Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy:

Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka, Elektronika i Telekomunikacja. Znajdują się tu najważniejsze rzeczy z teorii, zrobione przykładowe typowe zadania oraz zestaw zadań do samodzielnych ćwiczeń. Trzeba mieć jednak na uwadze, że nie jest to kompletne opracowanie i nic nie zastąpi obecności na wykładach i ćwiczeniach. Warto też zaglądać do innych źródeł, w szczególności zaś do książki prof. Lassaka. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl Michał Musielak

Funkcje rzeczywiste Dziedzina funkcji Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam wypaść z dziedziny w następujących wypadkach: ˆ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t 0 ˆ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t 0 ˆ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t > 0 ˆ Aby wyrażenie log a t miało sens, musi być t > 0 ˆ Aby wyrażenie log t a miało sens, musi być t > 0 i t ˆ Aby wyrażenie arcsin t lub arccos t miało sens, musi być t Przykładowe zadanie: Znaleźć dziedzinę naturalną funkcji: f() = arcsin log ( + ) Rozwiązanie: Muszą być spełnione następujące warunki: + > 0 log ( + ) > 0 Pierwszy warunek oznacza, że [, ]. Drugi, że (, +). W przypadku trzeciego mamy: > log ( + ) log > log ( + ) > + 0 > czyli (, 0). Ponieważ muszą być spełnione wszystkie trzy warunki jednocześnie, więc odpowiedzią jest część wspólna tych przedziałów, czyli (, 0)

Funkcje różnowartościowe Funkcję rzeczywistą nazywamy różnowartościową jeśli dla dowolnych, z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie: f( ) f( ) Inaczej mówiąc: funkcja różnowartościowa różnym argumentom przypisuje różne wartości (jak sama nazwa wskazuje). W praktyce wykazać, że funkcja jest różnowartościowa można kilkoma sposobami: ˆ Można skorzystać z równoważnej definicji różnowartościowości: f( ) = f( ) = ˆ Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa) czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie będzie różnowartościowa) ˆ Jeśli wiemy skądinąd, że funkcja jest monotoniczna, to możemy wywnioskować, że jest też różnowartościowa. ˆ Jeśli badana funkcja jest złożeniem funkcji różnowartościowych, to sama też jest różnowartościowa. Przykładowe zadanie: Sprawdzić czy funkcja f() = log ( + arcsin ) z dziedziną naturalną jest różnowartościowa. Rozwiązanie: Nietrudno sprawdzić, że dziedzina naturalna to [, ]. Jeśli chcemy skorzystać z definicji, to zakładamy, że dla pewnych, z dziedziny zachodzi równość f( ) = f( ) i sprawdzamy czy wynika stąd, że = : log ( + arcsin ) = log ( + arcsin ) Podnosimy stronami do kwadratu: log ( + arcsin ) = log ( + arcsin ) Korzystamy z tego, że funkcja log t jest różnowartościowa: + arcsin = + arcsin Odejmujemy obustronnie dwójkę: arcsin = arcsin Korzystamy z różnowartościowości funkcji arcsin t = Voila! Inną metodą jest zauważenie, że nasza funkcja to złożenie funkcji, log, + i arcsin, z których każda jest różnowartościowa, a zatem nasza funkcja też jest różnowartościowa. 3

Funkcja odwrotna Jeśli funkcja f A B (gdzie A to dziedzina, a B - zbiór wartości) jest różnowartościowa, to istnieje wtedy funkcja odwrotna do niej (oznaczana przez f ), której dziedziną jest B, a zbiorem wartości A oraz jeśli f() = y, to f (y) =. Można powiedzieć, że funkcja odwrotna zamienia miejscami wartość z argumentem funkcji wyjściowej. Rozważmy na przykład funkcję f() = log (+4). Łatwo sprawdzić (rysując wykres), że jej dziedziną jest (, +), a zbiorem wartości R oraz, że funkcja jest różnowartościowa. Istnieje zatem funkcja do niej odwrotna. Funkcja wyjściowa przypisuje argumentowi wartość y zgodnie z przepisem y = log ( + 4), czyli weź argument, pomnóż go przez dwa, do wyniku dodaj czwórkę, a całość zlogarytmuj przy podstawie dwa. Jeśli szukamy funkcji odwrotnej, to tym razem argumentem jest y, a wartością, więc choć zależność między nimi to również y = log ( + 4), to tym razem podobnego przepisu nie ma (bo obliczenie dla danej wartości y wymagałoby za każdym razem rozwiązania równania). Skoro więc przepisu na to jak wyliczać wartość w zależności od y nie ma, to należy go znaleźć. Mamy: y = log ( + 4) y = + 4 y 4 = y = i stąd mamy przepis na : = y lub jak kto woli: f (y) = y Na koniec można jeszcze z przyczyn estetycznych zmienić nazwę zmiennej na (alternatywnie można też zamienić miejscami i y na samym początku): f () = 4

. Ćwiczenia Narysuj wykres funkcji: a) f() = ( ) + 3 b) f() = c) f() = log 3 ( 3) d) f() = 3 4 +. Sprawdź czy funkcja jest różnowartościowa: a) f() = e 3 + 4 b) f() = ln( + 4) c) f() = 3 d) f() = e + e.3 Znajdź dziedzinę naturalną oraz zbiór wartości. Sprawdź czy funkcja jest różnowartościowa, a jeśli tak, to wyznacz funkcję odwrotną. : a) f() = + log 5 ( + ) b) f() = c) f() = 5 7 4 d) f() = log 4 log.4 Wyznacz funkcję odwrotną do podanej: a) f() = + 3 dla (, +) b) f() = 5 + 5 z dziedziną naturalną c) f() = + dla (, ) d) f() = 8 z dziedziną naturalną e)* f() = cos dla [π, π] 5

Granice funkcji Wyrażenia nieoznaczone: [ 0 0 ], [ ], [0 ], [ ], [00 ], [ ], [ 0 ], [ 0 ] Jeśli w jakiejkolwiek granicy po podstawieniu liczby do której dąży zmienna (lub nieskończoności) pojawi się którekolwiek z powyższych wyrażeń, oznacza to, że z policzeniem granicy musimy poradzić sobie jakoś sprytniej. Przykłady obliczania typowych granic 3 3 + + + 3 W wypadku gdy zmienna dąży do ± a funkcja jest wymierna (czyli postaci wielomian przez wielomian ), wystarczy wyłączyć przed nawias najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku lub też podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika (w drugim sposobie należy pamiętać, że granica wielomianu w nieskończoności zależy wyłącznie od najwyższej potęgi tego wielomianu). Ogólniejsza zasada podziel przez największy kawałek mianownika często sprawdza się też w przypadku funkcji innych niż wymierne (uwaga: mowa tylko o granicy w nieskończoności!) 3 +... = + 3 + = 3 = 3 3 8 5 + 6 W wypadku gdy liczymy granicę funkcji wymiernej w punkcie a i wychodzi nam nieoznaczoność typu [ 0 ] 0 możemy wyłączyć z licznika i mianownika czynnik a (co wynika z tw. Bezout) i skrócić ( )(... = + + 4) = + + 4 = ( )( 3) 3 = 3 + 4 + 5 6

Jeśli pojawiają się pierwiastki oraz nieoznaczoność typu [ 0 ], 0 to najczęściej przydatne będzie pomnożenie licznika i mianownika przez tzw. sprzężenie. Sprzężeniem wyrażenia a b jest a+ b. Dzięki temu po przekształceniu zerujące się wyrażenia nie będą już zawierały pierwiastka: ( + )( + + )(4 + + 5)... = 3 (4 + 5)(4 + + 5)( + + ) ( 3)(4 + + 5) = 3 (5 5)( + + ) = 4 + + 5 3 5( + + ) = 5 Ważną granicą, którą trzeba zapamiętać jest: sin t t = t 0 t t 0 sin t = W miejsce t może stać dowolne wyrażenie, byle było zbieżne do zera. Przykładowe zadanie: sin 4 0 sin 3 Najpierw do każdego sinusa dorzucamy argument tego sinusa, a potem korygujemy wszystko, by wartość wyrażenia się nie zmieniła:... = 0 sin 4 4 3 sin 3 4 3 = 4 3 = 4 3 W sytuacji gdy mamy do czynienia z nieoznaczonością typu, będziemy mieć do czynienia z liczbą e. Najczęściej należy wówczas skorzystać z którejś z granic: Na przykład: ( + t t ± t ) = e ( t t ± t ) = e ( + 3 3 + ) Wyrażenie w nawiasie dąży do jedynki (dlaczego?), a wykładnik go nieskończoności. Stąd wniosek, że zapewne gdzieś tu się czai e i trzeba przekształcić naszą funkcję do postaci takiej jak w którejś z dwóch powyższych podstawowych granic:... = ( + 3 + ) = ( + + 3 ) = + ( + ) + + 3 = ( + Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do e, natomiast wykładnik do 6, dlatego ostatecznie ta granica jest równa e 6 7 + ) + 6 +

Nieoznaczoność typu [ ] 0 jest nieco innego typu niż pozostałe. W przypadku takiej nieoznaczoności należy policzyć granice lewo- i prawostronną: jeśli istnieją, to równe są + lub. Granica funkcji będzie istniała wyłącznie, jeśli granice jednostronne będą istniały i będą równe. Przykładowo, jeśli chcemy policzyć: 4 to z uwagi na pojawiającą się nieoznaczoność [ ] 0 badamy granice jednostronne: 4 = ( )( + ) = [ ( 0) 4 ] = [ 0 ] = + Skoro dążymy do dwójki z lewej strony, czyli po iksach mniejszych od dwóch, to < 0, czyli dąży do zera, ale jest stale ujemne. Ten fakt zapisuje się właśnie w powyższy sposób, stawiając znak minus przed zerem. Analogicznie: + 4 = + ( )( + ) = [ (+0) 4 ] = [ +0 ] = Skoro granica lewo- i prawostronna są inne, to znaczy, że wyjściowa granica nie istnieje. Ciągłość funkcji Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie 0 jeśli: ˆ Istnieje wartość w tym punkcie, czyli f( 0 ) ˆ Istnieje granica w tym punkcie, czyli 0 f() ˆ Granica jest równa wartości, czyli 0 f() = f( 0 ) Ponadto, jeśli funkcja jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, wtedy mówimy że funkcja jest ciągła. Przykładowo funkcja: sin dla 0 f() = 3 dla = 0 sin nie jest ciągła w zerze, bo co prawda ma tam wartość f(0) = 3 oraz granicę f() = 0 0 =, ale granica nie jest równa wartości. 8

Asymptoty funkcji Granice funkcji są też przydatne do wyznaczania asymptot funkcji, czyli takich prostych, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności (to znaczy gdy do nieskończoności dążą wartości lub argumenty funkcji). By znaleźć asymptoty funkcji, należy wyznaczyć najpierw dziedzinę funkcji i zapisać ją jako sumę przedziałów, następnie policzyć granice na wszystkich końcach tych przedziałów, a następnie na tej podstawie rozpoznać asymptoty: ˆ Jeśli w jakimś punkcie granica funkcji to nieskończoność, czyli: f() = ± a ± to funkcja ma w tym punkcie asymptotę pionową = a ˆ Jeśli w którejś nieskończoności granica funkcji jest liczbą, czyli: f() = a ± to funkcja ma w tym punkcie asymptotę poziomą y = a ˆ Jeśli funkcja nie ma w którejś nieskończoności asymptoty poziomej, to można sprawdzić czy istnieją asymptoty ukośne. Jeśli poniższa granica jest niezerową liczbą: oraz istnieje granica: f() ± = a 0 b = (f() a) ± to wówczas asymptotą ukośną jest prosta y = a + b Prześledźmy to na przykładzie. Załóżmy, że chcemy znaleźć asymptoty funkcji: f() = + Oczywiście dziedziną funkcji jest D f = (, ) (, +). Policzmy więc granice na wszystkich końcach przedziałów określoności: + = + = + = [ 0 ] = + + = [ ] = + + +0 + = + + = + Możemy stąd wywnioskować, że funkcja ma asymptotę pionową =, ale nie ma asymptot poziomych. Skoro nie ma asymptot poziomych, to sprawdźmy czy są ukośne: f() ± = + ± = + ± = oraz: + + b = ± ( ) = ± = skąd wniosek, że asymptotą ukośną jest y = + 9

Ćwiczenia. Oblicz granice: a) 4 + + + 00 3 + 4 b) + 3 + c) 6 + 3 + + 3 + + 5 + 3 d) + 5 + 44 + 3 + +. Oblicz granice: a) 5 + 6 3 9 b) 3 8 0 + 6 c) 3 + 3 4 + 5 d) 5 4.3 Oblicz granice: a) + 7 3 + 4 5 + 3 b) + 4 5 c) 3 3 + 7 + d) + 8 + 4.4 Oblicz granice: sin a) 0 sin 3 tg 3 b) 0 sin 4 c) 0 ctg 5 tg sin d)* 0 cos 3 4 cos 3 + 3.5 Oblicz granice: a) ( + 3 + 3 ) b) (4 4 + 5 ) c) ( + 3 + + ) d) ( 3 + 3 ).6 Znajdź asymptoty funkcji: a) f() = 4 b) f() = +3 c) f() = + 3 +4 d) f() = +.7 a) Sprawdź czy następująca funkcja jest ciągła: + 3 dla f() = dla = b) Wyznacz wartości parametru a dla którego funkcja jest ciągła w jedynce: sin( ) dla f() = a + a dla = 0

3 Pochodne Liczenie pochodnych Formalnie rzecz biorąc pochodna w punkcie jest granicą ilorazów różnicowych. Jednak do praktycznego liczenia pochodnych wystarczy znać wyłącznie pochodne funkcji elementarnych oraz kilka podstawowych wzorów. Pochodne funkcji elementarnych: ˆ ( n ) = n n dla n R, w szczególności: (c) = 0 () = ( ) = ( ) = ˆ (e ) = e, (a ) = a ln a, (ln ) =, (log a ) = ln a ˆ (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos, (ctg ) = sin ˆ (arcsin ) =, (arccos ) =, (arc tan ) = +, (arc ctg ) = + Tych wzorów warto nauczyć się na pamięć, bo sprawdzanie za każdym razem pochodnej danej funkcji w tablicach (nawet jeśli te tablice ma się akurat pod ręką) jest czasochłonne. Oprócz tego warto wiedzieć, że: ˆ Pochodna sumy (różnicy) funkcji to suma (różnica) pochodnych: ˆ Stałą zawsze można wyłączyć przed pochodną: ˆ Pochodną iloczynu oblicza się według wzoru: ˆ Pochodną ilorazu oblicza się według wzoru: (f() ± g()) = f () ± g () (af()) = af () (f()g()) = f ()g() + f()g () ( f() g() ) = f ()g() f()g () (g()) ˆ Pochodną funkcji złożonej oblicza się według wzoru: [f(g())] = f (g()) g ()

Przykładowe pochodne: ( 4 + 5 sin ln ) = 4 3 + 5 cos ( e ) = ( ) e + (e ) = e + e = e ( + ) ( ) e = ( ) e (e ) (e ) = e e e = e Nieznacznie trudniejsze jest obliczanie pochodnej funkcji złożonych: (sin(ln( + 4))) =... Póki nie nabierze się wprawy można podstawić za wnętrze funkcji zmienną t, tak aby nowa funkcja od t była funkcją elementarną:... = (sin t) t=ln( +4)=... Następnie obliczamy pochodną funkcji elementarnej, pamiętając o domnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej (czyli tej za którą wstawiliśmy zmienną t):... = cos t t t=ln( +4)=... i wracamy do podstawienia:... = cos(ln( + 4)) (ln( + 4)) =... I tak dalej. Jeśli nabierze się już wprawy, to można darować sobie wprowadzanie nowej zmiennej i liczyć w pamięci - pochodna logarytmu to odwrotność tego co w środku razy pochodna tego co w środku :... = cos(ln( + 4)) +4 ( + 4) Kolejne przykłady: ( ln tg ) = ln tg ln tg cos (najbardziej zewnętrzną funkcją jest t, stąd zaczynamy od liczenia jej pochodnej, a następnie domnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej) (e arcsin ) = (e ) arcsin + e (arcsin ) = e arcsin + e Jeszcze jednym typem pochodnej jest pochodna z funkcji typu Oblicza się ją korzystając z przekształcenia: skąd f() g() ln f() f() = e f() g() g() ln f() = e i już mamy do czynienia ze zwykłą funkcją złożoną. Przykładowo: ( sin ) = (e sin ln ) = e sin ln (sin ln ) = sin (cos ln + sin )

Reguła de l Hospitala Jednym z wielu zastosowań pochodnych jest reguła de l Hospitala, czyli metoda obliczania granic w przypadku niektórych wyrażeń nieoznaczonych. Reguła ta to jedno z najsilniejszych narzędzi do obliczania granic. Jeśli obliczamy granicę (w punkcie lub w nieskończoności): f() a g() i obie funkcje f, g dążą jednocześnie do zera lub do nieskończoności, czyli mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0] 0 lub [ ], to granicę można obliczyć według wzoru: (o ile granica po prawej stronie istnieje) f() a g() = f () a g () Przykłady: e e 0 użyć reguły de l Hospitala: (e... = (H) = e ) 0 () ln sin 0 ln sin = 0 cos cos =... Łatwo widać, że mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0 ], 0 zatem możemy = (H) 0 cos sin cos sin = 0 cos cos = = 0 e + e = = 0 tg tg = (H) = Niektóre inny typy nieoznaczoności można doprowadzić do postaci w której można użyć reguły de l Hospitala: ˆ Nieoznaczoność typu [0 ] Jeśli w iloczynie dwóch funkcji jedna dąży do zera, a druga do nieskończoności, możemy odwrócić (w sensie liczbowym) którąkolwiek z nich i w ten sposób otrzymać nieskończoność z założeń reguły de l Hospitala: (e ) ctg =... 0 Oczywiście e dąży w zerze do zera, a ctg do nieskończoności. Ale: ctg = tg więc nasza granica jest równa: e e = (H) = = 0 tg 0 cos 3

3. ˆ Nieoznaczoność typu [ ] W takim wypadku najczęściej można sprowadzić wyrażenie z którego liczymy granicę do wspólnego mianownika: ( 0 sin ) = 0 sin sin = (H) = cos = = (H) = 0 sin + cos 0 sin cos sin = 0 ˆ Nieoznaczoności typu [0 0 ], [ 0 ], [ ] W takim wypadku używamy podobnego przekształcenia jak w wypadku liczenia pochodnej funkcji typu f() g() : = e ln = e 0 ln 0 0 (ostatnie przekształcenie wynika z ciągłości funkcji e ) Policzymy osobno granicę z wykładnika: ln ln = 0 0 = (H) = 0 więc nasza granica to: e 0 = Ćwiczenia = 0 ( ) = 0 Oblicz pochodne funkcji: a) f() = e sin e) f() = ( + ) 0 j) f() = ln sin( + ) b) f() = sin e f) f() = arcsin ln arc tan k) f() = arcsin c) f() = tg g) f() = i) f() = e arcsin sin 3 d) f() = sin e + h) f() = e + sin cos l) f() = (sin ) 3. Oblicz granice: cos a) 0 e b) 0 sin arc tan c) 0 d) 0 9 + 8 7 6 + 5 e) ( ctg ) 0 f) 0 (e e ) cos g) 0 ( sin ) i) ( ) tg π j) ( ln ( + )) k) +( + )ln 0 h) tg π l) ( π arc tan ) 4

4 Przebieg zmienności funkcji Badając pierwszą i drugą pochodną funkcji można uzyskać informacje o samej funkcji. ˆ Pierwsza pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f () > 0, to w tym przedziale f() jest rosnąca. Jeśli w jakimś przedziale jest f () < 0, to w tym przedziale f() jest malejąca. Jeśli w jakimś punkcie jest f ( 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f () zmienia znak, to w tym punkcie jest ekstremum lokalne. ˆ Druga pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f () > 0, to w tym przedziale f() jest wypukła. Jeśli w jakimś przedziale jest f () < 0, to w tym przedziale f() jest wklęsła. Jeśli w jakimś punkcie jest f ( 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f () zmienia znak, to w tym punkcie jest punkt przegięcia. Przykładowo jeśli chcemy znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f() = (po zauważeniu, że dziedzina to R) liczymy pierwszą pochodną: f () = + = ( )( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) +, to Widać stąd, że pochodna zeruje się tylko w punktach = i w =. Nietrudno też zbadać (metodą wężyka ), że f () > 0 w przedziale (, ) oraz f () < 0 w przedziałach (, ) i (, +). Wnioski na temat samej funkcji można sformułować słownie, ale najwygodniej jest przedstawić je w tabelce: (, ) (, ) (, ) f () 0 + 0 f() min ma Z tabelki można odczytać gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, a także, że ma minimum lokalne w = (równe f( ) = ) oraz maksimum lokalne w = (równe f() = ). Gdybyśmy natomiast chcieli znaleźć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji f() = 4 6 + + 5, to trzeba znaleźć drugą pochodną: f () = 4 3 + f () = = ( )( + ) Jak poprzednio bardzo łatwo sprawdzić gdzie druga pochodna się zeruje, gdzie jest dodatnia i gdzie jest ujemna. I jak poprzednio wnioski najwygodniej zamieścić w tabelce: (, ) (, ) (, ) f () + 0 0 + f() p.p. p.p. Jak widać punkty przegięcia są w = (wówczas f() = ) oraz w = (wówczas f( ) = ). 5

Uwaga!: w pierwszym wierszu tabelki punktami wyróżnionymi są miejsca zerowe pochodnej (tej którą akurat badamy) oraz wszystkie punkty, które wypadły z dziedziny. Natomiast jeśli badamy pełen przebieg zmienności funkcji, to w pierwszym wierszu punktami wyróżnionymi muszą być miejsca zerowe obu pochodnych oraz punkty, które wypadły z dziedziny. Wykorzystując całą zebraną do tej pory wiedzy możemy wyciągnąć wszystkie informacje o zachowaniu funkcji, czyli zbadać tytułowy przebieg zmienności funkcji. Schemat postępowania wygląda mniej więcej tak:. Zebranie wstępnych informacji o funkcji: ˆ Dziedzina (koniecznie) ˆ Miejsca zerowe (niekoniecznie, ale warto wiedzieć gdzie wykres przecina oś OX) ˆ Parzystość, nieparzystość, okresowość (opcjonalnie). Asymptoty ˆ Granice na wszystkich końcach przedziałów określoności ˆ Wnioski na temat asymptot pionowych i poziomych ˆ Ewentualne szukanie asymptot ukośnych 3. Badanie pierwszej pochodnej ˆ Doprowadzenie pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) ˆ Zbadanie miejsc zerowych pochodnej oraz jej znaku 4. Badanie drugiej pochodnej 5. Tabelka 6. Wykres ˆ Doprowadzenie drugiej pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) ˆ Zbadanie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz jej znaku ˆ Informacje o obu pochodnych zamieszczamy w tabelce i na ich podstawie wnioskujemy na temat zachowania funkcji Oczywiście redagując rozwiązanie jakiegoś zadania nie trzeba ściśle trzymać się powyższych punktów - wystarczy, żeby w rozwiązaniu znalazły się wszystkie istotne rzeczy. Prześledźmy to na przykładzie. 6

Zbadajmy funkcję f() = e. Oczywiście jej dziedzina to D f = (, 0) (0, +). Widać też, że w dziedzinie funkcja nie ma miejsc zerowych. Poszukajmy zatem asymptot, zaczynając od liczenia granic na końcach przedziałów określoności: e + e 0 = [ 0 ] = e = [ 0 ] = 0 = (H) = + e = + e 0 + = [ +0 ] = + Możemy zatem wywnioskować, że obustronną asymptotą pionową jest = 0, lewostronną asymptotą poziomą jest y = 0, natomiast nie ma asymptoty poziomej prawostronnej. Analogiczny rachunek (dwukrotnie użyta reguła de l Hospitala) pokazuje, że nie ma też prawostronnej asymptoty ukośnej. Przejdźmy więc do analizy pochodnych. Mamy: oraz f () = e e = e ( ) f () = e e ( ) = e ( + ) 4 3 Łatwo widać, że pierwsza pochodna zeruje się w jedynce, dla argumentów mniejszych od jedynki jest ujemna, a dla większych od jedynki dodatnia. Natomiast druga pochodna nie ma miejsc zerowych, ale jest dodatnia dla iksów dodatnich i ujemna dla ujemnych. Zamieśćmy te informacje w tabelce: Minimum lokalne w jedynce jest równe f() = e (, 0) 0 (0, ) (, ) f () 0 + f () + + f() min Wypełnianie tabelki należy zacząć od pierwszego miejsca - wyróżniamy w nim wszystkie miejsca zerowe obu pochodnych, punkty które wypadły z dziedziny oraz wszystkie przedziały między tymi punktami. Następnie uwzględniamy dziedzinę, to znaczy wykreślamy te miejsca, w których funkcja i jej pochodne nie istnieją. Później wypełniamy kolejne wiersze, zapisując w nich informacje uzyskane przy badaniu obu pochodnych (tzn. znak i miejsca zerowe), a na koniec uzupełniamy ostatni wiersz na podstawie dwóch wcześniejszych. Na końcu na podstawie asymptot i tabelki możemy zrobić wykres funkcji: 7

4. Ćwiczenia Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: a) f() = 3 + 3 9 + b) f() = 3 + c) f() = + d) f() = ( 3)e 4. Znajdź przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f() = 4 6 + + 3 b) f() = ln( + 4) c) f() = ( + )e d) f() = ln 4.3 Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f() = e b) f() = 8

5 Całkowanie przez części i przez podstawienie Całkowanie to operacja odwrotna do liczenia pochodnych, tzn.: f()d = F () + C F () = f() Z definicji oraz z tabeli pochodnych funkcji elementarnych od razu wynika tabela całek funkcji elementarnych: Całki funkcji elementarnych: ˆ n d = n+ n + dla n, w szczególności: d = + C, d = + C, d = + C, d = + C ˆ e d = e + C, a d = a ln a + C, d = ln + C ˆ sin d = cos + C, cos d = sin + C, ˆ d = arcsin + C, d = arc tan + C + Podobnie jak przy pochodnych mamy też wzory: d = tg + C, cos d sin = ctg + C (f() + g())d = f()d + g()d, af()d = a f()d Wszystkie inne całki będziemy starali się sprowadzić do całek z funkcji elementarnych. Dwa główne narzędzia, które do tego służą to całkowanie przez części oraz całkowanie przez podstawienie. Całkowanie przez części Wzór na całkowanie przez części: u v = uv uv Jego stosowanie ma sens wtedy gdy całka po prawej stronie równości będzie łatwiejsza do policzenia niż ta po lewej. Przykład: cos d = u = cos v = u = sin v = = sin sin = sin + cos + C Gdybyśmy przyjęli odwrotnie, tzn. u =, v = cos, to nową całką byłaby sin, czyli byłaby trudniejsza niż wyjściowa. 9

Całkowanie przez podstawienie Całkowanie przez podstawienie odbywa się według schematu: f (g())g t = g() ()d = dt = g ()d = f (t)dt = f(t) + C = f(g()) + C Praktyczna wskazówka jest taka, żeby w funkcji podcałkowej szukać pary: funkcja i jej pochodna stojąca przy d. Przykłady: e d = d ln d + 4 = t = dt = d dt = d = ln = t dt = d = t = dt = d = e t dt = et + C = e + C dt t = ln t + C = ln ln + C = dt + t = arc tan t + C = arc tan + C dt = d O ile w przypadku liczenia pochodnych na wszystko jest algorytm, o tyle przy całkowaniu potrzebna jest odrobina inwencji: po pierwsze trzeba wybrać metodę całkowania, a po drugie przy podstawieniu trzeba znaleźć odpowiednie podstawienie. Nie ma innej metody na nauczenie się tego niż samodzielne policzenie n całek dla dostatecznie dużych n (proponowałbym n 00). Ćwiczenia 5. Oblicz całki stosując metodę całkowania przez części: a) cos d b) e d c) ln d d) ln d arc tan d e) + f) arc tan d g) ln d h) e cos d 5. Oblicz całki stosując metodę całkowania przed podstawienie: a) cos d b) ( 5) 0 arc tan d d c) + d) ln d e) f) d d 6 + g) e +e h) e sin e cos e d d ln 5.3 Oblicz całki: a) 3 e d b) e sin e d c) + sin e) arccos d f) g) sin d cos 4 + ln d 3 d) arcsin d h) cos d 0

6 Całkowanie funkcji wymiernych Funkcje wymierne to funkcje postaci wielomian przez wielomian. Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernych są tzw. ułamki proste czyli funkcje wymierne postaci: A A+B (a+b) oraz n (a +b+) przy czym w mianowniku < 0 n Całkowanie ułamków prostych Każdy typ ułamka prostego ułamka prostego umiemy scałkować, co łatwo widać na przykładach: ˆ 4 = 4 = ln 4 + C ˆ ( ) 4 = ( ) 4 = ( ) 3 3 + C 6+5 +4+8 =... W pamięci liczymy, że pochodną mianownika jest + 4, a następnie chcemy wyodrębnić tę pochodną w liczniku:... = 3(+4) 7 +4+8 = 3 +4 +4+8 7 +4+8 W pierwszej całce możemy skorzystać z faktu, że f f = ln f, co oznacza, że ta całka jest równa ln( + 4 + 8). Natomiast drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru +a = a arc tan a : +4+8 = (+) + = + arc tan Ostatecznie więc nasza całka to: 3 ln( + 4 + 8) 7 + arc tan + C ˆ ˆ 6+5 ( +4+8) 3 W takim wypadku przekształcamy nawias z mianownika do postaci t + : + 4 + 8 = ( + ) + 4 = 4 (( +) + ) więc nasza całka jest równa: 64 6+5 (( + )+)3 d i teraz podstawiamy + = t, skąd d = dt oraz = t, więc mamy: 3 t 7 (t +) dt = 6 t 3 3 (t +) dt 7 3 (t +) dt 3 W pierwszej całce wystarczy teraz podstawić t + = u i tdt = du, by sprawdzić, że: t (t +) dt = du u = 3 u + C = (t +) + C = + C (( + )+) Natomiast w drugiej całce możemy użyć wzoru rekurencyjnego - jeśli oznaczymy I n = to: (t +), n I n = t n 3 + (n )(t + ) n n I n Widać więc, że nasze szukane I 3 możemy sprowadzić do liczenia I, a to z kolei możemy sprowadzić do liczenia I, które oczywiście jest równe arc tan t. Policzenie szukanej całki jest więc wykonalne, ale bardzo żmudne. Skoro umiemy całkować każdy ułamek prosty, to gdyby dowolną funkcję wymierną dało się przedstawić jako sumę ułamków prostych, to udałoby się też ją scałkować. Okazuje się, że takie przedstawienie jest możliwe, o czym mówi nam twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste Aby rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste najpierw musimy zadbać o to by stopień wielomianu w mianowniku był niższy niż stopień wielomianu w liczniku. Jeśli tak nie jest, to zaczynamy od podzielenia (pisemnie) wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika: 4 + 3 + + = ( +)( +3) 7+ + = ( + 3) 7 + Gdybyśmy całkowali wyjściową funkcję, to powyższe przekształcenie sprowadza nam problem do scałkowania wielomianu + 3 (co umiemy) oraz scałkowania nowej funkcji wymiernej, w której już jest tak jak chcemy, czyli stopień wielomianu z licznika jest mniejszy niż stopień wielomianu z licznika. Jeśli już tak jest, to możemy rozłożyć taką funkcję wymierną postępując według schematu:. Rozkładamy wielomian z mianownika na czynniki. Jak wiadomo każdy wielomian daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.. Zależnie od postaci czynników przewidujemy jakiego typu ułamki proste znajdą się w rozkładzie: Przykładowo: ˆ ˆ ( 3)(+) = A 3 + B + 3 ( +) = A + B + C + E+F 3 + Rodzaj czynnika Postać ułamka prostego A ( ) 3 A + B ( ) + C ( ) 3 A+B + + ++ ( + ) 3 A+B + + C+D ( +) + E+F ( +) 3 3. Znajdujemy wartości stałych A, B, C,... z ułamków prostych: (a) Sprowadzamy ułamki proste do wspólnego mianownika. (b) Porównujemy licznik tego co wyszło z licznikiem wyjściowej funkcji wymiernej. (c) Wstawiamy w miejsce tyle różnych wartości ile mamy stałych A, B, C,... do znalezienia (przy czym wartości te wybieramy tak, by liczyło się najwygodniej) (d) Rozwiązujemy otrzymany układ równań liniowych Przykład: 3+ Rozkładamy funkcję na ułamki proste: 3+ = ( )( ) = A + B = A( )+B( ) ( )( ) Porównujemy liczniki: = A( ) + B( ) i wstawiając kolejno = i = otrzymujemy = A (czyli A = ) oraz B =. Tak więc nasza całka to: 3+ = + ( ) = ln + ln + C = ln + C Ćwiczenia 6. Oblicz całki z funkcji wymiernych: a) + d b) 3 + d c) 9+ 3 +3 +7+5 d d) +3 3 + d e) 3+ 4 +4+7 d f) ( +4+5) d

7 Całkowanie funkcji niewymiernych Przez funkcje niewymierne będziemy rozumieć tutaj tylko funkcje, w których występuje pierwiastek bądź z trójmianu kwadratowego, bądź też z funkcji homograficznej. Oczywiście w istocie klasa funkcji niewymiernych jest o wiele szersza (w szczególności można by do tego działu dorzucić całkowanie wyrażeń dwumiennych oraz całki eliptyczne), ale dla naszych potrzeb wystarczą tylko wymienione typy. Całki z funkcji z a + b + c Kluczowe są tutaj dwa wzory: + q d = ln + + q + C, q d = arcsin q + C lub ogólniej: ( p) + q d = ln p + ( p) + q + C, p d = arcsin + C q ( p) q d a, to wystarczy sprowadzić trójmian z mianownika do po- +b+c Jeśli więc liczymy całkę postaci staci kanonicznej. Przykład: 3d 4 +4+9 = 3d 4(+ ) +8 = 3 d = 3 (+ ) + ln + + ( + ) + Jeśli w liczniku mamy wyrażenie liniowe, to możemy wyodrębnić z licznika pochodną trójmianu z mianownika i podzielić szukaną całkę na dwie całki. Przykład: +3 d = 4 4 +4+9 (8+4)+ d = 8+4 4 +4+9 4 d + 4 +4+9 d 4 +4+9 Druga całka to ta z poprzedniego przykładu. Natomiast, żeby policzyć pierwszą wystarczy scałkować przez podstawienie: 8+4 d = t = 4 + 4 + 9 4 +4+9 dt = (8 + 4)d = dt t = t + C = 4 + 4 + 9 + C Jeśli natomiast w liczniku mamy wielomian stopnia wyższego niż jeden, to możemy przewidzieć postać rozwiązania. Jeśli W n () jest wielomianem n-tego stopnia, to dla pewnego wielomianu V n () stopnia n i dla pewnej stałej A zachodzi równość: W n ()d a + b + c = V n () a + b + c + Ad a + b + c Ostatnią całkę już umiemy policzyć, wystarczy zatem znaleźć wielomian V n () i stałą A. Można to zrobić licząc pochodną obu stron, porządkując obie strony i porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów. 3

Całki z funkcji z n a+b c+d Jeśli w funkcji podcałkowej występują wyrażenia postaci n a+b c+d, m a+b c+d,..., to używamy podstawienia t = r a+b c+d, gdzie r to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb n, m,.... Przykładowo: ˆ W całce 3 + 4 +3 d podstawilibyśmy t = ˆ W całce ˆ W całce +4 d podstawilibyśmy t = d + 3 +4 podstawilibyśmy t = 6 Ideą takiego podstawienia jest sprowadzenie naszej całki do całki z funkcji wymiernej przez pozbycie się pierwiastków. Przykłady: t = 4 + 3 + d = t = = t dt d = t t 3 +t 4 +t 6 dt + d = t = =... + Z podstawienia wyznaczamy : t = +, t + t =, t = t +, = t + t 6t i obliczamy, że d = ( t ) dt, więc nasza całka to:... = t + 6t t t ( t ) dt czyli dostajemy zwykłą całkę z funkcji wymiernej (choć akurat tutaj skomplikowaną rachunkowo). Ćwiczenia 7. Oblicz całki z funkcji niewymiernych: d a) 3 6 b) d 5+4 d) c)* 3 ++ 3 + d e) 3d f) d ++ d + 8 Całkowanie funkcji trygonometrycznych Najskuteczniejszą (choć nie zawsze najszybszą) metodą całkowania funkcji w których pojawiają się funkcje trygonometryczne jest zastosowanie podstawienia uniwersalnego: Jeśli t = tg to d = dt t t, sin =, cos = + t + t + t To podstawienie pozwala pozbyć się z funkcji podcałkowej funkcji trygonometrycznych, jeśli więc wyjściowa funkcja podcałkowa była funkcją wymierną od sinusa i cosinusa, to nowa całka będzie całką ze zwykłej funkcji wymiernej. Przykład: sin +3 cos d = t = tg = dt t t +t +3 +t = +t co sprowadza liczenie do takiej całki jaką już umiemy. dt 3t +4t+3 4

Czasem jednak można liczyć prościej. Najbardziej typowym przykładem są całki postaci: Postępujemy wówczas według schematu: sin n cos m d ˆ Jeśli n, m są nieparzyste, to podstawiamy t = sin lub t = cos ˆ Jeśli n jest nieparzyste, a m parzyste, to podstawiamy t = cos ˆ Jeśli n jest parzyste, a m nieparzyste, to podstawiamy t = sin ˆ Jeśli n, m są parzyste, to mamy trzy możliwości: Przykłady: Użyć podstawienia podobnego do uniwersalnego, tzn.: Jeśli t = tg to d = dt + t, sin = t + t, cos = sin Użyć wzorów sin cos = i cos +cos = Pozbyć się jednej z funkcji sin, cos i zastosować wzory rekurencyjne + t ˆ sin cos 3 d = sin ( sin ) cos d = t = sin dt = cos d = (t t 4 )dt = = t3 3 t5 5 + C = sin3 3 sin5 5 + C ˆ sin cos 4 d = t = tg = t t + dt (+t ) +t W ten sposób otrzymujemy całkę z funkcji wymiernej, a to już umiemy (choć akurat w tym przypadku trzeba się mocno nagimnastykować ze wzorami na I n ) ˆ sin cos 4 d = (sin cos ) cos d = 4 sin ( + cos )d = = t = d = dt = 8 (sin t + sin t cos t)dt Scałkować sin t cos t oczywiście umiemy, natomiast w przypadku całki z sin t wystarczy zastosować: Ćwiczenia 8. sin d = + sin cos + C, cos d = sin cos + C Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: +sin a) sin (+cos ) d b) d c) sin 3 sin 5 cos 4 d d) sin cos d 5

9 Całki oznaczone Całkę oznaczoną definiuje się jako granicę sum pól pod krzywą, z czego wynika geometryczna interpretacja - całka oznaczona a b f()d jest równa (co do modułu) polu figury między krzywą f() a osią OX i znajdującej się między prostymi = a i = b. Równie ważny co interpretacja geometryczna jest fakt wynikający z Podstawowego Twierdzenia Rachunku Całkowego: Jeśli f()d = F () + C to a b f()d = F () b a = F (b) F (a) Przykładowo: e ln d = ( ln ) e = (e ln e e) ( ln ) = Niektóre zastosowania całek oznaczonych ) Pole figury płaskiej: a) współrzędne kartezjańskie - jeśli figura jest ograniczona przez y = f() (z góry), y = g() (z dołu) oraz = a, = b, to jej pole to: S = a b (f() g())d b) współrzędne biegunowe - jeśli figura składa się z punktów o kącie należącym do przedziału [α, β] (gdzie α, β [0, π) i promieniu mniejszym od r = r(φ), to jej pole to: S = α β (r(φ)) dφ c) postać parametryczna - jeśli figura leży pomiędzy osią OX, a krzywą = (t), y = y(t) gdzie t [t, t ], oraz (t) i y(t) są ciągłe, (t) monotoniczna, a y(t) stałego znaku, to pole tej figury to: S = t t y(t) (t) dt ) Długość krzywej: a) współrzędne kartezjańskie - długość krzywej y = f() dla [a, b] to: l = a b + (f ()) d b) współrzędne biegunowe - długość krzywej r = r(φ) dla φ [α, β] (gdzie α, β [0, π)) to: l = β (r(φ)) + (r (φ)) dφ α c) postać parametryczna - długość krzywej = (t), y = y(t) dla t [t, t ] to: l = t t ( (t)) + (y (t)) dt 3) Objętość bryły obrotowej: a) współrzędne kartezjańskie - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywymi y = f(), y = 0, = a, = b wokół osi OX ma objętość: V = π a b (f()) d b) postać parametryczna - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą = (t), y = y(t) (gdzie (t) i y(t) są ciągłe, a (t) jest stałego znaku) dla t [t, t ] i osią OX wokół osi OX 6

ma objętość: V = π t t (y(t)) (t) d 4) Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej: a) współrzędne kartezjańskie - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywymi y = f(), y = 0, = a, = b wokół osi OX ma pole powierzchni bocznej: P p = π a b f() + (f ()) d b) postać parametryczna - bryła powstała przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą = (t), y = t y(t) dla t [t, t ] i osią OX wokół osi OX ma pole powierzchni bocznej: P p = π y(t) ( (t)) + (y (t)) d t Zadania przy których potrzebny jest któryś z powyższych wzorów robi się schematycznie - podstawiamy do stosownego wzoru (być może czasem trzeba najpierw znaleźć granice całkowania), a potem liczymy stosowną całkę nieoznaczoną (co zazwyczaj jest najtrudniejszą częścią zadania) i wstawiamy na koniec granice całkowania. Prawie zawsze wygodnie jest zacząć rozwiązanie od zrobienia rysunku (czasem jest to wręcz niezbędne). Najbardziej typowe zadanie to policzenie pola figury ograniczonej przez dwie krzywe. Niech jedną krzywą ograniczającą naszą figurę będzie y =, a drugą y = 4. Po zrobieniu rysunku widać, że figura ma kształt miski oraz górna krzywa to y = 4, a dolna y =. Pozostaje znaleźć granice całkowania - są to pierwsze współrzędne punktów wspólnych tych dwóch krzywych, czyli takich punktów, które spełniają oba równania naraz. Z porównania igreków dostajemy = 4, czyli = lub =, stąd nasze pole to: S = (4 ) = (4 3 ) 3 = 48 3 Używając powyższych wzorów można też łatwo wyprowadzić wiele zależności geometrycznych. Wyprowadźmy dla przykłady wzór na obwód koła o promieniu R. We współrzędnych biegunowych okrąg o takim promieniu ma równanie r(φ) = R gdzie φ [0, π]. W takim razie r (φ) = 0 i ze wzoru b mamy: Obw = π R + 0 dφ = Rφ π 0 = πr 0 czyli rzeczywiście wzór poznany w szkole średniej jest prawdziwy. Ćwiczenia 9. Znajdź pola figur ograniczonych krzywymi: a)y = sin, y = cos, = 0, = π b) y =, y = 9. Wyprowadź wzory na pole i obwód koła o promieniu R, objętość i pole powierzchni bocznej kuli o promieniu R, objętość i pole powierzchni bocznej stożka o wysokości H i promieniu podstawy R. Porównaj złożoność rachunków przy użyciu poszczególnych układów współrzędnych. 7

0 Całki niewłaściwe Najogólniej (choć nie do końca ściśle) rzecz biorąc - całka niewłaściwa to całka oznaczona, w której funkcja podcałkowa nie istnieje na którymś końcu przedziału całkowania. Przez nieistnienie rozumiemy tu także sytuację, gdy którymś końcem przedziału całkowania jest ±. Formalne definicje to: Całka niewłaściwa I rodzaju Jeśli funkcja f() jest określona i całkowalna na każdym odcinku [a, T ], to: a f()d = T a T f()d Jeśli funkcja f() jest określona i całkowalna na każdym odcinku [T, b], to: b f()d = T T b f()d Całka niewłaściwa I rodzaju Jeśli funkcja f() jest określona, ograniczona i całkowalna na każdym odcinku [a, T ] dla T < b, a w b ucieka do nieskończoności to: a b f()d = T b a T f()d Jeśli funkcja f() jest określona, ograniczona i całkowalna na każdym odcinku [T, a] dla a < T, a w a ucieka do nieskończoności to: a b f()d = T a + T b f()d Jeśli te granice istnieją i są skończone to mówimy, że całka jest zbieżna, w przeciwnym wypadku mówimy, że jest rozbieżna. Przykładowo: 0 d = T d = T T 0 + T (obie całki są zbieżne) d = T ( ) T = T ( T ) = d = T 0 + ( ) T = T 0 + ( T ) = W przypadku kiedy funkcja podcałkowa nie istnieje w kilku punktach, całkę podzielić na kilka spełniających założenia definicji, na przykład: 0 T d = d + d = d + d =... 0 T 0 T 0 + T i dalej jak w zwykłym przypadku. 8

Szeregi liczbowe Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie postaci a n i definiujemy jako: a n = N a n N Intuicyjnie należy przez szereg rozumieć sumę wszystkich wyrazów dowolnego ciągu liczbowego. Jeśli powyższa granica jest skończona, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a jeśli granica jest nieskończona lub w ogóle nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny. Przykłady: Szereg jest zbieżny, ponieważ jest to suma nieskończonego ciągu geometryczny o ilorazie q takim, że q < - granica z definicji zatem istnieje i jest 3n skończona. Szereg 3 n jest rozbieżny, ponieważ jest to suma nieskończonego ciągu geometryczny o ilorazie q takim, że q > - granica z definicji zatem co prawda istnieje, ale jest nieskończona. Szereg ( ) n jest rozbieżny, ponieważ granica z definicji nie istnieje - suma skończona na zmianę jest jedynką i zerem, więc do niczego nie zbiega. Przydatne granice: ( + n n n ) = e n a = n n n = n W przypadku szeregów liczbowych najczęściej szukamy odpowiedzi na pytanie czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Do jej znalezienia możemy użyć kilku kryteriów zbieżności. Uwaga: od tej pory zakładamy, że ciąg a n ma wyrazy nieujemne! ˆ Warunek konieczny zbieżności Jeśli a n jest zbieżny, to n a n = 0. Inaczej mówiąc: jeśli n a n nie istnieje lub istnieje, ale jest różna od zera, to szereg ˆ Kryterium Cauchy ego. a n jest rozbieżny. Niech n a n = g. Jeśli g > to szereg n a n jest rozbieżny, jeśli g < szereg jest zbieżny, a jeśli g =, to kryterium nie daje rozstrzygnięcia. ˆ Kryterium d Alemberta a n+ Niech = g. Jeśli g > to szereg n a n jest rozbieżny, jeśli g < szereg jest zbieżny, a a n jeśli g =, to kryterium nie daje rozstrzygnięcia. ˆ Kryterium porównawcze Niech dla ciągów (a n ) i (b n ) od pewnego miejsca zachodzi nierówność a n b n. Wówczas: - jeśli szereg b n jest zbieżny, to a n też - jeśli szereg a n jest rozbieżny, to b n też. 9

Inaczej mówiąc: ze zbieżności sumy większego ciągu wynika zbieżność sumy mniejszego ciągu, a z rozbieżności sumy mniejszego ciągu wynika rozbieżność sumy większego ciągu. W przypadku używania kryterium porównawczego warto wiedzieć, że: - szereg - szereg Przykłady zastosowań: jest zbieżny dla α > oraz rozbieżny dla α nα q n jest zbieżny dla q < i rozbieżny dla q ˆ Szereg ˆ Szereg n n ˆ Szereg a n+ n a n ( ) n jest rozbieżny, ponieważ nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. ( n + n + 3 ) n jest rozbieżny na mocy kryterium Cauchy ego, ponieważ: ( n + n n + 3 ) n + = n n + 3 = n n n! = n + n + 3 n = > jest zbieżny na mocy kryterium d Alemberta, ponieważ mamy: n+ (n+)! n n! = n n n! (n + ) n! = n n n + = 0 < n + ˆ Szereg jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego. n + By to stwierdzić możemy zacząć od ocenienia rzędu wielkości ciągu - w liczniku dominującym składnikiem jest n, a w mianowniku n, tak więc całość jest rzędu n n = n. Dzięki temu wiemy, że w ogóle będziemy chcieli pokazywać rozbieżność. A żeby pokazać rozbieżność wystarczy wskazać jakiś mniejszy ciąg, którego suma jest rozbieżna. Czyli musimy oszacować ciąg n+ n + z dołu. Szacując ułamek z dołu mamy prawo zmniejszyć licznik i zwiększyć mianownik, a szacując ułamek z góry mamy prawo zwiększyć licznik i zmniejszyć mianownik, co symbolicznie można zapisać: zmniejszamy zwiększamy licznik mianownik zwiększamy zmniejszamy n+ U nas mamy: n + n n +n = n. Suma mniejszego szeregu jest rozbieżna, zatem suma wyjściowego również, co właśnie chcieliśmy pokazać. Warto zwrócić uwagę, że kryterium d Alemberta opłaca się stosować gdy w ciągu pojawiają się silnie, a kryterium Cauchy ego gdy w ciągu pojawiają się n-te potęgi (i nie ma silni). Ćwiczenia. Rozstrzygnij czy następujące szeregi są zbieżne: n n! a) b) c) ( + n n 3 n n + n ) d) n + n + n 3 + n + e) n! f) n n n n + ctg 30