Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Podobne dokumenty
Obliczenia naukowe Wykład nr 14

Matematyka stosowana i metody numeryczne

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

Elementy metod numerycznych DEMN LMO Materiały na ćwiczenia dla grupy 1CB

splajnami splajnu kubicznego

1 Definicja całki oznaczonej

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

DYDAKTYCZNA PREZENTACJA PRÓBKOWANIA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

3. F jest lewostronnie ciągła

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

WSTĘP DO INFORMATYKI

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4) Podaj wartość stałych czasowych, wzmocnienia i punkt równowagi przy wymuszeniu impulsowym

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Interpolacja funkcjami sklejanymi

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Nieciagly.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Analiza matematyczna ISIM II

Transkrypt:

http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji cłowlnych w przedzile [, b] Funcjonł liniowy I, odwzorowujący IF w zbiór liczb rzeczywistych R, oreślmy nstępująco: (11) I(f) := f(x) dx (f IF ) Funcjonł Q n : IF R, postci (1) n Q n (f) := A f(x ), n N \ {0} Q n nzywmy wdrturą liniową, liczby A A (n) ( = 0, 1,, n) współczynnimi (wgmi), liczby x x (n) ( = 0, 1,, n) węzłmi wdrtury Q n Cł (11) stnowi szczególny wypde ogólniejszej cłi I p : IF R, oreślonej wzorem (1) I p (f) := p(x)f(x) dx (f IF ), funcj wgow p jest dodtni w (, b) i t, że cłi x p(x) dx istnieją dl = 0, 1, Funcjonł R n : IF R oreślony wzorem (14) R n (f) := I p (f) Q n (f) (f IF ) nzywmy resztą (błędem) wdrtury Q n Definicj 11 Mówimy, że wdrtur Q n jest rzędu r, jeśli (i) R n (f) = 0 dl żdego wielominu f Π r 1 orz (ii) istnieje ti wielomin w Π r \ Π r 1, że R n (w) 0 Lemt 1 Rząd wdrtury (1) nie przercz n + Kwdrtury interpolcyjne Niech x 0, x 1,, x n będą dnymi (prmi różnymi) puntmi przedziłu [, b] Mmy (1) f(x) = L n (x) + r n (x) (x [, b]),

Stnisłw Lewnowicz L n Π n jest wielominem interpolcyjnym Lgrnge, () r n (x) resztą wzoru interpolcyjnego, L n (x) = n λ (x) = ω(x)/[ω (x )(x x )] f(x )λ (x), ( = 0, 1,, n), ω(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ), r n (x) = ω(x)f (n+1) (ξ x )/(n + 1)! (ξ x (, b)) Osttni wzór zchodzi przy złożeniu, że f C n+1 [, b] Zstępując f(x) w (1) prwą stroną (1), otrzymujemy () (4) Q n (f) := I p (f) = Q n (f) + R n (f), p(x)l n (x) dx = n A f(x ), jest wdrturą interpolcyjną Jej współczynnii wyrżją się wzorem (5) A := I p (λ ) := p(x)λ (x) dx ( = 0, 1,, n), reszt wzorem 1 b R n (f) = p(x)ω(x)f (n+1) (ξ x ) dx (n + 1)! Znczenie wdrtur interpolcyjnych podreśl nstępujące twierdzenie Lemt 1 Kwdrtur (1) m rząd równy co njmniej n + 1 wtedy i tylo wtedy, gdy jest on wdrturą interpolcyjną Kwdrtury Newton-Cotes Kwdrtury Newton-Cotes to wdrtury interpolcyjne z węzłmi równoodległymi x x (n) := + h ( = 0, 1,, n; h := (b )/n), stosowne do obliczeni cłi (1) dl p 1, czyli cłi Ztem zgodnie z wzorem (5) Dowodzi się, że (1) I(f) := NC n (f) := A A (n) = I(λ ) = A = h( 1) n 1 n!(n )! 0 n f(x) dx A f( + h), λ (x) dx n j=0, j ( = 0, 1,, n) (t j) dt ( = 0, 1,, n), j również, że reszt R n wdrtury Newton-Cotes wyrż się wzorem () η (, b) Wyni stąd R n (f) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! ω(x) dx (n = 1,, ),

Anliz numeryczn / Cłownie numeryczne Wniose 1 Kwdrtur Newton-Cotes NC n jest rzędu n +, gdy n jest przyste, i rzędu n + 1, gdy n jest nieprzyste W wypdu n = 1 wdrtur Newton-Cotes nosi nzwę wzoru trpezów Mmy h = b, x 0 =, x 1 = b, A 0 = A 1 = h/, () (4) R 1 (f) = f (ξ)! NC 1 (f) := b [f() + f(b)], (b ) (x )(x b) dx = f (ξ) = h 1 1 f (ξ) Dl n = otrzymujemy wzór Simpson: h = (b )/, x 0 =, x 1 = ( + b)/, x 1 = b, A 0 = A = h/, A 1 = 4h/, (5) (6) NC (f) := b [f() + 4f(( + b)/) + f(b)], 6 R (f) = f (4) (η) b x(x )(x + b )(x b) dx = 1 90 4! ( b ) 5 f (4) (η) = h5 90 f (4) (η) Znim omówimy wdrtury wyższych rzędów, wprowdźmy oznczeni B (n) A (n) są oreślone wzorem (1) Ztem := A (n) /(b ) ( = 0, 1,, n), (7) NC n (f) := n A (n) f(x(n) ) = (b ) n B (n) f(x(n) ) Zuwżmy, że współczynnii B (n) są liczbmi wymiernymi i nie zleżą od przedziłu cłowni Pondto, podobnie j A (n), mją włsność symetrii: B (n) = B (n) n ( = 0, 1,, n) 1 Złożone wzory trpezów i Simpson Wyzuje się, że istnieją tie funcje ciągłe, dl tórych ciąg wdrtur Newton-Cotes nie jest zbieżny do cłi f Min z tego powodu nie stosuje się w prtyce wdrtur Newton-Cotes wyższych rzędów N ogół brdziej celowy jest podził przedziłu cłowni [, b] n n równych podprzedziłów [t, t +1 ], wyznczony przez punty t := + h ( = 0, 1,, n), h := (b )/n, nstępnie zstosownie w żdym z nich wdrtury Newton-Cotes nisiego rzędu Otrzymujemy w ten sposób wdrtury złożone Newton-Cotes, służące do obliczni cłi w cłym przedzile [, b] Jeśli w żdym z podprzedziłów [t, t +1 ] użyć wzoru trpezów (por (), t+1 ξ (t, t +1 ), to otrzymmy t f(x) dx = h [f(t ) + f(t +1 )] h 1 f (ξ ), n 1 f(x) dx = t+1 t f(x) dx = T n (f) + R T n (f),

4 Stnisłw Lewnowicz T n jest wdrturą nzywną złożonym wzorem trpezów, oreśloną wzorem T n (f) := h n f(t ), R T n jest resztą tej wdrtury, równą jeśli f C [, b] Rn T (f) = h n 1 f (ξ ) = n h 1 1 f (ξ) = (b ) h 1 f (ξ) dl pewnego ξ (, b) Niech n będzie liczbą przystą, n = m Złóżmy, że f C 4 [, b] i podzielmy przedził cłowni n m podprzedziłów [t, t +1 ] o długości h, nstępnie zstosujmy do cłi w żdym podprzedzile wzór Simpson t+ t f(x) dx = h 6 [f(t ) + 4f(t +1 ) + f(t + )] h5 90 f (4) (η ), η (t, t + ) (por (5), (6)) Otrzymmy f(x) dx = m 1 t+ S n (f) jest złożonym wzorem Simpson: t f(x) dx = S n (f) + R S n(f), S n (f) := h {f(t 0) + 4f(t 1 ) + +f(t ) + 4f(t ) + f(t 4 ) + + f(t m ) + 4f(t m 1 ) + f(t m )} = h m { m f(t ) + 4 f(t 1 )} = 1 (4T n T m ), R S n(f) resztą tego wzoru: =1 Rn(f) S := h5 m 1 f (4) (η ) = m h5 h4 f(η) = (b ) 90 90 180 f (4) (η), η (, b) Ze wzorów n reszty wzorów złożonych trpezów i Simpson wyni, że dl dosttecznie regulrnych funcji f cł I(f) może być przybliżon dowolnie bliso z pomocą T n (f) lub S n (f), pod wruniem, że weźmiemy dosttecznie młe h Zchodzi również Twierdzenie Dl dowolnej funcji f C[, b] jest lim T n(f) = lim S n(f) = I(f) n n Przyspiesznie zbieżności ciągu {T n (f)} Twierdzenie (Euler-Mclurin) Jeśli funcj f jest lsy C m+ [, b], to (8) c := (b ) B ()! Rn T (f) = c 1 n + c n 4 + + c m n m + d(n) n m+, [ ] f ( 1) () f ( 1) (b) ( = 1,,, m), d(n) jest ogrniczoną funcją zmiennej n: istnieje t stł M, że dl dżdego n zchodzi nierówność d(n) M, B są tzw liczbmi Bernoulliego (Np B 0 = 1, B = 1/6, B 4 = 1/0, B 6 = 1/4, B 8 = 1/0, B 10 = 5/66)

Anliz numeryczn / Cłownie numeryczne 5 Wyrżenie (8) dl reszty R T n (f) może posłużyć do przyspieszeni zbieżności ciągu {T n (f)}, tj do onstrucji nowego ciągu {T n(f)} szybciej zbieżnego do cłi Zuwżmy, że współczynnii c we wzorze (8) nie zleżą od n, więc (9) R n (f) = c 1 4n + c 16n 4 + + c m 4 m n m + d(n) 4 m+1 n m+ Mnożąc równość I p (f) = T n (f)+r T n(f) przez 4 i odejmując od niej I p (f) = T n (f)+r T n (f), otrzymmy (10) T n(f) := 4T n(f) T n (f), R n(f) := 4RT n(f) R T n (f) I p (f) = T n(f) + R n(f), = c 1 n + c n 4 + + c m n m + d (n) n m+, c i := 41 i 1 c i (i 1) Zuwżmy, że c 1 = 0, więc reszt R n(f) wdrtury T n(f) jest rzędu n 4! Przyłd 4 Niech I = dx 1 x = ln = 109861 Stosując złożony wzór trpezów dl n = 64 i n = 18, dostjemy T 64 = 1098685, T 18 = 109860 Wzór (10) dje T 1 64 = 109861 Uzysliśmy dwie dodtowe cyfry dołdnego wyniu! Tblic Romberg Zuwżmy, że pomysł opisny w poprzednim prgrfie możn zstosowć tże do ciągu wdrtur T 1 n(f), co prowdzi do wdrtur T n(f), tórych reszty są rzędu n 6 itd itp Ten pomysł wielorotnego (iterownego) przyspieszni relizuje metod Romberg Niech będzie n = ( = 0, 1, ) i niech h := (b )/, x () i := + ih (i = 0, 1,, ), T 0 := T (f) = h i=0 f(x () Niech T m = 4m T m 1,+1 T m 1, 4 m ( = 0, 1, ; m = 1,, ) 1 T więc, zczynjąc od złożonych wzorów trpezów T 00, T 01, T 0, budujemy trójątną tblicę przybliżeń cłi (zob tblicę 1) Postępując podobnie, j w wypdu m = 1, możn wyzć, że 1 o T m = I c m h m+ ( 0; m 1); o T m = m+ j=0 A (m) j f(x (m+) j ) ( 0; m 1) (elementy -tego wiersz tblicy Romberg zwierją te sme węzły, co T 0 ), A (m) j > 0 (j = 0, 1,, m+ ); o dl żdej pry, m T m jest sumą Riemnn; 4 o żdy z wzorów T m0, T m1, jest wdrturą rzędu m + ; 5 o (wniose z o, o, 4 o i z twierdzeni o zbieżności ciągu wdrtur o dodtnich współczynnich) niech I = I(f), f jest dowolną funcją ciągłą w [, b]; wówczs i ) lim T m = I (m = 1,, ); lim m T m = I ( = 0, 1, )

6 Stnisłw Lewnowicz Tbel 1: Tblic Romberg T 00 T 01 T 10 T 0 T 11 T 0 T 0 T 1 T 1 T 0 T 0m T 1,m 1 T,m T,m T m0 4 Kwdrtury Guss Wróćmy do obliczni cłi (41) z pomocą wdrtury (4) I p (f) := Q n (f) := p(x)f(x) dx (f IF ) n A f(x ) Wiemy już, że rząd wdrtury (4) nie może być więszy od n + (por lemt 1) Niech {P } będzie ciągiem wielominów ortogonlnych w przedzile [, b] z wgą p Kwdrturę interpolcyjną z węzłmi będącymi zermi wielominu P n+1 nzywmy wdrturą Guss; pożemy, że jej rząd jest równy n + Wobec znnych włsności wielominów ortogonlnych węzły wdrtury Guss są rzeczywiste, pojedyncze i leżą wewnątrz przedziłu cłowni Współczynnii A możn wyznczyć z wzoru (4) (por (5)) (44) (45) Zchodzi nstępujące A = p(x)λ (x) dx ( = 0, 1,, n), λ (x) = ω(x)/[ω (x )(x x )], ω(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) Twierdzenie 41 Współczynnii wdrtury Guss wyrżją się wzormi (46) A = c n+1 c n p(x)[p n (x)] dx P n+1 (x )P n (x ) ( = 0, 1,, n), x 0, x 1,, x n są zermi wielominu P n+1, c ozncz współczynni wiodący wielominu P ( = 0, 1, ) Twierdzenie 4 Współczynnii A ( = 0, 1,, n) wdrtury Guss są dodtnie Twierdzenie 4 Jeśli f C n+ [, b], to reszt wdrtury Guss wyrż się wzorem (47) R n (f) = f (n+) (ξ) (n + )!c n+1 Wniose 44 Rząd wdrtury Guss jest równy n + p(x)[p n+1 (x)] dx Twierdzenie 45 Dl żdej funcji f ciągłej n odcinu [, b] ciąg wdrtur Guss {Q n (f)} jest zbieżny do cłi I p (f)

Anliz numeryczn / Cłownie numeryczne 7 41 Kwdrtur Guss-Legendre Do obliczni cłi I(f) = 1 1 f(x) dx możn użyć wdrtury Guss-Legendre G n, oreślonej wzorem G n (f) = n A f(x ) (n 0), węzły x 0, x 1,, x n są zermi wielominu Legendre P n+1, ntomist współczynnii A wyrżją się wzorem 1 P 1 n+1 dx A = P n (x ) P n+1 (x ( = 0, 1,, n) ) Widomo, że wdrtur G n jest dołdn dl dowolnego wielominu stopni n + 1, tj f Π n+1 I(f) = G n (f) Węzły i współczynnii mją nstępującą włsność symetrii: x n = x, A n = A ( = 0, 1,, n) W tblicy podno wrtości liczbowe węzłów i współczynniów dl n Tbel : Współczynnii i węzły wdrtury Guss-Legendre n Pn+1 x n = x A n = A -1 1 0 x 0 0 1 x 1 0 1 = 05775 0691 896 1 x 5 x 0 5 = 077459 6669 4148 5 9 = 055555 55555 5556 8 1 0 = 088888 88888 8889 x 4 6 7 c + 5 0 1 7 + 6 7 5 = 1 1 5 6 6 = = 08611 6115 9405 = 04785 48451 745 7 6 7 5 = 1 + 1 5 6 6 = = 0998 1045 8486 = 06514 51548 655 9