.9. PROSTE SKRĘCNE.9.. Wprwadeie Prte kręcaie wtępuje wówca gd bciążeie ewętre redukuje ię d wektra mmetu kręcająceg któreg kieruek pkrwa ię główą cetralą ią prekrju O. Wiele elemetów ktrukcji budwlach pdlega diałaiu mmetu kręcająceg. Prkładami takich ktrukcji ą: rgle ram pretrech wieńce trpów belki pdprwe płt balkwch belki pduwicwe c belki kraje bciąże jedtrie płtą. Diałaie mmetu kręcająceg jet cególie itte w prpadku ciekściech prekrjów metalwch. Zagadieie bregwe kręcaia prętów prmatcch dwlm ktałcie prekrju ppreceg jet trude d rwiąaia. Prekrje takie ulegają deplaacji (paceiu) więc d rwiąaia agadieia bregweg treba wkrtać metd terii prężtści. Jedie w prpadku prętów prekrju kłw metrcm pełia jet hiptea BERNOULL EGO (prekrje ptają płakie p dktałceiu) atem waceie w ich tau aprężeia i dktałceia jet tukw łatwe mżliwe d ukaia prtmi metdami wtrmałści materiałów..9.. Sta aprężeia i dktałceia w prętach prekrju kłwm Rważm pręt kłw metrc (krągł) długści l i prmieiu r bciąż mmetem kręcającm (r. ). R. Z ruku teg wika że jedą iłą prekrjwą w takim pręcie jet mmet kręcając. Zatem rważa pręt jet pdda prtemu kręcaiu. Sta aprężeń i dktałceń w rważam pręcie wacm prjmując atępujące ałżeia upracające: (i) wpłw ił mawej jet pmijal
(ii) ie C i C ą iami główmi cetralmi prekrju (iii) pełia jet hiptea płakich prekrjów BERNOULL EGO (iv) pełia jet hiptea DE SNT-VENNT Stra gemetrca g g g () S S () Ze pbu dktałceia pręta wika (r. ) że wtkie jeg prekrje pprece bracają ię wględem i pdłużej kąt Θ wa kątem kręcaia achwując gdie ałżeiem (iii) wój pierwt ktałt pr cm prmieie prekrjów pprecch pręta p dktałceiu ptają dcikami liii prtch. Natmiat twrące pręta prjmują ktałt liii śrubwch (heli). Każda tch liii precia. twrące pd tałm kątem rówm dktałceiu ptaciwemu (kątwemu) R. u u puktów prekrju pręta ma w clidrcm (walcwm) układie dieieia (r. ) atępujące wpółręde: Na pdtawie pwżej aali mżem prjąć że wektr premieceia u u gdie u u u Θ () u jet premieceiem prmieiwm (radialm) u premieceiem bwdwm atmiat Θ kątem kręcaia któr ależ wacć. Pieważ ś jet ią metrii prekrju (prekrój jet kłw metrc) atem wpółręde te ie ależą d kąta Θ.
R. W celu waceia wpółrędch wektra premieceia w prtkątm układie dieieia krtam ależści (r. 4) R. 4 u Θ v u i i Θ w u c Θ c Θ (4) Rówaia gemetrce (.4.) predtawie w apiie iżierkim (.4.8) mają atępującą ptać: u v u u v v w w w (5) kąd p uwględieiu ptaci wpółrędch (4) trmujem Θ Θ (6)
Zatem macier dktałceń (.4.8) ma ptać Θ Θ ij Θ (7) Θ Stra fica Uwględiając wpółręde tera dktałceń (6) w rówaiach ficch (.5. ) pr wkrtaiu aceń (..6) dtajem atępujące wpółręde tera aprężeń: GΘ GΘ (8) gdie G jet mdułem prężtści pprecej (mdułem KRCHOFF). Zatem macier aprężeń (..6) ma ptać Stra tatca Z uwagi a ta aprężeia w pręcie (r. 5) GΘ GΘ ij GΘ (9) GΘ R. 5 ależści (..56)4 (rówaia rówwagi elemetareg wcika pręta kręcaeg) prjmują ptać
d GΘ d d GΘ d d GΘ d () aś rówaia (..56) ą pełie tżamściw. Pieważ d S d S t uwagi a ałżeie (ii) pierwe dwa pwżch rówań ą rówież pełie tżamściw. Pdtawiając w trecim pwżch rówań trmujem GΘ d () Pieważ d jet bieguwm mmetem bewładści atem () wika że Θ () G 4 pr cm Πr. Wart auważć że jeśli mmet kręcając jet tał t pchda kąta kręcaia też jet tała..9.. Naprężeie tce i brt w prekrju kłwm Pdtawiając fukcję () d wrów (8) trmujem ależści () Pieważ (r.6) R. 6
i c (4) atem ależść kreślająca aprężeie tce (ściające) pr prtm kręcaiu prjmuje ptać (5) Z pwżeg wru wika e rkład aprężeń tcch w prekrju kłwm jet liiw ą e prtpadłe d prmieia wdąceg puktu aś wartść makmalą rówą ma r r (6) aprężeia tce iągają we włókach krajch prekrju ppreceg (r. 7). Z uwagi a kłwą metrię prekrju taki am rkład aprężeń wtępuje a każdm dciku prechdącm pre śrdek prekrju ppreceg. R. 7 Pdb rkład aprężeń ma miejce a płacach rówległch d i pdłużej pręta i prechdącch pre jeg śrdek ciężkści (r. 8). R. 8
Wór (6) mża predtawić w atępującej rówważej ptaci: ma (7) W gdie W (8) r awam wkaźikiem wtrmałści pr kręcaiu (bieguwm wkaźikiem wtrmałści) pręta krągłeg pr cm W Πr. Całkując rówaie () trmujem Θ d d Θ c G (9) G gdie c jet tałą całkwaia. Pieważ w miejcu utwierdeia pręta kąt kręcaia jet rów eru (waruek bregw w premieceiach) atem pwżeg rówaia wika że i w kekwecji c Θ () Θ () G Zatem brót kńca pręta prekrju kłwm (makmal kąt kręcaia) i długści l wi Θ l l G Θ ma () Wart wrócić uwagę a pdbieńtw pwżeg wru d wru (.7.). Pieważ pr małch dktałceiach pełia jet ależść (r. 9) R. 9
Θ Θ () atem wkrtując wór () dtajem atępującą frmułę kreślającą dktałceie ptaciwe (kątwe) pr prtm kręcaiu (4) G Wart pdkreślić że uwagi a ałżeie pełieiu aad de Sait-Veata wr (5) () i (4) ptają waże rówież w prpadku ieg tatcie rówważeg bciążeia pręta..9.4. Naprężeie tce w prekrju prtkątm Pieważ prekrój prtkąt ulega paceiu (r. ) atem kreśleie tau aprężeia i dktałceia ie jet mżliwe prtmi metdami wtrmałści materiałów. R. Wac metdami terii prężtści rkład aprężeń tcch w prekrju prtkątm wkści h i erkści b predtawia r.. Z ruku teg wika że aprężeia ściające w arżikach prekrju ą rówe eru. Jet t reultatem braku bciążeia a pwierchiach bcch pręta. W takim prpadku w puktach tch ra i w kekwecji rówież i. R.
Najwięką wartść aprężeia tce ma w takim prekrju iągają w ma ma pukcie wpółrędch b i blicam ją e wru ma (5) W W pwżm wre W b h (6) jet wkaźikiem wtrmałści pr kręcaiu pręta prtkąteg. Wartści fukcji h b predtawia piża tabela h b..5.75..5. 4. 6. 8...4.96.4.9.49.6.8.99.7. (a) Waruek wtrmałści.9.4. Waruki prjektwaia prętów kręcach ma Rt (7) W gdie R t aca wtrmałść bliceiwą a ściaie. Pwż waruek mża wkrtać d waceia śści pręta W R (8) t lub pla pwierchi jeg prekrju ppreceg W (9) Rt (b) Waruek twści gdie dp dpucal kąt kręcaia pręta. Θma Θ dp ()
.9.5. Sta aprężeia i dktałceia w clidrcm układie dieieia Wprwadeie wrów kreślającch ta aprężeia i dktałceia pręta kręcaeg prekrju kłwm jet acie prte jeśli wkrtam clidrc układ dieieia. Wpółręde prtkąte ą pwiąae e wpółrędmi clidrcmi atępującmi relacjami: Stra gemetrca c i () Z ależści () wika że wpółręde wektra premieceia u clidrcm układie dieieia mają ptać gdie Θ jet kątem kręcaia któr ależ wacć. Pdtawiając ieerwe pchde tch wpółrędch d rówań gemetrcch w układie clidrcm u u u u w u u Θ () u Θ u Θ u () u u u u u u u u u u u () trmujem atępujące wpółręde tera dktałceia Θ (4) Z pwżch ależści wika że macier dktałceń pr prtm kręcaiu pręta kłweg ma w układie clidrcm atępującą ptać:
Θ Θ E (5) Stra fica Sta aprężeń w clidrcm układie dieieia predtawia r. R. Wkrtując predtawie a tm ruku aceia wpółrędch tera aprężeń w rówaiach ficch (.5. ) dtajem: G G G G G G (6) Pdtawiając d pwżch rówań wpółręde tera dktałceń (5) trmujem wpółręde tera aprężeń GΘ (7) Zatem macier aprężeń (..6) ma w układie clidrcm atępującą ptać: GΘ GΘ T (8)
Stra tatca Z uwagi a ta aprężeia w pręcie (r ) rówaie rówwagi elemetareg wcika pręta kręcaeg (..56)4 prjmuje w układie clidrcm atępującą ptać: d GΘ d (9) aś ptałe rówaia (..56) ą pełie tżamściw. Pieważ R. d jet bieguwm mmetem bewładści atem (9) dtajem wór kreślając pchdą pukiwaeg kąta kręcaia Θ (4) G Pdtawiając (4) d ależści (4) i (7) trmujem wr kreślające dktałceie ra aprężeie (4) G (4) w pręcie kręcam prekrju kłwm. Są e takie ame jak wr (4) i (5). Spób waceie kąta kręcaia predtawiają ależści (9) d (). Prkład. Wacć aprężeia główe i kieruki główe pr prtm kręcaiu Dae: acier aprężeń pr prtm kręcaiu
ij Sukae: Rwiąaie: Krk. Oblicam aprężeia główe Krtając e wru (..6) blicam iemieiki macier aprężeń Pdtawiając pwże iemieiki d rówaia charaktertceg (..5) trmujem Pwże rówaie ma atępujące pierwiatki (aprężeia główe) W układie dieieia wacm pre kieruki główe macier aprężeń ma atem ptać ij Krk. Wacam kieruki główe Pdtawiając wpółręde tera aprężeń d rówań (..) prwadam je d ptaci Natmiat waruek (..8) apiujem jak Pdtawiając d pwżch rówań kleje aprężeia główe trmujem
Cli aprężeia główe i kieruki główe w prpadku prteg kręcaia mają atępującą ptać: Z pwżch wrów wika że kieruki główe ą achle d twrącch pręta pd kątem 45º atmiat aprężeia główe którch pierwe jet ścikające aś drugie rciągające ą rówe c d wartści aprężeim tcm ściającm (r. P); wektr jet kierwa prtpadle d płac ruku. R. P