OPTYMALIZACJA KOSZTÓW PRZEBUDOWY PORTFELA JAKO ZADANIE TRANSPORTOWE. 1. Problem badawczy

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr Krzysztof PIASECKI* OPTYALIZACJA KOSZTÓW PRZEBUDOWY PORTFELA JAKO ZADANIE TRANSPORTOWE Wszyste oszty generowane przez prowze malerse są włączone do zadana optymalzac portfela. Transformaca portfela est opsana ao zadane transportowe. nmalne oszty transformac portfela są osągnęte za pomocą pewnego rodzau otwartego zadana optymalzacynego. Naszcowano możlwość orygowana stopy zwrotu portfela optymalnego obcążonego osztam transac. Słowa luczowe: zadane transportowe, portfel atywów fnansowych, oszty transac, optymalzaca procesu przebudowy 1. Problem badawczy Zarządzane portfelem atywów fnansowych w ogólnym przypadu polega na zbywanu nso cenonych atywów fnansowych następne na przeznaczenu środów uzysanych tą drogą na zaup wyże cenonych atywów fnansowych. W szczególnym przypadu ednym z rozpatrywanych atywów może być gotówa. Dzałana te są podemowane w celu zwęszena zysu, efet est edna nwelowany ponoszenem przez nwestora stosunowo wysoch opłat prowzynych. Stąd wywodz sę zamar uwzględnena osztów transac w opse strateg zarządzana portfelem. Każdy z etapów te strateg polega na przebudowanu posadanego portfela w portfel postulowany. Umożlwa to opsane optymalzowane osztów poedynczego etapu wspomnane strateg za pomocą zadana transportowego. Należy tu odpowedzeć sobe na dwa pytana. Po perwsze, czy est możlwa mnmalzaca osztów przebudowy posadanego portfela w postulowany portfel optymalny w sytuac, gdy wyorzystywane ryterum optymalnośc portfela opsue doładne struturę tegoż portfela? Po druge, czy orzy- * Katedra Badań Operacynych, Wydzał Zarządzana, Aadema Eonomczna, Al. Nepodległośc 10, Poznań, e-mal:.pasec@ae.poznan.pl

2 52 K. PIASECKI stane z ryterum mnmalzac osztów przebudowy portfela ao samostnego ryterum wyznaczaącego strategę nwestycyną pozwala nwestorow oczewać wzrostu stopy zwrotu z zarządzanego portfela? Prezentowana praca est studum formalnym naszcowanego powyże problemu. 2. Poedyncza transaca Symbol P oznacza nformacę o rodzau lośc ednoste -tego atywa fnansowego. Opłacalność zanwestowana w atywa fnansowe P na ustalony ores ocenamy za pomocą stopy zwrotu r. Rozważamy transacę P a P, (1) polegaącą na zbycu atywa P nabycu za uzysane środ atywa P. Transaca (1) z założena ma być opłacalna, co pozwala wnosować, że odpowedne stopy zwrotu spełnaą nerówność r < r. (2) Załadamy tuta mplcte stałość rozpatrywanego horyzontu czasowego. Należy pamętać, że przy dodatne chwlowe stope spot zarówno poszczególne stopy zwrotu, a ch dodatna różnca r będą rosły. Przymuąc, że wartość beżąca PV zbywanego atywa osąga pozom PV ( P ) = C, (3) wartość beżącą PV nabywanego atywa musmy umneszyć o prowzę do pozomu PV 1 ( P ) = C 1 +, (4) gdze symbol oznacza stopę prowz poedyncze transac sprzedaży lub upna. Wartośc ońcowe FV tych atywów są wyrażone w postac zależnośc FV P ) = C(1 + r ), (5) ( 1 FV ( P ) = C (1 + r ). (6) Straty wynaące z przeprowadzena transac (1) możemy oreślć ao spade wartośc ońcowe atualne posadanego atywa. W te sytuac podstawaąc C = 1

3 Optymalzaca osztów przebudowy portfela 53 w (5) (6) ednostowe straty L ( P, P ) generowane przez przeprowadzene transac (1) dla edne ednost atywa P oreślamy zależnoścą 1 L ( P, P ) = l, = (1 + r ) (1 + r ). (7) Opłacalność transac (1) est równoważna z warunem l, < 0, (8) nezależnym uż od welośc transac C opsuącym uemne straty ednostowe. Ze swe natury stopa prowz spełna warune 0 < <1, (9) co pozwala stwerdzć, że przy odpowedno duże dodatne różncy stóp zwrotu r transaca (1) stae sę opłacalna. Wobec wspomnane uż monotoncznośc func r zauważamy, że wraz z wydłużenem sę horyzontu nwestycynego rośne szansa na to, że transaca (1) stane sę transacą opłacalną. Oznacza to, że warune opłacalnośc (8) zawera mplcte w sobe warune wyznaczaący mnmalny opłacalny horyzont czasowy nwestyc. Analzuąc zależność (7) zauważamy, że straty rosną wraz ze wzrostem stopy zwrotu r oraz wraz ze spadem stopy zwrotu r. Oznacza to, że zadane mnmalzac strat est równoważne z zadanem masymalzac przyrostu stopy zwrotu. 3. Przebudowa portfela w zadany portfel optymalny Załóżmy, że dysponuemy portfelem P = { P1 ; P2 ; ; Pn }, gdze symbol P został zdefnowany w rozdzale 2. Stosuąc dowolne, ale ustalone zadane optymalzacyne stwerdzamy, że postulowany optymalny portfel przymue postać P = { P1, P2 ; ; Pn }, gdze symbol P oznacza atywa fnansowe tego samego rodzau co atywa fnansowe oznaczone symbolem P. Atywa P P mogą sę różnć lczbą ednoste, a w ogólnym przypadu przymuemy, że lczby ednoste pewnych atywów mogą być równe zeru. Udzał wartośc atywa P w wartośc portfela P wyraża sę proporcą PV ( P ) = α, (10) PV ( P)

4 54 K. PIASECKI oreśloną ednoznaczne, gdyż znamy struturę posadanego portfela. Udzał wartośc atywa P w wartośc portfela P dany est za pomocą proporc PV ( P ) = α, (11) PV ( P ) wyznaczone ednoznaczne przez stosowane zadane optymalzacyne. Rozważamy transacę P = { P ; P ; ; P } P = { P ; P ; ; P }, (12) 1 2 n 1 2 n oznaczaącą zbyce częśc zbędnych atywów portfela P nabyce za uzysane środ brauących atywów portfela P. Transacę taą nazywamy przebudową portfela możemy wyrazć równoważne ao przesunęce w postac schematu α, α,, α ] a [ α, α,, α ]. (13) [ 1 2 n 1 2 n Przymuąc, że wartość beżąca PV posadanego portfela osąga pozom PV ( P) = C, (14) wartość beżącą PV postulowanego portfela musmy umneszyć o prowzę do pozomu PV ( P ) = (1 λ ) C, (15) gdze symbol λ oznacza nduowaną stopę prowz, rozumaną ao loraz zapłaconych prowz do wartośc beżące całego portfela P. W te sytuac, gdy zbywamy edyne zbędne atywa uzupełnamy brauące, nduowana stopa prowz spełna warune 1 2 λ < 1 =. (16) Zamemy sę teraz opsem modelu osztów te przebudowy. Zestawaąc razem (10) (14), otrzymuemy PV zaś po zestawenu razem (11) (15) mamy ( P ) α C =, (17) PV ( P ) = α (1 λ ) C. (18) Jeśl spełnony est warune PV P ) < PV ( P ), (19) (

5 Optymalzaca osztów przebudowy portfela 55 to do zbyca atywów P w ogóle ne dochodz, gdyż atywa te będą edyne doupywane. Fat ten zmnesza nduowaną stopę prowz λ. Symbolem K oznaczmy zbór wszystch ndesów oznaczaących rodzae doupywanych atywów fnansowych. amy tuta K = = 1, 2,, n : PV ( P ) < PV ( P )}. (20) { Jeśl nerówność (19) ne est spełnona, to sprzedaemy edyne część atywów -tego rodzau, pozostawaąc edyne resztę o wartośc PV ( P ). Taże ten fat zmnesza nduowaną stopę prowz λ. Symbolem S nazwmy zbór wszystch ndesów oznaczaących rodzae sprzedawanych atywów fnansowych. amy tuta S = = 1, 2,, n : PV ( P ). > PV ( P )}. (21) { Przy wyznaczanu ostatecznego ształtu rozdzelnych zborów K S nezbędna est doładna znaomość wartośc nduowane stopy prowz λ. Ogranczaąc oszta, dążymy oczywśce do możlwe małe wartośc λ. Dysutowane własnośc elementów zborów K S stanową przesłan do onstruc następuącego algorytmu wyznaczana mnmalne nduowane stopy prowz λ : Etap (): Podstaw 2 λ. 1 + Etap (): Podstaw * 2 λ ( α α (1 λ )). Etap (): Jeśl est spełnony warune λ λ, to wyznaczona wartość λ est poszuwaną mnmalną stopą prowz. W przecwnym przypadu podstaw λ λ wróć do Etapu (). Stosuąc powyższy algorytm, należy pamętać o ażdorazowym dostosowanu w Etape () postac zborów S K do atualne wartośc λ nduowane stopy prowz.

6 56 K. PIASECKI Wartość sprzedaży s ażdych atywów P ze zboru S est opsana zależnoścą s = ( α α (1 λ )) C. (22) Dla zblansowana całowte wartośc sprzedaży z całowtą wartoścą zaupu wprowadzamy poęce wartośc brutto zaupu, rozumane ao wartość netto zaupu powęszoną o łączną prowzę zapłaconą przy pozysanu środów penężnych przeznaczonych na zaup -tego atywa fnansowego oraz przy samym zaupe tego atywa. amy = ( ) = ( α (1 λ ) α ) C. (23) 1 Jeśl symbolem, oznaczymy wartość atywów P przeznaczoną na zaup atywów P, to przeształcene portfela P w portfel P można przedstawć ao tablcę przepływów środów penężnych: s s s 1 s 1 1,1,1 s,1 1,, s, 1,, s,. (24) Dla ażde pary (, ) S K mamy wtedy następuące warun blansuące:, 0, (25) s =,, (26) K =,, (27) s =. (28) Łatwo można zauważyć, że wymenone warun blansuące opsuą zbór decyz dopuszczalnych {, } zamnętego zadana transportowego. Koszt przeształcena posadanego portfela w portfel postulowany oreślamy ao sumę wszystch strat poedynczych transac przeprowadzonych w celu realzac założone przebudowy portfela. Jeśl przymemy ao cel optymalzacyny mnmalzacę osztów przebudowy portfela P P, to otrzymamy mnmalzowaną funcę celu K

7 Optymalzaca osztów przebudowy portfela 57 1, l, = (1 + r ) s (1 + r ) = K K const. (29) Funca celu est funcą stałą, co oznacza, że ażdy dopuszczalny przepływ środów penężnych est przepływem optymalnym w powyższym zadanu transportowym. Podsumowuąc rozważana tego rozdzału zauważamy, że w przypadu transformac posadanego portfela w postulowany portfel optymalny łączne oszty tego przeształcena są stałe próba ch optymalzac ne podnos aośc strateg nwestycyne. 4. nmalzaca osztów transformac portfela ao ryterum optymalzac Przystępuemy ponowne do zadana mnmalzac oreślonych w poprzednm rozdzale osztów przebudowy portfela posadanego w portfel postulowany. Tym razem będzemy rozwązywać nasze zadane optymalzacyne przymuąc, że nasz portfel postulowany ne est ształtowany przez aeolwe ryterum oreślaące doładny udzał wartośc poszczególnych atywów w ogólne wartośc portfela. Ponowne rozważamy transacę (12), przy czym ne dysponuemy tym razem doładnym ształtem portfela postulowanego P. Załadamy, że stosowana metoda stawana celów nwestycynych est metodą przypsuącą edyne ażdemu atywu fnansowemu edno z trzech zaleceń: SPRZEDAJ, TRZYAJ, KUPUJ. Jest to typowa sytuaca często spotyana nawet po zastosowanu fnezynych metod analzy rynu aptałowego. Realzaca dyretywy TRZYAJ ne mplue żadnych osztów transac, co pozwala pomnąć atywa fnansowe z taą reomendacą. Symbolem S oznaczmy zbór wszystch atywów z reomendacą SPRZEDAJ S = = 1, 2,, n : SPRZEDAJ P}. (30) { Symbolem K oznaczmy zbór wszystch atywów z reomendacą KUPUJ K = = 1, 2,, n : KUPUJ P }. (31) { W przypadu atywów ze zboru S dysponuemy lczbam s oreślaącym wartość atywów P oferowanych do sprzedaży. Sprzedaż ta może edna napotać na barerę popytu, stworzoną przez następuące czynn:

8 58 K. PIASECKI zapotrzebowane na środ penężne przeznaczane na zaup atywów ze zboru K ; barerę popytu zgłaszanego przez ryne na atywa P. Z tego powodu lczbę s należy tratować edyne ao res górny możlwe sprzedaży. W przypadu atywów ze zboru K dysponuemy lczbam oreślaącym górne oszacowane wartośc brutto (w sense opsanym w rozdzale 3) supowanego atywa P. Ogranczene to może wynać na przyład z werbalnych ogranczeń oncentrac ryzya. Dodatowo zaupy te mogą być ogranczone, gdy: ne zostały znalezone tae atywa ze zboru S, tóre opłacałoby sę w sense warunu (8) wymenć na atywa P ; na rynu spotyamy sę z nazbyt nsą podażą atywa P. Z tego powodu lczbę należy tratować edyne ao res górny możlwych zaupów. Podobne a w rozdzale 3, symbolem, oznaczmy wartość środów penężnych pochodzących ze sprzedaży atywa P przeznaczanych na zaup atywa P. Przeształcene portfela P w portfel P można przedstawć w postac tablcy przepływów środów penężnych (24). Dla ażde pary (, ) S K mamy wtedy (25) oraz następuące warun blansuące: s,, (32) K,. (33) Górne resy sprzedaży górne resy zaupów ne blansuą sę w żaden wyraźny sposób z tego powodu do tworzonego modelu ne można wprowadzć warunu zastępuącego warune (28). Koszt przebudowy posadanego portfela w portfel postulowany oreślamy ao sumę wszystch strat poedynczych transac, przeprowadzonych w celu realzac założone optymalzac portfela. Przymuąc ao cel optymalzacyny mnmalzacę osztów transformac portfela P P, otrzymuemy mnmalzowaną funcę celu K l mn. (34),, Zadana (24), (25), (32) (34) mnmalzac osztów przebudowy portfela (KPP) są przyładem otwartego zadana transportowego. Rozwązuąc e, pownnśmy ogranczać sę do transac (1) przynoszących uemne straty (7). Zgodne z zależnoścą (7), mnmalzuąc oszty transformac portfela posadanego w portfel postulowany, preferowane pownny być transace zamenaące dostępne atywa o możlwe nse stope zwrotu na dopuszczalne do upena atywa o możlwe wysoe stope

9 Optymalzaca osztów przebudowy portfela 59 zwrotu. Oznacza to, że przedstawona powyże procedura mnmalzac osztów transacynych prowadz do wyznaczena portfela z masymalną przy danych ogranczenach stopą zwrotu. Spostrzeżene to prowadz do procedury przebudowy posadanego portfela P P o struturze opsane o struturze opsane proporcam (10) w postulowany portfel proporcam (11), wyznaczonym doładną metodą optymalzac portfela pomaącą oszty transacyne. Przy przebudowe portfela będzemy odrzucać wszyste te transace, tóre ne będą opłacalne w rozumenu warunu (8). W ten sposób wartość sprzedaży s (22) wartość brutto zaupu (23) opsuą edyne górne resy fatyczne sprzedaży zaupów. Zastępuąc teraz zbory (30) (31) odpowedno zboram (21) (20), oreślamy zadane optymalzacyne KP, tóre ma prowadzć do mnmalzac osztów przebudowy posadanego portfela w portfel postulowany. Otrzymany tą drogą portfel będze obcążony osztam transac, neprzeraczaącym osztów przebudowy portfela do zadanego portfela optymalnego. Oznacza to, że przy uwzględnanu osztów transac portfel wsazany przez KP może meć wyższą stopę zwrotu nż portfel wyznaczony przez zadaną metodę optymalzac. 5. Zaończene Przedstawony model est edyne modelem formalnym wymaga dalszych badań emprycznych, tóre pozwolłyby dać odpowedź na następuące pytana: Czy wyznaczona w nm stopa zwrotu portfela rezultatów w znaczny sposób różn sę od stopy zwrotu portfela wyznaczanego za pomocą różnych doładnych metod optymalzac portfela? Czy łączne oszty transac w portfelu, będącym rozwązanem opsanego otwartego zadana transportowego, są znaczne nższe od osztów transac prowadzących do otrzymana portfela wyznaczanego różnym doładnym metodam optymalzac portfela? Czy spade stopy zwrotu portfela wynaący z przyęca do wyznaczana strateg nwestycyne ryterum mnmalzac osztów transacynych est w należyty sposób reompensowany przez spade osztów transacynych? Optmzaton costs of swtchng portfolo as transportaton problem All costs generated by broer s commsson are ncluded n portfolo optmzaton. The value of ndcated broer s commsson s gven as a constant pont of some smple teraton process. The swtchng process s descrbed as a closed transportaton problem. It s proved that for a fed ordered par of port-

10 60 K. PIASECKI folos the total costs of swtchng the frst portfolo to the second one are constant. The strategy of optmzng ndcated broer s commsson s proposed. The mnmal swtchng costs are attaned by means of some nd of open transportaton problem. The obtaned method of cost management may be appled together wth any procedure of portfolo selecton. There are setched the possbltes of correctng return rate of optmal portfolo burdened wth swtchng costs. Keywords: transportaton problem, fnancal portfolo, transacton cost, optmzaton portfolo swtchng process