Mechanika Kwantowa. Ewa Słomińska Ryszard Paweł Kostecki. Notatki z wykładów dr hab. Ernesta Aleksego Bartnika. 4 października stycznia 2003

Ewa Słomińska Ryszard Paweł Kostecki Mechanika Kwantowa Notatki z wykładów dr hab. Ernesta Aleksego Bartnika 4 października 00 7 stycznia 003 wersja notatek: 0.77 data ostatniej rewizji: 5 września 004 najnowsza wersja dostępna jest na stronie: http://www.rysieq.prv.pl komentarze do notatek prosimy przesyłać pod adres: rpkost@fuw.edu.pl

Słowo wyjaśnienia Niniejszy tekst jest kompletnym zbiorem notatek z wykładów Mechaniki Kwantowej I prowadzonych przez E.A. Bartnika w semestrze zimowym roku akademickiego 00/003 na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Inicjatywę przepisywania na bieżąco do TEX-a i publikowania w sieci kolejnych wykładów powzięła na początku semestru E. Słomińska, do której niemalże natychmiast dołączył R.P. Kostecki. W tym dwuosobowym zespole przepisywaliśmy kolejne wykłady na zmianę z robieniem korekty. Było to przedsięwzięcie choć społecznie bardzo pożyteczne dość ryzykowne. Przepisywanie nie zawsze w pełni zrozumianego materiału, a tym bardziej robienie korekty merytorycznej, musiało nieco ucierpieć na tym, że osoby tworzące te notatki z notowanymi pojęciami i materiałem stykały się po raz pierwszy! Niepomijalna jest też kwestia obciążenia czasowego równoległymi kolokwiami, opisami z pracowni, etc. W sumie sprowadzało się to do niemalże notorycznego TEXowania tych notatek do drugiej czy trzeciej godziny w nocy, połączone z równoczesnym sprawdzaniem właściwych wzorów w Schiffie i w Feynmanie... Dlatego też niniejsze wyjaśnienia, zupełnie zbędne w każdym porządnym skrypcie, są w tym miejscu zupełnie koniecznie dla usprawiedliwienia (zapewne? wielu (? niedociągnięć i niedoskonałości na następnych stronach tych wspaniałych skądinąd notatek! Po prostu nie starczyło nam sił i czasu by usiąść nad tym wielkim materiałem i go porządnie poprawić, również pod względem takich drobiazgów jak jakość rysunków, ciągłość narracji, sensowność wynikania z siebie kolejnych wzorów, czy też proporcji pomiędzy matematyką a słownymi objaśnieniami. 3 Wraz z E.A. Bartnikiem planowaliśmy prace nad przekształceniem tych notatek w projekt książki, lecz owe prace już dawno temu zawisły gdzieś w niebycie, zaś krytyczne przyjrzenie się strukturze zamieszczonego materiału prowadzi do wniosku, iż nawet otrzymanie z tych notatek skryptu wymagałoby dość dużego wkładu pracy. Dlatego też notatki te w dziewięćdziesięciukilku procentach odpowiadające dokładnej zawartości kolejnych zapisanych w trakcie półrocznego wykladu tablic należy traktować jako ekwiwalent projekcji live wykładu, ewentualnie jako skrypt na własną odpowiedzialność, lub też samouczek dla hobbystów. Niechaj jednak nie przerażają Ciebie, o Drogi Czytelniku, te słowa wyjaśnienia! Jest to mimo wszystko solidna porcja materiału z mechaniki kwantowej, a błądzić... cóż... jest rzeczą ludzką! 4 R.P. Kostecki, 5 września 004 AD Najbardziej kanoniczny podręcznik do mechaniki kwantowej Najbardziej fizyczny podręcznik do mechaniki kwantowej 3 Pomijam kwestię wątpliwej jakości i wątpliwego dowcipu przypisów ;- 4 Dopóki błądzi, dąży człowiek (Wolfgang Goethe, Faust

Spis treści Wstęp 8. Równania mechaniki klasycznej................................... 8.. Możliwość numerycznej analizy problemów mechanicznych................ 8. Procedura kwantowania układu.................................... 9.. Wstęp filozoficzny...................................... 9.. Praktyczne kwantowanie................................... 9.3 Interpretacja.............................................. 9.4 Ruch cząstki swobodnej....................................... 0.5 Równanie Schrödingera dla cząstki swobodnej........................... 0 Równanie Schrödingera. Unormowanie funkcji falowej..................................... Wartości średnie.............................................3 Techniki rozwiązywania zagadnień w mechanice kwantowej.................... 3 3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 4 3. Wstęp (przepięknej urody...................................... 4 3. Dygresja................................................ 5 3.3 Równania Ehrenfesta......................................... 5 3.4 Studnia potencjału.......................................... 6 4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 8 4. Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej........................... 8 4. Kwantowe rozwiązania problemów klasycznych........................... 9 4.. Oscylator harmoniczny.................................... 9 4.. Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny............. 9 4..3 Układ dwóch cząstek..................................... 4..4 Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny.............. 4.3 Przestrzeń Hilberta..........................................

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 4 4.3. Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta............................. 4.3. Baza w przestrzeni Hilberta................................. 4 5 Twierdzenie spektralne 4 5.0.3 Operator pędu......................................... 5 5.0.4 Operator położenia...................................... 5 5. Równoczesność pomiaru....................................... 5 5. Uogólniona zasada Heisenberga................................... 6 6 Oscylator harmoniczny 7 6. Jak wytwarzać funkcje falowe?.................................... 7 6. Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiązanie zagadnienia................ 7 6.3 Rozwiązanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów (bez konieczności całkowania.................................... 9 6.4 Tworzenie funkcji falowej...................................... 30 6.5 Notacja bra i ket......................................... 30 6.6 Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej............................ 3 6.6. Degeneracja stanów..................................... 3 7 Atom wodoru 3 7. Zapis w układzie sferycznym..................................... 33 8 Wielomiany Legendre a, harmoniki sferyczne i moment pędu 34 8. Krótkie powtórzenie, tytułem wstępu................................. 34 8. Wielomiany Legendre a........................................ 35 8.3 Harmoniki sferyczne i ich własności................................. 35 8.4 Operator momentu pędu....................................... 36 8.4. Wektor momentu pędu we współrzędnych sferycznych................... 37 9 Atom wodoru - ciag dalszy 38 9. Radialne równanie Schrödingera................................... 38 9. Poziomy energetyczne........................................ 39

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 5 9.3 Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne....................... 40 0 Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej 40 0. Macierze............................................... 40 0.. Przypomnienie........................................ 40 0.. Macierze hermitowskie.................................... 4 0..3 Funkcja od macierzy..................................... 4 0. Macierze i bra-kety.......................................... 4 0.3 Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga........................ 4 0.4 Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga............................... 43 0.4. Wypisy z Schiffa....................................... 44 0.5 Operatorowe rozwiązanie równania Schrödingera.......................... 45 Symetrie 45. Tradycyjne jak gdyby przypomnienie................................ 45. Najgłębsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether......................... 46.3 Grupa obrotów............................................ 46.4 Spin.................................................. 48 Rachunek zaburzeń 49. Trochę z tego, co już było....................................... 49. Metody rachunków przybliżonych.................................. 50.. Metoda wariacyjna Ritza................................... 50.. Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego.................... 50.3 Rachunek zaburzeń niezależny od czasu............................... 5 3 Rachunek zaburzeń ciag dalszy 5 3. Ciąg dalszy z poprzedniego wykładu................................. 5 3. Znoszenie degeneracji przez zaburzenie............................... 53 3.. Przykład........................................... 54 4 Przybliżenie półklasyczne 54

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 6 4. Przybliżenie WKB.......................................... 54 4. Warunek na kwantyzację półklasyczną............................... 55 4.3 Interpretacja graficzna przybliżenia WKB dla cząstki w potencjale................. 56 4.4 Rozpad promieniotwórczy...................................... 56 4.5 Rachunek zaburzeń zależny od czasu................................. 57 5 Rachunek zaburzeń 57 5. Przypomnienie wraz z kontynuacją materiału z wykładu poprzedniego............... 57 5. Zaburzenie harmoniczne....................................... 58 5.3 Przybliżenie adiabatyczne...................................... 58 6 Przybliżenie nagłej zmiany, fermiony i bozony 60 6. Rachunek zaburzeń - dalszy ciąg................................... 60 6.. Przybliżenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny..................... 60 6.. Nieciągła zmiana wartości H................................ 60 6..3 Przybliżenie nagłej zmiany.................................. 6 6. Problem dwóch ciał.......................................... 6 7 Bozony i fermiony 6 7. Symetryczność i antysymetryczność................................. 6 7. Izospin................................................. 64 8 Bozony, fermiony i układ okresowy 64 8. Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej.......................... 64 8. Problem cząstek symetrycznych jeszcze raz............................. 65 8.. Jak antysymetryzować funkcje?............................... 65 8.. Hamiltonian dla układu n elektronów............................ 65 8.3 Układ okresowy pierwiastków.................................... 66 8.3. Z czego wynika okresowość pierwiastków?......................... 67 8.4 Model atomu Thomasa-Fermiego................................... 68 9 Metoda Hartreego-Focka 68

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 7 0 Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera 7 0. Przypomnienie............................................ 7 0. Obrazy................................................. 7 0.. Przykład pierwszy: cząstka swobodna............................ 7 0.. Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy......................... 7 0..3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z siłą wymuszającą.............. 73 Jeszcze raz problem oscylatora 73 Stany mieszane 75 3 Rozpraszanie 76 3. Wstęp................................................. 76 3. Rozpraszanie: ściślejsze rozważania................................. 76 3.3 Funkcje Greena............................................ 77 4 Rozpraszania ciag dalszy 78 4. Postulaty, na dobry początek..................................... 78 4. Rozpraszanie............................................. 79 4.3 Rozpraszanie na sferycznym potencjale............................... 80 4.4 Całkowity przekrój czynny...................................... 8 5 Kwantyzacja układu złożonego z N oscylatorów 8 5. Wstęp................................................. 8 5. Skończona transformata Fouriera................................... 8 6 Podsumowanie wykładu Mechanika kwantowa 83 6. Jako rzecze Feynman......................................... 84 6. Od kronikarzy............................................. 84 6.3 Appendix............................................... 85

Wstęp Mechanika kwantowa 5 przynajmniej na dzień dzisiejszy jest fundamentalną teorią zjawisk zachodzących w skali atomowej. Jest ona częstokroć nieintuicyjna, niezgodna z tak zwanym zdrowym rozsądkiem, czasem wręcz absurdalna, jednakże jedynym kryterium poprawności teorii jest jej zgodność z doświadczeniem, a mechanika kwantowa jest jedną z dwóch najlepiej zgodnych z doświadczeniem teorii fizycznych (drugą jest ogólna teoria względności. Natomiast jeśli chodzi o zdroworozsądkowość, to trzeba pamiętać, że rozsądek nasz (oraz intuicje ukształtowany jest w doświadczeniach i obserwacjach zjawisk skali mezoskopowej, nie zaś skali mikro, ani makro. 6. Równania mechaniki klasycznej Mechanikę klasyczną można ująć w języku opisu lagranżowskiego (w którym centralną rolę pełni funkcja zwana lagranżjanem 7, bądź też w języku opisu hamiltonowskiego (w którym centralną rolę pełni hamiltonian. Podanie lagranżjanu lub hamiltonianu (oraz ewentualnie określenie więzów nałożonych na dany układ w pełni i jednoznacznie określa dynamikę układu. Lagranżjan jest to funkcjonał L(x, ẋ, t, natomiast hamiltonian jest funkcjonałem innych zmiennych: H(x, p, t, gdzie oczywiście ẋ oznacza pochodną położenia po czasie. Są atoli zjawiska dla których zapisanie lagranżjanu jest niemożliwe, bądź trudne (np. gdy występuje tarcie. Jeżeli jednak dla układu klasycznego da się zapisać lagranżjan (a zatem i hamiltonian, to dane zagadnienie daje się skwantować, czyli przetłumaczyć na język mechaniki kwantowej. Pęd kanoniczny to (z definicji lagranżjan zróżniczkowany po prędkości (uogólnionej: p i := L q i. Odpowiednikiem newtonowskiej zasady dynamiki ( d dtp = F w języku lagranżjanu jest równanie Eulera-Lagrange a: ( d L = L. ( dt q i q i Energię układu można wyrazić za pomocą pędów i położeń - otrzymuje się hamiltonian: H = i (p i q i L. ( Dla każdego hamiltonianu spełnione są równania Hamiltona: q i = H p i, (3 ṗ i = H q i. (4.. Możliwość numerycznej analizy problemów mechanicznych Dla jednego wymiaru równania te mają postać: { ẋ = H(p,x,t p ṗ = H(p,x,t x. 5 Właściwszą nazwą dla tej mechaniki byłoby określenie jej jako mechaniki operatorowej := mechaniki falowej + mechaniki kwantowej, bowiem jak się okaże podstawowym pojęciem mechaniki kwantowej nie jest ani kwant, ani funkcja falowa, lecz operator. 6 Choć oczywiście można z przekąsem stwierdzić, że istnienie innych skal niż nasza ludzka skala mezo jest tylko naukową koncepcja - zatem nie stanowi, przynajmniej filozoficznie, ważkiego uzasadnienia. przyp. RPK 7 W środowisku fizyków polskich jak mi się zdaje istnieją silne kontrowersje wobec pisania lagranżjan zamiast lagrangian. Przeciwko takiemu spolszczaniu nie przemawia jednak żadna norma językowa. przyp. RPK

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 9 Wykorzystując definicję różniczkowania: x t wzory: { = x(t+ t x(t t x(t+ t = x(t+ t H(x,p,t p p(t+ t = p(t+ t H(x,p,t x, co umożliwia numeryczne wyznaczanie ewolucji układu dla dowolnych czasów. oraz wzory (3 i (4, otrzymuje się następujące. Procedura kwantowania układu.. Wstęp filozoficzny Przejście od mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej można realizować na kilka różnych (równoważnych sobie sposobów. Niezależnie od tego, który sposób uzna się za stosowny, ważne jest podkreślenie podstawowej idei, która za takim przejściem się kryje. Otóż w mechanice klasycznej ciche założenie brzmiało: używane w formalizmie matematycznym obiekty reprezentują stan rzeczywistości jedno-jednoznacznie. Czyli wszędzie w równaniach gdzie występowały zmienne (r, p, t znaczyło to w określonej chwili czasu t, układ ma dokładnie określony pęd p i położenie r. Idea możliwości dowolnie dokładnego określenia parametrów układu leżała u podstaw newtonowskiej mechaniki. Tymczasem mechanika kwantowa opiera się na idei niemożliwości dokładnego określenia wszystkich parametrów układu. Ta idea znajduje swoje odzwierciedlenie w aparacie matematycznym teorii. 8.. Praktyczne kwantowanie. Hamiltonian we współrzędnych kartezjańskich przekształca sie w operator kwantowy: H(r, p, t Ĥ(r, iħ, t. (5 Poszukajmy jednostek stałej ħ 9, tak, by we wzorze (5 zgadzały się jednostki (czyli: dokonajmy analizy wymiarowej: [p] = kg m s = J s m = [ħ] m, [p] = J s m, [ x ] = m [m][x]. Zatem: [ħ] = [t] = [p][x] = [E][t]. Analiza wymiarowa nie jest w stanie podać nam wartości zmiennej, którą to wartość trzeba wyznaczyć eksperymentalnie. Dziś wiemy, iż ħ =.054573 0 34 J s 6.58 0 6 ev s.. Energii i składowym pędu przypisane są następujące operatory, działające na funkcję falową ψ(r, t: E iħ t, (6 p x iħ x, (7 p y iħ y, (8 p z iħ z. (9.3 Interpretacja Funkcja falowa ψ(r, t określa w mechanice kwantowej stan fizyczny układu. Podanie tej funkcji dla pewnej chwili czasu opisuje wszystkie własności układu, nie tylko w danym momencie, ale również w przyszłości, oraz w przeszłości. Funkcja falowa ψ koduje cała informację o układzie. Nie czyni tego jednak w postaci dyskretnej 8 Ten paragaf pozwoliłem sobie dopisać ku lepszemu wyjaśnieniu tematyki. przyp. RPK 9 ħ to taki kwantometr

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 0 zbioru sześciu liczb (x, y, z, p x, p y, p z, tak jak to było w mechanice klasycznej, lecz w bardziej wyrafinowanej postaci funkcyjnej. Mechanika kwantowa jest teoria deterministyczna i probabilistyczna. Działanie hamiltonianu Ĥ na funkcję falową: przesuwa on naszą wiedzę o układzie w czasie: Ĥ(r, iħ, tψ(r, t = iħ ψ(r, t. (0 t Interpretacja funkcji falowej ψ: iloczyn funkcji falowej ψ i funkcji do niej sprzężonej ψ jest gęstością prawdopodobieństwa położenia: ϱ(r, t = ψ(r, t. ( Oznacza to, że ϱ(r, tdxdydz jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w elemencie objętości dxdydz wokół punktu r w chwili t. Funkcja ψ musi być unormowana zgodnie z warunkiem normalizacji: = d 3 rϱ(r, t = d 3 r ψ(r, t. (.4 Ruch czastki swobodnej klasycznie: energia kinetyczna: L = mẋ, pęd: p x = L ẋ = mẋ, hamiltonian H = pẋ mẋ = p m m p m = p m = m (p x + p y + p z. kwantowo: Ĥ = ħ m ( x + y + z = ħ m (..5 Równanie Schrödingera dla czastki swobodnej Postulując rozwiązania w postaci fali płaskiej: otrzymuje się: iħ ψ ( t = ħ ψ m x + ψ y + ψ z. (3 ψ(x, y, z, t = exp( iωt + ik x + ik y + ik 3 z, Po wstawieniu do równania (3 mamy: ψ x = ( kψ ψ y = ( kψ ψ z = ( k3ψ ψ t = iω exp( iωt = ( iωψ. (iħ( iωψ = ħ m (k ψ ħωψ = ħ (k m ψ. Z powyższych równań wynika zależność na częstość rozchodzenia się paczki falowej (związek dyspersyjny: ω = ħ(k m. (4

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki Równanie Schrödingera. Unormowanie funkcji falowej iħ ψ t = Ĥψ. (5 Rozwiązaniem tego równania jest funkcja falowa ψ(r, t, która dostarcza pełnego opisu zachowania cząstki. Ponieważ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek wynosi, to mamy warunek normalizacji: d 3 rψ ψ =. (6 Współczynnik przy funkcji ψ - norma - jest niezależny od czasu. Potwierdzają to obliczenia: P (t = d 3 rψ ψ =. dp dt = d 3 r d dt (ψ ψ = d 3 r( ψ ψ + ψ ψ. Wstawiamy ψ = iħ (Ĥψ oraz ψ = iħ (Ĥψ : dp dt = d 3 r ( ψ(ĥψ + ψ iħ (Ĥψ. Przyjmując, że H = H 0 + V (r, natomiast Ĥ = ħ m ( + V (r: dp dt = iħ [ ] d 3 r ψ ( ħ m ψ + V (rψ + ψ ( ħ m ψ + V (rψ. Ostatecznie mamy: dp dt = ħ mi d 3 r [ ( ψ ψ + ψ ψ ]. (7 Problem można rozwiązać dwoma sposobami:. Skorzystać z definicji laplasjanu ( = x + y + z i przekształcić równanie (7 do postaci: ħ mi + Z tego równania wynika dp dt = 0. dz + + dy dx [ ψ ψ ] x + ψ ψ x = 0. (8 }{{} + ψ ψ dx[ x x + ψ ψ x x ]=0

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki. Zmiana w czasie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym obszarze (nie w całej objętości: d dt P (t = d 3 r d Ω dt (ψ ψ = ħ d 3 r[ ( ψ ψ + ψ ( ψ]. mi Ω Na mocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego całka powierzchniowa zamienia się w całkę po konturze obszaru: d dt P (t = ħ d σ[ ψ( ψ + ψ ( ψ]. mi dω Na podstawie otrzymanego wyniku można zdefiniować prąd prawdopodobieństwa (gęstość prądu prawdopodobieństwa S: Obowiązuje wówczas równanie ciągłości: S := ħ mi [ψ ( ψ ( ψ ψ]. (9 Strumień prawdopodobieństwa wypływa, gdy funkcje falowe są zespolone: ϱ + S = 0. (0 t ψ(r, t = N exp( iω(pt + irp ħ, ω(p = p mħ. (. Wartości średnie Ogólny wzór na wartość średnią funkcji f(x: f(x = dxϱ(xf(x, ( gdzie ϱ(x jest gęstością prawdopodobieństwa. Dla cząstek danych pewnym rozkładem prawdopodobieństwa istotne są dwie wartości: σ-odchylenie standardowe, µ-średnia rozkładu. Znając gęstość prawdopodobieństwa ϱ można obliczyć średnie położenie cząstki x : µ = dxϱ(xx = x dla ϱ(x 0 i dxϱ(x =, σ = dxϱ(x[x µ] = (x µ = x x. Każdej wielkości fizycznej można przypisać operator: np. kwantowy operator momentu pędu: ˆL = ˆr ˆp. Wzór na średnią wartość dowolnego operatora:

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3 ˆΘ = d 3 rψ ˆΘψ. (3 Operatory mechaniki kwantowej - operatory hermitowskie - w działaniu na dowolną funkcję falową dają wynik rzeczywisty. Przykładowe obliczenia: Średnie położenie cząstki x : x = d 3 rψ (rxψ(r = d 3 rψ ψx = d 3 rϱ(r, tx, ˆx : ψ(x, t xψ(x, t. Średnia x-owej składowej pędu p x : p x = d 3 rψ ( iħ ψ x = iħ dz dy dxψ ψ x = iħ dydz dx ψ sprzężenie średniej wartości x-owej składowej pędu p x : p x = d 3 rψ( iħ ψ x = iħ dz dy dxψ dψ dx = p x, zatem, gdy funkcja falowa jest rzeczywista (ψ = ψ, wtedy p x = 0. x ψ,.3 Techniki rozwiazywania zagadnień w mechanice kwantowej Istnieje tylko jedna analityczna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych: przez separację zmiennych. Potrafimy rozwiązywać w ten sposób tylko zagadnienia o dużej symetrii. Dany jest hamiltonian: Ĥ = ħ m + V (r, (4 gdzie V (r nie zależy od czasu. Rozwiązując równanie Schrödingera można je rozseparować na część zależną i niezależną od czasu, a funkcję falową zapisać następująco: ψ(r, t = α(tψ E (r. Rachunki: iħ ψ t = Ĥψ iħ dα dt ψ E(r = α(tĥψ(r : α(tψ E(r iħ dα dt α(t = Ĥψ(r ψ E (r = E. E jest stałą separacji oraz, jak się później okaże, energią. Separacja równania udaje się tylko dla potencjałów niezależnych od czasu. Końcowym efektem separacji są dwa równania: Proste równanie różniczkowe zależne od czasu: Równanie Schrödingera niezależne od czasu: iħ dα dt α(t = E. (5 ħ m ψ E + V (rψ E = Eψ E. (6

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 4 Szukana postać rozwiązania równania (5: e γt = α(t. iħ dα dt = Eα(t iħγα(t = Eα(t α(t = e iet ħ. Zatem: ψ(r, t = exp( iet ħ ψ E(r; ψ (r, t = exp(+ iet ħ ψ E (r. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki nie zależy od czasu: 0 ϱ = ψ ψ = ψ E (r. 3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 3. Wstęp (przepięknej urody Każdej wielkości fizycznej przypisujemy operator kwantowy: Θ(r, p ˆΘ(r, iħ. Przepis ten czasami nie sprawdza się. Dla przykładu zbadajmy kwantowy odpowiednik klasycznej równości xp x = p x x: ˆx pˆ x ψ = x( ħ i ψ x, (7 pˆ xˆxψ = ( ħ i [ψ + x ψ ]. (8 x Oczywiście (7 (8. Okazuje się, że w mechanice kwantowej dopuszczone są jedynie takie operatory, które są hermitowskie. Ani (7 ani (8 hermitowskie nie są. Natomiast (ˆx pˆ x + pˆ xˆx w pełni poprawnym hermitowskim operatorem już jest. Mechanika kwantowa jest statystyczna. W jej warstwie interpretacyjnej myślimy w terminach funkcji falowej, wartości oczekiwanych, prawdopodobieństwa. Jest ona deterministyczna, bo potrafi przesuwać naszą wiedzę w czasie: iħ ψ t = Ĥψ to nic innego, jak równanie liniowe ewolucji. Była ona sprawdzana w warunkach ekstremalnych i nigdy nie zostało zaobserwowane żadne odstępstwo od liniowości. Funkcję falową często separujemy na część zależną tylko od czasu oraz część zależną tylko od położenia: ψ(r, t = A(tϕ E (r = e iet ħ ϕe (r, (9 gdzie ϕ E (r spełnia równanie Schrödingera niezależne od czasu: Ĥϕ E = Eϕ E. (30 0 Z dokładnością do fazy funkcji falowej, która to zmienia się w czasie, jednak gęstość prawdopodobieństwa - ψ - skutecznie wpływu ewolucji nie zauważa.

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 5 Udowodnimy teraz, że stała separacji E rzeczywiście jest energią: Ĥ = d 3 rψ Ĥψ = d 3 re iet iet ħ ϕ E (rĥe ħ ϕe (r = (3 = d 3 rϕ EĤϕ E = d 3 rϕ EEϕ E = E d 3 rϕ Eϕ E = E. Zatem ϕ E to funkcje własne, zaś E to wartości własne operatora Ĥ. 3. Dygresja Miarą rozrzutu rozkładu prawdopodobieństwa jest wariancja: σ ϑ = (ϑ ϑ. (3 Zatem: σe = (Ĥ E = d 3 rϕ E(r (Ĥ E ϕ E (r }{{} (Ĥ E (Ĥ Eϕ E }{{} =0 = 0. (33 Okazuje się, że w specyficznych sytuacjach specyficzne wielkości mają w mechanice kwantowej dokładnie określone wartości. 3.3 Równania Ehrenfesta W jakim znaczeniu mechanika kwantowa odtwarza mechanikę klasyczną? ψ = iħ (Ĥψ = ħ [ iħ m ( ψ + V ψ], ψ = ħ mi ( ψ + iħ V ψ, ψ = ħ mi ( ψ iħ V ψ. d dt x = d dt d 3 rψ xψ = d 3 rx[ ψ ψ + ψ ψ] = Znikanie wariancji energii jest faktem oczywistym, gdy zauważy się, że stosując równanie Schrödingera zakładamy, że mamy do czynienia z dokładnymi pomiarami energii (por. Haken. Dokładnymi, czyli o wariancji równej zero. (przyp. R.K.

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 6 = d 3 rx[ψ ( ħ mi ( ψ + ψ V iħ ψ + ħ mi ( ψ ψ V iħ ψ ] = Człony zależne od potencjału skróciły się! = ħ mi d 3 rx[ψ( ψ ψ ( ψ] = ħ mi d 3 r[ψ ( ψ x + x ψ x ψ x ψ x ]. Rachunek pomocniczy: dx(xψ ψ x = dx d ψ dx (xψ x = dx[ d dx (xψ]ψ. Zatem: d 3 r ħ mi x ψ = d 3 rψ pˆ x m ψ = p x m. Uzyskaliśmy równanie: d dt x = p x. (34 m Analogicznie liczy się: Zestaw równań (34 i (35 nazywa się równaniami Ehrenfesta. d dt p x = V. (35 x Niech x = x 0. W przypadku, gdy paczka falowa jest bardzo wąska w porównaniu z potencjałem, mamy: V x = d 3 rψ ψ( V V ( x x 0 d 3 rψ ψ = V x 0. Nie jest tak jednak wówczas, gdy paczka falowa jest rozmyta. 3.4 Studnia potencjału Rozważmy hamiltonian H = ħ m energii E. Klasycznie mamy: d dx + V (x, oraz weźmy cząstkę związaną w studni potencjału o pewnej E = p + V (x, (36 m czyli: p(x = ± (E V (xm. (37

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 7 V(X OBSZAR KLASYCZNIE ZABRONIONY OSCYLACJE E <-------------> V(X p p Vmin OBSZAR KLASYCZNIE DOSTEPNY OBSZAR KLASYCZNIE ZABRONIONY w tym oszarze pedy, brane sa ze znakiem "+" i "-" Natomiast kwantowo: Spróbujmy rozwiązać uproszczone równanie (V = const: ħ d ϕ E m dx + V (xϕ E(x = Eϕ E (x. (38 Podstawiając ϕ E = e λx mamy: ħ d ϕ E m dx + V ϕ E(x = Eϕ E (x. (39 Przypadki: λ = m (V E. (40 ħ V > E λ = ± ħ m(v E jest to rozwiązanie klasycznie zabronione! V < E λ = ± i ħ m(e V = ± i ħ p jest to rozwiązanie oscylacyjne. V>E - obszar klasycznie zabroniony V < E - obszar oscylacji

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 8 Okazuje się, że ψ (dla różnych energii E ucieka do + lub do. Rozwiązania fizyczne istnieją tylko dla wybranych energii. Zatem energia jest skwantowana. Trzy głowne fakty różniące mechanikę kwantową od klasycznej: to funkcja falowa, a nie cząstka, ma własności falowe, energia może przyjmować jedynie skwantowane wartości, cząstkę kwantową można znaleźć w obszarze klasycznie niedostępnym. 4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 4. Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej. Mechanika kwantowa jest mechaniką operatorów: Θ(r, p ˆΘ(r, iħ. (4. Operatory działają na zespoloną funkcję falową: ψ(r, t. (4 3. Gęstość prawdopodobieństwa wyraża się następująco: ϱ(r, t = ψ = ψ ψ. (43 4. Wartość średnią wielkości fizycznej liczy się ze wzoru: ˆΘ = d 3 rψ ˆΘψ. (44 5. Hamiltonian dla pojedynczej cząstki w potencjale niezależnym od czasu: Ĥ = ħ m + V (r. (45 6. Równaniem opisującym ewolucję czasowo-przestrzenną funkcji falowej w przypadku nierelatywistycznym jest równanie Schrödingera: iħ ψ ħ = ( t m + V ψ. (46 7. Dla potencjału niezależnego od czasu wiele problemów ulega uproszczeniu. Wówczas możliwy jest zapis funkcji falowej w postaci: ψ(r, t = e iet ħ ψe (r. (47 8. Otrzymujemy wówczas równanie Schrödingera niezależne od czasu: gdzie E jest wartością własną operatora energi, czyli hamiltonianu. Ĥψ E = Eψ E, (48

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 9 Anatomia funkcji falowej V(x Stany zwiazane: symetryczne antysymetryczny x 4. Kwantowe rozwiazania problemów klasycznych Istnieją tylko dwa klasyczne przykłady, które można skwantować otrzymując pełne rozwiązanie w sposób jawny. Jest to oscylator harmoniczny i potencjał kulombowski (atom wodoru. 4.. Oscylator harmoniczny Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego (jednowymiarowego: H = p m + kx. (49 Szukane rozwiązanie ma postać: x(t = e iωt. Zatem: ẋ = iωe iωt, ẍ = ω x. Częstość drgań nie zależy od amplitudy i w klasycznym podejściu wynosi: ω kl = k m. (50 4.. Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny Hamiltonian dla oscylatora kwantowego: d Ĥ = ħ m dx + k x. (5 Z działania hamiltonianu na funkcję (Ĥψ E = E n ψ E otrzymujemy następujące równanie: ħ m ψ (x + k x ψ(x = Eψ(x. (5

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 0 Chcemy znaleźć rozwiązanie wskazujące na stan o najniższej energii. Postulujemy rozwiązanie postaci: ψ = e αx. Stąd: ψ = e αx ( αx, ψ = e αx (α x α. Po wstawieniu ψ, ψ i ψ do równania (5 otrzymujemy równanie: Z tego równania otrzymujemy wyrażenie na najniższą energię: ħ m (α x α + k x = E. (53 gdzie czynnik α wyraża się następująco: E = ħ α m, (54 ħ α m = k km ħ α = km α = ħ. Szukając związku między oscylatorem kwantowym i klasycznym wykonujemy następujące przekształcenia: E = ħ km = ħ km m ħ m = ħ km m = ħ ω kl. Czyli energia oscylatora kwantowego wyrażona za pomocą częstości drgań oscylatora klasycznego wynosi: E = ħ ω kl. (55 Cała klasa rozwiązań równania (5 wyrażona jest następująco: ψ n (x = W n (xe α x (56 Wówczas dla: n=0: ψ 0 (x = N 0 e α x - mamy stan podstawowy, n=: ψ (x = N xe α x - mamy pierwszy stan wzbudzony. Klasyczne prawdopodobieństwo P (x znalezienia cząstki w punkcie x jest proporcjonalne do odwrotności jej prędkości: P (x v(x = m p(x = m m(e V (x. Kwantowomechaniczne prawdopodobieństwo, jak widać na poniższym rysunku, uśrednia się do klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa.

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki V(x - funkcja falowa wyzszego. stanu (nieznormalizowana Obszar klasyczny x Obszar klasyczny 4..3 Układ dwóch czastek Dla układu dwóch cząstek dana jest funkcja falowa ψ(r, r, t. Zastanawiamy się nad tym, jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia pierwszej cząstki w r, a drugiej cząstki w r. Funkcję falową zapisujemy jako iloczyn dwóch funkcji, z których każda związana jest z pojedynczą cząstką: ψ(r, r, t = ψ (r, tψ (r, t. Odpowiada to separacji gęstości prawdopodobieństwa: ϱ(r, r = ϱ (r ϱ (r. Hamiltonian dla układu dwóch cząstek: Ĥ = Ĥ(r, iħ + Ĥ(r, iħ. (57 Można teraz równanie (48 zapisać tak, by było spełnione dla układu dwóch cząstek: (Ĥ + Ĥψ (r ψ (r = Eψ (r ψ (r, (58 (Ĥψ ψ + ψ (Ĥψ = Eψ (r ψ (r. (Ĥψ ψ + (Ĥψ ψ = E. Z powyższej równości wynikają zależności na energię każdej z cząstek: E = E (Ĥψ ψ, (59

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki E = E (Ĥψ ψ. (60 4..4 Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny Hamiltonian dla układu trójwymiarowego: ( Ĥ = ħ m + kr = ħ m x + y + z + k ( x + y + z. (6 Funkcja własna dla układu trójwymiarowego wygląda następująco: ψ E (x, y, z = ψ E (xψ E (yψ E3 (z. (6 Energia układu wynosi zatem: E = E + E + E 3, (63 wobec czego drgania w każdym kierunku są od siebie niezależne. 4.3 Przestrzeń Hilberta Abstrakcyjną geometryczną ilustracją funkcji falowej ψ α może być wektor stanu w α w nieskończenie wymiarowej przesterzeni Hilberta. Przestrzeń Hilberta stanowi matematyczną bazę mechaniki kwantowej. Jest ona nieskończoną przestrzenią wektorową, o elementach będących funkcjami. Wielkości fizyczne są reprezentowane jako operatory działające w tej przestrzeni, a stany fizyczne jako wektory (funkcje stanu. Dla przykładu weźmy jakąś dowolną funkcję ψ(x. Graficznie można ją przedstawić w następujący sposób: Widać, że na drugim rysunku funkcja ψ(x jest kombinacją liniową odpowiednich wektorów własnych, czyli elementów bazy (w tym przypadku: ciągłej bazy położeń pomnożonych przez odpowiednie współczynniki. 4.3. Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta Weźmy wektor o skladowych rzeczywistych u i wektor transponowany u T :

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3 u = ( x x, u T = (x, x. Norma wektora wynosi: u = u T u = x + x. Wykonując to samo dla wektora w o składowych zespolonych otrzymujemy: w = ( z z, w T = (z, z, ( (w T w = (z, z z = z z z + zz = z + z. Oznaczenie: w := (w T definiuje sprzężenie hermitowskie. Można dowieść, iż ogólna postać macierzy hermitowskiej M jest następująca: ( M = a c id c + id b. (64 Wynik działania macierzy M na wektor u: Mu = λu. (65 Dane są następujące macierze M i M : ( a + ib c + id M = f + ig r + is (, M = a c id c + id b. Szukamy rozwiązania zagadnienia własnego: ( a c id c + id b ( ( z 0 = z 0. (66 Chcemy, żeby szukane rozwiązania były niezerowe, więc: det(m λ = 0 : ( a λ c + id c id b λ ( ( z 0 = z 0 (67 det(m λ = 0 (a λ(b λ (c + d = 0 (68 λ λ(a + b c d = 0.

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 4 Ponieważ chcemy, by rozwiązania na λ były rzeczywiste, to wyróżnik musi być większy od zera: = λ(a + b + 4ab + 4c + 4a = (a b + 4(c + d 0 (69 4.3. Baza w przestrzeni Hilberta W przestrzeni Hilberta istnieje zbior funkcji c n (x spełniających następującą zależność: dx c n(xc m (x = { m = n 0 n m (70 Funkcje c n (x są baza przestrzeni Hilberta: ψ(x = e n (xc n. (7 n=0 ψ = dx ψ (xψ(x = dx ( ( n e n(xc n( m e m(xc m = = c nc m dxe n(xe m(x = } {{ } m=n n=0 m=0 c nc n = c n. Zatem funkcję ψ(x = n=0 e n(xc n N n=0 e n(xc n stanowią szeregi ortogonalne. n=0 n=0 5 Twierdzenie spektralne Równanie własne pokazuje jak funkcja falowa koduje informację: ˆΘϕ λ = λϕ λ. (7 Jedyne możliwe wyniki pomiaru to wartości λ. Operatory hermitowskie spełniają (7 tak, że λ R. Spektrum to zbiór wszystkich λ. Przypadki:. Spektrum dyskretne: λ, λ,... (np. dla cząstki w studni potencjału. Wówczas ϕ λ jest normalizowalna: d 3 rϕ λ n ϕ λm = δ nm.. Spektrum ciągłe: stanowi ono pewien kłopot. Funkcje własne istnieją, ale nie należą do przestrzeni Hilberta, nie są normalizowalne. Są normowalne dopiero do delty Diraca (będącej nie funkcją, lecz dystrybucją: Uwaga: Delta Diraca posiada następujące podstawowe własności: dxf(xδ(x x 0 =: f(x 0, + dxeikx = πδ(k = {0 : k 0, : k = 0}.

{ ˆΘ ϕ λλ = λ ϕ λλ { ˆΘ ˆΘ ϕ λλ = ˆΘ λ ϕ λλ = λ λ ϕ λλ MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 5 d 3 rϕ(rϕ(r = δ(r r. 3. Spektrum mieszane - np. dla dodatnich energii w studni potencjału występuje spektrum ciągłe (fale płaskie, zaburzone nieco przez istnienie studni, zaś dla energii ujemnych mamy dyskretną kwantyzację poziomów energetycznych. 5.0.3 Operator pędu Rozwiązanie: pˆ x := iħ x, pˆ x ϕ λ (x = λϕ λ (x, ϕ p0 = e ip 0 x ħ, λ = p0, iħ( ip 0 ħ ϕ p 0 = λϕ p0 = p 0 ϕ p0. Fala płaska jest idealizacją - mówimy o niej jako o dobrej funkcji falowej, mimo że nią nie jest. ϕ p0 funkcją z przestrzeni Hilberta, a jednak: ϕ p0 =. nie jest 5.0.4 Operator położenia Rozwiązanie: ˆx := x, xϕ λ (x = λϕ(x. xδ(x x 0 = x 0 δ(x x 0, dxϕ x0 (xϕ x (x = dxδ(x x 0 δ(x x = δ(x x 0. Funkcje własne są ortogonalne, tworzą bazę w przestrzeni Hilberta: f(x = n c n ϕ λn (x. 5. Równoczesność pomiaru Rozważmy operatory ˆΘ, ˆΘ, oraz funkcję charakteryzującą układ: ϕ λλ. Mamy: ˆΘ ϕ λλ = λ ϕ λλ Zatem: ( ˆΘ ˆΘ ˆΘ ˆΘ ϕ λλ = 0. ˆΘ ˆΘ ϕ λλ =... = λ λ ϕ λλ

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 6 Jeśli operatory nie są przemienne, to nie można zbudować funkcji falowej, która koduje dokładną informację o obydwu wartościach wielkości fizycznych, które te operatory reprezentują. Operatory są przemienne =: komutuja: [A, B] = AB BA [ˆx, pˆ x ] = ˆx pˆ x pˆ xˆx =? [ˆx, pˆ x ]ϕ = x( iħ ϕ x ( iħ [ˆx, pˆ x ] = iħ x ϕ ϕ (xϕ = iħx x + iħ(ϕ + x x = iħϕ Cała mechanika kwantowa została stworzona po to, by mieć relację komutacji. Fakt: [α + βa, B] = [α, B] + β[a, B] = β[a, B]. Fakt: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, oraz analogicznie: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C. Przykład: czy da się zmierzyć jednocześnie położenie i energię kinetyczną cząstki? [x, pˆ x m ] = m [x, pˆ xpˆ x ] = m ( pˆ x[x, pˆ x ] + [x, pˆ x ] pˆ x = m ( pˆ x(iħ + (iħ pˆ x, [x, pˆ x m ] = iħ m pˆ x 0, zatem nie da się dokonać jednoczesnego pomiaru tych wielkości. 5. Uogólniona zasada Heisenberga Niech: Wówczas: analogicznie: Stąd: [A, B] = ic, à := A A, B := B B. à = B = 0, σa = (A A = Ã, σb = B. [Ã, B] = ic. Fakt: Dla każdego operatora hermitowskiego zachodzi: d 3 rψ ( ˆΘψ = d 3 r( ˆΘψ ψ. (73 Korzystając z (73 i z powyższych definicji à oraz B, mamy: d 3 rψ (zã i B(zà + i Bψ 0 (ponieważ: z à + B + z(ãi B i Bà = z à + iz[ã, B] + B = z à zc + B, z d 3 rψ à ψ z d 3 rψ Cψ + d 3 rψ B ψ 0. Otrzymujemy równanie kwadratowe i obliczamy jego wyróżnik :

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 7 z à z C + B 0, = C 4 A B 0, Powyższe równanie jest właśnie uogólniona zasada Heisenberga. Przykład: A = x, B = pˆ x, C = ħ = σxσ p x gaussowskiej. A B C 4. (74 ħ 4. Dolną granicę tej nierówności daje się osiągnąć dla paczki 6 Oscylator harmoniczny 6. Jak wytwarzać funkcje falowe? Załóżmy, iż dany jest hamiltonian dla którego rozwiązania przyjmują wartości: E, E,..., E i tworzą spektrum dyskretne. Wtedy wiemy, że dowolną funkcję można zapisać jako: Ψ(x = n=0 a nψ En (x. Wówczas: dla t = 0 : Ψ(x, t = 0 = Ψ 0 (x = a n ψ En (x, natomiast ogólna postać funkcji falowej zależnej od czasu wygląda następująco: Ψ(x, t = n=0 n=0 Żeby znaleźć współczynnik a n należy wykonać następujące całkowanie: ψe m ψ(x = dxψe m (x a n ψ En (x = a n n=0 a n exp( ie nt ψ En (x. (75 ħ n=0 dx ψe m (xψ En (x = a m. }{{} =0: n m 6. Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiazanie zagadnienia Większość układów dynamicznych można rozpatrywać jako układy wykonujące małe drgania - oscylatory harmoniczne. Hamiltonian dla klasycznego oscylatora harmonicznego wyraża się wzorem: H = p m + k x. (76 Pomocne obliczenia: ẋ = p m ; ṗ = kx; ẍ = ṗ m = k m x; x = eiωt ; ẍ = ω e iωt. Częstość drgań układu klasycznego: ω cl = k m. (77

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 8 Hamiltonian dla kwantowego oscylatora harmonicznego: d Ĥ = ħ m dx + k x. (78 Rozważamy równanie własne: Ĥψ E (x = Eψ E (x, ħ d ψ E (x m dx + k x ψ E (x = Eψ E (x. (79 Żeby uprościć równanie (79 wprowadzamy nowe zmienne: x = ax. Stąd: d dx = d a dx, czyli: Ĥ = ħ d ma dx + ka X. Chcemy żeby podkreślone człony były sobie równe: ħ ma = ka a 4 = ħ km a = ħ mk, Zatem, ostatecznie: ka = kħ mk = ħ ħ m = ħ ω cl. d Ĥ = ħω cl ( dx + X. (80 Żeby rozwiązać równanie (80 trzeba je najpierw uprościć. Najlepiej jest doprowadzić je do postaci iloczynu: (a + b = (a ib(a + ib. Pierwszym krokiem będzie zdefiniowanie następujących operatorów: P := i d dx (jest to operator hermitowski, A := (X + ip (zaś operator A nie jest operatorem hermitowskim, A := (X ip (co nie przeszkadza sprząc go hermitowsko. A A = (X ip(x + ip = (X + ix P ipx +P }{{}, i[x,p]=i(i= A A = (X + P. (8 Po wstawieniu tego zestawu zmiennych do hamiltonianu, jego postać jest następująca: Istotne obliczenia komutatorów: Ĥ = ħω cl (A A +. (8

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 9. [A, A ] = [ (X + ip, (X ip] = ([X }{{, X } ] + [X, ip] + [ip, X ] + [ip, ip] = }{{}}{{}}{{} =0 i[x,p] i[p,x ] =0 = i ( [X, P] + [P, X ] = i ( i i =. }{{}}{{} =i = i. 3. [A, Ĥ] = ħω cl[ A, A A }{{} A [A,A]+[A, A ] }{{} A [A, H] = ħω cl A. + ] = Aħω cl. Pomiary w mechanice kwantowej opierają się głównie na wyliczeniach wartości średnich i określeniu odstępstw od tych wartości dla poszczególnych pomiarów. Wartość średnia operatora energii (hamiltonianu jest zawsze dodatnia, co można sparawdzić na podstawie obliczeń: E pot = k x = k dx Ψ(x 0. E kin = ħ m d Ψ(x dx = ħ m = ħ m dxψ (xψ (x = ħ dx(ψ (x (Ψ (x = m dx Ψ 0. E pot + E kin = H 0. (83 6.3 Rozwiazanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów (bez konieczności całkowania Wybieramy funkcję własną i działamy na nią operatorem: ψ = A ψ Ĥψ = E ψ ĤA ψ = EA ψ A H HA = A ħω cl HA = A H + A ħω cl A Hψ + ħω cl A ψ = E A ψ (E + ħω cl A ψ = (E + ħω cl ψ Operator A nazywa się operatorem kreacji, 3 ponieważ w działaniu na funkcję tworzy stan o energii wyższej. Wstawiając do równania własnego funkcję ψ = Aψ otrzymamy: Ĥψ = ĤAψ = (AH Aħω clψ = A Hψ Aħω }{{} cl ψ = (E ħω cl Aψ = (E ħω cl ψ. Eψ Prawdopodobnie istnieje stan ψ 0 o najniższej energii, wtedy: Aψ 0 = 0. (84 3 W terminologii wprowadzonej przez Grzesia Pełkę operator ten nazywa się operatorem kremacji. (przyp. R.K. Chodziłam z Grześkiem do klasy w podstawówce (przyp. E.S.

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 30 6.4 Tworzenie funkcji falowej Bierzemy operator A = (X + ip = (X + d dx i wstawiamy do równania (84: (X + d dx ψ 0 = 0, Rozwiązujemy równanie różniczkowe: X ψ 0 + dψ 0 dx = 0. dψ 0 = xdx, ψ 0 dψ0 ψ 0 = xdx, ψ 0 = Ne x Z działania hamiltonianu na funkcję ψ 0 otrzymamy wyrażenie na energię stanu podstawowego: Hψ 0 = ħω cl (A A + ψ 0 = ħω cl ψ 0 + ħω cl A Aψ 0, E 0 = ħω cl. (85 Spektrum energii oscylatora harmonicznego - spektrum stanów równoodległych - przedstawia poniższy rysunek: Spektrum energii oscylatora harmonicznego E n = ħω cl (n + / ħω cl Widać, że stan podstawowy jest zaznaczony na poziomie E 0 = ħω cl, a kolejne stany różnią się od siebie o czynnik ħω cl, czyli n-ty poziom energetyczny określony jest wzorem: E n = ħω cl (n +, gdzie n = 0,,,... (86 6.5 Notacja bra i ket Dla znacznego uproszczenia zapisu można wprowadzić notację bra i ket. Funkcję stanu ψ α można zapisać w następującej konwencji: α ket - funkcja stanu (wektor stanu,

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3 α bra - stan hermitowsko sprzężony (wektor z przestrzeni dualnej. Funkcję stanu podstawowego oscylatora harmonicznego zapisuje się następujająco: ψ 0 = 0, natomiast funkcja stanu ψ n = n. Zachodzi fakt: n = C n (A n 0. (87 Teraz należy obliczyć n n : 0 (A n (A n 0 = 0 A }. {{.. A } A }. {{.. A } 0 = n 0 A }. {{.. A } A }. {{.. A } 0 = n n n = n n n n operacje wykonujemy aż do uzyskania 0 0 =, wtedy: = n! Postać funkcji falowej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze: n = n! (A n 0. (88 6.6 Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej Zapisujemy trójwymiarowy hamiltonian: Ĥ = ħω cl (A A + + ħω cl (A A + + ħω cl 3 (A 3 A 3 +. Za pomocą trzech liczb kwantowych opisać można dowolny stan trójwymiarowego oscylatora harmonicznego: n n n 3 = C(A n (A n (A 3 n3 000, (89 E = ħω cl (n + + ħω cl (n + + ħω cl 3 (n 3 +. (90 Przedstawione na poniższym rysunku spektrum energii pokazuje, że nie jest to już prosty rozkład, a poszczególne poziomy energetyczne różnią się od siebie i od stanu podstawowego o czynnik ω cl,,3. Pewnego uproszczenia można się dopiero spodziewać, gdy rozpatrywany układ będzie oscylatorem symetrycznym. Spektrum energii trójwymiarowego oscylatora harmonicznego ħ ω 3 ħ ω ħ ω ħ (ω + ω + ω 3 6.6. Degeneracja stanów Rozpisanie trzech pierwszych stanów energetycznych w przestrzeni trójwymiarowej:

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3. stan podstawowy: 0 0 0.. I stan wzbudzony: 0 0 0 0 0 0. Cała podprzestrzeń stanów zdegenerowanych opisanych w tej bazie: α 0 0 + β 0 0 + γ 0 0. Jest to stan trzykrotnie zdegenerowany. 3. II stan wzbudzony: 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Jest to stan sześciokrotnie zdegenerowany. 7 Atom wodoru Koronnym argumentem za poprawnością mechaniki kwantowej jest istnienie 4 atomu wodoru. Rozważmy kwantowo oddziaływanie dwóch cząstek o różnych masach w polu wzajemnego potecjału: zatem kwantowo mamy: Rozwiązanie równania Schrödingera (iħ ψ t = Ĥψ(r, r ; t: H = p m + p m + V (r r, (9 Ĥ = ħ ħ + V (r r. (9 m m Potencjał kulombowski dwóch oddziałujących elektrostatycznie cząstek: Podstawiając to do równania (9 mamy: Ĥ = ħ ( m x + y + z ħ ( m x + y + z ψ(r, r ; t = e ie pot t ħ ψ Epot (r, r. (93 V (r r = 4πɛ 0 e r r =: α r r. (94 α (x x + (y y + (z z. (95 Teraz wprowadzimy nowe zmienne, tak, aby umożliwić dokonanie separacji zmiennych: r := r r, R := ar + br = m r + m r m + m. Zatem w nowych zmiennych: V c = α r = α r. Chcemy mieć równość: exp ( ir p ( ħ + irp ħ = exp irp ħ 4 i funkcjonowanie (przyp. R.K. + irp ħ, czyli: RP + rp = r p + r p,

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 33 stąd: P( m r + m r m P m P + p(r r = r ( + p + r ( p m + m m + m m + m p = m P + p, p = m P p, m + m m + m Czyli: oraz: p = Niech M := m + m, wtedy: p + p = m + m m + m P = P, P = p + p, m P p = m (p + p m + m p = m p m p. m + m m + m m + m m + m p m + p m = m ( m P M + p + m ( m P M p = P M + p µ, gdzie masa zredukowana: µ := m + m. Ostatecznie, nowy hamiltonian wyraża się wzorem: Ĥ = ħ M ( X + Y + Z ħ }{{} µ ( x + y + z α. (96 r }{{} ruch środka masy ruch względny Zatem: ϕ Epot = exp{i PR ħ }ϕ E(r, E pot = E + P M. 7. Zapis w układzie sferycznym Przechodząc do sferycznego układu współrzędnych 5 i do układu odniesienia środka masy, mamy: H = ħ µ [ r r (r r + r sin θ θ (sin θ θ r sin θ ( ϕ ] α r. (97 Postulujemy separację zmiennych: ϕ E (r, θ, ϕ = f(ry (θ, ϕ. Zatem: ħ µ [ f r (r r r Y (θ, ϕ + r f(r( ħ µ d df dr (r dr ħ [ sin θ f µ ħ µ θ (sin θ θ r sin θ ( ]Y (θ, ϕ+ ϕ sin θ ( + α f(ry (θ, ϕ = Ef(rY (θ, ϕ, (98 r d df dr r dr f Z separacji otrzymujemy dwa równania: θ (sin θ θ + sin θ ( ϕ ]Y (θ, ϕ αr = r E, Y αr r E = ħ µ [...]Y Y =: λ ħ µ. (99. 5 x = r sin θ sin ϕ y = r sin θ cos ϕ z = r cos θ ħ µ r d df (r dr, gdzie: r [0, ], θ [0, π], ϕ [0, π]. dr α r f + λħ f = Ef, (00 µr

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 34. sin θ θ (sin θ θ Y + sin θ Y + λy = 0. (0 ϕ Z rownania (0 mamy: postulując Y = A(ϕB(θ: sin θ θ (sin θ θ Y Y + λ sin θ = Y ϕ, Y sin θ d db(θ dθ (sin θ dθ B(θ + λ sin θ = d A dϕ A =: m. (0 Separacja tego równania ze względu na ϕ daje: d A dϕ = m A e imϕ = A, a ponieważ A(ϕ = 0 = A(ϕ = π, to m musi być całkowite. Ostatecznie mamy: Y (θ, ϕ = eimϕ m B(θ. (03 Natomiast równanie (0 rozseparowane ze względu na θ daje: Podstawiając w := cos θ, d dθ = ( dw dθ d dw = sin θ d dw : d db (sin θ sin θ dθ dθ + (λ m sin B = 0. θ d [( sin θ (sin θ( sin θdb ] + (λ m sin θ dw dw sin B = 0, θ d db (( w dw dw + (λ m B = 0. (04 w Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego są stowarzyszone wielomiany Legendre a (harmoniki kuliste: przy czym: l = 0,,, 3,..., zaś m = l, l +,..., l. Natomiast: gdzie P l (w to już normalne wielomiany Legendre a. Y lm (θ, ϕ P m l (cos θe imϕ, (05 Pl m (w = ( w m d m dw P l(w, (06 m 8 Wielomiany Legendre a, harmoniki sferyczne i moment pędu 8. Krótkie powtórzenie, tytułem wstępu. W mechanice kwantowej obserwable ( wielkości fizyczne 6 wyrażamy za pomocą pędów i położeń, a następnie przekształcamy je w operatory: Θ(r, p ˆΘ(r, iħ. (07. Jedyne możliwe do uzyskania wartości (λ pomiarów wielkości fizycznych opisywanych operatorem ˆΘ otrzymuje się z rozwiązania równania własnego: ˆΘϕ λ = λϕ λ. (08 6 te, które daje się zmierzyć :

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 35 3. Funkcja falowa dostarcza informacji o stanie układu. Gdy podziałamy na nią hamiltonianem, będziemy wiedzieli jak funkcja zachowuje się w dowolnej chwili. Hamiltonian przesuwa funkcję w czasie: iħ ψ t = Ĥψ. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja ψ(r, t = e iet ħ ψ E (r, gdzie ψ E (r otrzymuje się z równania własnego. 4. W przypadku gdy rozważamy problem w potencjale sferycznie symetrycznym, hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = ħ µ [ r r (r r + r sinθ Θ (sinθ Θ + r sin ]. (09 Θ ϕ Z rozwiązania równania własnego otrzymujemy funkcję postaci: ψ E (r = f(ry lm (Θ, ϕ, gdzie: Y lm (Θ, ϕ = N lm P m l (cosθe imϕ. (0 8. Wielomiany Legendre a Na wykładzie (7 wyprowadzono następujące równanie różniczkowe: d dp (( w dw dw + (λ m P = 0. ( w Fizyczne rozwiązania równania ( dostajemy dla niezerowego m, gdy λ = l(l +, m l. Otrzymane rozwiązania zwane są stowarzyszonymi funkcjami Legendre a i wyrażają się przez wielomiany Legendre a P l (w: Można określić funkcję tworzącą: Pl m (w = ( w m d m dw P l(w. ( m T (w, s = = P l (ws l. (3 sw s Zbadamy teraz własności wielomianów Legendre a przy użyciu funkcji tworzącej (3: l=0 dt + ds s=0 = P l (w d ds sl s=0 = P (w, (4 l=0 d n T + ds n s=0 = P l ( dn ds n sl s=0 = n!p n (w. (5 l=n }{{} =n!s l n Wielomiany te są do siebie ortogonalne, na odcinku [, ] stanowią one bazę w przestrzeni funkcyjnej, czyli każdą funkcję opisaną na sferze da się przedstawić w postaci nieskończonego szeregu wielomianów f(w = + l=0 c lp l (w: { (l+ m! [ dwp l (wp l (w = l+ ][ (l m!] dla l = l 0 dla l l (6 8.3 Harmoniki sferyczne i ich własności Dowód ortogonalności harmonik sferycznych: gdy powyższą całkę zastąpimy całką po kątach, to otrzymamy: d cos Θ π 0 dϕy lm(θ, ϕy l m (Θ, ϕ = δ l lδ m m. (7

MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 36 Część kątowa Y lm (Θ, ϕ pełnej funkcji falowej, będąca rozwiązaniem równania kątowego dla λ = l(l + : sinθ Θ (sinθ Y Θ + Y sin Θ + λy = 0, (8 ϕ nazywa się harmonika sferyczna. Harmoniki sferyczne tworzy się według następującego wzoru: gdzie ε = { ( m dla m > 0 dla m 0. Y lm (Θ, ϕ = ε[ Przykłady podstawowych funkcyj 7 kulistych: (l + (l m! ] Plm (cos Θe imϕ, (9 4π(l + m! Y 00 = 4π, Y 0 = ( 3 4π cos Θ, Y ± = ( 3 8π sin Θe ±iϕ, Y 0 = ( 5 6π (3 cos Θ, Y ± = ( 5 8π sin Θ cos Θe ±iϕ, Y ± = ( 5 3π sin Θe ±iϕ. 8.4 Operator momentu pędu Klasycznie wektor momentu pędu L jest zdefiniowany następująco: e x e y e z L = r p = x y z = e x (yp z zp y e y (xp z zp x + e z (xp y yp x = p x p y p z Teraz, analogicznie, konstruujemy kwantowy operator momentu pędu: ˆL = iħ z y y z x z z x y x x y yp z zp y xp z + zp x xp y yp x.. (0 x, y, z można zmierzyć jednocześnie, bo te wielkości ze sobą komutują, natomiast nie komutuje ze sobą x i p x, y i p y, z i p z [x, p x ] = [y, p y ] = [z, p z ] = iħ. Obliczenie niektórych komutatorów: [L x, L y ] = [y ˆp z z ˆp y, zpˆ x x ˆp z ] = [y ˆp z, zpˆ x ] [y ˆp z, x ˆp z ] [z ˆp y, zpˆ x ] + [z ˆp y, x ˆp z ] }{{}}{{}}{{}}{{} ( ( (3 (4 ( [y ˆp z, zpˆ x ] = (y ˆp z (zpˆ x (zpˆ x (y ˆp z = iħ(yp x ( [y ˆp z, x ˆp z ] = 0 (3 [z ˆp y, zpˆ x ] = 0 (4 [z ˆp y, x ˆp z ] = (z ˆp y (x ˆp z (x ˆp z (z ˆp y = iħ(x ˆp y [L x, L y ] = iħ(yp x + iħ(x ˆp y = iħl z, ( 7 ta dawna i wspaniała forma językowa, używana przez Sierpińskiego, Kaca, Ulama, Leję i innych wielkich bojowników matematyki, nie może zostać przecież potępiona i skazana na wieczne zapomnienie, nieprawdaż? (przyp. R.K.