Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania

Transkrypt

1 Łukasz Kacprzak, Jarosław Rudy, Domnk Żelazny Instytut Informatyk, Automatyk Robotyk, Poltechnka Wrocławska Welokryteralny Trójwymarowy Problem Pakowana 1. Wstęp Problemy pakowana należą do klasy NP-trudnych problemów optymalzacj dyskretnej o szerokm zastosowanu praktycznym, główne w obszarze logstyk. Typowe problemy pakowana lub załadunku zwykle rozpatrują kontener zbór obektów do zapakowana o zadanych rozmarach. Celem optymalzacj jest zwykle mnmalzacja potrzebnych kontenerów lub maksymalzacja zajętośc pojedynczego kontenera. Problemy pakowana znalazły także zastosowane w przemyśle komputerowym jako problemy pakowana bloków przy projektowanu układów scalonych, a także przy tworzenu zarządzanu kopam zapasowym plków. 2. Przegląd lteratury W cągu ostatnch lat powstało wele warantów problemu pakowana. W tradycyjnym ujęcu problemy pakowana przyjmują zwykle formę zagadneń jednokryteralnych. Ostatnm czasy, badacze wzęl pod uwagę problemy z dwoma węcej kryteram. Wele aspektów optymalzacj welokryteralnej pozostaje nadal nezbadanych. Analzę rozwązana dwuwymarowych problemów pakowana z rotacjam równoważena obcążena opsano w pracy 1. Dla problemu welokryteralnego zaproponowano równoległy algorytm memetyczny wykorzystujący zbór operatorów przeszukwana. Otrzymane wynk wykazały dobrą wydajność algorytmu, szczególne w porównanu do nnych metod znanych w lteraturze. W pracy 2 zaproponowano dwa algorytmy populacyjne, z nebezpośrednm kodowanem permutacj pudełek, które są następne pakowane przez osobną procedurę dekodującą. Jej parametry są osadzone w zakodowanym rozwązanu. Prowadz to do samodostosowującej sę metaheurystyk, której parametry są strojone podczas procesu szukana. Wydajność tych strateg została oszacowana porównana z benchmarkam znanym z lteratury. Algorytm genetyczny dla problemu ładowana pojedynczego kontenera zaprezentowano w pracy 3. Zaproponowane podejśce wykorzystało reprezentację maksymalnej przestrzen do zarządzana wolnym mejscem w kontenerze. Opracowano hybrydę orygnalnej procedury lokowana z welopopulacyjnym algorytmy genetycznym bazującym na losowych kluczach. Wynk badań ukazały, że nowe podejśce uzyskuje wynk lepsze nż podejśca opsane w lteraturze. Problem poszukwana optymalnego zboru pudełek dla wytwórcy ręcznków został poruszony w pracy 4. Obnżena kosztów dystrybucj dokonano przez poprawę wykorzystana mejsca w kontenerze oraz zmnejszene lczby typów pudełek potrzebnych do transportu. Do tego celu wykorzystano welokryteralny algorytm genetyczny, który zmodyfkowano o technkę grupowana służącą do analzy wzorów zamóweń produktów. Algorytm efektywne przeszukał przestrzeń rozwązań, zredukował newypełnone mejsce w kontenerze oraz zmnejszył lczbę typów pudełek. 1 Fernándeza A., Gla C., Bañosb R., Montoyaa M.G., A parallel mult-objectve algorthm for twodmensonal bn packng wth rotatons and load balancng, Expert Systems wth Applcatons, 2013, Dahmana N., Clautauxb F., Krchena S., Talbb E.-G., Iteratve approaches for solvng a mult-objectve 2- dmensonal vector packng problem, Computers & Industral Engneerng, 2013, Gonçalvesa J.F., Resendeb M.G.C., A parallel mult-populaton based random-key genetc algorthm for a contaner loadng problem, Computers & Operatons Research, 2012, Leung S.Y.S., Wong W.K., Mok P.Y., Multple-objectve genetc optmzaton of the spatal desgn for packng and dstrbuton carton boxes, Computers & Industral Engneerng, 2008,

2 3. Ops problemu Problem trójwymarowego pakowana, w warance rozważanym w tej pracy, polega na takm umeszczenu pudełek we wnętrzu pojedynczego kontenera, aby, przy spełnenu wszystkch przyjętych ogranczeń, całkowta lczba objętość zapakowanych pudełek była możlwe najwększa. Rys. 1 Model kontenera pakowanych pudełek Kontener K (patrz Rys. 1), posada formę prostopadłoścanu o stałych wymarach: długośc L, szerokośc W, wysokośc H objętośc V. Dany jest zbór pudełek P = {p 1, p 2,, p n}, typów T = {t 1, t 2,, t m} rotacj R = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, reprezentujący możlwe obroty pudełek. Każde pudełko p P posada określony typ u, defnujący jego wymary możlwe rotacje, tj. u = t k, dla k {1, 2,, m}, = 1, 2,, n, u U = {u 1, u 2,, u n}. Dany typ t k T defnuje czwórka t k = (l k, w k, h k, MR k ), gdze MR k R określa dostępne rotacje, a l k, w k, h k oznaczają odpowedno: długość, szerokość wysokość pudełka. Zbór MR k może zawerać od jednej do sześcu rotacj. Rozwązane rozważanego problemu defnuje zbór zapakowanych pudełek PZ e P. Celem jest znalezene dozwolonego rozwązana, które maksymalzuje zarówno lczbę umeszczonych w kontenerze pudełek jak objętość załadunku: max n c 1 (1) gdze: c max n F 1 1 gdy p zostało wykorzyst ane 0 w przecwnym raze (2), (3) F c v, (4) v l w h, (5) oraz spełna ogranczena: 1. każde zapakowane pudełko mus znajdować sę całkowce wewnątrz kontenera, równolegle do jego ścan bocznych, w jednej z dostępnych dla danego typu rotacj, 2. zapakowane pudełka ne mogą na sebe nachodzć, 3. pudełko mus zostać umeszczone na spodze kontenera bądź na nnym zapakowanym pudełku. 41

3 Położene pudełek w kontenerze określane jest za pomocą współrzędnych w kartezjańskm układze odnesena. Charakter zboru pudełek P może różnć sę od słabo heterogencznego do slne heterogencznego. Zbór pudełek ma charakter słabo heterogenczny, jeżel dostępnych jest newele typów pudełek, z dużą ch lczbą dla każdego z nch, podczas gdy na zbór slne heterogenczny składa sę wele typów pudełek z małą ch lczbą dla każdego typu. 4. Reprezentacja rozwązana procedura dekodująca Załóżmy, że lczba pudełek do zapakowana jest równa n. Każde rozwązane reprezentowane jest przez dwa zbory o rozmarze n. Perwszy zbór opsuje typy pudełek, drug natomast odpowadające m rotacje. Możlwe jest równeż przechowywane nformacj o numerach pudełek (zamast o ch typach), jednak dla rozważanego problemu typy rotacje tworzą wystarczającą reprezentację. W celu określena wartośc funkcj celu, przy przyjętej reprezentacj, koneczne jest wykorzystane właścwej procedury dekodującej. Procedura dzała następująco. Na początku, wartośc odpowadające rozmarom pudełek są modyfkowane, w zależnośc od rotacj danego pudełka. Następne procedura stara sę umeścć każde z pudełek w kontenerze, zaczynając od perwszego z nch. Jeżel procedura ne jest w stane umeścć danego pudełka w kontenerze, zostaje ono zgnorowane rozważane jest kolejne pudełko. W celu określena, czy pudełko meśc sę w kontenerze procedura wykorzystuje lstę posortowanych, aktualne dostępnych pozycj (w postac współrzędnych). Podczas próby umeszczena pudełka w kontenerze, akceptowana jest perwsza spełnająca ogranczena pozycja. Na początku jedyną dostępną pozycją jest (0,0,0), która odpowada początkow kontenera. W momence gdy pudełko zostaje umeszczone w kontenerze, jego pozycja zostaje usunęta z lsty, a na jej mejsce tworzone są trzy nowe. Jeżel (x,y,z) jest właścwą pozycją dla pudełka o długośc l, szerokośc w wysokośc h, nowe pozycje posadają współrzędne (x+l,y,z), (x,y+w,z) (x,y,z+h). Lsta pozycj sortowana jest po każdym zapakowanu pudełka. Sortowane uwzględna wszystke współrzędne, zaczynając od współrzędnych os y a kończąc na współrzędnych os x. Ostatnm elementem jest wewnętrzna procedura odpowedzalna za określane czy pudełko może zostać umeszczone na danej pozycj. Pudełko pasuje tylko gdy spełnone są warunk: 1) pudełko ne przekracza rozmaru kontenera w żadnym wymarze 2) rozważane pudełko ne nachodz na pudełka już zapakowane. Drug warunek wymaga przechowywana nformacj o pudełkach znajdujących sę we wnętrzu kontenera. 5. Implementacja W celu rozwązana przedstawonego problemu zaprojektowano dwa algorytmy metaheurystyczne: symulowane wyżarzane (SA) oraz algorytm genetyczny (GA). Ponżej przedstawono pobeżny ops modyfkacj obu algorytmów jakch dokonano w celu przystosowana ch do welokryteralnego problemu pakowana. Algorytm GA korzysta z globalnego archwum Pareto w celu zachowywana nezdomnowanych rozwązań pomędzy kolejnym teracjam. Populacja początkowa jest losowa. Mutacja dokonywana jest poprzez welokrotną zamanę losowych pudełek. Krzyżowane polega na przecęcu dwóch chromosomów w losowych mejscach zamane mejscam odpowednch fragmentów w obu osobnkach. Otrzymane osobnk mogą ne być poprawne, węc dodatkowo przeprowadzany jest etap naprawy osobnków. Ocena osobnków odbywa sę z użycem metody TOPSIS 5. Wybór osobnków do następnej teracj odbywa sę w według selekcj turnejowej. W każdej teracj algorytmu SA następuje przeszukwane sąsedztwa aktualnego rozwązana, a znalezone nezdomnowane rozwązana dodawane są do archwum Pareto. W wynku przeszukwana aktualne rozwązane może zostać zastąpone przez lepsze rozwązane lub, z pewnym prawdopodobeństwem (zależnym od schematu temperatury), przez gorsze. Umożlwa to unknęce zatrzymana sę w optmach lokalnych wybrane lepszych końcowych rozwązań. Sąsedztwo uzyskwane jest za pomocą zamany dwóch pudełek ch rotacj. Po ukończenu algorytmów 5 Hwang C.L., Yoon K., Multple Attrbute Decson Makng: Methods and Applcatons, Sprnger Verlag, New York,

4 uzyskwane jest przyblżene frontu Pareto, czyl zbór rozwązań, w przecweństwe do wersj jednokryteralnej. 6. Eksperyment komputerowy Przeprowadzono testy z wykorzystanem wcześnej opsanych algorytmów oraz porównano je korzystając z dwóch technk oceny. Po perwsze, dla każdej nstancj rozwązanej przez GA SA oblczono lczbę rozwązań Pareto-optymalnych (odpowedno P(GA) P(SA) ) oraz lczbę unkalnych rozwązań nezdomnowanych znalezonych w obu aproksymacjach frontów Pareto - P. Po druge, oblczono wartośc wskaźnka Hper-objętośc (ang. Hyper-volume Indcator) 6, odpowedno I H (GA) oraz I H (SA), dla obu aproksymacj frontów Pareto. W celu uzyskana zblżonych warunków badań, dla obu algorytmów ustalono warunek stopu w postac lmtu czasu dzałana. W przypadku osągnęca ustalonego lmtu, algorytmy przerywały dzałane zwracały uzyskane do tej pory aproksymacje frontów Pareto. Tabela 1 przedstawa wynk badań wykonanych z użycem 12 nstancj dla problemu pakowana. Oba algorytmy uzyskały dobre wynk, jednakże algorytm GA znalazł zarówno węcej rozwązań Pareto-optymalnych jak uzyskał wększe wartośc wskaźnka I H. Warto równeż zaznaczyć, że żaden z testowanych algorytmów ne zdomnował w pełn drugego oba posadają reprezentantów w zborze unkalnych rozwązań nezdomnowanych P. Instancja P(GA) P(SA) P I H (GA) I H (SA) 5a b a b a b a b a b a b Tab. 1. Wartośc wskaźnka hper-objętośc oraz lczba rozwązań Pareto-optymalnych 7. Podsumowane Optymalzacja welokryteralna pozwala na lepsze modelowane skomplkowanych systemów używanych w praktyce, jednakże nektóre problemy optymalzacj dyskretnej wcąż ne zostały wystarczająco dokładne przebadane dla warantu welokryteralnego. W nnejszej pracy zaprezentowano dwe metaheurystyk skonstruowane dla welokryteralnego problemu pakowana, którego do tej pory ne opsano dokładne w lteraturze. Zauważono równeż, że pommo ż zwększene lczby pudełek prowadz zazwyczaj do zwększena wypełnena kontenera, jest możlwe uzyskane wększego wypełnena z mnejszą lczbą spakowanych pudełek. Na konec, zauważono że algorytm GA sprawuje sę neznaczne lepej podczas rozwązywana poruszanego problemu. Można stwerdzć, że problem pakowana jest ważną częścą logstyk, a użyce zaawansowanych model algorytmów daje znaczne lepsze wynk prowadz do wzrostu konkurencyjnośc przedsęborstw. 6 Ztzler E., Brockhoff D., Thele L., The Hyper-volume Indcator Revsted: On the Desgn of Paretocomplant Indcators Va Weghted Integraton, Evolutonary Mult-Crteron Optmzaton, 2006,

5 Bblografa Dahmana N., Clautauxb F., Krchena S., Talbb E.-G., Iteratve approaches for solvng a multobjectve 2-dmensonal vector packng problem, Computers & Industral Engneerng, Volume 66, Issue 1, pp , Fernándeza A., Gla C., Bañosb R., Montoyaa M.G., A parallel mult-objectve algorthm for twodmensonal bn packng wth rotatons and load balancng, Expert Systems wth Applcatons, Volume 40, Issue 13, pp , Gonçalvesa J.F., Resendeb M.G.C., A parallel mult-populaton based random-key genetc algorthm for a contaner loadng problem, Computers & Operatons Research, Volume 39, Issue 2, pp , Hwang C.L., Yoon K., Multple Attrbute Decson Makng: Methods and Applcatons, Sprnger Verlag, New York, Leung S.Y.S., Wong W.K., Mok P.Y., Multple-objectve genetc optmzaton of the spatal desgn for packng and dstrbuton carton boxes, Computers & Industral Engneerng, Volume 54, Issue 4, pp , Ztzler E., Brockhoff D., Thele L., The Hyper-volume Indcator Revsted: On the Desgn of Pareto-complant Indcators Va Weghted Integraton, Proceedngs of Evolutonary Mult-Crteron Optmzaton 2006, pp , Mult-Crtera 3-Dmenson Bn Packng Problem Summary In ths paper a mult-crtera 3-dmenson bn packng problem s consdered, wth the goal of maxmzaton of the number of the boxes loaded and total volume used. Two metaheurstc algorthms adapted for mult-crtera bn packng are developed. Research ndcate good qualty of obtaned solutons. 44