwo stnena połączena mędzy wszystkm drogam w sec. Wyznaczoną nezawodność należy rozumeć jako prawdopodobeństwo, że znajdując sę na dowolnej z dróg stneje

6 3 POBLEMY ESPLOATACJI możlwość przedostana sę do wszystkch pozostałych bez konecznośc zatrzymywana sę na neprzejezdnym skrzyżowanu. - punkty o numerach od do 8 oznaczają węzły, czyl skrzyżowana sec ys.. Schemat wyodrębnonego fragmentu sec transportowej Ze względu na objętość artykułu ne jest możlwe przedstawene kolejno wszystkch osemnastu kroków redukcj powyższego fragmentu sec, dlatego zaprezentowano tylko uzyskaną w jej wynku zależność końcową wzór (3). = = = = s F7 8 F FF7 8 + = = = = 2 = = 2 = = = 3 = = 3 = + F F + + F + F 2 = 8 = = + F + F F = = 2 = 3 = F = = = = 8 = 2 = + F F = F 7 = 3 8 = = = = = = 2 = + 2 F3 F F3 F 3 = = = = = = = + = 8 = 2 = 8 + F + F F 8 = = = 2 = 7 + F F F (3) = 2 = 2 = 2 +

7 POBLEMY ESPLOATACJI 3 gdze: s nezawodność sec jako prawdopodobeństwo stnena połączena mędzy wszystkm drogam, nezawodność węzła (skrzyżowana) v prawdopodobeństwo, że skrzyżowane v jest przejezdne, F prawdopodobeństwo, że skrzyżowane v jest neprzejezdne. orzystając z uzyskanej zależnośc można wyznaczać nezawodność analzowanego fragmentu sec dla przyjętych lub oszacowanych nezawodnośc poszczególnych węzłów (skrzyżowań). Możlwe jest także zaobserwowane, jak zmena sę nezawodność sec, jeśl wybrane skrzyżowane byłoby wyłączone z ruchu np. na czas jego remontu lub przebudowy. Ponadto można równeż wylczać, jak zmena sę nezawodność jeśl wybrane skrzyżowana zostałyby zorganzowane lub przebudowane jako bezkolzyjne (tzn. będące zawsze przejezdne). W tabel przedstawono wynk dla klku przykładowo oblczonych warantów. Tabela. Wynk oblczeń nezawodnośc sec transportowej Lp. Nezawodność poszczególnych węzłów w sec Nezawodność sec s wszystke węzły = 0,9 0,292 2 wszystke węzły = 0,9 0,8 3 wszystke węzły = 0,99 0,89 wszystke węzły = 0,9 a węzeł wyłączony z ruchu = 0 0,62 wszystke węzły = 0,9 a węzeł wyłączony z ruchu = 0 0,2 6 wszystke węzły = 0,9 a węzeł 9 2 bezkolzyjne 9 = 2 = 0,68 Podsumowane Przeprowadzone oblczena na wybranym przykładze wskazują, że metoda faktoryzacj może znaleźć zastosowane w szacowanu nezawodnośc sec komunkacyjnych. Szybka ocena nezawodnośc wybranych fragmentów sec umożlwa przeprowadzene analzy przepustowośc cągów komunkacyjnych w sytuacj, kedy ne spełnają określonych wymagań, można podjąć dzałana technczne zwększające płynność ruchu samochodowego. Dalsze prace będą zmerzały do rozszerzena zakresu stosowana tej metody do grafów (sec) skerowanych, uwzględnających ruch jedno- lub dwukerunkowy.

8 36 POBLEMY ESPLOATACJI Bblografa. Steenbrnk P.A.: Optymalzacja sec transportowych. PWŁ, Warszawa Wood..: Factorng algorthms for computng termnal network relablty. IEEE Trans. elablty, 986 (-3), Page L.B., Perry J.E.: A practcal mplementaton of the factorng theorem for network relablty. IEEE Trans. elablty, 988 (37), Madeysk L., Mazur Z.: Pesymstyczna złożoność oblczenowa algorytmu faktoryzacj Fact. ZEM, 998, vol. 33, 3, Szybka J., Plch.: oncepcja oceny nadmarowośc funkcjonalnej sec gazowych w aspekce nezawodnoścowym. Materały XXXV Zmowej Szkoły Nezawodnośc, Szczyrk 2007, ecenzent: Janusz OPZĘDIEWICZ Applcaton of factorng algorthms for estmaton of road network relablty ey words Networks relablty, transport network, motor traffc, factorng algorthm. Summary Ths paper presents a method of factorng algorthms and modfyng ths method for estmatng the relablty of road networkes n a cty. after verfcaton the proposed method may be useful for optmzng motor traffc n bg ctes.